Đề thi tuyển sinh Lớp 10 đại trà môn Toán - Năm học 2020-2021 (Có hướng dẫn)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 đại trà môn Toán - Năm học 2020-2021 (Có hướng dẫn)

1. MÃ KÍ HIỆU ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 ĐẠI TRÀ Năm học 2020-2021 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm 5 câu, 2 trang) I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2 điểm) 2x y 4 Câu 1: Hệ phương trình có nghiệm là: 3x y 1 A. (2 ;-1) B. (1 ;-2) C. (-1 ; 2) D. (-2 ;1) Câu 2: Với giá trị nào của m thì hàm số y = (m -1)x – 1 nghịch biến trên tập xác định. A. m = 1 B. m > 1 C. m = 0 D. m < 1 Câu 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB, M là điểm trên đường tròn sao cho góc MAB có số đo bằng 300 . Số đo cung MA là bao nhiêu : A. 300 B. 450 C. 600 D. 1200 Câu 4: Với giá trị nào của m thì các đường thẳng y = -2x +1 ; y = x - 2 ; y = (m+1)x + 2m -1 cùng đi qua một điểm ? 1 1 C. m = 3 D. m = -3 A. m B. m 3 3 II. PHẦN TỰ LUẬN (8 điểm) Câu 1. (1 điểm) 1. Rút gọn biểu thức : 12 27 3 4x 5y 3 2. Giải hệ phương trình : x 3y 5 Câu 2. (2 điểm) 1. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d): y = - 2x - 1 và Parabol (P): y = x2. 2. Cho phương trình: x2 - 2x + m = 0 (1) 1 1 Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 2 2 = 1. x1 x2 Câu 3. (1 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh Hà Nội và Thanh Hóa, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc mỗi xe biết rằng nếu ô tô đi từ Hà Nội tăng vận tốc thêm 10km/h thì sẽ có vận tốc bằng hai lần vận tóc ô tô đi từ Thanh Hóa. Câu 4. (3 điểm) 1. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC < BC) nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi H là giao điểm của hai đường cao BD và CE của tam giác ABC (D AC, E AB) a. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp trong một đường tròn b. Gọi I là điểm đối xứng với A qua O và J là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, J, I thẳng hàng 1
2. 1 1 1 c. Gọi K, M lần lượt là giao điểm của AI với ED và BD. Chứng minh rằng DK2 DA2 DM2 2. Tháp Ép-phen là một tháp nổi tiếng của nước Pháp, nằm bên bờ sông Seine. Trong một phép đo thực tế dựa vào góc chiếu 62 0 của ánh nắng mặt trời so với mặt đất, người ta đo được bóng tháp dài 160m. Hãy tính chiều cao của tháp theo đơn vị mét (làm tròn đến hàng đơn vị) Câu 5. (1 điểm) a. Cho x; y; z là các số thực thoả mãn điều kiện x + y + z + xy + yz + zx = 6 Chứng minh x 2 y 2 z 2 3 b. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy -10(x + y) =1 Hết 2
3. MÃ KÍ HIỆU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 Năm học 2020-2021 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 3 trang) I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2 điểm) Câu 1: Mức độ nhận biết. đáp án B Câu 2: Mức độ nhận biết. đáp án D Câu 3: Mức độ nhận biết. đáp án D Câu 4: Mức độ thông hiểu. đáp án A - Tìm được giao điểm của hai đường thẳng y =- 2x + 1; y = x - 2 là (1;-1) - Thay giá trị x = 1, y = -1 vào phương trình đường thẳng y = (m+1)x + 2m -1 ta được 1 m = 3 II. PHẦN TỰ LUẬN (8 điểm) Câu Đáp án Điểm a. (0,5 điểm) 12 27 3 2 3 3 3 3 0,25 điểm = 4 3 0,25 điểm b. (0,5 điểm) 1 4x 5y 3 x 3y 5 (1 điểm) 0,25 điểm x 3y 5 4(3y 5) 5y 3 x 3y 5 y 1 . vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 17y 17 x 2 0,25 điểm (x;y) = (2;-1) 1. (1 điểm) Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của phương trình: - 2x -2 = x2 x2 +2x +1= 0. 0.25 điểm Tìm đúng nghiệm kép là x1= x2 = -1 0.25 điểm 2 Với x =- 1 thì y = 1, ta có 1 giao điểm là (-1;1) 0.25 điểm (2 điểm) Vậy (d) tiếp xúc với (P) tại điểm có tọa độ là (-1;1) 0.25 điểm 2. (1 điểm) Phương trình có nghiệm ' > 0 1 - m > 0 m < 1 0.25 điểm Khi đó theo hệ thức Viét, ta có: x1 + x2 = 2 và x1x2 = m (1) 0.25 điểm 2 2 2 1 1 x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 2 2 1 2 2 1 2 1 (2) 0.25 điểm x x x1 x2 (x1x2 ) 3
4. Từ (1), (2), ta được: 4 - 2m = m2 m2 + 2m - 4 = 0 ' = 1 + 4 = 5 => ' = 5 nên m1 = -1 + 5 (loại); m2 = - 1 - 5 (T/m vì 0.25 điểm m 0) Đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2h nên ta có phương trình: 2x+2y=160 (1) 0.25 điểm 3 Nếu ô tô đi từ hà Nội tăng vận tốc thêm 10km/h thì sẽ có vận tốc gấp đôi vận tốc ô tô đi từ Thanh Hó nên ta có phương trình: x+10=2y (2) (1 điểm) Từ (1) và (2) viết đúng hệ phương trình và giải ra nghiệm x=50 và y=30 0.25 điểm Trả lời vận tốc ô tô đi từ Hà Nội là 50km/h, vận tốc ô tô đi từ Thanh Hóa là 30 km/h 0.25 điểm Hình vẽ 0.25 điểm a. (0.75 điểm) chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp 4 Vì BD và CE là các đường cao nên góc BEC, góc BDC có số đo bằng 900 0.25 điểm (3 điểm) suy ra điểm E và D nằm trên đường tròn đường kính BC 0.25 điểm Suy ra tứ giác BDCE là tứ giác nội tiếp . 0.25 điểm b. (0.5 điểm) Chứng minh H, J, I thẳng hàng Chứng minh IB  AB; CE  AB Suy ra IB // CH 0.25 điểm Chứng minh IC  AC; BD  AC (BH  AC)Suy ra BH // IC Như vậy tứ giác BHCI là hình bình hành 0.25 điểm J trung điểm BC J trung điểm IH c. (0.5 điểm)  ACB= AIB ( nửa số đo cung AB)  ACB = DEA (cùng bù với  DEB của tứ giác nội tiếp BCDE)  BAI+ AIB= 900 vì ABI vuông tại B 0.25 điểm Suy ra  BAI + AED=900 , hay  EAK+ AEK=900 Suy ra AEK vuông tại K 4
5. Xét ADM vuông tại M (suy từ giả thiết) DK  AM (suy từ chứng minh trên) 1 1 1 0.25 điểm Như vậy DK2 DA2 DM2 2. (1 điểm) B 0.25 điểm C 620 A 160m Vẽ tam giác vuông ABC và nêu được chiều cao cần tính là AB Viết được công thức AB= CA. tan C 0.25 điểm Thay số tính được AB=160 tan 620≈ 300 m 0.25 điểm Kết luận chiều cao tháp khoảng 300 m 0.25 điểm Ta có x 1 2 0 x 2 1 2x. tương tự có y 2 1 2y; z 2 1 2z suy ra x 2 y 2 z 2 3 2x 2y 2z (1) 0.25 điểm Lại có x y 2 0 x 2 y 2 2xy tương tự có y 2 z 2 2yz; z 2 x 2 2zx suy ra 2(x 2 y 2 z 2 ) 2xy 2yz 2zx (2) 5 Từ (1) và (2) được 3(x 2 y 2 z 2 ) 3 2(xy yz zx x y z) (1điểm) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0.25 điểm 3(x y z ) 3 6.2 3(x y z ) 9 x y z 3 dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 10x 1 xy -10(x + y) =1 (x-10)y=10x+1 y với x 10 x 10 0.25 điểm 101 y 10 do đó x-10 là ước dương của 101 x 10 Tìm được cặp số (x ;y)=(11 ;111), (111 ;11) 0.25 điểm 5