Đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán ngày 1 - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Ninh

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán ngày 1 - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Ninh

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HSG QUỐC GIA QUẢNG NINH NĂM HỌC 2022 - 2023 Đề chính thức Môn: TOÁN NGÀY 1( CHUYÊN) (15/09/2022) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871. Bài 1 (5,0 điểm). Cho a,b,c là số thực dƣơng thỏa abc=1.Tìm min của a3 b 3 c 3 P b2 1 c 2 1 a 2 1 Bài 2 (5,0 điểm). Xét hàm f :(0; ) (0; ) thỏa f(3()3) f x y f (3 x y )2, y  x , y 0 a.Chứng minh f( x ) x ,  x 0 , fx() đồng biến b.Tìm tất cả hàm thỏa đề bài Bài 3 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp (O) cố định, BC cố định và điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn, không cân. Lấy điểm X trên đƣờng thẳng AC và điểm Y trên đƣờng thẳng AB sao cho BX, CY vuông góc BC, đƣờng tròn (AXY) cắt (O) tại L khác A. a) Gọi AD là đƣờng kính của (O). Chứng minh rằng đƣờng thẳng DL luôn đi qua điểm cố định khi A thay đổi. b) Gọi P, Q lần lƣợt là giao điểm thứ hai của BX, CY với đƣờng tròn(AXY). Chứng minh rằng giao điểm của PQ và tiếp tuyến tại A của đƣờng tròn (AXY) luôn nằm trên một đƣờng cố định. c) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại A của đƣờng tròn (AXY), tiếp tuyến tại L của (O) và đƣờng thẳng BC đồng quy. Bài 3 (5,0 điểm). Số nguyên N gọi là tốt nếu tồn tại các số nguyên x,y sao cho N x223 y a.Chứng minh với số N tốt , nếu N chẵn thì N là tốt 4 b.Chứng minh với số N tốt ,nếu N chia hết cho 37 thì N là tốt 37
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HSG QUỐC GIA Vũng tàu NĂM HỌC 2022 - 2023 Đề chính thức Môn: TOÁN NGÀY 1( CHUYÊN) (15/09/2022) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871. 22 x y x y y 1 x Bài 1 (3,0 điểm).Giải hệ (,)xy 2 2x 11 y 32 33 4 y 8 u1 2023 Bài 2 (2,0 điểm). Cho dãy số ()u xác định bởi: 2022uu3 2022 . n un nn  * n 1 2 2022uunn 2022 1 n u2 Tìm lim i . n  2 2nu 1i 1 1 i Bài 3 (5,0 điểm). Cho đƣờng tròn (O) và hai điểm A, B cố định nằm trên đƣờng tròn (O) sao cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Xét một điểm C trên đƣờng tròn (O) sao cho tam giác ABC không cân tại C. Gọi (O1 ) là đƣờng tròn đi qua A và tiếp xúc với BC tại C; (O2 ) là đƣờng tròn đi qua B và tiếp xúc với AC tại C. Hai đƣờng tròn ( ) và (O2 ) cắt nhau tại điểm thứ hai là D (D khác C). a) Tiếp tuyến của đƣờng tròn (O) tại C cắt đƣờng thẳng OD tại S. Chứng minh OA là tiếp tuyến của đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ADS. b) Chứng minh đƣờng thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định khi điểm C di động trên đƣờng tròn (O) (tam giác ABC không cân tại C). Bài 4 (2,0 điểm). a.Cho k là số nguyên dƣơng lớn hơn 1.Chứng minh 2k 1 1không chia hết cho k. b.Tìm tất cả các cặp số nguyên tố p và q thỏa mãn 22pq chia hết cho p.q. y Bài 5 (3,0 điểm). Tìm tất cả các hàm f : thỏa xf()() y yf x f với x x, y , x 0 Bài 6 (2,0 điểm). Cho tập hợp X có 2023 phần tử. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn hai tập hợp con khác nhau của X sao cho giao của hai tập hợp này là một tập hợp có đúng một phần tử?
3. Bài 7 (3,0 điểm). Cho số thực dƣơng x,y,z thỏa y22 zx, z xy .Tìm min của z y2022 z2023 P z y y x z2023 x 2023 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HSG QUỐC GIA HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2022 - 2023 Đề chính thức Môn: TOÁN ( CHUYÊN) (15/09/2022) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871. Bài 1 (4,0 điểm).Cho dãy số ()xn thỏa 2 xn 3 xa1 0và(xn 11 x n 3 1) 2 x n 0,  n 1 .Chứng minh dãy ()xn có giới xn 1 hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó Bài 2 (4,0 điểm).Tìm tất cả hàm f : thỏa fxfy(() fy () fx ()) y ( y 1)(), fx  xy , Bài 3 (4,0 điểm).Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đƣờng tròn (O) và ngoại tiếp đƣờng tròn (I). Gọi D là hình chiếu của I trên BC, AD cắt lại (O) tại G. Lấy E và F lần lƣợt là điểm chính giữa của cung nhỏ BC và cung lớn BC. Hai đƣờng thẳng ID và FG cắt nhau tại điểm H. Gọi M là trung điểm cạnh BC. a) Chứng minh rằng điểm H nằm trên đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác IBC. b) Gọi P là điểm trên đƣờng thẳng ID sao cho MP = MB và K trên đƣờng thẳng BC sao cho KP vuông góc PM, KI cắt FG tại N và MN cắt AI tại J. Chứng minh E là trung điểm của IJ. Bài 4 (4,0 điểm). Tìm tất cả các bộ số nguyên dƣơng (a; b; c) thỏa mãn: ab 1 | (a 1)c Bài 5 (4,0 điểm). Bạn A có một số chiếc thẻ thuộc ba loại thẻ: thẻ hai mặt đỏ; thẻ một mặt vàng, một mặt đỏ; thẻ hai mặt vàng. Bạn ấy không phân biệt đƣợc màu sắc nên cần một máy scan để quét. Tuy nhiên máy này cũng chỉ có thể phân biệt đƣợc tất cả các mặt thẻ úp xuống đƣa vào trong máy có đều là màu vàng hay không. Nghĩa là nếu tất cả các mặt úp đều vàng nó sẽ báo vàng, còn chỉ cần có một mặt đỏ trong số đó thì nó báo không vàng. Mỗi lần bạn ấy có thể chọn bao nhiêu thẻ để đƣa vào cũng đƣợc.
4. a) Chứng minh rằng nếu A có n thẻ gồm một thẻ hai mặt đỏ và n – 1 thẻ hai mặt vàng thì A có thể sử dụng máy để tìm ra thẻ hai mặt đỏ sau nhiều nhất là log2 n bƣớc. b) Xét dãy số Fibonacci ()Fn với F1 1, F 2 1, Fn 2 F n 1 F n , n 1. Với n 4 , giả sử bạn A có Fn thẻ gồm một thẻ hai mặt đỏ và một thẻ một mặt vàng, một mặt đỏ, còn lại là các thẻ hai mặt vàng. Hỏi bạn ấy có thuật toán nào để có thể tìm ra thẻ hai mặt đỏ bằng cách sử dụng máy nhiều nhất n lần hay không? câu hàm +) TH f là hằng, thế vào pt ta dc y(c+1) = 0 ∀y∈R nên c = -1 do đó f(x) ≡ -1 ∀x∈R +) TH f khác hằng P(-1,-1): f(f(-1)) = -1 (*) P(-1,y): f(f(-1)) = y+(y+1)f(-1) ( ) từ (*),( ) => y+(y+1)f(-1) = -1 => (y+1)(f(-1)+1) = 0 ∀y∈R => f(-1) = -1 ta sẽ c/m f(x) = -1 khi và chỉ khi x = -1 thật vậy, giả sử tồn tại m ≠ -1 sao cho f(m) = -1 P(x,m): f(-x-1+f(x)) = m+(m+1)f(x) (i) P(x,-1): f(-x-1+f(x)) = -1 (ii) từ (i),(ii) => m+(m+1)f(x) = -1 => (m+1)(f(x)+1) = 0 mà m+1 ≠ 0 nên f(x) ≡ -1 ∀x∈R (vô lí vì f khác hằng) nhƣ vậy điều giả sử là sai nên f(x) = -1 khi và chỉ khi x= -1 kết hợp với (ii) ta có
5. -x-1+f(x) = -1 => f(x) = x ∀x∈R thử lại thấy t/m, vậy f(x) ≡ -1 ∀x∈R hoặc f(x) = x ∀x∈R Câu hình: a) Gốc từ đề vào 10 chuyên Toán HN 2017-2018 b) Chia nhỏ thành các bài toán sau để giải: (1) CM: KNJ=90; (2) CM: tứ giác IHJN nt; (3) CM: tứ giác BHCN nt => B,I,N,C,J,H đồng viên => E là trung điểm IJ (do E là tâm (BIC)). 5a)ta cứ chia 2 số thẻ bài và cho vào máy,cứ chia đôi cho đến khi tìm đƣợc thẻ 2 mặt đỏ=>cần không quá [log_2(n)](chú ý:nếu 1 nửa số thẻ không có thẻ đỏ=>ta tiếp tục bằng các chia đôi nửa số thẻ còn lại, ) 5b)bổ đề F_[n] thẻ 2 mặt đỏ ở nhóm A theo giả thiết quy nạp cần không quá n-1 bƣớc =>cần không quá n bƣớc +)ở TH còn lại,thì ta lại lật tất cả các mặt của thẻ nếu tất cả các mặt cũng đều không vàng=>thẻ 2 mặt đỏ ở đây,theo giả thiết quy nạp cần không quá n-2 bƣớc=>cần không quá n bƣớc nếu tất cả các mặt đều vàng=>thẻ 2 mặt đỏ ở nhóm A và thẻ 1 mặt
6. đỏ 1 mặt vàng ở nhóm B,mà F_[n-1] cần không quá n-1 bƣớc =>cần không quá n-1 nhƣ vậy,trong tất cả TH chỉ cần dùng tối đa n bƣớc =>(*) đúng,từ đó ta có đpcm bài hình câu b: Gọi KI cắt đƣờng tròn tâm (E) tại N'. Dễ thấy: (KD,BC)=-1. Lắp tâm I, kéo xuống đƣờng tròn tâm E, ta suy ra: (N'H,BC)=-1. Mặt khác, tiếp tuyến tại B,C của (E) cắt nhau tại F, suy ra F,N',H thẳng hàng, hay ta suy ra N trùng N'. Nhƣ vậy, từ những điều này, ta dễ dàng suy IN vuông góc NJ. hay E là trung điểm của IJ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HSG QUỐC GIA Vũng tàu NĂM HỌC 2022 - 2023 Đề chính thức Môn: TOÁN NGÀY 1( CHUYÊN) (15/09/2022) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
7. Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871. Bài 1 (4,0 điểm). a) Xét các số thực abc,, thay đổi trên đoạn [1;2] sao cho abc2 2 2 6 . Tìm giá trị bc2 ca 2 ab 2 lớn nhất của biểu thức P 4 ab bc ca a b b c c a b) Tồn tại hay không đa thức P(x) có hệ số nguyên thỏa mãn: P(1 33 3) 2 3 4và P(2 6) 3 6 2 n Bài 2 (3,0 điểm). Cho dãy số ()un xác định bởi: u11 1; unn u 4 với uunn mọi n nguyên dƣơng. u Chứng minh dãy số ()y với y n (n nguyên dƣơng) có giới hạn hữu hạn. Tìm n n n giới hạn đó. Bài 3 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đƣờng tròn (O). Đƣờng tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc các cạnh BC,CA,AB lần lƣợt tại D,E,F. H là hình chiếu vuông góc của D lên EF. Tia IH cắt đƣờng tròn (O) tại K. Đƣờng tròn ngoại tiếp hai tam giác KBF,KCE cắt nhau tại T khác K. Gọi M là trung điểm TD. Qua M kẻ tiếp tuyến MN của đƣờng tròn (I) (N là tiếp điểm khác D). a) Chứng minh T,E,F thẳng hàng và đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác NBC tiếp xúc (I). b) AN cắt đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác NBC ở S khác N. Hai tiếp tuyến của đƣờng tròn (I) kẻ từ S cắt đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác NBC lần lƣợt tại P,Q. Chứng minh hai đƣờng thẳng PQ và BC song song với nhau. Bài 4 (2,0 điểm). Kí hiệu + là tập hợp các số thực dƣơng. Tìm tất cả hàm số f : ++ sao cho với mọi số thực dƣơng x,y thì f( x f ( y )) yf (1 xy ) . Bài 5 (3,0 điểm). Tìm tất cả các số nguyên dƣơng a và n cùng lớn hơn 1 sao cho an 1chia hết cho na . Bài 6 (3,0 điểm). Hình vuông DABCD có độ dài cạnh là 2023 đƣợc chia thành 20232 ô vuông đơn vị. Ta kí hiệu (m,n) là ô ở hàng thứ m và cột thứ n. Ngƣời ta tô tất cả các ô vuông đơn vị bởi hai màu xanh, đỏ sao cho hai ô khác nhau đối xứng qua đƣờng thẳng AC thì đƣợc tô khác màu. Gọi S là tập hợp các bộ ba số m,n,p đôi một khác nhau (không phân biệt thứ tự); m,n,p∈{1;2;3; ;2023} sao cho các ô (m,n), (n,p) và (p,m) có cùng màu. Kí hiệu |S| là số phần tử tập hợp S. a) Tồn tại hay không cách tô màu sao cho ||S|=0?
8. b) Chứng minh rằng: ||S | 12 2 2 1011 2 Cách 1: + Chứng minh f(x)>1 với mọi x 1 + Chứng minh f(x)=1/x với mọi x>1 + Chứng minh f(x)=1/x với mọi x thuộc R+ Cách 2: + Chứng minh đơn ánh + Chứng minh f(1)=1 + Tính 2 cách được f(f(x)/y + f(y))=f(1/y+f(xy)) + Chứng minh được f(x)=a/x + b suy ra f(x)=1/x với mọi x thuộc R+