Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 18 (Lời giải chi tiết)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 18 (Lời giải chi tiết)

1. ĐỀ ÔN THI 18 Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a . Diện tích xung quanh của hình nón a2 17 a2 15 a2 15 a2 17 đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD bằng A. . B. .C. .D. . 4 4 2 2 2 Câu 2. Gọi d là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số y x3 4x2 9x 11. Hỏi đường thẳng d đi qua 3 2 2 5 5 điểm nào dưới đây? A. P 5 ; . B. M 5 ; . C. P 2 ; . D. P 2 ; . 3 3 3 3 2 2 Câu 3. Có bao nhiêu giá trị m nguyên để phương trình (log2 x) log2 x 3 m 0 có nghiệm x 1; 8. A. 5 B. 4 C. 7 D. 2 . Câu 4. Tính diện tích S của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f (x) ax3 bx2 c, các đường thẳng x 1, x 2 và trục hoành (miền gạch chéo cho trong hình vẽ). 51 52 50 53 A. S . B. S . C. S . D. S . 8 8 8 8 Câu 5.Số phức z a bi (a,b ¡ ) là số phức có môđun nhỏ nhất trong tất cả các số phức thỏa điều kiện z 3i z 2 i , 1 3 khi đó giá trị z.z bằng A. . B. 5 . C. 3. D. . 5 25 Câu 6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a 3. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC a 30 a 5 2a 3 a 10 đến một mặt bên. A. . B. . C. . D. . 10 2 3 5 Câu 7.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB 2a, AD 4a, SA  (ABCD) và cạnh SC tạo với đáy góc 60o. Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm trên cạnh AD sao cho DN a. Khoảng cách giữa MN và SB 2a 285 a 285 2a 95 8a là A. . B. . C. . D. . 19 19 19 19 Câu 8.Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB 3a, BC 4a, SA  (ABC) và cạnh bên SC tạo với đáy góc 600. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp SABC . 500 a3 5 a3 50 a3 a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 3 3 Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) : 2x y z 5 0 tiếp xúc với mặt cầu (S) : (x 3)2 (y 1)2 (z 2)2 24 tại điểm M (a ; b ; c). Tính giá trị biểu thức T a b c. A. T 2 . B. T 2 . C. T 10 D. T 4 . Câu 10. Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lí và 2 quyển sách HóA. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất 37 5 10 42 sao cho ba quyển lấy ra có ít nhất một quyển sách Toán.A. . B. . C. . D. . 42 42 21 37 Câu 11Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 0 ; 0), B(2 ; 1; 2), C( 1;1; 3). Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục Oy, đi qua A và cắt mặt phẳng (ABC) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. 2 2 2 2 2 1 2 5 2 1 2 5 2 1 2 9 2 1 2 9 A. x y z .B. x y z .C. x y z .D. x y z . 2 4 2 4 2 4 2 4 Câu 14. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình để phương trình sin x + (m - 1)cosx = 2m - 1 có nghiệm là A. 0 . B. 3 . C. 2. D. 1. Câu 12. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên ¡ và có đồ thị hàm số y f (x) như hình vẽ. Hàm số y f (3 x) đồng biến trên khoảng nào? A. ( 1; 2) . B. ( 2 ; 1) . C. (2 ; ) . D. ( ; 1) .
2. Câu 13. Cho hàm số y f (x) xác định trên ¡ và hàm số y f (x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x2 3 . A. 3. B. 1. C. 5 . D. 2 . Câu 15. Cho hàm số y = f (x) liên tục ¡ \ {- 1;0} thỏa x(x + 1)f ¢(x)+ (x + 2)f (x)= x(x + 1), " x Î ¡ \ {- 1;0} f (1) = 2ln 2 + 1, f (2) = a + bln 3 , với a,b là hai số hữu tỉ. Tính T = a2 - b . 3 21 3 A. T = - .B. T = .C. T = .D. T = 0. 16 16 2 3 - 2 Câu 16. Tập xác định của hàm số y = (x2 - 3x + 2)5 + (x - 3) A. (- ¥ ;+ ¥ )\ {3} . B. (- ¥ ;1)È (2;+ ¥ )\ {3} . C. (- ¥ ;+ ¥ )\ (1;2). D. (- ¥ ;1)È (2;+ ¥ ). Câu 17. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C ¢ có cạnh đáy bằng a , góc giữa đường thẳng AB¢ và mặt phẳng (ABC ) bằng 4a3p 3 a3p 3 a3p 3 60º . Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ . A. V = a3p 3 .B. V = .C.V = .D. V = . 3 9 3 y Câu 18. Cho y = f x là hàm đa thức bậc 4 , có đồ thị hàm số y = f ¢ x như hình ( ) ( ) 5 vẽ. Hàm số y = f 5 - 2x + 4x 2 - 10x đồng biến trong khoảng nào trong các ( ) 3 khoảng sau đây? æ ö æ ö æ ö 1 ç 5÷ ç3 ÷ ç 3÷ A. (3;4). B. ç2; ÷.C. ç ;2÷.D. ç0; ÷. O 1 2 x èç 2÷ø èç2 ø÷ èç 2ø÷ 2 2 2 2 ' 17 Câu 19. Cho hàm số f x liên tục trên 0;2 thỏa f 2 6 , f x dx 7 , xf x dx . Tính I f x dx . 0 0 2 0 A. I 5 . B. I 6 . C. I 7 . D. I 8 . x 2 y 2 z 1 x 2 y 2 z 2 Câu 20. Cho 2 đường thẳng d : , d : và điểm N 4;4;1 Gọi là đường vuông 1 1 1 2 2 4 3 1 góc chung của d1 và d2 . Biết điểm M a;b;c để MN nhỏ nhất. Tính T a b c . A. T 4 . B. T 5 . C. T 6 . D. T 9 . Câu 21. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y x3 3mx m2 có 2 điểm cực trị A và B sao cho AB 2 5 . A. 5 . B. 9 . C.10 . D.18 Câu 22.Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1;0 và B 1; 3; 2 . Phương trình của mặt cầu đường kính AB là 2 2 2 2 2 2 A. x 1 y 1 z 0 2 . B. x 1 y 2 z 1 2 . 2 2 2 2 2 2 C. x 1 y 3 z 2 5 . D. x 1 y 3 z 2 2 . x 1 y 1 z Câu 23. Cho mặt phẳng P : x 2y 2z 1 0 và đường thẳng d : . Biết điểm A a;b;c , c 0 là 1 2 1 điểm nằm trên đường thẳng d và cách P một khoảng bằng 1 . TínhS a b c 2 12 A. S 2 . B. S . C. S 4 . D. S . 5 5 x2 4 Câu 24. Gọi S là tổng các giá trị của tham số m để hàm số y có đúng 2 đường tiệm cận. Tính tổng S . x2 x m 31 7 A. S 8 . B. S . C. S 9 . D. S . 4 4 1 Câu 25.Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số: y x3 2x2 2m 3 x 4 đồng biến trên khoảng 3 1 1 1; A. 0; . B. ; . C. ; . D. ;0 . 2 2
3. 2 2 Câu 28.Cho số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện z 3 4i 5 và z 2 z i 33 . Môđun của số phức z 2 i bằng: A. 5 . B. 9 . C. 25 . D. 5 . x2 4 Câu 29. Gọi S là tổng các giá trị của tham số m để hàm số y có đúng 2 đường tiệm cận. Tính tổng S . x2 x m 31 7 A. S 8 . B. S . C. S 9 . D. S . 4 4 Câu 30. Gọi S là tập hợp các số thực m thỏa mãn hàm số y mx4 x3 m 1 x2 9x 5 đồng biến trên ¡ . Số phần tử S là A. 2 B. 0 C. 1 D. 3 Câu 31. Số có giá trị nguyên m thuộc đoạn để phương trình có  2019;2 x 1 log3 4x 1 log5 2x 1 2x m đúng hai nghiệm thực A. 2021B. 1 C. 2 D. 2022 Câu 33. Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị y nguyên của tham số m thuộc đoạn é0;9ù sao cho bất phương trình 2 ëê ûú f 2(x)+ f (x)- m f 2(x)- f (x)- m f (x) 2 - 16.2 - 4 + 16 < 0 có nghiệm x Î (- 1;1)? A. 6.B. 8 . 2 C. 5.D. 7 . -1 O 1 x Câu 34. Cho a,b,c,d là các số nguyên dương, a ¹ 1,c ¹ 1 thỏa mãn -2 3 5 log b = ,log d = và a - c = 9 . Khi đó, b - d bằng a 2 c 4 -2 y = f(x)
4. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI DIỄN TẬP THPT QUỐC GIA NĂM 2019 TỈNH ĐỒNG THÁP Môn: TOÁN ___ Ngày kiểm tra: 16/5/2019 ĐỀ GỐC Thời gian làm bài: 50 phút, không kể thời gian phát đề (Đề gồm có trang) Mã đề thi 172 Họ và tên: Lớp: Câu 1. Hàm số y f (x) với đồ thị như hình vẽ có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 1. C. 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải 3 Câu 2. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm mệnh đề đúng? x ∞ 1 1 + ∞ y' 0 + 0 + ∞ 2 y 2 ∞ A. Hàm số y f (x) đồng biến trên khoảng ( 1;1) . B. Hàm số y f (x) nghịch biến trên khoảng ( ;1) . C. Hàm số y f (x) đồng biến trên khoảng ( 2 ; 2) . D. Hàm số y f (x) nghịch biến trên khoảng 1; . Hướng dẫn giải Hàm số đồng biến trên ( 1;1) . Câu 3. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào? 3 3 2 4 2 A. y x 3x . B. y x 3x . C. y x x 1. D. y x x 1. Hướng dẫn giải y x3 3x Câu 4. Đồ thị hàm số y f (x) với bảng biến thiên như hình vẽ có tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng bằng bao nhiêu? A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 3. Hướng dẫn giải
5. 2 3 2 Câu 5. Biến đổi biểu thức A a. a (với a là số thực dương khác 1) về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ ta được 7 7 A. A a 6 . B. A a2 . C. A a . D. A a 2 . Hướng dẫn giải 7 A a 6 Câu 6. Phương trình 6.4x 13.6x 6.9x 0 có tập nghiệm 2 3 A. S { 1,1} . B. S { , }. C. S {0,1}. D. S {1}. 3 2 Hướng dẫn giải S { 1,1} 1 Câu 7. Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) 4x3 là x2 1 1 A. F(x) x4 C . B. F(x) 12x2 C . x x 1 C. F(x) x4 C . D. F(x) x4 ln x2 C . x Hướng dẫn giải 1 F(x) x4 C x Câu 8. Cho số phức z (1 i)2 (1 2i) . Số phức z có phần ảo là A. 2 . B. 4 . C. 2 . D. 2i . Hướng dẫn giải z 2 1 1 1 Câu 9. Tổng S   có giá trị là 3 32 3n 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 9 Hướng dẫn giải 1 S 2 Câu 10. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA  ABCD và SA 3a. Thể tích của khối chóp S.ABCD là A. V a3 . B. V 6a3 . C. V 3a3 . D. V 2a3 . Hướng dẫn giải V a3 Câu 11. Một khối nón tròn xoay có độ dài đường sinh l 13 (cm) và bán kính đáy r 5 (cm). Khi đó thể tích khối nón bằng 3 3 A. V 100 (cm ) . B. V 300 (cm ) . 325 3 C. V (cm3 ) . D. V 20 (cm ) . 3 Hướng dẫn giải V 100 (cm3 ) Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua các điểm A( 1; 0 ; 0) , B(0 ; 2 ; 0) , C(0 ; 0 ; 2) có phương trình là A. 2x y z 2 0 . B. 2x y z 2 0 . C. 2x y z 2 0 . D. 2x y z 2 0 . Hướng dẫn giải x y z 1 2x y z 2 0 1 2 2
6. Câu 13. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, mặt phẳng đi qua M 1; 4 ; 3 và vuông góc với trục Oy có phương trình là A. y 4 0 . B. x 1 0 . C. z 3 0 . D. y 4 0 . Hướng dẫn giải Mặt phẳng cần tìm có VTPT là j (0 ;1; 0) nên phương trình mặt phẳng là: 0(x 1) 1(y 4) 0(z 3) 0 y 4 0 . Câu 14. Tổ hợp chập k của n phần tử được tính bởi công thức n! n! n! A. . B. . C. . D. n!. k!(n k)! (n k)! k! Hướng dẫn giải k n! Công thức: C n k!(n k)! Câu 15. Cho hàm số y f (x) có đồ thị y f (x) như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 3. Hướng dẫn giải Đạo hàm f (x) đổi dấu khi đi qua chỉ 1 điểm nên có 1 cực trị. x 1 Câu 16. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) trên đoạn 3 ; 5. Khi đó x 1 M m bằng 1 7 3 A. . B. . C. 2 . D. . 2 2 8 Hướng dẫn giải 3 f (3) 2, f (5) 2 1 Vậy M m . 2 Câu 17. Cho log5 2 m , log3 5 n . Tính A log25 2000 log9 675 theo m, n. A. A 3 2m n . B. A 3 2m n . C. A 3 2m n . D. A 3 2m n . Hướng dẫn giải A log 2000 log 675 log (53.24 ) log (33.52 ) 25 9 52 32 3 4 3 2 3 3 log 5 log 2 log 3 log 5 2m n 3 2m n 2 5 2 5 2 3 2 3 2 2 Câu 18. Đạo hàm của hàm số y x ln 2 x là 2ln x 2 A. y 1 . B. y 1 2ln x . C. y 1 . D. y 1 2xln x . x xln x Hướng dẫn giải 2 y (x ln2 x) x (ln2 x) 1 2ln x(ln x) 1 ln x x x x 2 1 Câu 19. Tập nghiệm S của bất phương trình 5 là 25 A. S (2 ; ) . B. S (1; ) . C. S ( ;1) . D. S ( ; 2) . Hướng dẫn giải
7. x x 2 1 x 2 2x Ta có: 5 5 5 x 2 2x x 2 25 cos x Câu 20. Hàm số f (x) có một nguyên hàm F(x) bằng sin5 x 1 1 A. 2019 . B. 2019 . 4sin 4 x 4sin 4 x 4 4 C. 2018 . D. 2018 . sin 4 x sin 4 x Hướng dẫn giải cos x cos x dt 1 F(x) dx . Đặt t sin x dt cos xdx dx C sin5 x sin5 x t5 4t 4 1 Vậy một nguyên hàm là: 4sin4 x 5 3 5 Câu 21. Cho hàm số y f (x) liên tục trên ¡ . Nếu 2 f (x)dx 2 và f (x)dx 7 thì f (x)dx có giá trị bằng 1 1 3 A. 6 . B. 9 . C. 9 . D. 5 . Hướng dẫn giải 5 3 5 5 5 3 f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx 1 7 6 1 1 3 3 1 1 2 Câu 22. Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2z 3 0 . Điểm biểu diễn hình học của số phức z1 là A. M 1 ; 2 . B. M ( 1; 2) . C. M ( 1; 2) . D. M 1 ; 2i . Hướng dẫn giải z 1 2i z2 2z 3 0 z 1 2i Nghiệm phức có phần ảo âm là z 1 2i M ( 1; 2) . Câu 23. Số phức z thỏa 2z 3iz 6 i 0 có phần ảo là A. 4 . B. 3. C. 2 . D. 1. Hướng dẫn giải Gọi z x yi (x, y ¡ ) . Ta có: 2(x yi) 3i(x yi) 6 i 0 2x 3y 6 ( 3x 2y 1)i 0 2x 3y 6 0 x 3 3x 2y 1 0 y 4 Vậy phần ảo là y 4. Câu 24. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a. Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD bằng a2 17 a2 15 a2 15 a2 17 A. . B. . C. . D. . 4 4 2 2 Hướng dẫn giải a Theo giả thiết, bán kính hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD là r 2 Gọi M là trung điểm của AB nên l SM là độ dài đường sinh của hình chóp. a 17 Gọi O là tâm của hình vuông ABCD suy ra l SM SO2 OM 2 . 2 a a 17 a2 17 Vậy S rl . . . xq 2 2 4 Câu 25. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A( 4 ; 9 ; 9), B(2 ;12 ; 2) và C( m 2 ;1 m ; m 5) . Tìm giá trị của m để tam giác ABC vuông tại B. A. m 4 . B. m 4 . C. m 3 . D. m 3 .
8.   Hướng dẫn giải Ta có: BA ( 6; 7; 3), BC ( m 4; m 11;m 7).   Mặt khác: nên BA.BC 0 m 4. Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 2;1;1 và mặt phẳng (P) : 2x y 2z 1 0 . Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình A. (x 2)2 (y 1)2 (z 1)2 4 . B. (x 2)2 (y 1)2 (z 1)2 9 . C. (x 2)2 (y 1)2 (z 1)2 3 . D. (x 2)2 (y 1)2 (z 1)2 5 . Hướng dẫn giải 2.2 1 2.1 1 Bán kính mặt cầu là: r d A; P 2 . 22 1 2 22 2 2 2 Vậy được phương trình mặt cầu: x 2 y 1 z 1 4 . Câu 27. Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 1; 2) và B( 3 ; 2 ;1) có phương trình tham số là x 1 4t x 4 3t A. y 1 3t (t ¡ ) . B. y 3 2t (t ¡ ) . z 2 t z 1 t x 1 4t x 4 t C. y 1 3t (t ¡ ) . D. y 3 t (t ¡ ) . z 2 t z 1 2t Hướng dẫn giải  Đường thẳng d đi qua hai điểm A 1; 1;2 và B 3;2;1 có vectơ chỉ phương AB 4;3; 1 hay u 4; 3;1 . x 1 4t Phương trình đường thẳng d : y 1 3t . z 2 t 2 Câu 28. Gọi d là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số y x3 4x2 9x 11. Hỏi đường thẳng d đi qua 3 điểm nào dưới đây? 2 2 5 5 A. P 5 ; . B. M 5 ; . C. P 2 ; . D. P 2 ; . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Ta có y 2x2 8x 9 , y 4x 8 11 Tiếp tuyến d có hệ số góc nhỏ nhất là tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số U 2; . 3 11 17 Phương trình d : y y 2 x 2 y x 3 3 2 Vậy d đi qua điểm P 5; . 3 x 2 Câu 29. Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y sao cho khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận ngang x 2 bằng 5 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng? A. 2 . B. 1. C. 3. D. 4 . Hướng dẫn giải a 2 Gọi M a; C với a 2 . a 2 a 2 4 Ta có: 5 a 2 1 5 a 2 5 a2 4a 4 4 . a 2 a 2
9. 10 2 5 5a2 20a 16 0 a . 5 Vậy có hai điểm cần tìm. 2 2 Câu 30. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (log2 x) log2 x 3 m 0 có nghiệm x 1; 8. A. 2 m 6 . B. 6 m 9 . C. 3 m 6 . D. 2 m 3. Hướng dẫn giải 2 2 Đặt t log2 x . Vì x 1; 8 nên t 0; 3. Phương trình log2 x log2 x 3 m 0 trở thành t 2 2t 3 m 0 m t 2 2t 3, t 0 ; 3. Ta có bảng biến thiên của hàm số m t 2 2t 3 : t 0 1 3 m 0 3 6 m 2 Vậy: m 2;6 . 3 2 Câu 31. Tính diện tích S của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f (x) ax bx c, các đường thẳng x 1, x 2 và trục hoành (miền gạch chéo cho trong hình vẽ). 51 52 50 53 A. S . B. S . C. S . D. S . 8 8 8 8 Hướng dẫn giải Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f (x) ax3 bx2 c , các đường thẳng x 1 , x 2 và trục hoành được chia thành hai phần: Miền D1 là hình chữ nhật có hai kích thước lần lượt là 1 và 3 S1 3. f x ax3 bx2 c Miền D2 gồm: y 1 . x 1; x 2 C đi qua 3 điểm A 1;1 , B 0;3 , C 2;1 nên đồ thị C có phương trình 1 3 2 1 3 27 f x x3 x2 3 S x3 x2 3 1 dx . 2 2 2 1 2 2 8 51 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là S S S . 1 2 8 1 2 3 6 Câu 32. Cho hàm số y f (x) liên tục trên 0 ;1 và thỏa mãn f (x) 6x f x . Tính f (x)dx. 3x 1 0 A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 6 . Hướng dẫn giải
10. 6 1 1 1 6 f x 6x2 f x3 f x dx 6x2 f x3 dx dx 3x 1 0 0 0 3x 1 Đặt t x3 dt 3x2dx , đổi cận x 0 t 0 , x 1 t 1. 1 1 1 1 6 Ta có: 6x2 f x3 dx 2 f t dt 2 f x dx , dx 4 . 0 0 0 0 3x 1 1 1 1 Vậy f x dx 2 f x dx 4 f x dx 4 0 0 0 2 10 Câu 33. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z 1 i 1 i 1 i . A. Phần thực của z là 31, phần ảo của z là 33 . B. Phần thực của z là 31, phần ảo của z là 33i . C. Phần thực của z là 33 , phần ảo của z là 31. D. Phần thực của z là 33 , phần ảo của z là 31i . Hướng dẫn giải Số phức cần tìm là tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu tiên là 1 i và công bội q 1 i . Do đó: 10 10 1 1 i 1 i 5 1 q 2 z u1. 1 i . . 1 1 i 1 q 1 1 i i 1 i . 1 2i 5 1 i 1 25.i5 1 i 1 32i 31 33i. Câu 34. Số phức z a bi (a,b ¡ ) là số phức có môđun nhỏ nhất trong tất cả các số phức thỏa điều kiện z 3i z 2 i , khi đó giá trị z.z bằng 1 3 A. . B. 5 . C. 3. D. . 5 25 Hướng dẫn giải 2 2 2 Gọi z a bi, khi đó z 3i z 2 i a2 b 3 a 2 b 1 4a 8b 4 a 1 2b 2 2 2 2 2 2 2 1 1 Ta có: a b (1 2b) b 5b 4b 1 5 b 5 5 5 1 z.z a2 b2 . 5 Câu 35. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a 3. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên. a 30 a 5 2a 3 a 10 A. . B. . C. . D. . 10 2 3 5 Hướng dẫn giải Gọi d là khoảng cách từ O đến mp(SBC) . 1 1 1 1 9 10 Ta có: 2 2 2 2 2 2 d a 3 1 2a 3 3a 3a 3a . 3 2 a 30 Vậy khoảng cách từ O đến mặt bên là: d . 10 Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB 2a, AD 4a, SA  (ABCD) và cạnh SC tạo với đáy góc 60o. Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm trên cạnh AD sao cho DN a. Khoảng cách giữa MN và SB là 2a 285 a 285 2a 95 8a A. . B. . C. . D. . 19 19 19 19
11. Hướng dẫn giải Lấy K trên AD sao cho AK a thì MN // SBK . AC 2a 5 . d MN, SB d MN, SBK d N, SBK 2d A, SBK . Vẽ AE  BK tại E , AH  SE tại H . Ta có SAE  SBK , SAE  SBK SE , AH  SE AH  SBK d A, SBK AH . SA AC. 3 2a 15 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AH SA AE SA AK AB 2a 15 a 4a 1 1 1 2 2 2 2a 15 a 4a a 285 2a 285 AH d MN, SB . 19 19 Câu 37. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và B C . Mặt phẳng (A MN) cắt cạnh BC tại P. Tính thể tích của khối đa diện MBPA B N. 7 3a3 3a3 3a3 7 3a3 A. . B. . C. . D. . 96 24 12 32 Hướng dẫn giải S A C M P B C' A' N B' a2 3 a3 3 Khối chóp S.A B N có diện tích đáy S và chiều cao h 2a nên V . Ta có: 8 SAB N 12 1 a3 3 V V . SMBP 8 SA B N 96 a3 3 a3 3 7 3a3 Vậy: VMBPA B N . 12 96 96 Câu 38. Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB 3a, BC 4a, SA  (ABC) và cạnh bên SC tạo với đáy góc 600. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp SABC . 500 a3 5 a3 50 a3 a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải
12. Ta có: SAC vuông tại S (*). BC  AB BC  (SAB) BC  SB SBC vuông tại B ( ) BC  SA Từ (*) và ( ) Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là trung điểm đoạn SC. AC 1 Ta có: AC AB2 BC 2 5a. Mà cos600 SC 2AC 10a SC 2 SC R 5a 2 4 500 a3 Vậy V R3 . 3 3 Câu 39. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) : 2x y z 5 0 tiếp xúc với mặt cầu (S) : (x 3)2 (y 1)2 (z 2)2 24 tại điểm M (a ; b ; c). Tính giá trị biểu thức T a b c. A. T 2 . B. T 2 . C. T 10 . D. T 4 . Hướng dẫn giải Gọi là đường thẳng qua tâm I(3;1; 2) của mặt cầu và vuông góc mp(P) . x 3 2t Ta được : y 1 t . M là giao điểm của và mp(P) . z 2 t Xét: 2(3 2t) (1 t) ( 2 t) 5 0 t 2 Vậy: M ( 1; 3 ; 0) T 2. Câu 40. Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lí và 2 quyển sách HóA. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất sao cho ba quyển lấy ra có ít nhất một quyển sách Toán. 37 5 10 42 A. . B. . C. . D. . 42 42 21 37 Hướng dẫn giải 3 Số phần tử của không gian mẫu n  C9 84 . Gọi A là biến cố sao cho ba quyển lấy ra có ít nhất một quyển sách Toán 3 A là biến cố sao cho ba quyển lấy ra không có sách Toán n A C5 10 . 10 37 P A 1 P A 1 . 84 42 Câu 41. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 9 y x3 mx2 7x 3 vuông góc với đường thẳng y x 1. 8 A. m 5 . B. m 6 . C. m 12 . D. m 10 . Hướng dẫn giải Đạo hàm y 3x2 2mx 7 . Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi y 0 có hai nghiệm phân biệt 0 m2 21 0 . 2 14 2 Hệ số góc đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là k m2 (21 m2 ) . 9 3 9 2 2 9 2 m 5 Ycbt 21 m . 1 m 25 . 9 8 m 5 Câu 42. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên ¡ và có đồ thị hàm số y f (x) như hình vẽ. Hàm số y f (3 x) đồng biến trên khoảng nào? A. ( 1; 2) . B. ( 2 ; 1) . C. (2 ; ) . D. ( ; 1) .
13. Hướng dẫn giải Đặt g(x) f (3 x) ta có g '(x) f '(3 x) Xét x ( 2; 1) 3 x (4;5) f (3 x) 0 g (x) 0 hàm số y g(x) nghịch biến trên ( 2; 1) Xét x ( 1;2) 3 x (1;4) f (3 x) 0 g (x) 0 hàm số y g(x) đồng biến trên ( 1;2) Câu 43. Cho hàm số y f (x) xác định trên ¡ và hàm số y f (x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x2 3 . A. 3. B. 1. C. 5 . D. 2 . Hướng dẫn giải Quan sát đồ thị ta có y f (x) đổi dấu từ âm sang dương qua x 2 nên hàm số y f x có một điểm cực trị là x 2 . x 0 x 0 / 2 2 2 Ta có y ' f x 3 2x. f ' x 3 0 x 3 2 x 1 . 2 x 3 1 x 2 Mà x 2 là nghiệm kép, còn các nghiệm còn lại là nghiệm đơn nên hàm số y f x2 3 có ba cực trị. 4 2 Câu 44. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 2m 3 x m 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. 3 3 3 3 A. m 3 3 . B. m 3 3 . C. m 3 3 . D. m 3 3 . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải x 0 3 Ta có: y ' 4x 2 2m 3 x . y ' 0 3 2m x2 2 3 2m 3 Để hàm số có 3 điểm cực trị thì 0 m . 2 2 Điểm cực trị của đồ thị hàm số là: 3 2m 4m2 8m 13 3 2m 4m2 8m 13 A 0; m 1 , B ; ,C ; 2 4 2 4 2 12m 9 4m2 3 2m Ta thấy AB AC nên để VABC đều thì AB BC 4. 4 2 4 3 2m 3 2m 3 3. 3 2m 2 3 3 m 3 3. 16 2 2 Câu 45. Một hình trụ có thể tích 16 cm3 . Khi đó bán kính đáy R bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất? 16 A. R 2 cm . B. R 1,6 cm . C. R cm . D. R cm . Hướng dẫn giải
14. 16 Ta có V R2h 16 h . R2 Để ít tốn nguyên liệu nhất thì diện tích toàn phần của lọ phải nhỏ nhất. Ta có: 32 16 16 16 16 S 2 R2 2 Rh 2 R2 2 R2 33 2 R2. . 24 . tp R2 R R R R 16 Dấu “ ” xảy ra 2 R2 R 2 cm . R Câu 46. Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm một bể nước (không nắp) bằng gạch có dạng hình hộp có đáy là hình chữ nhật chiều dài d (m) và chiều rộng r (m) với d 2r. Chiều cao bể nước là h(m) và thể tích bể là 2(m3 ). Hỏi chiều cao bể nước bằng bao nhiêu thì chi phí xây dựng là thấp nhất? 4 2 2 3 2 A. 3 (m) . B. (m) . C. 3 (m) . D. 3 (m) . 9 3 3 2 3 Hướng dẫn giải 1 Gọi x (x 0) là chiều rộng của đáy suy ra thể tích bể nước là V 2x2.h 2 h x2 6 Diện tích xung quanh hồ và đáy bể là: S 6x.h 2x2 2x2 x 0 x 6 3 Xét hàm số f x 2x2 với x 0.Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x 3 . x 2 1 1 4 Vậy chiều cao cần xây là h 3 m . 2 2 x 3 9 3 2 Câu 47. Một người mỗi đầu tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% mỗi tháng. Biết đến cuối tháng thứ 15 thì người đó có số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền T gần với số tiền nào nhất trong các số sau? A. 635000 . B. 535000 . C. 613000 . D. 643000 . Hướng dẫn giải Bài toán tổng quát “Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng, biết lãi suất hàng tháng là m. Sau n a n tháng, người tiền mà người ấy có là T . 1 m 1 . 1 m ”. n m n 15;m 0,6% Áp dụng công thức với Tn 10000000 10000000.0,6% a 635000 đồng 1 0,6% 15 1 1 0,6% Câu 48. Cho hình lăng trụ đều ABC.A B C có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AA và BB , đường thẳng CE cắt đường thẳng C A tại E , đường thẳng CF cắt đường thẳng C B tại F . Thể tích khối đa diện EFB A E F bằng 3 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 6 2 3 12 Hướng dẫn giải C' E' A' E B' F' F A C M B Thể tích khối lăng trụ đều ABC.A B C là
15. 3 3 V S .AA .1 . ABC.A B C ABC 4 4 3 Gọi M là trung điểm AB CM  ABB A và CM . Do đó, thể tích khối chóp C.ABFE là: 2 1 1 1 3 3 V S .CH .1. . . C.ABFE 3 C.ABFE 3 2 2 12 Thể tích khối đa diện A B C EFC là: 3 3 3 V V V . A B C EFC ABC.A B C C.ABFE 4 12 6 Do A là trung điểm C E nên: 3 d E , BCC B ' 2d A , BCC B ' 2. 3 . 2 SCC F SF B'F SFB C C SFBC SFB C C SBCC B 1. Thể tích khối chóp E .CC F là 1 1 3 VE .CC F SCC F .d E , BCC B ' .1. 3 . 3 3 3 Thể tích khối đa diện EFA B E F bằng 3 3 3 V V V . EFA B E F E .CC F A B C EFC 3 6 6 Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A(0 ; 0 ; 3), B(2 ; 0 ; 1) và mặt phẳng (P) : 3x 8y 7z 1 0. Tìm M (a ; b ; c) (P) thỏa mãn MA2 2MB2 nhỏ nhất, tính T a b c. 35 131 85 311 A. T . B. T . C. T . D. T . 183 61 61 183 Hướng dẫn giải   4 5 Gọi I sao cho IA 2IB 0 I ;0; 3 3  2   2   MA2 MA MI IA MI 2 IA2 2MI.IA  2   2   MB2 MB MI IB MI 2 IB2 2MI.IB    MA2 2MB2 3MI 2 IA2 2IB2 2MI IA IB 3MI 2 IA2 2IB2 Suy ra MA2 2MB2 khi MI bé nhất hay M là hình chiếu của I trên P . min 283 104 214 35 Tìm được tọa độ M ; ; T . 183 183 183 183 Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 0 ; 0), B(2 ; 1; 2), C( 1;1; 3). Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục Oy, đi qua A và cắt mặt phẳng (ABC) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. 2 2 2 1 2 5 2 1 2 5 A. x y z . B. x y z . 2 4 2 4 2 2 2 1 2 9 2 1 2 9 C. x y z . D. x y z . 2 4 2 4 Hướng dẫn giải Mặt phẳng ABC có phương trình: x y z 1 0 . Gọi S là mặt cầu có tâm I Oy và cắt ABC theo một đường tròn bán kính r nhỏ nhất. Vì I Oy nên I 0;t;0 , gọi H là hình chiếu của I lên ABC khi đó là có bán kính đường tròn giao của ABC và S là r AH IA2 IH 2 .
16. t 1 t 2 2t 1 2t 2 2t 2 Ta có: IA2 t 2 1, IH d I, ABC r t 2 1 . 3 3 3 1 1 2 5 Do đó, r nhỏ nhất khi và chỉ khi t . Khi đó I 0; ;0 , IA . 2 2 4 2 2 1 2 5 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: x y z . 2 4 HẾT