Đề thi học sinh giỏi toán cấp huyện - Năm học 2008-2009 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi toán cấp huyện - Năm học 2008-2009 (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ THI VÒNG II (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm) Cho a, b, c Q; a, b, c đôi một khác nhau. 1 1 1 Chứng minh rằng bằng bình phương của một số a b 2 b c 2 c a 2 hữu tỷ. Bài 2: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 5 x + 2.5y + 5z = 4500 với x < y < z. x 2 4x 1 Bài 3: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = x 2 Bài 4: (2 điểm) Tìm một số có hai chữ số; biết rằng số đó chia hết cho 3 và nếu thêm số 0 vào giữa các chữ số rối cộng vào số mới tạo thành một số bằng hai lần chữ số hàng trăm của nó thì được một số lớn gấp 9 lần số phải tìm. Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có góc BAC = 20 0. Trên AC lấy điểm E sao cho góc EBC = 200. cho AB = AC = b, BC = a a) Tính CE. b) Chứng minh rằng a3 + b3 = 3ab2.
2. Hướng dẫn và thang điểm chấm Toán vòng 2 Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2008-2009 Bài 1: (2 điểm) 1 1 1 = a b 2 b c 2 c a 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2 . . . (1đ) a b b c c a a b b c b c c a c a a b 2 1 1 1 c a b c a b 2 (0.5đ) a b b c c a (a b)(b c)(c a) 2 1 1 1 = (0.5đ) a b b c c a Bài 2: (2 điểm) 5x + 2.5y + 5z = 4500 (*) 5x ( 1+ 2.5y-x + 5z-x ) = 4500 = 22 . 33 . 53 (0.5đ) 5x = 53 ; 1+ 2.5y-x + 5z-x = 36 = 1 + 35 (0.5đ) x = 3 ; 5y - x ( 2 + 5 z-y ) = 5 . 7 (0.25đ) x = 3 ; y – 3 = 1 ; 2 + 5 z-y = 7 = 2 + 5 (0.25đ) x = 3 ; y = 4 ; z – y = 1 (0.25đ) x = 3 ; y = 4 ; z = 5 thoả (*) (0.25đ) Bài 3: (2 điểm) 2 x 4x 1 4 1 A = = 1 (0.5đ) x 2 x x 2 4 1 = 3 4 (0.5đ) x x2 2 1 = 3 2 3 (0.5đ) x 1 1 Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi 2 0 x (0.5đ) x 2 Bài 4: (2 điểm) _ ___ __ Gọi số cần tìm là ab . Ta có: ab3 và a0b 2a 9ab (0.25đ) (a b)3 (a b)3 (0.5đ) 100a b 2a 9(10a b) 3a 2b Từ 3a 2b 2b3 mà (2,3) 1 b3 do (a b)3 a3 mà 3a2 a2 (0.5đ) __ Ta có a3,a2,(2,3) 1 a6,1 a 9 a 6 b 9 Vậy ab 69 (0.5đ)
3. Bài 5: (2 điểm) a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác BCE (hai tam giác cân có góc đỉnh bằng CE BC 200 và góc đáy bằng 800) nên (0.5đ) BC AB A 2 Và BE = BC = a, suy ra CE = a (0.5đ) b 1 1 b) Dựng AD  BE, suy ra BD = AB = b 2 2 ta có: AE2 = ED2 + AD2, AB2 = BD2 + AD2 do đó AB2 = BD2 + EA2 - DE2 (0.5đ) 2 2 2 2 2 b a b Thay vào ta được: b b a D 4 b 2 E b 2 a 4 b 2 = b 2 2a 2 a 2 ab B 4 b 2 4 C b 4 b 4 a 4 3a 2b 2 ab3 a 3 b3 3ab 2 (0.5đ)