Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Năm học 2021 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Năm học 2021 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội

1. ĐỀ THI THỬ SỞ GD – ĐT KÌ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2021 HÀ NỘI Bài thi: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1: Cho số phức 4 6i. Phần ảo của số phức z là: A. 6i B. 4 C. 6 D. 4 2x 1 Câu 2: Cho hàm số y . Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình: x 1 A. x 2 B. y 1 C. y 2 D. x 1 Câu 3: Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng Oyz là: A. y 0 B. y z 0 C. z 0 D. x 0 Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho vectơ u 3; 1;2 . Vectơ nào sau đây không cùng phương với u ?  A. d 9;3; 6 B. a 3;1; 2 C. c 6; 2;4 D. b 3;1;2 . Câu 5: Hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây? A. y x4 x2 1 B. y x3 3x 1 C. y x3 3x 1 D. y x3 x 1 1 1 Câu 6: Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h bằng:A. Bh B. Bh C. Bh D. Bh 3 3 3 5 5 Câu 7: Nếu f x dx 5 và f x dx 2 thì f x dx bằng:A. 3B. 3 C. 1 D. 1 1 3 1 Câu 8: Với a,b là các số thực dương tùy ý và a 1,log b bằng a3 1 1 A. 3log b B. log b C. 3 log b D. log b a 3 a a 3 a Câu 9: Cho dãy số un có số hạng tổng quát là un 2n 3 với n ¥ *. Số hạng u5 bằng: A. 13 B. 7 C. 5 D. 10 Câu 10: Với x là số thực bất kì, mệnh đề nào sau đây sai? x x 2 x2 2 2x A. 2021x 2021 B. 2021x 2021 C. 2021x 2021 D. 2021x 20212 Câu 11: Số điểm cực trị của hàm số y x3 3x2 1 là: A. 0.B. 3C. 2D. 1 Câu 12: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau: 1
2. 1 1 Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0;1 B. ; C. ;0 D. 1; 2 2 Câu 13: Cho tập X có 2021 phần tử phân biệt, số các hoán vị của tập X là: A. 20212 B. 22021 C. 2021! D. 4042 Câu 14: Cho hàm số y f x liên tục trên a;b . Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục Ox và các đường thẳng x a, x b a b có diện tích là: b b b b A. f x dx B. f x dx C. f 2 x dx D. f x dx a a a a 2 Câu 15: Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2z 2 0. Khi đó z1 z2 bằng: A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 Câu 16: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f x m 0 có 3 nghiệm phân biệt là: A. ; B.  5;1 C. 5;1 D.  5; 1 Câu 17: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu tâm I 1;2;3 và bán kính R 4 là: A. x 1 2 y 2 2 z 3 2 16 B. x 1 2 y 2 2 z 3 2 16 C. x 1 2 y 2 2 z 3 2 4 D. x 1 2 y 2 2 z 3 2 4 Câu 18: Cho tam giác đều SAB có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AB. Chiều cao h của khối nón tạo thành khi tam giác SAB quay quanh cạnh SM bằng: a 3 a a 3 a A. B. C. D. 3 3 2 2 1 1 Câu 19: Biết f x 2x dx 2021. Khi đó f x dx bằngA. 2019B. 2022 C. 2020 D. 2021 0 0 Câu 20: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD,O là tâm của đáy (tham khảo hình vẽ). Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA lên mặt phẳng ABCD là đường thẳng A. AB B. AO C. AD D. SO 2
3. Câu 21: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : x y z 5 0 và điểm M 1;1;2 . Phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với P là: x 1 y 1 z 2 x 1 y 1 z 2 x 1 y 1 z 2 x 1 y 1 z 2 A. . B. C. D. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 Câu 22: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y e3x , y 0, x 0 và x 1. Thể tích khối tròn xoay tạo 1 1 1 1 thành khi qua D quanh trục Ox bằng: A. e3xdx B. e3xdx C. e6xdx D. e6xdx 0 0 0 0 Câu 23: Cho hàm số y f x liên tục trên  3;2 và có bảng biến thiên như sau: Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên đoạn  3;2. Giá trị M m bằng: A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 1 1 Câu 24: Cho hàm số F x có đạo hàm F ' x với mọi x và F 1 3 thì giá trị của F 5 bằng: 2x 1 2 A. 3 ln 3 B. 3 ln 3 C. 3ln 3 D. 3 ln 9 Câu 25: Đạo hàm của hàm số y 56x 7 là:A. 56x 7 ln 30 B. 56x 76ln 5 C. 56x 7 ln 5 D. 6.56x 7 Câu 26: Cho số phức z 1 3i. Khi đó z bằng: A. 10 B. 2C. 2 2 D. 4 Câu 27: Cho hình bát diện đều cạnh bằng 1. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó. Khi đó, S bằng:A. 4 3 B. 2 3 C. 3 D. 8 3 3 4 Câu 28: Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 3log2 a 4log2 b 3. Giá trị của P a b bằng: A. 2 B. 16 C. 8 D. 4 Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn 1 i z 2 3i. Điểm biểu diễn cho số phức w 1 2z có tọa độ là: A. 6;1 B. 6; 1 C. 6;1 D. 6; 1 Câu 30: Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD có A 2;0; 1 , B 1;3;4 và D 5;1;0 . Tọa độ trung điểm của AC là: A. 3; 1; 2 B. 2;2;2 C. 1;1;1 D. 6;4;5 Câu 31: Từ một tâm tôn có hình dạng là một Elip với độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục bé bằng 4, ta cắt lấy tấm tôn có dạng hình chữ nhật nội tiếp Elip (tham khảo hình vẽ sau). Gõ tấm tôn hình chữ nhật thu được thành một hình trụ không có đáy. 128 64 3 64 128 3 Thể tích lớn nhất của khối trụ giới hạn bởi hình trụ trên bằng:A. B. C. D. 3 2 9 3 2 9 3
4. 1 Câu 32: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y x3 mx2 m2 1 x có 3 hai điểm cực trị A, B sao cho A, B nằm khác phía và cách đều đường thẳng d : y 5x 9. Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 6 B. 6 C. 0 D. 2 Câu 33: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : x 2y 2z 3 0. Gọi d là đường thẳng đi qua M 1;1; 2 , cắt trục Ox và song song với P . Phương trình của đường thẳng d là: x 1 t x 1 2t x 1 t x 1 2t A. y 1 2t B. y 1 t C. y 1 t D. y 1 z 2 2t z 2 2t z 2 2t z 2 t Câu 34: Cho đồ thị biểu diễn vận tốc của một chất điểm theo thời gian (tính bằng giây). Biết đồ thị biểu diễn vận tốc theo hướng từ O đến A là một đường thẳng, từ A đến D là một phần của parabol có đỉnh là B (tham khảo hình vẽ). Quãng đường (tính bằng mét) chất điểm đi được trong 3 giây đầu tiên gần nhất với kết quả nào sau đây? A. 2m B. 3,7m C. 1,7m D. 2,7m Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 5. Gọi M là trung điểm của SA và CD (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SC bằng: 2a 5 a 5 a 5 a A. B. C. D. 3 3 6 3 Câu 36: Cho hàm số y f x là một hàm đa thức có bảng xét dấu f ' x như sau: Hàm số g x f x2 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 1 1 A. 0; B. 1; C. ;1 D. ;0 2 2 4
5. Câu 37: Cho A 0;1;2;3;4;5, gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số đó thuộc A. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S. Xác suất để số được chọn có dạng abc với a b c là: 1 1 2 3 A. B. C. D. 5 10 5 10 Câu 38: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 2y 7 0 và điểm M 2;0;1 . Mặt phẳng P thay đổi đi qua M và cắt mặt cầu S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Khi r đạt giá trị nhỏ nhất, khoảng cách từ O đến mặt phẳng P bằng: 3 A. B. 2 C. 3 D. 6 3 Câu 39: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 6x 3 m 2x m 0 có nghiệm thuộc khoảng 0;1 là: A. 2;4 B. 3;4 C. 3;4 D. 2;4 Câu 40: Cho log2 log 1 log2 x log3 log1 log3 y log5 log 1 log5 z 0. Khẳng định nào sau đây đúng? 2 3 5 A. y z x B. x y z C. z x y D. z y x Câu 41: Cho khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' có thể tích bằng 3. Gọi M là trung điểm cạnh AA', N là điểm thuộc BB '  2  sao cho BN BB '. Đường thẳng CM cắt đường thẳng C ' A' tại P và cắt đường thẳng C ' B ' tại Q. Thể tích 3 khối đa diện lồi A'MPB ' NQ bằng: 7 7 7 7 A. B. C. D. 2 6 9 3 Câu 42: Biết nghiệm lớn nhất của phương trình log x log 2x 1 2 có dạng x a b 3 ( a,b là hai số 2 1 2 nguyên). Giá trị của a b bằng: A. 6 B. 4 C. 10D. 2 Câu 43: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z2 là số thuần ảo và z 2 2? A. 2 B. 0 C. 1 D. 3 Câu 44: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 3;1;0 , B 0;2;0 .M là điểm di động trên Oz. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên MB và OB. Đường thẳng HK cắt trục Oz tại N. Khi đó thể tích của tứ diện MNAB nhỏ nhất thì phương trình mặt phẳng AHN có dạng ax by 2z c 0. Giá trị biểu thức a b c bằng: A. 1 B. 5 C. 2 2 D. 0 3 3 Câu 45: Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 z1 z2 3 và z1 z2 3 3. Giá trị của biểu thức z1 z2 z1z2 bằng: A. 1458 B. 324 C. 729 D. 2196 Câu 46: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn 1;4, f 1 1, f 4 8 và 4 3 2 x 2x. f x . f ' x x 2 f x x 1;4. Tích phân dx bằng: 1 f x A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 Câu 47: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ bên: 5
6. x 1 2 Để giá trị nhỏ nhất của hàm số h x f x m trên đoạn  3;3 không vượt quá 2021 thì tập giá trị của 2 m là: A. ; f 3 2023 B. ; f 1 2023 C. ; f 3 2029 D. 0; f 3 2023 Câu 48: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 5;15 để phương trình x2 1 ln x2 mx m2 1 x2 mx m2 ln 2x2 3 0 có nghiệm? A. 20 B. 19 C. 18D. 17 Câu 49: Cho tứ diện ABCD có AB BD AD 2a, AC a 7, BC a 5. Biết khoảng cách giữa hai đường a thẳng AB,CD bằng . Thể tích của khối tứ diện ABCD bằng: 2 2a3 2 a3 11 a3 11 2a3 6 A. B. C. D. 3 12 6 3 Câu 50: Cho hàm số g x x3 6x2 11x 6 và f x là hàm đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình g f x 0 có số nghiệm thực là: A. 10 B. 6 C. 12 D. 8 HẾT 1-C 2-D 3-D 4-D 5-B 6-B 7-B 8-B 9-B 10-B 11-C 12-D 13-C 14-A 15-B 16-C 17-B 18-C 19-C 20-B 21-B 22-D 23-C 24-B 25-B 26-A 27-B 28-C 29-C 30-B 31-D 32-C 33-B 34-D 35-B 36-C 37-A 38-C 39-A 40-C 41-B 42-A 43-D 44-D 45-A 46-A 47-A 48-D 49-C 50-C 6
7. ĐÁP ÁN 1-C 2-D 3-D 4-D 5-B 6-B 7-B 8-B 9-B 10-B 11-C 12-D 13-C 14-A 15-B 16-C 17-B 18-C 19-C 20-B 21-B 22-D 23-C 24-B 25-B 26-A 27-B 28-C 29-C 30-B 31-D 32-C 33-B 34-D 35-B 36-C 37-A 38-C 39-A 40-C 41-B 42-A 43-D 44-D 45-A 46-A 47-A 48-D 49-C 50-C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1 (NB) Phương pháp: Phần ảo của số phức z a bi là b. Cách giải: Phần ảo của số phức 4 6i là 6. Chọn C. Câu 2 (NB) Phương pháp: ax b d Đồ thị hàm số y có TCĐ x . cx d c Cách giải: 2x 1 Đồ thị hàm số y có TCĐ x 1. x 1 Chọn D. Câu 3 (NB) Phương pháp: Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng Oyz là x 0. Cách giải: Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng Oyz là x 0. Chọn D. Câu 4 (NB) Phương pháp: Hai vectơ a,b cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k ¡ k 0 sao cho a kb. Cách giải: Ta có: 7
8.   d 3u,a u,c 2u nên d,a,c cùng phương với u. Chọn D. Câu 5 (NB) Phương pháp: Dựa vào hình dáng đồ thị và chiều của nhánh cuối. Cách giải: Đồ thị đã cho là đồ thị hàm đa thức bậc ba nên loại đáp án A và D. Đồ thị có nhánh cuối hướng lên nên loại đáp án C. Chọn B. Câu 6 (NB) Phương pháp: 1 Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h bằng Bh. 3 Cách giải: 1 Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h bằng Bh. 3 Chọn B. Câu 7 (NB) Phương pháp: b c b Sử dụng tính chất tích phân: f x dx f x dx f x dx. a a c Cách giải: 5 3 5 Ta có: f x dx f x dx f x dx 5 2 3. 1 1 3 Chọn B. Câu 8 (NB) Phương pháp: m Sử dụng công thức loga x mloga x 0 a 1, x 0 . Cách giải: 1 Với a,b 0,a 1 ta có log b log b. a3 3 a Chọn B. Câu 9 (NB) 8
9. Phương pháp: Thay n 5. Cách giải: Ta có u5 2.5 3 7 . Chọn B. Câu 10 (NB) Phương pháp: n Sử dụng công thức am amn . Cách giải: 2 2 2 Ta có 2021x 2021 2x nên 2021x 2021 x là mệnh đề sai. Chọn B. Câu 11 (NB) Phương pháp: Giải phương trình y ' 0 tìm số nghiệm bội lẻ. Cách giải: 3 2 2 x 0 Ta có y x 3x 1 y ' 3x 6x 0 . x 2 Vậy hàm số đã cho có 2 điểm cực trị. Chọn C. Câu 12 (NB) Phương pháp: Dựa vào BBT xác định các khoảng đồng biến là các khoảng mà hàm số liên tục và có đạo hàm dương. Cách giải: Dựa vào BBT ta thấy hàm số đồng biến trên 1;0 và 1; . Chọn D. Câu 13 (NB) Phương pháp: Sử dụng khái niệm hoán vị. Cách giải: Số các hoán vị của tập X là 2021!. Chọn C. 9
10. Câu 14 (NB) Phương pháp: Cho hàm số y f x liên tục trên a;b . Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục Ox và các b đường thẳng x a, x b a b có diện tích là f x dx. a Cách giải: Cho hàm số y f x liên tục trên a;b . Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục Ox và các b đường thẳng x a, x b a b có diện tích là f x dx. a Chọn A. Câu 15 (NB) Phương pháp: c Sử dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai az2 bz c 0 a 0 : z z . 1 2 a Cách giải: Áp dụng định lí Vi-ét ta có z1 z2 2. Chọn B. Câu 16 (NB) Phương pháp: Áp dụng định lí Vi-ét ta có f x m là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y m song song với trục hoành. Cách giải: Phương trình f x m 0 f x m có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 5 m 1. Chọn C. Câu 17 (NB) Phương pháp: Phương trình mặt cầu có tâm I a;b;c , bán kính R là: S : x a 2 y b 2 z c 2 R2. Cách giải: Phương trình mặt cầu tâm I 1;2;3 và bán kính R 4 là: x 1 2 y 2 2 z 3 2 16. Chọn B. Câu 18 (NB) Phương pháp: 10
11. Khi tam giác SAB quay quanh cạnh SM ta được hình nón có chiều cao h SM. Cách giải: a 3 Khi tam giác SAB quay quanh cạnh SM ta được hình nón có chiều cao h SM . 2 Chọn C. Câu 19 (TH) Phương pháp: Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản. Cách giải: 1 f x 2x dx 2021 0 1 1 f x dx 2xdx 2021 0 0 1 1 f x dx x2 2021 0 0 1 f x dx 1 2021 0 1 f x dx 2020 0 Chọn C. Câu 20 (NB) Phương pháp: Tìm lần lượt hình chiếu của S, A lên mặt phẳng ABCD . Cách giải: Ta có SO  ABCD O là hình chiếu vuông góc của S lên ABCD . Vì A ABCD nên A là hình chiếu vuông góc của chính nó lên ABCD . Vậy hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA lên mặt phẳng ABCD là đường thẳng OA. Chọn B. Câu 21 (TH) Phương pháp:   - Vì d  P ud nP . 11
12. - Trong không gian Oxyz, phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M x0 ; y0 ; z0 và có vectơ chỉ phương x x y y z z u a;b;c là 0 0 0 . a b c Cách giải:  Mặt phẳng P : x y z 5 0 có 1 VTPT là nP 1; 1;1 .   Vì d  P Đường thẳng d có 1 VTCP là ud nP 1; 1;1 . x 1 y 1 z 2 Vậy phương trình đường thẳng d là: . 1 1 1 Chọn B. Câu 22 (NB) Phương pháp: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quanh hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x , y g x , x a, x b b xung quanh trục Ox là: V f 2 x g 2 x dx. a Cách giải: 1 Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng e6xdx. 0 Chọn D. Câu 23 (TH) Phương pháp: Dựa vào BBT xác định M ,m và tính tổng. Cách giải: M max f x f 1 3  3;2 Dựa vào BBT ta thấy M m 3 2 1. m min f x f 3 2  3;2 Chọn C. Câu 24 (TH) Phương pháp: - Tính F x F ' x dx. - Phá giá trị tuyệt đối và sử dụng F 1 3 tìm C. - Tính F 5 . 12
13. Cách giải: 1 1 Ta có F x F ' x dx dx ln 2x 1 C. 2x 1 2 1 1 Vì x 2x 1 0 nên F x ln 2x 1 C. 2 2 1 1 Lại có F 1 3 ln1 C 3 C 3 F x ln 2x 1 3. 2 2 1 Vậy F 5 ln 9 3 ln 3 3. 2 Chọn B. Câu 25 (TH) Phương pháp: Sử dụng công thức tính đạo hàm: au u '.au ln a. Cách giải: Ta có 56x 7 ' 6.56x 7 ln 5. Chọn B. Câu 26 (NB) Phương pháp: Số phức z a bi a,b ¡ có z a2 b2 . Cách giải: z 1 3i z 12 3 2 10. Chọn A. Câu 27 (TH) Phương pháp: Bát diện đều có 8 mặt là tam giác đều. Cách giải: Bát diện đều có 8 mặt là tam giác đều. 12 3 3 Diện tích 1 mặt là S . 1 4 4 Vậy tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó là S 8S1 2 3. Chọn B. 13
14. Câu 28 (TH) Phương pháp: m Sử dụng công thức loga x mloga x 0 a 1, x 0 ,loga x loga y loga xy 0 a 1, x, y 0 . Cách giải: Ta có: 3log2 a 4log2 b 3 3 4 log2 a log2 b 3 3 4 log2 a b 3 a3b4 23 8 Vậy P 8. Chọn C. Câu 29 (TH) Phương pháp: - Thực hiện phép chia số phức tìm z và suy ra z. - Thực hiện các phép toán tìm số phức w 1 2z. - Số phức z a bi có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là M a;b . Cách giải: 2 3i 5 1 5 1 Ta có: 1 i z 2 3i z i z i. 1 i 2 2 2 2 5 1 w 1 2z 1 2 i 6 i. 2 2 Vậy điểm biểu diễn cho số phức w 1 2z có tọa độ là 6;1 . Chọn C. Câu 30 (TH) Phương pháp: Tìm tọa độ trung điểm của BD. Cách giải: Vì ABCD là hình bình hành nên nếu I là trung điểm của AC thì I cũng là trung điểm của BD. 14
15. xB xD 1 5 xI 2 2 2 yB yD 3 1 Ta có yI 2 I 2;2;2 . 2 2 zB zD 4 0 zI 2 2 2 Vậy tọa độ trung điểm của AC là 2;2;2 . Chọn B. Câu 31 (VD) Phương pháp: - Lập phương trình Elip. - Giả sử hình chữ nhật có chiều dài 2a 0 a 4 . Khi đó chu vi đáy hình trụ bằng 2a, tính bán kính đáy của hình trụ. - Tính chiều cao hình trụ. - Thể tích khối trụ có chiều cao h, bán kính đáy r là V r 2h. - Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của hàm số. Cách giải: 2a 8 a 4 x2 y2 Theo bài ra ta có Phương trình elip là: 1 E . 2b 4 b 2 16 4 Giả sử hình chữ nhật có chiều dài 2a 0 a 4 . Khi đó chu vi đáy hình trụ bằng 2a, nên bán kính đáy là 2a a R . 2 Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ a2 y2 a2 a2 a2 Thay x a ta có 1 y2 4 1 y 2 1 A a;2 1 . A 16 4 16 16 16 a2 a2 Chiều rộng của hình chữ nhật là 4 1 Chiều cao của hình trụ là h 4 1 . 16 16 15
16. a2 a2 64 a2 a2 Thể tích khối trụ: V R2h . 4 1 . 1 . 16 16 16 a2 a2 a2 Xét hàm số f a 1 , đặt t 0 t 1 f t t 1 t. 16 16 16 Ta có 1 2 3t f ' t 1 t t. 2 1 t 2 1 t 2 f ' t 0 2 3t 0 t 3 2 2 2 2 3 max f t f . 1 . 0;1 3 3 3 9 64 2 3 128 3 Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ giới hạn bởi hình trụ trên bằng . . 9 9 Chọn D. Câu 32 (VD) Phương pháp: - Tìm điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị. - Để A, B nằm khác phía và cách đều đường thẳng d : y 5x 9 thì điểm M là trung điểm của AB phải thuộc d. - Chứng minh M là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho, giải phương trình y" 0 tìm M. - Thay M vào phương trình đường thẳng d tìm m. Cách giải: 1 Ta có: y x3 mx2 m2 1 x y ' x2 2mx m2 1. 3 Để hàm số có 2 cực trị thì phương trình y ' 0 phải có 2 nghiệm phân biệt. ' m2 m2 1 0 1 0 (luôn đúng) Để A, B nằm khác phía và cách đều đường thẳng d : y 5x 9 thì điểm M là trung điểm của AB phải thuộc d. Vì hàm đa thức bậc ba nhận điểm uốn làm điểm đối xứng nên M chính là điểm uốn của hàm số ban đầu. 1 1 Ta có y" 2x 2m 0 x m y m3 m3 m2 1 m m3 m. 3 3 1 3 M m; m m . 3 1 M d m3 m 5m 9 m3 18m 27 0. 3 16
17. Vậy tổng các giá trị của m là 0 (Định lí Vi-ét cho phương trình bậc ba). Chọn C. Câu 33 (VD) Phương pháp: - Giả sử d Ox N N n;0;0 .    - Giải phương trình MN.nP 0 với nP là 1 VTPT của P để tìm n. - Viết phương trình đường thẳng d. Cách giải: Giả sử d Ox N N n;0;0 .  Ta có MN n 1; 1;2 là 1 VTCP của đường thẳng d.  Mặt phẳng P : x 2y 2z 3 0 có 1 VTPT là nP 1; 2; 2 .   Vì d / / P MN.nP 0 1 n 1 2. 1 2.2 0 n 1 2 4 0 n 3 0 n 3.  Khi đó MN 2; 1;2 . x 1 2t Vậy phương trình đường thẳng d là: y 1 t . z 2 2t Chọn B. Câu 34 (VD) Phương pháp: - Tìm hàm vận tốc trên từng giai đoạn. b - Tính quãng đường vật đi được từ t a s đến t b s là s v t dt. a Cách giải: 1 Xét 2 giây đầu tiên, ta có v t t. 1 2 2 1 Quãng đường vật đi được trong 2s đầu tiên là s tdt 1 m . 1 0 2 Trong khoảng thời gian từ giây thứ hai đến giây thứ ba, vận tốc của vật là hàm có dạng 2 v2 t at bt c P . 17
18. 4a 2b c 1 a 1 2 Ta có 2;1 ; 3;2 ; 4;1 thuộc P nên có hệ 9a 3b c 2 b 6 v2 t x 6x 7. 16a 4b c 1 c 7 3 5 Quãng đường vật đi được từ giây thứ hai đến giây thứ ba là: s t 2 6t 7 dt m . 2 2 3 5 8 Vậy quãng đường vật đi được trong 3s đầu tiên là s s s 1 m 2,7 m . 1 2 3 3 Chọn D. Câu 35 (VD) Phương pháp: - Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của SD, AB , chứng minh d SC;MN d S; MPNQ . - Đổi d S; MPNQ sang d A; MPNQ . - Trong SAB kẻ AH  MQ H MQ , chứng minh AH  MPNQ . - Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách. Cách giải: Gọi P là trung điểm của SD ta có NP / /SC SC / / MNP  MN. d MN;SC d SC; MNP d S; MNP . Gọi Q là trung điểm của AB MP / /NQ MNP  MPNQ nên d S; MNP d S; MPNQ . d S; MPNQ MS Ta có: SA MPNQ M 1 d S; MPNQ d A; MPNQ . d A; MPNQ MA Trong SAB kẻ AH  MQ H MQ ta có 18
19. QN  AB QN  SAB QN  AH QN  SA AH  QN AH  MPNQ AH  QM d A; MPNQ AH. 1 1 a 5 Ta có AQ AB a, AM SA . 2 2 2 a 5 a. AM.AQ a 5 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AMQ ta có: AH 2 . AM 2 AQ2 5a2 3 a2 4 a 5 Vậy d SC;MN . 3 Chọn B. Câu 36 (VD) Phương pháp: - Sử dụng x x2 . - Tính g ' x , giải phương trình g ' x 0. - Lập BXD g ' x và tìm các khoảng nghịch biến của hàm số. Cách giải: Ta có g x f x2 x f x2 x2 x g ' x 2x f ' x2 x2 2 x x 2x 0 1 2 Cho g ' x 0 x f ' x2 x 0 2 x 0 2 1 2x x x 0 1 1 . x2 x 2 2 19
20. 1 5 2 2 x x x 1 vo nghiem 2 1 5 2 2 x x2 x2 1 2 1 5 x 2 BXD: 1 Dựa vào BBT ta thấy hàm số nghịch biến trên ;1 . 2 Chọn C. Câu 37 (TH) Phương pháp: - Tính số phần tử của không gian mẫu. - Tính số phần tử của biến cố. - Tính xác suất của biến cố. Cách giải: Gọi số cần tìm là abc. Số phần tử của không gian mẫu là n  5.5.4 100. Gọi A là biến cố: “số được chọn có dạng abc với a b c ”. 3 n A C6 20 (chỉ có 1 thứ tự là a b c nên ta dùng tổ hợp). n A 20 1 Vậy xác suất của biến cố A là P A . n  100 5 Chọn A. Câu 38 (VD) Phương pháp: - Xác định tâm và bán kính mặt cầu S . - Sử dụng định lí Pytago, chứng minh: Để r đạt giá trị nhỏ nhất thì IH đạt giá trị lớn nhất. - Nhận xét IH IM. - Khi r đạt giá trị nhỏ nhất, viết phương trình mặt phẳng P . - Sử dụng: Khoảng cách từ điểm I x0 ; y0 ; z0 đến mặt phẳng P : Ax By Cz D 0 là 20
21. Ax By Cz D d I; P 0 0 0 . A2 B2 C 2 Cách giải: Mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 2y 7 0 có tâm I 1;1;0 , bán kính R 12 12 7 3. Ta có MI 1 2 2 1 0 2 0 1 2 3 R nên M nằm trong mặt cầu S . Áp dụng định lí Pytago ta có: r IA2 IH 2 9 IH 2 . Để r đạt giá trị nhỏ nhất thì IH đạt giá trị lớn nhất. Ta có IMH vuông tại H nên IH IM , do đó IM max IM 3 khi H  M hay IM  P .  Phương trình mặt phẳng P đi qua M 2;0;1 và có 1 VTPT IM 1; 1;1 là: x y z 3 0. 3 Vậy d O; P 3. 12 1 2 12 Chọn C. Câu 39 (VD) Phương pháp: - Cô lập m, đưa phương trình về dạng m f x . - Khảo sát hàm số f x trên 0;1 và sử dụng tương giao tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Cách giải: Ta có: 6x 3 m 2x m 0 6x 3.2x m.2x m 0 21
22. m 2x 1 6x 3.2x 6x 3.2x m f x 2x 1 Ta có 6x.ln6 3.2x ln 2 2x 1 6x 3.2x 2x ln 2 f ' x 2 2x 1 12x ln 2 6x.ln6 3.4x ln 2 3.2x ln 2 12x ln 2 3.4x ln 2 f ' x 2 2x 1 6x.ln 6 3.2x ln 2 f ' x 2 0 x 0;1 . 2x 1 Hàm số y f x đồng biến trên 0;1 . Có f 0 2, f 1 4 nên f x 2;4 x 0;1 . Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 0;1 khi m 2;4 . Chọn A. Câu 40 (TH) Phương pháp: b Giải phương trình logarit: loga f x b f x a tìm x, y, z và so sánh. Cách giải: x, y, z 0 x 1 log2 x 0 ĐKXĐ: y 1. log y 0 3 z 1 log5 z 0 Ta có: log2 log 1 log2 x log3 log1 log3 y log5 log 1 log5 z 0 2 3 5 log 1 log2 x log1 log3 y log 1 log5 z 1 2 3 5 22
23. 1 1 log x 2 2 2 x 2 1,41 1 1 3 log3 y y 3 1,44 3 1 1 z 55 1,37 log5 z 5 Vậy z x y. Chọn C. Câu 41 (VD) Phương pháp: Phân chia và lắp ghép khối đa diện. Cách giải: Không mất tính tổng quát, ta giả sử lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng. Ta có VA'MPB'NQ VC.C 'PQ VCC ' A'MNB'. Áp dụng định lí Ta-lét ta có: CM AM CM 1 C ' A' 1 PM A'M CP 2 C ' P CN BN CN 2 C ' B ' 2 NQ B ' N CQ 3 C 'Q S C ' A' C ' B ' 1 2 1 A'B'C ' . . SC 'PQ C ' P CQ 2 3 3 VC.C ' A'B' SA'B'C ' 1 VC.C 'PQ 3VC.C ' A'B' VABC.A'B'C ' VC.C 'PQ SC 'PQ 3 1 1 1 1 5 Ta có: SA'MNB' A'M B ' N .A' B ' A' B '. AA' AA' SABB' A' 2 2 2 3 12 23
24. 7 7 S S V V . ABMN 12 ABB' A' C.ABMN 12 C.ABB' A' 2 7 2 7 Mà V V V . V V . C.ABB' A' 3 ABC.A'B'C ' C.ABMN 12 3 ABC.A'B'C ' 18 ABC.A'B'C ' 11 V V . CC '.A'MNB' 18 ABC.A'B'C ' 11 7 7 7 V V V V V V .3 . A'MPB'NQ C.C 'PQ CC ' A'MNB' ABC.A'B'C ' 18 ABC.A'B'C ' 18 ABC.A'B'C ' 18 6 Chọn B. Câu 42 (VD) Phương pháp: - Đưa các logarit về cùng cơ số 2. b - Giải phương trình logarit: loga f x b f x a . Cách giải: x 0 1 ĐKXĐ: x . 2x 1 0 2 Ta có: log x log 2x 1 2 2 1 2 2log2 x log2 2x 1 2 2 log2 x log2 2x 1 2 x2 log 2 2 2x 1 x2 4 2x 1 x2 8x 4 0 x 4 2 3 Suy ra nghiệm lớn nhất của phương trình log x log 2x 1 2 là x 4 2 3 a 4,b 2. 2 1 2 Vậy a b 4 2 6. Chọn A. Câu 43 (VD) Phương pháp: 24
25. - Gọi z a bi a,b ¡ . Thay vào các giả thiết suy ra 2 phương trình hai ẩn a,b. - Sử dụng phương pháp thế giải tìm a,b và kết luận. Cách giải: Gọi z a bi a,b ¡ . + Ta có z2 a bi 2 a2 b2 2abi là số thuần ảo nên a2 b2 0 a2 b2. + z 2 2 a 2 bi 2 a 2 2 b2 4. 2 2 2 2 2 a 0 b 0 Thay a b ta có: a 2 a 4 2a 4a 0 . a 2 b 2 Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu. Chọn D. Câu 44 (VDC) Phương pháp: 1 - Sử dụng VAMNB d A; MNB S MNB , chứng minh VAMNB đạt giá trị nhỏ nhất thì S MNB phải đạt giá trị nhỏ nhất. 3 1 - Sử dụng: S BO.MN, chứng minh S đạt giá trị nhỏ nhất thì MN . MNB 2 MNB min - Chứng minh OMB ∽ OKN, từ đó tính OM.ON và áp dụng BĐT Cô-si tìm MNmin . - Tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra, suy ra tọa độ điểm M. - Chứng minh MB  AHN , viết phương trình mặt phẳng AHN . Cách giải: 25
26. 1 Ta có: VAMNB d A; MNB S MNB . 3 Ta có d A; MNP d A; Oyz 3 không đổi nên VAMNB đạt giá trị nhỏ nhất thì S MNB phải đạt giá trị nhỏ nhất. 1 1 Ta có: S BO.MN .2.MN MN đạt giá trị nhỏ nhất MN đạt giá trị nhỏ nhất. MNB 2 2 Ta có: AK  OB AK  OMB AK  MB AK  OM MB  AK MB  AHK MB  HK MB  KN MB  AH Xét OMB và OKN có: MOB KON 900 OMB OKN (hai góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc). OM OK OMB ∽ OKN g.g OM.ON OK.OB 2.1 2. OB ON Khi đó ta có MN OM ON 2 OM.ON 2 2 (BĐT Cô-si). Dấu “=” xảy ra khi OM ON 2 M 0;0; 2 .  Khi đó ta có BM 0; 2; 2 là 1 VTPT của AHN . 26
27. Phương trình mặt phẳng AHN : 2y 2z 2 0 2y 2z 2 0. a 0,b 2,c 2. Vậy a b c 0. Chọn D. Câu 45 (VDC) Phương pháp: - Gọi z1 a bi, z2 c di. - Từ các giả thiết tìm a2 b2 ,c2 d 2 ,ac bd. - Tính z1 z2 z1z2. - Sử dụng hằng đẳng thức a3 b3 a b 3 3ab a b . Cách giải: Gọi z1 a bi, z2 c di. Theo bài ra ta có: 2 2 + z1 3 a b 9 (1) 2 2 + z1 z2 3 a c b d 9 (2) 2 2 + z1 z2 3 3 a c b d 27 (3) 9 Trừ vế theo vế của phương trình (2) và (3) ta được 4ac 4bd 18 ac bd . 2 Ta có: 2 a2 b2 c2 d 2 2ac 2bd 9 9 c2 d 2 9 9 c2 d 2 9 Ta có: z1 z2 z1z2 a bi c di a bi c di ac adi bci bd ac adi bci bd 2ac 2bd 9 Khi đó ta có: 3 3 z1 z2 z1z2 27
28. 3 z1 z2 z1z2 3 z1 z2 z1z2 z1 z2 z1z2 3 2 2 z1 z2 z1z2 3 z1 z2 z1z2 z1 z2 9 3 3. 9 . a2 b2 c2 d 2 729 27.9.9 1458 3 3 Vậy z1 z2 z1z2 1458. Chọn A. Câu 46 (VD) Phương pháp: 2 - Chuyển 2 f x sang VT, chia cả 2 vế cho 2 f x . - Chia cả 2 vế cho x2. - Lấy tích phân từ 1 đến 4 hai vế. Cách giải: Theo bài ra ta có: 3 2 2x. f x . f ' x x 2 f x x 1;4 2 3 2x. f x . f ' x 2 f x x x 1;4 x3 x. f ' x f x x 1;4 2 f x xf ' x f x x x 1;4 x2 2 f x f ' x .x f x .x ' x x 1;4 x2 2 f x f x x ' x 1;4 x 2 f x 4 f x 1 4 x Lấy tích phân từ 1 đến 4 hai vế ta được: 'dx dx. 1 dx 2 1 f x f x 4 1 4 x 4 x 1 1 dx dx 2 f 4 f 1 .8 2.1 2. x 1 2 1 f x 1 f x 4 2 Chọn A. 28
29. Câu 47 (VDC) Phương pháp: - Tính h' x . - Sử dụng tương giao giải phương trình h' x 0. - Lập BBT hàm số h x trên  3;3. - So sánh f 3 , f 3 bằng tích phân và suy ra min h x .  3;3 - Giải bất phương trình min h x 2021 tìm m.  3;3 Cách giải: x 1 2 Xét hàm số h x f x m ta có h' x f ' x x 1 . 2 Cho h' x 0 f ' x x 1 * . Vẽ đồ thị hàm số f ' x và y x 1 trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có: x 3 Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy * x 1 . x 3 BBT: Ta cần so sánh h 3 và h 3 . Ta có: 29
30. 1 1 S f ' x x 1 dx h' x dx h 1 h 3 1 3 3 3 3 S x 1 f ' x dx h' x dx h 1 h 3 2 1 1 Dễ thấy S1 S2 h 1 h 3 h 1 h 3 h 3 h 3 . min h x h 3 f 3 2 m.  3;3 x 1 2 Để giá trị nhỏ nhất của hàm số h x f x m trên đoạn  3;3 không vượt quá 2021 thì 2 f 3 2 m 2021 m f 3 2023. Vậy m ; f 3 2023 . Chọn A. Câu 48 (VDC) Cách giải: Ta có x2 1 ln x2 mx m2 1 x2 mx m2 ln 2x2 3 0 1 x2 1 ln x2 mx m2 1 x2 mx m2 ln 2x2 3 0 2 2x2 2 ln x2 mx m2 1 x2 mx m2 ln 2x2 3 0 * TH1: ln x2 mx m2 1 0 x2 mx m2 1 1 x2 mx m2 0 2 2 1 1 2 3 2 1 3 2 x 2x. m m m 0 x m m 0 2 4 4 2 4 1 x m 0 2 x m 0 3 m2 0 4 Thay x m 0 ta có: ln1 0 (luôn đúng) m 0 thỏa mãn. TH2: ln x2 mx m2 1 0 2x2 2 x2 mx m2 Khi đó * . ln 2x2 3 ln x2 mx m2 1 30
31. t Xét hàm số f t t 2 , dễ dàng chứng minh được f t đồng biến trên 2; . ln t 1 Do đó 2x2 2 x2 mx m2 x2 mx m2 2 0. 8 m 5 Phương trình có nghiệm m2 4m2 8 0 5m2 8 0 . 8 m 5 m 5;15 Kết hợp điều kiện đề bài: m 4; 3; 2;2;3;4;5; ;14. m ¢ Kết hợp 2 TH ta có m 4; 3; 2;0;1;2;3;4;5; ;14. Vậy có 17 giá trị của m thỏa mãn. Chọn D. Câu 49 (VDC) Cách giải: Ta có AB2 BC 2 4a2 3a2 7a2 AC 2 nên ABC vuông tại B (định lí Pytago đảo). 1 1 S AB.BC .2a.a 3 a2 3. ABC 2 2 Dựng hình chữ nhật ABCE ta có AB / /CE AB / / CDE d AB;CD d AB; CDE . Gọi I là trung điểm của AB, kẻ IJ / / AE / /BC. 31
32. AB  DI Ta có: AB  DIJ . AB  IJ Trong DIJ kẻ DH  IJ H IJ DH  ABCD . Ta có d AB;CD d AB; CDE d I; CDE . Trong DIJ kẻ IK  DJ K DJ ta có: CE / / AB CD  DIJ IK  IJ AB  DIJ IK  IJ a IK  CDE d I; CDE IK IK  DJ 2 2a 3 Vì ABD đều cạnh 2a nên DI a 3 IJ DIJ cân tại I K là trung điểm của DJ. 2 a2 a 11 Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông DIK ta có DK DI 2 IK 2 3a2 . 4 2 DJ 2DK a 11. 1 1 a a2 11 Khi đó ta có S IK.DJ . .a 11 . DIJ 2 2 2 4 1 2S a2 11 a 33 Lại có S DH.IJ DH DIJ . DIJ 2 IJ 2.a 3 6 1 1 a 33 a2 11 Vậy V DH.S . .a2 3 . ABCD 3 ABC 3 6 6 Chọn C. Câu 50 (VD) Phương pháp: - Đặt f x t. Phương trình trở thành g t 0. Giải phương trình tìm t. - Sử dụng tương giao đồ thị hàm số. Cách giải: 32
33. Đặt f x t. Phương trình trở thành g t 0. t 3 f x 3 3 2 t 6t 11t 6 0 t 2 f x 2 t 1 g x 1 Dựa vào đồ thị hàm số: - Phương trình f x 3 có 2 nghiệm phân biệt. - Phương trình f x 3 có 1 nghiệm. - Phương trình f x 2 có 3 nghiệm phân biệt. - Phương trình f x 2 có 1 nghiệm. - Phương trình f x 1 có 3 nghiệm phân biệt. - Phương trình f x 2 có 2 nghiệm phân biệt. Các nghiệm trên đều là phân biệt. Vậy phương trình g f x 0 có tất cả 12 nghiệm phân biệt. Chọn C. HẾT 33