Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán lần 1 - Năm học 2014-2015 - Trường THPT Hà Trung (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán lần 1 - Năm học 2014-2015 - Trường THPT Hà Trung (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN I TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề. Câu 1 (2,0 điểm).Cho hàm số y x3 32 x (1). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b) Tìm m để phương trình x3 3 x 1 m 0có ba nghiệm phân biệt. Câu 2 (1,0 điểm).Giải phương trình sau trên tập số thực:321xx 4.3 1 0. Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình 2sin3x .cos x 3cos2 x sin 4 x . Câu 4 (1,0 điểm). 1 a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f( x ) x22 x 3 2 x x 1. 2 b) Từ một hộp chứa 20 quả cầu được đánh số từ 1 đến 20, lấy ngẫu nhiên hai quả cầu. Tính xác suất để tích 2 số ghi trên 2 quả cầu lấy ra là một số chia hết cho 3. Câu 5 (1,0 điểm).Cho hình chóp S.D ABC có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC 600 .Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng(ABCD ),góc giữa SC và mặt phẳng ()ABCD bằng 600 ,gọi M là trung điểm của S.B Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SD. Câu 6 (1,0 điểm).Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn ()C có tâm I(1;2) , cắt trục hoành tại A và B, cắt đường thẳng :3xy 4 6 0 tại C và D.Viết phương trình đường tròn ()C biết AB CD 6. Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hình thang cân ABCD có CD 2, AB phương trình hai đường chéo của hình thang là AC: x y 4 0 và BD: x y 2 0.Biết tọa độ hai điểm AB, dương và hình thang có diện tích bằng 36. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang. Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 32 2x y 2 x 2 y 1 0 (x , y ). 2 2 2 2 5x 2 xy 2 y 2 x 2 xy 5 y 3( x y) Câu 9 (1,0 điểm).Cho x,, y z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện xyz =1. Chứng minh 1 1 1 3 . (1 x )2 (1 y ) 2 (1 z ) 2 4 Hết >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ ĐÁP ÁN THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN I TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề. Câu Nội dung Điểm 1a Cho hàm số y x3 32 x (1,0 đ) • Tập xác định của hàm số là D = R . 0,25 • Sự biến thiên: + Giới hạn tại vô cực: limyy ; lim . xx + Đạo hàm: y' 3 x2 3; y ' 0 x 1 ; + Bảng biến thiên: 0,5 x -11 y‟ + 0 -0 + y 4 0 + Hàm số đồng biến trên ( ;-1) và (1; ); Hàm số nghịch biến trên (-1;1). + Hàm số đạt cực tiểu tại xy 1;ct 0 ; Hàm số đạt cực đại tại xy 1;cd 4 Đồ thị 0,25 Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận điểm uốn I(0;2) làm tâm đối xứng 1b Tìm m để phương trình: x3 3 x 1 m 0 có ba nghiệm phân biệt. >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2
3. (1,0 đ) x3 3x 1 m 0 (1) 0,25 x3 3x+2 = m + 1 Ta có số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị (C ) và đường 0,25 thẳng y = m + 1. Phương trình (1) có 3 nghiêm phân biệt khi đường thẳng y=m + 1 cắt đồ thị (C ) tại ba điểm phân biệt Dựa vào đồ thị ta có điều kiện: 0 mm 1 4 1 3 0,5 Vậy m ( 1;3)thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 Giải phương trình sau trên tập số thực: 32x 1 4.3x 1 0. (1,0 đ) 32x 1 4.3xx 1 0 3.3 2x 4.3 1 0 0,25 31x 0,5 1 3x 3 x 0 0,25 x 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S={-1 ; 0} 3 Giải phương trình: 2sin3x.cos x 3cos2x sin 4x. (1,0đ) 2sin 3x.cos x 3 cos 2x sin 4x. 0,5 sin4x sin 2x 3 cos 2x sin 4x sin2x 3 cos 2x 0 sin(2x ) 0 2x k x k (k ) 3 3 6 2 0,5 Vậy phương trình có nghiệm xk (k ) 62 4a 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: g(x) x22 x 3 2x x 1. (0,5 đ) 2 Ta có TXĐ: D 0;2 0,25 3(1 x) 3 f '(x) x 1 (x 1)(1 ), 2x xx22 2x f '(x) 0 x 1 5 0,25 f(0) 1; f (2) 1; f (1) 2 Nên Max f(x) f (0) f (2) 1. xD 5 minf ( x ) f (1) . xD 2 >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3
4. 4b Từ một hộp chứa 20 quả cầu được đánh số từ 1 đến 20, lấy ngẫu nhiên hai quả cầu. (0,5đ) Tính xác suất để tích 2 số ghi trên 2 quả cầu lấy ra là một số chia hết cho 3. 2 0,25 Chọn hai quả cầu trong 20 quả cầu được đánh số từ 1 đến 20 ta có C20 cách 2 Số phần tử của không gian mẫu là:  C20 190 Gọi A là biến cố: “tích 2 số ghi trên 2 quả cầu lấy ra là một số chia hết cho 3” 0,25 Trong các số từ 1 đến 20 các số chia hết cho 3 là 3;6;9;12;15;18. Tích 2 số ghi trên hai quả cầu là một số chia hết cho 3, xảy ra các trường hợp sau 11 Trường hợp 1: Mộtsố chia hết cho 3 và một số không chia hết cho 3. Ta có CC6 14 cách 2 Trường hợp 2: Cả hai số đều chia hết cho 3. Ta có C6 cách. 1 1 2 Nên số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: A CCC6. 14 6 99  99 Suy ra PA() A  190 99 Vậy xác suất để tích 2 số ghi trên 2 quả cầu là một số chia hết cho 3 là 190 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh SA vuông góc (1,0 đ) với mặt phẳng ABCD, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 , gọi M là trung điểm của SB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, SD. S 0,5 M B A AC a, SCA 600 O SA AC.tan 600 a 3 2 D 0 a 3 C SABCD BA. BC .sin 60 2 + 1 a3 VS.DD ABC SA. S ABC 32 Gọi O là tâm của hình thoi 0,25 >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 4
5. 3V Ta có SD / /(AMO) d (SD, MO ) d(SD,(AMO)) d(D,(AMO)) MAOD SAMO 1 1 1 1 a3 0,25 VVVVMAODD.D MABC . SABC S ABC 4 4 2 8 16 1 1aa2 15 Tam giác AMO có A;D;M SBaMO S aOA S 2 2 2AMO 16 3a a 15 d(D,(AMO)) 15 5 a 15 Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SD là 5 6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn ()C có tâm I(1;2) , cắt (1,0 đ) trục hoành tại A và B, cắt đường thằng :3x+4y 6 0 tại C và D. Viết phương trình đường tròn ()C biết AB CD 6. Gọi bán kính của đường tròn (C) là R(R > 0) 0,25 Ta có d(I, AB)= d(I,Ox) = 2; d(I; CD) =d(I, ) = 1. Suy ra R > 2 AB 2 R22 4; C D 2 R 1 0,5 AB CD62 R2 42 R 2 16 R 2 5 R 5 Vậy phương trình đường tròn (C) là (x 1)22 (y 2) 5 0,25 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hình thang cân ABCDcó CBD 2A , (1,0 đ) phương trình hai đường chéo của hình thang là AC: x y 4 0 và BD: x y 2 0. Biết tọa độ hai điểm AB, dương và hình thang có diện tích bằng 36. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang. 0,25 A B I D C Gọi I là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Tọa độ I là nghiệm của hệ x y 4 0 x 3 I(3;1) x y 2 0 y 1 IA IB AB 1 1 1 1 Ta có SSS .4 IC ID CD 2IAB 3 ABDD 3 3 ABC Nhận thấy AC, BD vuông góc với nhau nên 0,25 >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 5
6. 11 S IA . IB IA2 4 IA IB 8 IAB 22 Gọi A(a; 4-a) (0 2) 22 b 1( ktm ) IB 8 (b 3) (b 3) 8 b 5 Suy ra B(5;3) IC 2 IA (4; 4) C (7; 3) 0,25 ID 2 IB ( 4; 4) D ( 1; 3) Vậy A(1;3), B(5;3), C(7;-3);D(-1;-3) 8 32 2x y 2 x 2 y 1 0 (1,0 đ) (x , y ). 2 2 2 2 5x 2 xy 2 y 2 x 2 xy 5 y 3( x y) 1 0,5 Điều kiện y 2 5x2 2xy y 2 (2x+y) 2 (xy) 2 2x y 2x y 2x2 2xy 5 y 2 (x+2y) 2 (x y) 2 x 2 y x 2 y 5x2 2xy y 2 2x 2 2x y 5 y 2 3x3 y ( dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y và x, y dương) Nên từ phương trình 2 ta có x = y Thay y = x vào phương trình (1) ta có 0,25 2x3 x 2 2x 2x1 0 (2x 3 x 2 2x1)(2x11) 0 2(x 1) (x 1)(2x2 x 1) 0 2x-1 1 2 (x1)(2x 2 x1 )0 2x-1 1 x 1 2 2x2 x 1 0 (3) 2x-1 1 Với xy 11 (thỏa mẵn điều kiện) 120,25 Ta có x 2x22xx 1 (x 1)(2x - 1) 0 2x 1 0 2 2x 1 1 Nên phương trình (3) vô nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;1) 9 Cho x,, y z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện xyz =1. Chứng >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 6
7. (1,0 đ) 1 1 1 3 minh (1 x)2 (1 yz ) 2 (1 ) 2 4 x, y, z dương và xyz = 1 nên luôn tồn tại hai số cùng lớn hơn hoặc bằng 1 hoặc hai 0,25 số cùng nhỏ hơn hoặc bằng 1. Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là x, y . (x 1)( y 1) 0 x y xy 1 1 1 2 2 2 1 z 0,5 (1)(1)(1)(1)1 x22 y xy xyxy 22x1 y xyz 1 1 1 1z 1 (1 x)2 (1 y ) 2 (1 z ) 2 z 1 (1 z) 2 . Ta có 0,25 z1 3 ( z 1)2 z 1 3 0 z 1(1) z2 4(1) z 2 z 1(1z) 2 4 1 1 1 3 (1 x )2 (1 y ) 2 (1 z ) 2 4 Dấu „=‟ xảy ra khi x = y = z =1 >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 7