›
›
›

Đề thi tháng 4 môn Toán Lớp 12 - Năm 2021 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang

doc 30 trang hangtran11 11/03/2022 4550
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề thi tháng 4 môn Toán Lớp 12 - Năm 2021 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docde_thi_thang_4_mon_toan_lop_12_nam_2021_so_giao_duc_va_dao_t.doc

Nội dung text: Đề thi tháng 4 môn Toán Lớp 12 - Năm 2021 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang

  1. SỞ GD&ĐT BẮC GIANG ĐỀ THI THÁNG 4 NĂM 2021 TRƯỜNG THPT CHUYÊN BÀI THI MÔN TOÁN – LỚP 12 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề Mã đề thi 132 MỤC TIÊU - Đề thi thử TN THPT tháng 4 của trường THPT Chuyên Bắc Giang xứng đáng là tài liệu quý giá đối với học sinh trong giai đoạn luyện thi nước rút này. - Các dạng câu hỏi thường xuất hiện trong đề thi chính thức đều có, giúp học sinh thêm một lần nữa ôn luyện, củng cố phương pháp làm bài để có thể đạt kết quả cao nhất trong kì thi chính thức. 5a 4 Câu 1: Với a là số thực dương tùy ý, log log bằng 2 a 5a 4 A. 1 B. 10 C. log log D. ln10 2 a Câu 2: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên đoạn a;b. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành, hai đường thẳng x a, x b được tính theo công thức b b b b A. S f 2 x dx B. S f x dx C. S f x dx D. S f 2 x dx a a a a Câu 3: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số y 4x 1 là: A. 2x2 x C B. 2x2 1 C C. 2x2 x D. 2x2 x C Câu 4: Hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số đồng biến trên khoảng nào? A. 4; B. ;0 C. ;1 D. 0; Câu 5: Cho mặt cầu tâm I bán kính R có phương trình x2 y2 z2 x 2y 1 0. Trong các mệnh đề sau tìm mệnh đề đúng? 1 1 1 1 1 1 1 1 A. I ;1;0 , R B. I ; 1;0 , R C. I ; 1;0 , R D. I ;1;0 , R 2 4 2 2 2 2 2 2 Câu 6: Cho tập S gồm 15 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Từ 15 điểm thuộc tập S xác định được bao nhiêu tam giác? 1
  2. 3 3 12 A. C15 B. A15 C. P15 D. A15 Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 5i. Khẳng định nào sau đây sai? A. Phần thực của z bằng 2. B. z 3 2 1 C. Số phức nghịch đảo của z là i D. Phần ảo của z bằng 1. 5 5 x x x Câu 8: Cho phương trình 2 1 2 1 2 2 0. Khi đặt t 2 1 , phương trình đã cho trở thành phương trình nào dưới đây? 1 1 A. t 2 2 2t 1 0 B. t 2 t 2 2 0 C. t 2 2 0 D. t 0 t t x x 3 1 Câu 9: Tập nghiệm của phương trình 4 là: 2 3 A. 2 B. 0;2 C. 0;  D. 2 2 Câu 10: Gọi l,h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. l h B. h R C. R2 h2 l 2 D. l 2 h2 R2 m n Câu 11: Cho 2 1 2 1 . Khi đó: A. m n B. m 0 C. m n D. m n Câu 12: Một quần thể vi khuẩn bắt đầu từ 100 cá thể và cứ sau 3 giờ thì số cá thể lại tăng gấp đôi. Bởi vậy số t cá thể vi khuẩn được biểu thị theo thời gian t (đơn vị: giờ) bằng công thức N t 100.23. Hỏi sau bao lâu thì quần thể này đạt tới 50000 cá thể (làm tròn đến hàng phần mười)? A. 36,8 giờB. 30,2 giờC. 26,9 giờD. 18,6 giờ Câu 13: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau: Hàm số đồng biến trên tập A. ;1 B. ;0 C. ; 2 D. 1; 2
  3. 5 Câu 14: Đặt I 2ax 1 dx,a là tham số. Tìm tất cả các giá trị của a để I 0. 0 1 1 A. a B. a C. a 5 D. a 5 5 5 Câu 15: Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn cho số phức liên hợp của số phức z 3i 2. A. Q B. N C. P D. M Câu 16: Cho cấp số cộng có u5 15,u20 60. Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là A. 200 B. 200 C. 250 D. 150 Câu 17: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x4 2x2 là: 1 A. m B. m 1 C. m 5 D. m 1 3 2 Câu 18: Nếu f x xác định trên ¡ và có đạo hàm f ' x x2 x 1 x 2 thì f x A. Có duy nhất 1 điểm cực tiểu x 2. B. Đạt cực tiểu tại x 2, x 0, đạt cực đại tại x 1. C. Đạt cực đại tại x 2, x 0, đạt cực tiểu tại x 1. D. Không có cực trị. Câu 19: Tập hơp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z 2a i a ¡ là: A. Trục hoành. B. Đường thẳng y 1 C. Đường thẳng x 2 D. Trục tung Câu 20: Đồ thị hàm số y x4 6x2 5 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 21: Cho hình chóp S.ABC. Gọi M , N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.MNP và S.ABC. 3
  4. 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 4 8 16 3 i Câu 22: Cho số phức z x ¡ . Tổng phần thực và phần ảo của z là: x i 2x 6 4x 2 2x 4 4x 2 A. B. C. D. x2 1 2 2 x2 1 Câu 23: Cho hàm số y f x xác định trên ¡ \ 1, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thực của phương trình 2 f x 4 0 là: A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 Câu 24: Tìm bán kính mặt cầu tâm I 3; 5; 2 và tiếp xúc với P : 2x y 3z 11 0. A. 14 B. 14 C. 28D. 2 14 Câu 25: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y f x x3 3x2 9x 3 trên đoạn  4;4. A. M 40,m 30 B. M 20,m 2 C. M 40,m 41 D. M 10,m 11. Câu 26: Tập các số phức z có phần ảo âm, thỏa mãn z2 4 z2 z 1 0 là: 1 3  1 3  1 3  A. 2i; i B. 2i C. 2i; i D. 2i; i 2 2  2 2  2 2  Câu 27: Đường cong sau đây là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 4
  5. A. y f x x3 3x 1 B. y f x x3 3x 1 C. y f x x3 3x 1 D. y f x x3 3x 1 Câu 28: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 6;0;0 , B 0; 2;0 ,C 0;0; 4 , đường thẳng chứa trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC có phương trình: x 6t x 6t x 6t x 6t A. y 1 t B. y 1 t C. y 1 t D. y 1 t z 2 2t z 2 2t z 2 2t z 2 2t Câu 29: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : x y z 2 0 và mặt cầu S : x2 y2 z2 2. Gọi M a;b;c thuộc giao tuyến giữa P và S . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. min b 1;2 B. max a min b C. min c 1;1 D. max c 2;2 . Câu 30: Tính thể tích của phần vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x 0 và x 2, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0 x 2 là một nửa hình tròn có bán kính 5x2. A. V 8 B. V 4 C. V 32 D. V 16 x 1 y z 2 Câu 31: Mặt cầu tâm I 1;0;4 tiếp xúc với đường thẳng d : có bán kính bằng bao nhiêu? 1 2 1 10 12 A. B. 3 C. D. 12 3 6 Câu 32: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y ln x2 1 mx 1 đồng biến trên ¡ . A. ;0 B. 1;1 C. ; 1 D. ; 1 Câu 33: Cho mặt phẳng : 2y z 0. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng? A. / /Oy B. / /Ox C. / / Oyz D. chứa trục Ox. Câu 34: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân, AB AC a,BAC 1200 , BB ' a. I là trung điểm của CC '. Tính cosin góc giữa ABC và AB ' I . 3 2 3 5 A. B. C. D. 2 2 10 5 Câu 35: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2a. Thể tích của khối nón là: 2 a3 a3 A. a3 B. 2 a3 C. D. 3 3 5
  6. n 1 3 5 Câu 36: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cn Cn 0. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển n x2 1 nhị thức Niu-tơn của , x 0. 2 x 35 35 35 35 A. B. x5 C. x5 D. 16 16 2 16 Câu 37: Phương trình tiếp tuyến tại điểm cực đại của hàm số y x4 4x2 1 là: A. y 1 B. y 4x 2 C. y 4x 23 D. y 4x 2 x y 6 z 1 Câu 38: Trong không gian Oxyz, cho điểm A 0;0;1 và đường thẳng d : . Phương trình 2 1 1 đường thẳng đi qua A vuông góc và cắt d là: x y z 1 x y z 1 x y z 1 x y z 1 A. B. C. D. 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 5 1 1 Câu 39: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 2x2 mx 10 đồng biến trên ¡ . 3 A. m 4 B. m 4 C. m 4 D. m 4 Câu 40: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy, góc giữa SB và đáy bằng 600. Tính khoảng cách giữa AC và SB theo a. a 2 a 15 a 7 A. B. 2a C. D. 2 5 7 Câu 41: Cho bốn điểm A 1;0;0 , B 0;1;0 ,C 0;0;1 , D 1;1;1 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Tam giác ABD là tam giác đều. B. Bốn điểm A, B,C, D tạo thành tứ diện. C. AB vuông góc với CD D. Tam giác BCD là tam giác vuông. 4x2 1 3x2 2 Câu 42: Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y là x2 x A. 1 B. 3 C. 4D. 2 Câu 43: Cho hàm số f x x3 3x 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y f 2sin x 1 m không vượt quá 10? A. 45 B. 43 C. 30 D. 41 Câu 44: Số nghiệm nguyên của bất phương trình sau log x 1 log x 1 log 4 là: 3 3 3 A. 0 B. 3 C. 1 D. 2 1 1 Câu 45: Cho 6z i 6z i 2 3i , z z . Tính z z i . 1 2 1 2 3 1 2 3 6
  7. 3 1 3 2 3 A. B. C. D. 2 3 6 3 3 2 e x 1 ln x 2021x 1 ea b c 2021 Câu 46: Cho dx ln a,b,c ¡ . Khi đó 1 2021 x ln x 3 2021 A. a b c B. a b c C. b c a D. c b a Câu 47: Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' có thể tích V. Gọi V1 là thể tích khối bát diện đều mà mỗi V đỉnh là tâm của các mặt của hình lập phương đã cho. Tính 1 . V V 1 V 1 V 3 V 2 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 V 6 V 3 V 2 V 9 3 2 2187 Câu 48: Cho hàm số f x có đạo hàm lên tục trên đoạn 0;3 thỏa mãn f 3 14, f ' x dx và 0 20 3 531 3 xf x dx . Giá trị của f x 1 dx bằng 0 20 0 729 93 531 69 A. B. C. D. 5 8 4 8 Câu 49: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, mặt bên SAC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Hai mặt phẳng SAB và SBC lần lượt tạo với đáy các góc 600 và 450 , khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 6a3 2a3 2a3 6a3 A. B. C. D. 18 12 6 12 1 1 Câu 50: Xét các số thực dương x, y thỏa mãn x 2 y 1 log 3x. Khi x 4y đạt giá trị nhỏ 2 x y x nhất, bằng: y 1 1 A. B. 4 C. 2 D. 4 2 HẾT 7
  8. ĐÁP ÁN 1-A 2-C 3-D 4-B 5-B 6-A 7-B 8-A 9-A 10-D 11-A 12-C 13-B 14-A 15-B 16-C 17-D 18-A 19-B 20-A 21-C 22-D 23-B 24-D 25-C 26-D 27-D 28-C 29-C 30-D 31-A 32-C 33-D 34-C 35-D 36-A 37-A 38-D 39-C 40-C 41-D 42-D 43-D 44-D 45-D 46-D 47-A 48-D 49-A 50-C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1 (NB) Phương pháp: Sử dụng công thức log x log y log xy x, y 0 Cách giải: 5a 4 5a 4 log log log . log10 1. 2 a 2 a Chọn A. Câu 2 (NB) Phương pháp: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên đoạn a;b. Diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ b thị hàm số y f x , trục hoành, hai đường thẳng x a, x b được tính theo công thức S f x dx. a Cách giải: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên đoạn a;b. Diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ b thị hàm số y f x , trục hoành, hai đường thẳng x a, x b được tính theo công thức S f x dx. a Chọn C. Câu 3 (NB) Phương pháp: xn 1 Sử dụng công thức tính nguyên hàm: xndx C n 1 . n 1 Cách giải: 4x 1 dx 2x2 x C 8
  9. Chọn D. Câu 4 (NB) Phương pháp: Dựa vào BBT xác định các khoảng đồng biến là các khoảng mà hàm số liên tục và có đạo hàm dương. Cách giải: Dựa vào BBT ta thấy hàm số đồng biến trên ;0 và 4; Chọn B. Câu 5 (NB) Phương pháp: Mặt cầu S : x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 có tâm I a; b; c , bán kính R a2 b2 c2 d . Cách giải: 2 2 2 1 1 1 Mặt cầu x y z x 2y 1 0 có tâm I ; 1;0 , bán kính R 1 1 . 2 4 2 Chọn B. Câu 6 (NB) Phương pháp: Dựa vào BBT ta thấy hàm số đồng biến trên Cách giải: 3 Từ 15 điểm thuộc tập S xác định được C15 tam giác. Chọn A. Câu 7 (NB) Phương pháp: Thực hiện phép chia số phức, sử dụng MTCT. Cách giải: 5i z 1 2i 5i z 2 i. 1 2i Vậy khẳng định sai là z 3 và z 22 12 5. 9
  10. Chọn B. Câu 8 (TH) Phương pháp: x x Nhận xét 2 1 . 2 1 1. Cách giải: x x x x 1 Vì 2 1 . 2 1 1 nên khi đặt t 2 1 thì 2 1 . t 1 Khi đó phương trình trở thành t 2 2 0 t 2 2 2t 1 0. t Chọn A. Câu 9 (TH) Phương pháp: Đưa về cùng cơ số 2 và giải phương trình mũ a f x a g x f x g x . Cách giải: x x 3 1 2x 6 x 4 2 2 2x 6 x x 2. 2 Chọn A. Câu 10 (NB) Phương pháp: Gọi l,h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ ta có l 2 h2 R2. Cách giải: Gọi l,h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ ta có l 2 h2 R2. Chọn D. Câu 11 (NB) Phương pháp: a x a y x y khi a 1 So sánh: x y a a x y khi 0 a 1 Cách giải: 0 2 1 1 Vì m n m n. 2 1 2 1 10
  11. Chọn A. Câu 12 (TH) Phương pháp: Giải phương trình N t 50000 tìm n. Cách giải: t t 3 3 Xét phương trình N t 100.2 50000 2 500 t 3log2 500 26,9 (giờ). Chọn C. Câu 13 (NB) Phương pháp: Dựa vào BBT xác định các khoảng đồng biến là các khoảng mà hàm số liên tục và có đạo hàm dương. Cách giải: Dựa vào BBT ta thấy hàm số đồng biến trên ;0 và 1; . Chọn B. Câu 14 (TH) Phương pháp: - Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản tính tích phân I. - Giải bất phương trình I 0 tìm a. Cách giải: 5 5 Ta có I 2ax 1 dx ax2 x 25a 5. 0 0 1 I 0 25a 5 0 a . 5 Chọn A. Câu 15 (NB) Phương pháp: Số phức z a bi có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là M a;b . Cách giải: Số phức z 3i 2 có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là N 2;3 . Chọn B. Câu 16 (TH) 11
  12. Phương pháp: - Sử dụng công thức SHTQ của CSC: un u1 n 1 d tìm công sai d. 2u n 1 d n - Tổng n số hạng đầu tiên của CSC là S 1 . n 2 Cách giải: u u 60 15 Ta có u u 15d d 20 5 5. 20 5 15 15 Lại có u5 u1 4d u1 u5 4d 15 4.5 35. 2u 20 1 d 20 Khi đó ta có S 1 2. 35 19.5 .10 250. 20 2 Chọn C. Câu 17 (TH) Phương pháp: Lập BBT của hàm số và kết luận hoặc sử dụng hằng đẳng thức. Cách giải: 2 Ta có y x4 2x2 x2 1 1 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x4 2x2 là m 1 đạt được khi x2 1 0 x 1. Chọn D. Câu 18 (TH) Phương pháp: Lập BXD của f ' x và kết luận. Cách giải: x 0 2 2 Ta có f ' x 0 x x 1 x 2 0 x 1, trong đó x 0, x 1 là nghiệm kép. x 2 Do đó hàm số chỉ có 1 điểm cực trị x 2 nên chỉ có đáp án A đúng. Chọn A. Câu 19 (TH) Phương pháp: Gọi điểm biểu diễn số phức z và xác định yêu tố cố định. Cách giải: 12
  13. Gọi M là điểm biểu diễn số phức z ta có M 2a; 1 với mọi a ¡ nên M thuộc đường thẳng y 1 với mọi a. Vậy tập hơp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z 2a i a ¡ là đường thẳng y 1. Chọn B. Câu 20 (TH) Phương pháp: Xác định số nghiệm bội lẻ của phương trình y ' 0. Cách giải: Ta có y x4 6x2 5 y ' 4x3 12x. Cho y ' 0 4x x2 3 0 x 0. Vậy đồ thị hàm số đã cho có 1 điểm cực trị. Chọn A. Câu 21 (NB) Phương pháp: Vậy đồ thị hàm số đã cho có 1 điểm cực trị. Cách giải: V SM SN SP 1 1 1 1 Ta có S.MNP . . . . . VS.ABC SA SB SC 2 2 2 8 Chọn C. Câu 22 (TH) Phương pháp: Vậy đồ thị hàm số đã cho có 1 điểm cực trị. Cách giải: 3 i 3 i x i 3x 1 x 3 i 3x 1 x 3 Ta có z i. x i x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 3x 1 x 3 Re z ,Im z x2 1 x2 1 3x 1 x 3 4x 2 Re z Im z x2 1 x2 1 x2 1 Chọn D. Câu 23 (TH) 13
  14. Phương pháp: Số nghiệm của phương trình f x m là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y m song song với trục hoành. Cách giải: Ta có 2 f x 4 0 f x 2. Số nghiệm của phương trình là là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y 2 song song với trục hoành. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Chọn B. Câu 24 (TH) Phương pháp: - Bán kính mặt cầu tâm I và tiếp xúc với P là R d I; P . - Khoảng cách từ điểm I x0 ; y0 ; z0 đến mặt phẳng P : Ax By Cz D 0 là Ax By Cz D d I; P 0 0 0 . A2 B2 C 2 Cách giải: Bán kính mặt cầu tâm I và tiếp xúc với P là: 2.3 5 6 11 R d I, P 2 14. 22 1 2 3 2 Chọn D. Câu 25 (TH) Phương pháp: - Tính f ' x , xác định các nghiệm xi  4;4 của phương trình f ' x 0. - Tính f 4 , f 4 , f xi . - KL: min f x min f 4 , f 4 , f xi ,max f x max f 4 , f 4 , f xi   4;4  4;4 Cách giải: 2 x 1 Ta có f ' x 3x 6x 9 0  4;4 x 3 Lại có f 4 41, f 4 15, f 1 40, f 3 8. 14
  15. Vậy M max f x 40;m min f x 41.  4;4  4;4 Chọn C. Câu 26 (TH) Phương pháp: Giải phương trình. Cách giải: z2 4 z2 z 1 0 z i z2 4 0 2 1 3 z z 1 0 z i 2 2 2 2 1 3  Vậy tập các số phức z có phần ảo âm, thỏa mãn z 4 z z 1 0 là 2i; i. 2 2  Chọn D. Câu 27 (TH) Phương pháp: - Dựa vào nhánh cuối của đồ thị. - Dựa vào giao điểm của đồ thị với trục tung. Cách giải: Đồ thị hàm số có nhánh cuối đi lên nên loại A và B. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên loại C. Chọn D. Câu 28 (TH) Phương pháp: - Tìm tọa độ điểm M là trung điểm của BC. - Viết đường thẳng AM đi qua 2 điểm A, M. Cách giải: Gọi M là trung điểm của BC M 0; 1; 2 .  Ta có AM 6; 1; 2 nên đường thẳng AM có 1 VTCP là u 6;1;2 . 15
  16. x 6t Vậy phương trình đường trung tuyến AM là y 1 t . z 2 2t Chọn C. Câu 29 (VD) Phương pháp: Vì M S a2 b2 c2 2. Đánh giá a,b,c. Cách giải: Vì M S a2 b2 c2 2. Do đó loại đáp án A và D. Ta nhận thấy a2 2 2 a 2 max a 2 khi b c 0, do đó B sai. Chọn C. Câu 30 (VD) Phương pháp: Thể tích của phần vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x a và x b, thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng b vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x a x b có diện tích S là V S x dx. a Cách giải: 1 2 5 Diện tích thiết diện là S x . 5x2 x4. 2 2 2 5 Vậy thể tích cần tính là V x4dx 16 . 0 2 Chọn D. Câu 31 (VD) Phương pháp:   IM ;u d  Mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng d có bán kính R d I; d  với M d bất kì và ud là ud 1 VTCP của d. Cách giải:  Đường thẳng d đi qua M 1;0;2 và có 1 VTCP ud 1;2;1 . 16
  17.   IM ;u d 10 Mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng d có bán kính R d I; d  . 3 ud Chọn A. Câu 32 (VD) Phương pháp: Hàm số y f x đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi y ' 0 với mọi x ¡ . Cách giải: Hàm số y ln x2 1 mx 1 có TXĐ D ¡ . 2x Ta có y ' m. x2 1 2x Để hàm số đồng biến trên ¡ thì y ' 0 x ¡ m 0 x ¡ x2 1 2x m g x x ¡ m min g x . x2 1 ¡ 2 2x 2 x 1 2x.2x 2x2 2 Xét hàm số g x 2 ta có g ' x 2 2 0 x 1. x 1 x2 1 x2 1 BBT: Từ BBT ta thấy min g x 1. Vậy m 1. ¡ Chọn C. Câu 33 (VD) Phương pháp: Sử dụng các vị trí tương đối của 2 mặt phẳng, của đường thẳng và mặt phẳng. Cách giải: Mặt phẳng : 2y z 0 có 1 VTPT là n 0;2;1 . Trục Ox có 1 VTCP là i 1;0;0 . 17
  18. / /Ox Ta có n.i 0.1 2.0 1.0 0 . Ox  Lấy O 0;0;0 Ox thấy O . Vậy chứa trục Ox. Chọn D. Câu 34 (VD) Phương pháp: S Sử dụng công thức: cos hc , với là góc tạo bởi 2 mặt phẳng S, S lần lượt là diện tích mặt phẳng và S hc diện tích hình chiếu của nó. Cách giải: Ta có: BC AC 2 AB2 2AC.AB.cosBAC a 3. AB ' AB2 BB '2 a 2 a2 a 13 IB ' IC '2 C ' B '2 3a2 4 2 a2 a 5 IA IC 2 CA2 a2 4 2 5a2 13a2 IA2 AB '2 2a2 IB '2 5 4 IB ' A vuông tại A (theo định lí Pytago đảo) Ta có: 18
  19. 1 1 a 5 a2 10 S IA.AB ' . .a 2 IB' A 2 2 2 4 1 1 3 a2 3 S AB.AC.sin BAC a2 CBA 2 2 2 4 S a2 3 a2 10 3 Gọi  ABC ; AB ' I ta có cos ABC : . SAB'I 4 4 10 Chọn C. Câu 35 (TH) Phương pháp: - Dựa vào thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2a tính bán kính đáy và chiều cao của hình nón. 1 - Thể tích của khối nón có bán kính đáy r và đường cao h là V r 2h. 3 Cách giải: Vì thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2a nên hình nón có bán kính đáy r a và chiều cao h a. 1 1 a3 Vậy thể tích khối nón là V r 2h .a2.a . 3 3 3 Chọn D. Câu 36 (VD) Phương pháp: n! - Sử dụng công thức C k giải phương trình tìm n. n k! n k ! n n 2 n k k - Khai triển nhị thức Niu-tơn: a b Cn a b . k 0 Cách giải: Ta có: 5n! n! 5C n 1 C3 0 n n n 1 ! 3! n 3 ! 5 1 n2 3n 2 30 n 1 n 2 6 n 7 tm n2 3n 28 0 n 4 ktm 19
  20. 7 k 2 7 2 7 k 7 x 1 k x 1 k 7 k k 3k 7 Với n 7 ta có C7 Cn 1 .2 .x 2 x k 0 2 x k 0 Do đó số hạng chứa x5 ứng với 3k 7 5 k 4. 3 35 Vậy hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Niu-tơn đã cho là C 4 1 .2 4 . 7 16 Chọn A. Câu 37 (VD) Phương pháp: y ' 0 - Giải hệ tìm điểm cực đại của hàm số. y" 0 - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ x x0 là y f ' x0 x x0 y0. Cách giải: x 0 3 y ' 0 4x 8x 0 x 2 Xét hệ x 0. 2 y" 0 12x 8 0 6 6 x 3 3 Với x 0 y 1 0;1 là điểm cực đại của hàm số. Ta có y ' 0 0. Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm cực đại của hàm số y x4 4x2 1 là: y 0 x 0 1 y 1. Chọn A. Câu 38 (VD) Phương pháp: - Gọi H d  , tham số tọa độ điểm H d theo biến t.   - Giải phương trình AH.ud 0 tìm t.  - Viết phương trình là đường thẳng đi qua A và có 1 VTCP AH. Cách giải: Gọi H d  H là hình chiếu vuông góc của A lên d.  Vì H d H 2t; 6 t;1 t . Ta có AH 2t;t 6;t . 20
  21.    Vì AH  d nên AH.ud 0 4t t 6 t 0 t 1. Khi đó AH 2; 5;1 .  x y z 1 Khi đó là đường thẳng đi qua A và có 1 VTCP AH 2; 5;1 có phương trình . 2 5 1 Chọn D. Câu 39 (VD) Phương pháp: - Hàm số y f x đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi f ' x 0 x ¡ 2 x 0 - Sử dụng: ax bx c 0 x ¡ . 0 Cách giải: Hàm số đã cho có TXĐ D ¡ . Ta có y ' x2 4x m. 2 1 0 luon dung Để hàm số đồng biến trên ¡ thì y ' 0 x ¡ x 4x m 0 x ¡ m 4. ' 4 m 0 Chọn C. Câu 40 (VD) Cách giải: Trong ABC dựng hình bình hành ABCD. Ta có AC / /BD AC / / SBD  SB d AC;SB d A; SBD 2d O; SBD với O AC  BD. Gọi K, H, I lần lượt là trung điểm của BD, BK, SD thì SBD  OHI và SBD  OHI HI. Trong OHI kẻ OJ  HI thì OJ d O; SBD . a 3 a 3 Mặt khác BCD đều nên CK ,OH . 2 4 21
  22. Ta có:  SB; ABC SBA 600 SA AB.tan 600 a 3. 1 1 1 a 3 OHI vuông tại O OJ . OJ 2 OI 2 OH 2 2 5 a 15 Khi đó d A; SBD 2d O; SBD . 5 a 15 Vậy d AC;SB . 5 Chọn C. Câu 41 (VD) Cách giải:    Ta có BC 0; 1;1 , BD 1;0;1 ,CD 1;1;0 .     Do BC.BD 1, BD.BC 1 nên các tam giác BCD không vuông. Vậy mệnh đề D sai. Chọn D. Câu 42 (VD) Cách giải: 1 x 2 2 4x 1 0 1 1 ĐKXĐ: 1 TXĐ: D ;  ;  1; . x2 x 0 x 2 2 2 x 0, x 1 Ta có 4x2 1 3x2 2 lim y lim 3 x x x2 x 4x2 1 3x2 2 lim y lim 3 x x x2 x y 3 là TCN của đồ thị hàm số. 4x2 1 3x2 2 lim y lim 2 x 1 x 1 x x x 1 là TCĐ của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị hàm số đã cho có 1 TCN và 1 TCĐ. Chọn D. 22
  23. Câu 43 (VD) Cách giải: Đặt t 2sin x 1 t  1;3. Khi đó hàm số trở thành y f t m . Xét hàm số g t f t m t3 3t 1 m với t  1;3 ta có: g ' t 3t 2 3 0 t 1. Ta có: g 3 m 19, g 1 m 1, g 1 m 3 nên ta có min g t m 1,max g t m 19.  1;3  1;3 TH1: Nếu m 19 m 1 0 m 1 Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì m 1 10 m 11 1 m 11 1 TH2: Nếu 0 m 19 m 1 m 19 . Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì m 19 10 m 29 29 m 19 2 TH3: Nếu m 1 0 m 19 19 m 1 thì min y 0 (đúng) (3). Từ (1), (2) và (3) 29 m 11. Vậy có 41 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D. Câu 44 (VD) Phương pháp: - Đưa bất phương trình về cùng cơ số 3. - Giải bất phương trình loga f x loga g x f x g x 0 khi a 1. Cách giải: ĐKXĐ: x 1 Ta có: log x 1 log x 1 log 4 3 3 3 2log3 x 1 2log3 x 1 2log3 2 log3 x 1 log3 x 1 log3 2 x 1 log log 2 3 x 1 3 23
  24. x 1 x 1 2x 2 2 0 x 1 x 1 x 3 0 1 x 3 x 1 Mà x ¢ x 2;3. Vậy bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên. Chọn D. Câu 45 (VDC) Cách giải: Đặt 6z1 z1 ' có điểm biểu diễn là M ,6z2 z2 ' có điểm biểu diễn là N. Theo bài ra ta có: 6z1 i 6z2 i 2 3i z1 ' i z2 ' i 13. M , N thuộc đường tròn tâm I 0;1 bán kính R 13. 1 Ta lại có z z 6z 6z 2 z ' z ' 2 MN 2. 1 2 3 1 2 1 2 z ' z ' Gọi J là trung điểm của MN J là điểm biểu diễn số phức 1 2 . 2 IM 2 IN 2 MN 2 22 Ta có: IJ 2 13 12. 2 4 4 z ' z ' 1 2 i 2 3 3 z z i 2 3 2 1 2 1 2 3 z z i 1 2 3 3 Chọn D. Câu 46 (VD) Phương pháp: - Phân tích và rút gọn. - Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số. Cách giải: Ta có e x3 1 ln x 2021x2 1 dx 1 2021 x ln x 24
  25. e x3 ln x ln x 2021x2 1 dx 1 2021 x ln x e x2 x ln x 2021 ln x 1 dx 1 2021 x ln x e 2 ln x 1 x dx 1 2021 x ln x x3 e e ln x 1 dx 3 1 1 2021 x ln x e3 1 I 3 e ln x 1 Xét tích phân I dx. 1 2021 x ln x 1 Đặt t 2021 x ln x dt ln x x. dx ln x 1 dx x x 1 t 2021 Đổi cận: x e t 2021 e 2021 e dt 2021 e e 2021 Khi đó ta có: I ln t ln 2021 e ln 2021 ln . 2021 t 2021 2021 3 2 e x 1 ln x 2021x 1 e3 1 e 2021 dx ln 1 2021 x ln x 3 2021 a 3,b 1,c e. Vậy c b a. Chọn D. Câu 47 (VDC) Cách giải: Sưu tầm Nhóm Toán VD - VDC 25
  26. BD AC 1 1 Ta có SMNPQ MN.MQ . SABCD và d O; MNPQ d O; ABCD . 2 2 2 2 1 1 1 1 Suy ra VO.MNPQ . d O; ABCD . SABCD V. 3 2 2 12 1 1 V 2V 2. V V 1 O.MNPQ 12 6 V 1 Vậy 1 . V 6 Chọn A. Câu 48 (VDC) Cách giải: 3 531 Ta có xf x dx 0 20 du f ' x dx u f x Đặt x2 dv xdx v 2 Khi đó ta có: 3 531 x2 3 1 3 531 xf x dx f x x2 f ' x dx 0 20 2 0 2 0 20 9 1 3 531 f 3 x2 f ' x dx 2 2 0 20 1 3 531 63 x2 f ' x dx 2 0 20 26
  27. 3 729 x2 f ' x dx 0 10 3 2 Xét f ' x kx dx 0 0 3 3 3 2 2 2 4 f ' x dx 2k x f ' x dx k x dx 0 0 0 0 2187 729 x5 3 2k. k 2 0 20 10 5 0 243 729 2187 k 2 k 0 5 5 20 3 k 2 3 2 3 2 3 2 Khi đó ta có: f ' x x dx 0 f ' x x . 0 2 2 3 x3 f x x2dx C. 2 2 27 1 x3 1 Lại có f 3 14 14 C C f x 2 2 2 2 3 3 x3 1 69 Vậy f x 1 dx 1 dx . 0 0 2 2 8 Chọn D. Câu 49 (VDC) Cách giải: Sưu tầm nhóm Toán VD - VDC 27
  28. Gọi H là trung điểm của AC, có SAC cân tại S nên SH  AC. SAC  ABC AC Ta có: SH  ABC . SH  SAC , SH  AC Kẻ HP  BC, HQ  AB ta có: BC  HP BC  SHP BC  SP BC  SH SBC  ABC BC 0 SP  SBC , SP  BC  SBC ; ABC  SP; HP SPH 45 . HP  ABC , HP  BC Chứng minh tương tự ta có SQH 600 Từ A kẻ đường thẳng d / /BC, kẻ HK  d. Nối SK và kẻ HI  HK. AK  HK AK  HK Ta có: AK  SH AK  SHK AK  HI. HK  SH H HK, SH  SHK Mà HI  SJ, AK  SK K, AK, SK  SAK nên HI  SAK d H; SAK HI . BC / / AK Ta có: BC / / SAK  SA. AK  SAK a d SA; BC d BC; SAK d B; SAK 2d H; SAK 2HI a HI . 2 28
  29. BC / /HK HP HC Lại có H, K, P thẳng hàng và 1 HK HP HK  AK, HP  BC HK HA Đặt SH x x 0 . Tam giác SHP vuông tại H và có SPH 450 nên SHP vuông cân tại H HP HK x. SH.SK a x2 a SHK vuông tại H, HI  SK HI x SH 2 HK 2 2 x 2 2 SH x Tam giác SHQ vuông tại H có SQH 600 HQ . tan 600 3 Lại có ABC vuông tại B nên HP // AB, HQ // BC, mà H là trung điểm của AC nên HP. HQ là các đường trung bình của tam giác ABC. 2x a 2 AB 2x a 2, BC . 3 3 1 1 a 1 a 2 6a3 Vậy V SH.S . . a 2. . S.ABC 3 ABC 3 2 2 3 18 Chọn A. Câu 50 (VDC) Phương pháp: - Xét hàm đặc trưng. - Sử dụng BĐT Cô-si. Cách giải: Ta có 1 1 x 2 y 1 log 3x 2 x y x y xy 2y x 2 3x log 2 xy log xy xy log x y 2 2 x y 2 2 log xy xy log 2x 2y 2x 2y 2 2 1 Xét hàm số f t log t t t 0 ta có f ' t 1 0 t 0 nên hàm số đồng biến trên 0; . 2 t ln 2 2x Mà f xy f 2x 2y nên xy 2x 2y y x 2 2x y x 2 x 2 29
  30. Vì x, y 0 x 2 0 x 2. Khi đó ta có: 8x 16 16 x 4y x x 8 x 2 10 x 2 x 2 x 2 16 2. x 2 . 10 2.4 10 18 x 2 16 2 Dấu “=” xảy ra khi x 2 x 2 4 x 6 9do x 2 ). x 2 2x 2.6 y 3. x 2 6 2 x 6 Vậy 2. y 3 Chọn C. HẾT 30