›
›
›

Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán của các tỉnh - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

doc 104 trang thaodu 8930
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán của các tỉnh - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docde_thi_tuyen_sinh_vao_lop_10_mon_toan_cua_cac_tinh_nam_hoc_2.doc

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán của các tỉnh - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

  1. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Đề 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Thí sinh làm các câu sau: Bài 1. (3,0 điểm) 1. Rút gọn biểu thức: 2 75 3 48 4 27 2x y 8 2. Giải hệ phương trình: 3x 2y 5 3. Giải phương trình: 3x2 7x 2 0 Bài 2. (2,0 điểm) Cho hai hàm số y x 2 vày x2 có đồ thị lần lượt là (d) và (P) 1. Vẽ (d) và (P) trên cùng hệ trục tọa độ. 2. Bằng phép toán, tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) Bài 3. (1,0 điểm) Cho phương trình: x2 (m 1)x m 2 0 ( với m là tham số) 1. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 2. Tìm các số nguyên m để phương trình có nghiệm nguyên. Bài 4. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H BC). Biết BH=3,6cm và HC = 6,4cm. Tính độ dài BC, AH, AB, AC. Bài 5. (3,0 diểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC), M là trung điểm của cạnh AC. Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N. Đường thẳng BM cắt đường tròn đường kính MC tại D. 1. Chứng minh tứ giác BADC nội tiếp. 2. Chứng minh DB là phân giác của góc AND. 3. BA và CD kéo dài cắt nhau tại P. Chứng minh ba điểm P, M, N thẳng hàng. Hết
  2. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Đề 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021 Ngày thi : tháng năm 20 Môn thi : TOÁN (Không chuyên) Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi) Câu 1. (1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức T 16 5 . Câu 2. (1,0 điểm) Giải phương trình 2x 3 1 . Câu 3. (1,0 điểm) Tìm giá trị của m để đường thẳng d : y 3x m 2 đi qua điểm A 0;1 . Câu 4. (1,0 điểm) Vẽ đồ thị của hàm số y 2x2 . 3x 2y 4 Câu 5. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x 3y 5 Câu 6. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc cạnh BC). Biết 12 AB 3a , AH a . Tính theo a độ dài AC và BC. 5 Câu 7. (1,0 điểm) Tìm giá trị của m để phương trình 2x2 5x 2m 1 0 có hai nghiệm phân biệt 1 1 5 x1 và x2 thỏa . x1 x2 2 Câu 8. (1,0 điểm) Một đội máy xúc được thuê đào 20000m3 đất để mở rộng hồ Dầu Tiếng. Ban đầu đội dự định mỗi ngày đào một lượng đất nhất định để hoàn thành công việc, nhưng khi đào được 5000m3 thì đội được tăng cường thêm một số máy xúc nên mỗi ngày đào thêm được 100m3 , do đó đã hoàn thành công việc trong 35 ngày. Hỏi ban đầu đội dự định mỗi ngày đào bao nhiêu m3 đất? Câu 9. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB < AC và có đường cao AH (H thuộc cạnh BC). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn lần lượt ngoại tiếp tam giác DBH và tam giác ECH. Câu 10. (1,0 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính 2R (kí hiệu là (O; 2R)) và đường tròn tâm O’ bán kính R (kí hiệu là (O’; R)) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm A. Lấy điểm B trên đường tròn (O; 2R) sao cho B·AO 300 , tia BA cắt đường tròn (O’; R) tại điểm C (khác điểm A). Tiếp tuyến của đường tròn (O’; R) tại điểm C cắt đường thẳng BO tại điểm E. Tính theo R diện tích tam giác ABE. HẾT Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh : Số báo danh : Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2 :
  3. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 BÀI GIẢI Câu 1. (1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức.T 16 5 4 5 9 Câu 2. (1,0 điểm) Giải phương trình 2x 3 1 2x 4 x 2 Vậy S = 2 Câu 3. (1,0 điểm) Tìm giá trị của m d : y 3x m 2 đi qua điểm A 0;1 . 1 3.0 m 2 m 2 1 m 3 Vậy m 3 thì (d) đi qua điểm A 0;1 . Câu 4. (1,0 điểm) Vẽ đồ thị của hàm số y 2x2 . Bảng giá trị x 2 1 0 1 2 y 2x2 8 2 0 2 8 Câu 5. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 3x 2y 4 3x 2y 4 11y 11 y 1 y 1 x 3y 5 3x 9y 15 x 3y 5 x 3 5 x 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 2; 1 Câu 6. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc cạnh BC). Biết 12 AB 3a , AH a . Tính theo a độ dài AC và BC. 5 2 2 2 2 2 12 81 2 9 BH = AB AH 3a a a BH a 5 25 5 2 2 A B 2 3a AB = BH . BC B C = 5a 9 B H a 5 12 a .5a AH.BC AH.BC = AB.AC AC = 5 4a AB 3a Vậy AC = 4a , BC = 5a Câu 7. (1,0 điểm) Phương trình 2x2 5x 2m 1 0 5 2 4.2. 2m 1 25 16m 8 33 16m 33 Điều kiện 0 33 16m > 0 m . 16 5 2m 1 Khi đó theo Vi-ét ta có x x và x .x 1 2 2 1 2 2 1 1 5 x x 5 5 2 5 2 1 2  1 2m 1 2 x1 x2 2 x1x2 2 2 2m 1 2 2m 1 3 33 3 2m 3 m (nhận so m ). Vậy m là giá trị cần tìm. 2 16 2 Câu 8. (1,0 điểm) Một đội máy xúc được thuê đào 20000m3 đất để mở rộng hồ Dầu Tiếng. Ban đầu đội dự định mỗi ngày đào một lượng đất nhất định để hoàn thành công việc, nhưng khi đào được 5000m3 thì đội được tăng cường thêm một số máy xúc nên mỗi ngày đào thêm được 100m3 , do đó đã hoàn thành công việc trong 35 ngày. Hỏi ban đầu đội dự định mỗi ngày đào bao nhiêu m3 đất?
  4. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Giải: Gọi lượng đất đội dự định đào mỗi ngày lúc đầu là x m3 , x 0 . Lượng đất đội dự định đào mỗi ngày lúc sau là x 100 m3 . 5000 Thời gian đào 5000m3 đất đầu tiên là : (ngày) x Lượng đất còn lại cần đào là : 20000 5000 15000 m3 15000 Thời gian đào 15000m3 đất còn lại là : (ngày) x 100 5000 15000 Do tổng thời gian đào là 35 ngày nên ta có phương trình: 35 x x 100 35x x 100 5000 x 100 15000x 35x2 16500x 500000 0 7x2 3300x 100000 0 ' 16502 7 100000 3422500 0 , ' 1850 1650 1850 1650 1850 x 0 (loại); x 500 (nhận) 1 7 2 7 Vậy ban đầu đội dự định mỗi ngày đào 500m3 đất. Câu 9. (1,0 điểm) Gọi O và O’ thứ tự là tâm các đường tròn ngoại tiếp DBH và ECH Ta có DE là đường trung bình của ABC nên DE PBC (1) Theo tính chất trung tuyến ứng 1 1 cạnh huyền, ta có: DA = DB = DH = AB ; EA = EC = EH = AC 2 2 DB = DH cmt   OD là trung trực của BH OD  BC (2) OB = OH bk  (1) và (2) DE  OD DE là tiếp tuyến của (O) (*) EC = EH cmt   O’E là trung trực của HC O'E  BC (3) O'C = O'H bk  (1) và (3) DE  O'E DE là tiếp tuyến của (O ‘) ( ) Từ (*) và ( ) suy ra DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) Vậy DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp DBH và ECH µ 0 µ µ · 0 Câu 10. (1,0 điểm) Ta có B 30 nên A1 A2 O'CA 30 (do OA=OB,O'A=O'C ) A·OB A·O'C 1200 sñA»B 1200 và sñA»C 1200 AB 2R 3 và AC R 3 (độ dài dây căng cung 1200 ) BC = AB + AC = 3R 3 3 3R Ta có EC  O'C (tiếp tuyến vuông bán kính). Mà O·'CA 300 nên B·CE 600 BEC vuông tại E (vì có Bµ 300 và B·CE 600 ) 3 9 B E = B C .c o s Bµ 3 3 R .c o s 3 0 0 3 3 R  R 2 2 1 Kẻ AH  BE tại H AHB có AH = AB.sin Bµ 2R 3.sin30 0 2R 3  3R 2 1 1 9 9 3 S AH .BE =  3R  R = R 2 (đvdt) ABE 2 2 2 4 HẾT Đề 3
  5. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021
  6. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Đề 4 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán) Đề thi gồm 01 trang Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1. (2,0 điểm) 1) Cho phương trình: x2 2mx m2 2m 4 0 (1) (với m là tham số). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm không âm x1, x2 . Tính theo m giá trị biểu thức P x1 x2 và tìm giá trị nhỏ nhất của P. x2 2 2) Cho hàm số y . Tìm tất cả các giá trị x nguyên để y nguyên. x 2 Câu 2. (2,0 điểm) 1) Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a 2b 5c .0 Chứng minh phương trình ax2 bx c 0 có nghiệm. 3 2) Giải phương trình: (4x3 x 3)3 x3 : 2 Câu 3. (1,0 điểm) Hai cây nến cùng chiều dài và làm bằng các chất liệu khác nhau, cây nến thứ nhất cháy hết với tốc độ đều trong 3 giờ, cây nến thứ hai cháy hết với tốc độ đều trong 4 giờ. Hỏi phải cùng bắt đầu đốt lúc mấy giờ chiều để đến 4 giờ chiều, phần còn lại của cây nến thứ hai dài gấp đôi phần còn lại của cây nến thứ nhất? Câu 4. (1,0 điểm) Cho các số x, y dương thỏa mãn điều kiện (x 1 x2 )(y 1 y2 ) 2018 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y . Câu 5. (3,5 điểm) 1) Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 3, BC = 5, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ hai nửa đường tròn đường kính BH và HC. Hai nửa đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại E, F. a) Tính diện tích của nửa hình tròn đường kính BH. b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và đường thẳng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đường kính BH và CH. 2) Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Tìm kích thước hình chữ nhật MNPQ có hai đỉnh M, N thuộc nửa đường tròn, hai đỉnh P, Q thuộc đường kính AB sao cho diện tích MNPQ lớn nhất. 1 1 1 Câu 6. (0,5 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện 1 . a2 b2 c2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 P . 5a2 2ab 2b2 5b2 2bc 2c2 5c2 2ca 2a2 HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:
  7. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM DỰ KIẾN: Câu Phần Nội dung Điểm Phương trình: x2 2mx m2 2m 4 0 (1) Phương trình (1) có hai nghiệm không âm x1, x2 ' 0 m2 (m2 2m 4) 0 2m 4 0 x1 x2 0 2m 0 m 0 m 2 2 2 x1x2 0 m 2m 4 0 (m 1) 3 0 Xét P x1 x2 0 2 1) 2 2 1.0 P x1 x2 x1 x2 2 x1x2 2m 2 m 2m 4 P 2m 2 m2 2m 4 Câu 1 Với m 2 , ta có: 2 (2,0đ) P 2m 2 m(m 2) 4 2.2 2 0 4 8 P 2 2 Dấu “=” xảy ra m 2 Vậy min P 2 2 khi m 2 . x2 2 x2 4 6 (x 2)(x 2) 6 6 Xét y x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Với x Z , ta có: 6 2) y Z Z x 2 Ư(6) 1.0 x 2 hay x 2 1; 1;2; 2;3; 3;6; 6 x  1; 3;0; 4;1; 5;4; 8 Vậy x  1; 3;0; 4;1; 5;4; 8 là các giá trị cần tìm. Phương trình ax2 bx c 0 (1) Xét 2 trường hợp: * TH1: a 0 phương trình (1) trở thành bx c 0 (2) + Nếu b 0 thì từ điều kiện a 2b 5c 0 suy ra c 0 Phương trình (2) nghiệm đúng với mọi x Phương trình (1) có nghiệm. c + Nếu b 0 thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất x b Phương trình (1) có nghiệm. 1) * TH2: a 0 phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn x 1.0 Câu 2 a 5c (a 5c)2 Từ a 2b 5c 0 b b2 . Do đó: (2,0đ) 2 4 (a 5c)2 a2 10ac 25c2 16ac b2 4ac 4ac 4 4 a2 6ac 25c2 a2 6ac 9c2 16c2 (a 3c)2 4c2 0 4 4 4 Phương trình (1) có nghiệm * Kết luận: Phương trình (1) luôn có nghiệm với các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a 2b 5c 0 . 3 2) (4x3 x 3)3 x3 : 1.0 2
  8. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Nhờ thầy cô giải giúp nhé ! Giả sử chiều dài ban đầu của hai cây nến là h (cm). Gọi thời gian cần tìm là x (giờ) (x > 0). h hx Sau x (giờ) thì: + Cây nến thứ nhất cháy được x  (cm) 3 3 h hx + Cây nến thứ hai cháy được x  (cm) 4 4 hx x + Phần còn lại của cây nến thứ nhất là h h 1 (cm) Câu 3 3 3 1.0 (1,0đ) hx x + Phần còn lại của cây nến thứ hai là h h 1 (cm) 4 4 Theo đề bài ta có phương trình: x x x 2x 2 1 h 1 2.h 1 1 2 x 1 4 3 4 3 3 4 x 2,4 (thỏa mãn điều kiện) Vậy thời điểm cùng bắt đầu đốt hai cây nến là: 4 – 2,4 = 1,6 (giờ) hay 1 giờ 36 phút chiều. Cho các số x, y > 0 thỏa mãn điều kiện (x 1 x2 )(y 1 y2 ) 2018 Câu 4 (1,0đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y . A Nhờ thầy cô giải giúp nhé ! 1 E 2 0.25 1 O F Gọi I là trung điểm của BH, K là trung điểm của HC, O là giao điểm của AH và EF. ABC có: BC2 = 52 = 25 0.5 AB2 + AC2 = 42 + 3B2 = 25 IBC2 = ABH2 + ACK2 C 1a) ABC vuông tại A (theo định lí Py-ta-go đảo) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: AB2 42 BH AB2 = BC.BH BH 3,2 IB 1,6 BC 5 2 0.5 Diện tích nửa hình tròn đường kính BH là: 1 1 S .IB2 .(1,6)2 1,28 (đơn vị diện tích) 2 2 Câu 5 · 0 · 0 (3,5đ) Ta có: BEH 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) HEAB AEH 90 Tương tự, ta có: A· FH 900 Tứ giác AEHF có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật µ µ AEHF là tứ giác nội tiếp E1 A1 µ µ 0 µ µ 0 Mà A1 C 90 E1 C 90 · µ · µ µ 0 0 0 Tứ giác BEFC có: BEF C BEH E1 C 90 90 180 1b) 0.5 BEFC là tứ giác nội tiếp. Cách 2: ABH vuông tại H, đường cao HE AH2 = AB.AE (hệ thức lượng trong tam giác vuông) Chứng minh tương tự, ta được AH2 = AC.AF AF AE AB.AE AC.AF AB AC
  9. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 AF AE AFE và ABC có: B·AC chung và AB AC µ µ AFE # ABC (c.g.c) E2 C BEFC là tứ giác nội tiếp. Tứ giác AEHF là hình chữ nhật OE = OH IEO và IHO có: IO chung, IE = IH, OE = OH · · 0 IEO = IHO (c.c.c) IEO IHO 90 EF  IE 0.5 EF là tiếp tuyến tại E của (I) M N Chứng minh tương tự, ta được EF là tiếp tuyến tại F của (K) Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đường kính BH và CH. 0.25 Gọi O là trung điểm của AB. OQM và OPN có: O·QM O·PN 900 (MNPQ là hình chữ nhật) OM = ON = R ; MQ = NP (MNPQ Alà hình chữQ nhật)O P B OQM = OPN (cạnh huyền - cạnh góc vuông) 0.5 1 OQ = OP = QP (có thể vẽ OH  MN HM = HN OQ = OP) 2) 2 SMNPQ = QM.QP = 2 QM.QO 2 2 2 2 2 Ta có: 2QM.QO QM QO OM R SMNPQ R R 2 R 2 Dấu “=” xảy ra QO QM QP R 2;QM 2 2 0.5 2 R 2 Vậy max SMNPQ = R khi QP R 2;QM 2 Với a,b,c 0 , chứng minh được: 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c 9 a b c a b c 9 a b c 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x y z 3(x y z ) 3 2 2 2 a b c a b c Với a,b 0 , ta có : 5a2 2ab 2b2 (4a2 4ab b2 ) (a2 2ab b2 ) (2a b)2 (a b)2 (2a b)2 Câu 6 5a2 2ab 2b2 (2a b)2 2a b 0.5 (0,5đ) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 5a2 2ab 2b2 2a b 9 a a b 9 a b Tương tự: 1 1 2 1 1 1 2 1 ; 5b2 2bc 2c2 9 b c 5c2 2ca 2a2 9 c a 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 P 9 a b b c c a 3 a b c 1 1 1 1 1 3 P  3 2 2 2  3 3 a b c 3 3
  10. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 a b c Dấu “=” xảy ra 1 1 1 a b c 3 1 a2 b2 c2 3 Vậy max P khi a b c 3 . 3
  11. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Đề 5 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2020 – 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Đề thi gồm 01 trang (Dành cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức: x 4 1 1 P 1 : với x 0; x ; x 1; x 4 . x 3 x 2 2x 3 x 1 4 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm x sao cho P 2019 . 10 c) Với x 5 , tìm giá trị nhỏ nhất của T P . x Câu 2: (0,75 điểm) 1 1 Cho hai đường thẳng (d 1): y mx m và (d2): y x (với m là tham số, m 0). Gọi I( m m 2 2 x0 ; y0 ) là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) với (d2). Tính T x0 y0 . Câu 3: (1,25 điểm) 2 Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình: x (2 m)x 1 m 0 (m là tham số). a) Tìm m để x1 x2 2 2 . 1 1 b) Tìm m sao cho T 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất. (x1 1) (x2 1) Câu 4: (1,5 điểm) a) Giải phương trình: 4x 8072 9x 18162 5 . x3 y3 3x2 6x 3y 4 0 b) Giải hệ phương trình: 2 2 x y 3x 1 Câu 5: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính a và điểm J có JO = 2a. Các đường thẳng JM, JN theo thứ tự là các tiếp tuyến tại M, tại N của đường tròn (O). Gọi K là trực tâm của tam giác JMN, H là giao điểm của MN với JO. a) Chứng minh rằng: H là trung điểm của OK. b) Chứng minh rằng: K thuộc đường tròn tâm O bán kính a. c) JO là tiếp tuyến của đường tròn tâm M bán kính r. Tính r. d) Tìm tập hợp điểm I sao cho từ điểm I kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn (O) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Câu 6: (0,5 điểm) Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn: 12x 10y 15z 60 . Tìm giá trị lớn nhất của T x2 y2 z2 4x 4y z . HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:
  12. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM DỰ KIẾN: Câu Phần Nội dung Điểm x 4 1 P 1 : x 3 x 2 2x 3 x 1 x 2 x 2 1  x 1 2 x 1 x 1 x 2 a) x 2 1.0 1  x 1 2 x 1 x 2 x 1  2 x 1 x 1 2 x 1  2 x 1 4x 1 1 Vậy P 4x 1 với x 0; x ; x 1; x 4 . 4 Câu 1 1 (2,5đ) Với x 0; x ; x 1; x 4 , ta có: b) 4 0.5 P 2019 4x 1 2019 x 505 (thỏa mãn ĐK) Vậy với x 505 thì P 2019 . 10 10 2x 10 18x Xét T P 4x 1 1 x x 5 x 5 2x 10 2x 10 Áp dụng BĐT Côsi, ta có: 2  4 5 x 5 x c) 2x 10 1.0 Dấu “=” xảy ra x 5 (do x 0) 5 x 18x Lại có: 18 (vì x 5 ) T 4 18 1 21 5 Vậy minT 21 tại x 5 . Theo đề bài, (x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ: y0 mx0 m 1 1 2 2 mx0 m x0 m x0 m x0 1 1 1 m m y0 x0 y0 mx0 m m m y0 mx0 m 2 1 m 1 m2 2 2 x0 2 x Câu 2 0 2 (m 1)x0 1 m 1 m 1 m 0.75 (0,75đ) 2 y0 m(x0 1) 1 m 2m y0 m 2 1 y0 2 1 m 1 m Do đó: 2 2 2 2 2 4 2 1 m2 2 2 1 m 2m 1 2m m 4m T x0 y0 2 2 2 2 1 1 m 1 m 1 m2 1 m2 Phương trình: x2 (2 m)x 1 m 0 (m là tham số). Xét (2 m)2 4( 1 m) 4 4m m2 4 4m m2 8 0 m Câu 3 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 0.25 (1,25đ) x1 x2 m 2 Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1x2 1 m
  13. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 2 2 x1 x2 2 2 x1 x2 8 x1 x2 4x1x2 8 a) m 2 2 4( 1 m) 8 m2 8 8 m 0 0.5 Vậy m 0 là giá trị cần tìm. 2 2 2 2 1 1 (x1 1) (x2 1) x1 2x1 1 x2 2x2 1 T 2 2 2 2 2 (x1 1) (x2 1) (x1 1) (x2 1) (x1x2 x1 x2 1) 2 2 (x1 x2 ) 2x1x2 2(x1 x2 ) 2 (m 2) 2( 1 m) 2(m 2) 2 2 2 b) (x1x2 x1 x2 1) ( 1 m m 2 1) 0.5 m2 4m 4 2 2m 2m 4 2 m2 4 4 1 ( 2)2 4 4 Vậy minT 1 tại m 0 . 4x 8072 9x 18162 5 (ĐK: m 2018 ) 2 x 2018 3 x 2018 5 5 x 2018 5 a) 0.75 x 2018 1 x 2018 1 x 2017 (thỏa mãn ĐK) Vậy nghiệm của phương trình là x 2017 Dựa theo lời giải của bạn Giang Tien Hai x3 y3 3x2 6x 3y 4 0 (1) 2 2 x y 3x 1 (2) (1) (x3 3x2 3x 1) y3 3x 3y 3 0 (x 1)3 y3 3(x y 1) 0 2 2 (x 1 y) (x 1) y(x 1) y 3(x y 1) 0 2 2 (x 1 y) (x 1) y(x 1) y 3 0 Câu 4 2 1 3 2 (1,5đ) (x 1 y) x 1 y y 3 0 2 4 2 1 3 b) x 1 y 0 do x 1 y y2 3 0 y x 1 0.75 2 4 Thay y x 1 vào (2) được: x2 (x 1)2 3x 1 x2 x2 2x 1 3x 1 x 0 2 2x x 0 x(2x 1) 0 1 x 2 x 0 y 0 1 1 1 1 3 M x y 1 2 2 2 1 3  Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) 0;1 , ;  2 2  0.25 Câu 5 J O Ta có: OM  JM (JM là tiếp tuyến của (O))K H (3,5đ) a) 0.75 NK  JM (K là trực tâm của JMN) OM // NK N
  14. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Chứng minh tương tự được ON // MK OMKN là hình bình hành Hình bình hành OMKN có hai đường chéo OK và MN cắt nhau tại H H là trung điểm của OK. Hình bình hành OMKN có OM = ON = a nên là hình thoi OM = MK OMK cân tại M b) OM a 1 0 0.75 OMJ vuông tại M, có: cosM· OJ M· OJ 60 OJ 2a 2 OMK là tam giác đều OK = OM = a K (O; a). OMKN là hình thoi MH  OK tại H JO là tiếp tuyến của (M; MH) r = MH c) OMH vuông tại H 0.75 a 3 a 3 MH OM.sin M· OH a.sin 600 hay r 2 2 Giả sử IA, IB là các tiếp tuyến của (O) với A, B là các tiếp điểm B * Phần thuận: I Tứ giác IAOB có A· IB I·AO I·BO 900 nên là hình chữ nhật Lại có OA = OB = a IAOB là hình vuông OI OA. 2 a 2 I O;a 2 A a O d) * Phần đảo: Lấy điểm I O;a 2 thì IO a 2 1.0 2 OAI vuông tại A IA OI2 OA2 a 2 a 2 a 2 a Tương tự tính được IB = a IA = IB = OA = OB = a Tứ giác IAOB là hình thoi A· IB 900 * Kết luận: Tập hợp điểm I cần tìm là đường tròn O;a 2 . Dựa theo lời giải của bạn Giang Tien Hai Xét 5T (12x 10y 15z) 5x2 5y2 5z2 20x 20y 5z (12x 10y 15z) 5x2 5y2 5z2 32x 30y 20z 5x(x 6,4) 5y(y 6) 5z(z 4) Vì x, y, z 0 nên từ điều kiện 12x 10y 15z 60 , suy ra 12x 60 x 5 x 5 0 x(x 6,4) 0 10y 60 y 6 y 6 0 y(y 6) 0 Câu 6 15z 60 z 4 z 4 0 z(z 4) 0 0.5 (0,5đ) 5x(x 6,4) 5y(y 6) 5z(z 4) 0 5T (12x 10y 15z) 0 5T 12x 10y 15z 60 T 12 Dấu “=” xảy ra x(x 6,4) y(y 6) z(z 4) 0 x y 0; z 4 12x 10y 15z 60 x z 0; y 6 x y 0; z 4 Vậy maxT 12 khi x z 0; y 6
  15. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Đề 6 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN THI : TOÁN Đề thi gồm 01 trang (Dành cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức : x 4 1 1 P 1 : (với x 0, x ; x 1; x 4 ) x 3 x 2 2x 3 x 1 4 a) Rút gọn biểu thức P . b) Tìm x sao cho P 2019 . 10 c) Với x 5 , tìm giá trị nhỏ nhất của T P . x Câu 2: (0,75 điểm) 1 1 Cho hai đường thẳng (d ) : y mx m và (d ) : y x (với m là tham số,m 0 ). Gọi 1 2 m m 2 2 I(x0; y0 ) là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1 ) với (d2 ). Tính T x0 y0 . Câu 3: (1,25 điểm) 2 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình:x (2 m)x 1 m 0 ( m là tham số). a)Tìm m để x1 x2 2 2 . 1 1 b)Tìm m sao cho T 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất. (x1 1) (x2 1) Câu 4:(1,5 điểm) a) Giải phương trình:4x 8072 9x 18162 5 . x3 y3 3x2 6x 3y 4 0 b) Giải hệ phương trình : 2 2 x y 3x 1 Câu 5: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính a và điểm J có JO 2a .Các đường thẳng JM , JN theo thứ tự là các tiếp tuyến tạiM , tạiN của đường tròn (O ). Gọi K là trực tâm của tam giác JMN ,H là giao điểm của MN với JO . a) Chứng minh rằng :H là trung điểm của OK . b) Chứng minh rằng : K thuộc đường tròn tâm O bán kính a . c)JO là tiếp tuyến của đường tròn tâm M bán kính r . Tính r . d) Tìm tập hợp điểm I sao cho từ điểm I kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn (O ) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Câu 6: (0,5 điểm) Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn :12x 10y 15z 60 . Tìm giá trị lớn nhất của T x2 y2 z2 4x 4y z . HẾT Họ và tên thí sinh Số báo danh . (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
  16. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2018-2019 ĐÁP ÁN GỒM 02 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN CHUNG TRANG ĐÁP ÁN GỒM 04 TRANG (Dành cho tất cả các thí sinh) Câu Nội dung Điểm 1. 2.5 Cho biểu thức : x 4 1 1 P 1 : (với x 0, x ; x 1; x 4 ) x 3 x 2 2x 3 x 1 4 a) Rút gọn biểu thức P . b) Tìm x sao cho P 2019 . 10 c) Với x 5 , tìm giá trị nhỏ nhất của T P . x Ý a 1.0 ( x 2)( x 2) 0.5 P 1 .(2 x 1)( x 1) ( x 1)( x 2) 2 x 1 0.25 P (2 x 1)( x 1) x 1 P 4x 1 0.25 Ý b 0.5 P 2019 4x 1 2019 0.25 x 505 0.25 Ý c 1.0 10 10 10 2x 18x 0.25 T P 4x 1 ( ) 1 x x x 5 5 10 2x 18x 10 2x 18 0.5 T ( ) 1 2 . .5 1=21 ( Do x 5 và côsi) x 5 5 x 5 5 Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 21 khi x 5 0.25 2 1 1 0.75 Cho hai đường thẳng (d ) : y mx m và (d ) : y x 1 2 m m (với m là tham số, m 0 ) .Gọi I(x0; y0 ) là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d1 2 2 với d2 .Tính T x0 y0 . Hoành độ điểm I là nghiệm của phương trình . 1 1 1 m2 x mx m x 0.25 m m 1 m2 1 m2 2m 1 m2 2m 0.25 do x y I( ; ) 1 m2 1 m2 1 m2 1 m2 1 m2 2m 0.25 T ( )2 ( )2 1 1 m2 1 m2
  17. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Chú ý Ý trên học sinh có thể dùng quỹ tích I là đường tròn R=1 3 2 1.25 Gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình: x (2 m)x 1 m 0 (1) ( m là tham số). a)Tìm m để x1 x2 2 2 1 1 b)Tìm m sao cho T 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất. (x1 1) (x2 1) Ý a 0.75 m2 8 0 m nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 0.25 x1 x2 m 2 Theo viét x1x2 1 m 2 2 0.25 x1 x2 2 2 (x1 x2 ) 8 (x1 x2 ) 4x1.x2 8 (m 2)2 4( 1 m) 8 m2 0 m 0 0.25 Ý b 0.5 2 2 2 0.25 (x2 1) (x1 1) 2 (x1 x2 ) 2x1.x2 2(x1 x2 ) T 2 2 2 (x1 1) .(x2 1) (x1.x2 x1 x2 1) ( Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác -1 với mọi m) m2 4 T 1 4 T nhỏ nhất là 1 khi m=0 0.25 4 a) Giải phương trình : 4x 8072 9x 18162 5 . 1.5 x3 y3 3x2 6x 3y 4 0 b) Giải hệ phương trình : 2 2 x y 3x 1 Ý a 0.75 Đk x 2018 ta có 4(x 2018) 9(x 2018) 5 0.25 2 x 2018 3 x 2018 5 x 2018 1 0.25 x 2017 0.25 Ý b 0.75 x3 y3 3x2 6x 3y 4 0 [(x 1)3 y3 ] 3(x 1) 3y 0 (x 1 y)[(x 1)2 (x 1)y y2 3] 0 y x 1 0.25 x 0 0.25 2 2 2 Với y x 1 thế vào x y 3x 1 ta có 2x x 0 1 x 2 1 3 0.25 Vậy hệ có hai nghiệm là (0;1),( ; ) 2 2 5 Cho đường tròn tâm O bán kính a và điểm J có JO 2a . Các đường 3.5 thẳng JM , JN theo thứ tự là các tiếp tuyến tại M , tại N của đường tròn (O ).Gọi K là trực tâm của tam giác JMN , H là giao điểm của MN với JO . a) Chứng minh rằng : H là trung điểm của OK.
  18. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 b) Chứng minh rằng : K thuộc đường tròn tâm O bán kính a . c) JO là tiếp tuyến của đường tròn tâm M bán kính r .Tính r . d) Tìm tập hợp điểm I sao cho từ điểm I kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn (O ) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Ý a Do MK và ON vuông góc JN (1) 0.25 NK và OM vuông góc JM (2) 0.25 MK / /ON Nên từ (1) và (2) có Tứ giác OMKN là hình bình hành(3), suy ra H là 0.25 NK / /OM trung điểm OK. 0.25 Ý b Do OM = ON (4) . Từ (3)&(4) có tứ giác OMKN là hình thoi (5) 0.25 Mặt khác OJ = 2OM = 2a suy ra MOJ 600 (6) 0.25 0 Từ(5)và(6) MOK 60 VOMK đều 0.25 OK OM R a K thuộc đường tròn tâm O. 0.25 Ý c Do (M;r) nhận OJ là tuyến tuyến mà MH  JO H r MH 0.25 1 1 1 4 a 3 Ta có2 2 2 2 r MH OM JM 3a 2 0.5 ( hoặc dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông) Ý d Gọi IE,IF là hai tiếp tuyến với (O) tại E,F và IE  IF Suy ra tứ giác IEOF là hình vuông 0.25 Tính OI a 2 (Không đổi)(1) 0.25 Do O cố định (2) 0.25 Từ (1) và (2) tập hợp I nằm trên đường tròn tâm O bán kính a 2 6 Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn :12x 10y 15z 60 .Tìm giá trị lớn 0.5 nhất của T x2 y2 z2 4x 4y z . Do x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn :12x 10y 15z 60 . 0.25 x, y, z 0 x 5 Ta có (*) y 6 z 4 Từ điều kiện trên ta có T x2 y2 z2 4x 4y z 0.25 x(x 5) y(y 6) z(z 4) x 2y 3z 12x 60 x 2y 3z 2y 3z 12 5 5 x 0 x 0 Vậy GTLN của T bằng 12 đạt được khi y 6 or y 0 z 0 z 4 HƯỚNG DẪN CHẤM CHUNG *Trên đây chỉ là các bước giải và khung điểm bắt buộc cho từng bước ,yêu cầu học sinh phải lập luận ,biến đổi và trình bày hợp lý mới cho điểm. *Phải có hình vẽ ,không có hình vẽ thì không chấm điểm. *Các bài làm theo các cách khác với đáp án mà đúng vẫn cho điểm tối đa theo biểu điểm.
  19. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 *Điểm toàn bài là tổng điểm của từng phần và không làm tròn. Đề 7 Đề 8
  20. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021
  21. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Đề 9 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018 – 2019 Đề chính thức Môn thi: TOÁN ( Chung) Ngày thi: 02/06/2018 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) a 3 3 a 6 a Câu 1(1đ) Cho biểu thức T . với a 0,a 4, a 9 a 9 a 4 a 2 a) Rút gọn T b) Xác định các giá trị của a để T > 0 Câu 2 ( 2 đ) 1) Cho phương trình x2– 2( m – 1)x + m2– 3m +2 = 0 , ( m là tham số). Tìm m 2 2 để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa x1 + x2 – x1.x2 = 5 2018 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A 2 2x x2 7 Câu 3( 2 đ) Một người dự định đi từ A đến B cách nhau 120km bằng xe máy với vận tốc không đổi để đến B vào thời điểm định trước . Sau khi đi được 1 giờ người đó nghỉ 10 phút, do đó để đến B đúng thời điểm đã định , người đó phải tăng vận tốc thêm 6km/giờ so với vận tốc ban đầu trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của người đó. Câu 4 ( 4đ) Cho tam giác ABC ( AB 0 0 a 2 0 ( vì 1 > 0) a 2 a > 4 Kết hợp điều kiện vậy T > 0 a > 4 , a 9 Câu 2(2đ): 1) x2–2( m – 1)x + m2– 3m +2 = 0 (1) 2 ' m 1 (m2 3m 2) m2 2m 1 m2 3m 2 m 1 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt m – 1 > 0 m > 1 2 Áp dụng hệ thức Viets : x1 + x2 = 2(m– 1) và x1.x2 = m – 3m +2 2 2 2 Mà x1 + x2 – x1.x2 = 5 ( x1 + x2) – 3 x1.x2 = 5 [2(m-1)]2 – 3 ( m2 – 3 m + 2) = 5 4m2 – 8m + 4 – 3 m2 +9m – 6 = 5 m2 + m – 7 = 0
  22. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 1 29 1 29 m1 ( tmđk) , m1 ( loại) 2 2 2018 2018 2018 2018 1009 2) A 2 2 2 2 8 1 2 2 2x x 7 2 (x 1) 8 2 8 (x 1) 1009 Vây A đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi đó x = 1 1 2 Câu 3: Gọi x ( km/h) là vận tốc ban đầu( x > 0) Quãng đường cò lại người đó đi khi tăng vận tốc 120 –x ( km) 120 x Thời gian người đó đi quãng đường còn lại (h) x 6 120 Thời gian người đó đi quãng đường AB theo dự định (h) x 120 1 120 x Ta có phương trình : 1 x 6 x 6 720(x 6) 7x(x 6) 6x(120 x) x2 42x 4320 0 x1= 48 ( tmđk) ; x2 = -90 ( loại) Vậy vận tốc ban đầu 48 (km/h) Câu: 4(2đ) a) Chứng minh Tam giác MDB đồng dạng tam giác MCD ( g –g) MD MB MD2 MC.MB A MC MD b)Tứ giác OHDM nội tiếp vì O·HM 900 ,O·DM 900 ( H trung điểm BC, MD tiếp tuyến (O)) · · E Nên : OMH ODH ( cùng chắn cung OH) O Mà P·BH O·MH ( Vì BP // MO) F H · · B M Do đó : PDH PBH Hai đỉnh B,D kề nhau cùngC nhìn xuống đoạn HP nên tứ giác BHPD nội tiếp được trong đường tròn , hay 4 điểm B,H,P,DP cùng thuộc một đường tròn c) Gọi Q là giao điểm của hai đưởng thẳng AF và BP D Ta có C·HP P·DB (C·HP là góc ngoài tứ giácQ HPDB nội tiếp) Mà P·DB ·ACB ( góc nội tiếp (O) cùng chắn cung AB) Nên C·HP H· CA Do đó HP // AQ Mà H trung điểm BC cho nên HP là đường trung bình tam giác BCQ OE OA Suy ra PB = PQ Trong tam giác ABP có OE//BP nên ( định lý Talets) BP AP OF OA Trong tam giác ASPQ có OF//PQ Nên ( định lý Talets) QP AP OE OF Nên Mà PB = PQ ( cmt) Suy ra OE = OF BP PQ Câu 5(1đ) Ta có a2 b2 2ab ; b2 c2 2bc ; a2 c2 2ac ( BĐT Cosi) a2 1 2a ; b2 1 2b ;c2 1 2c ( BĐT Cosi) Cộng vế theo vế các BĐT ta có 3(a2 + b2 + c2 ) + 3 2( ab + ac + bc + a + b + c) = 2.6 =12 3(a2 + b2 + c2 ) 9 a2 + b2 + c2 3 ( đpcm)
  23. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 20 - 20 Đề chính thức Môn: TOÁN (Chuyên toán) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (2,0 điểm) 2 a b ab a b a3 b3 1. Cho biểu thức T = : , với a b, a > 0, b > 0 a b a b a b a) Rút gọn biểu thức T b) Chứng tỏ T > 1 2. Cho n là số tự nhiên chẵn, chứng minh rằng 20n 3n 16n 1 chia hết cho 323. Bài 2: (2,0 điểm) 1) Giải bất phương trình: 3x 2 7x 8 4 4 x y 3 2) Giải hệ phương trình: x y 6 x y 5 x y Bài 3: (1,0 điểm) Cho phương trình m 1 x2 2 2m 3 x 5m 25 0 (m là tham số). Tìm các giá trị m là số nguyên sao cho phương trình có nghiệm là số hữu tỉ. Bài 4: (4,0 điểm) 1. Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn và AB BC; BC CA . Xác định vị trí điểm M thuộc miền tam giác ABC (gồm các cạnh và miền trong tam giác) sao cho tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh nhỏ nhất. 2. Cho tam giác ABC (AB < AC) có các góc đều nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC và AD lần lượt tại K và I. Qua F kẻ đường thẳng song song với AC cắt AK, AD lần lượt tại M và N. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh: a) DA là phân giác của F·DE b) F là trung điểm MN c) OD.OK OE 2 và BD.DC OD.DK 1 Bài 5: (1,0 điểm) Cho hai số dương a, b thỏa a 1 . Chứng minh rằng: b 2 2 1 1 25 a b a b 2 LỜI GIẢI THAM KHẢO Bài 1: 2 a b ab a b a3 b3 a) T = : a b a b a b a b ab a b a b a b a b ab : a b a b a b a b
  24. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 2 a b ab a b a b ab : a b a b a b ab ab a b ab a b : 1 a b a b ab b a a b a b a b b) T = 1 2 . 1 2 1 1 (BĐT Cô si cho hai số dương ; ) b a b a b a Dấu “=” xảy ra khi a = b nhưng a b nên dấu “=” không xảy ra được. Vậy T > 1 2. Cho n là số tự nhiên chẵn, chứng minh rằng 20n 3n 16n 1 chia hết cho 323. Khi n = 0 ta có 20n 3n 16n 1 0 M323 Khi n > 0: Ta có 20n 3n 16n 1 20n 1 16n 3n 20n 3n 16n 1 Ta có: 20n 1M 20 1 19 và 16n 3n M 16 3 19 (do n chẵn) 20n 3n 16n 1M19 (1) Ta có: 20n 3n M 20 3 17 và 16n 3n M 16 1 17 (do n chẵn) 20n 3n 16n 1M17 (2) Ta có: (17 ; 19) = 1 (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: 20n 3n 16n 1 chia hết cho 323. 3x 2 0 3x 2 0 Bài 2: (2,0 điểm) 1) 3x 2 7x 8 1 hoặc 2 2 7x 8 0 3x 2 7x 8 8 2 Giải (1) được: x ; 7 3 2 2 x 3x 2 0 x 3 2 4 Giải (2): 2 3 x 3x 2 7x 8 2 4 3 9 9x 5x 4 0 1 x 9 8 4 Kết hợp cả (1) và (2) ta được nghiệm của bất phương trình là: x 7 9 4 4 x y 3 x y x y xy 4 x y 3xy (1) 2) 6 2 x y 5 x y 5 x y 6 0 (2) x y Giải phương trình (2) ta được: x + y = - 3 hoặc x + y = - 2 x y 2 x y 3 Ta có: x = - 1, y = - 2 hoặc x = - 2, y = - 1. Ta có: 8 (vô nghiệm) xy 2 xy 5 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là: (x ; y) = (–1 ; –2), (–2 ; –1) Bài 3: (1,0 điểm) m = 1 thì PT (1) 2x + 20 = 0 x = - 10 (thỏa mãn) Xét m 1: thì PT (1) là phương trình bậc hai có nghiệm hữu tỉ ' là số chính phương ' 2m 3 2 m 1 5m 25 3m 7 2 15
  25. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Đặt ' 3m 7 2 15 k 2 k N * 3m 7 k 3m 7 k 15 Mà: 3m – 7 + k > 3m – 7 – k (vì k N * ). Lập bảng (m Z) 3m – 7 + k 15 5 –1 –3 3m – 7 – k 1 3 –15 –5 k 7 1 7 1 11 1 m 5 1 3 3 Nhận Loại Loại Loại Vậy với m = 5 và m = 1 thì phương trình đã cho có nghiệm hữu tỉ Bài 4: A 1. Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ M đến các cạnh AB, BC và AC 1 1 Ta có: S = S + S + S S = x.AB + y.BC + z.CA x + y + z AB ABC MAB MBC MCA ABC 2 2 x 2.SABC (vì AB BC CA) Suy ra: x + y + z z AB M Nếu AB > BC thì dấu “=” xảy ra khi M  C y Nếu AB = BC > AC thì dấu “=” xảy ra khi M thuộc cạnh AC B C Nếu AB = BC = CA thì dấu “=” xảy ra khi M thuộc mọi vị trí bên trong ABC · ¶ ¶ 2. a) Chứng minh DA là phân giác của FDE Tứ giác AFDC nội tiếp nên D1 = A1 ¶ ¶ Tứ giác AEDB nội tiếp nên D2 = A1 · · ¶ ¶ · · · Mà: FDA và EDA lần lượt phụ với các góc D1 và D2 nên FDA = EDA DA là phân giác của FDE b) Chứng minh F là trung điểm MN Cách 1: Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AK, AD tại P, Q PQ // MN // AC µ µ µ µ Ta có: F1 = F2 (đối đỉnh) Tứ giác BFEC nội tiếp nên F2 = C1 · µ · µ · A mà BHD = C1 (vì cùng phụ với HBD ); F3 = BHD (vì tứ giác BFHD nội tiếp) µ µ · 1 Do đó: F1 = F3 FB là phân giác KFD mà FB  FC nên FC là phân giác ngoài KFD M E KB KC KF KB DB = = = P 2 I DB DC DF KC DC F BP KB H Ta có: BP // AC = (Theo định lí Talet) 1 3 AC KC N BQ DB 1 2 1 BQ // AC = (Theo định lí Talet) C AC DC K B D O BP BQ KB DB Do đó: = = BP = BQ AC AC KC DC MF AF NF MF // PQ, NF // BQ nên = = MF = NF BP = BQ F là trung điểmQ của MN BP AB BQ KF DF IF Cách 2: Ta có: DK  DA nên DK là phân giác ngoài FDE nên = = (1) KE DE IE FM KF FN IF Ta có: MN // AC nên = ; = (2) AE KE AE IE A FM FN Từ (1) và (2) suy ra: = FM = FN AE AE 1 M c) Chứng minh OD.OK = OE2 và BD.DC = OD.DK E Chứng minh tương tự câu a ta có P 2 I F H 1 3 N 1 2 1 C K B D O Q
  26. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 FC là phân giác của D· FE D· FE = 2C· FE (3) Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC nên E·OC = 2C· FE (4) Từ (3) và (4) suy ra: D· FE = E·OC Tứ giác DFEO nội tiếp Ta có: O»E = O»F (vì OE = OF) E·DO = O· EF = O·EK Do đó: ODE ∽ OEK (g.g) OD.OK = OE2 BEC vuông tại E có EO là trung tuyến nên OE = OB = OC OE2 = OB2 Ta có: BD.DC = OB OD OC + OD OB2 OD2 OD.OK OD2 OD OK OD OD.DK Bài 5: 1 x y 2 Ta có: a 1 ab 1 b . Ta chứng minh được BĐT x 2 y 2 . Do đó, ta có: b 2 2 2 2 2 1 1 1 ab 1 b 2 2 a b 1 b 1 1 1 1 a b a a a a b (1) a b 2 2 2 2 2 2 1 a a a Ta chứng minh được BĐT x y 4xy . Do đó, ta có: a 4 1 4 4 (2) b b b b 2 2 1 1 25 1 Từ (1) và (2) ta có: a b . Dấu “=” xảy ra khi a = và b = 2. a b 2 2 Đề 10
  27. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021
  28. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021
  29. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Đề 11 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 20 – 20 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (1,0 điểm). a) Rút gọn biểu thức A 2 2 2 3 1 . b) Tìm m để đường thẳng y x m2 2 và đường thẳng y (m 2)x 11 cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Câu 2 (2,0 điểm). x 2y m 3 Cho hệ phương trình: (I) (m là tham số). 2x 3y m a) Giải hệ phương trình (I) khi m 1 . b) Tìm m để hệ (I) có nghiệm (x; y) sao cho P 98(x2 y2 ) 4m đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 3 (2,0 điểm). a) Giải phương trình x 3 2 x 6 x x2 1 . b) Tìm m để phương trình x4 5x2 6 m 0 (m là tham số) có đúng hai nghiệm. Câu 4 (1,0 điểm). Quãng đường AB dài 120 km. Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc xác định. Khi từ B trở về A, ô tô chạy với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi từ A đến B là 10 km/h. Tính vận tốc lúc về của ô tô, biết thời gian về nhiều hơn thời gian đi 24 phút. Câu 5 (3,0 điểm). Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn (O; R) bất kỳ đi qua B và C (BC < 2R). Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh năm điểm A, M, O, I, N cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MBC, E là giao điểm thứ hai của đường thẳng MJ với đường tròn (O). Chứng minh EB = EC = EJ. c) Khi đường tròn (O) thay đổi, gọi K là giao điểm của OA và MN. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đường thẳng cố định. Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: xy yz zx 3xyz . x3 y3 z3 1 1 1 1 Chứng minh rằng: 2 2 2 . z x x y y z 2 x y z HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:
  30. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM DỰ KIẾN: Phầ Điể Câu Nội dung n m A 2 2 2 3 1 2 4 2 3 1 a) 0.5 2 Câu 1 3 1 1 3 1 3 1 Đường thẳng y x m2 2 và đường thẳng y (m 2)x 11 cắt nhau tại (1,0đ một điểm trên trục tung ) b) 1 m 2 m 3 m 3 0.5 2 2 m 3 m 2 11 m 9 m 3 Vậy m 3 là giá trị cần tìm. Khi m 1 thì hệ (I) trở thành: x 2y 4 2x 4y 8 7y 7 y 1 x 2 a) 1.0 2x 3y 1 2x 3y 1 2x 3y 1 2x 3 1 y 1 Vậy khi m 1 thì nghiệm của hệ (I) là (x; y) (2;1) . x 2y m 3 2x 4y 2m 6 7y m 6 2x 3y m 2x 3y m 2x 3y m m 6 5m 9 y x 7 7 Câu m 6 m 6 2 2x 3 m y (2,0đ 7 7 ) Ta có: P 98(x2 y2 ) 4m b) 1.0 2 2 5m 9 m 6 25m2 90m 81 m2 12m 36 98 4m 98 4m 7 7 49 49 26m2 102m 117 98 4m 52m2 208m 234 49 52(m2 4m 4) 26 52(m 2)2 26 P 26 m Dấu “=” xảy ra m 2 . Vậy min P 26 khi m 2 . x 3 2 x 6 x x2 1 (1) ĐK: 3 x 2 (1) x 3 2 x (3 x)(2 x) 1 0 x 3 1 2 x 1 2 x 0 x 3 1 1 2 x 0 Câu a) x 3 1 0 x 3 1 x 3 1 x 2 1.0 3 1 2 x 0 2 x 1 2 x 1 x 1 (2,0đ ) Kết hợp với điều kiện x  2;1 Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S  2;1 . x4 5x2 6 m 0 (1) b) Đặt y x2 (y 0) , phương trình (1) trở thành:y2 5y 6 m 0 (2) 1.0 Phương trình (1) có đúng hai nghiệm
  31. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc có hai nghiệm trái dấu TH1: Phương trình (2) có nghiệm kép dương b 5 y y 0 (vô lí) 1 2 2a 2 TH2: Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu ac 0 6 m 0 m 6 Vậy m 6 là giá trị cần tìm. Đổi 24 phút = 0,4 giờ. Gọi vận tốc lúc về của ô tô là x (km/h). Điều kiện: x > 0. Vận tốc của ô tô lúc đi là x + 10 (km/h). 120 Thời gian lúc về của ô tô là (h) M F Câu x 4 120 1.0 (1,0đ Thời gian lúc đi của ô tô là (h). x 10 ) 120 120 2 Ta có phương trình: 0,4 x 10x J3000 0 x x 10 O Giải phương trình được: x1 50; x2 60 A C Kết hợp với điều kiện x 50 . Vậy vận tốc lúcB về của ô tô làI 50 km/h. 0.25 · · 0 Vì AM, AN là các tiếp tuyến của (O) AMO ANO 9N0 (O) có dây BC không đi qua tâm, I là trung điểm của BC E a) OI  BC A· IO 900 Do đó: A·MO A·NO A· IO 900 0.75 Ba điểm M, N, I thuộc đường tròn đường kính AO Năm điểm A, M, O, I, N cùng thuộc đường tròn đường kính AO J là tâm đường tròn nội tiếp MBC MJ là tia phân giác của góc BMC B·ME C·ME B»E C»E (các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau) EB = EC (liên hệ giữa cung và dây) Gọi F là giao điểm thứ hai của BJ và (O) M»F C»F (chứng minh tương tự như trên) 1 Vì J·BE là góc nội tiếp nên J·BE sđF»E 2 b) Câu · M 5 Vì BJE là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên: 1 (3,0đ B· JE sđB»E sđM»F ) 2 Mà 1 1 K O B»E C»E , M»F C»F B· JE sđC»E sđC»F sđF»E J·BE B· JE 2 2 EBJ cân tại E EB = EJ Vậy EBA = EC = EJ. C B D I Gọi D là giao điểm của MN và AC. Ta có: OM = ON = R AM = AN (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau) N AO là đường trung trực của MN AO  MN O·KD 900 c) Tứ giác OIDK có O· ID O·KD 900 900 1800 OIDK là tứ giác nội tiếp Tâm đường tròn ngoại tiếp OIK thuộc đường trung trực của DI. 1 AMB và ACM có: M· AC chung, A·MB A·CM sđM¼B 2
  32. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 AM AB AMB # ACM (g.g) AM2 AB.AC AC AM Xét đường tròn đường kính AO có A·MD A· IM (các góc nội tiếp chắn các cung AM, AN bằng nhau) AMD và AIM có: M· AC chung, A·MD A· IM AM AD AMD # AIM (g.g) AM2 AD.AI AI AM AB.AC AB.AC AD.AI AD AI Mà các điểm A, B, C cố định và I cố định (I là trung điểm BC) AB.AC AD không đổi D là điểm cố định AI Đường trung trực của DI là đường thẳng cố định Tâm đường tròn ngoại tiếp OIK luôn thuộc một đường thẳng cố định (đpcm). 1 1 1 Vì x, y, z 0 nên từ xy yz zx 3xyz 3 x y z Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: 2 1 1 1 1 1 1 2 x y z x  y  z  1 1 1 9 x y z x y z x y z .3 9 x y z 3 Áp dụng kĩ thuật Cô-si ngược dấu, ta có: 2 x3 x z x xz xz xz z z 1 Câu x x x x 6 2 2 2 z x z x z x 2x z 2 4 1.0 (1,0đ (vì z x2 2x z và z 1 2 z , theo Cô-si) ) y3 x 1 z3 y 1 Tương tự, ta có: y ; z x y2 4 y z2 4 Do đó: x3 y3 z3 x y z 3 3(x y z) 3 x y z z x2 x y2 y z2 4 4 3.3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 do x y z 3; 3 4 2 2 x y z x y z (Dấu “=” xảy ra x y z 1 )
  33. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Đề 12 Bé gi¸odôc ®µo t¹o céng hoµ x· héichñnghÜaviÖtnam §écLËp -Tù Do -H¹nh Phóc §Ò chÝnhthøc ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM Mônthi: Toán (Dùngchomọithísinhthivàotrườngchuyên) Thờigian : 120 phút 2x x 1 2 Câu 1: Cho biểu thức: P . x 1 (x 1) 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1. Rút gọn biểu thức P. 2. Tìm x để P x 1 Câu 2: Một nhà máy chuyên sản xuất một loại sản phẩm. Năm 2015 nhà máy sản xuất được 5000 SP. Do ảnh hưởng của thị trường tiêu thụ nên sản lượng của nhà máy trong các năm 2016, 2017 đều giảm. Cụ thể : Số lượng sản phẩm năm 2016 giảm x% so với số lượng SP sản xuất năm 2015, Số lượng sản phẩm năm 2017 giảm x% so với số lượng SP sản xuất năm 2016. Biết số lượng sản phẩm năm 2017 giảm 51% so với số lượng SP sản xuất năm 2015. Tìm x. 3 Câu 3: Cho phương trìnhx x 1 0 . Giả sử x0 là một nghiệm của PT đã cho 1. Chứng minh x0 > 0. 2 x0 1 2 2. Tính giá trị của biểu thức M 3 2x0 3x0 2 x0 Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD với BC = a;AB = b. Gọi M,N là trung điểm cạnh AB, CD. Qua điểm M dựng đường thẳng cắt đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD tại điểm P và cắt tia CB tại Q. 1 .Khi MP vuônggócvới AC hãytính: a) Tính PQ theo a, b. b) Chứng minh : a.BP = b. PN. 3. Chứng minh M· NP M· NQ Câu 5:Cho các số nguyên x, x1, x2 , x3 x9 thỏamãn: x (1 x1)(1 x2 )(1 x3 ) (1 x9 ) (1 x1)(1 x2 )(1 x3 ) (1 x9 ) Tính P x.x1.x2.x3 x9
  34. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021
  35. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021
  36. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021
  37. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Đề 13 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018-2019 Môntoán Thờigianlàmbài: 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC (Đềgồm 1 trang, có 5 câu) Câu 1.( 2,25điểm) 1) Giảiphươngtrình 2x2 5x 7 0 x 3y 5 2) Giảihệphươngtrình 5x 2y 8 3) Giảiphươngtrình x4 9x2 0 1 Câu 2. (2,25điểm) Cho haihàmsố y x2 và y x 1cóđồthịlầnlượtlà (P) và (d) 4 1) Vẽhaiđồthị (P) và (d) trêncùngmặtphẳngtọađộ. 2) Tìmtọađộgiaođiểmcủahaiđồthị (P) và (d). Câu 3. (1,75điểm) a a 1 a a 1 1) Rútgọnbiểuthức S ( với a > 0 vàa 1 ) a a a 2) Mộtxe ô tôvàxemáykhởihànhcùngmộtlúctừđịađiểm A điđếnđịađiểm B cáchnhau 60 km vớivậntốckhôngđổi, biếtvậntốcxeô tôlớnhơnvậntốcxemáylà 20km/h vàxe ô tôđến B sớmhơnxemáylà 30 phút. Tínhvậntốccủamỗixe. Câu 4. (0,75 điểm) Tìm các giá trị của tham số thực mđểphươngtrình x2 2m 3 x m2 2m 0 cóhainghiệmphânbiệtx , x saochobiểuthức x x 7 1 2 1 2 .
  38. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Câu 5. ( 3 điểm) Cho đườngtròn (O) đườngkính AB. Lấyđiểm C thuộcđườngtròn (O),với C khác A và B, biết CA < CB. Lấyđiểm M thuộcđoạn OB, với M khác O và B. Đườngthẳngđi qua điểm M vuônggócvới AB cắthaiđườngthẳng AC và BC lầnlượttạihaiđiểm D và H. 1) Chứng minh bốnđiểm A, C, H, M cùngthuộcmộtđườngtrònvàxácđịnhtâmcủađườngtrònnày. 2) Chứng minh : MA.MB = MD.MH 3) Gọi E làgiaođiểmcủađườngthẳng BD vớiđườngtròn (O), E khác B. Chứng minh bađiểm A, H, E thẳnghàng. 4) Trêntiađốicủatia BA lấyđiểm N saocho MN = AB, Gọi P và Q tươngứnglàhìnhchiếuvuônggóccủađiểm M trên BD và N trên AD. Chứng minh bốnđiểm D, Q, H, P cùngthuộcmộtđườngtròn. Đề 14 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TỈNH TIỀN GIANG Năm học 2018-2019 Môn thi: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi có 01 trang, gồm 05 bài) Ngày thi: 05/6/2018 Bài I. (3,0 điểm) 1 1. Tính giá trị của biểu thức A 4 2 3 12 . 2 2. Giải phương trình và hệ phương trình sau: 4 2 3x y 11 a/ x x 20 0 b/ 2x y 9 2 3. Cho phương trình x 2x 5 0 có hai nghiệm x 1, x2. Không giải phương trình, 2 2 5 5 hãy tính giá trị của các biểu thức: B x1 x2 ; C x1 x2 . Bài II. (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol P : y x2 và đường thẳng d : y x m . 2 1. Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ khi m = 2. 2. Định các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. 3. Tìm giá trị của m để độ dài đoạn thẳng AB 6 2 . Bài III. (1,5 điểm) Hai bến sông A và B cách nhau 60km. Một ca nô đi xuôi dòng từ A đến B rồi ngược dòng từ B về A. Thời gian đi xuôi dòng ít hơn thời gian đi ngược dòng là 20 phút. Tính vận tốc ngược dòng của ca nô, biết vận tốc xuôi dòng lớn hơn vận tốc ngược dòng của ca nô là 6km/h. Bài IV. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), các đường cao AF, BD và CE cắt nhau tại H. 1. Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp trong một đường tròn. 2. Chứng minh AE.AB = AD.AC. 3. Chứng minh FH là phân giác của E·FD . 4. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh D·OC F·ED . Bài V. (1,0 điểm)
  39. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 1 Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 256 cm2 và bán kính đáy bằng đường 2 cao. Tính bán kính đáy và thể tích của hình trụ. HẾT Thí sinh được sử dụng các loại máy tính cầm tay do Bộ Giáo dục và Đào tạo cho phép. Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TS 10 NĂM HỌC 2018 – 2019 TIỀN GIANG Bài I 1 2 1 1. A 4 2 3 12 3 1 .2 3 3 1 3 3 1 3 1 2 2 x 4 2. (HS tự giải) a/ (Đs: x1 2; x2 2 ) b/ (Đs: ) y 1 b x1 x2 2 2 a 3. Pt x 2x 5 0 có a = 1; b = −2; c = −5 c x .x 5 1 2 a 2 2 2 2 + B x1 x2 x1 x2 2x1x2 2 2. 5 14 + Ta có: 2 2 3 3 2 2 3 3 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1x2 x2x1 x1 x2 x1x2 x1 x2 3 3 2 2 Suy ra: x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1x2 x1 x2 2.14 5 .2 38 2 2 3 3 5 5 2 3 2 3 5 5 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x2x1 x1 x2 x1x2 . x1 x2 5 5 2 2 3 3 2 2 Suy ra: x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1x2 . x1 x2 14.38 5 .2 482 5 5 Vậy C x1 x2 482 Bài II. 1/. Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ khi m = 2. (HS tự vẽ) 2/. Định các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. 1 2 2 Pt hoành độ giao điểm giữa (d) và (P): x x m ⇔ x 2x 2m 0 2 2 2 a = 1; b = −2; c = −2m ; b 4ac 2 4.1. 2m 4 8m 4 1 2m 1 Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì ∆ > 0 ⇔ 4(1 + 2m) > 0 ⇔ m > 2 3/. Tìm giá trị của m để độ dài đoạn thẳng AB 6 2 . b xB 1 1 2m 2a yB m 1 1 2m Ta có: ⇒ b y m 1 1 2m x 1 1 2m A A 2a 2 2 2 2 AB xB xA yB yA 2 1 2m 2 1 2m 8 1 2m
  40. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Theo đề bài: AB 6 2 ⇔ 8 1 2m 6 2 ⇔ 8 1 2m 72 ⇔ 1 2m 9 1 A ⇔ m 4 (thỏa điều kiện m > ) 2 D Bài III. Gọi x(km/h) là vận tốc ngược dòng của ca nô (x 0) E > H x + 6 (km/h) là vận tốc xuôi dòng của ca nô 60 60 1 2 Theo đề bài, ta có phương trình: ⇔ x 6x 1080 0 x x 6 3 Giải phương trình trên được nghiệm thỏa điều kiện là x = 30 Vậy vận tốc ca nô khi ngược dòng là 30(km/h) B F O C Bài IV. Vì tam giác ABC có ba góc nhọn nên các đường cao cắt nhau tại điểm H nằm trong tam giác đó. 1/. Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp trong một đường tròn. · 0 BEC 90 gt Tứ giác BEDC có: nên nội tiếp được trong đường tròn đường kính BC (tứ giác · 0 BDC 90 gt có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới một góc vuông). 2/. Chứng minh AE.AB = AD.AC. Vì tứ giác BEDC nội tiếp nên suy ra: A· ED A·CB (góc trong bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện) Hai tam giác AED và ACB có: + góc A chung, +A· ED A·CB (cmt) AE AD Nên ∆AED ∽ ∆ACB ⇒ ⇒ AE.AB = AD.AC. AC AB 3/. Chứng minh FH là phân giác của E·FD . · · 0 · · + Tứ giác EBFH có BEH BFH 90 gt nên là tứ giác nội tiếp ⇒ EBH EFH (cùng chắn cung EH). (1) · · 0 · · + Tứ giác DCFH có CFH CDH 90 gt nên là tứ giác nội tiếp ⇒ DFH DCH (cùng chắn cung EH). (2) + Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn (cmt) nên có E·BH D·CH (cùng chắn cung ED) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra E·FH D· FH , hay FH là phân giác của E·FD . 4/. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh D·OC F·ED . · · 0 · · + Tứ giác AEFC có AFC AEC 90 gt nên là tứ giác nội tiếp ⇒ CAF CEF (cùng chắn cung FC) (4) · · 0 · · + Tứ giác AEHD có AEH ADH 90 gt nên là tứ giác nội tiếp ⇒ DAH DEH (cùng chắn cung DH) (5) Từ (4) và (5) suy ra D·EH F·EH hay EH là phân giác của D· EF (6) + Ta có: D·OC 2.·OBD (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung DC) 1 Mà O·BD F·BH F·EH F·ED (cùng chắn cung FH) (7)Từ (6) và (7) suy ra D·OC F·ED (đpcm) 2 Bài V. Theo đề bài 2 r.h 256 ⇒ r.h 128 1 2 r 8 cm Vì r h nên suy ra 2r 128 . Từ đó: 2 h 16 cm V S.h r2. .16 82. .16 1024 cm3
  41. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Đề 15 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2018-2019 Môn thi: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: Ngày 05 tháng 5 năm 2018 Câu 1 (2,0 điểm): 3x 1 1) Giải phương trình: x 1 3x 1 2x 2 x 1 2 3x 17 y 3 1 2y 17 y x 5 2) Giải hệ phương trình: x 2y 1 x 1 2y y 2 Câu 2 (2,0 điểm): 1) Cho hai hàm số bậc nhất y = x –3 và y m2 1 x 2m 3 Với giá trị nào của m thì đồ thị của các hàm số trên cắt nhau tại một điểm có hoành độ bằng -1 1 1 x 1 2) Rút gọn biểu thức: A : 1 với a 0;a 1 x x x 1 x 2 x 1 Câu 3 (2,0 điểm): 1) Một ô tô đi từ Hải Dương đến Hạ Long với quãng đường dài 100km. Đến Hạ Long nghỉ lại 8h20 phút rồi quay lại Hải Dương hết tổng cộng 12h. Biết vận tốc lúc về lớn hơn lúc đi 10km/h. Tính vận tốc lúc đi của ô tô. 2 2 2) Cho phương trình x 2mx m 2 0 Gọi hai nghiệm của phương trình là x1, x2 tìm 3 3 m để x1 x 2 10 2 Câu 4 (3,0 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC. Kẻ AH  BC. Gọi M và N là các hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC 1) Chứng minh AC2 CH.CB . 2) Chứng minh tứ giác BMNC là tứ giác nội tiếp và AC.BM + AB.CN =AH. BC 3) Đường thẳng đi qua A cắt HM tại E và cắt tia đối của tia NH tại F. Chứng minh BE // CF Câu 5 (1,0 điểm): 2 Cho phương trình ax bx c 0 a 0 có hai nghiệm x1;x2 thỏa mãn 0 x1 x2 2 . Tìm giá 3a2 ab ac trị nhỏ nhất của biểu thức L 5a2 3ab b2 Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: .Chữ ký của giám thị 2:
  42. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018 – 2019 Ngày thi: 04 tháng 5 năm 2019 I) HƯỚNG DẪN CHUNG - Thí sinh làm bài theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa. - Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm. II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu Ý Nội dung Điểm 1 1 1,00 3x 1 0,25 x 1 3x 1 2x 2 x 1 2 0,25 0,25 0,25 2 1,00 3x 17 y 3 1 2y 17 y x 5 0,25 0,25 x 2y 1 x 1 2y y 2 0,25 KL 0,25 2 1 1,00 -Đk để 2 đt cắt nhau là m2 1 1 m 0 0,25 -Thay x =- 1 vào y = x-3 =-4 0,25 -Thay x =-1 và y = -4 vào hàm số y m2 1 x 2m 3 được 0,25 m =0 (Loại); m = 2 (TM) 0,25 ĐS: m =2 2 1,00 1 1 x 1 A : 1 0,25 x x x 1 x 2 x 1 1 1 x 1 = : 1 2 0,25 x x 1 x 1 x 1 2 1 x x 1 . 1 0,25 x x 1 x 1 0,25 x 1 x 1 x 1 1 x x x 3 1 1,00 Gọi vận tốc lúc đi của ô tô là x km/h (x>0) Vận tốc lúc về là x +10 km/h 0,25 100 Thời gian lúc đi là h x 100 Thời gian lúc đi là h x 10 0,25 Theo đề bài ta có PT 0,25
  43. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 100 100 25 12 0,25 x x 10 3 ĐS x =50 km/h 2 Cho phương trình x2 2mx m2 2 0 Gọi hai nghiệm của phương trình là 1,00 3 3 x1, x2 tìm m để x1 x 2 10 2 x x 2m ' 2 0 pt có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 1 2 x .x m2 2 0,25 E 1 2 Bình phương hai vế và biến đổi được: A 2 2 0,25 x x 4x .x x x x .x 200 1 2 1 2 1 2 1 2 F Thay VI-ét ta có 0,25 3m2 2 5 m 1 M 2 N 3m 2 5 0,25 0,25 4 1 B 0,75C - Chỉ ra góc BAC vuông H O 0,25 -Áp dụng hệ thức b2 b'.a vào tam giác vuông ABC ta có 0.25 2 0,25 AC CH.CB. x 2 1,00 -Chỉ ra góc MNA bằng góc NAH bằng góc ABH - Suy ra tứ giác BMNC là tứ giác nội tiếp 0,25 BM BH - Chỉ ra BMH : AHC suy ra suy ra BM.AC = AH. BH AH AC 0.25 CN CH Chỉ ra CNH : AHB suy ra suy ra CN.AB = AH. CH AH AB 0,25 -Cộng theo vế suy ra điều phải chứng minh 0,25 3 1,00 - Có HE //AC nên góc AEM bằng góc NAF suy ra ANF AN NF 0,25 : EMA(g.g) AN.AM NF.ME ME AM BM MH - Chỉ ra HNC BMH(g.g): BM.NC MH.NH HN NC 0,25 AN.AM NF.ME - Có AM.AN = MH.NH ME BM Kết luận NF.ME =BM.NC và B·ME F·NC( 900 ) NC NF 0,25 - Suy ra BME : FNC(c.g.c) B·EM F·C N Mà A·EM F·AC ( góc đồng vị HE // AC ) Ta có A·EB A·EM B·EM Và x·FC F·CN F·AC ( góc ngoài tam giác AFC ) Nên A·EB x·FC 0,25 Suy ra BE // CF (có góc ở vị trí đồng vị )A·EB x·FC 5 1,00
  44. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 b c 2 3 3a ab ac 3 x x x .x L a a 1 2 1 2 5a2 3ab b2 2 2 b b 5 3x1 3x2 x1 x2 5 3 a a 0,25 Biến đổi và đánh giá 0 x1 x2 2 ta có 1 x 2 . x 2 x .x 3 1 2 1 2 3 0,25 L x1.x2 x1 x2 3 1 L 0,25 3 Min L = 1/3 0,25 Đề 16 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Nămhọc 2018 – 2019 (Đềthicó01trang) Môn: TOÁN (Đềchung) Thờigianlàmbài: 120 phút Câu1 (1,5điểm). Rútgọncácbiểuthứcsau: 1. A 4 2 3 8 18. x 2 x 2 4 2. B(với ). : 1 , x 0, x 4 x 4 x 2 x 2 Câu2 (2,0điểm). 1. Giảiphươngtrình3x2 2x 1 0. 2x 3y 13 2. Giảihệphươngtrình . 2x y 1 Câu3(1,5điểm).TrongmặtphẳngtọađộOxy,choparabol P cóphươngtrìnhy x2 vàđườngthẳng d cóphươngtrìnhy 2 m 1 x m2 (vớimlàthamsố). 1.Tìmđiềukiệncủamđểđườngthẳng d cắtparabol P tạihaiđiểmphânbiệtAvàB. 2.Gọix1, x2 lầnlượtlàhoànhđộcủaAvàB. Xácđịnhmđể 2x1 1 2x2 1 13. Câu 4 (4,0điểm).Cho đườngtròn O , đườngkínhAB. LấyđiểmHthuộcđoạnAB (H khácAvàB), đườngthẳngvuônggócvớiABtạiHcắtđườngtròn O tạihaiđiểmCvàD. TrêncungnhỏBC lấyđiểmM (M khácBvàC), gọiNlàgiaođiểmcủaAMvàCD. 1.Chứng minh tứgiácBMNH nộitiếpđườngtròn. 2.ChứngminhMA là tiaphângiáccủaC·MD. 3.Chứngminh AD2 AM.AN. 4.GọiI là giaođiểmcủaBCvàAM; P là giaođiểmcủaABvàDM. ChứngminhI là tâmđườngtrònnộitiếptamgiácCMP. Câu 5 (1,0 điểm). Chocácsốthựca,b,c 0 thỏamãna2 b2 c2 3. Chứngminhrằng 1 1 1 1. Dấuđẳngthứcxảyrakhinào? 4 ab 4 bc 4 ca HẾT Họvàtênthísinh: Sốbáodanh: Giámthịthứnhất: Giámthịthứhai:
  45. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT HÀ NAM NĂM HỌC 2017 - 2018 (Hướngdẫnchấmcó 04trang) Hướngdẫnchấmmôn: TOÁN – Chung Câu ý Đápán Điểm 1 A 4 2 6 2 3 2 0,5 (0,75đ) 2. 0,25 x x 2 2 x 2 B : 0,25 1 x 2 x 2 x 2 x 2 (1,5đ) 2 x 2 x 2 (0,75đ) B . 0,25 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 B . 1 0,25 x 2 x 2 Vì a b c 3 2 1 0 0,5 1 1 (1,0đ) Phươngtrìnhcóhainghiệmphânbiệt x 1; x . 0,5 1 2 3 2x 3y 13 4y 12 Hệ 0,25 2x y 1 2x y 1 2 y 3 (2,0đ) 0,25 2 2x y 1 (1,0đ) y 3 0,25 2x 4 x 2 . Kếtluận: Hệphươngtrìnhcó 1 nghiệm 2;3 . 0,25 y 3 Xétphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm x2 2 m 1 x m2 0,25 x2 2 m 1 x m2 0 (1) 1 Ta có ' 2m 1. 0,25 (0,75đ) d cắtparabolP tạihaiđiểmphânbiệtAvàB ' 2m 1 0 3 (1,5đ) 1 1 m . Kếtluận: m . 0,25 2 2 Gọix1, x2 lầnlượtlàhoànhđộcủaAvàB x1; x2 làhainghiệmcủaphươngtrình 2 x1 x2 2 m 1 (2) 0,25 (1). Theo Viet ta có (0,75đ) 2 x1x2 m (3)
  46. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Mà 2x1 1 2x2 1 13 2x1x2 x1 x2 6 0 (4) 0,25 Thay (2), (3) vào (4) ta được2m2 2m 4 0 m 1 (T/ m) Kếtluận: m 1. 0,25 m 2 (l) (Khôngcóvẽhìnhhọcsinhkhôngđượcchấmbài) XéttứgiácBMNHcó: N·HB 900 (vìCD  AB ) 0,25 1. N·MB 900 (gócnộitiếpchắnnửađườngtròn) 0,25 (1,0đ) N·HB N·MB 1800. 0,25 Kếtluận: TứgiácBMNHnộitiếpđườngtròn. 0,25 Vì AB  CD tạiH H làtrungđiểmCD. 0,25 ACD cântạiA. 2. AC AD sđ »AC sđ »AD. 0,25 (1,0đ) 1 1 Mà ·AMC sđ A»C ; ·AMD sđ »A(Gócnộitiếpchắnmộtcung).D 0,25 2 2 ·AMC ·AMD Kết luận: MA là tia phân giác của C·MD. 0,25 Xét AHN : AMB (vìHµ M¶ 900 ; M· AB chung). 0,25 AH AN AB.AH AM.AN (1) 0,25 4 3. AM AB · 0 2 (4,0đ) (1,0đ) Ta có ACB 90 ACBvuôngtạiCcóCHlàđườngcao. AC AH.AB (2) 0,25 Từ (1) và (2) suyra AC 2 AM.AN 0,25 MàAD AC AD2 AM.AN (đpcm). XéttứgiácBMIP có · 1 » ¼ · 1 » » MPB (sđ AD + sđ MB ); MIB (sđ AC + sđ).MB 0,25 2 2 Màsđ »AC = sđ »AD.Suyra M· PB M· IB TứgiácBMIPnộitiếpđườngtròn. I·PM I·BM (2 gócnộitiếpcùngchắn)I»M 0,25 4. Ta lạicó C·DP I·BM(2 gócnộitiếpcùngchắn)C¼M I·PM C·DP IPPCD. (1,0đ) Vì PCD cântạiP. MàC·DP D· CP I·PM D· CP Mặtkhác D· CP C· PI (so le trong) I·PM C· PI. 0,25 PI là tia phân giác của C·PM. Mà MI là tia phân giác của C·MP (cmt) 0,25 I là giao điểm 3 đường phân giác của CPM .
  47. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp CMP. Vìa,b,c 0 và a2 b2 c2 3 0 a,b,c 2. 1 1 4 0,25 Chứng minh được , x, y 0 (*) x y x y 1 1 4 4 2 Ápdụng (*) ta có 4 a 4 b 8 a b 8 2 ab 4 ab 2 1 1 (1) 4 ab 4 a 4 b 0,25 2 1 1 2 1 1 Tươngtự (2) ; (3) 4 bc 4 b 4 c 4 ca 4 c 4 a 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 ab 4 bc 4 ca 4 a 4 b 4 c 5 1 1 1 Ta phải chứng minh 1, 0 a,b,c 2. (1,0đ) 4 a 4 b 4 c 1 a2 5 Ta sẽ chứng minh ( ) 4 a 18 0,25 2 a2 5 4 a 18 2 a a 1 Thậtvậy 0 0 (lđ) 18 4 a 18 4 a 1 a2 5 1 b2 5 1 c2 5 ; ; 4 a 18 4 b 18 4 c 18 2 2 2 1 1 1 a b c 15 1. 4 a 4 b 4 c 18 0,25 1 1 1 Suyra 1. 4 ab 4 bc 4 ca Dấuđẳngthứcxảyrakhi a b c 1. HẾT Đề 17
  48. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021
  49. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Đề 18 Đề thi Bắc Giang Ngày 6 / 6/ 2018 Câu 1: 1/ A 5 20 5 1 5.(2 5 5) 1 5. 5 1 5 1 6 2/ Đường thẳng y = (m-1)x+2018 có hệ số góc bằng 3 m-1=3m=4 x 4y 8 2x 8y 16 3y 3 x 4 Câu 2: 1/ 2x 5y 13 2x 5y 13 x 4y 8 y 1 2/ a/ Với a 0;a 1 ta có: 2 2 6 10 2 a a 1 6( a 1) 10 2 a a 1 B . . a 1 a a a a 1 4 a a 1 .( a 1) a 1 .( a 1) 4 a 2 2 4 a 4 a 1 4( a 1) a 1 1 . . a 1 .( a 1) 4 a a 1 .( a 1)2 4 a a b/ Với a 0;a 1 ta có: 1 a a 1 a ( a 1)2 C 1 .(a a 1) 1 0 với a 0;a 1 => C>1 a a a 2 x 2 3/ a/ Với m= - 1 ta có phương trình x x 6 0 (x 2)(x 3) 0 . Kết luận x 3 2 2 2 b/ Có m 2 4(3m 3) m 8m 16 (m 4) Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 (m 4)2 0 m 4 0 m 4 Với m 4 phương trình có hai nghiệm phân biệt (có cũng được không có cũng được) 2 x 3 Ta có x (m 2)x 3m 3 0 x 3 .(x m 1) 0 x m 1 Phương trình có hai nghiệm phân biệt là độ dài hai cạnh của một tam giác vuôngA có cạnh huyền bằng 5 m 1 3 m 4 m 4 m 1 0 m 1 m 1 m 5 2 2 2 2 3 (m 1) 5 (m 1) 16 m 5; m 3 Vậy tất cả các giá trị cần tìm của m là: 5 Câu 3: Gọi vân tốc lúc đi là x (km/h) (x>2); Vận tốc lúc về là x-2 (km/h) 10 10 Thời gian lúc đi là: (giờ) ; Thời gian lúc về là (giờ) x x 2 Vì thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 15 phút hay ¼ giờ nên ta có phương trình: N F 10 1 10 2 M H x 10 40(x 2) x(x 2) 40x x 2x-80=0 (x-10).(x+8)=0 x 4 x 2 E x 8 Ta thấy x=10 thỏa mãn điều kiện, x=-8 không thỏa mãn điều kiện. Vậy vận tốc của Linh lúc đi là 10 km/h Câu 4: B P O C 1/Có góc BMC = góc BNC = 900 nên góc AMH = góc ANH = 900 Tứ giác AMHN có tổng hai góc AMH + ANH = 180 độ nên tứ giác nội tiếp 2/ Tam giác ABC có các đường cao BN, CM cắt nhau tại H nên AH vuông góc với BC tại P. Chứng minh tam giác BMC đồng dạng với tam giác BPA BM.BA=BP.BC 3/ Tam giác ABC là tam giác đều nên AP là trung tuyến và H là trọng tâm của tam giác ABC. 2 3a Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABP tính được AP a 3 HA 3
  50. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Vì góc AMH =900 .Do đó AH kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN 2 3 .a Vậy chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN là: C 3 4/ Chứng minh 5 điểm A, E, P, O, F cùng thuộc đường tròn đường kính AO => tứ giác AEPF nội tiếp => góc AEP + AFP = 180độ (1) Gọi K là giao điểm của AO với EF. Suy ra OA vuông góc với EF tại K Chứng minh AK.AO AP.AH AE 2 =AF2 Chứng minh tam giác AHF đồng dạng với tam giác AFP (c.g.c) => góc AHF = góc AFP (2) Chứng minh tam giác AHE đồng dạng với tam giác AEP (c.g.c) => góc AHF = góc AEP (3) Từ 1, 2 , 3 suy ra góc AHF+ góc AHF=180độ => 3 điểm E, H, F thẳng hàng.
  51. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Đề 19
  52. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021
  53. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021
  54. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Đề 20 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2018 – 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Ngày thi: 07 tháng 6 năm 2018 Thời gian làm bài: 120 phút x 4 3 x 1 2 Bài I (2,0 điểm Cho hai biểu thức A và B với x ≥ 0, x ≠ 1. x 1 x 2 x 3 x 3 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. 1 2) Chứng minh B . x 1 A x 3) Tìm tất cả giá trị của x để 5 B 4 Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 mét và độ dài đường chéo bằng 10 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó theo đơn vị mét. Bài III (2,0 điểm) 4x y 2 3 1 Giải hệ phương trình x 2 y 2 3 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d :y m 2 x 3 và parabol P : y x2 . a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b) Tìm tất cả giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có các hoành độ là các số nguyên. Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không đi qua tâm. Lấy S là một điểm bất kì trên tia đối của tia AB (S khác A). Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O; R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB. 1) Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO. 2) Khi SO = 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo C·SD . 3) Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD tại điểm K. Chứng minh tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi qua trung điểm của đoạn thẳng SC. 4) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD và F là hình chiếu vuông góc của điểm E trên đường thẳng AD. Chứng minh rằng , khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB thì điểm F luôn thuộc một đường tròn cố định. Bài V (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 x 1 x 2 x Hết
  55. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM 2018 – 2019 MÔN TOÁN – TP HÀ NỘI Bài I x 4 9 4 7 1) A (với x = 9 thỏa mãn điều kiện) x 1 9 1 2 2) Với x ≥ 0, x ≠ 1 ta có: 3 x 1 2 3 x 1 2 3 x 1 2 B 2 x 2 x 3 x 3 x x 3 x 3 x 3 x x 1 3 x 1 x 3 3 x 1 2 3 x 1 2 x 1 x 3 1 x 3 x 1 x 3 x 3 x 1 x 3 x 1 x 1 A x 4 1 3) : x 4 B x 1 x 1 A x x 2 5 x 4 5 x 4 x 4 0 x 2 0 x 2 0 B 4 4 2 (Vì x 2 0 với mọi x ≥ 0) Suy ra: x 2 x 4 (thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 4. Bài II Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh đất lần lượt là x, y (mét) (x > y > 0) Chu vi của mảnh đất là 28 mét, ta có: x + y = 14 (1) Độ dài đường chéo của mảnh đất là 10 mét, ta có: x2 + y2 = 102 ⇔ (x + y)2 – 2xy = 100 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x y 14 x y 14 x 8 2 (thỏa điều kiện) x y 2xy 100 xy 48 y 6 Vậy chiều dài của mảnh đất là 8(m), chiều rộng của mảnh đất là 6(m) Bài III 4x y 2 3 8x 2 y 2 6 9x 9 x 1 1) x 2 y 2 3 x 2 y 2 3 x 2 y 2 3 y 2 1 x 1 x 1 y 2 1 y 1 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (1; −1), (1; −3) x 1 x 1 y 2 1 y 3 2) a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 m 2 x 3 2 x m 2 x 3 0 (a = 1; b = −(m + 2); c = −3) Vì a.c = 1.(−3) = −3 < 0 nên phương trình trên có hai nghiệm phân biệt. Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b)Gọi x1;x2 là hai nghiệm của phương trình trên thì (d) luôn cắt (P) tại hai điểm có hoành độ x1; x2.
  56. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 b x x m 2 1 2 a Theo định lý Viet ta có c x x 3 1 2 a Vì x1.x2 = −3. Và x1; x2 ∈ Z , giả sử x1 < x2 thì ta có các trường hợp sau đây: x1 3 C N + Trường hợp 1: x1 x2 2 m 2 2 m 4 B x2 1 x 1 K + Trường hợp 2: 1 x x 2 m 2 2 m 0 1 2 M H x2 3 A Vậy m = −4 hoặc m = 0 O E Bài IV 1) S + SD, SC là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên OD ⊥ SD, OC ⊥F SD ⇒ D, C thuộc đường tròn đường kính SO (1) · 0 + H là trung điểm của AB nên OH ⊥ AB⇒ ⇒SH HO thuộc 90 đường tròn đường Dkính SO (2) Từ (1) và (2) suy ra: C, D, H, O, S cùng thuộc đường tròn đường kính SO. 2) Tam giác SDO có: SO2 = SD2 + DO2 ⇒ SD2 = SO2 – DO2 = 4R2 – R2 = 3R2 ⇒ SD R 3 DO 1 sin D· SO D· SO 300 từ đó C·SD 600 (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) SO 2 3) Ta có S, D, O, H cùng thuộc một đường tròn (câu 1) nên SHOD là tứ giác nội tiếp. 1 Suy ra: A·H D S·O D C·O D (cùng chắn cung SD) (1) 2 · · · 1 » 1 · Lại có AKD SCD (đồng vị, AN // SC) nên AK D sđ C D sđ C O D (2) 2 2 · · Từ (1) và (2) suy ra AHD AKD ⇒ ADHK là tứ giác nội tiếp. Gọi M là giao điểm của BK và SC, N là giao điểm của AK với BC. · · · Ta có: KHA CBS (Vì cùng bằng CAD ) ⇒ HK // BC, mà H là trung điểm AB nên K là trung điểm AN. Suy ra: AK = KN. AK KN Ta có: (Talet đảo, AN // SC), mà AK = KN nên SM = CM hay M là trung điểm của SC. SM CM Vậy BK đi qua trung điểm M của đoạn thẳng SC. · 1 · 1 » · · · 4) Ta có AOH AOB sđAB EDF ⇒ FED HAO 2 2 1 1 1 Lại có: B· FE D· EF H·AO Suy ra B·FD H·AO 900 2 2 2 1 1 Suy ra B·FA 1800 H·AO 900 900 H·AO (không đổi vì A, B, O cố định) 2 2 Vậy F nhìn đoạn AB dưới một góc không đổi nên F luôn thuộc một đường tròn cố định. Bài V P 1 x 1 x 2 x điều kiện xác định: 0 ≤ x ≤ 1 (*) 2 Với a, b ≥ 0 bất kỳ ta có: a b a b 2 ab a b a b a b (1) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0 hoặc b = 0. Áp dụng (1) ta có: 1 x x 1 x x 1
  57. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 1 x x 1 0 1 (do (*)) Suy ra P ≥ 1 + 1 = 2. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 khi x = 0.
  58. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Đề 21 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018-2019 Môn :Toán chuyên Thời gian làm bài:150 phút Câu 1.(2,75 điểm) 1) Giải phương trình: x4 -22x2 +25 =0 a a a 4 a 2) Cho biểu thức P . (Với a là số thực dương) a 2 a 3 a 2 a a) Rút gọn biểu thức P b)Tìm các số thực dương a sao cho P đạt giá trị lớn nhất x2 xy 6 Câu 2.(1điểm) Giải hệ phương trình (với x,y ¡ ) 2 2 3x 2xy 3y 30 Câu 3.(1điểm) Tìm các số thực m để phương trình x2 (m 1)x 2m 0 có hai nghiệm phân x1 x2 1 biệt x1 và x2 sao cho biểu thức P 2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 x2 ) 3x1x2 3 Câu 4.(1,5điểm) 1) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn 2x2 4y2 2xy 3x 3 0 a3 b3 b3 c3 c3 a3 1 1 1 2) Cho ba số thực dương a,b,c.Chứng minh: ab(a2 b2 ) bc(b2 c2 ) ca(c2 a2 ) a b c Câu 5.(0,75điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm M(50;100) và N(100;0).Tìm số các điểm nguyên nằm bên trong tam giác OMN (Một điểm được gọi là điểm nguyên nếu hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên) Câu 6.(3,0điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định.Biết điểm C thuộc đường tròn (O),với C khác A và B.Vẽ đường kính CD của đường tròn (O).Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt hai đường thẳng AC và AD lần lượt tại hai điểm E và F 1) Chứng minh tứ giác ECDF nội tiếp đường tròn 2) Gọi H là trung điểm của đoạn BF.Chứng minh OE vuông góc với AH 3) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng OE và AH.Chứng minh điểm K thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF 4)Gọi I là tâm của đường tròn (I) ngoại tiếp tứ giác ECDF .Chứng minh điểm I luôn thuộc một đường thẳng cố định và đường tròn (I) luôn đi qua hai điểm cố định khi điểm C di động trên đường tròn (O) thỏa điều kiện đã cho. Đề 22
  59. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021
  60. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Đề 23
  61. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Đề 24 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NGHỆ AN NĂM HỌC 2018 – 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thờigianlàmbài: 120phút, không kể thời gian giao đề. Câu 1. (2,5điểm) a)So sánh 2 3 27 và 74 1 1 x 4 b) Chứng minh đẳngthức . 1, với x 0 và x 4 x 2 x 2 4 c) Tìmgiátrịcủa m đểđồthịhàmsố y = 3x + m đi qua điểmA(1;2). Câu 2.(2,0 điểm) Cho phươngtrình x2 + 2x + m – 1 = 0 (*), trongđó m làthamsố. a) Giảiphươngtrình (*) khi m = – 2. b) Tìm m đểphươngtrình (*) cóhainghiệmphânbiệtx1vàx2thỏamãnđiềukiện x1 = 2x2. Câu 3.(1,5điểm) NhânngàysáchViệt Nam, 120 họcsinhkhối 8 và 100 họcsinhkhối 9 cùngthamgiaphongtràoxâydựng “tủsáchnhânái”. Saumộtthờigianphátđộng,tổngsốsáchcảhaikhốiđãquyêngópđượclà 540 quyển.Biếtrằngmỗihọcsinhkhối 9 quyêngópnhiềuhơnmỗihọcsinhkhối 8 mộtquyển.Hỏimỗikhốiđãquyêngópđượcbaonhiêuquyểnsách?(Mỗihọcsinhtrongcùngmộtkhối quyêngópsốlượngsáchnhưnhau). Câu 4.(3,0 điểm) Cho đường tròn (O) có dây BC cố định không đi qua tâm O. Điểm A di động trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao BE và CF của tam giác ABC (E thuộc AC, F thuộc AB) cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC, đoạn thẳng KA cắt (O) tại điểm M. Chứng minh rằng: a) BCEF là tứ giác nội tiếp. b) KM.KA = KE.KF. c) Đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi. x(2x 2y 1) y Câu 5.(1,0điểm) Giảihệphươngtrình 2 2 y 2 1 x 2x 2(1 y ). HẾT Đề 25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC: 2018 – 2019 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Dùng chung cho tất cả thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 30 tháng 05 năm 2018. Câu 1 (2,5 điểm). 3 14 2 a) Rút gọn biểu thức: A 7 2 . 7 2 7 b) Giải phương trình: 5x2 2 5x 1 0 . 3x 2y 16 c) Giải hệ phương trình: . x 5y 23
  62. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Câu 2 (2,0 điểm). a) Tìm tất cả giá trị của hệ số a để hàm số y ax 2 đồng biến và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1;3) . b) Cho đường thẳng (d) : y (3 2m)x m2 và parabol (P) : y x2 . Tìm tất cả giá trị của tham số m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x 2 và x1 x2 1 2 x1 x2 2x1 x2 . Câu 3 (1,5 điểm). a) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 174m. Nếu tăng chiều rộng 5m và giảm chiều dài 2m thì diện tích mảnh vườn đó tăng thêm 215m 2. Tính chiều rộng và chiều dài ban đầu của mảnh vườn. b) Giải phương trình: 5x4 2x2 3x2 x2 2 4 . Câu 4 (3,5 điểm). Cho đường tròn (O) có AB là dây cung không đi qua tâm và I là trung điểm của dây AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác điểm A. Vẽ hai tiếp tuyến MC và MD đến (O) (tiếp điểm C thuộc cung nhỏ AB, tiếp điểm D thuộc cung lớn AB). a) Chứng minh tứ giác OIMD nội tiếp được đường tròn. b) Chứng minh MD2 MA.MB . c) Đường thẳng OI cắt cung nhỏ AB của (O) tại điểm N, giao điểm của hai đường thẳng DN và MB là E. Chứng minh MCE cân tại M. 1 1 4 d) Đường thẳng ON cắt đường thẳng CD tại điểm F. Chứng minh . OI.OF ME 2 CD2 Câu 5 (0,5 điểm). Cho a 0,b 0 và a b 1 . a b 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S . 1 b 1 a a b HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM DỰ KIẾN: Câu Phần Nội dung Điểm 3 14 2 3 7 2 A 7 2 2 7 7 2 7 2 7 7 2 7 2 a) 1.0 3 7 2 2 7 7 2 7 2 7 2 0 3 2 5 5x2 2 5x 1 0 5x 1 0 5x 1 0 x 5 Câu 1 b) 0.75 (2,5đ) 5 Vậy nghiệm của phương trình là x . 5 3x 2y 16 3x 2y 16 17y 85 x 5y 23 3x 15y 69 3x 2y 16 c) y 5 x 2 0.75 3x 2.( 5) 16 y 5 Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x, y) (2; 5) . Câu 2 Đồ thị của hàm số y ax 2 đi qua điểm A(1;3) a) 1.0 (2,0đ) 3 a.1 2 a 1
  63. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Với a 1 thì hàm số y ax 2 đồng biến. Vậy a 1 là giá trị cần tìm. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 (3 2m)x m2 x2 (2m 3)x m2 0 (*) (2m 3)2 4m2 12m 9 ; (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 3 12m 9 0 m 4 x1 x2 3 2m Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x x m2 b) 1 2 1.0 Theo đề bài: x1 x2 1 2 x1 x2 2x1 x2 x1x2 x1 2x1 2x2 2x1 x2 0 x1x2 (x1 x2 ) 0 m2 (3 2m) 0 m2 2m 3 0 (m 1)(m 3) 0 m 1 m 3 3 Kết hợp với điều kiện m m 3 Vậy m 3 là giá trị cần tìm. 4 Gọi chiều rộng và chiều dài ban đầu của mảnh vườn lần lượt là x(m) và y(m). Điều kiện: 0 < x < y < 87; 2 < y. Vì chu vi mảnh vườn bằng 174m nên ta có phương trình: 2(x y) 174 x y 87 (1) Diện tích ban đầu của mảnh vườn là xy (m2) Diện tích mảnh vườn nếu tăng chiều rộng 5m và giảm chiều dài 2m là (x + 5)(y – 2) (m2) a) Ta có phương trình: (x 5)(y 2) xy 215 2x 5y 225 (2) 0.75 Câu 3 x y 87 (1,5đ) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 2x 5y 225 x 30 Giải hệ được (thỏa mãn điều kiện) y 57 Vậy chiều rộng và chiều dài ban đầu của mảnh vườn lần lượt là 30m và 57m. Cách 1: b) 0.75 5x4 2x2 3x2 x2 2 4 (1)
  64. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 5x4 10x2 2x2 4 3x2 x2 2 6x2 0 5x2 (x2 2) 2(x2 2) 3x2 ( x2 2 2) 0 (x2 2)(5x2 2) 3x2 ( x2 2 2) 0 (x2 2 4)(5x2 2) 3x2 ( x2 2 2) 0 ( x2 2 2)( x2 2 2)(5x2 2) 3x2 ( x2 2 2) 0 ( x2 2 2) ( x2 2 2)(5x2 2) 3x2 0 ( x2 2 2) ( x2 2 2)(2x2 2) 3x2 ( x2 2 1) 0 x2 2 2 0 do ( x2 2 2)(2x2 2) 3x2 ( x2 2 1) 0 x2 2 2 x2 2 4 x2 2 x 2 Vậy nghiệm của phương trình (1) là x 2 . Cách 2: Đặt y x2 2 (y 2) x2 y2 2 Phương trình (1) trở thành: 5(y2 2)2 2(y2 2) 3(y2 2)y 4 5y4 20y2 20 2y2 4 3y3 6y 4 0 5y4 3y3 22y2 6y 20 0 5y4 10y3 7y3 14y2 8y2 16y 10y 20 0 F 5y3 (y 2) 7y2 (y 2) 8y(y 2) 10(y 2) 0 (y 2)(5y3 7y2 8y 10) 0 2 2 (y 2) 5y(y 2) 7(y 2) 2y 4 0 C N y 2 0 do y 2 5y(y2 2) 7(y2 2) 2y 4 0 A M B y 2 E I Từ đó tìm được x. 0.25 H O Vì MD là tiếp tuyến tại D của (O) nên O·DM 900 (O) có dây AB không đi qua tâm và I là trung điểm của dây AB a) OI  AB O· IM 900 0.75 Tứ giác OIMD có: O·DM O· IM 900 900 1800 Tứ giác OIMD nội tiếp được đường tròn.D Câu 4 (O) có: M· DA là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn A»D (3,5đ) M· BD là góc nội tiếp chắn A»D M· DA M· BD b) MDA và MBD có: D·MB chung, M· DA M· BD 0.75 MD MA MDA MBD (g.g) MD2 MA.MB MB MD 1 Vì M· DE là góc nội tiếp chắn D»N nên M· DE sđD»N c) 2 0.75 (O) có ON  dây AB N¼A N»B (liên hệ giữa cung và dây)
  65. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 1 Vì M· ED là góc có đỉnh ở bên trong (O) nên: M· ED sđ A»D N»B 2 1 1 Mà N¼A N»B còn M· ED sđ A»D N¼A sđD»N M· ED M· DE 2 2 MDE cân tại M MD = ME Nhưng MC = MD (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau) MC = ME MCE cân tại M. Gọi H là giao điểm của OM và CD. Ta có: OC = OD và MC = MD OM là đường trung trực của CD OM  CD tại H OIM và OHF có: M· OF chung, O· IM O· HF 900 OI OM OIM OHF (g.g) OI.OF OH.OM OH OF ODM vuông tại D, đường cao DH d) 1 1 1 1.0 OH.OM OD2 và OD2 MD2 DH2 1 Mà OI.OF OH.OM OD2 , MD = ME, DH = CD 2 1 1 4 (đpcm) OI.OF ME2 CD2 Cho a 0,b 0 và a b 1 . a b 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S . 1 b 1 a a b Với a,b 0 , áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a2 4 a2 4 4 (a ab) 2  (a ab) a a ab 9 a ab 9 3 a2 4 4 a 8 4 a (a ab) a ab a ab 3 9 1 b 9 9 b 8 4 Tương tự, ta có: b ab 1 a 9 9 Câu 5 1.0 (1,0đ) 8 8 1 8 1 8 1 1 S (a b) ab a b ab  9 9 a b 9 a b 9 9 a b Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 1 1 a b 2 (a b)  2 a b a b 1 1 1 Vì a b 1 nên: (a b)2 4ab ab (a b)2 và 1 4 4 a b 8 8 1 1 5 1 S  2  Dấu “=” xảy ra a b 9 9 4 9 3 2 5 1 Vậy min S khi a b 3 2
  66. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Đề 26 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2018-2019 Ngày thi: 05/6/2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán (Hệ không chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1. (1,0 điểm) 3x 2y 3 a) Giải hệ phương trình 2x 2y 8 b) Giải phương trình x2 5x 6 0 Bài 2. (2,5 điểm) 1. Cho Parabol P : y x2 và đường thẳng d : y x 2 a) Tìm tọa độ giao điểm của P và d . b)Xác định m để P , d và đường thẳng d' : y 5mx 6 cùng đi qua một điểm. 2. Cho phương trình x2 2mx 2m 3 0 , với m là tham số. a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Gọi x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm các giá trị nguyên của m để 1 1 biểu thức nhận giá trị là một số nguyên. x1 x2 Bài 3. (2,0 điểm) Một trường học A có tổng số giáo viên là 80. Hiện tại, tuổi trung bình của giáo viên là 35. Trong đó, tuổi trung bình của giáo viên nữ là 32 và tuổi trung bình của giáo viên nam là 38. Hỏi trường đó có bao nhiêu giáo viên nữ và bao nhiêu giáo viên nam? Bài 4. (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O;R . Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh các tứ giác BFHD, BFEC nội tiếp. b) Chứng minh BD.BC BH .BE . c) Kẻ AD cắt cung BC tại M. Chứng minh D là trung điểm của MH. d) Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC theo R. Bài 5. (1,0 điểm) Cho ba đường tròn C1 ,C2 và C3 . Biết đường tròn C1 tiếp C3 xúc với đường tròn C2 và đi qua tâm của đường tròn C2 ; C2 đường tròn C2 tiếp xúc với đường tròn C3 và đi qua tâm của C1 đường tròn C3 ; cả ba đường tròn tiếp xúc nhau (như hình vẽ bên). Tính tỉ số diện tích giữa phần tô đậm và phần không tô đậm (bên trong đường tròn C3 ) GIẢI Bài 1. (1,0 điểm) 3x 2y 3 5x 5 x 1 x 1 a) 2x 2y 8 2x 2y 8 2.1 2y 8 y 3 2 b) PT x 5x 6 0 có a b c 1 5 6 0 x1 1; x2 6 Bài 2. (2,5 điểm) 1. Cho Parabol P : y x2 và đường thẳng d : y x 2
  67. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Phương trình hoành độ giao điểm của P và d là: x2 x 2 x2 x 2 0 có x1 1 y1 1 a b c 1 1 2 0 vậy tọa độ giao điểm của P và d là x2 2 y2 4 1;1 , 2;4 b) P , d và đường thẳng d' : y 5mx 6 cùng đi qua một điểm khi đường thẳng 1;1 m 1 1 5m 6 d' : y 5mx 6 đi qua 1 2;4 4 10m 6 m 5 3. Cho phương trình x2 2mx 2m 3 0 , với m là tham số. a) Phương trình x2 2mx 2m 3 0 có ' m2 2m 3 m2 2m 1 2 m 1 2 2 0 với mọi m. Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. S x1 x2 2m b) Áp dụng định lý Vi et ta có: P x1 .x2 2m 3 1 1 x x 2m 2m 3 3 3 . M 1 2 1 x1 x2 x1 .x2 2m 3 2m 3 2m 3 M Z khi 2m 3 U 3 1; 1;3; 3 * 2m 3 1 m 2 * 2m 3 1 m 1 * 2m 3 3 m 3 * 2m 3 3 m 0 Bài 3. (2,0 điểm) Gọi số giáo viên nữ của trường là x(GV) Số giáo viên nam của trường là 80 x (GV) ĐK: 0 x 80, x Z Số tuổi của số giáo viên nữ là: 32x (tuổi) Số tuổi của số giáo viên nam là: 38 80 x (tuổi) A Số tuổi của số giáo viên toàn trường là: 35.80 2800 (tuổi) 1 Ta có phương trình: E 32x 38 80 x 2800 32x 3040 38x 2800 F H 6 x 240 x 40 t / m O 1 Vậy số giáo viên nữ của trường là 40 GV B C 2 D Số giáo viên nam của trường là 80-40=40(GV) Bài 4. (3,5 điểm) M Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O;R . Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh các tứ giác BFHD, BFEC nội tiếp. b) Chứng minh BD.BC BH .BE . c) Kẻ AD cắt cung BC tại M. Chứng minh D là trung điểm của MH. d) Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC theo R.
  68. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 a) BFHD, BFEC nội tiếp BD BH b)∽ BDH BEC g g BD.BC BH .BE BE BC µ µ » ¶ µ c) CM được tứ giác AEDB nội tiếp B1 A1 (cùng chắn DE ) lại có B2 A1 (cùng ¼ µ ¶ chắn MC ) suy ra B1 B2 . BHM có đường cao BD đồng thời là đường phân giác BHM cân tại B nên BD cũng là trung tuyến suy ra D là trung điểm của MH. d) Ta cm được BHC BMC c.g.c suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC và bằng R. Do đó độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC là C 2R e) Bài 5. (1,0 điểm) Cho ba đường tròn C1 ,C2 và C3 . Biết đường tròn C1 tiếp C3 xúc với đường tròn C2 và đi qua tâm của đường tròn C2 ; C2 đường tròn C2 tiếp xúc với đường tròn C3 và đi qua tâm của C1 đường tròn C3 ; cả ba đường tròn tiếp xúc nhau (như hình vẽ bên). Tính tỉ số diện tích giữa phần tô đậm và phần không tô đậm (bên trong đường tròn C3 ) Gọi R là bán kính đường tròn C1 suy ra bán kính đường tròn C2 là 2R, bán kính đường tròn C3 là 4R. Gọi S1 ,S2 ,S3 lần lượt là diện tích hình tròn C1 ,C2 ,C3 . Tỉ số diện tích giữa phần tô đậm và phần không tô đậm (bên trong đường tròn C3 ) là: 2 2 2 S S S 4R 2R R 13 3 2 1 2 2 S2 S1 2R R 3
  69. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Đề 27 SỞ GD & ĐT THANH HÓA KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2018 – 2019 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 8/6/2018. Câu 1( 2đ): 1. Giải phương trình: x2 + 8x + 7 = 0 2x y 6 2. Giải hệ phương trình: 5x y 20 x 1 x x Câu 2(2đ): Cho biểu thức A = : Với x > 0 x 4 x 4 x 2 x x 2 1. Rút gọn biểu thức A. 1 2. Tìm tất cả các gí trị của x để A 3 x Câu 3(2đ): 1. Cho đường thẳng (d) : y = ax + b . Tìm a, b để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d/): y = 2x+ 3 và đi qua điểm A(1; -1). 2. Cho phương trình x2 – (m-2)x – 3 = 0 (m là tham số). Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x1; x2 với mọi m. Tìm m để các nghiệm đó thỏa mãn hệ thức: 2 2 x 1 2018 x1 x 2 2018 x2 Câu 4(3đ): Cho đường trong tâm O, đường kính AB = 2R. gọi d1 và d2 lần lượt là các tiếp tuyến cử đường tròn tâm O tại A và B, I là trung điểm của đoạn thẳng OA, E là điểm thay đổi trên đường tròn O sao cho e không trùng với A và B. Đường thẳng d đi qua E và vuông góc với EI cắt đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại M và N 1. Chứng minh rawngfAMEI là tứ giác nội tiếp 2. Chứng minh IB.NE = 3 IE.NB 3. Khi điểm E thay đổi, Chứng minh tích AM. BN có giá trị không đổi và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tm giác MNI theo R Câu 5(1đ): Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: a+b+c = 1 1 1 Chứng minh: 30 M a 2 b 2 c 2 abc HẾT ĐÁP ÁN Câu 4: E 1. Tự giải 2. Chứng minh tương tự câu 1 tứ giác IENB nội tiếp suy ra góc ENB = góc EIA AI IE Suy ra tam giác IAE đồng dạng với tam giác NBE suy ra suy ra AI.NE = N NB NE IE.NB (1) A B Vì I là trung điểm của AO nên AI = IO = 1/2R suy ra IB = 3 AI I(2) O Từ (1) và (2) Suy ra IB.NE = 3IE.NB AM AI 3. Ta dễ chứng minh tam giác AMI đồng dạng với tam giác BIN suy ra => BI BN AM.BN=AI.BI = 1/2R.3/2R = 3/4R2 không đổi. Suy ra Góc AIM + BIN = 900 => góc MIN = 900. Tam giác MIN vuông tại I nên S MIN = ½ MI.IN Ta có MI2 . NI2 = (AM2 + AI2).(IB2 + NB2) * *
  70. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 = (AM.IB)2 +(AM.NB)2+(AI.IB)2+(AI.NB)2 = (3R/2.AM)2+9/2R4+(R/2.NB)2 = 1/4R2.(9AM2+18R2+NB2) = 1/4R2(3AM+BN )2 Vì AM.BN = 3/4R2 1 1 Suy ra MI 2 .NI 2 R 2 .(3AM BN) 2 R.(3AM BN) 4 2 3 Ta có: 3AM + BN 2. 3AM.BN 2. 3. R 2 3R 4 Dấu = xảy ra khi 3AM = BN. 1 1 1 3 2 Vậy SMIN đạt giá trị nhỏ nhất bằng .IM.IN = . .R.3R R khi 3AM = BN. 2 2 2 4 Câu 5: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: a+b+c = 1 1 1 Chứng minh: 30 a 2 b 2 c 2 abc 1 1 1 a b c 1 Ta có: ab bc ac abc abc (a b c) 2 1 1 1 1 9 ab + bc + ac suy ra 3 3 ab bc ca ab bc ca 1 1 1 9 9 a 2 b 2 c 2 ab bc ca ab bc ca (a b c) 2 1 1 1 1 1 1 1 9 Suy ra a 2 b 2 c 2 abc a 2 b 2 c 2 ab bc ac a 2 b 2 c 2 ab bc ca 1 9 1 1 1 7 7 Mà 9 30 a 2 b 2 c 2 ab bc ca a 2 b 2 c 2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca 1 3 1 1 Vậy: 30 . Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1/3. a 2 b 2 c 2 abc
  71. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 Đề 28 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn toán Thời gian làm bài: 120 phút (Đề gồm 1 trang, có 5 câu) Câu 1. ( 2,25 điểm) 1) Giải phương trình 2x2 5x 7 0 x 3y 5 2) Giải hệ phương trình 5x 2y 8 3) Giải phương trình x4 9x2 0 1 Câu 2. (2,25 điểm) Cho hai hàm số y x2 và y x 1 có đồ thị lần lượt là (P) và (d) 4 1) Vẽ hai đồ thị (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ. 2) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị (P) và (d). Câu 3. (1,75 điểm) a a 1 a a 1 1) Rút gọn biểu thức S ( với a > 0 và a 1 ) a a a 2) Một xe ô tô và xe máy khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đi đến địa điểm B cách nhau 60 km với vận tốc không đổi, biết vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 20km/h và xe ô tô đến B sớm hơn xe máy là 30 phút. Tính vận tốc của mỗi xe. Câu 4. (0,75 điểm) Tìm các giá trị của tham số thực m để phương trình x2 2m 3 x m2 2m 0 có hai nghiệm phân biệt x , x sao cho biểu thức x x 7 1 2 1 2 . Câu 5. ( 3 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm C thuộc đường tròn (O), với C khác A và B, biết CA < CB. Lấy điểm M thuộc đoạn OB, với M khác O và B. Đường thẳng đi qua điểm M vuông góc với AB cắt hai đường thẳng AC và BC lần lượt tại hai điểm D và H. 1) Chứng minh bốn điểm A, C, H, M cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm của đường tròn này. 2) Chứng minh : MA.MB = MD.MH 3) Gọi E là giao điểm của đường thẳng BD với đường tròn (O), E khác B. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng. 4) Trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho MN = AB, Gọi P và Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của điểm M trên BD và N trên AD. Chứng minh bốn điểm D, Q, H, P cùng thuộc một đường tròn HD: Câu 1. ( 2,25 điểm) 7 1) Phương trình 2x2 5x 7 0 có a b c 2 5 7 0 x 1; x 1 2 2 x 3y 5 2x 6y 10 17x 34 x 2 x 2 2) 5x 2y 8 x 3y 5 x 3y 5 2 3y 5 y 1 3) x4 9x2 0 x2 x2 9 0 x 0 (vì x2 9 0 x )
  72. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 1 Câu 2. (2,25 điểm) Cho hai hàm số y x2 và y x 1 có đồ thị lần lượt là (P) và (d) 4 1) Vẽ hai đồ thị (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ. 1 2 * P : y x 2 4 x 3 2 1 0 1 2 3 1 9 1 9 -5 5 y 1 0 1 4 4 4 4 -2 * d : y x 1 -4 x 0 y 1 A 0; 1 x 1 y 0 B 1;0 ; 2) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị (P) và (d). Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 1 2 x2 x 1 x2 4x 4 x2 4x 4 0 x 2 0 x 2 4 1 1 Thay x 2 vào y x2 y  2 2 1 4 Ta được 4 . Vậy tọa độ giao điểm của hai đồ thị (P) và (d) là (2;1) Câu 3. (1,75 điểm) 3 3 a a 1 a a 1 a 1 a a 1 a 1 a a 1 a a 1 S 1)a a a a a a a a 1 a a a 1 a a 1 2 a 2 a a a 2) Gọi vận tốc của xe máy là x km / h . ĐK x 0 Vận tốc của xe ô tô là x 20 km / h . 60 Thời gian xe máy đi từ A đến B là: h x 60 Thời gian xe ô tô đi từ A đến B là: h x 20 1 Vì xe ô tô đến B sớm hơn xe máy là 30 phút h nên ta có PT 2 60 60 1 120 x 20 120 x x x 20 x x 20 2 120 x 2400 120 x x 2 20 x x 2 20 x 2400 0 x 2 20 x 2400 0 ' 100 2400 2500 0 ' 2500 50 Phương trình có hai nghiệm x1 10 50 40 (t/m đk) ; x(không2 10 t/m 5 0đk) 60 Vậy vận tốc của xe máy là 40km / h . Vận tốc của xe ô tô là 40 20 60 km / h . Câu 4. (0,75 điểm) x2 2m 3 x m2 2m 0 có 2m 3 2 4 m2 2m 4m2 12m 9 4m2 8m 4m 9 9 Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 0 4 m 9 0 4 m 9 m 4
  73. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 S x1 x2 2m 3 Áp dụng định lý Vi et ta có: 2 P x1 .x2 m 2m 2 2 2 2 x1 x2 7 x1 x2 49 x1 x2 2x1.x2 49 x1 x2 4x1.x2 49 x x 2 m 3 Thay 1 2 2 x1 .x 2 m 2 m Ta được 2m 3 2 4 m2 2m 49 4m 9 49 m 10 (t/m đk) Câu 5. ( 3 điểm) 1) Tự giải 2) Tứ giác ACHM nội tiếp D·AM M· HB (cùng bù C·HM ) MA MD MAD ∽ MHB g g MA.MB MD.MH MH MB 3. Dễ thấy AE và BC là hai đường cao của DAB H là trực tâm của DAB AHDB 1 . ·AEB 900 (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) AE  DB 2 (1) và (2) suy ra ba điểm A,H, E thẳng hàng. 3) Gọi F là giao điểm của MP và NQ. Dễ thấy MP / / AE H· AB F·MN (đồng vị). BC / / NQ H· BA F·NM (đồng vị).Lại có AB MN gt do đó AHB MFN g.c.g HB FN mà HsuyB / ra/ F tứN giác HFNB là hình bình hành lại HcóF / / BN DH  BN DH  HF . DoD· H đóF 900 D· QF D· HF D· PF 900 5 điểm D,Q,H,P,F cùng thuộc một đường tròn hay bốn điểm D, Q, H, P cùng thuộc một đường tròn. Đề 29 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NAM ĐỊNH Năm học: 2018 – 2019 Môn thi: Toán (chung) – Đề 1 ĐỀ CHÍNH THỨC Dành cho học sinh thi vào các lớp chuyên tự nhiên Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm: 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm) 1) Giải phương trình 2x 3 x . 3 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng y x 2 (d )và y x 3 (d . ) 1 2 2 Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d 1), (d2) với trục Oy và C là giao điểm của (d 1) với (d2). Tính diện tích tam giác ABC. 3) Cho tam giác ABC có AB 8(cm), BC 17(cm),CA 15(cm) . Tính chu vi đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 4) Một hình nón có chu vi đường tròn đáy là 6 (cm) , độ dài đường sinh là 5(cm) . Tính thể tích hình nón đó. 1 x 1 1 x Câu 2 (1,5 điểm) Cho biểu thức P x : (với x 0 và x 1 ). x x x x 1) Rút gọn biểu thức P.
  74. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 2) Chứng minh rằng với mọi x 0 và x 1 thì P 4 . Câu 3 (2,5 điểm) 1) Cho phương trình x2 mx m2 m 4 0 (với m là tham số). a) Chứng minh với mọi giá trị của tham số m, phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho (x1 x2 ) . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để x2 x1 2 . 2) Giải phương trình 6 x 2 3 3 x 3x 1 4 x2 x 6 . Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC (với AB < AC) ngoại tiếp đường tròn (O; R). Đường tròn (O; R) tiếp xúc với các cạnh BC, AB lần lượt tại D, N. Kẻ đường kính DI của đường tròn (O; R). Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại I cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F. 1) Chứng minh tam giác BOE vuông và EI.BD FI.CD R2 . 2) Gọi P, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, AD; Q là giao điểm của BC và AI. Chứng minh AQ 2KP . 3) Gọi A1 là giao điểm của AO với cạnh BC, B 1 là giao điểm của BO với cạnh AC, C 1 là giao điểm của CO với cạnh AB và (O1; R1) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 1 1 1 2 Chứng minh: . AA1 BB1 CC1 R1 OO1 Câu 5 (1,0 điểm) (2x 4y 1) 2x y 1 (4x 2y 3) x 2y (1) 1) Giải hệ phương trình 2 2 (2) x 8x 5 2(3y 2) 4x 3y 2 2x 5x 2 2) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab 2bc 2ca 7 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 11a 11b 12c biểu thức Q . 8a2 56 8b2 56 4c2 7 HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM DỰ KIẾN: Câu Phần Nội dung Điểm 2x 3 x (1) (ĐK: x 0 ) 2 2 x 1 1) (1) x 2x 3 x 2x 3 0 (x 1)(x 3) 0 0.5 x 3 Kết hợp với điều kiện Vậyx nghiệm3 của phương trình là x = 3. y Đường thẳng (d ) đi qua các điểm 1 4 (0; – 2) và (– 2; 0) Đường thẳng (d2) đi qua các điểm B Câu (0; 3) và (– 2; 0) 1 Theo đề bài, ta có: 2 (2,0đ) 2) 0.5 A(0; – 2) , B(0; 3) , C(– 2; 0) d1 CO = 2; AB = 5 Diện tích của ABC là: AB.OC 5.2 C O x S 5 (đơn vị diện tích) 2 2 d Ta có: 2 2 A 3) BC2 = 172 = 289 0.5 AB2 + AC2 = 82 + 152 = 289 BC2 = AB2 + AC2 B F D O A E C
  75. Các đề thi tuyển sinh vào 10 năm học 2020 - 2021 ABC vuông tại A (định lí Py-ta-go đảo) Vẽ (O; R) nội tiếp ABC, (O) tiếp xúc AB, AC, BC lần lượt tại D, E, F. Tứ giác ADOE có D· AE A·DE A· ED 900 Tứ giác ADOE là hình chữ nhật Lại có OD = OE = R Tứ giác ADOE là hình vuông AD = OD = R Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: AD = AE, BD = BF, CE = CF AB + AC = AD + BD + AE + CE = AD + BF + AD + CF = 2AD + BC AD = (AB + AC – BC) : 2 = (8 + 15 – 17) : 2 = 3(cm) R = 3cm. C 6 Bán kính đường tròn đáy là: r 3 (cm) 2 2 Gọi l là độ dài đường sinh, h là chiều cao của hình nón 4) 0.5 Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có: h l 2 r2 52 32 4 (cm) 1 1 Thể tích hình nón là: V r2h .32.4 12 (cm3) 3 3 1 x 1 1 x P x : x x x x x 1 x 1 x 1 1 x x 1 x 1 1 x : : x x x 1 x x x 1 1) 1.0 2 Câu x 1 x x x 1 x 1 x x 1 x 1 : : 2 x x x 1 x x x 1 x (1,5đ) 2 x 1 Vậy P với x 0 và x 1 . x Với x 0 và x 1 , ta có: 2 2 x 1 x 1 4 x 4 x 2) P 4 0.5 x x x Vậy với mọi x 0 và x 1 thì P 4 . Phương trình x2 mx m2 m 4 0 2 2 1 15 Ta có hệ số c m m 4 m 0 1a) 2 4 0.75 ac 0 Phương trình có hai nghiệm trái dấu Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Câu Vì phương trình có hai nghiệm trái dấu x x x 0 x 3 1 2 1 2 Do đó: x x 2 x x 2 (2,5đ) 1b) 2 1 2 1 0.75 Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1 x2 m m 2 Vậy m 2 là giá trị cần tìm. 6 x 2 3 3 x 3x 1 4 x2 x 6 2) 1.0 6 2 x 3 3 x 3x 1 4 (2 x)(3 x)