Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số: 16 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số: 16 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

1. ĐỀ SỐ 16 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC: 2020 – 2021 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề Câu 1. Thể tích của khối lăng trụ đều tam giác có mặt bên là hình vuông cạnh a bằng a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. B. C. D. 12 6 4 3 Câu 2. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như sau Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1B. 3C. 2D. 4 Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A( 1;2;4) . Điểm nào sau đây là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oyz)? A. M( 1;0;0) B. N(0;2;4) C. P( 1;0;4) D. Q( 1;2;0) Câu 4. Kết quả tính đạo hàm nào sau đây sai? x x 1 1 2x 2x A. 3 3 ln 3 B. ln x C. log3 x D. e e x x ln 3 Câu 5. Cho số phức z 2 3i . Khi đó phần ảo của số phức z là A. 3 B. 3i C. 3D. 3i Câu 6. Cho hàm số y f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( ; 1) B. ( 1;0) C. ( 1;1) D. (0;1) Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) sin 2x . cos 2x A. sin 2xdx 2cos 2x C B. sin 2xdx C 2 cos 2x C. sin 2xdx C D. sin 2xdx cos 2x C 2 Trang 1
2. Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 2;3), B( 1;0;2) và G(1; 3;2) là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm C. A. C(3;2;1) B. C(2; 4; 1) C. C(1; 1; 3) D. C(3; 7;1) 2x 1 Câu 9. Cho hàm số y có đồ thị (C). Biết điểm I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Hỏi I x 3 thuộc đường thẳng nào trong các đường sau? A. x y 1 0 B. x y 1 0 C. x y 1 0 D. x y 1 0 Câu 10. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không có nghĩa? 3 3 1 2 A. 2 5 B. 3 C. 6,9 4 D. 5 3 1 3 3 Câu 11. Cho f (x)dx 3; f (x)dx 4 . Tính f (x)dx . 0 0 1 3 3 3 3 A. f (x)dx 7 B. f (x)dx 1 C. f (x)dx 7 D. f (x)dx 1 1 1 1 1 Câu 12. Trong một lớp có 17 bạn nam và 11 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra hai bạn, trong đó có một bạn nam và một bạn nữ? A. 17 cáchB. 28 cáchC. 11 cáchD. 187 cách Câu 13. Cho hình nón có đường cao h = 3 và bán kính đáy R = 4. Diện tích xung quanh Sxq của hình nón là A. Sxq 12 B. Sxq 24 C. Sxq 20 D. Sxq 15 Câu 14. Biết hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số được đưa ra ở các phương án A, B, C, D. Hỏi đó là hàm số nào? A. y x3 3x2 2 B. y x3 3x2 2 C. y x4 2x2 2 D. y x3 3x2 2 Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng x 1 y z 2 d : không đi qua điểm nào sau đây? 3 2 1 A. M(1;0; 2) B. N(4; 2; 1) C. P( 2;2;1) D. Q(7; 4;0) 2 2 Câu 16. Nếu log8 a log4 b 5 và log4 a log8 b 7 thì giá trị của log2 (ab) bằng bao nhiêu? A. 9B. 18C. 1D. 3 Câu 17. Nếu z = i là nghiệm phức của phương trình z2 az b 0 với a,b ¡ thì a b bằng A. 1 B. 2C. 2 D. 1 Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm O và bán kính R không cắt mặt phẳng (P) : 2x y 2z 2 0 . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng? Trang 2
3. 2 2 2 A. R B. R C. R 1 D. R 3 3 3 Câu 19. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 1B. 2C. 3D. 4 Câu 20. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 0 a 1 và bc 0 . Trong các khẳng định sau: 1 I. loga (bc) loga b loga c II. loga (bc) logbc a 2 b b 4 III. loga 2loga IV. loga b 4loga b c c Có bao nhiêu khẳng định đúng? A. 0B. 1C. 2D. 3 Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt phẳng (SAC), (SAB) cùng vuông góc với đáy và góc tạo bởi SC và đáy bằng 60 . Tính khoảng cách h từ A tới mặt phẳng (SBC) theo a. a 15 a 3 a 15 a 3 A. h B. h C. h D. h 5 3 3 5 4 dx Câu 22. Biết a ln 2 bln 5 c , với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính S a 3b c . 3 (x 1)(x 2) A. S 3 B. S 2 C. S 2 D. S 0 Câu 23. Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi ít nhất sau bao nhiêu năm người đó thu được số tiền gấp đôi số tiền ban đầu? A. 8B. 9C. 10D. 11 Câu 24. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (DBC) và D· BC 90 . Khi quay các cạnh của tứ diện xung quanh trục là cạnh AB, có bao nhiêu hình nón được tạo thành? A. 1B. 2C. 3D. 4 Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 3;2) , B(3;5; 2) . Phương trình mặt phẳng trung trực của AB có dạng x ay bz c 0. Khi đó a b c bằng A. 4 B. 3 C. 2D. 2 Câu 26. Cho số phức z thỏa mãn (1 z)2 là số thực. Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Trang 3
4. A. Đường trònB. ParabolC. Một đường thẳngD. Hai đường thẳng Câu 27. Cho cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1 3 và số hạng thứ tư u4 24. Tính tổng S10 của 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên A. S10 1533 B. S10 6141 C. S10 3069 D. S10 120 15 81x 81 x Câu 28. Cho 9x 9 x 3. Giá trị của biểu thức T bằng bao nhiêu? 3 3x 3 x A. T 2 B. T 3 C. T 4 D. T 1 Câu 29. Cho hàm số y x3 bx2 cx d (c 0) có đồ thị (T) là một trong bốn hình dưới đây Hỏi đồ thị (T) là hình nào? A. Hình 1B. Hình 2C. Hình 3D. Hình 4 Câu 30. Có bao nhiêu số có bốn chữ số có dạng abcd sao cho a b c d . A. 426B. 246C. 210D. 330 1 Câu 31. Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có bán kính R = 2, đường cong y 4 x và 4 trục hoành (miền tô đậm như hình vẽ). Tính thể tích V của khối tạo thành khi cho hình (H) quay quanh trục Ox. 77 8 A. V B. V 6 3 40 66 C. V D. V 3 7 Câu 32. Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Diện tích xung quanh Sxq của hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD là a 2 2 a 2 3 2 a 2 2 A. S B. S C. S a 2 3 D. S xq 3 xq 2 xq xq 3 Câu 33. Gọi a, b lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số nguyên m thỏa mãn phương trình 2 log0,5 (m 6x) log2 (3 2x x ) 0 có duy nhất một nghiệm. Khi đó hiệu a b bằng A. a b 22 B. a b 24 C. a b 26 D. a b 4 Trang 4
5. Câu 34. Cho số phức z thỏa mãn z.z 13. Biết M là điểm biểu diễn số phức z và M thuộc đường thẳng y 3 nằm trong góc phần tư thứ ba trên mặt phẳng Oxy. Khi đó môđun của số phức w z 3 15i bằng bao nhiêu? A. w 5 B. w 3 17 C. w 13 D. w 2 5 Câu 35. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : x y z 3 0 và mặt cầu (S) : x2 y2 z2 2x 4z 11 0 . Biết mặt cầu (S) cắt mặt phẳng ( ) theo giao tuyến là đường tròn (T). Tính chu vi đường tròn (T). A. 2πB. 4πC. 6πD. π Câu 36. Gọi a là hệ số không chứa x trong khai triển nhị thức Niu tơn n n 1 n 2 2 0 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 2 n 2 * x Cn x Cn x Cn x Cn n ¥ x x x x Biết rằng trong khai triển trên tổng hệ số của ba số hạng đầu bằng 161. Tìm a. A. a 11520 B. a 11250 C. a 12150 D. a 10125 Câu 37. Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có BB a , góc giữa đường thẳng BB và mặt phẳng (ABC) bằng 60 , tam giác ABC vuông tại C và B· AC 60 . Hình chiếu vuông góc của điểm B lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Thể tích của khối tứ diện A .ABC tính theo a bằng 9a3 13a3 A. B. 416 108 9a3 13a3 C. D. 208 416 x 1 khi x 0 2 Câu 38. Cho hàm số f (x) . Tích phân I f (x)dx có giá trị bằng bao nhiêu? 2x e khi x 0 1 7e2 1 11e2 11 3e2 1 9e2 1 A. I B. I C. I D. I 2e2 2e2 e2 2e2 Câu 39. Cho hàm số y f (x) xác định trên ℝ. Đồ thị hàm số y f (x) cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ a, b, c (a b c) như hình bên. Biết f (b) 0 , hỏi phương trình f (x) 0 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm? A. 1B. 2 C. 3D. 4 Trang 5
6. Câu 40. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F lần lượt là các điểm đối xứng của B qua C, D và M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi (T) là thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MEF). Tính diện tích S của thiết diện (T). a 2 a 2 3 a 2 3 a 2 A. S B. S C. S D. S 2 6 9 6 Câu 41. Số nghiệm của phương trình cos x .sin x 1 sin x với x 0;3  là 2 2 A. 2B. 3C. 4D. 5 Câu 42. Cho mặt phẳng (P) : x y z 1 0 và hai điểm A( 5;1;2), B(1; 2;2) . Trong tất cả các điểm M   thuộc mặt phẳng (P), điểm để MA 2MB đạt giá trị nhỏ nhất có tung độ yM là A. yM 1 B. yM 2 C. yM 0 D. yM 1 Câu 43. Cho hàm số y f (x) liên tục trên ℝ có đồ thị như hình vẽ x 3 bên. Xét hàm số g(x) f 2m . Tìm m để giá trị lớn nhất của x 1 g(x) trên đoạn  1;0 bằng 1. A. m 1 B. m 2 1 C. m D. m 1 2 m. x 1 9 Câu 44. Cho hàm số y . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên x 1 m khoảng (2;17) ? A. 2B. 3C. 4D. 5 Câu 45. Cho số phức z thỏa mãn z 1 3i 2 z 4 i 5 . Khi đó số phức w z 1 11i có môđun bằng bao nhiêu? A. 12B. 3 2 C. 2 3 D. 13 Câu 46. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  100;100 để phương trình 2m 1 log3 x (m 3)(x 1) có hai nghiệm thực dương phân biệt? A. 196B. 198C. 200D. 199 Câu 47. Cho hàm số y f (x) liên tục và có đạo hàm trên ℝ, có đồ thị như hình vẽ bên. Với m là tham số thực bất kì thuộc đoạn 1;2, phương trình f (x3 3x2 ) m3 3m2 5 có bao nhiêu nghiệm thực? A. 3B. 7 C. 5D. 9 Trang 6
7. Câu 48. Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, CD và P là điểm trên cạnh BB sao cho BP 3PB . Mặt phẳng (MNP) chia khối lập phương thành hai khối lần lượt có thể tích V1, V2 . Biết khối có thể tích V1 chứa V điểm A. Tính tỉ số 1 . V2 V 1 V 25 V 1 V 25 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 V2 4 V2 71 V2 8 V2 96 Câu 49. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 1; 1), B( 1; 3;1) . Giả sử C, D là hai điểm di động thuộc mặt phẳng (P) : 2x y 2z 1 0 sao cho CD = 4 và A, C, D thẳng hàng. Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác BCD. Khi đó tổng S1 S2 có giá trị bằng bao nhiêu? 34 17 11 37 A. B. C. D. 3 3 3 3 Câu 50. Trên cánh đồng cỏ, có 2 con bò được cột vào hai cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa hai cọc là 5m, còn hai sợi dây buộc hai con bò lần lượt có chiều dài là 4m và 3m (không tính phần chiều dài dây buộc bò). Tính diện tích mặt cỏ lớn nhất mà 2 con bò có thể ăn chung (làm tròn đến hàng phần nghìn). A. 6,642m2 B. 6,246m2 C. 4,624m2 D. 4,262m2 Trang 7
8. Đáp án 1-C 2-C 3-B 4-D 5-C 6-B 7-C 8-D 9-B 10-D 11-D 12-D 13-C 14-A 15-C 16-A 17-D 18-B 19-C 20-B 21-A 22-B 23-B 24-C 25-A 26-D 27-C 28-A 29-A 30-C 31-C 32-D 33-A 34-C 35-B 36-A 37-C 38-D 39-D 40-D 41-D 42-B 43-A 44-C 45-D 46-B 47-B 48-B 49-A 50-A LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án C a 2 3 a3 3 Ta có: V h.S a. . day 4 4 Câu 2: Đáp án C Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số có hai điểm cực trị x 1 và x 1. Câu 3: Đáp án B Hình chiếu vuông góc của A( 1;2;4) trên mặt phẳng (Oyz) là điểm N(0;2;4) . Chú ý: Điểm A(x0 ; y0 ;z0 ) có hình chiếu vuông góc lên:  Mặt phẳng:  (Oxy) là điểm A1(x0 ; y0 ;0) .  (Oyz) là điểm A2 (0; y0 ;z0 ) .  (Oxz) là điểm A3 (x0 ;0;z0 ) .  Trục:  Ox là điểm A4 (x0 ;0;0) .  Oy là điểm A5 (0; y0 ;0) .  Oz là điểm A6 (0;0;z0 ) . Câu 4: Đáp án D Ta có: eu u eu e2x 2e2x , suy ra D sai. Câu 5: Đáp án C Ta có: z 2 3i z 2 3i có phần ảo là 3. Câu 6: Đáp án B Dựa vào đồ thị suy ra hàm số nghịch biến trong khoảng ( 1;0) và (1; ) . Câu 7: Đáp án C cos(ax b) cos 2x Ta có: sin(ax b)dx C sin 2xdx C . a 2 Câu 8: Đáp án D Trang 8
9. xC 3xG xA xB 3 Ta có: yC 3yG yA yB 7 C(3; 7;1) . zC 3zG zA zB 1 Câu 9: Đáp án B Đồ thị (C) có tiệm cận đứng x 3 và tiệm cận ngang y 2 I(3;2) thuộc đường thẳng x y 1 0 . Câu 10: Đáp án D 1 Nếu không phải số nguyên thì a có nghĩa khi a 0 nên 5 3 không có nghĩa. Câu 11: Đáp án D 3 1 3 3 3 1 f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx 4 3 1. 0 0 1 1 0 0 Câu 12: Đáp án D Bước 1: Chọn bạn nam có 17 cách Bước 2: Chọn bạn nữ có 11 cách. Theo quy tắc nhân ta có 17.11 = 187 cách. Câu 13: Đáp án C 2 2 2 2 Ta có: Sxq Rl R. R h .4. 4 3 20 . Câu 14: Đáp án A +) Đồ thị có 2 điểm cực trị nên loại C (hàm trùng phương chỉ có 1 hoặc 3 điểm cực trị). +) Đồ thị có “điểm cuối” đang có hướng đi lên nên a 0 , suy ra loại B. 2 x 0 +) Xét hàm ở phương án A có y 3x 6x 0 thỏa mãn. x 2 (trong khi nếu kiểm tra hàm ở phương án D cho ta 2 điểm cực trị x 0;x 2 (loại)). Câu 15: Đáp án C Điểm thuộc đường thẳng là điểm khi thay đổi tọa độ x, y, z vào phương trình đường thẳng ta được một chuỗi đẳng thức đúng, còn không điểm đó sẽ không thuộc. 2 1 2 1 2 Nhận thấy: , suy ra P( 2;2;1) d . 3 2 1 Câu 16: Đáp án A 1 5 1 1 2 3 1 log2 a b log2 2 2 log2 2 log2 b 5 3 5 log8 a log4 b 5 3 2 a b 2 2 1 1 log a log b 7 1 2 1 4 8 3 7 3 7 log2 a log2 b 7 log ab log 2 ab 2 2 3 2 2 3 3 12 12 9 9 4 4 Suy ra ab 2 ab 2 2 log2 (ab) log2 2 9 . Câu 17: Đáp án D Cách 1: Do z i là nghiệm phức của phương trình z2 az b 0 nên suy ra: Trang 9
10. 2 b 1 0 a 0 i ai b 0 b 1 ai 0 a b 1. a 0 b 1 Cách 2: Sử dụng tính chất “Nếu phương trình az2 bz c 0 với a,b,c ¡ có hai nghiệm phức trong đó có một nghiệm phức z1 thì sẽ có một nghiệm phức z2 z1 ”. z1 z2 0 a a 0 Do phương trình có nghiệm z1 i z2 i a b 1. z1.z2 1 b b 1 Câu 18: Đáp án B 0 2 2 Do (S) không cắt (P) d O;(P) R R R . 22 ( 1)2 22 3 Câu 19: Đáp án C lim y x ( 1) Từ bảng biến thiên: lim y x 1;x 2 là các tiệm cận đứng và y 2 là tiệm cận ngang. x 2 lim y 2 x Suy ra đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. Câu 20: Đáp án B loga (bc) loga b loga c Vì bc 0 , nên b, c có thể cùng âm do đó I, IV sai. 4 loga b 4loga b 1 Còn loga (bc) chỉ đúng khi 0 a 1 và 0 bc 1, song bài toán không có điều kiện bc 1. logbc a Do đó, II sai. Vậy chỉ có III đúng. Câu 21: Đáp án A (SAC)  (ABC)  Do (SAB)  (ABC)  SA  (ABC) SC,(ABC) S· CA 60 (SAC)  (SAB) SA SA AC tanS· CA a 3 . Gọi I, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BC, SI, khi đó: d A,(SBC) AH a 3 Tam giác ABC đều cạnh a nên AI 2 1 1 1 1 4 5 Khi đó xét tam giác SAI: AH2 SA2 AI2 3a 2 3a 2 3a 2 a 15 AH . 5 Trang 10
11. a 15 Vậy h d A,(SBC) . 5 Câu 22: Đáp án B   dx 1 ax b Áp dụng công thức giải nhanh: I ln . (ax b)(cx d) ad bc cx d 4 4 dx 1 x 1 1 5 1 1 Ta có: ln ln (ln 5 3ln 2) ln 2 ln 5 a ln 2 bln 5 c . 3 (x 1)(x 2) 3 x 2 3 3 8 3 3 1 Suy ra a 1;b ;c 0 a 3b c 1 1 2 . 3   dx 1 ax b Chú ý: Ta có công thức giải nhanh: I ln (ax b)(cx d) ad bc cx d Câu 23: Đáp án B Gọi số tiền ban đầu là T. Sau n năm, số tiền thu được là: n n Tn T(1 0,084) T.(1,084) . n n Khi đó, Tn 2T T.(1,084) 2T (1,084) 2 n log1,084 2 8,59 . Vì n ¥ nên suy ra nmin 9 . Câu 24: Đáp án C Trong 5 cạnh còn lại (không kể cạnh AB) chỉ có 3 cạnh AD, DB, AC khi quay quanh trục AB tạo ra các hình nón. Do đó có 3 hình nón được tạo thành (như hình bên). Chú ý: Do CB  (ADB) CB  AB, do đó CB quay quanh AB chỉ tạo ra hình tròn mà không phải là hình nón. Câu 25: Đáp án A  1  Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của AB. Ta có AB (2;8; 4) 2(1;4; 2) n(P) AB (1;4; 2) . 2 Trung điểm của AB là I(2;1;0) . Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của AB là a 4 (P) : x 4y 2z 6 0 b 2 a b c 4 . c 6 Câu 26: Đáp án D Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z x yi ( x, y ¡ ) Khi đó: (1 z)2 (1 x yi)2 (1 x)2 y2 2(1 x)yi là số thực x 1 2(1 x)y 0 . y 0 Trang 11
12. Suy ra tập hợp biểu diễn số phức z là hai đường thẳng x 1 và y 0 . Câu 27: Đáp án C 10 10 3 3 u4 24 1 q 1 2 Ta có: u4 u1.q q 8 q 2 S10 u1. 3. 3069 . u1 3 1 q 1 2 Câu 28: Đáp án A x x 81x 81 x 2 9 81 81 7 Ta có: 9x 9 x 3 x x 2 x x (3 3 ) 2 3 3 3 1 15 (81x 81 x ) 15 7 Khi đó: T 2. 3 3x 3 x 3 1 Câu 29: Đáp án A Do hàm bậc ba có số cực trị hoặc là 0 hoặc là 2 nên loại B (B là hàm trùng phương). 2 2 Ta xét b 3ac b 3c 0,c 0 , suy ra hàm số có 3 điểm cực trị → loại D. Gọi x1, x2 là hai điểm cực trị của hàm số nên x1x2 cùng dấu với ac 0 , suy ra x1x2 0 . Suy ra A đúng. Câu 30: Đáp án C Cách 1: Trường hợp 1: a b c d . Khi đó, ta cần chọn 4 chữ số a, b, c, d phân biệt từ 9 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ứng với bộ 4 số (a, b, 4 c, d) ta chỉ có thể tạo ra được 1 số abcd thỏa mãn a b c d . Do đó số cách chọn là: C9 126. Trường hợp 2: a b c d . Khi đó, ta cần chọn 3 chữ số a, b, c phân biệt từ 9 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ứng với bộ 3 số (a, b, c) 3 ta chỉ có thể tạo ra được 1 số abcd thỏa mãn a b c d . Do đó số cách chọn là: C9 84 Vậy có 126 84 210 số thỏa mãn điều kiện bài toán. Cách 2: Ta có: 1 a b c d 9 1 a b c d 1 10 (*). Ứng với bộ 4 số (a, b, c, d) được lấy từ 10 chữ số (từ 1 tới 10) thỏa mãn (*), ta được 1 số duy nhất thỏa mãn bài toán. Do đó số các số thỏa 4 mãn bài toán là: C10 210. Câu 31: Đáp án C 1 Phương trình cung tròn có bán kính R = 2 (như 4 2 2 x y 4 2 hình vẽ) là y 4 x . y 0; x  2;0 Khi đó hình phẳng (H) được tách thành 2 hình phẳng. Trang 12
13. y 4 x2 y 4 x y 0 y 0 (H1) : và (H2 ) : . x 2 x 0 x 0 x 4 0 4 40 Nên ta có: V V V (4 x2 )dx (4 x)dx Casio . 1 2 2 0 3 1 1 Chú ý: Ở bài toán này V là phần thể tích của khối cầu (sau khi quay đường tròn bán kính R = 2 1 2 4 1 4 16 quanh trục Ox) nên ta có thể tính V bằng công thức thể tích khối cầu như sau: V . .23 . 1 1 2 3 3 Câu 32: Đáp án D a 3 Do BCD là tam giác đều cạnh a R OB . 3 2 2 2 2 a 3 a 6 Ta có: h OA AB OB a . 3 3 a 3 a 6 2 a 2 2 Suy ra: S 2 Rh 2 . . . xq 3 3 3 Câu 33: Đáp án A Phương trình tương đương: 3 2x x2 0 3 x 1 log (3 2x x2 ) log (m 6x) . 2 2 2 2 m 6x 3 2x x m x 8x 3 f (x) Ta đi giải bài toán sau: “Tìm m để đồ thị hàm số f (x) x2 8x 3 (với x ( 3;1) ) cắt đường thẳng y m tại một điểm duy nhất”. Ta có: f (x) 2x 8 0,x ( 3;1) . Suy ra hàm số nghịch biến trên ( 3;1) . m mmax 17 a Dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện: 6 m 18 ¢ a b 22 . mmin 5 b Câu 34: Đáp án C Gọi z x yi (x, y ¡ ) được biểu diễn bởi điểm M(x; y) . Khi đó ta có: x2 y2 13 x 2 z 2 3i w 5 12i w 13 . y 3;x 0 y 3 Trang 13
14. Câu 35: Đáp án B Mặt cầu (S) có tâm I(1;0; 2) và bán kính R 12 02 22 11 4 . 1 0 2 3 Khi đó h d I;( ) 2 3 . 3 Mặt cầu (S) cắt mặt phẳng ( ) theo giao tuyến là đường tròn (T) có bán kính: 2 r R 2 h2 42 2 3 2 . Suy ra chu vi đường tròn (T) là: 2 r 4 . Câu 36: Đáp án A k 1 k 1 Ta có hệ số của số hạng thứ k trong khai triển là: Cn .( 2) . 0 1 2 2 Suy ra hệ số của 3 số hạng đầu lần lượt là: Cn ; 2Cn và ( 2) Cn . 0 1 2 2 Do tổng hệ số ba số hạng đầu bằng 161 nên ta có: Cn 2Cn ( 2) Cn 161 n(n 1) 1 2n 4 161 n2 2n 80 0 n 10 hoặc n 8 (loại). 2 Với n 10 , ta có: n 10 10 k 10 40 5k 10 k 2 2 2 2 k 2 2 k k 2 x x C10 x C10 ( 2) x . x x k 0 x k 0 40 5k Khi đó hệ số không chứa x trong khai triển thỏa mãn: 0 k 8 . 2 8 8 Vậy hệ số không chứa x trong khai triển là: a C10 ( 2) 11520 . Câu 37: Đáp án C 1 Ta có: V V B G.S (*). A .ABC B .ABC 3 ABC a 3 B G BB sin 60 (1) 2 Ta có: . a 3 3a BG BB cos60 BM BG 2 2 4 x x Đặt BC x AC BC.cot 60 MC . 3 2 3 9a 2 x2 3a 39 Ta có: BM2 BC2 MC2 x2 x . 16 12 26 3a 39 3a 13 1 1 3a 39 3a 13 9a 2 3 Hay BC ;AC S AC.BC . . (2). 26 26 ABC 2 2 26 26 104 1 a 3 9a 2 3 9a3 Thay (1), (2) vào (*) ta được: V . . . A .ABC 3 2 104 208 Câu 38: Đáp án D Trang 14
15. 2 2 0 2 0 2 1 0 (x 1)2 9e2 1 I f (x)dx f (x)dx f (x)dx e2xdx (x 1)dx e2x . 2 1 1 0 1 0 2 1 2 0 2e Câu 39: Đáp án D Từ đồ thị hàm số y f (x) ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị y f (x) cắt trục hoành (y = 0) nhiều nhất tại 4 điểm phân biệt. Vậy phương trình f (x) 0 có nhiều nhất 4 nghiệm. Câu 40: Đáp án D Ta có thiết diện (T) là tam giác MHK như hình vẽ. Dễ thấy H, K lần lượt là trọng tâm tam giác ABE, ABF (đều là giao 2 đường trung tuyến). AH AK 2 2 2a Khi đó: HK // CD HK= CD . AC AD 3 3 3 Ta có: MH2 AM2 AH2 2AM.AH.cos60 2 2 a 2a a 2a 1 13a 2 2. . . . 2 3 2 3 2 36 a 13 Suy ra MK MH . 6 Xét tam giác cân MHK như hình vẽ. 2 2 2 2 13a a a Ta có: MI MH IH 36 3 2 1 1 a 2a a 2 S MI.HK . . . MHK 2 2 2 3 6 Câu 41: Đáp án D Phương trình tương đương: sin2 x 1 cos 1 cos2 x 1 cos x cos x.(cos x 1) 0 cos x 0 x k x 0;3  3 5  2  x ; ; ;0;2  : có 5 nghiệm. cos x 1 2 2 2  x k2 Câu 42: Đáp án B Trang 15
16. x 2x x A B 1 I 1 2   yA 2yB Xét điểm IA 2IB 0 (*) yI 1 I( 1; 1;2) . 1 2 zA 2zB zI 2 1 2       (*)  Khi đó MA 2MB MI IA 2 MI IB 3MI 3MI .   Suy ra: MA 2MB 3MImin M là hình chiếu vuông góc của I trên (P). min x 1 t Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (P) có phương trình: y 1 t (2*) z 2 t Thay (2*) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được: 1 t ( 1 t) (2 t) 1 0 t 1 M(0; 2;1) yM 2 . Chú ý: Công thức xác định nhanh tọa độ điểm I: 1 xI . ki xi  ki   1  1  ki IAi 0 OI . ki .OAi yI . ki yi .  ki  ki 1 zI . kizi  ki Câu 43: Đáp án A x 3 4 Đặt t t 0,x  1;0 t(0) t t( 1) t  3; 1. x 1 (x 1)2 Khi đó, giá trị lớn nhất của g(x) trên đoạn  1;0 là giá trị lớn nhất của hàm f (t) 2m trên đoạn  3; 1 . Dựa vào đồ thị hàm số y f (x) hay y f (t) max f (t) 3  3; 1 max g(x) 3 2m 1 3 2m m 1.  1;0 Câu 44: Đáp án C 1 Đặt t x 1 t 0,x (2;17) t là hàm đồng biến và t (1;4) . 2 x 1 mt 9 Khi đó bài toán có thể phát biểu lại là: “Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y đồng t m biến trên khoảng (1;4) ”. Yêu cầu bài toán tương đương: Trang 16
17. m 1 m2 9 m (1;4) y 0, t (1;4) 2  2 m 4 (t m) m 9 0 3 m 3 3 m 1m ¢ m 2; 1;0;1: có 4 giá trị m thỏa mãn. Câu 45: Đáp án D Gọi M(x; y) biểu diễn số phức z x yi ( x, y ¡ ) A(1;3) Khi đó: z 1 3i 2 z 4 i 5 MA 2MB 5 (*) trong đó . B(4; 1) Do AB 5 nên (*) MA 2MB AB (1). Mặt khác, ta có: MA 2MB MA MB MB AB MB AB (2). Từ (1) và (2), suy ra: MB 0 M  B(4; 1) z 4 i w 5 12i w 13 . Câu 46: Đáp án B Điều kiện xác định x 0 1 Với m , phương trình không có 2 nghiệm thực dương phân biệt 2 1 m 3 m 3 Với m , ta có: log x2m 1 (m 3)(x 1) f (x) log x x 2 3 3 2m 1 2m 1 m 3 0 2m 1 Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì: (phương pháp tiếp tuyến và tương giao) m 3 f (1) 2m 1 1 m 2 1 m m  100;100 1 m 3 2  m  100; 3  ;100 . 2 m 3 1 m 3 2m 1 ln 3 Do m ¢ m 100; 99; ; 4;0;1;2;3 : có 198 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Câu 47: Đáp án B Đặt t x3 3x2 t 3x2 6x 0 x 0;2 . Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên, suy ra: +) Hàm số y x3 3x2 nghịch biến trên 1;2 t  4; 2 . Trang 17
18. Suy ra (m3 3m2 )  4; 2 khi m 1;2 (m3 3m2 5) 1;3 với m 1;2. +) Khi đó dựa vào đồ thị suy ra phương trình t t1 4 f (t) m3 3m2 5 t t ( 4;0) 2 t t3 ( 4;0) +) Bảng biến thiên của hàm số y x3 3x2 cho ta biết: 3 2 Với t t1 x 3x t1 4 : có 1 nghiệm. 3 2 Với t t2 x 3x t2 ( 4;0) : có 3 nghiệm. 3 2 Với t t3 x 3x t3 ( 4;0) : có 3 nghiệm. Vậy phương trình ban đầu có tất cả: 1 3 3 7 nghiệm. Chú ý: Ở câu hỏi này ta có thể chọn m 1 1;2 để đưa phương trình về dạng: f (x3 3x2 ) 3 (Do số nghiệm của phương trình không đổi với m 1;2 ). Câu 48: Đáp án B Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) và hình lập phương là ngũ giác MNHPK (như hình vẽ). Khi đó ta có: V1 VP.BIJ VK.AMJ VH.CIN (*). Ta có: DMN là tam giác vuông cân tại D. Suy ra: AMJ, CIN đều là tam giác vuông cân. 3a Đặt AB 2a , khi đó: AJ AM CN CI a và PB . 2 KA JA a 1 1 a KA PB . PB JB 3a 3 3 2 a Khi đó HC KA . 2 Suy ra: 1 1 a a3 V V 2V 2. .AK.AJ.AM 2. . .a.a K.AMJ H.CIN K.AMJ 6 6 2 6 2* 1 1 3a 9a3 V .BP.BI.BJ . .3a.3a P.BIJ 6 6 2 4 9a3 a3 25a3 Thay (2*) vào (*) ta được: V 1 4 6 12 3 3 3 25a 71a V1 25 V2 VABCD.A B C D V1 8a . 12 12 V2 71 Trang 18
19. Câu 49: Đáp án A Gọi K và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng (P) và đường thẳng CD. Khi đó: BK BH AB (*) BH.CD Ta có: S 2BH (*) 2BK S 2AB BCD 2 BCD (1). 2 3 2 1 8 Ta có BK d B,(P) và AB 3 (2). 22 12 22 3 16 34 Từ (1) và (2), suy ra: S S 6 S S S . 2 3 BCD 1 1 2 3 Câu 50: Đáp án A Miền hình phẳng mà hai con bò ăn lần lượt là hai hình tròn có bán kính là 4m và 3m (hình vẽ). Đoạn nối tâm AB 5m của hai hình tròn bằng 5m. Diện tích mặt cỏ lớn nhất mà 2 con bò có thể ăn chung là phần diện tích khi dây buộc hai con bò căng tối đa thuộc phần chung của hai hình tròn (phần tô đậm), nên ta gắn hệ trục tọa độ Oxy (như hình vẽ bên). Đường tròn tâm A  O(0;0) có bán kính R1 4 có 2 2 2 2 phương trình: x y 16 y 16 x (C1) . 2 2 Đường tròn tâm B(5;0) có bán kính R 2 3 có phương trình: (x 5) y 9 (C2 ) . 16 Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và (C ) là: (x 5)2 16 x2 9 x . 1 2 5 Do tính đối xứng nên ta chỉ xét phần hình phẳng (H) nằm phía trên trục Ox được giới hạn bởi các dường y 16 x2 y 9 (x 5)2 có diện tích S1 . y 0 x 2;x 4 Dựa vào hình vẽ, khi đó diện tích mặt cỏ cần tính là: 16 5 4 Casio S 2S 2 9 (x 5)2 dx 16 x2 dx 6,642m2 . 1 2 16 5 Trang 19