Đề thi khảo sát học sinh giỏi lần 2 môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi khảo sát học sinh giỏi lần 2 môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

1. TRƯỜNG- THCS KỲ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LẦN 2 NĂM HỌC 2022-2023 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MễN: TOÁN 8 Thời gian: 150 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) (Đề gồm 01 trang) ĐỀ BÀI (ngày thi 23./12/2022) 3 x 9x2 3 x 3x 3x 4 Cõu 1: (4 điểm). Cho P 2 : 2 3 3 x x 9 3 x 3x x a) Tỡm điều kiện xỏc định và rỳt gọn biểu thức P . P b)Tỡm x thỏa món: 3P 19 5x . x c) Tỡm x Z để P nguyờn. 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 Cõu2(4điểm). 1 Giải phương trỡnh sau: 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x x y a b 2. Cho 2 2 2 2 . x y a b Chứng minh rằng với mọi số nguyờn dương n ta cú: xn + yn = an + bn .Cõu 3: ( 4 điểm). a) : Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiờn sao cho n 1 và 2n 1 đều là cỏc số chớnh phương thỡ n là bội số của 24. 2 b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiờn n thỡ phõn số 10n 9n 4 tối 20n2 20n 9 giản. Bài 4 : (6 điểm) Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của cạnh AD, BC. Đường chộo AC cắt đường chộo BD tại O và cỏc đoạn BE, DF lần lượt tại P, Q. a) Chứng minh rằng: P là trọng tõm của tam giỏc ABD. b) Chứng minh rằng: AP = PQ = QC. c) Lấy M bất kỳ thuộc đoạn DC. Gọi I, K theo thứ tự là cỏc điểm đối xứng của M qua tõm E, F. Chứng minh rằng I, K thuộc đường thẳng AB. d) Chứng minh: AI + AK khụng đổi khi M thuộc đường thẳng AB Cõu 5: (2 điểm). ) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của: A x x 1 x 3 x 4 x 6 10 Hết (Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm) Họ và tờn thớ sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .;, Số bỏo danh:. . .
2. KỲ THI HỌC SINH GIỎI LẦN 2 MễN TOÁN LỚP 8 ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MễN: Toỏn (Đỏp ỏn gồm 05 trang) Cõu Nội dung Điểm A 3 x 0 2 x 9 0 x 3 0,5 • Biểu thức P xỏc định 3 x 0 x 0 3x2 x3 0 4 x 3 3x 3x 4 0 Với điều kiện (*) ta cú: 3 x 9x2 3 x 3x 3x 4 P 2 : 2 3 3 x x 9 3 x 3x x 3 x 9x2 3 x x2 3 x 2  3 x 9 x 3 x 3x 3x 4 2 2 3 x 9x2 3 x x 3 x  0,5 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 3x 4 1 4.0đ 9 6x x2 9x2 9 6x x2 x 3 x  3 x 3 x 3 3x 4 3x 3x 4 x  0.5 3 x 3 3x 4 x2 x 3 x2 • Vậy P với x thỏa món ĐKXĐ (*). x 3 0,5
3. Cõu Nội dung Điểm x2 b/ Với P với x thỏa món ĐKXĐ (*) (trong cõu a) ta cú: x 3 P 3P 19 5x trở thành: x x2 0,25 x2 x 3 3 19 5x x x 3 x 3x2 19 5x x 3 0,25 0 x 3 x 3 x 3 x 3x2 19x 57 5x2 15x 0 x 3 8x2 5x 57 0 5 57 x2 x 0 0,25 8 8 2 5 1849 x 16 256 5 1849 x 16 16 (thỏa món ĐKXĐ) 5 1849 0,25 x 16 16 5 1849 5 1849  Vậy x ;  16 16  x2 c)Với ĐKXĐ (*) thỡ P (theo cõu a). 0,25 x 3 x2 Để P  thỡ  x 3 0,25 Vỡ x  x2  và x 3  x2  x 3 Lại cú x2 x x 3 3 x 3 9 9 x 3 x 3 ệ 9 0,25 x 3 9; 3; 1;1;3;9
4. Cõu Nội dung Điểm x+3 -9 -3 -1 1 3 9 0,25 x -12 -6 -4 - 2 0 6 P -16 4 -16 4 0 4 Kết luận Nhận Nhận Nhận Nhận Nhận Nhận Vậy x 12; 6; 4; 2;0;6 thỡ P Â . 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 (2) x x x x 0,5 *Đk pt cú nghiệm là : x 0 2 2 1 2 1 2 1 1 2 (2) 8 x 4 x 2 x 2 x x 4 0,5 x x x x 2 1 2 1 2 2 8 x 8 x 2 x 4 x 4 16 x x 0,5 x 0 hay x 8 với đk x 0 . * Suy ra phương trỡnh đó cho cú nghiệm là x 8 0,5 2 4,0đ Từ x2 + y2 = a2 + b2 (x2 – a2) + (y2 – b2) = 0 (x – a)(x + a) + (y – b)(y + b) = 0 Bởi vỡ: x + y = a + b x – a = b – y, thế vào ta cú: 0,5 (b – y)(x + a) + (y – b)(y + b) = 0 (b – y)[(x + a) – (y + b)] = 0 b y 0 0,5 x a y b *Nếu b – y = 0 y b x an yn an bn x y b a x b *Nếu x + a = y + b x y a b y a 0,5 Do đú: xn + yn = bn + an = an + bn Vậy trong mọi trường hợp, ta cú: xn + yn = an + bn 0,5
5. Cõu Nội dung Điểm a) (2,0 điểm):* Đặt n 1 k 2 ,2n 1 m2 k,m N , khi đú m là số lẻ 0,5 m 2a 1 m2 4a a 1 1 m2 1 4a a 1 n 2a a 1 => n là số chẵn => n+1 lẻ => 2 2 k lẻ 0.5 Đặt k 2b 1 b N k 2 4b b 1 1 n 4b b 1 n8 (1) Mặt khỏc k 2 m2 3n 2  2 mod3 . Mặt khỏc k2 và m2 chia cho 3 3 dư 0 hoặc 1 0.5 (4,0đ) Nờn đề k 2 m2  2 mod3 k 2  1 mod3 và 0,5 m2  1 mod3 m2 k 2 3 Hay 2n 1 n 1 3 n3 (2) . Mà 8;3 1 n24 2 2 b)Gọi d là ƯCLN của 10n +9n+4 và 20n +20n+9 0,5 10n2 9n 4d 20n2 18n 8d 2n 1d 2 2 0,5 20n 20n 9d 20n 20n 9d => d là số tự nhiờn lẻ. *Mặt khỏc 2n+1d => 4n2 +4n +1 d => 20n2 +20n+5d=> 4d mà d lẻ nờn 0.5 d = 1. Vậy phõn số trờn tối giản. 0.5 4(6đ)
6. Cõu Nội dung Điểm a)Vỡ ABCD là hỡnh bỡnh hành nờn hai đường chộo AC, BD cắt nhau tại O là 0,5 trung điểm của mỗi đường 0,5 Ta cú: AO, BE là trung tuyến của ABD Mà: AO cắt BE tại P nờn P là trọng tõm của ABD . 0,5 b) Theo cõu a) P là là trọng tõm của ABD 2 2 1 1 0,5 AP AO . AC AC 3 3 2 3 1 Tương tự, ta cú: CQ AC 3 1 0,5 Do đú: PQ = AC – AP – CQ = AC 3 Vậy AP = PQ = QC 0,5 c) Vỡ I đối xứng với M qua E nờn EI = EM 0.5 Ta cú: AE = ED, EI = EM AMDI là hỡnh bỡnh hành 0.5 AI // MD (1) Chứng minh tương tự, ta cú: BK // MC (2) 0,5 Từ (1), (2) và (3) suy ra I, A, B, K thẳng hàng hay I, K thuộc đường thẳng AB d) KMI cú E, F lần lượt là trung điểm của MI, MK EF là đường trung bỡnh của KMI 1 EF= KI KI = 2.EF 0,5 2 Suy ra AI + AK = IK = 2.EF (4) BF // AE và AF = AE Tứ giỏc ABFE là hỡnh bỡnh hành 0,5 EF = AB (5) Từ (4) và (5) suy ra: AI + AK = 2.AB khụng đổi khi M di động trờn cạnh 0,5 CD. 2 2 A x x 7x 6 x 7x 12 10 5 Đặt x2 7x 6 = t (2,0đ) 0,5 A t t t 6 10 t 2 6t 9 1 t 3 2 1 1 0,5 A t Min 1 đạt được khi t = -3 A 1 đạt được khi x2 7x 6 = -3 x Min 0,5 7 13 7 13 x2 - 7x + 9 = 0 x = ; x = 2 2 0.5
7. Chỳ ý: 1. Thớ sinh cú thể làm bài bằng cỏch khỏc, nếu đỳng vẫn được điểm tối đa. 2. Nếu thớ sinh chứng minh bài hỡnh mà khụng vẽ hỡnh thỡ khụng chấm điểm bài hỡnh.