Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2008-2009 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Trị (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2008-2009 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Trị (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS QUẢNG TRỊ Năm học 2008 – 2009 Môn : Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề ) Bài 1 (5 điểm) 2 x 9 x 3 2 x 1 Cho biểu thức A . x 5 x 6 x 2 3 x a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . b) Rút gọn biểu thức A . Bài 2 (4 điểm) 2 Giả sử x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : x + 2kx + 4 = 0 . 2 2 x x Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức : 1 2 3 . x2 x1 Bài 3 (3 điểm) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 . 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M . x y Bài 4 (2 điểm) 2 x 2 x Cho phương trình : 2 . 2 2 x 2 2 x a) Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa . b) Giải phương trình . Bài 5 (6 điểm) Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và AB  BD . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB a) Chứng minh FDG đồng dạng với ECG . b) Chứng minh GF  EF . HẾT
2. HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN KÌ THI HSG CẤP TỈNH MÔN TOÁN LỚP 9 NĂM HỌC 2008-2009 Giải Bài 1 (5 điểm) 2 x 9 x 3 2 x 1 Cho biểu thức A . x 5 x 6 x 2 3 x c) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . d) Rút gọn biểu thức A . Điều kiện : x 0; x 4; x 9 2 x 9 x 3 2 x 1 A x 5 x 6 x 2 3 x 2 x 9 x 3 2 x 1 = x 3 x 2 x 2 x 3 2 x 9 x 3 x 3 2 x 1 x 2 = x 3 x 2 2 x 9 x 9 2x x 4 x 2 = x 3 x 2 x x 2 x 1 x 2 x 1 = x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 Bài 2 (4 điểm) 2 Giả sử x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : x + 2kx + 4 = 0 . 2 2 x x Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức : 1 2 3 . x2 x1 2 , 2 2 Phương trình : x + 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 k 4 0 k 4(*) . x1 x2 2k Khi đó ta có : Vậy : x1x2 4 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x1 x2 2x1x2 1 2 3 1 2 3 3 x x x x x x 2 1 1 2 1 2 2 2 2 4k 8 2 k 2 3 3 k 2 2 3 2 4 k 2 3 k 2 2 3 ( ) 2 k 2 3 2 k 2 Kết hợp (*) và ( ) ta có : k 4 k 2 2 2 2 x1 x2 Vậy để phương trình : x + 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa : 3 thì : x2 x1 x 2 và x 2 . Bài 3 (3 điểm) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 .
3. 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M . x y Ta có : x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 x3 + 3x2 + 3x +1 + y3 + 3y2 + 3y + 1 + x + y + 2 = 0 (x + 1)3 + (y + 1)3 + (x + y + 2) = 0 (x + y + 2)[(x + 1)2 – (x + 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 1] = 0 (*) Vì x 1 2 – x 1 y 1 y 1 2 1 2 1 3 2 = x 1 y 1 y 1 1 0 2 4 Nên (*) x + y + 2 = 0 x + y = - 2 1 1 x y 2 2 1 2 Ta có : M vì x y 4xy 4 4xy 1 2 . x y xy xy xy xy Vậy MaxM = -2 x = y = -1 . Bài 4 (2 điểm) 2 x 2 x Cho phương trình : 2 . 2 2 x 2 2 x a) Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa . b) Giải phương trình . a) điều kiện : 0 x 4 2 x 2 x b) 2 2 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 (1) 2 4 2 x 2 4 2 x Đặt 4 2 x = a ; 4 2 x = b ( a ; b 0) . a2 b2 8 Ta có : a2 b2 2 2 a 2 b 2 2 a b 8 2 2 2 a b ab a b 8 4 a b 2ab 2 2 a b 8 a b ab 4 2 ab 4 0 2 2 a b 8 (I) a b 2 ab 4 0 Vì ab + 4 > 0 nên : 2 a b 2ab 8 ab 2 I a b 2 a b 2 2 2 b 2 b a b a a 2 a 1 3 a 2 a2 2a 2 0 a a 1 3 (loai vì a 0) a 3 1 4 2 x 3 1 x 3 b 3 1 4 2 x 3 1
4. Bài 5 (6 điểm) Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và AB  BD . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB c) Chứng minh FDG đồng dạng với ECG . d) Chứng minh GF  EF . ABCD : AB // CD ; CD > AB ; AB  BD . A B AB  BD ; AG = CE ; BG = DF . // X E G \\ Chứng minh : a) FDG ~ . ECG b) GF  EF X D F C Chứng minh : BG GD DF GD a) Ta có AB // CD , mà AG = CE ; BG = DF AG GC CE GC DF GD Xét FDG và ECG có : ;G·DF G·CE 900 FDG ~ ECG ( c-g-c) CE GC b) Ta có FDG ~ ECG G·FD G·EC GFCE nội tiếp G·CE G·FE cùng chắn G»E mà G·CE 900 G·FE 900 GF  FE