Đề thi thử chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề 6 - Năm học 2019-2020 - Trường THCS Phan Bội Châu (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề 6 - Năm học 2019-2020 - Trường THCS Phan Bội Châu (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS PHAN BỘI CHÂU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2019 – 2020 Đề thi thử 6 Mụn thi: TOÁN Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Cõu 1. (4,0 điểm). Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử: 1) x4 + 2009x2 + 2008x + 2009 2) 81x4 + 4 3) (x2 + 3x + 2)(x2+ 11x + 30) – 5 3x2 3 x 1 1 x 1 Cõu 2. (3,0 điểm). Cho phõn thức: P 3 2 . 2 x 1 x x 1 x 1 2x 5x 5 a) Rỳt gọn P b) Tỡm giỏ trị lớn nhất của P Cõu 3. (4,0 điểm). 1) Giải phương trỡnh: x 1 x 3 x 5 x 2 x 4 x 968 x 6 a) 99 97 95 98 96 975 94 1 2 3 6 b) x 2 5x 6 x 2 8x 15 x 2 13x 40 5 2) Một ụ tụ phải đi trờn quóng đường AB dài 60km trong thời gian nhất định. Nữa quóng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. nửa quóng đường sau đi với vận tốc kộm hơn vận tốc dự định là 6km/h. Tớnh thời gian ụ tụ đi trờn quóng đường AB biết người đú đến B đỳng giờ. Cõu 4. (2,0 điểm). Cho hỡnh bỡnh hành ABCD, đương thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC tại E, K, G. Chứng minh rằng: 1 1 1 a) AE2 = EK.EG b) AE AK AG c) Khi a thay đổi nhưng vẫn đi qua A thỡ BK.DG khụng đổi Cõu 5. (5,0 điểm). Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC (E khác B và C). Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G. a) Chứng minh tứ giác EGFK là hình thoi. b) Chứng minh AF2 = FK. FC. c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi. Cõu 6. (2,0 điểm). 1) Chứng minh rằng: A n3 (n 2 7) 2 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n. 2) Tìm x nguyên để biểu thức y có giá trị nguyên. 4x 3 Với y x 2 1 3) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 2 y 2 xy x y 1 Hết
2. (Học sinh khụng được sử dụng mỏy tớnh) ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Cõu 1 a) 2x2 5x 3 2x2 6x x 3 0,5 4 điểm 2x x 3 x 3 x 3 2x 1 0,5 4 2 4 2 2 b) x 2009x 2008x 2009 x x 1 2008x 2008x 2008 0,5 (x2 x 1)(x2 x 1) 2008(x2 x 1) 0,5 (x2 x 1)(x2 x 1 2008) (x2 x 1)(x2 x 2009) 0,5 c) x 2 x 4 x 6 x 8 16 x 2 x 8 x 4 x 6 16 x2 10x 16 x2 10x 24 16 0,5 x2 10x 20 t Đặt t 4 t 4 16 t 2 16 16 t 2 0,5
3. 2 x2 10x 20 0,5 2 2 Cõu 2 1) x y z z y x y z 2y 2z 3 điểm 0,5 x y z 2 2 x y z y z y z 2 x y z y z 2 0,5 0,5 x2 1 1 1 1 1 x2 5x 2) 2 2 2 2 2 . x x x 3x 2 x 5x 6 x 7x 12 x 9x 20 5 1 1 1 1 1 x2 5x . 0,5 x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x2 5x . 0,5 x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5 5 1 1 x2 5x . x x 5 5 0,25 5 x x 5 . 1 0,25 x x 5 5 Cõu 3 1) 4 điểm a) 3x2 x 6 2 0 3x2 6 x 2 0 3 x2 2 x 2 0 3 x 2 x 2 x 2 0 0,25 x 2 3 x 2 1 0 x 2 3x 3 2 1 0 0,25 x 2 0 3x 3 2 1 0 x 2 3 2 1 x 3 0,25 3 2 1  Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S 2;  3  2 1 2x 1 b) x2 x 1 x 1 x3 1 0,25 x 1 ĐKXĐ: 0,25
4. 2 x 1 x2 x 1 2x 1 2 0,25 2x 2 x x x2 x 2 0 x 1 x 2 0 0,25 x 1(l) 0,25 x 2(n) S 2 0,25 2) Gọi số phải tỡm là x (x > 0) Vỡ phần nguyờn x cú một chữ số nờn khi viết thờm chữ số 2 vào bờn trỏi thỡ số đú tăng thờm 20 đơn vị, nghĩa là ta cú số cú giỏ trị là 20 + x 0,25 Vỡ khi dịch dấu phẩy sang trỏi một chữ số thỡ số đú giảm đi 10 lần, nờn khi dịch dấu phẩy của số cú giỏ trị 20 + x sang trỏi thỡ được số cú giỏ trị là 20 x 10 9 Số mới nhận được bằng số ban đầu nờn ta cú phương trỡnh 10 0,25 20 x 9 x 10 10 0,25 x 2,5(n) Vậy số phải tỡm là 2,5 Cõu 4 2 điểm 1) Do ãADC Bà BãAD Bà ãADC 0,25 ã à Lấy E trờn AC sao cho ADE B . Khi đú AE < AC 0,25 ADE và ABD đồng dạng (g-g) 0,25 AD AE AD2 AB.AE AB.AC A AB AD 0,25 E B D C 2) A' A B H C B' H' C' Gọi k là tỉ số đồng dạng của ABC và A' B 'C '
5. AB BC 0,25 Ta cú k (1) A' B ' B 'C ' Xột ABH và A' B ' H ' cú: Hà Hả ' 900 (GT) Bà Bà'(GT ) Suy ra ABH và A' B ' H ' (g-g) 0,25 AB AH k (2) A' B ' A' H ' 0,25 1 S AH.BC ABC 2 k.k k 2 0,25 S 1 A'B'C ' A' H '.B 'C ' 2 Cõu 5 H 5 điểm B C F O E A K D a) Ta cú : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF 0,5 Chứng minh : BEO DFO(g c g) => BE = DF 0,5 Suy ra : Tứ giỏc : BEDF là hỡnh bỡnh hành. 0,5 b) Ta cú: ãABC ãADC Hã BC KãDC Chứng minh : CBH : CDK(g g) 0,5 CH CK CH.CD CK.CB CB CD 0,5 c) Chứng minh : AFD : AKC(g g) 0,5 0,5 AF AK AD.AK AF.AC AD AC Chứng minh : CFD : AHC(g g) 0,5 CF AH CD AC 0,5 CF AH Mà : CD = AB AB.AH CF.AC AB AC 0,5 Suy ra : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF).AC = AC2 . Cõu 6 1) 2 điểm Ta cú 0,25
6. a 13k 2 a2 132 k 2 2.13k.2 4 0,25 b 13l 3 b2 132 l 2 2.13l.3 9 0,5 a2 b2 13 13k 2 4k 13l 2 6l 13 M 13 2) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 0,25 A x x 1 x2 x 4 x2 x x2 x 4 Đặt x2 + x – 2 = t 0,25 A t 2 t 2 t 2 4 4 0,25 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là -4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = 0 x2 x 2 0 x 1 x 2 0 x 1 0,25 x 2 HS cú thể làm cỏch khỏc, nhưng sử dụng phự hợp kiến thức chương trỡnh vẫn chấm điểm tối đa. 1 2 3 6 x 2 5x 6 x 2 8x 15 x 2 13x 40 5 Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC (E khác B và C). Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đ-ờng thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G. a) Chứng minh tứ giác EGFK là hình thoi. b) Chứng minh AF2 = FK. FC. c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi. Chứng minh rằng: A n3 (n 2 7) 2 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n. Tìm x nguyên để biểu thức y có giá trị nguyên. 4x 3 Với y x 2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 2 y 2 xy x y 1