Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán lần 2 năm 2019 - Mã đề 103 - Sở giáo dục và đào tạo Thái Nguyên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán lần 2 năm 2019 - Mã đề 103 - Sở giáo dục và đào tạo Thái Nguyên (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT THÁI NGUYÊN KÌ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 2 NĂM 2019 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Bài thi: Toán (Đề thi có 06 trang) (Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề) Mã đề thi 103 Mục tiêu: Đề thi thử Toán THPT Quốc gia 2019 lần 2 trường THPT chuyên Thái Nguyên mã đề 103 gồm 06 trang với 50 câu hỏi trắc nghiệm, thời gian làm bài thi Toán là 90 phút. Cấu trúc đề thi bám sát đề minh họa THPT Quốc gia 2019 môn Toán của Bộ Giáo dục và Đào tạo nhằm giúp các em học sinh khối 12 được ôn luyện, củng cố và nâng cao kiến thức, kỹ năng giải toán. Từ đó có sự chuẩn bị tốt nhất trước khi bước vào kỳ thi THPT Quốc gia năm học 2018 – 2019. Câu 1 (NB): Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng đi qua điểm M 2;0; 1 và có một véc tơ chỉ phương a 4; 6;2 . Phương trình tham số của là x 2 4t x 2 2t x 4 2t x 2 2t A. y 6t B. y 3t C. y 6 D. y 3t z 1 2t z 1 t z 2 t z 1 t Câu 2 (TH): Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. y x4 2x2 1 B. y 2x4 4x2 1 C. y x4 2x2 1 D. y x4 2x2 1 Câu 3 (NB): Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P :3x z 2 0 . Véc tơ nào dưới đây là một véc tơ pháp tuyến của P ? A. n 3; 1;2 B. n 1;0; 1 C. n 0;3; 1 D. n 3; 1;0 Câu 4 (NB): Khi quay một tam giác vuông (kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó) quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông ta được A. Hình nón B. Khối trụ C. Khối nón D. Hình trụ Câu 5 (TH): Cho cấp số cộng un , biết u1 5,d 2 . Số 81 là số hạng thứ bao nhiêu? A. 44 B. 100 C. 75 D. 50 Câu 6 (NB): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA a 3 . Tính thể tích hình chóp S.ABCD. a3 a3 3 A. B. C. a3 3 D. 3a3 3 3 3 Câu 7 (NB): Cho số phức z 10 2i . Phần thực và phần ảo của số phức z là A. Phần thực bằng 10 và phần ảo của số phức bằng . 2i B. Phần thực bằng 10 và phần ảo bằng . 2 1
2. C. Phần thực bằng 10 và phần ảo bằng 2. D. Phần thực bằng 10 và phần ảo bằng 2i. Câu 8 (NB): Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau đây. Mệnh đề nào sau đây đúng? x -2 1 y’ - 0 - 0 + 20 y -7 A. Hàm số y f x đạt cực tiểu tại x 2 B. Hàm số yđạt cựcf x tiểu tại x 1 C. Hàm số yđạt cựcf x tiểu tại x 7 D. Hàm số y f x không có cực trị Câu 9 (NB): Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó? x x x 2 x 1 e A. y B. y 2 C. y D. y 3 2 Câu 10 (TH): Cho trước 5 chiếc ghế xếp thành một hàng ngang. Số cách xếp 3 bạn A, B, C vào 5 chiếc ghế đó sao cho mỗi bạn 1 ghế là 3 3 A. C5 B. 6 C. A5 D. 15 Câu 11 (TH): Họ nguyên hàm của hàm số f x 22x là 4x 1 A. C B. C C. 4x C D. 4x.ln 4 C ln 4 4x.ln 4 Câu 12 (NB): Trong không gian Oxyz cho điểm A 2;1;3 . Hình chiếu vuông góc của A trên trục Ox có tọa độ là A. 0;1;0 B. 2;0;0 C. 0;0;3 D. 0;1;3 Câu 13 (NB): Cho hàm số f x có đạo hàm f ' x x x 1 2 . Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; B. 1;0 C. ; 1 D. 0; 1 2 2 Câu 14 (NB): Cho f x dx 3 và f x dx 2 . Khi đó f x dx 0 1 0 A. 1 B. 1 C. 5 D. 6 Câu 15 (NB): Với a và b là hai số thực dương tùy ý, log a2b3 bằng 1 1 A. log a logb B. 2log a logb C. 2log a 3logb D. 2log a.3logb 2 3 2
3. Câu 16 (TH): Phương trình log 54 x3 3log x có nghiệm là A. x 4 B. x 3 C. x 1 D. x 2 Câu 17 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x2 y2 z2 6x 4y 12 0 . Mặt phẳng nào sau đây cắt S theo một đường tròn có bán kính ?r 3 A. 4x 3y z 4 26 0 B. 2x 2y z 12 0 C. 3x 4y 5z 17 20 2 0 D. x y z 3 0 Câu 18 (TH): Cho một khối trụ có độ dài đường sinh bằng 10cm. Biết thể tích khối trụ bằng .9 0 cm3 Diện tích xung quanh của khối trụ bằng A. 36 cm2 B. 78 cm2 C. 81 cm2 D. 60 cm2 Câu 19 (TH): Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn z 2z 7 3i z . Mô đun của số phức w 1 z z2 bằng A. w 445 B. w 425 C. w 37 D. w 457 x2 3x 6 Câu 20 (TH): Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên x 2 đoạn 0;1 . Giá trị của M 2m bằng A. 11 B. 10 C. 11 D. 10 Câu 21 (TH): Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình f x m có năm nghiệm phân biệt thuộc đoạn 0;5 ? A. m 0;1 B. m 1; C. m 0;1 D. m (0;1] Câu 22 [TH]: Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu S có phương trình dạng x2 y2 z2 4x y 2az 10a 0. Tập hợp các giá trị thực của a để S có chu vi đường tròn lớn bằng 8 là A. 1;10 B.  10;2 C.  1;11 D. 1; 11 1 Câu 23 (TH): Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 mx2 m2 m 1 x 1 đạt cực 3 đại tại điểm x 1 ? A. m 2 hoặc m 1 B. m 2 hoặc m 1 C. m 1 D. m 2 2 Câu 24 (TH): Tập nghiệm của bất phương trình log2 x 5log2 x 6 0 là 1 1 1 A. S 0; B. S 64; C. S 0; 64; D. S ;64 2 2 2 3
4. x x2 2x Câu 25 (TH): Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2 .5 1 . Khi đó tổng x1 x2 bằng A. 2 log5 2 B. 2 log5 2 C. 2 log5 2 D. 2 log2 5 Câu 26 (TH): Trong mặt phẳng Oxyz, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1 3i; z2 2 2i;z3 5 i . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó điểm G biểu diễn số phức là A. z 1 i B. z 1 2i C. z 1 2i D. z 2 i Câu 27 (TH): Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác với AvàB a, AC 2a BAC 1200 , AA' 2a 5 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 4a3 5 a3 15 A. V a3 15 B. V C. V D. V 4a3 5 3 3 Câu 28 (TH): Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y tan x; y 0; x 0; x quay xung quanh 4 trục Ox. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra. ln 2 ln 3 A. B. C. D. ln 2 2 4 4 3 2 Câu 29 (VD): Cho hàm số f x ax bx cx d a,b,c,d có đồ x2 4x 3 x2 x thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số g x có bao nhiêu 2 x f x 2 f x đường tiệm cận đứng? A. 3 B. 2 C. 6 D. 4 Câu 30 (VD): Cho tứ diện ABCD có AB AC AD và BAC BAD 600 . Xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD A. 9 00 B. 450 C. 600 D. 300 Câu 31 (VD): Cho một miếng tôn hình tròn tâm O, bán kính R. Cắt bỏ một phần miếng tôn theo một hình quạt OAB và gò phần còn lại thành một hình nón đỉnh O không có đáy (OA trùng với OB). Gọi S và S ' S ' lần lượt là diện tích của miếng tôn hình tròn ban đầu và diện tích của miếng tôn còn lại. Tìm tỉ số để S thể tích của khối nón đạt giá trị lớn nhất. 2 1 1 6 A. B. C. D. 3 4 3 3 m 1 x2 2mx 6m Câu 32 (VD): Số các giá trị nguyên của tham M  2019;2019 để hàm số y x 1 đồng biến trên khoảng 4; ? A. 2034 B. 2018 C. 2025 D. 2021 Câu 33 (VD): Cho các số phức z thỏa mãn z 1 2 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w 1 i 8 z i là một đường tròn. Bán kính r của đường tròn đó là A. 9 B. 36 C. 6 D. 3 4
5. Câu 34 (VD): Tính tổng các giá trị nguyên của tham số m  50;50 sao cho bất phương trình 4 mx 4x m 0 nghiệm đúng với mọi x . A. 1272 B. 1275 C. 1 D. 0 Câu 35 (VD): Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log2 cosx mlog cos2 x m2 4 0 vô nghiệm. A. m 2;2 B. m 2; 2 C. m 2;2 D. m 2; 2 Câu 36 (VD): Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn  2;1 thỏa mãn f 0 1 và 2 f x . f ' x 3x2 4x 2. Giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên đoạn  2;1 là: A. 2 3 16 B. 3 18 C. 3 16 D. 2 3 18 Câu 37 (VD): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SBD 600 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO. a 5 a 2 a 2 a 5 A. B. C. D. 2 2 5 5 Câu 38 (VD): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1;0;2 , B 3;1; 1 và mặt phẳng   P : x y z 1 0 . Gọi M a;b;c P sao cho 3MA 2MB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính S 9a 3b 6c . A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 Câu 39 (VD): Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy? A. 108864 B. 80640 C. 145152 D. 217728 2 4 Câu 40 (VD): Cho hàm số f x thỏa mãn f ' x f x . f ' x 15x 12x,x và 2 f 0 f ' 0 1. Giá trị của f 1 là 5 9 A. 10 B. 8 C. D. 2 2 x2 xy 3 0 Câu 41 (VDC): Cho x, y 0 và thỏa mãn . Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2x 3y 14 0 biểu thức P 3x2 y xy2 2x3 2x ? A. 8 B. 0 C. 4 D. 12 1 y Câu 42 (VDC): Xét các số thực dương x;y thỏa mãn log 3xy x 3y 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất 3 x 3xy Pmin của biểu thức P x y . 4 3 4 4 3 4 4 3 4 4 3 4 A. P B. P C. P D. P min 3 min 3 min 9 min 9 Câu 43 (VD): Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy) đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 5
6. 18 dm3 . Biết khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa khối cầu chìm trong nước. Tính thể tích nước còn lại trong bình. A. 27 dm3 B. 6 dm3 C. 9 dm3 D. 24 dm3 Câu 44 (VD): Khi cắt hình nón có chiều cao 16 cm và đường kính đáy 24 cm bởi một mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón ta thu được thiết diện có diện tích lớn nhất gần với giá trị nào sau đây? A. 170 B. 260 C. 294 D. 208 2a 5 Câu 45 (VDC): Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Khoảng cách giữa AB và B’C là , 5 2a 5 a 3 khoảng cách giữa BC và AB’ là , khoảng cách giữa AC và BD’ là . Tính thể tích khối hộp 5 3 ABCD.A’B’C’D’. A. 4a3 B. 3a3 C. 5a3 D. 2a3 Câu 46 (VD): Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x 3 2m 1 x2 3m x 5 có ba điểm cực trị? A. Vô số B. 3 C. 2 D. 1 3 2 Câu 47 (VD): Cho hai hàm số y x ax bx c a,b,c có đồ 2 thị C và y mx nx p m,n, p có đồ thị P như hình vẽ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi C và P có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây? A. 0;1 B. 1;2 C. 2;3 D. 3;4 Câu 48 (VD): Trong không gian Oxyz, mặt cầu S đi qua điểm A 2; 2;5 và tiếp xúc với ba mặt phẳng P : x 1, Q : y 1 và R : z 1 có bán kính bằng A. 3 B. 1 C. 2 3 D. 3 3 Câu 49 (VD): Cho z1, z2 là hai số phức thỏa mãn điều kiện z 5 3i 5 đồng thời z1 z2 8 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w=z1 z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình A. x 10 2 y 6 2 36 B. x 10 2 y 6 2 16 2 2 2 2 5 3 5 3 9 C. x y 9 D. x y 2 2 2 2 4 Câu 50 (VD): Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x trên tập số thực và đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ. Khi đó, đồ thị 2 của hàm số y f x có A. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu 6
7. B. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại C. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu D. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu 7
8. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.B 7.C 8.B 9.B 10.C 11.A 12.B 13.D 14.C 15.C 16.B 17.C 18.D 19.D 20.A 21.A 22.C 23.D 24.D 25.A 26.B 27.A 28.A 29.D 30.A 31.D 32.D 33.C 34.A 35.C 36.C 37.D 38.B 39.C 40.B 41.B 42.A 43.B 44.D 45.D 46.A 47.B 48.A 49.A 50.D Câu 1: Phương pháp x x0 at Đường thẳng đi qua điểm M x0 ; y0 ; z0 và VTCP u a;b;c có phương trình là y y0 bt z z0 ct Cách giải: 1 Đường thẳng đi qua điểm M 2;0; 1 và có một véc tơ chỉ phương a 4; 6;2 hay a 2; 3;1 2 x 2 2t nên : y 3t z 1 t Chọn B Câu 2: Phương pháp: + Xác định rằng đây là đồ thị hàm số y ax4 bx2 c + Dựa vào đồ thị hàm số xác định dấu của hệ số a + Hàm số có ba cực trị thì ab 0 + Xác định một số điểm thuộc đồ thị, thay tọa độ các điểm đó vào các hàm số để loại trừ đáp án. Cách giải: Từ đồ thị ta thấy lim y nên hệ số a 0 , loại C x Đồ thị hàm số có 3 cực trị nên ab 0 suy ra b 0 , loại A. Điểm 1;1 thuộc đồ thị hàm số nên ta thay x 1; y 1 vào các hàm số ở B và D, thấy chỉ có hàm số y 2x4 4x2 1 thỏa mãn. Chọn B. Câu 3: Phương pháp: Mặt phẳng Ax By Cz D 0 có một véc tơ pháp tuyến n A; B;C Cách giải: Mặt phẳng P :3x z 2 0 có một véc tơ pháp tuyến n 3;0; 1 8
9. Chọn C. Câu 4: Phương pháp: Sử dụng kiến thức lý thuyết về khối nón. Cách giải: Khi quay một tam giác vuông (kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó) quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông ta được một khối nón. Chọn C. Chú ý: Một số em nhầm sang đáp án A là hình nón. Ở đây chúng ta lưu ý rằng khi quay tất cả các điểm bên trong tam giác quanh cạnh góc vuông thì ta sẽ được một khối đặc nên ta dược một khối nón chứ không phải hình nón. Câu 5: Phương pháp: Sử dụng công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng un u1 n 1 d Cách giải: Ta có: un u1 n 1 d hay 81 5 n 1 .2 n 44 Vậy 81 là số hạng thứ 44 của dãy. Chọn A. Câu 6: Phương pháp: 1 Thể tích khối chóp có chiều cao h và diện tích đáy S là V h.S 3 Cách giải: 2 Diện tích đáy SABCD a 1 1 a3 3 Thể tích khối chóp là V SA.S .a 3.a2 ABCD 3 ABCD 3 3 Chọn B. Câu 7: Phương pháp: Số phức liên hợp của z a bi là z a bi Cách giải: Số phức của z 10 2i là z 10 2i Vậy phần thực của z là 10 và phần ảo 2. Chọn C. Câu 8: Phương pháp Sử dụng cách đọc bảng biến thiên. Nếu y’ đổi dấu từ âm sang dương tại x a thì x a là điểm cực tiểu của hàm số Nếu y’ đổi dấu từ dương sang âm tại x b thì x b là điểm cực đại của hàm số 9
10. Cách giải: Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại xvà đạt1 cực đại tại x 2 Chọn B. Câu 9: Phương pháp: Hàm số y a x 0 a 1 đồng biến nếu a 1 Cách giải: x Trong các đáp án đã cho chỉ có đáp án B có hàm số y 2 có 2 1 nên hàm số đồng biến trên . Chọn B. Câu 10: Phương pháp Sử dụng kiến thức về chỉnh hợp. Lưu ý rằng nếu chọn các phần tử rồi mang ra sắp xếp thì ta sẽ sử dụng chỉnh hợp. Cách giải: 3 Mỗi cách xếp 3 bạn vào 5 chiếc ghế là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử nên số cách xếp có được là A5 (cách). Chọn C. Câu 11: Phương pháp a x Nguyên hàm của hàm số y a x 0 a 1 là C . ln a Cách giải: 4x Ta có: f x 22x 4x nên nguyên hàm của f x là C ln 4 Chọn A. Câu 12: Phương pháp Hình chiếu vuông góc của điểm M a;b;c lên trục Ox là M a;0;0 Cách giải: Hình chiếu vuông góc của điểm A 2;1;3 lên trục Ox là A 2;0;0 Chọn B. Câu 13: Phương pháp: Các khoảng làm cho y ' 0 thì hàm số đồng biến. Cách giải: Ta có: f ' x x x 1 2 0 x 0 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên 0; Chọn D. Câu 14: 10
11. Phương pháp b c c Sử dụng tính chất tích phân: f x dx f x dx f x dx a b a Cách giải: 1 2 2 2 Ta có: f x dx f x dx f x dx f x dx 2 3 5 0 1 0 0 Chọn C. Câu 15: Phương pháp Sử dụng các công thức biến đổi log xn nlog x,log xy log x log y với điều kiện các logarit đều có nghĩa. Cách giải: Ta có: log a2b3 loga 2 logb3 2log a 3logb a,b 0 . Chọn C. Câu 16: Phương pháp: f x 0 Đưa phương trình về dạng loga f x loga g x g x 0 f x g x Cách giải: Ta có log 54 x3 3log x log 54 x3 log x3 54 x3 0 0 x 33 2 0 x 33 2 x 0 x 3 3 3 3 2x 54 x 3 54 x x Chọn B. Câu 17: Phương pháp - Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến P , sử dụng công thức d R2 r 2 - Đối chiếu với các đáp án: Kiểm tra d I, P bằng kết quả vừa tìm được ở trên và kết luận. Cách giải: Mặt cầu S có tâm I 3; 2;0 và bán kính R 32 0 22 12 5 Khoảng cách từ I đến P là d I, P R2 r 2 52 32 4 Đối chiếu các đáp án ta thấy: 4.3 3. 2 0 4 6 Đáp án A: d I, P 4 nên loại A. 42 3 2 1 2 11
12. 2.3 2. 2 0 12 14 Đáp án B: d I, P 4 nên loại B. 22 22 1 2 3 3.3 4. 2 5.0 17 20 2 Đáp án C: d I, P 4 nên chọn C. 32 4 2 52 Chọn C. Câu 18: Phương pháp: Hình trụ có bán kính đáy r và có chiều cao h thì có diện tích xung quanh Sxq 2 rh và có thể tích V r 2h . (Với khối trụ thì đường sinh và chiều cao bằng nhau) Cách giải: Gọi r là bán kính đáy, theo đề bài ta có h 10cm;V 90 cm3 V r 2h 90 r 2.10 r 3cm 2 Diện tích xung quanh hình trụ là Sxq 2 rh 2 .3.10 60 cm Chọn D. Câu 19: Phương pháp - Gọi z a bi a ,b - Thay vào điều kiện bài cho tìm z , từ đó tính w và kết luận. Cách giải: Gọi z a bi a ,b , ta có: z 2z 7 3i z a2 b2 2 a bi 7 3i a bi a2 b2 2a 2bi 7 3i a bi 0 a2 b2 3a 7 b 3 i 0 a2 b2 3a 7 0 b 3 2 b 3 0 a 9 3a 7 0 1 Giải 1 ta có: 3a 7 0 a2 9 3a 7 0 a2 9 3a 7 2 2 a 9 9a 42a 49 7 a 7 3 a 3 a 4 8a2 42a 40 0 5 a 4(tm) a 4 Do đó a 4,b 3 z 4 3i Khi đó w 1 z z2 1 4 3i 4 3i 2 1 4 3i 16 24i 9 4 21i 12
13. Vậy w 42 21 2 457 . Chọn D. Câu 20: Phương pháp + Tìm điều kiện xác định + Xét trên đoạn a;b . Tính y ' ; giải phương trình y ' 0 tìm các nghiệm xi a;b + Tính y a ; y xi ; y b + max y maxy a ; y xi ; y b  và min y miny a ; y xi ; y b  a;b a;b a;b a;b Từ đó xác định M ;m M 2m Cách giải: ĐKXĐ: x 2 Xét trên đoạn 0;1 ta có 2 2x 3 x 2 x 3x 6 x2 4x x 0(tm) Ta có y ' 2 2 0 x 2 x 2 x 4(ktm) M max y 3 y 0 3 0;1 M 2m 3 2. 4 11 y 1 4 m min y 4 0;1 Chọn A. Câu 21: Phương pháp: - Vẽ phác đồ thị hàm số y f x từ đồ thị hàm số y f x đã cho (lấy đối xứng phần dưới trục hoành qua trục hoành và giữ nguyên phần phía trên trục hoành). - Sử dụng tương giao đồ thị suy ra tập giá trị của m. Cách giải: Từ đồ thị hàm số đã cho ta dựng được đồ thị hàm số y f x như sau: Quan sát đồ thị hàm số ta thấy, trên đoạn 0;5 thì đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y f x tại đúng 5 điểm phân biệt nếu và chỉ nếu 0 m 1 Chọn A. Câu 22: Phương pháp: Xác định tâm và bán kính mặt cầu x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 với a2 b2 c2 d 0 có tâm I a;b;c và bán kính R a2 b2 c2 d Chu vi đường tròn bán kính R là C 2 R 13
14. Cách giải: Mặt cầu x2 y2 z2 4x 2y 2az 10a 0 có: +) Tâm I 2; 1;a 2 a 5 2 5 +) Bán kính R 22 1 a2 10a a2 10a 5 với điều kiện a2 10a 5 0 a 5 2 5 Đường tròn lớn của hình cầu có bán kính R a2 10a 5 nên chu vi C 2 a2 10a 5 Theo đề bài ta có: C 8 2 a2 10a 5 8 a2 10a 5 4 2 2 a 1 a 10a 5 16 a 10a 11 0 (tm) a 11 Vậy a  1;11 Chọn C. Câu 23: Phương pháp f ' x0 0 Hàm số bậc ba y f x đạt cực đại tại điểm x x0 nếu f '' x0 0 Cách giải: 1 Đặt y f x x3 mx2 m2 m 1 x 1 3 Ta có: f ' x x2 2mx m2 m 1; f '' x 2x 2m f ' 1 0 12 2m.1 m2 m 1 0 Hàm số đạt cực đại tại x 1 f '' 1 0 2.1 2m 0 2 m 1 m 3m 2 0 m 2 m 2 2 2m 0 m 1 Chọn D. Câu 24: Phương pháp +) Tìm điều kiện xác định. +) Phân tích vế trái thành nhân tử rồi giải bất phương trìn (hoặc đặt ẩn phụ log2 x t ) Cách giải: ĐK: x 0 . Ta có 2 log2 x 5log2 x 6 0 log2 x 1 log2 x 6 0 1 1 log x 6 x 64 2 2 14
15. 1 Kết hợp điều kiện ta có S ;64 2 Chọn D. Câu 25: Phương pháp: - Logarit hai vế theo cơ số 5 đưa về phương trình tích. - Giải phương trình tìm nghiệm và kết luận. Cách giải: Ta có: x x2 2x x x2 2x x x2 2x 2 .5 1 log5 2 .5 log5 1 log5 2 log5 5 0 2 2 x log5 2 x 2x log5 5 0 x log5 2 x 2x 0 x 0 x 0 x log5 2 x 2 0 x 2 log5 2 0 x 2 log5 2 Vậy tổng hai nghiệm 0 2 log5 2 2 log5 2 Chọn A. Câu 26: Phương pháp +) Điểm z a bi a;b có điểm biểu diễn hình học là M a;b x x x x A B C G 3 +) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ y y y y A B C G 3 Cách giải: Từ bài ra ta có A 0; 3 , B 2; 2 ,C 5; 1 xA xB xC 0 2 5 xG 1 3 3 Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ G 1; 2 y y y 3 2 1 y A B C 2 G 3 3 Điểm G 1; 2 biểu diễn số phức z 1 2i . Chọn B. Câu 27: Phương pháp: Thể tích lăng trụ Vvới B hlà diện tích đáy, h là chiều cao. Cách giải: Diện tích tam giác ABC là: 1 1 3 a2 3 S AB.AC.sin A a.2a. ABC 2 2 2 2 15
16. a2 3 Thể tích lăng trụ V S .AA' .2a 5 a3 15 ABC 2 Chọn A. Câu 28: Phương pháp: Thể tích vật thể được sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x ; y 0; x a; x b b quanh trục Ox là V f 2 x dx a Cách giải: 4 2 4 4 sin x Thể tích cần tìm là V tan x dx tan xdx dx 0 0 0 cos x 4 1 4 1 ln 2 d cos x ln cos x ln ln 2 0 cos x 2 2 0 Chọn A. Câu 29: Phương pháp: - Viết lại f x dưới dạng tích, thay vào g x - Tìm các điểm làm cho g x không xác định và tính giới hạn của hàm số ykhi xg dầnx tới các điểm đó. - Sử dụng định nghĩa tiệm cận đứng và kết luận. Cách giải: x 0 x 0 x 1 2 Điều kiện: x x 0 f x 0 2 f x 2 f x 0 f x 2 Từ đồ thị hàm số y f x ta thấy phương trình f x 0 có nghiệm x 3 (bội 2) và nghiệm đơn 2 x x0 1;0 nên ta viết lại f x a x 3 x x0 x2 4x 3 x2 x x2 4x 3 x2 x Khi đó g x 2 x f x 2 f x x. f x f x 2 Dựa vào đồ thị ta cũng thấy, đường thẳng y 2 cắt đồ thị hàm số y f x tại ba điểm phân biệt x 1, x x1 3; 1 , x x2 3 nên ta viết lại f x 2 a x 1 x x1 x x2 x 1 x 3 x2 x Khi đó g x 2 x.a x 3 . x x0 .a x 1 x x1 x x2 16
17. x2 x 2 a x x 3 x x0 x x1 x 2 Dễ thấy x x0 1;0 nên ta không xét giới hạn của hàm số tại điểm x0 Ta có: x 1 +) lim g x lim x 0 x 0 2 a x x 3 x x0 x x1 x 2 x 0 là đường TCĐ của đồ thị hàm số y g x +) lim g x lim g x lim g x x 3 x x1 x x2 Các đường thẳng x 3, x x1, x x2 đều là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y g x Vậy đồ thị hàm số y g x có tất cả 4 đường tiệm cận đứng. Chọn D. Câu 30: Phương pháp: Lấy N là trung điểm AB. Chứng minh AB  NCD từ đó suy ra góc giữa AB và CD. Cách giải: Các tam giác ABC và ABD đều là tam giác cân có 1 góc bằng 600 (gt) nên ABC; ABD là các tam giác đều. Lấy N là trung điểm AB. Khi đó CN  AB; DN  AB (tính chất tam giác đều) AB  DCN AB  DC Nên góc giữa AB và CD là 900 . Chọn A. Câu 31: Phương pháp: - Lập hàm tinh thể tích khối nón, xét hàm suy ra GTLN. - Tính diện tích S , S ' với chú ý S là diện tích hình tròn và S ' là diện tích xung quanh của hình nón. Cách giải: Diện tích hình tròn S R2 Gọi bán kính đường tròn đáy hình nón là r 0 r R ta có 1 1 V r 2h r 2 R2 r 2 3 3 Xét hàm f r r 2 R2 r 2 có 2 2 3 2 2 r 2r R r r r 2R 3r f ' r 2r R2 r 2 r 2. R2 r 2 R2 r 2 R2 r 2 R2 r 2 R2 r 2 17
18. R 2 f ' r 0 r do0 r R : 3 Bảng biến thiên: R 2 r 0 R 3 f ' r + 0 - fmax f r R 2 R 2 R2 2 Do đó thể tích V đạt GTLN tại r . Khi đó S ' S rl . .R 3 xq 3 3 S ' R2 2 2 6 Vậy : R2 S 3 3 3 Chọn D. Câu 32: Phương pháp: +) Tính đạo hàm y ' +) Để hàm số đồng biến trên khoảng K thì y ' 0;x K +) Cô lập m đưa về dạng gtừ đóx suym; rax m . K Cách giải: ĐK: x 1 2 m 1 x 2m . x 1 m 1 x2 2mx 6m Ta có y ' x 1 2 2 m 1 x2 2 m 1 x 2mx 2m m 1 x2 2mx 6m x 1 2 m 1 x2 2 m 1 x 4m x 1 2 Để hàm số đồng biến trên 4; thì y ' 0;x 4 m 1 x2 2 m 1 x 4m 0;x 4 m 1 x2 2x 4m;x 4 + Với m 1 0 m 1 0 4 (luôn đúng) nên nhận m 1. 1 4m 4m + Với m 1 0 m 1 x2 2x ;x 4 min x2 2x m 1 m 1 4; Xét hàm số g x x2 2x có g ' x 2x 2 0 x 1 4; , ta có BBT trên 4; là 18
19. x 4 g ' x + g x 8 4m 8 4m 8m 8 m 2 Từ BBT suy ra m 1 m 1 2 m 1 m 1 m 1 4m 4m + Với m 1 0 m 1 x2 2x ;x 4 max g x m 1 m 1 4; Từ BBT của g x suy ra không có m thỏa mãn. Từ (1) và (2) suy ra m 1 mà m  2019;2019 và m nguyên nên m  1;0; ;2019 có 2021 số thỏa mãn. Chọn D. Câu 33: Phương pháp: +) Rút z theo w, thay vào giả thiết z 1 2 +) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn w a bi r là đường tròn tâm Ibán a; b kính r Cách giải: w i Ta có w 1 i 8 z i z 1 i 8 w i Theo bài ra ta có: z 1 2 1 2 1 i 8 w i 1 i 8 2 w 1 1 i 8 i 2 1 i 8 1 i 8 2 w 1 1 i 8 i 2 12 8 6 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 1;1 8 , bán kính r 6 Chọn C. Câu 34: Phương pháp: Cô lập m đưa bất phương trình về dạng msuy raf x ;x m max f x Ta tính f ' x rồi lập BBT của f x và kết luận. Cách giải: 19
20. 4 4 4x 4 Ta có mx 4x m 0 m x 1 4x m 4 f x Do x 1 0x với x x 1 m max f x 4x Xét hàm f x trên x4 1 2 2 x4 1 x.4x3 3x4 1 1 3x 1 3x Ta có f ' x 4 2 4. 2 4. 2 x4 1 x4 1 x4 1 1 x 4 3 Từ đó f ' x 0 1 x 4 3 Ta có BBT: 1 1 x 4 3 4 3 f ' x - + - 3 0 4 3 f x 3 0 4 3 3 Từ BBT suy ra m 2,27 mà m nguyên và m  50;50 m 3;4; ;50 4 3 3 50 .48 Tổng S 3 4 50 1272 2 Chọn A. Câu 35: Phương pháp: - Đặt t log cos x và tìm điều kiện của t . - Thay vào phương trình đã cho đưa về phương trình ẩn t . - Biến đổi điều kiện bài toán về điều kiện của phương trình vừa có được và tìm m . Cách giải: Điều kiện: cos x 0 x k ,k 2 Ta có: log2 cos x mlog cos2 x m2 4 0 log2 cos x 2mlog cos x m2 4 0 Đặt t log cos x . Do 0 cos x 1 nên log cos x 0 hay t ;0 20
21. Phương trình trở thành t 2 2mt m2 4 0 * có ' m2 m2 4 2m2 4 Phương trình đã cho vô nghiệm nếu và chỉ nếu phương trình (*) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm (không nhất thiết phân biệt) t1,t2 thỏa mãn 0 t1 t2 TH1: (*) vô nghiệm ' 2m2 4 0 2 m 2 TH2: (*) có hai nghiệm thỏa mãn 0 t1 t2 m 2 ' 0 2m2 4 0 m 2 t1 t2 0 2m 0 m 0 2 m 2 t t 0 2 2 m 2 1 2 m 4 0 Kết hợp hai trường hợp ta được m 2;2 Chọn C. Câu 36: Phương pháp: +) Lấy nguyên hàm hai vế của đẳng thức ở đề bài, từ đó ta tìm được f x . (sử dụng phương pháp đưa vào trong vi phân f ' x dx d f x +) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên a;b . Ta giải phương trình f ' x 0 tìm các nghiệm xi a;b +) Khi đó max f x max f a ; f xi ; f b  a;b Cách giải: 2 2 Ta có f x . f ' x 3x2 4x 2 f x . f ' x dx 3x2 4x 2 dx 3 2 f x f x d f x x3 2x2 2x C x3 2x2 2x C 3 3 f x 3x3 6x2 6x 3C 3 Ta có: f 0 1 1 3C f x 3x3 6x2 6x 1 f x 3 3x3 6x2 6x 1 Xét hàm f x 3 3x3 6x2 6x 1 trên  2;1 Ta có 1 2 f ' x 9x2 12x 6 3 3x3 6x2 6x 1 3 21
22. 2 3x2 4x 2 3 3x3 6x2 6x 1 2 4 4 2 3 2 2 3 x x 3 3x 6x 6x 1 3 9 9 2 2 2 3 2 2 3 x 3 3x 6x 6x 1 3 9 Nhận thấy f ' x 0x Hàm số đồng biến trên 2;1 Suy ra max f x f 1 3 16  2;1 Chọn C. Câu 37: Phương pháp: - Dựng mặt phẳng chứa SO và song song với AB . - Sử dụng lý thuyết: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng kia. - Đưa bài toán về tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và kết luận. Cách giải: Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC thì AB / / EF AB / / SEF Mà SO  SEF d AB,SO d AB, SEF d A, SEF Dựng AH  SE Ta thấy: FE / / AB, AB  SAD FE  SAD FE  AH Mà AH  SE nên AH  SEF d A, SEF AH ABCD là hình vuông cạnh a nên BD a 2 Dễ dàng chứng minh được SAB SAD (c.g.c) SB SD Tam giác SBD cân có SBD 600 nên đều SD BD a 2 Tam giác SAD vuông tại A có SA SD2 AD2 2a2 a2 a 1 a a2 a 5 Tam giác SAE vuông tại A có SA a, AE AD SE SA2 AE 2 a2 2 2 4 2 a a. SA.AE a a 5 Do đó AH 2 SE a 5 5 5 2 Chọn D. Câu 38: Phương pháp:   + Tìm điểm I thỏa mãn 3IA 2IB 0 + Đưa biểu thức cần tìm về MI từ đó lập luận để có M là hình chiếu của I trên mặt phẳng P  + Viết phương trình đường thẳng d qua I và nhận nP làm VTCP. 22
23. + Điểm M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng P Cách giải:     Gọi I x; y; z là điểm thỏa mãn 3IA 2IB 0 3IA 2IB   Ta có IA 1 x; y;2 z ; IB 3 x;1 y; 1 z 3 3x 6 2x x 3   Khi đó 3IA 2IB 3y 2 2y y 2 I 3; 2;8 6 3z 2 2z z 8 Ta có:             3MA 2MB 3 MI IA 2 MI IB MI 3IA 2IB MI (vì 3IA 2IB 0 )    Khi đó 3MA 2MB MI MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên mặt phẳng P x 3 t Phương trình đường thẳng d qua I 3; 2;8 và vuông góc với P là d : y 2 t z 8 t Suy ra M d  P nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 2 t 3 x 3 t x 3 t 11 x y 2 t y 2 t 3 11 8 22 M ; ; z 8 t z 8 t 8 3 3 3 y x y z 1 0 3 t 2 t 8 t 0 3 22 z 3 11 8 22 Từ đó a ;b ;c S 9a 3b 6c 33 8 44 3 3 3 3 Chọn B. Câu 39: Phương pháp: Sử dụng quy tắc vách ngăn. Cách giải: Xếp 2 học sinh lớp A có 2! cách xếp, khi đó tạo ra 3 khoảng trống trong đó có 1 khoảng trống giữa 2 bạn lớp A. Xếp bạn lớp B thứ nhất vào 1 trong 2 khoảng trống không ở giữa 2 bạn lớp A có 2 cách, khi đó tạo ra 4 khoảng trống trong đó có 1 khoảng trống giữa 2 bạn lớp A. Xếp bạn lớp B thứ 2 vào 1 trong 3 khoảng trống không ở giữa 2 bạn lớp A có 3 cách, khi đó tạo ra 5 khoảng trống trong đó có 1 khoảng trống giữa 2 bạn lớp A. Xếp bạn lớp B thứ 3 vào 1 trong 4 khoảng trống không ở giữa 2 bạn lớp A có 4 cách, khi đó tạo ra 6 khoảng trống trong đó có 1 khoảng trống giữa 2 bạn lớp A. Xếp bạn lớp C thứ nhất vào 1 trong 6 khoảng trống (kể cả khoảng trống giữa 2 bạn lớp A) có 6 cách, khi đó tạo ra 7 khoảng trống. 23
24. Cứ như vậy ta có : Xếp bạn lớp C thứ hai có 7 cách. Xếp bạn lớp C thứ ba có 8 cách. Xếp bạn lớp C thứ tư có 9 cách. Vậy số cách xếp 9 học sinh trên thỏa mãn yêu cầu là 2!.2.3.4.6.7.8.9 145152 cách. Chọn C. Câu 40: Phương pháp: 2 Sử dụng đạo hàm f x . f ' x ' f ' x f x . f '' x - Lấy nguyên hàm hai vế liên tiếp 2 lần tìm f x và kết luận. Cách giải: 2 Ta có f x . f ' x ' f ' x . f ' x f x . f ' x ' f ' x f x . f '' x 2 Nên f ' x f x . f '' x 15x4 12x f x . f ' x ' 15x4 12x Lấy nguyên hàm hai vế ta có: f x . f ' x 'dx 15x4 12x dx f ' x . f x 3x5 6x2 C Thay x 0 vào ta được f ' 0 . f 0 C C 1 f x . f ' x 3x5 6x2 1 Lấy nguyên hàm hai vế ta được f x . f ' x dx 3x5 6x2 1 dx 2 6 6 x 3 f x x 3 f x d f x 2x x C1 2x x C1 2 2 2 2 6 3 f x x 4x 2x 2C1 2 6 3 Lại có f 0 1 2C1 1 f x x 4x 2x 1 2 Suy ra f 1 8 Chọn B. Câu 41: Phương pháp: - Rút y từ phương trình đầu, thay vào bất phương trình sau tìm điều kiện của x . - Thay y ở trên vào biểu thức P đưa về biến x . - Sử dụng phương pháp hàm số đánh giá P tìm GTLN, GTNN. Cách giải: 2 x xy 3 0 1 Ta có: 2x 3y 14 0 2 x2 3 Do x, y 0 nên 1 y thay vào (2) ta được: x x2 3 2x2 3x2 9 14x 9 2x 3. 14 0 0 5x2 14x 9 0 1 x x x 5 24
25. x2 3 Thay y vào P ta được: x 2 2 2 2 2 3 2 x 3 x 3 3 P 3x y xy 2x 2x 3x . x. 2x 2x x x 2 x2 3 3x x2 3 2x3 2x x 2 2 4 2 4 2 3x x 3 x 6x 9 2x 2x 5x2 9 9 5x x x x 9 9 P ' 5 0 với mọi x nên hàm số P P x đồng biến trên 1; x2 5 9 Vậy Pmax P 4, Pmin P 1 4 5 Tổng Pmax Pmin 4 4 0 . Chọn B Câu 42: Phương pháp: + Biến đổi giả thiết để sử dụng nếu hàm f t đồng biến thì f x f y x y + Biến đổi đưa P về hàm số chứa 1 biến x hoặc y rồi tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số thu được. Cách giải: 1 y ĐK: 0 y 1 x; y 0 x 3xy Ta có 1 y log 3xy x 3y 4 3 x 3xy log3 1 y log3 x 3xy x 3xy 3 y 1 1 x 3xy log 1 y 3 1 y log x 3xy * 3 3 3 1 Xét hàm số f t log t 3t t 0 có f ' t 3 0;t 0 nên hàm số đồng biến trên 0; 3 t ln 3 x 3xy x 3xy Kết hợp (*) suy ra f 1 y f 1 y 3 3 x 3xy 3 3y x 3xy 3y 3 0( ) Xét P x y x P y thay vào ( ) ta được P y 3 P y y 3y 3 0 P(3y 1) 3y2 2y 3 3y2 2y 3 Ta tìm giá trị nhỏ nhất của g y trên 0;1 3y 1 2 6y 2 3y 1 3 3y 2y 3 9y2 6y 11 Ta có g ' y 3y 1 2 3y 1 2 25
26. 1 2 3 y 0;1 3 Giải phương trình g ' y 0 1 2 3 y  0;1 3 1 2 3 1 2 3 Lại có g ' y 0y 0; và g ' y 0y ;1 3 3 1 2 3 Hay g ' y đổi dấu từ âm sang dương tại y nên 3 1 2 3 4 3 4 4 3 4 min g y g Pmin 0;1 3 3 3 Chọn A. Câu 43: Phương pháp: - Tính bán kính khối cầu. - Tính bán kính đáy hình nón và suy ra thể tích. - Tính thể tích phần nước còn lại. Cách giải: 1 1 4 Gọi bán kính khối cầu là R ta có: 18 V . R3 R 3dm 2 c 2 3 Khi đó chiều cao hình nón h OS 2R 6dm Xét tam giác OES vuông tại O, đường cao OA nên 1 1 1 1 1 1 1 1 1 OE 2 12 OE 2 3dm OA2 SO2 OE 2 OE 2 OA2 SO2 32 62 12 1 1 2 Thể tích khối nón: V OE 2.OS 2 3 .6 24 dm3 n 3 3 Thể tích nước còn lại là: V 24 18 6 dm3 Chọn B. Câu 44: Phương pháp: +) Xác định thiết diện thu được là Parabol 4 +) Tính diện tích parabol có chiều cao h và bán kính R là S Rh 3 +) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn nhất của S. a b c d +) Cho 4 số a;b;c;d không âm thì 4 abcd . Dấu = xảy 4 ra khi a b c d . Cách giải: Khi cắt hình nón bởi mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón thì ta được thiết diện là một parabol. 26
27. Giả sử thiết diện như hình vẽ. Khi đó ta luôn có AB  MH Kẻ HE / /SA trong mặt phẳng SAB Khi đó SA / / HME Đặt BH x 0 x 24 , ta có SA SO2 OA2 162 122 20cm Xét tam giác AMB vuông tại M có MH 2 AH.BH x 24 x MH x 24 x (hệ thức lượng trong tam giác vuông). BH HE x.20 5 Xét tam giác SAB có HE / /SA HE x AB SA 24 6 5 Thiết diện parabol có chiều cao HE x và bán kính r MH x 24 x 6 4 4 5 10 Diện tích thiết diện là S HE.MH . x x 24 x x.x.x 24 x 3 3 6 9 4 Co si 10 10 x x x 72 3x 2 x.x.x 72 3x . 207,8cm 9 3 9 3 4 Dấu = xảy ra khi x 72 3x x 18 tm Vậy diện tích lớn nhất của thiết diện là S 207,8cm2 Chọn D. Câu 45: Phương pháp: - Xác định các đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng AB và B 'C, BC và AB '. - Dựa vào giải thiết khoảng cách nhận xét tính chất của hai đáy ABCD và A 'B 'C 'D '. - Xác định độ dài đoạn vuông góc chung của AC và BD '. - Tính độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật và suy ra thể tích. Cách giải: Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B lên B 'C và B 'A Dễ thấy AnênB  BCC ' B ' AB  BE 2a 5 Lại có BE  B 'C NÊN d AB, B 'C BE 5 2a 5 Tương tự có d BC, AB ' BF 5 1 1 Xét các tam giác vuông BCB’ và BAB’ có: BE 2 BF 2 1 1 1 1 BC BA hay ABCD là hình vuông B ' B2 BC 2 B ' B2 BA2 Suy ra BD  AC . Lại có AC  DD ' nên AC  BDD ' Gọi M AC  BD,O là tâm hình hộp và H là hình chiếu của M lên BD ' 27
28. a 3 Khi đó AC  MH và MH  BD ' nên d AC, BD ' MH 3 Đặt BA BC x, BB ' y ta có: 1 1 1 5 Tam giác BB 'C vuông nên 2 2 2 2 1 x y 2a 5 4a 5 1 1 1 1 3 Tam giác BMO vuông nên 2 2 2 2 2 . MB MO MH a 3 a 3 1 x 2 1 y 1 1 3 2 4 3 Mà MB BD , MO DD ' nên 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2 y a x y a 2 2 1 1 5 1 1 2 2 2 2 2 x y 4a x a x a Từ (1) và (2) ta có: 2 4 3 1 1 y 2a 2 2 2 2 2 x y a y 4a Vậy thể tích khối hộp V BA.BC.BB ' a.a.2a 2a3 Chọn D. Câu 46: Phương pháp: Nhận xét rằng: Hàm số y x 3 2m 1 x2 3m x 5 có ba điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số y f x x3 2m 1 x2 3mx 5 có hai điểm cực trị trong đó chỉ có duy nhất một cực trị dương. Từ đó xét trường hợp có hai cực trị trong đó có 1 cực trị bằng 0,1 cực trị dương và trường hợp có hai cực trị trái dấu. Cách giải: Đồ thị hàm số y x 3 2m 1 x2 3m x 5 nhận trục tung làm trục đối xứng nên hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số y f x x3 2m 1 x2 3mx 5 có hai điểm cực trị trong đó chỉ có duy nhất một cực trị dương. Ta có f ' x 3x2 2 2m 1 x 3m TH1: Hàm số y f x có 1 cực trị x 0 và 1 cực trị x 0 . Khi đó: x 0 f ' 0 0 3m 0 m 0 f ' x 3x2 2x 0 2 . Vậy nhận giá trị m 0 x TM 3 TH2: Hàm số y f x có hai cực trị trái dấu f ' x 0 có hai nghiệm trái dấu 3m.3 0 m 0 Vậy với m 0 thì thỏa mãn yêu cầu nên có vô số giá trị nguyên thỏa mãn đề bài. Chọn A. Câu 47: 28
29. Phương pháp: - Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm nghiệm. - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm y f x , y g x và các đường thẳng x a, x b b là S f x g x dx a Cách giải: Phương trình hoành độ giao điểm của C và P là x3 ax2 bx c mx2 nx p x3 a m x2 b n x c p 0(*) Dựa vào đồ thị ta thấy hai đồ thị hàm số tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x 1 và cắt nhau tại điểm có hoành độ x 1 nên phương trình (*) có nghiệm x 1 (bội 2) và x 1 (nghiệm đơn). Viết lại (*) ta được x 1 2 x 1 0 1 1 2 2 4 Vậy S x 1 x 1 dx x 1 x 1 dx 1;2 1 1 3 Chọn B. Câu 48: Phương pháp: Sử dụng mặt cầu S có tâm I bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng P thì d I, P R Từ đó sử dụng thêm dữ kiện IđểA tìmR được bán kính của mặt cầu Cách giải: Gọi tâm mặt cầu là I a;b;c . Vì mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt phẳng P ; Q ; R nên ta có d I, P d I, Q d I, R R Hay a 1 b 1 c 1 R a 1 Vì mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt phẳng nên ta có điều kiện b 1 c 1 Suy ra a 1 1 b c 1 a b c I a; a;a Mà A S nên IA R a 1 Ta có 2 a 2 2 a 2 5 a 2 a 1 2 a 2 2 a 2 5 a 2 a 1 2 2a2 16a 32 0 a 4 R 3 Chọn A. Câu 49: Phương pháp: - Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn z 5 3i 5 - Gọi M 1 , M 2 là các điểm biểu diễn số phức zsuy1, z 2ra điều kiện của M 1M 2 và tập hợp điểm biểu diễn số phức w. 29
30. Cách giải: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z x yi thỏa mãn z 5 3i 5 là đường tròn tâm I 5;3 bán kính R 5 Gọi M1 x1; y1 , M 2 x2 ; y2 là hai điểm biểu diễn các số phức zthì1, z từ2 z1 z2 ta suy8 ra M1M 2 8 x x1 x2 Gọi N x; y là điểm biểu diễn số phức w z1 z2 thì y y1 y2 x1 x2 y1 y2 Gọi M là trung điểm M1M 2 thì M ; 2 2 2 2 2 2 2 2 x1 x2 y1 y2 Ta có: IM IM1 M1M 5 4 3 hay 5 3 3 2 2 2 2 x x y y 2 2 2 2 2 1 2 1 2 5 3 9 x1 x2 10 y1 y2 6 36 x 10 y 6 36 2 2 Vậy tập hợp các điểm N thỏa mãn bài toán là đường tròn x 10 2 y 6 2 36. . Chọn A. Câu 50: Phương pháp + Từ đồ thị của hàm y f x ta suy ra các điểm mà tại đó f x 0 (các giao điểm với trục hoành) và các điểm là cho f ' x 0 (chính là các điểm cực trị của hàm số y f x ) 2 + Sử dụng đạo hàm hàm hợp u x 2u x .u ' x 2 + Lập bảng xét dấu của hàm y f x + Từ đó xác định các điểm cực đại và điểm cực tiểu - Nếu y ' đổi dấu từ âm sang dương tại x0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số - Nếu y ' đổi dấu từ dương sang âm tại x0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số Cách giải: Từ đồ thị hàm số f x ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x 0; x 1; x 3 x 0 f x 0 x 1 x 3 x 1 Lại thấy đồ thị hàm số y f x có ba điểm cực trị nên f ' x 0 x x1 0;1 x x2 1;3 2 Hàm số y f x có đạo hàm y ' 2 f x . f ' x 30
31. x 0 x 1 f x 0 Xét phương trình y ' 0 x 3 f ' x 0 x x1 x x2 Ta có BXD của y ' như sau x 0 x1 1 x2 3 f x + 0 - - 0 - - 0 + f ' x - - 0 + 0 - 0 + + y ' 2 f x . f ' x - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 2 Nhận thấy hàm số y f x có y ' đổi dấu từ âm sang dương tại ba điểm x 0; x 1; x 3 nên hàm số có ba điểm cực tiểu. Và y ' đổi dấu từ dương sang âm tại hai điểm x x1; x x2 nên hàm số có hai điểm cực đại. Chọn D. 31