Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2019-2020 - Tỉnh Bình Định

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2019-2020 - Tỉnh Bình Định

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2019-2020 Đề chính thức Môn thi: Toán Ngày thi: 06/06/2019 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: 1. Giải phương trình: .3(x 1) 5x 2 2. Cho biểu thức: A x 2 x 1 x 2 x 1 với x 1 a) Tính giá trị biểu thức A khi x 5 . b) Rút gọn biểu thức A khi 1 x 2 . Câu 2: 1. Cho phương trình: x2 (m 1)x m 0 . Tìm m để phương trình trên có một nghiệm bằng 2 . Tính nghiệm còn lại. 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng d1 : y 2x 1; d2 : y x; d3 : y 3x 2. Tìm hàm số có đồ thị là đường thẳng d song song với đường thẳng d3 đồng thời đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 . 2 Câu 3: Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành được công việc. Nếu làm 3 riêng thì thời gian hoàn thành công việc đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 5 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của mỗi đội là bao nhiêu? Câu 4: Cho đường tròn tâm O , bán kính R và một đường thẳng d không cắt đường tròn (O) . Dựng đường thẳng OH vuông góc với đường thẳng d tại điểm H . Trên đường thẳng d lấy điểm K (khác điểm H ), qua K vẽ hai tiếp tuyến KA và KB với đường tròn (O) , (A và B là các tiếp điểm) sao cho A và H nằm về hai phía của đường thẳng OK . a) Chứng minh tứ giác KAOH nội tiếp được trong đường tròn. b) Đường thẳng AB cắt đường thẳng OH tại điểm I . Chứng minh rằng IA IB IH  IO và I là điểm cố định khi điểm K chạy trên đường thẳng d cố định. c) Khi OK 2R, OH R 3 . Tính diện tích tam giác KAI theo R . x y x2 y2 Câu 5: Cho x, y là hai số thực thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . xy 1 x y
2. LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2019-2020 Câu 1. 1. Giải phương trình: .3(x 1) 5x 2 2. Cho biểu thức: A x 2 x 1 x 2 x 1 với x 1 a) Tính giá trị biểu thức A khi x 5 . b) Rút gọn biểu thức A khi 1 x 2 . Lời giải 1. Ta có 5 3(x 1) 5x 2 3x 3 5x 2 2x 5 x . 2 5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x . 2 2. a) Khi x 5 , ta có A 5 2 5 1 5 2 5 1 5 2 4 5 2 4 5 22 5 22 9 1 3 1 4 . Vậy khi x 5 thì A 4 . b) Với 1 x 2 , ta có A x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1 ( x 1 1)2 ( x 1 1)2 | x 1 1| | x 1 1| x 1 1 1 x 1 (1 x 2 0 x 1 1 x 1 1 0) 2. Vậy khi 1 x 2 thì A 2 . Câu 2. 1. Cho phương trình: x2 (m 1)x m 0 . Tìm m để phương trình trên có một nghiệm bằng 2 . Tính nghiệm còn lại. 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng d1 : y 2x 1; d2 : y x; d3 : y 3x 2. Tìm hàm số có đồ thị là đường thẳng d song song với đường thẳng d3 đồng thời đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 . Lời giải 1. x2 (m 1)x m 0. (1) Thay x 2 vào phương trình (1) ta được
3. 22 (m 1)2 m 0 4 2m 2 m 0 3m 6 m 2. Thay m 2 vào phương trình (1) ta được x2 x 2 0. Ta có các hệ số: a b c 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 1; x2 2 . Vậy với m 2 phương trình đã cho có một nghiệm bằng 2 , nghiệm còn lại là 1 . 2. Phương trình đường thẳng d : ax b (a,b ) . a 3 d  d3 d : y 3x b, (b 2). b 2 Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d1, d2 là nghiệm của hệ phương trình y 2x 1 x 2x 1 x 1 A(1;1) y x y x y 1 A(1;1) d : y 3x b 1 31 b b 4 (TM). Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là d : y 3x 4 . 2 Câu 3. Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành được công việc. Nếu làm 3 riêng thì thời gian hoàn thành công việc đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 5 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của mỗi đội là bao nhiêu? Lời giải Gọi thời gian đội thứ nhất làm riêng hoàn thành công việc là x (giờ, x 5 ). Thời gian đội thứ hai làm riêng hoàn thành công việc là y (giờ, y 0 ). 1 1 Mỗi giờ đội thứ nhất làm được công việc, đội thứ hai làm được công việc. x y 4 4 Trong 4 giờ đội thứ nhất làm được công việc, đội thứ hai làm được công x y việc. Theo đề ta có hệ phương trình 4 4 2 (1) x y 3 x y 5 (2) (2) x y 5 thế vào (1) ta được 4 4 2 6y 6(y 5) y(y 5) y 5 y 3 2  y 3 (ktm) y 7y 30 0   y 10 x 15 Vậy nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của đội thứ nhất là 15 giờ, đội thứ hai là 10 giờ.
4. Câu 4. Cho đường tròn tâm O , bán kính R và một đường thẳng d không cắt đường tròn (O) . Dựng đường thẳng OH vuông góc với đường thẳng d tại điểm H . Trên đường thẳng dlấy điểm K (khác điểm H ), qua K vẽ hai tiếp tuyến KA và KB với đường tròn (O) , (A và B là các tiếp điểm) sao cho A và H nằm về hai phía của đường thẳng OK . a) Chứng minh tứ giác KAOH nội tiếp được trong đường tròn. b) Đường thẳng AB cắt đường thẳng OH tại điểm I . Chứng minh rằng IA IB IH  IO và I là điểm cố định khi điểm K chạy trên đường thẳng d cố định. c) Khi OK 2R, OH R 3 . Tính diện tích tam giác KAI theo R . Lời giải a) Ta có K AO 90 (KA  AO) , K HO 90 (OH  KH ) Xét tứ giác KAOH có K AO K BO 180 nên là tứ giác nội tiếp. b) Ta có K BO K AO 180 nên KAOB là tứ giác nội tiếp và đỉnh H, B, A cùng nhìn cạnh OK dưới một góc vuông nên năm điểm K, A, B,O, H cùng thuộc đường tròn đường kính OK Xét tam giác IAH và tam giác IOB có H IA B IO (đối đỉnh) và AHI ABO (hai góc nội tiếp IA IO cùng chắn cung AO ). Do đó IAH ∽ IOB (g.g) IA IB IH  IO . IH IB Xét tứ giác AOBH có O HB là góc nội tiếp chắn cung OB, O BA là góc nội tiếp chắn cung OA; Mà OA OB R nên O HB O BA . Xét OIB và OBH có B OH góc chung và O HB O BA (cmt). OI OB OB2 R2 Do đó OIB ∽ OBH (g.g) OI . OB OH OH OH Ta lại có đường thẳng d cố định nên OH không đổi (OH  d ). Vậy điểm I cố định khi K chạy trên đường thẳng d cố định. c) Gọi M là giao điểm của OK và AB Theo tính chất tiếp tuyến ta có KA=KB; Lại có OA OB R nên OK là đường trung trực của AB, suy ra AB  OK tại M và MA MB . R2 R2 R Theo câu b) ta có OI . OH R 3 3 Xét OAK vuông tại A , có OA2 R2 R OA2 OM OK OM OK 2R 2 R 3R Suy ra KM OK OM 2R 2 2 R 3R 3R2 R 3 AM 2 OM  KM  AM 2 2 4 2 Xét OMI vuông tại M , có 2 2 2 2 R R R 3 MI OI OM 3 2 6 R 3 R 3 2R 3 Suy ra AI AM MI 2 6 3
5. 1 1 3R 2R 3 R2 3 Diện tích AKI là S AI  KM   . 2 2 2 3 2 x y x2 y2 Câu 5. Cho x, y là hai số thực thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . xy 1 x y Lời giải Với x y, xy 1 , ta có x2 y2 (x y)2 2xy 2 P x y x y x y x y 2 Vì x y x y 0; 0 và xy 1 . x y 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương x y; , ta có x y 2 2(x y) x y 2 2 2 2 2 x y x y Suy ra min P 2 2 . 2 Dấu đẳng thức xảy ra x y (x y)2 2 x y 2 x y 2 . x y  6 2  y 2 2 2 Mà xy 1 (y 2)y 1 y 2y 1 y 2y 1 0   6 2  y  2 2 6 2 6 x x 2 2 Vậy min P 2 2 tại hoặc 2 6 2 6 y y . 2 2