Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2019-2020 - Tỉnh Nam Định

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2019-2020 - Tỉnh Nam Định

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2019 – 2020 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút Phần 1: Trắc nghiệm (2,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước phương án đó vào bài làm Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = (1 – m)x + m + 1 đồng biến trên R A. m > 1B. m -1 2 Câu 2. Phương trình x 2x 1 0 có 2 nghiệm x1; x2 . Tính x1 x2 A.Bx.1 C .x D2 . 2 x1 x2 1 x1 x2 2 x1 x2 1 2 Câu 3. Cho điểm M(xM; yM) thuộc đồ thị hàm số y = -3x . Biết xM = - 2. Tính yM A. yM = 6B. y M = -6C. y M = -12D. y M = 12 x y 2 Câu 4. Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm ? 3x y 1 A. 0B. 1C. 2D. Vô số Câu 5. Với các số a, b thoả mãn a < 0, b < 0 thì biểu thức a ab bằng A.B .Ca. 2Db. a3b a 2b a3b Câu 6. Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài đường cao AH của ∆ABC 12 5 12 7 A.BA.H C . D. cm AH cm AH cm AH cm 7 2 5 2 Câu 7. Cho đường tròn (O; 2cm) và (O’; 3cm). biết OO’ = 6cm. Số tiếp tuyến chung của 2 đường tròn là A. 1B. 2C. 3D. 4 Câu 8. Một quả bóng hình cầu có đường kính 4cm. Thể tích quả bóng là 32 32 256 256 A. B. C . cDm. 3 cm3 cm3 cm3 3 3 3 3 Phần 2: Tự luận (8,0 điểm) Câu 1. (1,5 điểm) 1) Rút gọn biểu thức A 3 2 2 3 2 2 2 1 6 2) Chứng minh rằng . a 3 1 Với a 0, a 9 a 3 a 3 a 9 Câu 2. (1,5 điểm) Cho phương trình x2 – (m – 2)x - 6 = 0 (1) (với m là tham số) 1) Giải phương trình (1) với m = 0 2) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt 2 3) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình . Tìm các giá trị của m để x2 x1x2 (m 2)x1 16 x2 xy y 7 0 Câu 3. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 x xy 2y 4(x 1) Câu 4. (2,5 điểm) Qua điểm A năm ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (B, C là các tiếp điểm. Gọi E là trung điểm của đoạn AC, F là giao điểm thứ hai của EB với (O) 1) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp và ∆CEF  ∆BEC 2) Gọi K là giao điểm thứ hai của AF với đường tròn (O). Chứng minh BF.CK = BK.CF 3) Chứng minh AE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ABF Câu 5. (1,5 điểm) Xét các số x, y, z thay đổi thoả mãn x3 + y3 + z3 – 3xyz = 2. 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P (x y z)2 4(x2 y2 z2 xy yz zx) 2 Hết HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI VÀO 10 TỈNH NAM ĐỊNH 2019 -2020 I/ Trắc nghiệm
2. Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 Đáp án B A C B D C D A II/ Tự luận Câu 1: 1) A 3 2 2 3 2 2 2 2. 2.1 1 2 2. 2.1 1 ( 2 1)2 ( 2 1)2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2) Với a 0, a 9 Ta có: 2 1 6 2( a 3) ( a 3) 6 VT . a 3 . a 3 a 3 a 3 a 9 ( a 3) 2 a 6 a 3 6 a 3 1 VP a 3 a 3 2 1 6 Vậy . a 3 1 Với a 0, a 9 a 3 a 3 a 9 Câu 2: x 1 7 1/ Với m = 0 ta có phương trình: x2 2x 6 0  x 1 7 Vậy khi m =0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 7 và x 1 7 2/ Ta có (m 2)2 4.1.( 6) (m 2)2 24 0 với mọi m. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biẹt với mọi m. 3) Phương trình luôn có hai nghiệm phân biẹt với mọi m. x1 x2 m 2 Theo Vi-ét ta có: x1x2 6 2 Ta có : x2 x1x2 (m 2)x1 16 2 2 2 x2 x1x2 (x1 x2)x1 16 x2 x1x2 x1 x1x2 16 2 2 (x1 x2) 2x1x2 16 0 (m 2) 2.( 6) 16 0 2 m 2 2 m 4 (m 2) 4   m 2 2 m 0 2 Vậy khi m = 0, m = 4 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: x2 x1x2 (m 2)x1 16 Câu 3: x2 xy y 7 0 (1) 2 x xy 2y 4(x 1) (2) Ta có: (2) x2 xy 2y 4x 4 0 (x2 4x 4) xy 2 y 0 (x 2)2 y(x 2) 0 x 2 0 x 2 (x 2)(x 2 y) 0   x 2 y 0 x 2 y + Thay x = 2 vào phương trình (1) ta được: 4 – 2y + y – 7 = 0  y = -3 + Thay x = 2 – y vào phương trình (1) ta được :
3. (2 y)2 (2 y)y y 7 0 4 4y y2 2y y2 y 7 0 2y2 5y 3 0 Phương trình 2y2 5y 3 0 có ( 5)2 4.2.( 3) 49 0, 7 5 7 5 7 1 Ta có: y 3;y 1 4 2 4 2 y 3 x 2 3 1 1 1 5 y x 2 2 2 2 5 1  Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) ( 1; 3), (2; 3), ;  2 2  Bài 4: B K F O H A E x C 1) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp và ∆CEF  ∆BEC Có AB, AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) , B và C là ác tiếp điểm AB  OB, AC  OC A BO 900 , ACO 900 Tứ giác ABOC có A BO A CO 900 900 1800 nên tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn + Đường tròn (O) có: E BC là góc nội tiếp chắn cung CF E CF là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AC và dây cung CF E BC E CF (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung CF) Xét ∆CEF và ∆BEC có B EC là góc chung E BC E CF (chứng minh trên)  ∆CEF  ∆BEC (g . g) 2) Chứng minh BF.CK = BK.CF Xét ∆ABF và ∆AKB có B AK là góc chung A BF A KB (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BF) BF AF  ∆ABF  ∆AKB (g . g) (1) BK AB Chứng minh tương tự ta có: CF AF ∆ACF  ∆AKC (g . g)  (2) CK AC Mà AB = AC (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau của (O)) (3) BF CF Từ (1), (2) và (3)  BF.CK BK.CF BK CK 3) Chứng minh AE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ABF
4. Có ∆ECF  ∆EBC (Chứng minh câu a) EC EF EC2 EB.EF EB EC EA EF Mà EC = EA (gt) EA2 EB.EF EB EA Xét ∆BEA  ∆AEF có: EA EF EB EA A EB là góc chung  ∆BEA  ∆AEF (c.g.c) E AF E BA ( hai góc tương ứng) hay E AF A BF Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chưa điểm E, kẻ tia Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ABF E AF x AF (Cùng bằng A BF )  tia AE trùng với tia Ax  AE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ABF Câu 5: Ta có: x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y)³ - 3xy(x - y) + z³ - 3xyz = 2  [(x + y)³ + z³] - 3xy(x + y +z ) = 2  (x + y + z)³ - 3z(x + y)(x + y + z) - 3xy(x – y - z) = 2  (x + y + z)[(x + y + z)² - 3z(x + y) - 3xy] = 2  (x + y + z)(x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz - 3xz - 3yz - 3xy) = 2  (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - xz - yz) = 2  x² + y² + z² - xy - xz – yz ≠ 0 Chứng minh: x² + y² + z² - xy - xz – yz ≥ 0 với mọi x, y, z  x² + y² + z² - xy - xz – yz > 0  x + y + z t Đặt x + y + z = t (t > 0)  x² + y² + z² - xy - xz – yz khi đó ta có 2 2 2 1 2 2 2 2 t 8 t 8 P (x y z) 4(x y z xy yz zx) 2 2 2 2 t 2 t t2 t2 Áp dụng BĐT Cô si ta có: 2 2 .2 2t (dấu bằng xảy ra  t = 2) 2 2 8 8 2t 2 2t. 8 (dấu bằng xảy ra  t = 2) t t  P ≥ 8 – 2 = 6. Tồn tại x = y = 1, z = 0 thì P = 6 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6