Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2020 - Đề số 65 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2020 - Đề số 65 (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2020 ĐỀ SỐ 65 – (Chín Em 09) ĐỀ THAM KHẢO BÁM SÁT ĐỀ Bài thi: TOÁN MINH HỌA 2 BGD Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 bạn vào một cái bàn ngang có 10 ghế? A. 8!B. 10!C. 7!D. 9! Câu 2. Cho un là cấp số cộng với công sai d. Biết u7 16, u9 22 . Tính u1 . A. 4B. 19C. 1D. 2 2 Câu 3. Có bao nhiêu giá trị x thỏa mãn 5x 5x ? A. 0B. 3C. 1D. 2 Câu 4. Tính thể tích của khối lập phương ABCD.A B C D cạnh a. a3 a3 a3 A. B. C. D. a3 3 2 6 1 Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số y . ex e5 A. D ln 5; B. D ln 5; C. D D. \5 D 5; Câu 6. Họ các nguyên hàm của hàm số y cos x x là 1 1 A. sin x x2 C B. sin x x2 C.C sin x D. x2 C s in x x2 C 2 2 Câu 7. Cho khối chóp tam giác có chiều cao 10dm, diện tích đáy 300 dm2 . Tính thể tích khối chóp đó. A. 1 m3 B. C. 3000 dm3 D. 1000 dm2 3000 dm2 Câu 8. Cho khối nón và khối trụ có cùng chiều cao và cùng bán kính đường tròn đáy. Gọi V1; V2 lần lượt V là thể tích của khối nón và khối trụ. Biểu thức 1 có giá trị bằng. V2 1 1 1 A. B. 1C. D. 2 3 Câu 9. Thể tích V của một khối cầu có bán kính R là 4 1 4 A. V R3 B. V C. R3 D. V R2 V 4 R3 3 3 3 Câu 10. Cho hàm số y f x liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau: Trang 1
2. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. Tổng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số là 2. B. max f x 3 đạt tại x 1 . C. Hàm số đạt cực tiểu tại x 3 . D. Hàm số đồng biến trên các khoảng 3; và ;1 . Câu 11. Cho các số thực dương a, b, c và a 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. loga b loga c loga b c B. loga b log a c loga b c C. loga b loga c loga bc D. loga b log a c loga b c Câu 12. Viết công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ có chiều cao h bán kính đáy là R. 2 A. Sxq 2 Rh B. Sxq C. Rh D. Sxq Rh Sxq 4 Rh Câu 13. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x 2 và đạt cực tiểu tại x 1 . B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1 . C. Hàm số có đúng một cực trị. D. Hàm số có giá trị cực đại bằng 2. Câu 14. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. y x3 3x2 2 B. y x3 3x2 2 C. y x3 3x2 2 D. y x3 3x2 1 Trang 2
3. 1 4x Câu 15. Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y ? 2x 1 1 A. y 2 B. C. y D. y 4 y 2 2 Câu 16. Tập nghiệm của bất phương trình 2x 1 0 là A. x B. C. x D. 1 x 1 x 0 Câu 17. Cho hàm số y f x liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình bên. Phương trình f x có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? A. 1B. 2 C. 3D. 4 2 2 2 Câu 18. Nếu f x dx 2 và f x dx 1 thì x 2 f x 3g x dx bằng 1 1 1 5 7 11 17 A. B. C. D. 2 2 2 2 Câu 19. Cho số phức z 2 i . Số phức liên hợp z có phần thực, phần ảo lần lượt là A. 2 và 1B. và C. 2 và 1 D.1 2 và 2 1 Câu 20. Cho hai số phức z 3 5i và w 1 2i . Điểm biểu diễn số phức z z w.z trong mặt phẳng Oxy có tọa độ là A. 4; 6 B. C. 4;6 D. 4; 6 6; 4 Câu 21. Cho số phức z 1 2i , điểm M biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy có tọa độ là A. M 2;1 B. C. M 1;2 D. M 1; 2 M 1;2 Câu 22. Trong không gian Oxyz, điểm N đối xứng với điểm M 3; 1;2 qua trục Oy là A. N 3;1; 2 B. N 3 ;C.1; 2 D.N 3; 1; 2 N 3; 1; 2 Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S có phương trình x2 y2 z2 2x 4y 4z 7 0 . Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu S . A. I 1; 2;2 , R 3 B. I 1;2; 2 , R 2 C. I 1; 2;2 , R 4 D. I 1;2; 2 , R 4 Câu 24. Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của P ? Biết u 1; 2;0 , v 0;2; 1 là cặp vectơ chỉ phương của P . A. n 1;2;0 B. n C. 2 ;1;2 D. n 0;1;2 n 2; 1;2 Trang 3
4. Câu 25. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng P : 2x y 2z 3 0 và mặt phẳng Q : x y z 3 0 . Giao tuyến của hai mặt phẳng P và Q là đường thẳng đi qua điểm nào dưới đây? A. P 1;1;1 B. M C. 2; 1;0 D. N 0; 3;0 Q 1;2; 3 Câu 26. Cho tứ diện ABCD với đáy BCD là tam giác vuông cân tại C. Các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC, CD. Góc giữa MN và PQ bằng A. 0 B. C. D. 60  45 30 Câu 27. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên: Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. Có một điểm.B. Có hai điểm.C. Có ba điểm.D. Có bốn điểm. Câu 28. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 18 x2 là: A. 0B. 6C. D. 3 2 6 Câu 29. Với số thực dương a bất kỳ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 A. log2 2a 1 2log2 a B. lo g2 2a 2 2log2 a 2 2 C. log2 2a 2 log2 a D. log 2 2a 1 2log2 a Câu 30. Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số C : y 2x3 3x 2 và parabol P : y x2 10x 4 . A. 0B. 1C. 3D. 2 Câu 31. Tập nghiệm của bất phương trình log2 x 1 3 là A. ;9 B. C. 1;10 D. ;10 1;9 Câu 32. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a. Tính diện tích toàn phần của vật tròn xoay thu được khi quay tam giác AA C quanh trục AA . A. 2 2 1 a2 B. 3 C.2 a2 2 D. 6 1 a2 6 2 a2 ex Câu 33. Cho I dx . Khi đặt t ex 1 thì ta có x e 1 dt A. I 2t 2dt B. C.I D. I 2dt I t 2dt 2 Trang 4
5. 7 4x2 khi 0 x 1 Câu 34. Cho hàm số f x . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 4 x khi x 1 f x và các đường thẳng x 0, x 3, y 0 . 16 20 A. B. C. 10D. 9 3 3 z1 Câu 35. Cho hai số phức z1 3 i và z2 1 2i . Tìm số phức w . z2 1 7 A. w 5 5i B. w C. i D. w 1 i w 1 7i 5 5 Câu 36. Số phức z a bi, a,b là nghiệm của phương trình 1 2i z 8 i 0 . Tính S a b . A. S 1 B. C. S 1D. S 5 S 5 x 2 y 1 z 1 Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : và điểm 1 1 2 A 2;1;0 . Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa d. A. x 7y 4z 8 0 B. x y 4z 3 0 C. x 7y 4z 9 0 D. x y 2z 3 0 Câu 38. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1;2;0 và B 2;1;2 . Phương trình tham số của đường thẳng AB là x 2 2t x 1 t x 1 t x 1 t A. y 1 t B. yC. 2 t D. y 2 t y 2 t z 2 t z 2t z 2t z 2 Câu 39. Trước kì thi học sinh giỏi, nhà trường tổ chức buổi gặp mặt 10 em học sinh trong đội tuyển. Biết các em đó có số thứ tự trong danh sách lập thành cấp số cộng. Các em ngồi ngẫu nhiên vào hai dãy bàn đối diện nhau, mỗi dãy có 5 ghế và mỗi ghế chỉ được ngồi một học sinh. Tính xác suất để tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng nhau. 1 1 1 1 A. B. C. D. 954 126 945 252 Câu 40. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác vuông tại A, AB AC b và có các cạnh bên bằng b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và BC bằng A. bB. b 3 b 2 b 3 C. D. 2 3 Trang 5
6. Câu 41. Có bai nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 3 2 cos x m 3 sin x 2cos x m 0 có nghiệm. 3 A. 2B. 3C. 5D. 4 Câu 42. Một người đầu tư một số tiền vào công ty theo thể thức lãi kép, kỳ hạn một năm với lãi suất 7,6%/năm. Giả sử lãi suất không đổi. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả vốn và lãi) số tiền gấp 5 lần số tiền ban đầu? A. 23 nămB. 24 nămC. 21 nămD. 22 năm Câu 43. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số có bao nhiêu tiệm cận? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 44. Cho khối trụ T có trục OO , bán kính r và thể tích V. Cắt khối trụ T thành hai phần bởi mặt r phẳng P song song với trục và cách trục một khoảng bằng (như hình vẽ). 2 V Gọi V là thể tích phần không chứa trục OO . Tính tỉ số 1 . 1 V V 1 3 V 3 A. 1 B. 1 V 3 4 V 4 3 V 3 V 4 3 C. 1 D. 1 V 2 V 4 Câu 45. Cho hàm số f x liên tục trên ℝ và thỏa mãn f x 2 f x x 1 sin x, x . Tích phân f x dx bằng 0 2 A. 1 B. C. D. 0 2 2 3 Câu 46. Cho hàm số y f x liên tục trên ℝ có bảng biến thiên như hình vẽ. Trang 6
7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 f x m 1 có đúng 2 nghiệm trên  1;1? A. 13B. 9C. 4D. 5 x y Câu 47. Cho hai số thực x, y thỏa mãn log x x 3 y y 3 xy . Tìm giá trị lớn 3 x2 y2 xy 2 x 2y 3 nhất của biểu thức P . x y 6 43 3 249 37 249 69 249 69 249 A. B. C. D. 94 94 94 94 Câu 48. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 2 4 3 3 2 x 1 m x x m x x x e 0 đúng với mọi x . Số tập con của S là A. 2B. 4C. 3D. 1 Câu 49. Cho hình hộp ABCD.A B C D có đáy là hình thoi cạnh a 3 , BD 3a , hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng A B C D trùng với trung điểm của A C . Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng 21 ABCD và CDD C , cos . Tính thể tích khối hộp. 7 3a3 9 3a3 9a3 3 3a3 A. B. C. D. 4 4 4 4 2 Câu 50. Có bao nhiêu số nguyên của m để phương trình log2 x m 2log2 x x 4x 2m 1có 2 nghiệm thực phân biệt. A. 2B. 3C. 1D. 4 Trang 7
8. MA TRẬN ĐỀ THI LỚP CHỦ ĐỀ NB TH VD VDC TỔNG Tổ hợp và xác suất C1 C39 2 11 Dãy số, CSC, CSN C2 1 Quan hệ vuông góc C26 C40 2 Đơn điệu C10 C41 2 Ứng Cực trị C13 C27 2 dụng Min, max C28 C48 2 của đạo Tiệm cận C15 1 hàm Khảo sát và vẽ C14,C17, C43 C46 5 ĐTHS C30 Hs lũy Hàm số mũ và hàm C5,C11 C29 C42 C47, C50 6 thừa, hs số lôgarit mũ và PT mũ và lôgarit C3 1 Hs BPT mũ và lôgarit C16 C31 2 lôgarit 12 Nguyên Nguyên hàm C6 1 hàm tích Tích phân C18 C33 C45 3 phân và ứng Ứng dụng C34 1 dụng Số phức C19,C21 2 Các phép toán về số C20 C35 2 Số phức phức Phương trình bậc C36 1 hai với hệ số thực Khối đa Thể tích khối đa C4,C7 C49 3 diện diện Trang 8
9. Mặt Nón C8 C32 2 nón, mặt Trụ C12 C44 2 trụ, mặt Cầu C9 1 cầu PP tọa Hệ trục tọa độ C22 1 độ trong PT đường thẳng C25,C28 2 không PT mặt phẳng C24 C37 2 gian PT mặt cầu C23 1 TỔNG 21 17 7 5 50 Đáp án 1-B 2-D 3-D 4-C 5-D 6-A 7-A 8-D 9-A 10-B 11-C 12-A 13-A 14-A 15-D 16-A 17-D 18-D 19-D 20-A 21-B 22-C 23-D 24-B 25-A 26-C 27-B 28-C 29-A 30-C 31-D 32-D 33-C 34-C 35-C 36-A 37-C 38-C 39-C 40-D 41-C 42-C 43-A 44-A 45-B 46-B 47-D 48-B 49-C 50-C LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án B Mỗi cách sắp xếp là một hoán vị của tập gồm 10 phần tử. Khi đó số cách sắp xếp là 10!. Câu 2: Đáp án D u7 16 u1 6d 16 u1 2 Ta có . u9 22 u1 8d 22 d 3 Do đó, u1 2 và d 3 . Câu 3: Đáp án D x2 x 2 x 0 Ta có 5 5 x x . x 1 Câu 4: Đáp án C Thể tích của khối lập phương ABCD.A B C D cạnh a là: a3 . Câu 5: Đáp án D Hàm số xác định khi ex e5 0 x 5 . Câu 6: Đáp án A 1 Ta có F x cos x x dx sin x x2 C . 2 Câu 7: Đáp án A Gọi V là thể tích khối chóp, h chiều cao và S là diện tích đáy. 1 1 Khi đó V .h.S V .10.300 V 1000 dm3 . 3 3 Trang 9
10. Do đó V 1 m3 . Câu 8: Đáp án D Gọi bán kính đường tròn đáy của khối nón và khối trụ là R. Chiều cao của khối nón và khối trụ là h. 1 Khi đó thể tích khối nón là V R2.h và thể tích khối trụ là V R2.h . 1 3 2 1 R2.h V1 3 1 Do vậy 2 . V2 R .h 3 Câu 9: Đáp án A 4 Thể tích V của khối cầu có bán kính R là V R3 . 3 Câu 10: Đáp án B Câu 11: Đáp án C Với a, b, c và a 1 thì loga b loga c loga bc . Câu 12: Đáp án A Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ Sxq 2 Rh . Câu 13: Đáp án A Dựa vào bảng biến thiên ta có, dấu của y đổi từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại x 2 và dấu của y đổi từ dương sang âm nên hàm số đạt cực tiểu tại x 1 . Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 1 , giá trị cực đại của hàm số bằng 0. Câu 14: Đáp án A Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số tăng suy ra hệ số a 0 . Đồ thị hàm số đạt cực trị tại hai điểm là 0;2 và 2; 2 . 3 2 2 x 0 Ta có y x 3x 2 có y 3x 6x . Cho y 0 (thỏa). x 2 3 2 x 0 Ta có hàm số y x 3x 2 có y 3x 6x . Cho y 0 (loại). Ta có đồ thị hàm số cắt trục x 2 tung tại điểm có tung độ bằng 2 suy ra hàm số y x3 3x2 2 không thỏa. Câu 15: Đáp án D Ta có: lim y 2 và lim y 2 nên đường thẳng y 2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x x Câu 16: Đáp án A x 1 Ta có 2 0 với mọi x . Câu 17: Đáp án D Trang 10
11. Số nghiệm của phương trình f x bằng số giao điểm của đường thẳng y và đồ thị hàm số y f x . Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt nên phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Câu 18: Đáp án D 2 2 2 2 2 x2 3 17 Ta có x 2 f x 3g x dx xdx 2 f x dx g x dx 4 3 7 . 1 1 1 1 2 1 2 2 Câu 19: Đáp án D z 2 i z 2 i . Vậy z có phần thực, phần ảo lần lượt là 2 và 1 . Câu 20: Đáp án A Ta có z z w.z 3 5i 1 2i . 3 5i 3 5i 7 11i 4 6i . Câu 21: Đáp án B Ta có z 1 2i z 1 2i M 1;2 . Câu 22: Đáp án C Hình chiếu vuông góc của điểm M 3; 1;2 trên trục Oy là H 0; 1;0 . Tọa độ điểm N đối xứng với điểm M 3; 1;2 qua trục Oy là xN 2xH xM 2.0 3 3 yN 2yH yM 2. 1 1 1 N 3; 1; 2 . zN 2zH zM 2.0 2 2 Câu 23: Đáp án D Ta có a 1,b 2,c 2 và a2 b2 c2 d 4 nên I 1;2; 2 và R 4 . Câu 24: Đáp án B Mặt phẳng P có một vectơ pháp tuyến là n u,v 2;1;2 . Câu 25: Đáp án A Giả sử giao tuyến của hai mặt phẳng P và Q là một đường thẳng đi qua điểm I. I P Khi đó . I Q Kiểm tra các điểm M, N, P, Q. Ta thấy chỉ có điểm P 1;1;1 cùng thuộc hai mặt phẳng P và Q . Trang 11
12. Vậy P 1;1;1 là điểm cần tìm. Câu 26: Đáp án C Ta có MN là đường trung bình tam giác ABC nên MN || BC , do đó MN, PQ BC, PQ . Mặt khác PQ là đường trung bình tam giác vuông cân BCD suy ra BC, PQ 45 . Do đó MN, PQ 45 . Câu 27: Đáp án B Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y f x có hai điểm cực trị tại x 1 và x 1 . Tại x 0 không phải là cực trị vì hàm số y f x không xác định tại x 0 . Câu 28: Đáp án C TXĐ: D 3 2;3 2 . x Ta có: y 1 . 18 x2 y 0 x 3 . Ta có: y 3 6; y 3 2 3 2; y 3 2 3 2 . Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 3 2 . Câu 29: Đáp án A 2 2  log2 2a log2 2 log2 a 1 2log2 a . 2  log2 2a 2log2 2a 2 log2 2 log2 a 2 2log2 a . Câu 30: Đáp án C Phương trình hoành độ giao điểm của C và P là x 2 3 2 3 2 2x 3x 2 x 10x 4 2x x 13x 6 0 2x 1 x 2 x 3 0 x 3 . 1 x 2 Vậy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại ba điểm phân biệt. Câu 31: Đáp án D x 1 0 BPT đã cho tương đương với 1 x 9 . x 1 8 Vậy tập nghiệm của BPT đã cho là 1;9 . Câu 32: Đáp án D Trang 12
13. Vì ABCD.A B C D là hình lập phương cạnh a, nên ta có AC a 2, A C a 3 và AA  ABCD hay AA  AC . Tam giác AA C vuông tại A nên khi quay tam giác AA C quanh trục AA ta được hình nón tròn xoay có bán kính đáy R AC a 2 . Đường cao AA a và đường sinh l A C a 3 . 2 2 Vậy diện tích toàn phần của hình nón là Stp Rl R 6 2 a . Câu 33: Đáp án C exdx Đặt t ex 1 dt 2tdt exdx , do đó I 2dt . x 2 e 1 Câu 34: Đáp án C Phương pháp: Công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng b x a, x b a b và các đồ thị hàm số y f x , y g x là S f x g x dx . a Cách giải: Xét các phương trình hoành độ giao điểm: 2 x 2  4 x 0 x 2 . x 2 1; 7  7 4x2 0 x 0;1 . 2 1 2 3 S 7 4x2 dx 4 x2 dx 4 x2 dx 0 1 2 1 2 3 7 4x2 dx 7 4x2 dx 7 4x2 dx 0 1 2 16 11 16 7 1 3 10. 3 3 3 Câu 35: Đáp án C z 3 i 3 i 1 2i 5 5i w 1 1 i . z2 1 2i 5 5 Câu 36: Đáp án A 8 i 8 i 1 2i 10 15i a 2 Vì 1 2i z 8 i 0 z 2 3i nên . 1 2i 1 4 5 b 3 Vậy S a b 1 . Câu 37: Đáp án C Trang 13
14.  Chọn điểm B 2;1;1 d , suy ra AB 4;0;1 .  Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là n AB,ud 1; 7; 4 . Phương trình mặt phẳng cần tìm là x 2 7 y 1 4z 0 x 7y 4z 9 0 . Câu 38: Đáp án C  Ta có AB 1; 1;2 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. x 1 t Phương trình tham số của đường thẳng AB là y 2 t . z 2t Câu 39: Đáp án C Giả sử số thứ tự trong danh sách là u1,u2 ,u3 , ,u10 . Do dãy này là cấp số cộng nên ta có u1 u10 u2 u9 u3 u8 u4 u7 u5 u6 . Số phần tử của không gian mẫu là n  10! . Gọi A là biến cố “Tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng nhau”. Để biến cố này xảy ra ta thực hiện liên tiếp các bước sau: Bước 1: xếp thứ tự 5 cặp học sinh có các cặp số thứ tự là u1;u10,u2 ;u9,u3;u8,u4 ;u7,u5;u6 vào trước 5 cặp ghế đối diện nhau. Bước này có 5! cách. Bước 3: xếp từng cặp một ngồi vào cặp ghế đối diện đã chọn ở bước 1. Bước này có 25 cách. Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n A 5!.25 . n A 1 Vậy xác suất của biến cố A là P A . n  945 Câu 40: Đáp án D Cách 1: Gọi I, K lần lượt là trung điểm BC, B C . Trong tam giác IAK kẻ đường cao IH. Ta có BC || B C BC || AB C . Khoảng cách giữa AB và BC bằng khoảng cách giữa BC và mặt phẳng AB C . Ta có BC  AI (vì ABC vuông cân), BC  IK nên BC  AIK BC  IH . Do đó IH  AB C (vì IH  AK, IH  B C ). Nên khoảng cách giữa AB và BC bằng IH. 2b 1 1 1 b 3 Ta có AI nên IH . 2 AI 2 IK 2 IH 2 3 Cách 2: Trang 14
15. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BC, B C . Trong tam giác IAK kẻ đường cao IH. Ta có BC || B C BC || AB C . Khoảng cách giữa AB và BC bằng khoảng cách từ C đến mặt phẳng AB C . BC 2 2b2 b2 b Ta có AI AC 2 CI 2 AC 2 b2 AI . 4 4 2 2 b2 3 Và AK AC 2 C K 2 2b2 b . 2 2 1 3 Ta có V h.S h.b2 C.AB C 3 AB C 6 1 1 V AM.S b3 . Trong đó h là khoảng cách từ C ABCC 3 CC B 6 đến mặt phẳng AB C . 3 1 b 3 Do đó h.b2 b3 h . 6 6 3 Câu 41: Đáp án C 3 3 2 Ta có cos x m 3 sin x 2cos x m 0 (1) 3 3 cos3 x m 3 sin x cos x 3 sin x m 0 3 cos3 x cos x 3 sin x m 3 sin x m Xét hàm f t t3 t . 2 Ta có f t 3t 1 0,t . f t đồng biến trên phương trình (1) có nghiệm khi cos x 3 sin x m 3 sin x cos x m (2) Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm 2 m 2 . Vì m nên m  2; 1;0;1;2 . Câu 42: Đáp án D Gọi A0 là số tiền ban đầu người đó gửi vào công ty. n Sau n năm, số tiền người đó có được (cả vốn lẫn lãi) là A n A0. 1 r . n n n Theo giả thiết, ta có 5A0 A0 1 r 1 r 5 1,076 5 n log1,076 5 21,97 . Vậy n 22 . Câu 43: Đáp án A Quan sát bảng biến thiên ta có: Trang 15
16.  Khi x thì y 2 nên đồ thị hàm số nhận y 2 là đường tiệm cận ngang.  Khi x 1 thì y 5, x 1 thì y 3 nên đồ thị hàm số không nhận x 1 là đường tiệm cận đứng. Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận. Câu 44: Đáp án A Gọi h là chiều cao của khối trụ T . Thể tích khối trụ đã cho là V h. r 2 . Gọi A và B là giao điểm của mặt phẳng P với đường tròn đáy tâm O và M là trung điểm của AB. Ta r r 2 có O M AB 2AM 2 r 2 r 3 AO B 120 . 2 4 Diện tích đáy phần khối trụ không chứa trục là 1 1 r 2 r 2 3 S S S . r 2 .r.r 3 . 1 q AO B 3 2 3 4 r 2 r 2 3 V h. . 1 3 4 V 1 3 Suy ra 1 . V2 3 4 Câu 45: Đáp án B Thay x x ta được f x 2 f x x 1 sin x 2 f x f x x 1 sin x . f x 2 f x x 1 sin x Ta có 2 f x f x x 1 sin x 3 f x 2 3x 1 sin x 2 3x 1 f x sin x 3 2 1 x2 2 f x dx x . 3 2 3 0 0 Câu 46: Đáp án D 2 m f x 2 f x m 1 (VN) 2 f x m 2 2 Ta có f 2 f x m 1 2 f x m 2 2 m 2 f x m 2 f x 2 Trang 16
17. 2 m 3 1 2 0 m 8 Dựa vào BBT ta suy ra : ycbt 0 m 4 . 2 m 4 m 4 3 1 2 Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa ycbt. Câu 47: Đáp án D x y Điều kiện: 0 x y 0 . x2 y2 xy 2 x y Ta có log x x 3 y y 3 xy 3 x2 y2 xy 2 2 2 2 2 2log3 x y 2log3 x y xy 2 x y xy 3x 3y 2 2 2 2 2log3 x y 2 2log3 x y xy 2 x y xy 2 3x 3y 2 2 2 2 2log3 3x 3y 3x 3y 2log3 x y xy 3 x y xy 2 (*). 2 Xét hàm đặc trưng f t 2log t t,t 0; , ta có f t 1 0,t 0; . 3 t.ln 3 Suy ra hàm f t đồng biến trên khoảng 0; . Phương trình (*) f 3x 3y f x2 y2 xy 2 x2 y2 xy 2 3x 3y x y a x a b 2 3a b 3 2 2 Đặt . Khi đó P và 3 a 1 b 1 . y a b x y 2a 6 b 2 3 a 1 cost Đặt t 0;2  , khi đó b sin t 3cost 3 sin t 6 3 P 2P 3 .cost 3 sin t 6 3 8 3P . 2cost 8 3 Do phương trình luôn có nghiệm t nên ta có 2 2P 3 2 3 6 3 8 3P 47P2 69P 24 0 69 249 69 249 P . 94 94 69 249 Vậy giá trị lớn nhất của P là . 94 Câu 48: Đáp án B Xét hàm số f x m2 x4 x3 m x3 x2 x ex 1 trên ℝ. Trang 17
18. Ta có f x m2 4x3 3x2 m 3x2 2x 1 ex 1 liên trục trên ℝ. Do f 1 0 nên từ giả thiết ta có f x f 1 ,x min f x f 1 . 2 m 1 f 1 0 m m 0 . m 0  Với m 0 ta có f x ex 1 x f x ex 1 1 . Cho f x 0 x 1 . Bảng biến thiên của f x : Trường hợp m 0 , yêu cầu bài toán được thỏa mãn. 4 3 3 2 x 1 2 2 x 1  Với m 1 ta có f x x x x x e x x 1 x e x 0,x . Trường hợp m 1 , yêu cầu bài toán cũng được thỏa mãn. Vậy tập các giá trị của m là S 0;1 . Số tập con của S là 22 4 . Câu 49: Đáp án C Gọi O và O lần lượt là tâm của hình thoi ABCD và A B C D . Vì BO  A B C D nên OD  ABCD . 3a a 3 Ta có AD a 3, DO nên AO AD2 DO2 . 2 2 Suy ra AC a 3 , do đó, tam giác ACD đều. Từ O kẻ OH  CD , kết hợp với OD  CD (do OD  ABCD ) suy ra HD  CD . Suy ra góc giữa hai mặt phẳng ABCD và CDD C là O HD . 1 3a Ta có OH .h ,O HD và 2 A 4 2 3 a 3 tan . Suy ra OD OH.tan . 3 2 1 3a2 3 Diện tích đáy hình hộp là S .AC.BD . ABCD 2 2 Trang 18
19. 9a3 Từ đó, V S .OD . ABCD 4 Câu 50: Đáp án C x 0 Điều kiện: m . x 2 2 log2 2x m 2log2 x x 4x 2m 1 2 log2 x m 2log x x 2 x 2m 1 2 2 log2 2x m 2 x 2m 1 log2 x x 2 2 log2 2x m 2 x 2m log2 x x f u f v 1 Xét f u log u u, u 0 ; ta có: f u 1 0 . Xét hàm số f x x2 2x, x 0 . 2 u ln 2 Phương trình có 2 nghiệm dương khi 4 2m 0 2 m 0 suy ra có 1 giá trị nguyên. Trang 19