Đề thi thử vào Lớp 10 môn Toán (Chuyên) lần 2 - Năm học 2018-2019 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Tân Thành (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử vào Lớp 10 môn Toán (Chuyên) lần 2 - Năm học 2018-2019 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Tân Thành (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DC VÀ ÀO TO THI TH VÀO LP 10 NM HC 2018-2019 HUYN TÂN THÀNH MÔN: TOÁN (CHUYÊN) Thi gian làm bài: 150 phút THI TH LN 2 Ngày thi th: 23 tháng 5 nm 2018 Bài 1 (3,0 im).
   x− x +1 x + x + 1 ’
   1 ’ 1. Rút gn biu thc: A= + . x −  vi x > 0 và x ≠1. x x+1 x x − 1   x  2. Gii phương trình: ()x+22 = 5 x3 + 4 x . Àx2+ y 2 + xy + x = 4 3. Gii h phương trình:  . xy+ y = 2 Bài 2 (2,0 im). 1.2.3 ( 2n) A 1. Vi mi s nguyên dương n, ta t A = . Chng minh rng n là n 1.2 n 2n−1 mt s nguyên nhưng không th vit ưc thành hiu hai s chính phương. 2. Cho phương trình x2−2 mx − m 2 + 4 m − 10 = 0 (m là tham s). Chng minh rng phương trình luôn có hai nghim trái du. Tìm giá tr ca tham s m nghim dương ca phương trình có giá tr nh nht. Bài 3 (1,0 im). Xét các s dương x,, y z tha mãn xy+ yz + zx = 3 xyz . Chng minh x2+3 y 2 y 2 + 3 z 2 z 2 + 3 x 2 rng: x+3 y + y + 3 z + z + 3 x ≥ 3 + + + . 2x+ 2 y 2 y + 2 z 2 z + 2 x Bài 4 (3,0 im). T im M nm ngoài ưng tròn (O) k hai tip tuyn MA, MB ca (O) ( AB, là hai tip im). Mt tia Mx nm gia hai tia MA, MO ct (O) ti C và D (C nm gia M và D ). ưng tròn ưng kính MO ln lưt ct ưng thng AC, AD ti im EF, khác A và ct tia Mx ti im N khác M . 1. Chng minh N là trung im ca CD và hai tam giác BCE, BDF ng dng. 2. Tia Mx ct EF ti im K . Chng minh bn im BCKE,,, cùng thuc ưng tròn và K là trung im ca EF . 3. ưng tròn ngoi tip tam giác KMB ct ưng thng EF ti T khác K . Chng minh TM= TB . Bài 5 (1,0 im). Cho hình vuông ABCD và im M nm gia AB, . H là hình chiu vuông góc ca B trên ưng thng MD còn EF, ln lưt là hình chiu vuông góc ca H trên các ưng thng AD, BD . Chng minh rng ưng thng EF i qua trung im ca on thng HA. ___Ht___ H và tên thí sinh: S báo danh: Ch ký cán b coi thi s 1:
2. PHÒNG GIÁO DC VÀ ÀO TO THI TH VÀO LP 10 NM HC 2018-2019 HUYN TÂN THÀNH MÔN: TOÁN (CHUYÊN) HƯNG DN CHM THI TH LN 2 (H
   ng dn chm có 05 trang) Bài 1 (3,0 im).
   x− x +1 x + x + 1 ’
   1 ’ 1. Rút gn biu thc: A= + . x −  vi x > 0 và x ≠1. x x+1 x x − 1   x  2. Gii phương trình: ()x+22 = 5 x3 + 4 x . Àx2+ y 2 + xy + x = 4 3. Gii h phương trình:  . xy+ y = 2 Câu Ni dung im Vi x > 0 và x ≠1 ta có: x− x +1 x + x + 1
   x − 1 ’ 0,5 A = + .  x  ()x+1() x − x + 1() x − 1() x + x + 1  1 (1,0)
   1 1 ’ x− 1 x − 1 + x + 1 x − 1 = +  = 0,25 x+1 x − 1  xx+1 x − 1 x ()() 2x x − 1 =. = 2 . 0,25 x −1 x iu kin: x ≥ 0. Phương trình ⇔( x2 +4) + 4 x − 5 x( x 2 + 4) = 0 0,25 t u= x2 +4 , v = x , u > 0, v ≥ 0 2 u= v (1,0) PT có dng u2−5 uv + 4 v 2 = 0 ⇔()() u − v u − 4 v = 0 ⇔ 0,25 u= 4 v TH1: u= v , khi ó x2 − x +4 = 0 (vô nghim) 0,5 TH2: u= 4 v , khi ó x2 −16 x + 4 = 0 ⇔ x = 8 ± 2 15 (tha mãn K) Cng hai phương trình ca h ta ưc: ( x+ y)2 +( x + y) −6 = 0 0,25 x=2 − y ⇔()()x + y −2 x + y + 3 = 0 ⇔ 0,25 x= −3 − y TH1: x=2 − y , ta ưc 3 y=1 x = 1 0,25 (1,0) y()2− y + y = 2 ⇔ y2 − 3 y + 2 = 0 ⇔ y= 2 x = 0 TH2: x= −3 − y , ta ưc 2 y(−3 − y) + y = 2 ⇔ y + 2 y + 2 = 0 (vô nghim) 0,25 Vy h phương trình có tp nghim S = {(1;1) ;( 0;2)}. 2
3. Bài 2 (2,0 im). 1.2.3 ( 2n) A 1. Vi mi s nguyên dương n, ta t A = . Chng minh rng n là n 1.2 n 2n−1 mt s nguyên nhưng không th vit ưc thành hiu hai s chính phương. 2. Cho phương trình x2−2 mx − m 2 + 4 m − 10 = 0 (m là tham s). Chng minh rng phương trình luôn có hai nghim trái du. Tìm giá tr ca tham s m nghim dương ca phương trình có giá tr nh nht. Câu Ni dung im n 1.3 ( 2n− 1)  . 2.4 ( 2 n)  1.3 ( 2 n − 1)  .2 .( 1.2 n) Ta có A = = 0,25 n 1.2 n 1.2 n A n  n z An =2 . 1.3 () 2 n − 1  = 2.() 1.3 () 2 n − 1 ∈ 0,25 2n−1 A Do 1.3 ( 2n − 1)  là s l nên n ≡ 2 () mod4 0,25 2n−1 1 A (1,0) Gi s n vit ưc thành hiu hai s chính phương, tc là 2n−1 A n =x2 − y 2 vi x, y là hai s nguyên cùng tính cht chn, l (vì 2n−1 A 0,25 n là s chn). 2n−1 Tuy nhiên khi ó x2− y 2 =( x − y)( x + y) @ 4 (vô lí). Vy ta có pcm. ∆' = 2m2 − 4 m + 10 = 2( m − 1)2 + 8 > 0 ∀ m . 0,25 Vy phương trình luôn có hai nghim phân bit vi mi tham s m . Theo nh lý Vi-ét, tích hai nghim là P= − m2 +4 m − 10 = −( m − 2)2 − 6 < 0 ∀ m 0,25 nên hai nghim luôn trái du. 2 2 (1,0) Nghim dương ca phương trình là x0 = m +2 m − 4 m + 10 2 0,25 Ta có: x0 =2.1() − m + 4 + m ≥() 1 − m .11.2 + + m = 3 (Bt ng thc Bunhiacopxki) ng thc xy ra ⇔1 −m = 2 ⇔ m = − 1. Vy khi m = −1 thì nghim dương ca phương trình t giá tr nh 0,25 nht là 3. 3
4. Bài 3 (1,0 im). Xét các s dương x,, y z tha mãn xy+ yz + zx = 3 xyz . Chng minh x2+3 y 2 y 2 + 3 z 2 z 2 + 3 x 2 rng: x+3 y + y + 3 z + z + 3 x ≥ 3 + + + . 2x+ 2 y 2 y + 2 z 2 z + 2 x Ni dung im x2+3 y 2 4 xy 1
   x 2 + 3 y 2 4 xy ’ + = + ≥ +  Ta có x3 y   x+ y x + y2  x + y x + y  0,25 ( ây ta s dng bt ng thc 2(a+ b) ≥ a + b vi a, b không âm) Cng các bt ng thc tương t, ta thu ưc 2xy 2 yz 2 zx xy2+ 3 2 yz 2 + 3 2 zx 2 + 3 2 0,25 VT ≥ + + + + + . xyyzzx+ + +2 xy + 2 2 yz + 2 2 zx + 2 2xy 2 yz 2 zx Tip theo ta ch cn chng minh + + ≥ 3 x+ y y + z z + x Tht vy:
   ’   2xy 2 yz 2 zx  1 1 1  + + =2 + + 0,25 x+ y y + z z + x 1 1 1 1 1 1  + + +  x y y z z x  9 ≥ 2. 1 1 1 1 1 1 + + + + + x y y z z x Li có 111111
   11 ’
   1111 ’
   ’ +++++≤3.  +++++      xyyzzx xy   yz   zx 
   1 1 1 ’ =6 + +  = 3 2 x y z  0,25 1 1 1 (vì xy+ yz + zx =3 xyz ⇔ + + = 3) x y z 2xy 2 yz 2 zx 9 Do ó + + ≥2. = 3. Vy ta ưc pcm. x+ y y + z z + x 3 2 Bài 4 (3,0 im). T im M nm ngoài ưng tròn (O) k hai tip tuyn MA, MB ca (O) ( AB, là hai tip im). Mt tia Mx nm gia hai tia MA, MO ct (O) ti C và D (C nm gia M và D ). ưng tròn ưng kính MO ln lưt ct ưng thng AC, AD ti im EF, khác A và ct tia Mx ti im N khác M . 1. Chng minh N là trung im ca CD và hai tam giác BCE, BDF ng dng. 4
5. 2. Tia Mx ct EF ti im K . Chng minh bn im BCKE,,, cùng thuc ưng tròn và K là trung im ca EF . 3. ưng tròn ngoi tip tam giác KMB ct ưng thng EF ti T khác K . Chng minh TM= TB . Câu Ni dung im F A D N C K M O E B T N thuc ưng tròn ưng kính MO nên MN⊥ NO hay ON⊥ CD N là trung im ca CD (tính cht ưng kính và dây 0,5 cung). 1    (1,25) T giác BDAC ni tip nên BDA= BCE (cùng bù vi BCA) 0,25   é T giác ABEF ni tip nên BFA= BEA (cùng chn AB ) 0,25 T ó suy ưc hai tam giác BCE, BDF ng dng. 0,25   é Ta có BCD= BAD (cùng chn BD ) 0,25    Mà BAD= BEF (cùng bù vi BAF )     0 Do ó BCD= BEF BEK+ BCK =180  BCKE ni tip ưng 0,5 tròn.      n ây ta có: BKE= BCE = BDA = BAM = BNM     Kt hp BEK= BCN ( BCD= BEF , chng minh trên) nên ta ưc 0,25 2 EK EB hai tam giác BEK, BCN ng dng  = (1) (1,25) CN CB    Mt khác BFE= BAE = BDC , t ó hai tam giác BFE, BDC ng EF EB dng  = (2) CD CB 0,25 EK EB EF EK CN 1 T (1) và (2)  = =  = = (do N là trung CN CB CD EF CD 2 im CD )  K là trung im on thng EF . 5
6.      Ta có BMT= BKT = BCE = BDA = BAM 0,25      3 Và BTM= BKC = BEC = BFA = BMA (0,5) Do ó hai tam giác TMB, MAB ng dng. 0,25 Li có MA= MB nên ta ưc TM= TB . Bài 5 (1,0 im). Cho hình vuông ABCD và im M nm gia AB, . H là hình chiu vuông góc ca B trên ưng thng MD còn EF, ln lưt là hình chiu vuông góc ca H trên các ưng thng AD, BD . Chng minh rng ưng thng EF i qua trung im ca on thng HA. Ni dung im E H A B M K F D C Gi K là hình chiu ca H lên AB . Nm im ABCDH,,,, cùng thuc  0 ưng tròn ưng kính BD AHB =135 . T giác DEHF ni tip nên 0,25  0 EHF =135        EHA= FHB . Mà EHA= EKA; FHB = FKB 0,25        EKA= FKB FKB+ BKE = EKA + BKE =1800  E , K , F thng hàng. 0,25 T giác HEAK là hình ch nht nên ưng thng EF i qua trung im ca 0,25 on thng HA. Ghi chú : Thí sinh làm cách khác úng vn t im ti a. ___Ht___ 6