Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số: 14 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số: 14 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

1. ĐỀ SỐ 14 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC: 2020 – 2021 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề Câu 1. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [-3;2] và có bảng biến thiên như sau: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1;2] bằng A. 0. B. -2. C. 1. D. 2. Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ a 1;1;0 ;b 1;1;0 ;c 1;1;1 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. a 2 . B. a  b . C. c 3 . D. b  c . Câu 3. Tìm I cos 3x 2 dx 1 1 A. I sin 3x 2 C . B. I sin 3x 2 C . 3 3 C. I 3sin 3x 2 C . D. I sin 3x 2 C . Câu 4. Đồ thị bên dưới là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau: x 1 2x 1 A. y . B. y . x 1 x 1 x 3 2x 3 C. y . D. y . 1 x x 1 Câu 5. Số phức liên hợp của số phức z 1 i 3 2i là: A. z 1 i . B. z 1 i . C. z 5 i . D. z 5 i . Câu 6. Cho hàm số y = log2x. Khẳng định nào sau đây sai? A. Đồ thị hàm số nhận trục tung làm tiệm cận đứng. B. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm A(1;0) . C. Đồ thị hàm số luôn nằm phía trên trục hoành. D. Hàm số đổng biến trên khoảng 0; . Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;-2), B(2;1;-1). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB. Trang 1
2. 1 1 1 1 A. G 1; ;1 . B. G 1; ;1 . C. G 1; ; 1 . D. G ;1; 1 . 3 3 3 3 Câu 8. Một bữa tiệc có 13 người, lúc ra về mỗi người đều bắt tay người khác một lần, riêng chủ bữa tiệc chỉ bắt tay ba người. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay? A. 69 . B. 80. C. 82. D. 70. Câu 9. Điều nào sau đây là đúng? A. am an m n . B. am an m n . 9 3 m m C. . D. Nếu 0 a b và a b thì m 0 . 4 4 Câu 10. Kí hiệu S là diện tích phẩn hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x); x = a; x = b, trục hoành như hình vẽ bên. Khẳng định nào đúng? b A. S f x dx . a b B. S f x dx . a c b C. S f x dx f x dx . a c c b D. S f x dx f x dx . a c Câu 11. Hình chóp có 20 cạnh thì có bao nhiêu mặt? A. 12 mặt. B. 11 mặt. C. 10 mặt. D. 19 mặt. Câu 12. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 cm, độ dài đường cao bằng 4 cm. Tính diện tích xung quanh của hình trụ này. A. 22π (cm2). B. 24π (cm2). C. 20π (cm2). D. 26π (cm2). Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x - 3y + z - 4 = 0. Vectơ nào trong số các vectơ sau là vectơ pháp tuyến (P) ? n 3 j k A. n 2i j k . B. n i 3 j k . C. n i 3 j 4k . D. . Câu 14. Trong khai triển nhị thức (a + 2)n+6 ( n ¥ ) có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng: A. 10 B. 17 C. 11 D. 12 x 1 Câu 15. Đồ thị hàm số y có bao nhiêu tiệm cận? x2 1 A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 Câu 16. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f ' x x2 1 x 1 5 x . Mệnh đề nào sau đây đúng? Trang 2
3. A. f 1 f 4 f 2 B. f 1 f 2 f 4 C. f 2 f 1 f 4 D. f 4 f 2 f 1 Câu 17. Cho các hàm số lũy thừa y x ,y x  ,y x có đồ thị như hình vẽ. Mệnh để đúng là A.   B.   C.   D.   Câu 18. Cho các số phức z và w thỏa mãn z 2i 3,w 3 4i z 5i . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w là một đường tròn có tâm I. Tọa độ của điểm I là A. I 1;4 . B. I 0;3 . C. I 3;7 . D. I 8;1 . Câu 19: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới Hàm số g(x) = f (x +1) đạt cực tiểu tại 1 A. x . B. x 1. C. x 1. D. x 0 . 2 Câu 20. Thể tích vật thể tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox, biết (H) được giới hạn bởi x2 y2 đường elip (E) : 1 . a2 b2 b2a 2b2a 4b2a A. b2a . B. . C. . D. . 3 3 3 Câu 21. Giá trị của m để đồ thị hàm số y x3 3x2 1 cắt đường thẳng y = m tại ba điểm phân biệt là A. 3 m 1. B. m > 1. C. m < -3. D. -3 < m < 1. Câu 22. Khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích V khi đó thể tích khối chóp tứ giác A.BCC'B' bằng 2 1 1 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 2 3 4 Câu 23. Số nghiệm trong đoạn [0;30] của phương trình tanx = tan3x là: A. 8. B. 9. C. 10. D. 11. Câu 24. Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 1 x2 . Khi đó M + m bằng A. 0. B. -1. C. 1. D. 2. 2 x 4 5 x 11 Câu 25. Tìm tập nghiệm của bất phương trình 10 3 10 3 Trang 3
4. A. 1; . B. ;1 . C. 5; . D. ;5 . Câu 26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x – y – z - 1 = 0 và (Q): x 2y 1 0 . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A(2; -1; -1), song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) . x 2 y 1 z 1 x 2 y 1 z 1 A. d : . B. d : . 2 1 3 2 1 3 x 2 y 1 z 1 x 2 y 1 z 1 C. d : . D. d : . 2 1 3 2 1 3 Câu 27. Phương trình 9 x 1 13.6 x 4 x 1 0 có 2 nghiệm x1, x2. Phát biểu nào sau đây đúng? A. Phương trình có 2 nghiệm nguyên âm. B. Phương trình có 2 nghiệm nguyên. C. Phương trình có 1 nghiệm dương. D. Phương trình có tích 2 nghiệm là số dương. 4 2 Câu 28. Kí hiệu z 1, z2, z3, z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z - z - 6 = 0. Tính tổng P z1 z2 z3 z4 . A. P 2 2 3 . B. P 2 3 . C. P 3 2 3 . D. 0. Câu 29. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60°. Khi đó thể tích hình nón nội tiếp hình chóp S.ABCD là a3 3 a3 3 a3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 6 3 3 9 Câu 30. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(-1; 2; 4), B(1; 4; 2) và đường thẳng ∆: x 1 y 2 z . Tìm tọa độ điểm M sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất? 1 1 2 A. (-1;0;4). B. (0;-1;4). C. (1;0;4). D. (1;0;-4). Câu 31. Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc, AB = a, AC a 2 và diện tích a2 33 tam giác SBC bằng . Khoảng cách từ điểm A đến măt phẳng (SBC) bằng 6 a 330 a 330 a 110 2a 330 A. . B. . C. . D. . 33 11 33 33 Câu 32. Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f ' x .f x x4 x2 với mọi số thực x, biết f 0 2 . Tính f 2 2 . 313 332 324 323 A. f 2 2 . B. f 2 2 . C. f 2 2 . D. f 2 2 . 15 15 15 15 Trang 4
5. Câu 33. Cho hàm số bậc ba f(x) = ax 3 +bx2 + cx + d ( a,b,c,d ¡ ,a 0 ) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a > 0, b = 0, c > 0, d 0, b > 0, c = 0, d 0, b < 0, c = 0, d < 0. D. a < 0, b < 0, c = 0, d < 0. Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M, N, P. Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP. 32 64 2 108 125 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 3 6 Câu 35. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2), C(1;1;1). Phương trình mặt phẳng (P) nào sau đây thỏa mãn (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (P) bằng 3 ? A. x - y + z + 2 = 0 . B. 7x - 5y + z + 2 = 0. C. 7x - 5y + z - 2 = 0. D. x - y + z - 2 = 0. Câu 36. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ¡ và có đạo hàm f ' x x2 x 2 x2 6 x m với mọi x ¡ . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-2019;2019] để hàm số g x f 1 x nghịch biến trên khoảng ; 1 ? A. 2012. B. 2011. C. 2009. D. 2010. Câu 37. Ông A vay dài hạn ngân hàng 300 triệu, với lãi suất 12% năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một năm kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một năm, số tiền hoàn ở mỗi lần là như nhau và trả hết nợ sau đúng 4 năm kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó, số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lẩn hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ. 4 36 1,12 2 A. m 4 (triệu đồng). B. m 36 1,12 (triệu đồng). 1,12 1 3 4 36 1,12 1 300 1,12 C. m 3 (triệu đồng). D. m 4 (triệu đồng). 1,12 1,12 1 Câu 38. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đổ thị hai hàm số y x ,y 6 x và trục hoành. Trang 5
6. 32 8 A. . B. 8 . C. . D. 4 6 18 . 3 3 Câu 39. Biết số phức z = x + yi,( x,y ¡ ), thỏa mãn điều kiện z 2 4i z 2i và có môđun nhỏ nhất. Tính P = x2 + y2. A. P = 10. B. P = 8. C. P = 26. D. P = 16. Câu 40: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB = 2a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh AB. Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Tang góc giữa hai mặt phẳng (BCC'B') và (ABC) bằng 1 A. . B. 2. C. 4.D. 2 . 4 ax b Câu 41. Cho hàm số f x (với a, b, c, d là các số thực) cx d có đồ thị hàm số f'(x) như hình vẽ. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [-3;-2] bằng 7. Giá trị f(2) bằng A. -2. B. 3. C. -1. D. 5. Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S): x 2 + y2 + z2 = 8 và điểm 1 3 M ; ;0 . Đường thẳng d thay đổi đi qua M và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B phân biệt. Tính 2 2 diện tích S lớn nhất của tam giác OAB. A. S 2 2 . B. S 2 7 . C. S 4 .D. S 7 . 2 Câu 43. Cho hàm số f(x) thỏa mãn f ' x f x .f " x x3 2x,x ¡ và f 0 f ' 0 1. Tính giá trị của T f 2 2 . 43 16 43 26 A. . B. . C. .D. . 30 15 15 15 Câu 44. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 z2 9 12i =3 và z1 3 20i 7 z2 . Gọi M, m lần 2 2 lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P z1 2z2 12 15i . Khi đó giá trị M m bằng A. 220 B. 223. C. 224 D. 225 . Câu 45. Cho hàm số y = f(x) là hàm đa thức bậc bốn có f(3) < 0, đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ. 2020 Số điểm cực trị của hàm số g x f x 1 là: A. 1. B. 2. C. 3.D. 4. Trang 6
7. Câu 46. Trong tất cả các cặp (x;y) thỏa mãn log 4x 4y 4 1 . Tính tích các số dương m để x2 y2 2 tổn tại duy nhất cặp (x; y) sao cho x2 y2 2x 2y 2 m 0 . A. 10 . B. 64. C. 2. D. 8. 1 3 2 1 5 Câu 47. Cho hàm số y x mx 2x 2m C . Tham số m 0; sao cho diện tích hình 3 3 6 a a phẳng giới hạn bởi đổ thị (C) và các đường x = 0; x = 2; y = 0 bằng 4 có dạng m , là phân số tối 0 b b giản. Khi đó a - b bằng: A. 1. B. -1. C. 2. D. -2. a Câu 48. Cắt ba góc của một tam giác đểu cạnh bằng a các đoạn bằng x, 0 x phần còn lại là một 2 tam giác đều bên ngoài là các hình chữ nhật, rồi gấp các hình chữ nhật lại tạo thành khối lăng trụ tam giác đều như hình vẽ. Tìm độ dài x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất. a a A. . B. . 3 4 a a C. . D. . 5 6 2 Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 y 4 z2 5 . Tìm tọa độ điểm A Oy , biết rằng ba mặt phẳng phân biệt đi qua A đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là ba đường tròn có tổng diện tích bằng 11π. A 0;2;0 A 0;2;0 A 0;0;0 A 0;2;0 A. . B. . C. . D. . A 0; 6;0 A 0;8;0 A 0; 6;0 A 0;6;0 Câu 50. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên ¡ . Biết f(0) = 0 và đồ thị hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ dưới. Phương trình f x m , với m là tham số có nhiều nhất là bao nhiêu nghiệm? A. 8. B. 6. C. 2. D. 4 . Trang 7
8. Đáp án 1-A 2-D 3-A 4-B 5-D 6-C 7-C 8-A 9-D 10-D 11-B 12-B 13-B 14-A 15-B 16-B 17-C 18-D 19-B 20-D 21-D 22-A 23-C 24-A 25-C 26-B 27-B 28-A 29-B 30-A 31-A 32-B 33-B 34-A 35-A 36-B 37-A 38-A 39-B 40-B 41-B 42-D 43-C 44-D 45-C 46-B 47-B 48-D 49-D 50-B LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án A Từ bảng biến thiên trên ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên [-1;2] là 0. Câu 2: Đáp án D 2 a 1 12 02 2, c 12 12 12 3,a.b 1.1 1.1 0.0 a  b các mệnh đề A, B, C đúng. Lại có: b.c 1.1 1.1 0.1 2 0 mệnh đề sai. Câu 3: Đáp án A 1 1 Ta có: I cos 3x 2 dx cos 3x 2 d 3x 2 sin 3x 2 C . 3 3 Câu 4: Đáp án B Từ đồ thị ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -1 và tiệm cận ngang là y = 2. Nên ta loại A, C. 2x 3 1 Mặt khác hàm số đồng biến nên ta loại D (do y y' 2 ). x 1 x 1 Câu 5: Đáp án D Ta có z 1 i 3 2i 3 2i 3i 2i2 3 i 2 5 i z 5 i. Câu 6: Đáp án C Hàm số y log2 x có đồ thị như hình bên: Từ đồ thị hàm số ta thấy các khẳng định A, B, D là đúng, khẳng định C sai. Câu 7: Đáp án C Giả sử: Trang 8
9. 0 1 2 xG 1 3 0 0 1 1 1 G xG ; yG ;zG yG G 1; ; 1 3 3 3 0 2 1 z 1 G 3 Câu 8: Đáp án A 2 Số cái bắt tay 12 người (trừ chủ bữa tiệc) C12 . 2 Vậy có C12 3 69 cái bắt tay. Câu 9. Đáp án D A sai khi a > 1; B sai khi 0 < a < l; C sai vì 1 . 4 Câu 10. Đáp án D c b S f x dx f x dx a c Câu 11. Đáp án B 20 Trong hình chóp số cạnh bên bằng số cạnh đáy nên số cạnh đáy bằng 10 (cạnh). Số mặt bên bằng 2 số cạnh đáy. Vậy hình chóp có 11 mặt. Câu 12. Đáp án B 2 Ta có Sxq 2 Rh 2 .3.4 24 cm . Câu 13. Đáp án B Ta có n p 1; 3;1 i -3 j k làm véctơ pháp tuyến của (p). Câu 14. Đáp án A Số các số hạng của khai triển mũ m là m +1. Vậy khai triển (a + 2)n+6 có tất cả 17 số hạng suy ra n + 6 = 16 n = 10. Câu 15: Đáp án B Đổ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là y = 0 . 1 + lim y, lim y,lim y và lim y đều bằng , x 1 x 1 x 1 x 1 2 suy ra x = 1 và x = -1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. + lim y 0 nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thi hàm số. x Vậy đồ thị hàm số đã cho chỉ có một tiệm cận. Câu 16: Đáp án B Dựa vào sự so sánh ở các phương án, ta thấy chỉ cần xét sự biến thiên của hàm số trên khoảng (1;4) . Trang 9
10. Ta có f ' x x 1 2 x 1 5 x 0,x 1;4 . Nên hàm số y = f(x) đồng biến trên (1;4) mà 1 2 4 f 1 f 2 f 4 . Câu 17: Đáp án C Từ đồ thị hàm số ta có Hàm số y = xα nghịch biến trên 0; nên α 1 nên β > 1. Đồ thị hàm số y x nằm phía dưới đồ thị hàm số y = x khi x > 1 nên  1. Vậy 0  1  Câu 18: Đáp án D Ta có w = (3 + 4i)z - 5i = (3 + 4i)(z-2i) + 2i(3 + 4i)-5i = (3 + 4i)(z - 2i) - 8 + i Suy ra w - ( -8 + i) = (3 + 4i)(z - 2i) w 8 i 3 4i . z 2i 15 . Vậy đường tròn của các điểm biểu diễn số phức w có tâm là I 8;1 . Câu 19: Đáp án B Cách 1. Xét hàm số g(x) = f(x + 1), có g'(x) = f'(x + 1). x 1 1 x 2 Ta có: g' x 0 f ' x 1 0 x 1 0 x 1 x 1 1 x 0 Bảng biến thiên của hàm g(x) x -2 -1 0 g’(x) + 0 - 0 + 0 - g(x) 3 3 -2 Từ bảng biến thiên của hàm g(x), ta thấy hàm số g(x) = f(x +1) đạt cực tiểu tại x = -1. Cách 2. Đồ thị hàm số g(x) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số f(x) sang trái 1 đơn vị, mà đồ thị hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = 0 nên hàm số g(x) = f(x +1) đạt cực tiểu tại x = -1. Câu 20: Đáp án D Hoành độ giao điểm của (E) và trục Ox : x = ±a Trang 10
11. Phương trình (E): 2 2 2 x y 2 2 x 2 2 1 y b 1 2 a b a b b2 x2 V b2 dx 2 a a 2 3 2 2 2 2 b x a 2 b a 2 b a 4b a b x 2 b a b a . 3a a 3 3 3 Câu 21: Đáp án D y' 3x2 6 x x 0 y' 0 x 2 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, suy ra -3 < m < 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 22: Đáp án A Ta có: V SA' B' C' .d A, A' B' C' 1 1 Mà VA.A' B' C' SA' B' C' .d A, A' B' C' V 3 3 1 2 V V V V V V A.BCB' C' A.A' B' C' 3 3 Câu 23: Đáp án C x k cos x 0 2 Điều kiện để phương trình có nghĩa (*) cos3x 0 k x 6 3 k Khi đó phương trình trở thảnh 3x x k x so sánh với điều kiện (*) ta có: 2 x k2 ,x 0;30 k 0; ;4 x 0; ;2 ; ;9  x k2 Câu 24: Đáp án A Xét hàm số y x 1 x2 + Tập xác định: D  1;1 x 1 2x2 + y' 1 x2 x. ,x 1 1 x2 1 x2 Trang 11
12. 2 x 1;1 y' 0 1 2x2 0 2 2 x 1;1 2 2 1 2 1 + Ta có: y 1 0; y 1 0; y ; y 2 2 2 2 1 2 1 2 Vậy M Max y khi x , m Min y khi x  1;1 2 2  1;1 2 2 1 1 M m 0 . 2 2 Câu 25: Đáp án C 1 Ta có: 10 3 10 3 1 10 3 10 3 2 x 4 5 x 11 2 x 4 5 x 11 10 3 10 3 10 3 10 3 2x 4 5x 11 x 5 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 5; Câu 26: Đáp án B  Ta có: n P 1; 1; 1 và n Q 1;2;0    Vì ∆ song song với (P) và (Q) nên n n ;n 2; 1;3 d P Q x 2 y 1 z 1 Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d cần tìm là 2 1 3 Câu 27: Đáp án B 9 x 6 x Ta có 9 x 1 13.6 x 4 x 1 0 9.9 x 13.6 x 4.4 x 0 9. 13. 4 0 4 x 4 x x 3 2 x x 1 3 3 2 x 0 9. 13. 4 0 x 2 2 3 4 x 2 2 9 Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên. Câu 28: Đáp án A z 2i 1 z2 2 z 2i Ta có: z4 z2 6 0 2 . Vậy P 2 3 2 z 3 z3 3 z4 3 Câu 29: Đáp án B Trang 12
13. Gọi O, H lần lượt là trung điểm các đoạn AC và BC thì BC  OH và BC  SO BC  SH · SBC , ABC ·SHO ·SHO 60 . 1 Ta có OH AB a SO OH .tan·SHO a 3 . 2 Hình nón nội tiếp S.ABCD có bán kính r OH a và đường cao h SO a 3 . 3 1 1 2 a 3 Thể tích hình nón đó là V r 2h a .a 3 n 3 3 3 Câu 30: Đáp án A x 1 t Viết đường thẳng thành dạng tham số: : y 2 t z 2t  MB t;6 t;2 2t M 1 t; 2 t;2t  MA 2 t;4 t;4 2t MB2 6t 2 20t 40 2 2 MA 6t 28t 36 MA2 MB2 12t 2 48t 76 nhỏ nhất khi t = 2. M 1;0;4 Câu 31: Đáp án A Kẻ AH vuông góc BC khi đó ta có: a 11 a 6 a 5 BC a 3;SH ; AH ;SA 3 3 3 Thể tích của khối chóp S.ABC là 1 a 5 a2 2 a3 10 V SA.S . S .ABC 3 ABC 3 2 18 3V a 330 Suy ra d A, SBC S .ABC V SBC 33 Câu 32: Đáp án B Ta có: f ' x .f x x4 x2 f ' x .f x dx x4 x2 dx x5 x3 f 2 x x5 x3 f x .d f x C C 5 3 2 5 3 x5 x3 mà f 0 2 f 2 0 4 C 2 2 5 3 Trang 13
14. 5 3 2 x x 332 Vậy f 2 2 2 5 3 x 2 15 Câu 33: Đáp án B lim y x Ta có: a 0 lim y x Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm d 0 Vì đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị, ta có: y' 3ax3 2bx c 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2. 2b c x x 0 b 0;x .x 0 c 0 1 2 3a 1 2 3a Vậy a 0;b 0;c 0;d 0 Câu 34: Đáp án A CB  SAB ,AM  SAB AM  CB (1)  SC,AM  AM  SC (2) Từ (l),(2) AM  SBC AM  MC A· MC 90 . Chứng minh tương tự ta có A· PC 90 Có AN  SC A· NC 90 Ta có A· MC A· PC A· NC 90 Khối cầu đường kính AC là khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP . AC Bán kính cầu này là r 2 . 2 4 32 Thể tích cầu V r3 . 3 3 Câu 35: Đáp án A Gọi n a;b;c (điều kiện a2 + b2 + c2 > 0 ) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(-1;1;0) và có vectơ pháp tuyến n a;b;c là a x 1 b y 1 cz 0 ax by cz a b 0 (1). Điểm B(0;0;-2) thuộc mặt phẳng (P) nên -2c + a-b = 0 b = a - 2c (2). Khoảng cách từ điểm C(1;1;1) đến mặt phẳng (P) bằng 3 nên a b c a b 3 2a c 3. a 2 b2 c2 (3). a 2 b2 c2 Thế (2) vào (3) và bình phương hai vế ta được Trang 14
15. 2 2 2 2 2 2 a c 2a c 3 a a 2c c 2a 16ac 14c 0 a 7c a 1 +) a = c, chọn thế vào (2) ta được b = -1. c 1 Phương trình mặt phẳng (P1) là x - y + z + 2 = 0. a 7 +) a = 7c , chọn thế vào (2) ta được b = 5. c 1 Phương trình mặt phẳng (P2) là 7x + 5y + z + 2 = 0. Vậy có hai phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là ( P1): x - y + z + 2 = 0 và (P2): 7x + 5y+ z + 2 = 0. Câu 36: Đáp án B g x f 1 x f 1 x ,x ; 1 Suy ra g ' x f 1 x ' f ' 1 x 1 x 2 1 x 2 1 x 2 6 1 x m 2 2 x 1 x 1 x 4x m 5 Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng ; 1 g ' x 0 với mọi x < -1 (dấu " = " chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm) x2 4x m 5 0 với mọi x ; 1 (vì x 1 2 x 1 0,x ; 1 ) x 2 2 9 m với mọi x ; 1 9 m 0 m 9 . Do m nguyên và m [-2019; 2019] nên suy ra m 9;10;11; ;2019. Vậy có 2011 giá trị nguyên của m thỏa mãn điểu kiện. Câu 37: Đáp án A Số tiền nợ sau năm thứ nhất T1 = 300(1 +12%) - m = 300p -m , với p = (1 +12%) = 1,12% . 2 Số tiền nợ sau năm thứ hai T2 = (300p - m)p - m = 300p – mp - m. 2 3 2 Số tiền nợ sau năm thứ ba T3 = (300p – mp - m)p - m = 300p - mp – mp - m. Trả hết nợ sau năm thứ tư (300p3 - mp2 – mp - m)p - m = 0. 300p4 mp3 mp2 mp m 0 p4 1 300p4 m p3 p2 p 1 0 300p4 m. 0 p 1 1,12 2 1 4 4 4 300 1,12 .0,12 36 1,12 300 1,12 m. m m 0,12 1,12 4 1 1,12 4 1 36 1,12 4 Vậy m . 1,12 4 1 Trang 15
16. Câu 38: Đáp án A Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng tổng thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng OAC quanh trục Ox với thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ACD quanh trục Ox. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng OAC quanh trục Ox bằng 4 2 1 4 V x dx x2 8 1 0 2 0 Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ACD quanh trục Ox 1 8 V AC2.CD 2 3 3 32 Thể tích cần tìm là V V V 1 2 3 Câu 39: Đáp án B Ta có z = x + yi, ( x, y ¡ ). Khi đó, điểm M(x;y) là điểm biểu diễn của số phức z. z 2 4i z 2i z 2 2 y 4 2 x2 y 2 2 x y 4 0 Tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường thẳng : x y 4 0 . Gọi H là hình chiếu của gốc tọa độ O lên đường thẳng (Δ) . Ta có z OM OH . Do đó, z nhỏ nhất OM OH M  H . Mặt khác, OH  và đi qua gốc tọa độ O nên ta được OH : x y 0 x y 0 x 2 Ta có H OH  nên tọa độ H là nghiệm hệ x y 4 0 y 2 Vậy P x2 y2 8 . Câu 40: Đáp án B Cách 1. Gọi E là điểm đối xứng với H qua điểm B ta có: A'H // B'E và B'E  ABC B'E A 'H a 3 Kẻ EK  BC;EF  B'K . Ta có BC  B'EK BC  B'K . Khi đó BCC'B' , ABC B'K,EK B· 'KE . 3 Xét tam giác KEB vuông tại K và K· BE 60 ta có EK BEsin 60 a 2 Trang 16
17. B'E a 3 Xét tam giác B'EK vuông tại E có tan B· 'KE 2 EK a 3 2 Cách 2. [Phương pháp tọa độ] Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H 0;0;0 , B a;0;0 , A a;0;0 ,C 0;a 3;0 ,A ' 0;0;a 3 Mặt phẳng (ABC): z = 0 có vectơ pháp tuyến k 0;0;1 .   2 Mặt phẳng (BCB') có vectơ pháp tuyến n BC,BB' a 3 3;1; 1 . n.k 5 cos BCC'B' , ABC tan BCC'B' , ABC 2 n . k 5 Câu 41: Đáp án B ad bc f ' x . cx d 2 c d 0 c d c d Từ đồ thị ta có: 2 2 ad bc 3d ad bd 3d a b 3d ax b Từ đồ thị f'(x) > 0 nên hàm số f x đồng biến trên ; 1 và 1; cx d 2a b 2 3d b b max f x f 2 7 7 7 6d b 7d b d  3; 2 2c d 2c d 2a d 9d f 2 3 2c d 3d Câu 42: Đáp án D O(0;0;0) (S): R 2 2 Có OM 1 2 2 nên M nằm trong (S) Dựng OH  AB(H AB) , đặt OH = x. Khi đó 0 x OM 1 Khi đó diện tích tam giác OAB là: Trang 17
18. 1 1 S OH.AB OH.2HB OH. OB2 OH2 OH 8 OH2 x 8 x2 f (x) OAB 2 2 Xét hàm số f (x) x 8 x2 với x 0;1 x2 8 2x2 f '(x) 8 x2 8 x2 8 x2 x 2(L) f '(x) 0 x 2(L) Có f (0) 0 f (1) 7 . Vậy max f (x) 7 Smax 7 . 0;1 Câu 43: Đáp án C f '(x) 2 f (x).f ''(x) x3 2x f (x).f '(x)' x3 2x x4 f (x).f '(x) x2 C 4 Ta có f (0) f '(0) 1 nên C 1 4 4 5 2 x 2 1 2 x 2 1 2 x x f (x).f '(x) x 1 f (x) ' x 1 f (x) x C1 4 2 4 2 20 3 1 Ta có f (0) 1 nên C 1 2 1 x5 x2 1 x5 2x3 43 f 2 (x) x f 2 (x) 2x 1 f 2 (2) 2 20 3 2 10 3 15 43 Vậy f 2 (2) . 15 Câu 44: Đáp án D w-z2 3 Đặt w z1 9 12i w+6-8i z2 7 AB 3 Gọi A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn của hai số phức w và z 2. Khi đó ta có với điểm AM OB 7 M(-6;8). AB AM OB 10 OM . Suy ra A, B thuộc đoạn OM.     Suy ra OA xOM ( 6x;8x) và OB yOM ( 6y;8y) với x, y 0;1 w 6x 8xi Đặt với x, y 0;1 z2 6y 8yi Khi đó P 6x 8xi 12y 16yi 21 3i Hay P ( 6x 12y 21)2 (8x 16y 3)2 . Đặt t x 2y, t 0;3 Trang 18
19. Khi đó P 100t2 300t 450 Khảo sát hàm số f (t) 100t2 300t 450 trên đoạn 0;3 ta được 3 max f (t) f (0) 450,minf t f 225 0;3 0;3 2 Từ đó suy ra M 450,m 15. Vậy M2 m2 225. Câu 45: Đáp án C Từ hình vẽ có bảng biến thiên hàm số y f (x) x -1 3 f’(x) - 0 + + f(x) f(3) f(1) y = 0 Ta có: g '(x) 2020f '(x 1)f 2019 (x 1) f '(x 1) 0 (1) Xét g '(x) 0 f (x 1) 0 (2) Xét (1): Dựa vào đồ thị hàm số y f '(x) x 1 ta có: f '(x) 0 x 3 (nghiem kep) x 1 1 x 0 f '(x 1) 0 x 1 3 x 4(nghiem kep) Xét (2): Do f (3) 0 nên f(x) 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc ( ; 1) và (3; ) Suy ra f(x 1) 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ( ;0) và x2 (4; ) x 0 x 4 (nghiem kep) Ta có: g '(x) 0 x x1 ( ;0) x x2 (4; ) Do vậy hàm số g(x) có 3 điểm cực trị. Câu 46: Đáp án B Ta có: log (4x 4y 4) 1 x2 y2 4x 4y 6 0 (1) x2 y2 2 Giả sử M(x;y) thỏa mãn bất phương trình (1), khi đó tập hợp điểm M là hình tròn C1 tâm I 2;2 bán kính R1 2 Trang 19
20. 2 2 Vì m > 0 nên dễ thấy x y 2x 2y 2 m 0 là phương trình đường tròn C2 tâm J 1;1 bán kính R 2 m Vậy để tồn tại duy nhất cặp x; y thỏa mãn đề bài khi chỉ khi C1 và C2 tiếp xúc ngoài hoặc tiếp xúc trong. 2 IJ R1 R 2 10 m 2 m ( 10 2) IJ R R 2 1 2 10 m 2 m ( 10 2) 2 Tích các số m: 10 2 10 2 64. Câu 47: Đáp án B 1 1 Xét hàm số: y x3 mx2 2x 2m 3 3 Có: y' x2 2mx 2 x m m2 2 y' x2 2mx 2 0 2 x m m 2 2 5 m m 2 0 Do m 0; nên 6 2 0 m m 2 2 1 y(0) 2m 0 3 Và 5 y(2) 2m 0 3 Suy ra y 0,x (0;2) Vậy S 4 2 1 1 x3 mx2 2x 2m dx 4 0 3 3 2 1 3 2 1 x mx 2x 2m dx 4 0 3 3 4m 10 1 4 m . 3 2 Câu 48: Đáp án D Xét tam giác AMI như hình vẽ, x đặt AM x 0,M· AI 30o MI 3 a x Lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy a 2x, 0 x , chiều cao nên thể tích khối lăng trụ là 2 3 Trang 20
21. 2 a 2x 3 x a 2x 4ax2 4x3 V . 4 3 4 a Ta cần tìm x 0; để thể tích V đạt giá trị lớn nhất. 2 Xét f (x) a 2x 4ax2 4x3 , a x 2 2 6 có f '(x) 12x 8ax a 0 a x (1) 2 f’(x) + 0 - f(x) a Từ bảng biến thiên suy ra thể tích V đạt giá trị lớn nhất khi x 6 Câu 49: Đáp án D Gọi A(0;m;0) thuộc Oy  Thực hiện phép tịnh tiến theo OA biến đổi hệ tọa độ Oxyz thành AXYZ. x X Công thức đổi trục y Y m z Z Xét bài toán trong hệ tọa độ AXYZ Phương trình mặt cầu S : X2 Y m 4 2 Z2 5 có tâm I 0;m 4;0 và R 5 Ba mặt phẳng vuông góc nhau từng đôi một và đi qua A là ba mặt phẳng tọa độ: AXY, AYZ, AZX. d I, AXY d1 0 r1 5 2 d I, AYZ d2 m 4 r2 5 (m 4) d I, AZX 0 r3 5 2 2 2 2 2 2 2 m 6 Mặt khác theo đề r1 r2 r3 11 r1 r2 r3 11 15 (m 4) 11 m 2 A(0;2;0) Vậy cần tìm. A(0;6;0) Câu 50: Đáp án B Cách 1. Gọi phương trình y f '(x) có dạng y g(x) ax3 bx2 cx 3 , khi đó ta có g(1) 0 a b c 3 0 a b c 3 a 1 g(3) 0 27a 9b 3c 3 0 9a 3b c 1 b 5 g '(1) 0 3a 2b c 0 3a 2b c 0 c 7 Trang 21
22. y f '(x) x3 5x2 7x 3 Lấy nguyên hàm f'(x) ta được 1 5 7 x3 5x2 7x 3 dx x4 x3 x2 3x C f (x) 4 3 2 1 5 7 Vì f (0) 0 C 0 y f (x) x4 x3 x2 3x . Ta có bảng biến thiên 4 3 2 Từ đồ thị hàm số y f (x) ta suy ra được đồ thị hàm số y f x . Do đó phương trình f x m có nhiều nhất là 6 nghiệm. Cách 2. Từ đồ thị ta có bảng biến thiên Từ đồ thị hàm số y = f (x) ta suy ra được đồ thị hàm số y f x Do đó phương trình f x m có nhiều nhất là 6 nghiệm. Trang 22