Đề thi tham khảo THPT Quốc gia môn Toán năm 2020 - Bộ giáo dục và đào tạo (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tham khảo THPT Quốc gia môn Toán năm 2020 - Bộ giáo dục và đào tạo (Có đáp án)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2020 ĐỀ THI THAM KHẢO Bài thi: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề . Câu 1. Từ một nhóm học sinh gồm 6 nam và 8 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh? A. 14.B. 18.C. 6.D. 8. Câu 2. Cho cấp số nhân un với u1 2 và u 2 6 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng 1 A. 3.B. .C. 4.D. . 4 3 Câu 3. Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng 1 A. 4 rl .B. .C. .D2. rl . rl rl 3 Câu 4. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; .B. .C. 1;0 . D. . 1;1 0;1 Câu 5. Cho khối lập phương có cạnh bằng 6. Thể tích của khối lập phương đã cho bằng A. 216.B. 18.C. 36.D. 72. Câu 6. Nghiệm của phương trình log3 2x 1 2 là 9 7 A. x 3 .B. .C. x .D .5 . x x 2 2 2 3 3 Câu 7. Nếu f x dx 2 và f x dx 1 thì f x dx bằng 1 2 1 A. 3 .B. .C. 1.D. 3. 1 Câu 8. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. 2.B. 3. C. 0.D. . 4 Câu 9. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? Trang 1
2. A. y x4 2x2 .B. y x4 . C2. x .Dy. x3 3x2 . y x3 3x2 2 Câu 10. Với a là số thực dương tùy ý, log2 a bằng 1 1 A. 2 log a .B. .C . log a .D. 2 .log a log a 2 2 2 2 2 2 Câu 11. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x cos x 6x là A. sin x 3x2 C .B. sin x 3x2 .C .C sin x .6Dx.2 C . sin x C Câu 12. Môđun của số phức 1 2i bằng A. 5.B. .C. .D. 3. 3 5 Câu 13. Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M 2; 2;1 trên mặt phẳng Oxy có tọa độ là A. 2;0;1 .B. .C. 2; 2;0 .D. . 0; 2;1 0;0;1 Câu 14. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 3 2 16 . Tâm của (S) có tọa độ là A. 1; 2; 3 .B. .1C;2. ;3 .D. 1;2 . ; 3 1; 2;3 Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng :3x 2y 4z 1 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ?     A. n2 3;2;4 .B. n3 2 .;C .4 ;1 n .D1 . 3; 4;1 . n4 3;2; 4 x 1 y 2 z 1 Câu 16. Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d : ? 1 3 3 A. P 1;2;1 .B. Q 1 .;C . 2; 1 .D. N 1;3;2 M 1;2;1 Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a (minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng A. 45 .B. .C. .D. 30 . 60 90 Câu 18. Cho hàm số f x , bảng xét dấu của f x như sau: Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 0.B. 2.C. 1.D. 3. Câu 19. Giá trị lớn nhất của hàm số f x x4 12x2 1 trên đoạn  1;2 bằng A. 1.B. 37.C. 33.D. 12. Trang 2
3. Câu 20. Xét tất cả các số dương a và b thỏa mãn log2 a log8 ab . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a b2 .B. .C. a3 . Db. . a b a2 b 2 Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình 5x 1 5x x 9 là A.  2;4 .B. .C.  4;2 .D. ; 24; . ; 42; Câu 22. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng qua trục, thiết diện thu được là một hình vuông. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 18 .B. .C. .D3. 6 . 54 27 Câu 23. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thực của phương trình 3 f x 2 0 là A. 2.B. 0.C. 3.D. 1. x 2 Câu 24. Họ tất cả các nguyên hàm của hs f x trên khoảng 1; là x 1 A. x 3ln x 1 C .B. . x 3ln x 1 C 3 3 C. x C .D. . x C x 1 2 x 1 2 Câu 25. Để dự báo dân số của một quốc gia, người ta sử dụng công thức S Aenr ; trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tích, S là dân số sau n năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Năm 2017, dân số Việt Nam là 93.671.600 người (Tổng cục Thống kê, Niên giám thống kê 2017, Nhà xuất bản Thống kê, Tr. 79). Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi là 0,81%, dự báo dân số Việt Nam năm 2035 là bao nhiêu người (kết quả làm tròn đến chữ số hàng trăm)? A. 109.256.100.B. 108.374.700.C. 107.500.500.D. 108.311.100 Câu 26. Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A B C D có đáy là hai hình thoi cạnh a, BD 3a và AA 4a (minh họa như hình bên). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng A. 2 3a3 .B. . 4 3a3 2 3a2 4 3a3 C. .D. . 3 3 5x2 4x 1 Câu 27. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y là x2 1 A. 0.B. 1.C. 2.D. 3 Trang 3
4. Câu 28. Cho hàm số y ax3 3x d a,d ¡ có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a 0;d 0 .B. a .0;d 0 C. a 0;d 0 .D. a .0;d 0 Câu 29. Diện tích phần hình phẳng được gạch chép trong hình bên bằng 2 2 A. 2x2 2x 4 dx .B. . 2x2 2x 4 dx 1 1 2 2 C. 2x2 2x 4 dx .D. . 2x2 2x 4 dx 1 1 Câu 30. Cho hai số phức z1 3 i và z2 1 i . Phần ảo của số phức z1 z2 bằng A. 2 .B. .C. 2.D. . 2i 2i Câu 31. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z 1 2i 2 là điểm nào dưới đây? A. P 3;4 .B. .C.Q 5;4 .D. .N 4; 3 M 4;5 Câu 32. Trong không gian Oxyz, cho các vectơ a 1;0;3 và b 2;2;5 . Tích vô hướng a. a b bằng A. 25.B. 23.C. 27.D. 29. Câu 33. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S có tâm là điểm I 0;0; 3 và đi qua điểm M 4;0;0 . Phương trình của S là A. x2 y2 z 3 2 25 .B. .x2 y2 z 3 2 5 C. x2 y2 z 3 2 25 .D. .x2 y2 z 3 2 5 Câu 34. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm M 1;1; 1 và vuông góc với đường thẳng x 1 y 2 z 1 : có phương trình là 2 2 1 A. 2x 2y z 3 0 .B. x 2y z 0 .C. 2x 2y z . D3. 0 x 2y z . 2 0 Câu 35. Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm M 2;3; 1 và N 4;5;3 ?     A. u4 1;1;1 .B. u3 .C 1. ;1;2 .D. u1 3;4;1 . u2 3;4;2 Câu 36. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là chẵn bằng 41 4 1 16 A. .B. .C. .D. 81 9 2 81 Trang 4
5. Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AB 2a , AD DC CB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 3a (minh họa như hình bên). Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM bằng 3a 3a A. .B. . 4 2 3 13a 6 13a C. .D. . 13 13 x 8 Câu 38. Cho hàm số f x có f 3 3 và f x , x 0 . Khi đó f x dx bằng x 1 x 1 3 197 29 181 A. 7.B. .C. .D. . 6 2 6 mx 4 Câu 39. Cho hàm số f x (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã x m cho đồng biến trên khoảng 0; ? A. 5.B. 4.C. 3.D. 2. Câu 40. Cho hình nón có chiều cao bằng 2 5 . Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều có diện tích bằng 9 3 . Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng 32 5 A. .B. .C. 32 .D. . 32 5 96 3 x Câu 41. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn log x log y log 2x y . Giá trị của bằng 9 6 4 y 1 3 A. 2.B. .C. .D. . log2 log 3 2 2 2 2 Câu 42. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số f x x3 3x m trên đoạn 0;3 bằng 16. Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 16 .B. 16.C. .D. . 12 2 2 Câu 43. Cho phương trình log2 2x m 2 log2 x m 2 0 (m là tham số thực). Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1;2 . A. 1;2 .B. .C. .D. 1;2 . 1;2 2; Câu 44. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ . Biết cos 2x là một nguyên hàm của hàm số f x ex , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x ex là A. sin 2x cos 2x C .B. 2sin 2x cos 2x C .C. 2sin 2x cos 2x .CD. 2sin 2x cos 2x .C Trang 5
6. Câu 45. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thuộc đoạn  ;2  của phương trình 2 f sin x 3 0 là A. 4.B. 6.C. 3.D. 8 Câu 46. Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số g x f x3 3x2 là A. 5.B. 3. C. 7.D. 11. y Câu 47. Có bao nhiêu cặp số nguyên x; y thỏa mãn 0 x 2000 và log3 3x 3 x 2y 9 ? A. 2019.B. 6.C. 2020.D. 4. Câu 48. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn xf x3 f 1 x2 x10 x6 2x,x ¡ . Khi 0 đó f x dx bằng 1 17 13 17 A. .B. .C. .D. . 1 20 4 4 Câu 49. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB a, S· BA S· CA 90 , góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC bằng 60 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng a3 a3 a3 A. a3 .B. .C. .D. . 3 2 6 Câu 50. Cho hàm số f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình bên. Hàm số g x f 1 2x x2 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 3 1 A. 1; .B. . 0; 2 2 C. 2; 1 .D. . 2;3 Trang 6
7. ĐÁP ÁN 1-A 2-A 3-C 4-D 5-A 6-B 7-B 8-D 9-A 10-C 11-A 12-C 13-B 14-D 15-D 16-A 17-B 18-B 19-C 20-D 21-A 22-B 23-C 24-A 25-B 26-A 27-C 28-D 29-A 30-C 31-D 32-B 33-A 34-C 35-B 36-A 37-A 38-B 39-D 40-A 41-B 42-A 43-C 44-B 45-B 46-C 47-D 48-A 49-D 50-A LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án A Số cách chọn 1 học sinh từ 14 học sinh là 14. Câu 2: Đáp án A Áp dụng công thức: un 1 un .q . u2 6 Ta có: u2 u1.q q 3 . u1 2 Câu 3: Đáp án C Áp dụng công thức diện tích xung quanh hình nón Sxq rl . Câu 4: Đáp án D Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ; 1 và 0;1 . Câu 5: Đáp án A Thể tích của khối lập phương có công thức V 63 216 . Câu 6: Đáp án B 2 log3 2x 1 2 2x 1 3 x 5 Câu 7: Đáp án B 3 2 3 Ta có: f x dx f x dx f x dx 2 1 1 1 1 2 Câu 8: Đáp án D Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là y 4 tại x 3 . Câu 9: Đáp án A Nhìn vào đồ thị ta thấy đây không thể là đồ thị của hàm số bậc 3 => Loại C, D. Khi x thì y => Loại B. Câu 10: Đáp án C 2 Ta có: log2 a 2log2 a 0 Câu 11: Đáp án A Ta có: f x dx cos x 6x dx cos x dx 3 2x dx sin x 3x2 C Trang 7
8. Câu 12: Đáp án C Ta có: 1 2i 12 22 5 Câu 13: Đáp án B Hình chiếu vuông góc của điểm M 2; 2;1 trên mặt phẳng Oxy có tọa độ là M 2; 2;0 . Câu 14: Đáp án D Tâm của S có tọa độ là I 1; 2;3 . Câu 15: Đáp án D  Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng :3x 2y 4z 1 0 là n4 3;2; 4 . Câu 16: Đáp án A Theo phương trình đường thẳng, đường thẳng d đi qua điểm P 1;2;1 . Câu 17: Đáp án B SA  ABCD Ta có A là hình chiếu vuông góc của S trên ABCD . Suy ra AC là hình chiếu vuông A ABCD góc của SC trên ABCD . Khi đó, ·SC, ABCD ·SC, AC S· CA . SA a 2 1 Xét tam giác SAC vuông tại A, tan S· CA S· CA 30 . AC a 3. 2 3 Câu 18: Đáp án B Dựa vào bảng xét dấu f x ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm x 1 và đạt cực tiểu tại điểm x .1 Vậy hàm số có hai điểm cực trị. Câu 19: Đáp án C Ta có f x 4x3 24x . x 0  1;2 f x 0 4x3 24x 0 x 6  1;2 . x 6  1;2 f 1 12, f 2 33, f 0 1. Trang 8
9. Vậy max f x f 2 33 .  1;2 Câu 20: Đáp án D 1 log a log ab log a log ab 2 8 2 3 2 3 3 2 3log2 a log2 ab log2 a log2 ab a ab a b . Câu 21: Đáp án A 2 5x 1 5x x 9 x 1 x2 x 9 x2 2x 8 0 2 x 4 Câu 22: Đáp án B A B D C Thiết diện qua trục là hình vuông ABCD . Theo đề bán kính đáy là r 3 nên l BC 2r 6 . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là Sxq 2 rl 2 .3.6 36 . Câu 23: Đáp án C 2 Ta có 3 f x 2 0 f x . Số nghiệm của phương trình chính là số hoành độ giao điểm của đồ thị 3 2 hàm số y f x và đường thằng y (song song với trục hoành). Từ bảng biến thiên ta thấy phương 3 trình có 3 nghiệm thực phân biệt. Câu 24: Đáp án A Ta có: x 2 x 1 3 3 f x dx dx dx 1 dx x 3.ln x 1 C x 3.ln x 1 C x 1 x 1 x 1 (Do x 1; nên x 1 0 suy ra x 1 x 1 ). Câu 25: Đáp án B Áp dụng công thức S A.eNr Dân số Việt Nam năm 2035 là S 93.671.600.e18.0,81% 108.374.741 . Câu 26: Đáp án A Trang 9
10. 1 a 3 Gọi O AC  BD . Ta có: BO BD . 2 2 2 2 2 2 a 3 a Xét tam giác vuông ABO ta có: AO AB BO a AC a . 2 2 1 1 a2 3 Diện tích hình thoi ABCD là S AC.BD a.a 3 . ABCD 2 2 2 a2 3 Thể tích khối lăng trụ ABCD.A B C D là V S .AA .4a 2 3a3 . ABCD 2 Câu 27: Đáp án C Tập xác định: D ¡ \ 1;1 . 5x2 4x 1 (x 1)(5x 1) 5x 1 Ta có: y x2 1 (x 1)(x 1) x 1 5x 1 Suy ra: lim y lim 5 x x x 1 5x 1 lim y lim 5 x x x 1 5x 1 lim y lim x 1 x 1 x 1 5x 1 lim y lim x 1 x 1 x 1 Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cân đứng là x 1 và 1 tiệm cận ngang là y 5 . Câu 28: Đáp án D + Dựa vào dạng đồ thị ta thấy: a 0 . + Với x 0 ta có: y 0 d 0 . Câu 29: Đáp án A Từ hình vẽ ta thấy ,hình phằng được gạch chéo là giới hạn bởi 2 hàm số y x2 2 và y x2 2x 2 2 2 2 2 2 nên diện tích là x 2 - x 2x 2 dx 2x 2x 4 dx. 1 1 Câu 30: Đáp án C Trang 10
11. Từ z2 1 i suy raz2 1 i . Do đó z1 z2 3 i 1 i 2 2i . Vậy phần ảo của số phức z1 z2 là 2. Câu 31: Đáp án D Theo bài ta có, z 1 2i 2 hay z 1 4i 4i2 3 4i . Vậy điểm biểu diễn số phức z 1 2i 2 trên mặt phẳng tọa độ là điểm P 3; 4 . Câu 32: Đáp án B Từ bài toán ta có a b 1 2 ; 0 2; 3 5 hay a b 1; 2; 8 . Do đó a. a b 1. 1 0.2 3.8 23 . Vậy a. a b 23 . Câu 33: Đáp án A Do mặt cầu S có tâm I 0; 0; 3 và đi qua điểm M 4; 0; 0 nên bán kính mặt cầu S là R IM 4 0 2 0 0 2 0 3 2 5 . Vậy phương trình mặt cầu S là x2 y2 z 3 2 25 . Câu 34: Đáp án C Đường thẳng có vectơ chỉ phương a 2;2;1 . Vì mặt phẳng cần tìm vuông góc với nên nó nhận a 2;2;1 làm vectơ pháp tuyến. Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 2 x 1 2 y 1 z 1 0 2x 2y z 3 0 . Câu 35: Đáp án B  MN 2;2;4 2 1;1;2 . Đường thẳng đi qua hai điểm M 2;3; 1 và N 4;5;3 có một vectơ chỉ phương là u 1;1;2 Câu 36: Đáp án A Gọi A là biến cố: “ Số được chọn có tổng các chữ số là chẵn ”. 2 Ta có  9.A9 648 . Vì số được chọn có tổng các chữ số là chẵn nên có 2 trường hợp: TH1: Cả 3 chữ số đều chẵn. * Có mặt chữ số 0 2 2 Chọn 2 chữ số chẵn còn lại có C4 , => có 3! 2 C4 24 số. * Không có mặt chữ số 0 3 3 Chọn 3 chữ số chẵn có C4 , => có 3!C4 24 số. Trang 11
12. TH2: Có 2 chữ số lẻ và 1 chữ số chẵn. * Có mặt chữ số 0 2 2 Chọn 2 chữ số lẻ có C5 , => có 3! 2 C5 40 số. * Không có mặt chữ số 0 2 2 Chọn 2 chữ số lẻ có C5 , chọn 1 chữ số chẵn có 4, => có 3!4.C5 240 số.  A 24 24 40 240 328 . 328 41 Vậy P A . 648 81 Câu 37: Đáp án A S H M A B D C 1 Ta có BCDM là hình bình hành (vì CD song song và bằng BM) nên DM BC AB suy ra tam giác 2 ADB vuông tại D. Tương tự tam giác ACB vuông tại C. 1 Vì DM //CB DM // SBC d DM , SB d DM , SBC d M , SBC d A, SBC 2 BC  AC Ta có BC  SAC SBC  SAC , do đó gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SC BC  SA thì AH  SBC d A, BC AH . 1 1 1 1 1 4 3a Trong tam giác vuông SAC ta có AH AH 2 SA2 AC 2 9a2 3a2 9a2 2 3a Vậy.d SB, DM 4 Câu 38: Đáp án B x Ta có f x f ' x dx dx x 1 x 1 x x 1 x 1 1 dx= 1+ dx x 2 x 1 C 2 x 1 x 1 x 1 Ta có f 3 3 C 4 suy ra f x x 2 x 1 4 . 8 8 197 Khi đó f x dx x 2 x 1 4 dx . 3 3 6 Trang 12
13. Câu 39: Đáp án D Tập xác đinh của hàm số: D ¡ \m 4 m2 f x . x m 2 f x 0 4 m2 0 2 m 2 Để hàm số đồng biến trên 0; 2 m 0 m 0 m 0 m 0 Do m nhận giá trị nguyên nên m  1;0 . Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán. Câu 40: Đáp án A Mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác đều SAB . Gọi H là trung điểm của AB ta có SH  AB và OH  AB . Theo đề bài ta có: h SO 2 5 . 1 AB 3 S AB.SH 9 3 , mà SH . SAB 2 2 1 AB 3 S AB. 9 3 . SAB 2 2 AB2 3 9 3 AB2 36 AB 6 AB 0 . 4 SA SB AB 6 . SOA vuông tại O ta có: SA2 OA2 SO2 OA2 SA2 SO2 16 . r OA 4 OA 0 . 1 1 32 5 V r 2h .42.2 5 . 3 3 3 Câu 41: Đáp án B x 9t t t t t Giả sử log9 x log6 y log4 (2x y) t . Suy ra: y 6 2.9 6 4 t 2x y 4 Trang 13
14. t 3 t 1 (loai) 9 3 2 2. t 1 0 . t 4 2 3 1 2 2 t x 9t 3 1 Ta có : t . y 6 2 2 Câu 42: Đáp án A Cách 1 : Xét u x3 3x m trên đoạn 0;3 có u 0 3x2 3 0 x 1 0;3 . max u maxu 0 ,u 1 ,u 3  maxm,m 2,m 18 m 18 0;3 Khi đó . min u minu 0 ,u 1 ,u 3  minm,m 2,m 18 m 2 0;3 m 18 16 m 18 m 2 m 2 Suy ra M ax f x max m 2 , m 18 16 . 0;3 m 2 16 m 14 m 2 m 18 Do đó tổng tất cả các phần tử của S bằng 16 . Cách 2 : Xét hàm số g x x3 3x m, x 0;3 , ta có g x 3x2 3; g x 0 x 1 . Ta có bảng biến thiên hàm số y g x : Từ bảng biến thiên ta suy ra : Nếu : m 8 thì Max f x m 18 , do đó Max f x 16 m 18 16 m 2 0;3 0;3 Nếu : m 8 thì Max f x 2 m , do đó Max f x 16 2 m 16 m 14 0;3 0;3 Vậy S  14; 2 . Tổng các phần tử của S bằng 16 . Câu 43: Đáp án C Điều kiện: x 0 . 2 pt 1 log2 x m 2 log2 x m 2 0 Trang 14
15. 2 log2 x 1 log2 x mlog2 x m 1 0 log2 x m 1 Ta có: x 1;2 log2 x 0;1 . Vậy để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1;2 khi và chỉ khi 0 m 1 1 1 m 2 . Câu 44: Đáp án B Theo đề bài cos 2x là một nguyên hàm của hàm số f (x)ex ta suy ra: 2sin 2x cos 2x ' f (x)ex 2sin 2x f (x)ex f (x) . ex 4ex cos 2x 2ex sin 2x 4cos 2x 2sin 2x f '(x) 2 x . ex e f '(x).ex 4cos 2x 2sin 2x Vậy f '(x)exdx ( 4cos 2x 2sin 2x)dx 2sin 2x cos 2x C . Câu 45: Đáp án B sin x a1 ; 1 1 3 sin x a 1;0 2 Ta có 2 f sin x 3 0 f sin x 2 2 sin x a 0;1 3 3 sin x a4 1; 4 Các phương trình (1) và (4) đều vô nghiệm. Xét đồ thị hàm số y sin x trên  ;2  Ta thấy phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt và phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt đồng thời trong số chúng không có 2 nghiệm nào trùng nhau. Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn  ;2  . Câu 46: Đáp án C Do y f x là hàm số bậc bốn nên là hàm số liên tục và có đạo hàm luôn xác định tại x ¡ . Trang 15
16. x x1 2;0 Theo đồ thị hàm số ta có được f x 0 x x2 0;4 . x x3 4;6 x 0 x 2 3x2 6x 0 2 3 2 3 2 Mặt khác g x 3x 6x f x 3x nên g x 0 x 3x x1 . f x3 3x2 0 3 2 x 3x x2 3 2 x 3x x3 Xét hàm số h x x3 3x2 trên ¡ . 2 x 0 Ta có, h x 3x 6x, h x 0 , từ đó ta có BBT của y h x như sau x 2 3 2 Từ BBT của hàm số h x x 3x nên ta có h x x1 có đúng một nghiệm, h x x2 có đúng 3 nghiệm, h x x3 có đúng một nghiệm phân biệt và các nghiệm này đều khác 0 và 2 . Vì thế phương trình g x 0 có đúng bảy nghiệm phân biệt và đều là các nghiệm đơn nên hàm số y g x có 7 cực trị. Câu 47: Đáp án D y y + Ta có: log3 3x 3 x 2y 9 1 log3 x 1 x 2y 9 1 . t t + Đặt t log3 x 1 . Suy ra: x 1 3 x 3 1 . Khi đó: 1 t 3t 2y 32 y 2 . Xét hàm số: f h h 3h , ta có: f h 1 3h.ln 3 0h ¡ nên hàm số f h đồng biến trên ¡ . 2 y y Do đó: 2 f t f 2y t 2y log3 x 1 2y x 1 3 x 1 9 . y + Do 0 x 2020 nên 1 x 1 2021 1 9 2021 0 y log9 2021 3,46 . Do y ¢ nên y 0;1;2;3 , với mỗi giá trị y cho ta 1 giá trị x thoả đề. Vậy có 4 cặp số nguyên x; y thoả đề. Câu 48: Đáp án A Cách 1: Tự Luận Ta có xf x3 f 1 x2 x10 x6 2x,x ¡ 1 Trang 16
17. x2 f x3 xf 1 x2 x11 x7 2x2 0 0 0 17 x2 f x3 dx xf 1 x2 dx x11 x7 2x2 dx 1 1 1 24 0 1 Xét I x2 f x3 dx đặt u x3 du 3x2dx du x2dx 1 1 3 x 1 u 1 Đổi cận: x 0 u 0 1 0 1 0 I f u du f x dx 1 3 1 3 1 0 1 Xét I xf 1 x2 dx đặt u 1 x2 du 2xdx du xdx 2 1 2 x 1 u 0 Đổi cận: x 0 u 1 1 1 1 1 I f u du f x dx 2 2 0 2 0 1 0 1 1 17 f x dx f x dx 2 3 1 2 0 24 Trong (1) thay x bởi –x ta được: xf x3 f 1 x2 x10 x6 2x, 3 Lấy (1) trừ (3) ta được: xf x3 xf x3 4x x2 f x3 x2 f x3 4x2 0 0 0 4 x2 f x3 dx x2 f x3 dx 4x2dx 1 1 1 3 1 0 1 1 4 f x dx f x dx 4 3 1 3 0 3 0 13 Từ (2) và (4) suy ra f x dx . 1 4 Cách 2: Trắc nghiệm có thể chọn hàm: f (x) x3 3x 2 Câu 49: Đáp án D Trang 17
18. Gọi H là hình chiếu của S lên ABC . Theo bài ra, ta có HC  CA, HB  BA ABHC là hình vuông cạnh a. Gọi O HA BC , E là hình chiếu của O lên SA. Ta dễ dàng chứng minh được EC  SA, EB  SA . Từ đó, ta được: góc giữa SAC và SAB là góc giữa EB và EC . Vì C· AB 900 nên B· EC 900 B· EC 1200. Ta dễ dàng chỉ ra được O· EB O· EC 600 . AO.SH xa 2 Đặt SH x SA x2 2a2 OE . SA 2 x2 2a2 OC a 2 xa 2 tan 600 : 3 x a . OE 2 2 x2 2a2 1 1 1 a3 Vậy V V . .a.a2 . S.ABC 2 S.HBAC 2 3 6 Cách 2: Dùng tọa độ Câu 50: Đáp án A Cách 1: Ta có: g x f 1 2x x2 x g x 2 f 1 2x 2x 1 . 1 2x Hàm số nghịch biến g x 0 f 1 2x . 2 t Xét sự tương giao của đồ thị hàm số y f t và y . 2 Trang 18
19. t 2 t 0 Dựa vào đồ thị ta có: f t . 2 t 4 1 3 x 2 1 2x 0 2 2 Khi đó: g ' x 0 . 1 2x 4 3 x 2 Cách 2: Ta có: g x f 1 2x x2 x g x 2 f 1 2x 2x 1 . 1 2x g x 0 f ' 1 2x . 2 t Xét sự tương giao của đồ thị hàm số y f t và y . 2 3 x 2 t 2 1 2x 2 t 1 Từ đồ thị ta có: f ' t t 0 . Khi đó: g x 0 1 2x 0 x . 2 2 t 4 1 2x 4 3 x 2 Ta có bảng xét dấu: 3 1 3 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy: hàm số nghịch biến trên các khoảng ; và ; . 2 2 2 Trang 19