›
›
›

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

doc 26 trang thaodu 2990
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docde_thi_thu_thpt_quoc_gia_mon_toan_nam_hoc_2019_2020_co_dap_a.doc

Nội dung text: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

  1. ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM HỌC: 2019 – 2020 MÔN: Toán Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy và SB = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. a3 6 a3 6 a3 6 2a3 6 A. B. C. D. 3 12 3 9 3 Câu 2. Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f(0) = 1, f'(x) liên tục trên R và f '(x)dx 9 . Giá trị của f(3) là 0 A. 6B. 3C. 10D. 9 Câu 3. Cho a, b là các số dương tùy ý, khi đó ln (a + ab) bằng ln a A. B.ln aC ln D.(a b) ln a ln(1 b) ln a ln ab ln(1 b) 1 Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là 2x 3 1 3 1 1 A. B. C. D. C C ln 2x 3 C ln 2x 3 C (2x 3)2 (2x 3)2 2 2 x2 2x 1 1 Câu 5. Bất phương trình có tập nghiệm là (a; b). Khi đó giá trị của b - a là 2 8 A. 4B. -4C. 2D. -2 x 1 y 2 z 2 Câu 6. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : . Phương trình nào sau đây là 1 2 3 phương trình tham số của d ? x 1 x 1 x 1 t x 1 A. B. y C. 2D. t y 2 2t y 2 2t y 2 t z 2 3t z 1 3t z 2 3t z 1 3t Câu 7. Tìm số phức liên hợp của số phức z i(3i 1) : A. B.z C.3 D.i z 3 i z 3 i z 3 i Câu 8. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A (0; -1; 2), song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x + 2y - 2z +1 = 0. A. (P) : 2y + 2z - 1 = 0B. (P) : y + z - 1 = 0C. (P) : y - z + 3 = 0D. (P) : 2x + z - 2 = 0 Câu 9. Số phức z thỏa mãn z = 5 - 8i có phần ảo là A. -8B. 8C. 5D. -8i Câu 10. Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Đồ thị hàm số có điểm cực đại là A. (2; -2)B. (0; -2)C. (0; 2)D. (2; 2)
  2. Câu 11. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y = x4 – x2 + 1B. y = – x 2 + x - 1 C. y = -x3 + 3x + 1D. y = x 3 - 3x + 1 Câu 12. Cho điểm A (1; 2; 3) và hai mặt phẳng (P): 2x + 2y + z +1 = 0, (Q): 2x - y + 2z - 1 = 0. Phương trình đường thẳng d đi qua A song song với cả (P) và (Q) là x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 A. B. C. D. 1 1 4 1 2 6 1 6 2 5 2 6 Câu 13. Cho cấp số cộng (un) có u1 = -5 và d = 3. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. u15 = 45B. u 13 = 31C. u 10 = 35D. u 15 = 34 Câu 14. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3), B(-1; 4; 1). Phương trình mặt cầu đường kính AB là A. ( x+1)2 + (y - 4)2 + (z - 1)2 = 12B. (x - 1) 2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 12 C. x2 + (y - 3)2 + (z - 2)2 = 3D. x 2 + (y - 3)2 + (z - 2)2 = 12 Câu 15. Số giao điểm của đường thẳng y = x + 2 và đường cong y = x 3 + 2 là A. 1B. 0C. 3D. 2 Câu 16. Tính chiều cao h của hình trụ biết chiều cao h bằng bán kính đáy và thể tích của khối trụ đó là 8 A. B.h C.2 D. h 2 2 h 3 32 h 3 4 2 Câu 17. Phương trình z + 2z + 10 = 0 có hai nghiệm là z1, z2. Giá trị của z1 z2 là A. 4B. 3C. 6D. 2 Câu 18. Hàm số y = f (x) có đạo hàm f '(x) = (x - 1)2 (x -3) với mọi x . Phát biểu nào sau đây đúng? A. Hàm số có 1 điểm cực đại.B. Hàm số không có điểm cực trị. C. Hàm số có hai điểm cực trị.D. Hàm số có đúng một điểm cực trị. 1 log 4 Câu 19. Giá trị của biểu thức 92 3 bằng A. 2B. 4C. 3D. 16 2 Câu 20. Tập xác định của hàm số y log2 x 2x là A. B. C.; 0D.  2; 0;2 ;02; 0;2 2x m Câu 21.Cho hàm số y f (x) . Tính tổng các giá trị của tham số m để x 1 max f (x) min f (x) 2 x 2;3 x 2;3 A. -4B. -2C. -1D. -3 Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, AD = a 3 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SD và mặt phẳng đáy là 30o. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là 8 a2 4 a2 A. B.8 C.a2 D. 4 a2 3 3
  3. x 1 y 1 z x 2 y z 3 Câu 23. Cho các đường thẳng d : và d : . Viết phương trình đường 1 1 2 1 2 1 2 2 thẳng đi qua A (1; 0; 2), cắt d1 và vuông góc với d2. x 1 y z 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 A. B. C. D. 2 2 1 4 1 1 2 3 4 2 2 1 Câu 24. Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O, bán kính R. Trên đường tròn (O) lấy hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông. Biết diện tích SAB bằng R2 2 , thể tích hình nón đã cho bằng R3 14 R3 14 R3 14 R3 14 A. B.V C. D. V V V 2 6 12 3 Câu 25. Cho mặt phẳng (Q): x - y + 2z - 2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q), đồng thời cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M, N sao cho MN 2 2 . A. (P): x - y + 2z + 2 = 0B. (P): x - y + 2z = 0 C. (P): x - y + 2z ± 2 = 0D. (P): x - y + 2z - 2 = 0 Câu 26. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt phẳng (A'BC ) và mặt phẳng ( ABC ) bằng 45o. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng 3a3 a3 3 a3 3 a3 3 A. B. C. D. 8 2 4 8 2 Câu 27. Tích tất cả các nghiệm của phương trình 3x 2 5x 1 là A. 1B. C. D. 2 log3 5 log3 45 log3 5 8 3 3 Câu 28. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f (x)dx 10 . Tính I f (3x 1)dx 2 2 1 A. 30B. 10C. 20D. 5 2x m Câu 29. Cho hàm số y . Với giá trị nào của m thì hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số cùng x m với hai trục tọa độ tạo thành hình vuông. m 2 A. m = -2B. m 2C. m = 2D. m 2 Câu 30. Trong hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng x 3t x 1 y 3 z 2 d1 : và d2 : y t 1 1 2 z 1 3t x 2 y 2 z 4 x 3 y 1 z 2 x 1 y 3 z 2 x y z 1 A. B. C. D. 1 3 2 1 1 1 3 1 1 1 6 1 Câu 31. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z2 - 2018z = 2019 |z|2 ? A. Vô sốB. 2C. 1D. 0 e Câu 32. Biết I x2 ln xdx ae3 b với a,b là các số hữu tỉ. Giá trị của 9(a + b) bằng 1 A. 3B. 10C. 9D. 6 Câu 33. Cho đa giác đều có 20 cạnh. Có bao nhiêu hình chữ nhật (không phải là hình vuông), có các đỉnh là đỉnh của đa giác đều đã cho?
  4. A. 45B. 35C. 40D. 50 Câu 34. Cho hàm số y = x4 - 2mx2 + 3m - 2 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị của tham số m để ba điểm cực trị của đồ thị hàm số đều nằm trên các trục tọa độ ? A. 2B. 0C. 3D. 1 x 1 y 2 z 2 Câu 35. Cho đường thẳng d : và điểm A (1; 2; 1). Tìm bán kính của mặt cầu có 1 2 1 tâm I nằm trên d, đi qua A và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x - 2y + 2z + 1 = 0 A. R = 2B. R = 4C. R = 1D. R = 3 Câu 36. Cho hình trụ có trục OO' và có bán kính đáy bằng 4. Một mặt phẳng song song với trục OO' và cách OO' một khoảng bằng 2 cắt hình trụ theo thiết diện là một hình vuông. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. B.26 C.3 D. 8 3 16 3 32 3 x 1 y 2 z 2 Câu 37. Cho đường thẳng d : . Viết phương trình mặt cầu tâm I (1; 2; -1) cắt d tại các 3 2 2 điểm A, B sao cho AB 2 3 A. (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 1)2 = 25B. (x – 1) 2 + (y – 2)2 + (z + 1)2 = 4 C. (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 1)2 = 9D. (x – 1) 2 + (y – 2)2 + (z + 1)2 = 16 Câu 38. Cho hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi đường parabol (P) có đỉnh tại O. Gọi S là hình phẳng không bị gạch (như hình vẽ). Tính thể tích V của khối tròn xoay khi cho phần S quay quanh trục Ox 128 128 A. B.V V 5 3 64 256 C. D.V V 5 5 Câu 39. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân có AB = BC = a. Cạnh bên SA vuông   góc với đáy, SBA = 60°. Gọi M là điểm nằm trên AC sao cho AC 2CM . Tính khoảng cách giữa SM và AB. 6a 7 a 7 a 7 3a 7 A. B. C. D. 7 7 21 7 2x 1 2 a a Câu 40. Phương trình log3 3x 8x 5 có hai nghiệm là a và (với a,b N* và là phân số x 1 2 b b tối giản). Giá trị của b là A. 1B. 4C. 2D. 3 Câu 41. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: x - -1 1 3 + f'(x) - 0 + + 0 - Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g (x) = f (x + m) đồng biến trên khoảng (0; 2). A. 3B. 4C. 2D. 1
  5. x 5 4t Câu 42. Cho A (1; 4; 2), B (-1; 2; 4), đường thẳng d : y 2 2t và điểm M thuộc d. Tìm giá trị nhỏ z 4 t nhất của diện tích tam giác AMB A. B.2 C.3 D. 2 2 3 2 6 2 2 Câu 43. Cho phương trình log3 x 4log3 x m 3 0 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 0 là A. 9B. 10 C. 8D. 7 Câu 46. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là một điểm nằm trên đoạn thẳng BC. Mặt phẳng (SAB) tạo với (SBC) một góc 600 và mặt phẳng (SAC) tạo với (SBC) một góc thỏa mãn 2 cos . Gọi là góc tạo bởi SA và mặt phẳng (ABC). Tính tan 4 3 2 1 A. B. C. D. 3 3 2 2 Câu 47. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), biết tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ 3x x = 0 là đường thẳng y = 3x - 3. Giá trị của lim x 0 f (3x) 5 f (4x) 4 f (7x) 1 3 3 1 A. B. C. D. 10 31 25 11 Câu 48. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R sao cho max f (x) f (2) 4 . Xét hàm số x 0;10 g(x) f (x3 x) x2 2x m . Giá trị của tham số m để maxg(x) 8 là x 0;2 A. 5B. 4C. -1D. 3 2x f '(x) Câu 49. Cho đa thức bậc bốn y = f (x) đạt cực trị tại x = 1 và x = 2. Biết lim 2 . Tích phân x 0 2x 1 f '(x)dx 0 3 1 3 A. B. C. D. 1 2 4 4
  6. Câu 50. Cho hàm số f(x) = x5 + 3x3 - 4m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 3 f (x) m x3 m có nghiệm thuộc [1; 2] ? A. 15B. 16C. 17D. 18 HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
  7. ĐÁP ÁN 1-B 2-C 3-B 4-D 5-A 6-C 7-D 8-B 9-A 10.C 11-D 12-D 13-B 14-C 15-C 16-A 17-C 18-D 19-B 20-A 21-A 22-A 23-C 24-B 25-A 26-A 27-C 28-D 29-D 30-A 31-B 32-A 33-C 34-A 35-D 36-D 37-D 38-D 39-D 40-D 41-A 42-C 43.C 44-B 45-C 46-C 47-D 48-D 49-B 50-B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Phương pháp Sử dụng định lý Pytago để tính chiều cao hình chóp 1 Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là V = h.S 3 Cách giải: (SAB)  (ABC) Vì (SAC)  (ABC) SA  (ABC) (SAB)  (SAC) SA Xét tam giác vuông SAB có SA SB2 AB2 3a2 a2 a 2 a2 3 Diện tích tam giác đều ABC là S ABC 4 1 1 a2 3 a3 6 Thể tích khối chóp là V SA.S .a 2. S.ABC 3 ABC 3 4 12 Chọn B. Câu 2. Phương pháp b Sử dụng công thức tích phân f '(x)dx f (b) f (a) a Cách giải: 3 Ta có: f '(x)dx 9 f (3) f (0) f(3) 9 f(0) 9 1 10 0 Chọn C Câu 3. Phương pháp Sử dụng công thức loga(bc) = loga b + loga c (0 0 ) Cách giải: Ta có ln( a + ab ) = ln( a (1 + b )) = lna + ln(1 + b ) Chọn B. Câu 4. Phương pháp
  8. 1 1 Sử dụng công thức nguyên hàm dx ln ax b C ax b a Cách giải: 1 1 Ta có: f (x)dx dx ln 2x 3 C 2x 3 2 Chọn D. Câu 5. Phương pháp f (x) Đưa về giải bất phương trình có cơ số 0 < a < 1 : a b f (x) loga b Cách giải: x2 2x 1 1 1 x2 2x log Ta có 1 2 8 2 8 x2 2x 3 x2 2x 3 0 1 x 3 Tập nghiệm của bất phương trình S = (-1; 3) a = -1; b = 3 nên b - a = 4. Chọn A. Chú ý : Một số em không đổi dấu bất phương trình dẫn đến không ra đáp án. Câu 6. Phương pháp Tìm VTCP của d và điểm đi qua, từ đó suy ra phương trình tham số. Cách giải: x 1 y 2 z 2 Đường thẳng d : đi qua A(1; 2; -2) và nhận u (1; 2;3) làm VTCP 1 2 3 x 1 t d: y 2 2t z 2 3t Chọn C. Câu 7. Phương pháp Số phức liên hợp của số phức z = a + bi (a, b R) là z a bi Cách giải: Ta có z i(3i 1) 3i2 i 3 i Số phức liên hợp của z là z 3 i Chọn D. Câu 8. Phương pháp  n(P)  i (P) // Ox và (P)  (Q) thì   n(P)  n(Q) Cách giải:
  9.   n(P)  i Gọi n(P) là VTPT của (P). Do (P) // Ox và (P)  (Q) nên   . n(P)  n(Q)  Ox có VTPT i 1;0;0 và (Q) : x + 2y - 2z + l = 0 có VTPT n(Q) 1;2; 2   Có i,n 0;2;2 nên chọn n 0;1;1 . (Q) (P)  (P) đi qua A(0; -1; 2) và nhận n(P) 0;1;1 làm VTPT nên (P) : 0(x - 0) +1(y +1) +1(z - 2) = 0 y + z - 1 = 0. Chọn B. Câu 9. Phương pháp Số phức z = a + bi (a, b R) có phần thực là a và phần ảo là b. Cách giải: Phần ảo của số phức z = 5 – 8i là -8. Chọn A. Câu 10. Phương pháp - Tính y' và tìm nghiệm của y' = 0 . - Lập bảng biến thiên của hàm số suy ra điểm cực đại của đồ thị hàm số. Cách giải: 2 x 0 Ta có : y ' 3x 6x 0 x 2 Bảng biến thiên : x - 02+ y' 0 0 2 + y - -2 Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là (0; 2) . Chọn C. Câu 11. Phương pháp Sử dụng cách đọc đồ thị hàm đa thức bậc ba và trùng phương bậc bốn. Cách giải: Từ hình dáng đồ thị ta thấy hình vẽ là đồ thị của hàm đa thức bậc ba nên loại đáp án A, B. Lại từ hình vẽ ta thấy lim ; lim nên chỉ có đáp án D thỏa mãn. x x Chọn D. Câu 12. Phương pháp
  10.   ud  n(P) Đường thẳng d song song với cả (P) và (Q) thì   ud  n(Q) Cách giải:  (P): 2x + 2y + z + 1 = 0 n(P) (2;2;1) là VTPT của (P).  (Q): 2x - y + 2z - 1 = 0 n(Q) (2; 1;2) là VTPTcủa (Q).  Gọi ud là VTCP của đường thẳng d.   ud  n(P) Đường thẳng d song song với cả (P) và (Q) thì   ud  n(Q)    Có n ,n 5; 2; 6 nên chọn u (5; 2; 6) (P) (Q) d  x 1 y 2 z 3 d đi qua A (1; 2; 3) và nhận u (5; 2; 6) làm VTCP nên d 5 2 6 Chọn D. Câu 13. Phương pháp Cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d thì có số hạng thứ n là un = u1 + (n - 1)d Cách giải: Ta có u1 = -5; d = 3 nên u15 = u1 + 14d = 37 ; u13 = u1 + 12d = 31; u10 = u1 + 9d = 22 nên A, C, D sai, B đúng. Chọn B. Câu 14. Phương pháp AB Mặt cầu đường kính AB có tâm là trung điểm AB và bán kính R . 2 Cách giải: Ta có: A(1; 2; 3), B(-1; 4; 1) I(0; 3; 2) là trung điểm AB và AB 12 2 3 AB Mặt cầu (S) đường kính AB có tâm I(0; 3; 2) và bán kính R 3 2 (S) :(x - 0)2 + (y - 3)2 + (z - 2)2 = 3 hay (S): x2 + (y - 3)2 + (z - 2)2 = 3 . Chọn C. Câu 15. Phương pháp Số giao điểm của hai đồ thị hàm số f (x) và g (x) là số nghiệm của phương trình f (x) = g(x). Cách giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 0 x3 2 x 2 x3 x 0 x(x2 1) 0 x 1 x 1
  11. Suy ra số giao điểm của hai đồ thị y = x + 2; y = x3 + 2 là 3 giao điểm. Chọn C. Câu 16. Phương pháp Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ V = R2h . Cách giải: Ta có: V = R2h 8 = .h2.h h = 2. Chọn A. Câu 17. Phương pháp Giải phương trình tìm z1, z2 z1 z2 Số phức z x yi (x; y R) có mô đun z x2 y2 Cách giải: 2 2 2 2 z 1 3i z 1 3i Ta có z 2z 10 0 z 1 9 z 1 9i z 1 3i z 1 3i Suy ra z1 z2 1 3i 1 3i 6i 36 6 Chọn C. Câu 18. Phương pháp: Tìm nghiệm của đạo hàm và suy ra các điểm cực trị: +) Các điểm làm cho đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương là điểm cực tiểu. +) Các điểm làm cho đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm là điểm cực đại. Cách giải: x 1 Ta có: f '(x) 0 x 3 f '(x) 0 x 3 và f '(x) 0 x 3 nên đạo hàm f'(x) đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x = 3. Vậy hàm số chỉ có duy nhất một điểm cực trị, chính là điểm cực tiểu x = 3 . Chọn D. Câu 19. Phương pháp n Sử dụng công thức am.n am ;aloga b b 0 a 1;b 0 Cách giải: 1 1 log3 4 log 4 3 log 4 Ta có 92 92 3 3 4. Chọn B. Câu 20. Phương pháp:
  12. Hàm số y loga f (x) xác định nếu f (x) xác định và f (x) > 0 . Cách giải: 2 2 x 2 Hàm số y log2 x 2x xác định nếu x 2x 0 . x 0 Vậy TXĐ : D = (- ; 0)  (2; + ). Chọn A. Câu 21. Phương pháp: +) Tính y'. +) Xác định các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên (2; 3). Cách giải: 2 m ĐK : x 1. Ta có y ' x 1 2 TH1: y ' 0 2 m 0 m 2 suy ra hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng (- ; 1)  (1; + ) nên hàm số đông biến trên (2; 3) 6 m Suy ra max y y(3) ;min y y(2) 4 m 2;3 2 2;3 6 m m 2 4 m 2 (ktm) Từ ycbt ta có 4 m 2 2 m 4 2 m 2 4 m 6 (tm) TH1 : y ' 0 2 m 0 m 2 suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định (- ; 1)  (1; + ) nên hàm số nghịch biến trên (2; 3). 6 m Suy ra min y y(3) ;max y y(2) 4 m 2;3 2 2;3 6 m m 2 4 m 2 (tm) Từ ycbt ta có 4 m 2 2 m 4 2 m 2 4 m 6 (ktm) Vậy m = 2; m = -6 nên tổng các giá trị của m là 2 + (-6) = -4. Chọn A. Câu 22. Phương pháp - Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. - Tính diện tích theo công thức S = 4 R2. Cách giải: Gọi O = AC  BD. Qua O dựng đường thẳng d vuông góc với đáy. Mặt phẳng trung trục của SA cắt d tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Do SA  (ABCD) nên góc giữa SD và đáy bằng SDA = 30°. Tam giác SAD vuông tại A có AD a 3, SDA 300
  13. 3 SA AD tan 300 a 3. a 3 1 a 1 1 1 a 7 AH AS ; AO AC AD2 DC 2 3a2 4a2 2 2 2 2 2 7 7a2 a2 2 AI AO2 OI 2 a 2 S 4 AI 2 4 a 2 8 a2 4 4 Chọn A. Chú ý khi giải: Các em cũng có thể sử dụng ngay công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp h2 có cạnh bên vuông góc đáy, đó là R r 2 , với R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, r là bán 4 kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, h là độ dài cạnh bên vuông góc đáy. Câu 23. Phương pháp +) Gọi M là giao điểm của và d1, biểu diễn tọa độ M theo tham số t.    +) Từ đề bài suy ra AM.ud 0 từ đó tìm được t, suy ra AM .  +) Viết phương trình đường thẳng đi qua A (1; 0; 2) và nhận AM làm VTCP. Cách giải: x 1 t x 1 y 1 z Đường thẳng d1 : d1 : y 1 2t 1 2 1 z t x 2 y z 3  Đường thẳng d : có 1 VTCP là u 1;2;2 2 1 2 2 d2 Gọi giao điểm của với đường thẳng d1 là M (1+t; -1 + 2t; -t)  Vì đi qua A(1; 0; 2) nên AM t; 1 2t; t 2 là 1 VTCP của     Vì  d AM  u AM.u 0 2 d2 d2 1.t 2. 1 2t 2. t 2 0 3t 6 0 t 2  Suy ra AM 2;3; 4  x 1 y z 2 Phương trình đường thẳng đi qua A(1; 0; 2) và nhận AM 2;3; 4 làm VTCP là 2 3 4 Chọn C. Câu 24. Phương pháp - Gọi H là trung điểm AB. 1 - Tính SO suy ra thể tích V r 2h. 3 Cách giải: Gọi H là trung điểm của AB ta có OH  AB, SH  AB .
  14. 1 R 2 Tam giác OAB vuông tại O AB R 2,OH AB . 2 2 2S 2R2 2 Tam giác SAB có S R2 2 SH SAB 2R. SAB AB R 2 2R2 R 14 SO SH 2 OH 2 4R2 . 4 2 1 1 R 14 R3 14 Thể tích khối nón V OA2.SO R2. . 3 3 2 6 Chọn B. Câu 25. Phương pháp Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): ax + by + cz + d = 0 có phương trình ax + by + cz + d' = 0 (d d') Từ đề bài suy ra tọa độ điểm M, N từ đó thay tọa độ M, N vào phương trình mặt phẳng (P) và sử dụng định lý Pytago để tìm được d' Cách giải: Vì (P) / / (Q) nên phương trình mặt phẳng (P): x - y + 2z + d = 0 (d -2) có VTPT n 1; 1;2 Vì M Ox; N Oy nên M xM ;0;0 , N 0; yN ;0 mà M,N (P) nên ta có xM d 0 xM d và yN d 0 d yN Hay M d;0;0 , N 0;d;0 OM d ;ON d Lại có tam giác OMN vuông tại O nên 2 2 2 2 2 d 2 (tm) MN OM ON 2d 8 d 4 d 2 (ktm) Suy ra phương trình mặt phẳng (P): x - y + 2z + 2 = 0. Chọn A. Câu 26. Phương pháp: - Xác định góc 450 (góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng mà cùng vuông góc với giao tuyến). - Tính chiều cao, diện tích đáy và suy ra thể tích theo công thức V = Bh với B là diện tích đáy, h là chiều cao. Cách giải: Gọi M là trung điểm của BC AM  BC và A'M  BC (tam giác A'BC cân). Mà ( A'BC)  (ABC) = BC nên góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng góc giữa AM và A'M hay A'MA = 450 a 3 Tam giác ABC đều cạnh a nên AM . 2
  15. a 3 a 3 Tam giác AMA' có A = 900, AM và A'MA = 450 nên AA ' AM tan 450 AM . 2 2 a2 3 a 3 3a2 Thể tích khối lăng trụ: V S AA ' . . ABC 4 2 8 Chọn A. Câu 27. Phương pháp: f (x) g (x) Sử dụng a b f (x) g(x).loga b với 0 0. Sử dụng hệ thức Vi-ét để tính tích các nghiệm. Cách giải: x2 2 x 1 x2 2 x 1 2 Ta có 3 5 log3 3 log3 5 x 2 x 1 log3 5 2 x x.log3 5 2 log3 5 0 Nhận thấy ac 1. 2 log3 5 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu x1; x2. Theo hệ thức Vi-et ta có x1.x2 2 log3 5 log3 9 log3 5 log3 9.5 log3 45 Chọn C. Câu 28. Phương pháp: Sử dụng phương pháp đổi biến tính tích phân. Cách giải: dt Đặt t 3x 1 dt 3dx dx 3 Đổi cận x 1 t 2, x 3 t 8. 3 3 3 8 f (t) 1 8 1 Khi đó I f (3x 1)dx dt f (t)dt .10 5. 2 1 2 2 3 2 2 2 Chọn D. Câu 29. Phương pháp: ax b d a d Đồ thị hàm số y x nhận đường thẳng y làm TCĐ và nhận đường thẳng x cx d c c c làm TCN. a c Từ YCBT suy ra từ đó ta tìm được m. c d Cách giải: 2x m Xét hàm số y với x m x m Điều kiện để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận là m 0 Đồ thị hàm số nhận y = 2 làm TCĐ và x = m làm TCN
  16. m 2 Từ ycbt suy ra m 2 m 2 Chọn D. Câu 30. Phương pháp: - Gọi tọa độ hai điểm M, N theo tham số của hai đường thẳng, với MN là đường vuông góc chung.     - MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2 thì MN.u1 MN.u2 0 Cách giải:  Ta có M 1 t;3 t;2 2t d1, N 3t ';t '; 1 3t ' d2 MN 3t ' 1 t;t ' 3 t; 3 3t ' 2t   d1 có VTCP u1 1; 1;2 , d2 có VTCP u2 3;1; 3     MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 MN.u1 MN.u2 0 1( 3t ' 1 t) 1(t ' 3 t) 2( 3 3t ' 2t) 0 10t ' 6t 4 0 t ' 1  3( 3t ' 1 t) 1(t ' 3 t) 3( 3 3t ' 2t) 0 19t ' 10t 9 0 t 1  MN 1; 3; 2 và M(2; 2; 4) x 2 y 2 z 4 Vậy MN : 1 3 2 Chọn A. Câu 31. Phương pháp: Gọi số phức z = x + yi (x; y R) thì mô đun z x2 y2 Từ đó biến đổi đưa về hai số phức bằng nhau thì phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau. Cách giải: Gọi số phức z = x + yi (x; y R) thì mô đun z x2 y2 2 Ta có z2 2018z 2019 z 2 x yi 2 2018 x yi 2019 x2 y2 x2 2xyi y2 2018x 2018yi 2019x2 2019y2 2018x2 2020y2 2018x 2xy 2018y i 0 y 0 2xy 2018y 0 2 2 x 1009 2018x 2018y 2018x 0 2 2 2018x 2018y 2018x 0 2 x 0 Với y 0 2018x 2018x 0 2018x x 1 0 x 1 Suy ra z = 0; z = -1 Với x 1009 2018.10092 2020y2 2018.1009 0 2020y2 2018.1009 2018.10092 (vô nghiệm vì VT không âm và VP âm) Vậy có 2 số phức thỏa mãn đề bài. Chọn B.
  17. Câu 32. Phương pháp: u ln x - Sử dụng tích phân từng phần, đặt 2 . dx x dx - Tính tích phân đã cho tìm a, b và kết luận. Cách giải: 1 du dx u ln x x Đặt 2 3 dx x dx x v 3 x3 e e x3 1 e3 1 e e3 1 x3 e e3 e3 1 2e3 1 I ln x . dx x2dx . 1 1 3 1 3 x 3 3 1 3 3 3 3 9 9 3 9 2 1 a ,b 9 a b 3. 9 9 Chọn A. Câu 33. Phương pháp: Đa giác đều có n cạnh (với n chẵn) thì luôn tồn tại đường chéo là đường kính của đường tròn ngoại tiếp. Từ đó sử dụng kiến thức về tổ hợp để tính toán. Cách giải: Số hình vuông tạo thành từ các đỉnh của đa giác đều 20 cạnh là 20: 4 = 5 hình vuông (do hình vuông có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau) Vì đa giác đều có 20 đỉnh nên có 10 cặp đỉnh đối diện hay có 10 đường chéo đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp. Cứ mỗi 2 đường chéo đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tạo thành một hình 2 chữ nhật nên số hình chữ nhật tạo thành là C1 0hình trong đó có cả những hình chữ nhật là hình vuông. 2 Số hình chữ nhật không phải hình vuông tạo thành là C10 5 40 hình. Chọn C. Câu 34. Phương pháp: - Tính y', tìm điều kiện để y' = 0 có ba nghiệm phân biệt. - Tìm điều kiện để các điểm cực trị nằm trên các trục tọa độ và kết luận. Cách giải: 3 2 x 0 Ta có : y ' 4x 4mx 0 4x(x m) 0 2 x m Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì y' = 0 có ba nghiệm phân biệt m > 0. Khi đó đồ thị hàm số có các điểm cực trị là A 0;3m 2 , B m; m2 3m 2 ,C m; m2 3m 2 . 2 m 2 Dễ thấy A Oy nên bài toán thỏa khi B, C Ox m 3m 2 0 (thỏa mãn) m 1
  18. Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn bài toán. Chọn A. Câu 35. Phương pháp: + Từ đề bài suy ra IA = d (I; (P)) + Sử dụng công thức khoảng cách từ I (x0; y0; z0) đến mặt phẳng (P) : ax + by + cz + d = 0 là ax by cz d d I;(P) 0 0 0 a2 b2 c2 Cách giải: x 1 t x 1 y 2 z 2 Đường thẳng d : d : y 2 2t 1 2 1 z 2 t Vì I d I 1 t;2 2t;2 t Lại có mặt cầu đi qua A (1; 2; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) : x - 2y + 2z +1 = 0 nên bán kính mặt cầu R = IA = d (I; (P )) 1 t 2(2 2t) 2(2 t) 1 7t 2 Lại có IA t 2 4t 2 t 1 2 6t 2 2t 1;d I;(P) 12 ( 2)2 22 3 7t 2 Từ đó ta có IA d I;(P) 6t 2 2t 1 3 9 6t 2 2t 1 7t 2 2 5t 2 10t 5 0 5 t 1 2 0 t 1 7.1 2 Suy ra R d I;(P) 3 3 Chọn D. Câu 36. Phương pháp: Tính chiều cao hình trụ và tính diện tích xung quanh theo công thức Sxq = 2 Rh. Cách giải: Ta có : OHA vuông tại H có OH 2,OA 4 AH OA2 OH 2 2 3. Thiết diện là hình vuông có cạnh 2AH 2.2 3 4 3 h OO ' 4 3. Diện tích xung quanh S 2 Rh 2 .4.4 3 32 3. Chọn D. Câu 37. Phương pháp:  IM ;u + Sử dụng khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d đi qua M và có VTCP u là d u + Sử dụng định lý Pytago để tính bán kính mặt cầu + Mặt cầu tâm I (a; b; c) và bán kính R có phương trình (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R
  19. Cách giải: x 1 y 2 z 2 Đường thẳng d : đi qua M (-1; 2; 2) có VTCP u 3; 2;2 3 2 2   Suy ra IM 2;0;3 ; IM ;u 6;13;4 Khoảng cách h từ tâm I đến đường thẳng d là  2 2 2 IM ;u 6 13 4 h d I;(d) 13 u 32 2 2 22 AB Gọi K là trung điểm dây AB IK  AB; KB 3; IK h 13 2 Xét tam giác IKB vuông tại K IB KB2 IK 2 13 3 4 Phương trình mặt cầu tâm I (1; 2; -1) và bán kính R = IB = 4 là (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z + 1)2 = 16 Chọn D. Câu 38. Phương pháp: - Viết phương trình parabol. - Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị b y = f(x), y = g(x), các đường thẳng x = a, x = b là V f 2 x g 2 x dx. a Cách giải: Phương trình parabol (P) có dạng y = ax2 đi qua điểm B(4; 4) 1 1 4 a.42 a nên P : y x2. 4 4 1 Gọi (H) là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = 4, đồ thị hàm số y , xđường2 4 thẳng x = 0. Khi đó thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh Ox là: 4 2 4 5 5 2 1 2 1 4 x 4 4 256 V 4 x dx 16 x dx 16x 16.4 4 16 16.5 0 16.5 5 0 0 Chọn D. Câu 39. Phương pháp: + Sử dụng d (a; b ) = d (a; (P)) = d (A; (P)) với b  (P), a // (P), A a để đưa về tìm khoảng cách giữa điểm A và mặt phẳng (P) sao cho AB // ( P ). + Sử dụng định lý Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán. Cách giải: Trong (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với AB, qua B kẻ đường thẳng song song với AM . Hai đường thẳng này cắt nhau tại E ta được tứ giác ABEM là hình bình hành. Vì ME / / AB AB / / ( SME)
  20. d (AB; SM ) = d ( AB; (SME)) = d (A; (SME)) Từ A trong mặt phẳng (ABEM) kẻ AK  ME , lại có ME  SA (do SA  (ABEM )) EK  (SAK) Trong (SAK) kẻ AH  SK tại H Ta có AH  SK; EK  AH (do EK  (SAK)) AH  (SKE) tại H. Từ đó d(AB; SM ) = d(A; (SME )) = AH + Xét tam giác SBA vuông tại A có SA AB.tan SBA a.tan 600 a 3. AC a 2 + Lại có ABC vuông cân tại B nên AC AB 2 a 2 CM 2 2 3a 2 Do đó AM AC CM 2 + ABC vuông cân tại B nên ACB = 45° CBE = ACB = 45° (hai góc so le trong) Từ đó ABE = ABC + CBE = 90° + 45° = 135° , suy ra AME = 135° (hai góc đối hình bình hành) Nên tam giác AME là tam giác tù nên K năm ngoài đoạn ME. Ta có KMA = 180° - AME = 45° mà tam giác AMK vuông tại K nên tam giác AMK vuông cân tại K AM 3a AK 2 2 + Xét tam giác SAK vuông tại A có đường cao AH, ta có 1 1 1 1 1 3a 7 AH AH 2 SA2 AK 2 3a2 9a2 7 4 3a 7 Vậy d AB;SM . 7 Chọn D. Câu 40. Phương pháp: - Biến đổi phương trình về dạng f (u) = f (v) với u, v là các biểu thức ẩn x . - Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng, xét hàm y = f (t) suy ra mối quan hệ u, v. Cách giải: 1 Điều kiện: x 1. 2 2x 1 2 2 2 Khi đó log3 3x 8x 5 log3 (2x 1) log3 (x 1) 3(x 1) (2x 1) 1 x 1 2 2 2 log3 2x 1 (2x 1) 3(x 1) log3 (x 1) log3 3 2 2 log3 2x 1 (2x 1) 3(x 1) log3 3(x 1) (*) 1 Xét hàm y f (t) log t t với t > 0 có f '(t) 1 0,t 0 3 t ln 3 Do đó hàm số y = f(t) đồng biến trên (0; + ).
  21. Phương trình (*) là f (2x 1) f 3(x 1)2 2x 1 3 x 1 2 x 2 2x 1 3 x2 2x 1 3x2 8x 4 0 2 (tm). x 3 2 Vậy phương trình có nghiệm 2 và nên a = 2, b = 3. 3 Chọn D. Câu 41. Phương pháp: Đặt t = x + m từ đó lập luận để f (t) đồng biến trên (m; 2 + m) . Lưu ý: Nếu f'(x) > 0 trên (a; b) thì hàm số f (x) đồng biến trên (a; b) Cách giải: Đặt t = x + m. Để g(x) đồng biến trên (0; 2) thì hàm số f (x + m) hay f (t) đồng biến trên (m; 2 + m) Từ BBT và theo đề bài f(x) liên tục trên R thì ta có f(x) đồng biến trên (-1; 3) Nên để f (t) đồng biến trên (m; 2 + m) thì (m; 2+m)  [-1; 3] 1 m < m + 2 3 -1 m 1 mà m Z m {-1; 0; 1} Chọn A. Câu 42. Phương pháp: - Gọi tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d . - Tính diện tích tam giác MAB và đánh giá GTNN của của diện tích. 1   Công thức tính diện tích: S MA, MB MAB 2 Cách giải: Gọi M(5 - 4t; 2 + 2t; 4 + t) d   MA 4 4t;2 2t; 2 t , MB 6 4t; 2t; t   MA, MB 6t; 6t 12; 12t 12   2 2 2 2 2 MA, MB 36t 36 t 2 144 t 1 6 8t 16t 10 6 8 t 1 2 1   2 S MA, MB 3 8 t 1 2 3 2. MAB 2 Dấu “=” xảy ra khi t = 1 M (1; 4; 5). Vậy diện tích tam giác MAB nhỏ nhất bằng 3 2 khi M (1; 4; 5). Chọn C. Câu 43. Phương pháp: + Tìm ĐK. + Đặt log3 x t từ đó đưa về phương trình bậc hai ẩn t. + Biến đổi yêu cầu bài toán để sử dụng được hệ thức Vi-ét. Cách giải:
  22. Đk: x > 0 2 Đặt log3 x t ta có phương trình t - 4t + m - 3 = 0 (*) Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 0 m < 7 t t 4 Theo hệ thức Vi-et ta có 1 2 t1.t2 m 3 t1 t2 Ta có t1 log3 x1 x1 3 ;t2 log3 x2 x2 3 t2 t2 t1 t1 4 Khi đó x2 81x1 0 3 81.3 0 3 3 t2 t1 4 t2 t1 4 2 2 2 Suy ra (t2 t1) 16 t2 t1 4t1t2 16 ( 4) 4(m 3) 16 m 3 0 m 3 Từ đó 3 < m < 7 mà m Z nên m {4; 5; 6}. Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn C. Câu 44. Phương pháp: - Viết z1 = kiz2 (k R), thay vào đẳng thức bài cho tìm z2 , z1 theo k . - Tìm GTLN của z1 z2 và kết luận. Cách giải: z1 z1 Ta có : là số thuần ảo nên ta viết lại ki z1 kiz2 z2 z2 10 10 Khi đó z1 z2 10 kiz2 z2 10 z2 1 ki 10 z2 1 ki k 2 1 10 10 k 10 k 1 z1 ki . z2 k . 2 z1 z2 k 1 k 2 1 k 2 1 10(t 1) Xét y f (t) 10(t 1) y t 2 1 100(t 1)2 y2 t 2 1 t 2 1 100 t 2 2t 1 y2t 2 y2 y2 100 t 2 y2 100 0 2 Phương trình có nghiệm ' 1002 y2 100 y2 200 y2 0 10 2 y 10 2 Vậy max y 10 2 khi t = 1 hay k = ±1. Chọn B. Câu 45. Phương pháp: Chia hai trường hợp để giải bất phương trình Sử dụng hình vẽ và sự tương giao của hai đồ thị hàm số y = f (x) và y = g (x) để xét dấu biểu thức f (x) – g (x).
  23. Trên (a; b) mà đồ thị hàm số y = f (x) nằm phía trên đồ thị hàm số y = g (x) thì f (x) - g (x) > 0 . Cách giải: Ta có  f (x) x 1 x2 x 6 0(*) x 2 x2 x 6 0 TH1: x 3 f (x) x 1 0 f (x) 1 x Đường thẳng y = 1 – x đi qua các điểm (-3; 4); (-1; 2); (0; 1); (2; -l) như hình vẽ và giao với đồ thị hàm số y = f (x) tại 4 điểm như trên. 3 x 1 Từ đồ thị hàm số thì ta thấy f (x) 1 x x 2 x 2 3 x 2 Kết hợp điều kiện thì ta có (1) x 3 x 3 x2 x 6 0 2 x 3 TH2: f (x) x 1 0  f (x) 1 x x 3 Từ đồ thị hàm số thì ta thấy f (x) 1 x kết hợp với 1 x 2 -2 < x < 3 ta được -1 < x < 2. (2) 3 x 2 Từ (1) và (2) ta có 1 x 2 mà x (-10;10) và x Z nên x {0;1;4;5;6;7;8;9} x 3 Nhận thấy tại x = 0 thì f (0) = 1 f (x) + x - 1 = f (1) - 1 = 0 VT của (*) bằng 0 nên x = 0 không thỏa mãn BPT. Có 7 giá trị x thỏa mãn đề bài. Chọn D. Câu 46. Phương pháp: Gắn hệ trục tọa độ, sử dụng các công thức góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng rồi tính toán. Cách giải: Gọi O là trung điểm của BC, qua O kẻ tia Oz cắt SC tại M . Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ở đó O(0; 0; 0 ), A(1; 0; 0), C(0; 1; 0 ), B(0; -1; 0 ), S(0; m; n )    AB 1; 1;0 , AC 1;1;0 , AS 1;m;n Mặt phẳng (SBC) : x = 0 có VTPT i 1;0;0    Mặt phẳng (SAC) có VTPT n AC, AS n;n; m 1 1    Mặt phẳng (SAB) có VTPT n AB, AS n;n; m 1 2
  24.  n2.i n 1 n cos600  2 2 2 2 2 n2 . i 2n m 1 2n m 1 4n2 2n2 m 1 2 2n2 m 1 2 (1)  n1.i n 2 2 2 cos  4 n 4n2 2 1 m 6n2 1 m (2) 2 2 4 n1 . i 2n m 1 2 2 m 2 3 n 2 3 Từ (1) và (2) suy ra 3 m 1 1 m m 2 3 n 2 3 S 0; 2 3; 2 3 S 0; 2 3; 2 3 2 H 0; 2 3;0 SH 2 3, AH 1 2 3 2 2 3 2 H 0; 2 3;0 SH 2 3, AH 1 2 3 2 2 3 SH 1 tan . AH 2 Chọn C. Câu 47. Phương pháp: Sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M(x0; y0) là y f '(x0 )(x x0 ) y0 f (x) f (x0 ) Sử dụng định nghĩa đạo hàm của f(x) tại x0 là f '(x0 ) lim từ đó biến đổi để tính giới hạn. x x 0 x x0 Cách giải: Vì tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 là đường thẳng y = 3x – 3. f '(0) 3 Nên  f (0) 3 f (x) f (0) f (x) 3 Suy ra lim 3 lim 3 x 0 x 0 x 0 x f (3x) 3 f (4x) 3 f (7x) 3 Từ đó suy ra lim 3;lim 3;lim 3 x 0 3x x 0 4x x 0 7x Ta có:
  25. 3x lim x 0 f (3x) 5 f (4x) 4 f (7x) 3x lim x 0 f (3x) 3 5 f (4x) 3 4 f (7x) 3 3 lim x 0 f (3x) 3 f (4x) 3 f (7x) 3 5 4 x x x 3 lim x 0 f (3x) 3 f (4x) 3 f (7x) 3 3. 5.4 4.7 x x x 3 1 . 3.3 5.4.3 4.7.3 11 Chọn D. Câu 48. Phương pháp: Tìm GTLN của hàm số y = f (x3 + x) và y = -x2 + 2x + m trên đoạn [0; 2] và suy ra đáp số. Cách giải: Xét g (x) = f (x3 + x) - x2 + 2x + m trên [0; 2] ta có: Với mọi x [0;2] thì x3 + x [0;10] nên max f (x3 x) 4 xảy ra khi x3 x 2 x 1. 0;2 Lại có x2 2x m m 1 x 1 2 m 1 nên max x2 2x m m 1 xảy ra khi x = 1. Do đó max g(x) g(1) 4 m 1 5 m 0;2 Bài toán thỏa khi 5 + m = 8 m = 3. Chọn D. Câu 49. Phương pháp: Từ giả thiết biến đổi để có f'(0 ) = 0 Từ đó tìm được hàm f'(x) và tính tích phân. Cách giải: 2x f '(x) Ta có lim 2 mà lim 2x 0 nên lim 2x f '(x) 0 lim f '(x) 0 f '(0) 0 (vì nếu x 0 2x x 0 x 0 x 0 2x f '(x) lim 2x f '(x) 0 thì lim 2 ) x 0 x 0 2x Từ đó x = 0; x = 1; x = 2 là ba cực trị của hàm số đã cho. Hay phương trình f'(x) = 0 có ba nghiệm x = 0; x = 1; x = 2 Vì f(x) là hàm đa thức bậc 4 nên ta giả sử hàm f '(x) m.x x 1 x 2 2x mx x 1 x 2 2 m x 1 x 2 2 2m Từ đề bài ta có lim 2 lim 2 2 m 1 x 0 2x x 0 2 2 Nên f '(x) x x 1 x 2 x3 3x2 2x
  26. 1 1 1 Từ đó f '(x)dx x3 3x2 2x dx . 0 0 4 Chọn B. Câu 50. Phương pháp: - Đặt 3 f (x) m u đưa về phương trình g (w) = g (v) với w, v là các biểu thức ẩn x, u . - Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng, xét hàm y = g (x) suy ra mối quan hệ x, t. Cách giải: Đặt 3 f (x) m u f (x) m u3 3 f (u) x m 3 3 3 3 3 f (u) f (x) x u f (u) u f (x) x f (x) u m Xét hàm g(x) f (x) x3 x5 3x3 4m x3 x5 4x3 4m có g '(x) 5x4 12x2 0,x 1;2 Do đó y = g (x) đồng biến trên [1; 2]. f (u) u3 f (x) x3 u x 3 f (x) m x f (x) m x3 x5 3x3 4m m x3 x5 2x3 3m Xét hàm h(x) x5 2x3 trên [1; 2] có h'(x) 5x4 6x2 0,x 1;2 h(x) đồng biến trên [1;2] h(1) h(x) h(2) 3 h (x) 48 . Phương trình h(x) = 3m có nghiệm thuộc [1; 2] 3 3m 48 1 m 16 Vậy có 16 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán. Chọn B.