Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Mã đề: 001 - Năm học 2021 - Sở giáo dục và đào tạo Ninh Bình

24 trang hangtran11 11/03/2022 2390

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Mã đề: 001 - Năm học 2021 - Sở giáo dục và đào tạo Ninh Bình", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

de_thi_thu_tot_nghiep_thpt_mon_toan_ma_de_001_nam_2021_so_gi.pdf

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Mã đề: 001 - Năm học 2021 - Sở giáo dục và đào tạo Ninh Bình

SỞ GDĐT NINH BÌNH ĐỀ THI THỬ KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2021 (LẦN 2) ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN (Đề thi gồm có 50 câu, 06 trang) Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Họ và tên thí sinh: Mã đề thi 001 Số báo danh: Câu 1. Phương trình z2 − 2z + 2 = 0 có các nghiệm phức z , z . Tính F = |z | + |z |. √ 1 2 1 2 √ A. F = 1. B. F = 2 2. C. F = 2. D. F = 2. Câu 2. Nghiệm của phương trình log2 (4 − x) = 1 là A. x = 3. B. x = 2. C. x = 1. D. x = −2. Câu 3. Có bao nhiêu cách xếp 6 bạn nam và 4 bạn nữ vào 10 ghế kê thành hàng ngang? A. 6! · 4!. B. 6! + 4!. C. 10!. D. 88400. Câu 4. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên? y A. y = 2x4 − 4x2 + 1. B. y = −2x4 + 4x2 + 1. C. y = 2x3 − 3x + 1. D. y = −2x3 + 3x + 1. O x √ x x3 Câu 5. Với x là số thực dương tùy ý, √ bằng 3 x 7 5 11 13 A. x 6 . B. x 6 . C. x 6 . D. x 6 . Câu 6. Đồ thị hàm số nào sau đây cắt trục tung tại điểm có tung độ âm? 4x + 1 3x + 4 −2x + 3 2x − 3 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . x + 2 x − 1 x + 1 x − 1 Câu 7. Cho số phức z = 3 + 2i. Giá trị của zz bằng √ A. 9. B. 13. C. 13. D. 5. Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2 − sin x là A. 3x3 − cos x + C. B. x3 + cos x + C. C. 3x3 + cos x + C. D. x3 − cos x + C. Câu 9. Biết điểm biểu diễn của hai số phức z1 và z2 lần lượt là các điểm M và N y −1 O 3 như hình vẽ. Số phức z1 + z2 có phần ảo bằng x A. −1. B. 1. −1 M C. 2 . D. −4. −3 N Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d song song với trục Oy. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là −→ −→ A. u 1 = (2021; 0; 0). B. u 3 = (0; 0; 2021). −→ −→ C. u 2 = (0; 2021; 0). D. u 4 = (2021; 0; 2021). Câu 11. Đạo hàm của hàm số y = e2x là e2x A. y0 = . B. y0 = 2.e2x. C. y0 = 2x.e2x−1. D. y0 = e2x ln 2 . 2 Trang 1− Mã đề 001
Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x − 2)2 + (y + 1)2 + (z − 3)2 = 16. Tâm I và bán kính R của mặt cầu là A. I(2; −1; 3); R = 16. B. I(−2; 1; −3); R = 4. C. I(2; −1; 3); R = 4. D. I(−2; 1; −3); R = 16. Câu 13. Tìm |z| biết z = −3 − i . √ √ A. |z| = 5. B. |z| = 4. C. |z| = 2. D. |z| = 10. 2 Z Câu 14. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 2], f(0) = 1 và f 0(x) dx = −3. 0 Tính f(2). A. f(2) = −4. B. f(2) = 4. C. f(2) = −2. D. f(2) = −3. Câu 15. Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y = f(x) y đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 2 A. (−∞; 0). B. (−2; 2). C. (0; 2). D. (2; +∞). −1 O 2 x −2 Câu 16. Thể tích khối cầu có bán kính bằng 6 là A. 48π. B. 288π. C. 36π. D. 144π. −→ −→ Câu 17. Trong không gian Oxyz, cho vectơ −→a = −3 j + 4 k . Tọa độ của vectơ −→a là A. (0; −4; 3). B. (0; 3; 4). C. (0; −3; 4). D. (−3; 0; 4). Câu 18. Một khối chóp đáy là hình vuông có cạnh bằng 5 và chiều cao của hình chóp bằng 6. Thể tích của khối chóp đó bằng A. 150. B. 10. C. 50. D. 30. 2 Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trình log2 (x − 4x) ≤ log2 (5x) là A. (4; 9]. B. [9; +∞). C. (0; 9]. D. [0; 9]. Câu 20. Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Xác suất để trong 4 học sinh được chọn luôn có học sinh nữ là 1 1 209 13 A. . B. . C. . D. . 14 210 210 14 1 Câu 21. Cho hàm số f(x) = 2e2x−1 + . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? x Z 1 Z 1 A. f(x) dx = e2x−1 − + C. B. f(x) dx = 4e2x−1 − + C. x2 x2 Z Z C. f(x) dx = 2e2x−1 + ln |x| + C. D. f(x) dx = e2x−1 + ln |x| + C. Câu 22. Trong không gian Oxyz, cho điểm I(2; 1; 1) và mặt phẳng (P ): 2x−y +2z +1 = 0. Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P ) là A. (x + 2)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 2. B. (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 4. C. (x + 2)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 4. D. (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 2. Trang 2− Mã đề 001
Câu 23. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P ) cắt ba trục tọa độ tại ba điểm phân biệt tạo thành một tam giác có trọng tâm G(3; 2; −1). Phương trình mặt phẳng (P ) là x y z x y z x y z x y z A. + − = 1. B. + + = 1. C. + + = 1. D. + − = 1. 3 2 1 9 6 3 3 2 1 9 6 3 x2 − 1 Câu 24. Đồ thị của hàm số y = có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 3 − 2x − 5x2 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. x x+1 Câu 25. Xét phương trình 4 − 3 · 2 + 8 = 0. Biết phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Giá trị của biểu thức x1 + x2 bằng A. 3. B. 2. C. 6. D. 8. Câu 26. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x3 − 8x2 + 16x − 9 trên đoạn [1; 3]. 13 A. max f(x) = . B. max f(x) = 0. C. max f(x) = 5. D. max f(x) = −6. [1;3] 27 [1;3] [1;3] [1;3] Câu 27. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau x −∞ 0 3 +∞ f 0(x) − − 0 + 1 2 3 f(x) −∞ −3 Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. 3 Z 1 √ Câu 28. Xét tích phân I = √ dx . Với phép đặt t = x + 1 tích phân đã cho có dạng x + 1 0 2 2 2 2 4 Z Z dt Z Z dt A. I = t dt. B. I = 2 . C. I = 2 dt. D. I = . 3 t t 1 1 1 1 Câu 29. 0 0 0 Cho lăng trụ đều ABC.A B C đáy là tam giác ABC có cạnh bằng a. Biết A0 C0 0 ◦ AB tạo với mặt phẳng (ABC) một góc có số đo bằng 60 . Thể tích khối lăng B0 trụ đã cho√ bằng √ 3 3a3 3a3 3a3 a3 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 A C B Câu 30. Cho cấp số cộng (un) có số hạng tổng quát là un = 3n − 2. Tìm công sai d của cấp số cộng đó. A. d = −3. B. d = 3. C. d = 2. D. d = −2. 2 Câu 31. Tập xác định của hàm số y = log3 (5 + 4x − x ) là A. [−1; 5]. B. (−1; 5). C. R \ {−1; 5}. D. (−5; 1). √ Câu 32. Cho khối nón có độ dài đường sinh và chiều cao lần lượt là ` = 2a, h = 3a, thể tích khối nón bằng Trang 3− Mã đề 001
√ √ πa3 2 πa3 3 2πa3 πa3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 33. Trong các hàm số sau, hàm số nào có 3 điểm cực trị? x + 1 A. y = . B. y = x4 − 2x2 − 3. x + 2 C. y = x4 + 2x2 − 3. D. y = x3 − x2 − 3x + 1. Câu 34. Cho√ hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC = a, SA ⊥ (ABC) a 6 và SA = . Số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 2 A. 30◦. B. 75◦. C. 45◦. D. 60◦. x − 1 y − 2 z + 1 Câu 35. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: = = và mặt phẳng 2 3 −1 (α): x − 2y + z − 1 = 0. Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α) là A. (−9; −13; 4). B. (3; 5; −2). C. (−1; −1; 0). D. (1; 2; −1). Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông √ S cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 (hình bên). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc K của A trên SB, SD. Số đo của góc tạo bởi mặt phẳng H (AHK) và (ABCD) bằng A D A. 90◦ . B. 30◦. C. 60◦. D. 45◦ . B C Câu 37. Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ. y Xét hàm số g(x) = f(2x3 +x−1)+m. Tìm m để max g(x) = −10. 3 [0;1] A. m = 3. B. m = −13. C. m = −1. D. m = −9. 1 −2 1 −1O 2 x −1 Câu 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Khoảng cách giữa hai√ đường thẳng AC và SB bằng 2a a 6a a A. . B. . C. . D. . 3 2 2 3 x − 1 y z + 2 Câu 39. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng (P ): 2 1 −2 x − 2y + z − 1 = 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của α để tồn tại một mặt phẳng (Q) chứa d tạo với (P ) một góc α◦? A. 75. B. 76. C. 77. D. 74. 9 3 9 Z Z 16 Z Câu 40. Biết rằng f(x) dx = 37 và g (3x) dx = − . Khi đó I = [2f(x) + 3g(x)] dx có giá 3 0 0 0 trị là A. 58. B. 122. C. 26. D. 143. Trang 4− Mã đề 001
Câu 41. Một vật thể (H) có đáy dạng elip với trục lớn MN = 20, trục nhỏ PQ = 12. Biết rằng cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục lớn ta luôn được thiết diện là nửa lục giác đều. Tính thể tích V của vật thể (H). B C A N Q D P M √ √ √ √ A. V = 450 3. B. V = 360 3. C. V = 270 3. D. V = 180 3. √ 2z + 3 − i Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời |z − 1 + 2i| = 10 và là số thuần z − i ảo? A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. 2 Câu 43. Cho bất phương trình log2 x − mlog2x < 4 − 2m, với m là tham số. Gọi n là số nghiệm nguyên của bất phương trình. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m để n ∈ [1; 251]? A. 10. B. 6. C. 9. D. 3. Câu 44. Cho hàm số f(x) liên tục trên R có bảng biến thiên như hình vẽ x −∞ −1 0 4 +∞ y0 + 0 − 0 + 2021 +∞ y 2020 −∞ 2016 Số điểm cực trị của hàm số g(x) = |f(|x|) − 2019| là A. 5. B. 9. C. 3. D. 7.  ln 5 x2 + 1 khi x ≥ 2 Z Câu 45. Cho hàm số f(x) = . Tích phân I = e2xf 0 (ex) dx bằng 4x − 3 khi x < 2 0 A. 126. B. 84. C. 63. D. 42. Câu 46. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, mặt phẳng (SAB) S vuông góc với mặt phẳng (SBC), góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và √ (SBC) là 60◦, SB = a 2, BSC[ = 45◦. Thể tích khối chóp S.ABC theo a là √ √ 2a3 3 a3 2 A. V = . B. V = . C 15 √15 A √ 3a3 C. V = 2 2a3. D. V = . 5 B Trang 5− Mã đề 001
Câu 47. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 = 4. z Trên mặt cầu lấy ba đường tròn (O1), (O2), (O3) cùng bán kính 1 sao cho chúng đôi một tiếp xúc (có điểm chung duy nhất) như hình vẽ. Gọi O4(a; b; c) là tâm đường tròn bán kính nhỏ hơn 1, tiếp xúc với cả ba đường tròn trên. Nếu O1 thuộc tia Oz và O2 ∈ (xOz), O2 có hoành độ dương thì a + b + c gần nhất với giá trị nào sau đây y A. 3,25. B. 3,24. x C. 3,22. D. 3,23. Câu 48. Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị như hình vẽ. Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại bốn điểm phân biệt (như hình vẽ) với x2 = 2x1 . Gọi S1 là diện tích phần hình phẳng nằm dưới đường thẳng y = m, giới hạn bởi đường thẳng y = m và đồ thị hàm số đã cho; S2 là tổng diện tích hai hình phẳng nằm phía trên đường thẳng y = m, giới hạn bởi đường thẳng y = m và đồ thị S hàm số đã cho. Tính tỉ số 1 . S2 y S2 y = m O x1 x2 x S1 19 30 19 30 A. . B. . C. . D. . 8 11 11 19 Câu 49. Với các số phức z1, z2, z3 = iz2 thay đổi thỏa mãn |z1| = |z2| = 5 thì giá trị lớn nhất của b min |tz2 + (1 − t)z3 − z1| có dạng a + √ , ở đó a, b là các số nguyên dương, c là số nguyên tố. Giá t∈R c trị của a + b + c là A. 15. B. 12. C. 13. D. 14. Câu 50. Có tất cả bao nhiêu số nguyên a ∈ (−10; 10) sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn x−2 4 = log2 (x + a) + 2a + 5? A. 3. B. 9. C. 11. D. 8. HẾT Trang 6− Mã đề 001
Mã đề Câu 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 1 BDDCDCDCCAAAABCDDABDCCDD 2 BDDBAACBDCDBDADACBACCDCC 3 CBAAACCBAABCACBBDDADCAAB 4 BBADBCCCDBAACDABDCDCBCDB 5 DBACDDCACBADABABCBCBCBAB 6 BACDDDBBCDCBDABACDDDDCAB 7 CADABDCCDAADDDBCABBDDDCB 8 BBBCBCBCDDABBABAAABBABBC 9 DDCCABCADADBADDDDABAABBC 10CCADCBDBBBBACDABACADBAAB 11BAABACAABADCBADBADCCCDCC 12CCCADDADCCDDCDBCDCBDACBC 13DACBCABABADADBADAABABDCC 14CCACCDBDCADCBDDADCABDBDD 15CBCDCAADAADAADCADDBCCDDA 16BADAACBBCBAAADCBABCBACBB 17CBACDDCBCADACACCDBBDCDDA 18CCCBBDBCDBCAAADADBBDBBAD 19AAACCDAACDBBADBBBBADCCAD 20DABDBACDAAABACACDCCABDCC 21DCAACDBBCBBDDCADABBABADD 22BBBCACDACBAAACDDDBCCDBCC 23DDBCBCBBCADDBBACAABDBDBA 24BBBDBBCCBDDDBBADCDCACDDA 25AACBCDBABDAAABBCBCCCBDDD 26AABCDBDABCBDCCCDBCBCAAAA 27BBDADDCCACABCCCBDCCDDACC 28CCBBCBBBACADCDCDDCDACAAD 29BCCCADDCAABBAADDCACBDCDA 30BBDDABCCDCAAACCCCAABDAAB 31BDBDDBBBBADACACDBCCBDBAB 32BBDDDBDDCADAACADCDDDBDDB 33BABBABAACBBBBCBADADAAACC 34DDDCBACBCDACBCDCCBDBCBDB 35CDABADBCCAAABBCBDACDBBAD 36DBABBBDACCADBCCBCDAAABCB 37BDBCCBBBAACBBABBAACDADAD 38ABBBCCDACCCADDADAABACCBB 39ABABCAADACCBCCDBADDDCABC 40CBDACBDCABDADDCCBBCBBDDB 41BBDACBDCCDCCBACABBCDBACC 42AACBDABACAAACAAACBCCCDBD 43CDDABDACBCCBCCCDDDDBBABA 44DBBDADCAABDDDAACDBAAABCC 45BCCDDBDDADDADCBBDACDACCB 46AADDDABCADADAABDDBBBACDA 47DBBABBBBCDDDCCDDCAABCCBD 48CDADDBDBCCCBDCBCDBADBCCC 49BCDCCDAACACCBDCCDDBBACCC 50CCCCCCAADCABBABDBAACDDCD
SỞ GDĐT NINH BÌNH ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ THI THỬ KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2021 (LẦN 2) Mã đề thi 001 MÔN TOÁN Câu 1. Phương trình z2 − 2z + 2 = 0 có các nghiệm phức z , z . Tính F = |z | + |z |. √ 1 2 1 2 √ A F = 1. B F = 2 2. C F = 2. D F = 2. Lời giải. √ Ta có z1 = 1 + i, z2 = 1 − i, suy ra |z1| + |z2| = 2 2. Chọn đáp án B Câu 2. Nghiệm của phương trình log2 (4 − x) = 1 là A x = 3. B x = 2. C x = 1. D x = −2. Lời giải. 1 Ta có log2 (4 − x) = 1 ⇔ 4 − x = 2 ⇔ x = 2 . Chọn đáp án B Câu 3. Có bao nhiêu cách xếp 6 bạn nam và 4 bạn nữ vào 10 ghế kê thành hàng ngang? A 6! · 4!. B 6! + 4!. C 10!. D 88400. Lời giải. Việc xếp 6 bạn nam và 4 bạn nữ vào 10 ghế kê thành hàng ngang là một hoán vị của 10 phần tử. Vậy số cách xếp 6 bạn nam và 4 bạn nữ vào 10 ghế kê thành hàng ngang là 10! (cách). Chọn đáp án C Câu 4. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên? y A y = 2x4 − 4x2 + 1. B y = −2x4 + 4x2 + 1. C y = 2x3 − 3x + 1. D y = −2x3 + 3x + 1. O x Lời giải. Hình dạng đồ thị suy ra hàm số là hàm bậc 4 trùng phương có hệ số bậc 4 là số âm. Khi đó hàm số y = −2x4 + 4x + 1 có dạng đồ thị như hình vẽ. Chọn đáp án B √ x x3 Câu 5. Với x là số thực dương tùy ý, √ bằng 3 x 7 5 11 13 A x 6 . B x 6 . C x 6 . D x 6 . Lời giải. √ 3 3 2 x x x · x 1+ 3 − 1 13 Ta có √ = = x 2 3 = x 6 . 3 1 x x 3 Chọn đáp án D Câu 6. Đồ thị hàm số nào sau đây cắt trục tung tại điểm có tung độ âm? 4x + 1 3x + 4 −2x + 3 2x − 3 A y = . B y = . C y = . D y = . x + 2 x − 1 x + 1 x − 1 Lời giải. 4x + 1 1 • Đồ thị hàm số y = cắt trục tung tại điểm 0; . x + 2 2 Trang 1− Mã đề 001
−2x + 3 • Đồ thị hàm số y = cắt trục tung tại điểm (0; 3). x + 1 3x + 4 • Đồ thị hàm số y = cắt trục tung tại điểm (0; −4). x − 1 2x − 3 • Đồ thị hàm số y = cắt trục tung tại điểm (0; 3). x − 1 Chọn đáp án B Câu 7. Cho số phức z = 3 + 2i. Giá trị của zz bằng √ A 9. B 13. C 13. D 5. Lời giải. Ta có zz = |z|2 = 32 + 22 = 13. Chọn đáp án C Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2 − sin x là A 3x3 − cos x + C. B x3 + cos x + C. C 3x3 + cos x + C. D x3 − cos x + C. Lời giải. Z Ta có 3x2 − sin x dx = x3 + cos x + C. Chọn đáp án B Câu 9. Biết điểm biểu diễn của hai số phức z1 và z2 lần lượt là các điểm M và N y −1 O 3 như hình vẽ. Số phức z1 + z2 có phần ảo bằng x A −1. B 1. −1 M C 2 . D −4. −3 N Lời giải. Từ hình vẽ ta có z1 = 3 − i, z2 = −1 − 3i, suy ra z1 + z2 = 2 − 4i, có phần ảo là −4. Chọn đáp án D Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d song song với trục Oy. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là −→ −→ A u 1 = (2021; 0; 0). B u 3 = (0; 0; 2021). −→ −→ C u 2 = (0; 2021; 0). D u 4 = (2021; 0; 2021). Lời giải. −→ Trục Oy có vectơ chỉ phương j = (0; 1; 0), mà d k Oy nên d có một vectơ chỉ phương là −→ −→ u 2 = 2021 j = (0; 2021; 0) Chọn đáp án C Câu 11. Đạo hàm của hàm số y = e2x là e2x A y0 = . B y0 = 2.e2x. C y0 = 2x.e2x−1. D y0 = e2x ln 2 . 2 Lời giải. Ta có y0 = 2e2x Chọn đáp án B Trang 2− Mã đề 001
Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x − 2)2 + (y + 1)2 + (z − 3)2 = 16. Tâm I và bán kính R của mặt cầu là A I(2; −1; 3); R = 16. B I(−2; 1; −3); R = 4. C I(2; −1; 3); R = 4. D I(−2; 1; −3); R = 16. Lời giải. √ Tâm của mặt cầu (S) là I(2; −1; 3) và bán kính R = 16 = 4. Chọn đáp án C Câu 13. Tìm |z| biết z = −3 − i . √ √ A |z| = 5. B |z| = 4. C |z| = 2. D |z| = 10. Lời giải. √ Ta có |z| = 10. Chọn đáp án D 2 Z Câu 14. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 2], f(0) = 1 và f 0(x) dx = −3. 0 Tính f(2). A f(2) = −4. B f(2) = 4. C f(2) = −2. D f(2) = −3. Lời giải. 2 Z 2 Ta có −3 = f 0(x) dx = f(x) = f(2) − f(0). Suy ra f(2) = 1 − 3 = −2. 0 0 Chọn đáp án C Câu 15. Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y = f(x) y đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 2 A (−∞; 0). B (−2; 2). C (0; 2). D (2; +∞). −1 O 2 x −2 Lời giải. Từ đồ thị hàm số, ta có hàm số y = f(x) đồng biến trên (0; 2). Chọn đáp án C Câu 16. Thể tích khối cầu có bán kính bằng 6 là A 48π. B 288π. C 36π. D 144π. Lời giải. 4 Ta có V = πr3 = 288π. 3 Chọn đáp án B −→ −→ Câu 17. Trong không gian Oxyz, cho vectơ −→a = −3 j + 4 k . Tọa độ của vectơ −→a là A (0; −4; 3). B (0; 3; 4). C (0; −3; 4). D (−3; 0; 4). Lời giải. −→ −→ −→ vectơ −→a = 0 · i + (−3) · j + 4 · k nên tọa độ vectơ −→a = (0; −3; 4). Chọn đáp án C Trang 3− Mã đề 001
Câu 18. Một khối chóp đáy là hình vuông có cạnh bằng 5 và chiều cao của hình chóp bằng 6. Thể tích của khối chóp đó bằng A 150. B 10. C 50. D 30. Lời giải. 1 1 Ta có V = Bh = · 52 · 6 = 50. 3 3 Chọn đáp án C 2 Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trình log2 (x − 4x) ≤ log2 (5x) là A (4; 9]. B [9; +∞). C (0; 9]. D [0; 9]. Lời giải. Ta có (x2 − 4x > 0 (x ∈ (−∞; 0) ∪ (4; +∞) 2 log2 x − 4x ≤ log2(5x) ⇔ ⇔ ⇔ x ∈ (4; 9] . x2 − 4x ≤ 5x x ∈ [0; 9] Do đó bất phương trình có tập nghiệm là (4; 9] Chọn đáp án A Câu 20. Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Xác suất để trong 4 học sinh được chọn luôn có học sinh nữ là 1 1 209 13 A . B . C . D . 14 210 210 14 Lời giải. 4 Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = C10 = 210. 4 4 Gọi A là biến cố “trong 4 học sinh được chọn luôn có học sinh nữ”, n(A) = C10 − C6 = 195. n(A) 13 Vậy xác suất để trong 4 học sinh được chọn luôn có học sinh nữ là P(A) = = . n(Ω) 14 Chọn đáp án D 1 Câu 21. Cho hàm số f(x) = 2e2x−1 + . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? x Z 1 Z 1 A f(x) dx = e2x−1 − + C. B f(x) dx = 4e2x−1 − + C. x2 x2 Z Z C f(x) dx = 2e2x−1 + ln |x| + C. D f(x) dx = e2x−1 + ln |x| + C. Lời giải. Z Theo bảng công thức nguyên hàm, ta có f(x) dx = e2x−1 + ln |x| + C. Chọn đáp án D Câu 22. Trong không gian Oxyz, cho điểm I(2; 1; 1) và mặt phẳng (P ): 2x−y +2z +1 = 0. Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P ) là A (x + 2)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 2. B (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 4. C (x + 2)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 4. D (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 2. Lời giải. |2 · 2 − 1 + 2 · 1 + 1| Ta có d(I, (P )) = √ = 2. 4 + 4 + 1 Suy ra, phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P ) có dạng (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 4. Chọn đáp án B Trang 4− Mã đề 001
Câu 23. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P ) cắt ba trục tọa độ tại ba điểm phân biệt tạo thành một tam giác có trọng tâm G(3; 2; −1). Phương trình mặt phẳng (P ) là x y z x y z x y z x y z A + − = 1. B + + = 1. C + + = 1. D + − = 1. 3 2 1 9 6 3 3 2 1 9 6 3 Lời giải. Gọi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) là giao điểm của mặt phẳng (P ) với ba trục tọa độ. Điểm G(3; 2; −1) là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có a = 9, b = 6, c = −3. x y z Vậy phương trình mặt phẳng (P ) là + − = 1. 9 6 3 Chọn đáp án D x2 − 1 Câu 24. Đồ thị của hàm số y = có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 3 − 2x − 5x2 A 0. B 1. C 2. D 3. Lời giải. 3 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = . 5 Chọn đáp án B x x+1 Câu 25. Xét phương trình 4 − 3 · 2 + 8 = 0. Biết phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Giá trị của biểu thức x1 + x2 bằng A 3. B 2. C 6. D 8. Lời giải. "x = 1 x x+1 x x Ta có 4 − 3 · 2 + 8 = 0 ⇔ 4 − 6 · 2 + 8 = 0 ⇔ . Do đó x1 + x2 = 3. x = 2 Chọn đáp án A Câu 26. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x3 − 8x2 + 16x − 9 trên đoạn [1; 3]. 13 A max f(x) = . B max f(x) = 0. C max f(x) = 5. D max f(x) = −6. [1;3] 27 [1;3] [1;3] [1;3] Lời giải. Xét hàm số f(x) = x3 − 8x2 + 16x − 9 trên đoạn [1; 3]. Ta có f 0(x) = 3x2 − 16x + 16. x = 4 2 Xét 3x − 16x + 16 = 0 ⇔  4 x = . 3 4 4 Dễ thấy ∈ [1; 3] nên max f(x) = max f (1) , f (3) , f . 3 [1;3] 3 4 13 4 13 Mà f (1) = 0; f (3) = −6; f = suy ra max f(x) = f = . 3 27 [1;3] 3 27 Chọn đáp án A Câu 27. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau x −∞ 0 3 +∞ f 0(x) − − 0 + 1 2 3 f(x) −∞ −3 Trang 5− Mã đề 001
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A 3. B 1. C 2. D 0. Lời giải. Quan sát bảng biến thiên ta có lim y = −∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 0. x→0− Chọn đáp án B 3 Z 1 √ Câu 28. Xét tích phân I = √ dx . Với phép đặt t = x + 1 tích phân đã cho có dạng x + 1 0 2 2 2 2 4 Z Z dt Z Z dt A I = t dt. B I = 2 . C I = 2 dt. D I = . 3 t t 1 1 1 1 Lời giải. 2 Z Ta có t2 = x + 1, suy ra 2t dt = dx. Với x = 0 thì t = 1, với x = 3 thì t = 2, do đó I = 2 dt. 1 Chọn đáp án C Câu 29. 0 0 0 Cho lăng trụ đều ABC.A B C đáy là tam giác ABC có cạnh bằng a. Biết A0 C0 0 ◦ AB tạo với mặt phẳng (ABC) một góc có số đo bằng 60 . Thể tích khối lăng B0 trụ đã cho√ bằng √ 3 3a3 3a3 3a3 a3 A . B . C . D . 4 4 4 4 A C B Lời giải. √ Ta có BB0 = AB tan 60◦ = a 3. Do đó √ a2 3 √ 3a3 V = S · BB0 = · a 3 = . ABC 4 4 Chọn đáp án B Câu 30. Cho cấp số cộng (un) có số hạng tổng quát là un = 3n − 2. Tìm công sai d của cấp số cộng đó. A d = −3. B d = 3. C d = 2. D d = −2. Lời giải. Ta có un+1 − un = 3(n + 1) − 2 − (3n − 2) = 3n + 3 − 2 − 3n + 2 = 3, ∀n ∈ N. Suy ra công sai của cấp số cộng đã cho là d = 3. Chọn đáp án B 2 Câu 31. Tập xác định của hàm số y = log3 (5 + 4x − x ) là A [−1; 5]. B (−1; 5). C R \ {−1; 5}. D (−5; 1). Lời giải. 2 2 Hàm số y = log3 (5 + 4x − x ) xác định khi 5 + 4x − x > 0 ⇔ x ∈ (−1; 5). Chọn đáp án B Trang 6− Mã đề 001
√ Câu 32. Cho khối nón có độ dài đường sinh và chiều cao lần lượt là ` = 2a, h = 3a, thể tích khối nón bằng √ √ πa3 2 πa3 3 2πa3 πa3 A . B . C . D . 3 3 3 3 Lời giải. √ √ 1 1 √ Ta có R = `2 − h2 = 4a2 − 3a2 = a, suy ra V = πR2h = πa3 3. 3 3 Chọn đáp án B Câu 33. Trong các hàm số sau, hàm số nào có 3 điểm cực trị? x + 1 A y = . B y = x4 − 2x2 − 3. x + 2 C y = x4 + 2x2 − 3. D y = x3 − x2 − 3x + 1. Lời giải. Trong các hàm số đã cho, chỉ có hàm số trùng phương là có thể có điểm ba cực trị. Hàm số trùng phương có ba điểm cực trị khi chỉ khi hệ số của x4 và x2 trái dấu. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị là y = x4 − 2x2 − 3. Chọn đáp án B Câu 34. Cho√ hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC = a, SA ⊥ (ABC) a 6 và SA = . Số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 2 A 30◦. B 75◦. C 45◦. D 60◦. Lời giải. Hình chiếu vuông góc của SB lên (ABC) là AB. S Do đó (SB, (ABC)) = (SB, AB) = SBA[ . BC a Do tam giác ABC vuông cân tại A nên AB = √ = √ . 2 2 Xét tam giác SAB vuông tại A, ta có A √ √ B SA a 6 2 √ tan B = = · = 3. AB 2 a C Suy ra SBA[ = 60◦. Chọn đáp án D x − 1 y − 2 z + 1 Câu 35. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: = = và mặt phẳng 2 3 −1 (α): x − 2y + z − 1 = 0. Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α) là A (−9; −13; 4). B (3; 5; −2). C (−1; −1; 0). D (1; 2; −1). Lời giải.  x = 1 + 2t  Đường thẳng d có phương trình là y = 2 + 3t (t ∈ R).  z = −1 − t Gọi M = d ∩ (α). • M ∈ d ⇒ M(1 + 2t; 2 + 3t; −1 − t). • M ∈ (α) ⇒ (1 + 2t) − 2(2 + 3t) + (−1 − t) − 1 = 0 ⇔ t = −1. Trang 7− Mã đề 001
Vậy M(−1; −1; 0). Chọn đáp án C Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông √ S cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 (hình bên). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc K của A trên SB, SD. Số đo của góc tạo bởi mặt phẳng H (AHK) và (ABCD) bằng A D A 90◦ . B 30◦. C 60◦. D 45◦ . B C Lời giải. (AH ⊥ SB Ta có ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC (1) AH ⊥ BC (do BC ⊥ (SAB)) Lập luận tương tự ta có AK ⊥ SC (2). Từ (1) và (2) ta suy ra SC ⊥ (AHK). Ta lại có SA ⊥ (ABCD). Do đó góc giữa (AHK) và (ABCD) là góc giữa hai đường thẳng SA và SC và bằng ASC[ (do góc ASC[ là góc nhọn). √ Ta có AC = SA = a 2 nên tam giác SAC vuông cân tại A. Vậy ASC[ = 45◦. Chọn đáp án D Câu 37. Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ. y Xét hàm số g(x) = f(2x3 +x−1)+m. Tìm m để max g(x) = −10. 3 [0;1] A m = 3. B m = −13. C m = −1. D m = −9. 1 −2 1 −1O 2 x −1 Lời giải. Ta có g0(x) = (6x2 + 1)f 0(2x3 + x − 1). "2x3 + x − 1 = −1 "x = 0 Vì 6x2 + 1 > 0 nên g0(x) = 0 ⇔ f 0(2x3 + x − 1) = 0 ⇔ ⇔ . 3 2x + x − 1 = 1 x = x0 ∈ (0; 1) Bảng biến thiên của hàm số g(x) x 0 x0 1 g0(x) 0 − 0 + 3 + m 3 + m g(x) g(x0) Dựa vào bảng biến thiên, ta được max g(x) = 3 + m. Suy ra 3 + m = −10 ⇔ m = −13. [0;1] Trang 8− Mã đề 001
Chọn đáp án B Câu 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Khoảng cách giữa hai√ đường thẳng AC và SB bằng 2a a 6a a A . B . C . D . 3 2 2 3 Lời giải. Dựng hình bình hành ACBE, AH ⊥ BE, AI ⊥ SH. Do AC k S (SBE) nên d [AC, SB] = d [AC, (SBE)] = d [A, (SBE)] = AI. I Ta có 1 1 1 1 1 1 9 E D = + = + + = A AI2 AS2 AH2 AS2 AB2 AE2 4a2 H 2a 2a B C Suy ra AI = . Vậy khoảng cách giữa AC và SB bằng . 3 3 Chọn đáp án A x − 1 y z + 2 Câu 39. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng (P ): 2 1 −2 x − 2y + z − 1 = 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của α để tồn tại một mặt phẳng (Q) chứa d tạo với (P ) một góc α◦? A 75. B 76. C 77. D 74. Lời giải. Hiển nhiên 0 ≤ α ≤ 90. Rõ ràng qua d tồn tại mặt phẳng vuông góc với (P ) nên giá trị lớn nhất của α là 90. Ta tìm giá trị nhỏ nhất của α. Gọi C là giao điểm của d và (P ). Trên d lấy điểm S khác C, gọi A là S hình chiếu của S trên (P ), B là hình chiếu của A trên giao tuyến của (Q) và (P ). Khi đó β◦ C ◦ α = ((P ), (Q)) = SBC[ A α◦ β◦ = SCA[ = (d, (P )). B Dễ thấy d có một vectơ chỉ phương là −→u = (2; 1; −2) và (P ) có một vectơ pháp tuyến là −→n = (1; −2; 1) nên √ SA SA 6 sin α◦ = ≥ = sin β◦ = |cos (−→u , −→n )| = . SB SC 9 Đẳng thức xảy ra khi B ≡ C hay (Q) là mặt phẳng chứa d và đường thẳng ∆ nằm trong (P ) vuông góc với d tại C. Hơn nữa, do α nguyên nên α ≥ 16. Vậy có 75 giá trị nguyên của α thỏa mãn yêu cầu. Chọn đáp án A 9 3 9 Z Z 16 Z Câu 40. Biết rằng f(x) dx = 37 và g (3x) dx = − . Khi đó I = [2f(x) + 3g(x)] dx có giá 3 0 0 0 trị là Trang 9− Mã đề 001
A 58. B 122. C 26. D 143. Lời giải. Đặt t = 3x, suy ra dt = 3 dx, khi đó 3 9 9 16 Z Z dt Z − = g(3x) dx = g(t) ⇒ g(x) dx = −16. 3 3 0 0 0 Vậy 9 9 Z Z I = 2 f(x) dx + 3 g(x) dx = 2 · 37 − 3 · 16 = 26. 0 0 Chọn đáp án C Câu 41. Một vật thể (H) có đáy dạng elip với trục lớn MN = 20, trục nhỏ PQ = 12. Biết rằng cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục lớn ta luôn được thiết diện là nửa lục giác đều. Tính thể tích V của vật thể (H). B C A N Q D P M √ √ √ √ A V = 450 3. B V = 360 3. C V = 270 3. D V = 180 3. Lời giải. z B C x A N y Q D P M Dựng hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Xét trong mặt phẳng Oxy, phương trình elip đáy là x2 y2 + = 1. 100 36 Xét một điểm thuộc trục lớn có hoành độ bằng x với thiết diện tạo thành là nửa lục giác đều ABCD. r x2 Khi đó ta có AD = 12 1 − , do đó diện tích nửa lục giác đều ABCD là 100 √ x2 S(x) = 27 3 1 − . 100 Trang 10− Mã đề 001
Do đó thể tích vật thể (H) là 10 10 Z Z √ x2 √ V = S(x)dx = 27 3 1 − dx = 360 3. 100 −10 −10 Chọn đáp án B √ 2z + 3 − i Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời |z − 1 + 2i| = 10 và là số thuần z − i ảo? A 1. B 0. C 2. D 3. Lời giải. Cách 1. Đặt z = x + yi, x, y ∈ R với (x; y) 6= (0; 1). Khi đó √ •| z − 1 + 2i| = 10 ⇔ (x − 1)2 + (y + 2)2 = 10. 2z + 3 − i • là số thuần ảo nên z − i 2z + 3 − i 2z + 3 + i + = 0 ⇔ 4zz + (3 + 3i) z + (3 − 3i) z + 2 = 0 z − i z + i 3 3 1 hay x2 + y2 + x − y + = 0. 2 2 2 Ta thấy 2 2 √ • (x − 1) + (y + 2) = 10 là phương trình đường tròn tâm I1 (1; −2) bán kính R1 = 10. √ 3 3 1 3 3 10 • x2 + y2 + x − y + = 0 là phương trình đường tròn tâm I − ; bán kính R = . 2 2 2 2 4 4 2 4 √ 170 Lại có I I = nên có |R − R | < I I < R + R nên hai đường tròn có 2 điểm chung.Mặt 1 2 4 1 2 1 2 1 2 khác do điểm I (0; 1) thuộc 2 đường tròn nên chỉ có 1 số phức thỏa yêu cầu đề bài. 2z + 3 − i Cách 2. là số thuần ảo nên z − i 2z + 3 − i = mi ⇒ 2 (x + yi) + 3 − i = m (x + yi) − i z − i (2x + 3 = m − my ⇒ 2y − 1 = mx 2y − 1 2y − 1 ⇒ 2x + 3 = − y x x 3 3 1 ⇒ x2 + y2 + x − y + = 0. 2 2 2 Chọn đáp án A 2 Câu 43. Cho bất phương trình log2 x − mlog2x < 4 − 2m, với m là tham số. Gọi n là số nghiệm nguyên của bất phương trình. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m để n ∈ [1; 251]? A 10. B 6. C 9. D 3. Lời giải. Trang 11− Mã đề 001
Với x > 0, bất phương trình đã cho tương đương (log2 x − 2) (log2 x − (m − 2)) 4 thì bất phương trình tương đương m−2 2 < log2 x < m − 2 ⇔ 4 < x < 2 . Do có không quá 251 số nguyên x thỏa mãn bất phương trình nên 2m−2 ≤ 256 hay m ≤ 10, tức m ∈ {5; 6; 7; 8; 9; 10}. Vậy có tất cả 9 số nguyên dương m thỏa mãn yêu cầu. Chọn đáp án C Câu 44. Cho hàm số f(x) liên tục trên R có bảng biến thiên như hình vẽ x −∞ −1 0 4 +∞ y0 + 0 − 0 + 2021 +∞ y 2020 −∞ 2016 Số điểm cực trị của hàm số g(x) = |f(|x|) − 2019| là A 5. B 9. C 3. D 7. Lời giải. Bảng biến thiên của hàm số f (|x|) x −∞ −4 0 4 +∞ +∞ 2020 +∞ y 2016 2016 Dễ thấy phương trình f (|x|) − 2019 = 0 có bốn nghiệm là x1, x2, x3, x4 với x1 < −4 < x2 < 0 < x2 < 4 < x4. Do đó, ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) x −∞ x1 −4 x2 0 x3 4 x4 +∞ +∞ 3 1 3 +∞ y 0 0 0 0 Trang 12− Mã đề 001
Vậy hàm số g(x) có tất cả 7 điểm cực trị. Chọn đáp án D  ln 5 x2 + 1 khi x ≥ 2 Z Câu 45. Cho hàm số f(x) = . Tích phân I = e2xf 0 (ex) dx bằng 4x − 3 khi x < 2 0 A 126. B 84. C 63. D 42. Lời giải. Đặt t = ex, suy ra dt = ex dx, ta có 5 5 Z 5 Z I = tf 0(t) dt = tf(t) − f(t) dt 1 1 1 2 5 Z Z = 5f(5) − f(1) − (4t − 3) dt − t2 + 1 dt 1 2 = 129 − 3 − 42 = 84. Chọn đáp án B Câu 46. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, mặt phẳng (SAB) S vuông góc với mặt phẳng (SBC), góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và √ (SBC) là 60◦, SB = a 2, BSC[ = 45◦. Thể tích khối chóp S.ABC theo a là √ √ 2a3 3 a3 2 A V = . B V = . C 15 √15 A √ 3a3 C V = 2 2a3. D V = . 5 B Lời giải. Kẻ AH ⊥ SB suy ra AH ⊥ (SBC). Do BC ⊥ SA và BC ⊥ AH S nên BC ⊥ (SAB) , do đó tam giác ABC vuông tại B. Kẻ BI ⊥ AC, suy ra BI ⊥ SC và kẻ BK ⊥ SC thì SC ⊥ (BIK). Do đó góc giữa K ◦ ◦ hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) là BKI[ = 60 . Do BSC[ = 45√nên √ SB 2 SB = BC = a 2 và K là trung điểm của SC nên BK = = I C 2 A a. Ta có √ B a 3 BI = BK sin 60◦ = , 2 √ 1 1 1 BI · BC a 30 = + ⇒ AB = √ = , BI2 AB2 BC2 BC2 − BI2 5 √ √ 2a 5 SA = SB2 − AB2 = . 5 √ 1 2a3 3 Vậy V = S · SA = 1 AB · BC · SA = . 3 ABC 6 15 Chọn đáp án A Trang 13− Mã đề 001
Câu 47. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 = 4. z Trên mặt cầu lấy ba đường tròn (O1), (O2), (O3) cùng bán kính 1 sao cho chúng đôi một tiếp xúc (có điểm chung duy nhất) như hình vẽ. Gọi O4(a; b; c) là tâm đường tròn bán kính nhỏ hơn 1, tiếp xúc với cả ba đường tròn trên. Nếu O1 thuộc tia Oz và O2 ∈ (xOz), O2 có hoành độ dương thì a + b + c gần nhất với giá trị nào sau đây y A 3,25. B 3,24. x C 3,22. D 3,23. Lời giải. z O1 M O4 K L N O2 O y x Gọi tâm ba đường tròn bán kính 1 là O1, O2, O3. Tâm đường tròn cần tìm là O4. Dễ thấy, mặt cầu đã cho có tâm O(0; 0; 0), bán kính R = 2. Gọi M là giao điểm của (O ) và (O ). Khi đó √ 1 2 MO = MO = 1, OM = 2 nên OO = OO = O O = 3. Dễ thấy, OO là trục của tam giác 1 2 1 2 1 2 √4 O1O2O3. Gọi L là tâm của tam giác O1O2O3, khi đó O2L = 1 và OL = 2. Gọi K là giao điểm của (O2) và (O4), N là hình chiếu của K trên O2L. Để ý rằng OO2 ⊥ O2K nên hai tam giác vuông OO2L và O2KN đồng dạng. Suy ra KN O2K 1 1 √ 1 = = √ ⇒ KN = √ ⇒ OO4 = 2 + √ . O2L O2O 3 3 3 √ ! √ 3 3 Từ các dữ kiện trên, ta dễ dàng tính được O 0; 0; 3, O ; 0; . Khi đó, tọa độ của O là 1 2 2 2 3 Trang 14− Mã đề 001
nghiệm dương của hệ  √ 2 2 2  1 x + y + z − 3 = 3 x =   2  √ !2  √  32 3  x − + y2 + z − = 3 ⇒ y = 2  2 2  √   3  z = . x2 + y2 + z2 = 3  2 √ √ ! 2 2 2 3 x y z Suy ra L ; ; . Do đó đường thẳng OL có phương trình = √ = √ . Do O4 ∈ OL 3 3 3 2 2 2 3 √ √ nên O4 2t; 2t; 2 3t , t > 0, do đó √ √ √ √ 1 2 6 + 6 2 + √ = OO4 = 18t = 3 2t ⇒ t = . 3 18 √ √ √ √ √ ! 6 + 6 3 2 + 3 2 3 + 2 Do đó O ; ; . Vậy a + b + c ≈ 3,22879 gần 3,23 nhất. 4 9 9 3 Chọn đáp án D Câu 48. Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị như hình vẽ. Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại bốn điểm phân biệt (như hình vẽ) với x2 = 2x1 . Gọi S1 là diện tích phần hình phẳng nằm dưới đường thẳng y = m, giới hạn bởi đường thẳng y = m và đồ thị hàm số đã cho; S2 là tổng diện tích hai hình phẳng nằm phía trên đường thẳng y = m, giới hạn bởi đường thẳng y = m và đồ thị S hàm số đã cho. Tính tỉ số 1 . S2 y S2 y = m O x1 x2 x S1 19 30 19 30 A . B . C . D . 8 11 11 19 Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm đưa về dạng ax4 + bx2 + c0 = 0. Với phép đặt t = x2, (t ≥ 0) ta có phương trình at2 + bt + c0 = 0. Do phương trình có nghiệm x2 = 2x1 nên có t = 4t  2 1  b  t1 = −  b  5a t1 + t2 = − ⇒ a 2   0 4b  c0 ac = . t t = 25 1 2 a Trang 15− Mã đề 001
Khi đó x1 1 Z ax5 bx3 19c0x S = − ax4 + bx2 + c0 dx = − 1 + 1 + c0x = − 1 , 2 1 5 3 1 30 0 x2 1 Z ax5 bx3 ax5 bx3 11c0x S = ax4 + bx2 + c0 dx = 2 + 2 + c0x − 1 + 1 + c0x = − 1 . 2 2 5 3 2 5 3 1 30 x1 S 19 Vậy 1 = . S2 11 4 2 Cách 2. Chọn hàm y = −x + 5x − 1 thì m = 3. Khi đó x1 = 1, x2 = 2. Chọn đáp án C Câu 49. Với các số phức z1, z2, z3 = iz2 thay đổi thỏa mãn |z1| = |z2| = 5 thì giá trị lớn nhất của b min |tz2 + (1 − t)z3 − z1| có dạng a + √ , ở đó a, b là các số nguyên dương, c là số nguyên tố. Giá t∈R c trị của a + b + c là A 15. B 12. C 13. D 14. Lời giải. Với t ∈ R, đặt z = tz2 + (1 − t)z3. Trong mặt phẳng phức, gọi A3 A1, A2, A3, A lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1, z2, z3, z. Khi đó, theo cách định nghĩa của z, A là một điểm nằm trên A đường thẳng A2A3. Suy ra O A min |tz2 + (1 − t)z3 − z1| = min A1A = d(A1,A2A3). 2 t∈R Để ý rằng |z1| = |z2| = |z3| = 5 nên các điểm A1, A2, A3 thuộc ◦ đường tròn tâm O, hơn nữa, do z2 = iz3 nên A\2OA3 = 90 . Ta có A1 5 d(A1,A2A3) ≤ OA1 + d(O, A2A3) = 5 + √ . 2 5 + 5i Đẳng thức xảy ra khi z1 = − √ , z2 = 5, z3 = 5i. Vậy a = b = 5, c = 2 và a + b + c = 12. 2 Chọn đáp án B Câu 50. Có tất cả bao nhiêu số nguyên a ∈ (−10; 10) sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn x−2 4 = log2 (x + a) + 2a + 5? A 3. B 9. C 11. D 8. Lời giải. Đặt t = log2(x + a), khi đó phương trình đã cho trở thành 22x−4 = t + 2 2t − x + 5 ⇔ 2 · 22x−5 + 2x − 5 = 2 · 2t + t. Đặt f(u) = 2 · 2u + u, dễ thấy f 0(u) = 2 · 2u ln 2 + 1 > 0, với mọi u, hay f(u) là hàm đồng biến trên R. Do đó từ phương trình trên ta có f(2x − 5) = f(t) ⇔ 2x − 5 = t ⇔ a = 22x−5 − x. Trang 16− Mã đề 001
Đặt g(x) = 22x−5 − x, ta có log (ln 2) g0(x) = 0 ⇔ 2 · 22x−5 ln 2 − 1 = 0 ⇔ x = 2 − 2 = x . 2 0 Ta có bảng biến thiên x −∞ x0 +∞ y0 − 0 + y g(x0) ≈ −1,5 Do đó tồn tại x thỏa mãn yêu cầu khi và chỉ khi a ≥ g(x0). Do a nguyên và a ∈ (−10; 10) nên có 11 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu. Chọn đáp án C HẾT Trang 17− Mã đề 001