Đề thi thử chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015 - Trường THCS Nghi Hương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015 - Trường THCS Nghi Hương (Có đáp án)

1. Trường THCS Nghi Hương Đề thi thử chọn HSG Toán 8 Năm học:2014-2015 x2 y2 x2 y2 Câu 1: (5 điểm) Cho biểu thức : P x y 1 y x y 1 x x 1 1 y 1.Rút gọn P. 2.Tìm các cặp số (x;y) Z sao cho giá trị của P = 3. Câu 2:(4 điểm) a)Chứng minh rằng: (n5 – 5n3 + 4n) M 120 với m, n Z. b)Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B. A = n3 + 2n2 - 3n + 2 ; B = n2 –n . c)Tìm số nguyên dương n để n5 +1 chia hết cho n3 +1. Câu 3: (5 điểm) a)Cho a 4; ab 12. Chứng minh rằng C = a + b 7 b) Cho các số dương a, b, c có tích bằng 1 CMR: (a + 1) (b + 1)(c + 1) 8 Câu 4: (6 điểm) Trong hình thoi ABCD người ta lấy các điểm P và Q theo thứ tự trên AB và CD sao cho AP = 1/ 3 AB và CQ = 1/ 3 CD. Gọi I là giao điểm của PQ và AD , K là giao điểm của DP và BI , O là giao điểm của AC và BD. a) Chứng minh AD = AI , cho biết nhận xét về tam giác BID và vị trí của K trên IB. b) Cho Bvà D cố định tìm quỹ tích của A và I.
2. ĐÁP ÁN Câu 1. (5,5 điểm - mỗi câu 1 điểm) MTC : x y x 1 1 y x2 1 x y2 1 y x2 y2 x y x y 1 x 1 y x y xy 1. P x y 1 x 1 y x y 1 x 1 y P x y xy .Với x 1; x y;y 1 thì giá trị biểu thức được xác định. 2. Để P =3 x y xy 3 x y xy 1 2 x 1 y 1 2 Các ước nguyên của 2 là : 1; 2. Suy ra: x 1 1 x 0 y 1 2 y 3 x 1 1 x 2 (loại). y 1 2 y 1 x 1 2 x 3 y 1 1 y 0 x 1 2 x 1 (loại) y 1 1 y 2 Vậy với (x;y) = (3;0) và (x;y) = (0;-3) thì P = 3. Câu 2: (4 điểm – câu a:1,5 điểm;câu b:1 điểm;câu c:1,5điểm) a) Ta có : n5 – 5n3 + 4n = n5 – n3 – 4n3+ 4n = n3(n2 - 1) – 4n( n2 - 1)
3. = n(n - 1)( n + 1)(n - 2)(n + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp trong đó có ít nhất hai số là bội của 2 ( trong đó một số là bội của 4, một số là bội của 3, một số là bội của 5). (1 đ) Vậy tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 8,3,5 = 120. (0,5 đ) b) (n3+2n2- 3n + 2):(n2-n) được thương n + 3 dư 2 (0,5 đ) Muốn chia hết ta phải có 2 n(n-1) 2 n Ta có: (0,25đ) n 1 -1 2 -2 n-1 0 -2 1 -6 n(n-1) 0 2 2 -3 loại loại Vậy n = -1; n = 2 (0,25đ) c) Biến đổi: n5 + 1 n3 + 1 n2(n3 + 1) – (n2 –1)  n3 + 1 (0.5đ) (n + 1) (n – 1)  (n + 1)(n2 - n + 1) (0.25đ) n – 1  n2 – n + 1 (vì n + 1 0 ) (0.25đ) Nếu n = 1 thì ta được 0 chia hết cho 1 (0.25đ) Nếu n > 1 thì n – 1 < n(n – 1) + 1 = n2 – n +1 Do đó không thể xảy ra quan hệ n – 1 chia hết cho n2 – n +1 trên tập hợp số nguyên dương Vậy giá trị duy nhất của n tìm được là 1 (0.25đ) Câu 3 : ( mỗi câu 2,5 đ)
4. 3 1 3ab 1 312 1 a) Ta có: C = a + b = (a b) a 2 a 2  4 7 (ĐPCM) 4 4 4 4 4 4 b) Do a, b, c là các số dương nên ta có; 2 (a – 1)2 0a 0 a2 1 2a a2 2a 1 a2 1 4a (1) Tương tự (b + 1)2 4b (2) (c + 1)2 4c (3) Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta có: (b + 1)2(a – 1)2(c + 1)2 64abc (vì abc = 1) ((b + 1)(a – 1)(c + 1))2 64 (b + 1)(a – 1)(c + 1) 8 (đpcm) Câu 4 : AP // DQ Xét tam giác IDQ có . AP = 1 DQ 2 Theo định lý Ta Lét trong tam giác ta có : IA AP 1 2IA ID AD AI ID AQ 2 Tam giác BID là tam giác vuông tại B vì AO DB và AO là đường trung bình của BID Điểm K là trung điểm của IB. (Do DK là đường trung tuyến của BID ) . b). Với B và D cố định nên đoạn DB cố định.Suy ra trung điểm O cố định. Mặt khác AC BD , BI DB và vai trò của A và C là như nhau . Nên quỹ tích của A là đường thẳng đi qua O và vuông góc với BD trừ điểm O.Quỹ tích của điểm I là đường thẳng đi qua B và vuông góc với BD trừ điểm B. Đảo: Với A và I chạy trên các đường đó và AD = AI .Thì AP = 1 AB và CQ =1 2 3 CD. IA AP 1 Thật vậy : Do AP // DQ suy ra 2AP DQ mà AB = CD ID AQ 2 ĐPCM.