Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 lần II - Đại học Khoa học Tự nhiên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 lần II - Đại học Khoa học Tự nhiên (Có đáp án)

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 LẦN II KHOA HỌC TỰ NHIÊN Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. (2,0 điểm). Cho hàm số x42 4x 3 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Tìm m để phương trình x42 4x 3 m có 4 nghiệm phân biệt Câu 2 (1,0 điểm). a) Giải phương trình: cos3x cosx 2sin2x sinx 1 2 b) 1 3log22 x log x 1 Câu 3 (1,0 điểm) 1 3x 2 a) Tính tích phân: dx 1 x2 3x 2 b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y sin2 x ; trục hoành , x0 và x 4 Câu 4.(1,0 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z i z 1 1 i b) Gọi A là tập hợp số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập A. Tính xác suất để số chọn ra có tổng các chữ số là một số chẵn Câu 5. (1,0 điểm).Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD) bằng 450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC theo a Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD với A(-2;0) và đường thẳng d :3x 4y 6 0cắt đoạn thẳng BC. Khoảng cách từ B và D tới đường thẳng d lần lượt là 1 và 3. Đỉnh C thuộc đường thẳng x – y+4=0 và có hoành độ không âm. Tìm tọa độ các đỉnh B, D Câu 7. (1,0 điểm).Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng: P : x y 2z 3 0 và hai điểm A 2;1;3 ; B 6; 7;8 . Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất 22 x 5x y 3y 4 Câu 8. (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: 4 x 1 1 x y x y 3 >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1
2. Câu 9 (1,0 điểm). Với các số thực: 0 a,b,c 2 thỏa mãn a b c 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 a 1 b 1 c >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2
3. TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: Toán (Đáp án gồm 4 trang) Câu Đáp án Điểm 1 a)1,0 điểm (2,0đ) a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 1,0 b)1,0 điểm Đưa ra được đồ thị hàm số: y x42 4x 3 Từ đồ thị hàm số phương trình x42 4x 3 m có 4 nghiệm phân biệt: 0,5 1 m 3 m0 (1,0đ) a) 0,5 điểm Phương trình đã cho tương đương với: 0,25 2sin 2xsin x 2sin 2x sin x 1 sin x 1 sin x 1 2sin 2x 1 0 1 sin 2x 2 0,25 sinx 1 x k2 2 xk 1 12 sin 2x 27 xk 12 a) 0,5 điểm Điều kiện: x> 0; x 1 . 0,25 3 2 Phương trình đã cho thương đương với: log22 2x log x 1 2 1 0,25 2x32 x 1 2x 1 x 1 0 x 2 1 Vậy nghiệm của phương trình: x 2 3 a) 0,5 điểm ((1,0đ) 223x 2 4 1 0,25 Ta có: i 2 dx dx 11x 3x 2 x 2 x 1 2 0,25 4lnx 2 lnx 1 9ln2 5ln3 1 >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3
4. b) 0,5 điểm 1 cos2x 0,25 Ta có: S 44 sin2 x dx dx 002 0,25 1 sin 2x 1 x 4 2 4 8 4 0 4 a) 0,5 điểm (1,0đ) Ta có: zi z11i zi 2z11 0,25 Đặt: z x yi;x;y R . Thay vào (1) ta có: x yi i 2 x 1 yi xy12x1y222 2 x2 2 y14 2 0,25 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn tâm I 2; 1 ; bán kính R = 2 b) 0,5 điểm Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lập từ các chữ số đã có 4 chữ số lẻ là: 4! 24 0,25 (số) Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lập từ các số đã cho mà có 2 chữ số chẵn, 2 chữ 22 số lẻ là: C43 C .4! 432 (số).Vậy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lập từ các chữ số đã cho mà tổng các chữ số là chẵn là: 432 24 456 (số) Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lập từ các số đã cho là: 0,25 456 19 A4 840 (số). Vậy xác suất cần tìm là: P 7 840 35 5 0,25 (1,0đ) S A D B C M Vì: SAB  ABCD ; SAD ABCD SA  ABCD ACS SC; ABCD 450 >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 4
5. Ta có dt ABCD a2 ;AC a 2 0,25 1 a3 2 SA a 2 V .SA.dt ABCD S.ABCD 33 Lấy M đối xứng với A qua B ta có BD//MC 0,25 d BD;SC d BD; SCM d B; SCM Ta có: SC 2a;MC a 2;MS a 6 0,25 1 a3 2 V V dt BMC a2 2 SMBC26 S.ABCD 3V a Do đó: dt BD;SC d B; SMC SBMC dt SMC 2 6 0,25 (1,0đ) E B C H K F A D Gọi H, K, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, D, C trên d, F là hình chiếu vuông góc của C trên DK. Ta có: ABH CDF ch gn DF BH CE KF 2 Vì C thuộc đường thẳng x y 4 0 nên C t;t 4 0,25 3t 4 t 4 6 Ta có: dC;d2 tt1010 5 t0 C 0;4 t 20 loai Ta có: AC 2;4 . Gọi I là trung điểm AC I 1;2 . Suy ra phương trình 0,25 đường thẳng BD là: x 2y 3 0 B3 2t;t 3 3 2t 4t 6 t1 Vì d B;d 1 nên 1 10t 15 5 5 t 2 - Với t 1 B1;1;D 3;3 0,25 - Với t = 2 B 1;2 (loại vì khi đó B, C nằm cùng phía đối với d) Vậy: B 1;1 ;D 3;3 >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 5
6. 7 Ta có: 2 1 2.3 3 6 7 2.8 3 0 nên A, B nằm cùng một phía đối với (P) 0,25 (1.0đ) x 2 t Phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (P) là: y 1 t z 3 2t Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) H 2 t;1 t;3 2t 0,25 Vì HP 2t 1t 232t 30 t 1 H1;0;1 0,25 Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (P) A1 0; 1; 1 . Phương trình đường x 2s thẳng A1B là : y 1 2s . Gọi M1 là giao điểm của A1B và (P) z 1 3s Suy ra : M1 2; 3;2 0,25 Ta có : MA MB MA11 MB A B Do đó : MA MB A B M  M . Vậy M 2; 3;2 min 11 8 x y 0 0,25 Điều kiện : (1.0đ) x 1 0 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với : x y 4 0 x y 4 x y 1 0 x y 1 0 x y 4 0 y 4 x thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có : 0,25 289 33 8x117 x ;y TMDK 64 64 x y 1 0 y x 1 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có : 0,25 4 2x 1 x 1 1 2 x 1 * Đặt x1 u;2x1 vv 0;u 0 2x1 3v22 4u 1 . Thay vào phương trình * ta có: 4vu1 3v22 4u 1 2u3v12uv1 0 2uv10 2x1 2x11 x 5;y 4 . 0,25 289 33 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm : x;y ; ; 5;4 64 64 9 Ta chứng minh : 1 a 1 b 1 1 a b * . Thật vậy : 0,25 (1,0đ) * 1a1b21a1b 11ab21ab 1 a 1 b 1 a b ab 0 (luôn đúng) Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát giả sử : a b c 0,25 >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 6
7. Suy ra: 1 c 2 . Theo (*) ta có: P1 1ab 1c1 4c 1c Xét hàm: fc 1 4c 1c;1c2 1 1 3 0,25 Ta có: f// c ;f c 0 c 2 4 c 2 c 1 2 3 0,25 Ta có: f 1 f 2 1 2 3;f 1 10 . Vậy: P 1 2 3 2 Với a 0;b 1;c 2 thì P 1 2 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là: 1 2 3 >> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 7