›
›
›

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán - Nguyễn Văn Trọng

doc 28 trang Hoài Anh 19/05/2022 3931
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán - Nguyễn Văn Trọng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doctai_lieu_on_thi_vao_lop_10_mon_toan_nguyen_van_trong.doc

Nội dung text: Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán - Nguyễn Văn Trọng

  1. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 M«n to¸n PHẦN I: ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ 7: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 – HỆ THỨC VIET. CHƯƠNG IV: HÀM SỐ y ax2 (a 0) . PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN I. HÀM SỐ y ax2 (a 0) 1. Tập xác định của hàm số Hàm số y ax2 (a 0) xác định với mọi x R. 2. Tính chất biến thiên của hàm số • Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0. • Nếu a 0. 3. Đồ thị của hàm số • Đồ thị của hàm số y ax2 (a 0) là một đường cong đi qua gốc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó đgl một parabol với đỉnh O. Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị. Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị. • Vì đồ thị y ax2 (a 0) luôn đi qua gốc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng nên để vẽ đồ thị của hàm số này, ta chỉ cần tìm một điểm ở bên phải trục Oy rồi lấy các điểm đối xứng với chúng qua Oy. Bài 1. Cho hàm số y f (x) x2 . a) Chứng minh rằng f (a) f ( a) 0 với mọi a. b) Tìm a R sao cho f (a 1) 4 . ĐS: b) a 1;a 3. Bài 2. Cho hàm số y (m 2)x2 (m 2) . Tìm giá trị của m để: a) Hàm số đồng biến với x < 0. b) Có giá trị y 4 khi x 1. c) Hàm số có giá trị lớn nhất là 0. d) Hàm số có giá trị nhỏ nhất là 0. ĐS: a) m 2 b) m 2 c) m 2 d) m 2. 1 Bài 3. Cho hàm số y x2 . 10 9 5 a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số. b) Các điểm sau có thuộc đồ thị hay không: A 3; ,B 5; ,C( 10;1) ? 10 2 1 Bài 4. Cho parabol y x2 . Xác định m để các điểm sau nằm trên parabol: 4 3 1 1 a) A 2;m b) B 2;m c) C m; ĐS: a) m b) m c) m 3 . 4 2 2 Bài 5. Xác định m để đồ thị hàm số y (m2 2)x2 đi qua điểm A(1;2) . Với m tìm được, đồ thị hàm số có đi qua điểm B(2;9) hay không? ( ĐS: m 2.) Bài 6. a) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ O và điểm M(2;4). b) Viết phương trình parabol dạng y ax2 và đi qua điểm M(2;4). c) Vẽ parabol và đường tăhngr trên trong cùng một hệ trục toạ độ và tìm toạ độ giao điểm của chúng. ĐS: a) y 2x b) y x2 c) (0;0),(2;4) . II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Bài 1. Giải các phương trình sau: a) (x 1)2 4(x2 2x 1) 0 b) 9(x 2)2 4(x 1)2 0 c) 2x2 3(2x 3)2 0 d) x2 4x 3 0 e) x2 6x 16 0 f) 7x2 12x 5 0 Bài 2. Giải các phương trình sau: a) 3x2 5x 8 0 b) 5x2 3x 15 0 c) x2 4x 1 0 10 5 d) 3x2 7x 2 0 e) 5x2 x 0 f) 5 2 x2 10x 5 2 0 7 49 - 1 -
  2. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng Bài 3. Giải các phương trình sau: a) 10x2 17x 3 2(2x 1) –15 b) x2 7x 3 x(x 1) 1 c) 2x2 5x 3 (x 1)(x 1) 3 d) 5x2 x 3 2x(x 1) 1 x2 e) 6x2 x 3 3x(x 1) –11 f) 4x2 x(x 1) 3 x(x 3) 5 g) x2 x 3(2x 3) x(x 2) –1 h) x2 4x 3(2x 7) 2x(x 2) 7 i) 8x2 x 3x(2x 3) x(x 2) k) 3(2x 3) x(x 2) 1 Bài 4. Tìm m để các phương trình sau: i) có nghiệm ii) có 2 nghiệm phân biệt iii) có nghiệm kép iv) vô nghiệm a) 9x2 6mx m(m 2) 0 b) 2x2 10x m 1 0 c) 5x2 12x m 3 0 d) 3x2 4x 2m 0 e) (m 2)x2 2(m 1)x m 0 Bài 5. Cho phương trình: x2 2(3m 2)x 2m2 3m 5 0 . a) Giải pt với m 2. b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một trong các nghiệm bằng –1. c) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép. Bài 6. Cho phương trình: x2 2(m 2)x m2 3m 5 0. a) Giải phương trình với m 3. b) Tìm các giá trị của m để pt có một trong các nghiệm bằng –4. c) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép Bài 7. Cho phương trình: x2 2(m 3)x m2 3 0 . a) Giải phương trình với m 1 và m 3. b) Tìm m để phương trình có một trong các nghiệm bằng 4. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Bai1) Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a)9x2 3x 2 0 b)x4 7x2 18 0 Bài 2: Giải các phương trình sau: 1) x2 + 6x + 14 = 0 ;2) 4x2 - 8x + 3 = 0 ; 3) 3x2 + 5x + 2 = 0 ;4) -30x2 + 30x – 7,5 = 0 ; 5) x2 - 4x + 2 = 0 ; 6) x2 +2x - 2 = 0 ; 7) x2 + 2 2 x + 4 = 3(x + 2 ); 8) 2 3 x2 + x + 1 = 3 (x + 1) 9) x2 -2( 3 - 1)x - 2 3 = 0. Bài 3 Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nghiÖm: 1) 3x2 – 11x + 8 = 0 ; 2) 5x2 – 17x + 12 = 0 ; 3)x2-(1 + 3 )x+ 3 =0; 4)(1- 2 )x2-2(1+ 2 )x+1+3 2 = 0 ; 5)3x2–19x–22=0 ; 6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ; 7)( 3 +1)x2+2 3 x+ 3 -1=0;8)x2 – 11x + 30 = 0 ; 10) x2 – 10x + 21 = 0. Bài 4: Giải các phương trình sau: 1) x2-4x+3=0 2) (x2+4x)2-6(x2+4x)+5=0 Chuyên đề 7; PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 – HỆ THỨC VIET. I. Lí Thuyết: 1. §Þnh nghÜa: Ph­¬ng tr×nh bËc hai lµ ph­¬ng tr×nh cã d¹ng ax2 bx c 0 (a 0) 2. C«ng thøc nghiÖm: Ta cã b2 4ac . - NÕu 0 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x ; x 1 2a 2 2a 3. C«ng thøc nghiÖm thu gän : Ph­¬ng tr×nh bËc hai ax2 bx c 0(a 0) vµ b 2b' ' b'2 ac b' ' b' ' - NÕu ' 0 ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt : x ;x 1 a 2 a - 2 -
  3. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng b' - NÕu ' 0 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : x x 1 2 a - NÕu ' 0 ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm b c 4. HÖ thøc Viet: NÕu ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1; x2 th× S = x x ; P = x .x 1 2 a 1 2 a 2 Gi¶ sö x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ax bx c 0 (a 0). Ta cã thÓ sö dông ®Þnh lÝ Viet ®Ó tÝnh c¸c biÓu thøc cña x1, x2 theo a, b, c 2 2 2 2 b 2ac S1 = x x x x 2x x 1 2 1 2 1 2 a2 3 3 3 3 3abc b S2 = x x x x 3x x x x 1 2 1 2 1 2 1 2 a3 2 2 2 b 4ac S3 = x x x x x x 4x x 1 2 1 2 1 2 1 2 a2 3 3 3 3 S4= x1 x2 (x1 x2 ) 3x1x2 (x1 x2 ) S 3SP 1 1 x1 x2 S S5 = x1 x2 x1x2 P 2 2 2 1 x1 x2 S 2P S6 = 2 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 P D L­u ý: Khi ®ã ta còng cã: x - x = ± 1 2 a 5. øng dông hÖ thøc Viet a) NhÈm nghiÖm: Cho ph­¬ng tr×nh ax2 bx c 0 (a 0). c - NÕu a + b + c = 0 x1 = 1; x 2 a c - NÕu a - b + c = 0 x1 = -1; x 2 a b) T×m hai sè khi biÕt tæng vµ tÝch: Cho hai sè x, y biÕt x + y = S; x.y = P th× x, y lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai X2 - SX + P = 0 2 c) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: NÕu ph­¬ng tr×nh ax bx c 0 (a 0) cã hai nghiÖm x1; x2 th× 2 ax bx c a x x1 x x2 d) X¸c ®Þnh dÊu c¸c nghiÖm sè: Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước: T×m ®iÒu kiÖn tæng qu¸t ®Ó ph­¬ng tr×nh ax2+bx+c = 0 (a 0) cã: 1. Cã nghiÖm (cã hai nghiÖm) 0 2. V« nghiÖm 0 5. Hai nghiÖm cïng dÊu 0 vµ P > 0 6. Hai nghiÖm tr¸i dÊu > 0 vµ P 0 vµ P > 0 8. Hai nghiÖm ©m(nhá h¬n 0) 0; S 0 9. Hai nghiÖm ®èi nhau 0 vµ S = 0 10.Hai nghiÖm nghÞch ®¶o nhau 0 vµ P = 1 11. Hai nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm ©m cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n a.c 0 13. Pt có ít nhất 1 nghiệm dương: có 2 TH 6 và 7 14. Pt có ít nhất 1 nghiệm âm: có 2 TH 6 và 8 15. Pt có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương: > 0 vµ P = 0, S>0 - 3 -
  4. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng 16. Pt có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm: > 0 vµ P = 0, S 0 3. T×m ®iÒu kiÖn tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh chØ cã 1 nghiÖm: cã 2 TH - TH1: a =0 vµ b 0 - TH2: a 0 vµ = 0 4. T×m ®iÒu kiÖn tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm: cã 2 TH -TH1: a=0, b=0 vµ c 0 -TH2: a 0 vµ < 0 5.Trong tr­êng hîp cÇn chøng minh cã Ýt nhÊt mét trong hai ph­¬ng tr×nh ax2 bx c 0 ; a'x2 b'x c' 0 cã nghiÖm ng­êi ta th­êng lµm theo mét trong hai c¸ch sau: C¸ch 1: Chøng minh 1 2 0 C¸ch 2: 1. 2 0 * Bài tập: Bài 1: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm. 1) x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 ; 2) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0 3) ax2 + (ab + 1)x + b = 0. Bµi 2: T×m m ®Ó c¸c ph­¬ng tr×nh sau v« nghiÖm , cã mét nghiÖm , cã hai nghiÖm ph©n biÖt , cã hai nghiÖm tr¸i dÊu , cã hai nghiÖm ©m , cã hai nghiÖm d­¬ng , a) x2 -3x +m – 2 = 0 b) x2 - 2(m-1)x + m2 -m+1=0 c) x2 – 2x + m – 3 = 0 d) x2 – 2(m+2) x + m +1= 0 e) (m – 1 )x2 + 2(m – 1)x – m = 0 g) x2 – 2(m+1) x + m – 4 = 0 Bµi 3: Cho pt mx2- 2(m+1)x +m – 5 = 0 X¸c ®Þnh m ®Ó pt cã 1 nghiÖm duy nhÊt Bµi4: Cho pt x2 – 5x +2m- 1=0 Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× pt cã hai nghiÖm ph©n biÖt Bµi 5: Cho pt (m- 4)x2 – 2mx + m – 2 = 0 a) Gi¶i pt víi m=3 b) T×m m ®Ó pt cã nghiÖm x=2 , t×m nghiÖm cßn l¹i c) T×m m ®Ó pt cã 2 nghiÖm ph©n biÖt Bµi 6: Cho pt x2 – 2(m+1) x + m – 4 = 0 a) Chøng minh pt lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m Bµi 7: Cho pt x2 – 2(m+2) x + m +1= 0 Chøng minh pt lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m D¹ng 2: Tính giá trị một biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai. - Biểu thức f(x1,x2) gọi là đối xứng với x1, x2 nếu: f(x1, x2) = f(x2, x1) ( Nếu đổi chỗ x1, x2 thì biểu thức không thay đổi) - Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai là biểu thức có giá trị không đổi khi hoán vị x1, x2. - Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1, x2 theo S và P. Ví dụ: 2 2 2 2 x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 S 2P 3 3 3 3 x1 x2 (x1 x2 ) 3x1x2 (x1 x2 ) S 3SP 1 1 x x S 1 2 x1 x2 x1x2 P 2 2 2 1 x1 x2 S 2P 2 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 P Phương pháp. Bước 1: Kiểm tra điều kiện phương trình có hai nghiệm x1, x2 Bước 2: Biến đổi biểu thức cần tính làm xuất hiện tổng x1+x2 và tích x1.x2 Bước 3: Áp dụng định lý Vi-et để tìm x1+x2 và tích x1.x2 Bước 4: Thay giá trị tìm được ở bước 3 vào biểu thức ở bước 2 để suy ra kết quả. * Bài tập: - 4 -
  5. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng 2 Bài toán 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x -3x-7=0. Hãy tính: 1 1 a) x1 x2 b) x1 1 x2 1 Giải. 2 Phương trình bậc hai x -3x-7=0 có = 37 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Áp dụng x1 x2 3 định lý Vi-et ta có: (1) x1.x2 7 2 2 2 a) Đặt A= x1 x2 ta có: A = (x1-x2) = (x1+x2) - 4x1.x2 (2) Từ (1) và (2) => B2= 9- 4. (-7) = 37 => B = 37 1 1 b) Đặt B = x1 1 x2 1 Ta thấy x=1 không là nghiệm của phương trình x2-3x-7=0 nên : x 1 x 1 x x 2 B = 2 1 1 2 (3) x1 1 x2 1 x1x2 x1 x2 1 1 Từ (1) và (3) suy ra B = 9 Bài toán 2: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau: a) 4x2 + 2 x - 5 = 0, b) 9x2 - 12x + 4 = 0 2 Bài toán 3: Cho ph­¬ng tr×nh: x - 5x + 3 = 0 . Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh h·y tÝnh: 1 1 1 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x - x x 2 - x 2 x 3 - x 3 + + a) 1 2 b) 1 2 c) 1 2 d) 1 2 e) 1 2 f) g) 2 2 x1 x2 x1 x2 1 1 x + 5 x + 5 1 1 1- x 1- x + 1 + 2 x + + x + 1 + 2 2 2 i) j) k) 1 2 l) m) x1 x2 + x1x2 x1 - 2 x2 - 2 x2 x1 x1 x2 2x1 2x2 Bµi 4: T­¬ng tù: 2x2 - 5x + 1 = 0 ; 3x2 + 4x - 3 = 0; - 3x2 + 2x + 5 = 0 Bµi 5: Cho ph­¬ng tr×nh: - x2 - 4x + 1 = 0. Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh h·y tÝnh: a) Tæng b×nh ph­¬ng c¸c nghiÖm b) Tæng nghÞch ®¶o c¸c nghiÖm c) Tæng lËp ph­¬ng c¸c nghiÖm d) B×nh ph­¬ng tæng c¸c nghiÖm e) HiÖu c¸c nghiÖm f) HiÖu b×nh ph­¬ng c¸c nghiÖm 2 Bµi 6: Cho pt: x + 4 3x + 8 = 0 cã hai nghiÖm x1; x2. Kh«ng gi¶i pt h·y tÝnh: 6x 2 + 10x x + 6x 2 A = 1 1 2 2 3 3 5x1x2 + 5x1 x2 2 Bài toán 7: Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình x -x-1=0 n n Đặt Sn= x1 x2 n Z a)Tính S1, S2. b) Chứng minh: Sn+2 = Sn+1 + Sn c) Tính S6 Giải. 2 Phương trình x -x-1=0 có a.c= -1 S6 = 5.3 + 3.1 =18 D¹ng 3: - 5 -
  6. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng Lập một phương trình bậc hai khi biết các nghiệm số của nó. a) Phương pháp. Giả sử cần lập phương trình bậc hai mà nghiệm của nó là ; Bước 1: Lập tổng S =  ; tích P = . Bước 2: Áp dụng định lý Vi-et đảo ta có ; là nghiệm của phương trình x2-Sx+P=0 * Bài tập: Bài toán 1: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng: a) Bình phương các nghiệm của phương trình x2-2x-1=0 (1) b) Nghịch đảo của các nghiệm của phương trình x2+mx-2=0 (2) Giải. a)Phương trình (1) có =2 > 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Áp dụng định lý Vi-et ta có: x1+x2=2; x1.x2 = -1 2 2 Bài toán trở về lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x1 ; x2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 2x1x2 6 Xét 2 2 2 x1 .x2 x1.x2 1 Áp dụng định lý Vi-et đảo: Phương trình bậc hai cần lập là x2-6x+1=0 b)Phương trình (2) có tích a.c = -2 < 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x 1, x2. Áp dụng định lý Vi-et ta có: x1+x2=-m; x1.x2=-2. 1 1 Bài toán trở về: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là và x1 x2 1 1 x1 x2 m x1 x2 x1.x2 2 Xét 1 1 1 1 . x1 x2 x1.x2 2 Áp dụng định lý Vi-et đảo: Phương trình bậc hai cần lập là m 1 x2 x 0 2x2 mx 1 0 2 2 Bµi 2: Lâp Pt biết 2 nghiệm của nó: a) x1=2; x2=5 b) x1=-5; x2=7 c) x1=-4; x2=-9 1 3 d) x =0,1; x =0,2 e) x = 3; x = f) x = - 5; x = - 1 2 1 2 4 1 2 2 x = 3 + 2 2; x = 3- 2 2 l) x1 = 5 + 2 6; x2 = 5- 2 6 m) 1 2 1 1 1 1 n) x = ; x = o) x = ; x = 1 2 + 3 2 2- 3 1 10- 72 2 10 + 72 2 Bµi 3: Gi¶ sö x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: 2x - 7x - 3 = 0 . Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh, h·y lËp mét ph­¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ: 1 1 a) 3x1 vµ 3x2 b) -2x1 vµ -2x2 c) vµ x1 x2 1 1 x x x + 1 x + 1 d) vµ e) 2 vµ 1 f) 1 vµ 2 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Bµi 5: Gäi p; q lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 3x2 + 7x + 4 = 0. Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh. H·y lËp mét ph­¬ng tr×nh bËc hai víi c¸c hÖ sè nguyªn cã nghiÖm lµ: p vµ q q - 1 p - 1 Bµi 6: T­¬ng tù: a) x2 + 4x + 2 = 0 b) x2 - 5x - 3 = 0 c) 2x2 + 6x - 7 = 0 D¹ng 4: Tìm điều kiện của tham số để các nghiệm của phương trình bậc hai thoả mãn điều kiện cho trước. ( Tìm điều kiện của tham số để các nghiệm của phương trình bậc hai thoả mãn một phương trình, bất phương trình.) 1. pt điều kiện cho trước có tính đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai. - 6 -
  7. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng Phương pháp. Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, từ đó áp dụng định lý Vi-et để tính x1+x2 và x1.x2. Bước 2: Biến đổi phương trình, bất phương trình làm xuất hiện x1+x2 và x1.x2. Bước 3: Thay x 1+x2 và x1.x2 tính được từ bước 1 vào phương trình, bất phương trình ta được một phương trình, bất phương trình theo tham số. Bước 4: Giải PT, bất PT nhận được ở bước 3. Bước 5: Kiểm tra điều kiện ở bước 1 và kết luận bài toán. 2. pt điều kiện cho trước không đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai. Phương pháp. Ta có 3 PT: Hệ thức viets cho ta 2 phương trình và 1 pt Điều kiên cho trước. - ta chọn 2 pt dễ nhất lập thành hệ rồi giải hệ đó tìm nghiệm theo m - thay nghiệm vừa tìm đươc vào pt còn lại tìm m. * Bài tập: 2 2 Bài toán 1: Tìm m để phương trình x -mx+m -3=0 có các nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền có độ dài là 2. Giải. Điều kiện đề bài tương đương với: 3m2 12 0 2 m 2 0 m2 3 0 m 3  m 3 x1, x2 0 m  m 0 m 0 2 2 2 x x 2 1 2 2 2 x1 x2 2x1x2 4 m 2 Vậy: không có giá trị nào của m thoả mãn yêu cầu đề bài. 2 Bµi 2: Cho pt x - 6x + m = 0 . TÝnh gi¸ trÞ cña m biÕt pt cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶: 1 1 1 1 4 2 2 + = 3 + = a) x1 + x2 = 36 b) c) 2 2 d) x1 - x2 = 4 x1 x2 x1 x2 3 2 Bµi 3: Cho pt x - 8x + m = 0 . T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó pt cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ mét trong c¸c hÖ thøc sau: 2 2 a) x1 + x2 = 50 b) x1 = 7x2 c) 2x1 + 3x2 = 26 d) x1 - x2 = 2 2 Bµi 4: Cho pt x - (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 . T×m m ®Ó pt cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ x1 = 2x2 . Khi ®ã t×m cô thÓ hai nghiÖm cña pt? Bµi 5: 2 2 2 a) T×m k ®Ó pt: x + (k - 2)x + k - 5 = 0 cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ x1 + x2 = 10 2 2 2 b) T×m m ®Ó pt: x - 2(m - 2)x - 5 = 0 cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ x1 + x2 = 18 2 c) T×m k ®Ó pt: (k + 1)x - 2(k + 2)x + k - 3 = 0 cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 2 d) T×m m ®Ó pt: 5x + mx - 28 = 0 cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ 5x1 + 2x2 = 1 2 Bµi 6 Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm kh¸c 0 cña pt: mx + (m - 1)x + 3(m - 1) = 0 . Chøng minh: 1 1 1 + = - x1 x2 3 2 2 2 x1 x2 Bài toán 8: Tìm các tham số a để các nghiệm x1, x2 của pt x +ax+1=0 thoả mãn 7 . x2 x1 Giải. 2 2 2 Phương trình x +ax+1=0 có hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi : a 4 0 a 4 Khi đó áp dụng định lý Vi-et ta có: x1+x2=-a và x1.x2=1 - 7 -
  8. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng Do x1.x2=1 nên x1 0 và x2 0 . 2 2 2 x x x4 x4 x x 2 2x .x 2x2.x2 1 2 7 1 2 7  1 2 1 2  1 2 7 2 2 2 2 x2 x1 x1 .x2 x1 x2 (a2-2)2 – 2 >7 ( a2-2)2 > 32 2 2 a 4 a 4 Các giá trị của a cần tìm thoả mãn đồng thời: 2 2 2 2 a 2 3 a 2 3 a2 4 a2 > 5 a 5  a 5 2 a 2 3 Vậy: a 5  a 5 thoả mãn yêu cầu đề bài. D¹ng 5: . Tìm các giá trị của tham số để biểu thức liên quan đến các nghiệm của phương trình bậc hai đạt giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN). a) Phương pháp. Giả sử cần tìm m để biểu thức A đạt GTLN, GTNN Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1, x2 rồi tính x1+x2 và x1.x2. Bước 2: Biến đổi biểu thức làm xuất hiện x1+x2 và x1.x2. Bước 3: Thay x1+x2 và x1.x2 tính được ở bước 1 vào A ta được biểu thức A(m). Bước 4: Tìm GTLN, GTNN của A(m). Bước 5: Kiểm tra điều kiện ở bước 1 và kết luận bài toán. * Bài tập: Bài toán 1:Cho phương trình: x2-2(m+1)x+2m+10=0. (1) 2 2 Tìm giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm x1, x2 và x1 x2 10x1x2 đạt GTNN Giải. ' 2 m 3 Phương trình (1) có nghiệm m 9 0 (*) m 3 x1 x2 2(m 1) Áp dụng định lý Vi-et ta có x1x2 2m 10 2 2 Đặt A = x1 x2 10x1x2 2 = (x1+x2) +8x1x2 = 4(m+1)2+8(2m+10) = 4m2+24m+84 = (2m+6)2+48 A 48 , dấu “=” xảy ra khi x=-3( thoả mãn (*)) Vậy: Với m=-3 thì biểu thức A đạt GTNN Bài toán 2: Cho phương trình x2-2(m+4)x+m2-8=0 2 2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 và B = x1 x2 x1 x2 đạt GTNN. Giải. ' 2 2 Phương trình có hai nghiệm x1, x2 (m 4) (m 8) 0 m 3 (*) x x 2(m 4) Áp dụng định lý Vi-et ta có: 1 2 2 x1x2 m 8 2 2 Khi đó B = x1 x2 x1 x2 2 = (x1+x2) -(x1+x2)-2x1x2 = 4(m+4)2-2(m+4)-2(m2-8) = 2m2+30m+72 = 2(m+3)2+18(m+3) Với điều kiện (*) thì B 0, dấu “=” xảy ra khi m=-3 - 8 -
  9. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng Vậy: Với m=-3 thì biểu thức B đạt GTNN. 2 2 12 Bài toán 3: Cho phương trình 12x -6mx+m -4+ =0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x 1, m2 3 3 x2 và x1 x2 đạt GTLN, GTNN. Giải. ' 0 2 m 2 3 Pt đã cho có hai nghiệm x1, x2  . m  2 3; 2 2;2 3 m 0 m 0 m x x 1 2 2 Khi đó áp dụng định lý Vi-et ta có: m2 4 1 x .x 1 2 12 m2 3 3 3 Đặt A = x1 x2 = ( x1+x2) -3x1x2(x1+x2) 3 m m2 4 1 m m2 3 = 3 . = 2 2 12 m 2 2m m2 3 Bài toán trở thành: Tìm m để biểu thức A = đạt GTLN, GTNN trên miền 2m D= 2 3; 2 2;2 3 Thật vậy: Trên miền D thì m2-3 > 0. Khi đó: m2 3 2m2 6 2m2 3 3m 6 3 3m m 2 3 2m 3 3 3 * A = 2m 4m 4m 4m 4 Do m  2 3; 2 nên m 2 3 2m 3 0, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m 2 3 m 2 3 2m 3 3 3 => 0 A , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m 2 3 4m 4 3 3 * Lập luận tương tự ta có: A , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m 2 3 4 3 3 3 3 Vậy: Với m 2 3 thì MaxA , Với m 2 3 thì MinA D 4 D 4 Bµi 4: Cho ph­¬ng tr×nh x2 2 m 1 x 2m 10 0 (víi m lµ tham sè ) a)Gi¶i vµ biÖn luËn vÒ sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 2 2 c)T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó 10x1x2 x1 x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt Bµi 5: Cho pt x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 2 2 Cho P = 6x1x2 + x1 + x2 ( x1; x2 lµ hai nghiÖm cña pt). T×m m sao cho P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt, t×m GTNN Êy. Bµi 6: Cho ph­¬ng tr×nh x2 – ( 2m + 1 )x + m2 + m – 1 =0. a) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m . b) Gäi x1, x2, lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . T×m m sao cho : ( 2x 1 – x2 )( 2x2 – x1 ) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt Êy . D¹ng 6: Dấu các nghiệm của phương trình bậc hai. Phương pháp. Bước 1: Dựa vào điều kiện ở đề bài và mục 4.d . øng dông hÖ thøc VietĐể đua ra hệ điều kiện với tham số. Bước 2: Giải hệ điều kiện để tìm ra các giá trị của tham số. Bước 3: Kết luận bài toán. * Bài tập: Bµi 1: Cho pt x2 – 2(m +2)x +m +1 = 0 a) Gi¶i pt víi m = 2 b) T×m m ®Ó pt cã hai nghiÖm tr¸i dÊu Bµi2: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh : a) x2 x 2 m 1 0 cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt - 9 -
  10. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng b) 4x2 2x m 1 0 cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt c) m2 1 x2 2 m 1 x 2m 1 0 cã hai nghiÖm tr¸i dÊu Bµi 3: Cho ph­¬ng tr×nh : x2 a 1 x a2 a 2 0 CMR ph­¬ng tr×nh trªn cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi a Bµi 4. Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0 (1). a) Giải phương trình khi m = 0. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. c) Chứng minh phương trình 3m 2x2 + 2x – 1 = 0 (m ≠ 0) luôn có hai nghiệm phân biệt và mỗi nghiệm của nó là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình (1). Bài 5: Cho phương trình: mx2-2(m-3)x+m-4=0. Xác định m để phương trình có đúng một nghiệm dương. Giải. 2 * Nếu m=0 phương trình trở thành 6x-4=0 x 0 => m=0 thoả mãn yêu cầu đề bài 3 * Nếu m 0. Ta xét các trường hợp sau: m 4 • Phương trình có hai nghiệm trái dấu, tức là P -1 nên t >0) => x=t-1 thay vào phương trình (1) thì (1) trở thành: (t-1)2+2(a+3)(t-1)+4(a+3)=0 t2+2(a+2)t+2(a+3)+1=0 (2) PT (1) có hai nghiệm phân biệt khi PT (2) có hai nghiệm phân biệt đều dương, tức là: ' 0 a 2 2 2 a 3 1 0 a2 2a 3 0 (a 1)(a 3) 0 7 P 0 2(a 3) 1 0 2a 7 0 2a 7 0 a 3 2 S 0 2(a 2) 0 a 2 0 a 2 0 7 Vậy: a 3 thoả mãn yêu cầu đề bài 2 D¹ng 7:Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số. Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm x1 x2 f (m) Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-et ta được (*) x1x2 g(m) Bước 3: Khử m từ hệ (*) ta được hệ thức cần tìm. * Bài tập: - 10 -
  11. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng Bài toán 1: Cho phương trình (m-1)x2-2(m-4)x+m-5=0. Tìm hệ thức giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc m. Giải. Trước hết ta tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2: a 0 m 1 0 m 1 11 Pt có hai nghiệm x , x 1 m 1 2 ' 2 0 m 4 m 1 m 5 0 2m 11 0 2 2(m 4) 4(m 4) x x 2(x x ) 1 2 m 1 1 2 m 1 Khi đó áp dụng hệ thức Vi-et ta có: m 5 3(m 5) x .x 3x .x 1 2 m 1 1 2 m 1 2(x1+x2)-3x1.x2 = 1 Đó chính là hệ thức cần tìm. Bài toán 2: Cho phương trình (m2+1)x2-2mx+1-m2=0 a) CMR với mọi m > 1 phương trình luôn có nghiệm. b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với tham số m. Giải. a) Ta có a = m2+1 > 0 nên phương trình đã cho là một phương trình bậc haio ẩn x tham số m. Mặt khác: c = 1-m2 1) Như vậy a và c trái dấu nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m > 1 2m x x 1 2 m2 1 b) Áp dụng hệ thức Vi-et ta có 1 m2 x .x 1 2 m2 1 2 2 2m 1 m2 4m2 m4 2m2 1 Ta có: (x +x )2+(x .x )2 = 1 1 2 1 2 2 2 4 2 m 1 m 1 m 2m 1 2 2 Vậy ta có hệ thức câng tìm là: (x1+x2) +(x1.x2) = 1 Bµi 3: Cho ph­¬ng tr×nh x2 2 m 1 x 2m 10 0 (víi m lµ tham sè ) Trong tr­êng hîp ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x1; x2 ; h·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1; x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m 2 Bµi 4: Cho pt x - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 a) CMR pt lu«n cã nghiÖm víi mäi m. b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc m. Bµi 5 Cho phương trình (m + 2)x2 – 2(m – 1) + 1 = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = 1. b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép. c) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt, tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiẹm không phụ thuộc vào m. C©u 6 Cho ph­¬ng tr×nh x2 – ( 2m + 1 )x + m2 + m – 1 =0. c) H·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 vµ x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m . D¹ng 8:So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số. -Chú ý: đổi biến rồi so sánh nghiệm của pt mới với số 0. Bài 1: 2 2 a) Cho phương trình x – (2m – 3)x + m – 3m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 1 < x1 < x2 < 6. b) Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn: - 1 < x1 < x2 < 1. Bài 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1. a) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m. b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2. Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0. - 11 -
  12. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng a) Với giá trị nào của tham số a, phương trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép. b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn – 1. Bài 4: Cho phương trình: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0. a) Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1. b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2. 2 Bài 5: Tìm m để phương trình: x – mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn x1 ≤ - 2 ≤ x2. II. Bài Tập Tổng Hợp: Bµi 1Cho ph­¬ng tr×nh (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (1). T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nguyªn. HDÉn : * m = 1 : -2x + 2 = 0 x 1 m 1 2 * m 1 : m - 1 + (-2m) +m +1 = 0 x 1 ; x 1 1 2 m 1 m 1 m 1 1; 2 m 1;0;2;3 Bµi 2. Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x, tham sè m : x2 mx m 3 0 (1) a/ Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = - 2. 2 2 3 3 b/ Gäi x1; x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh. TÝnh x1 x2 ;x1 x2 theo m. 2 2 c/ T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : x1 x2 9 . d/ T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : 2x1 + 3x2 = 5. e/ T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = - 3. TÝnh nghiÖm cßn l¹i. f/ T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. g/ LËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña m. HƯỚNG DẪN GIẢI: a/ Thay m = - 2 vµo ph­¬ng tr×nh (1) ta cã ph­¬ng tr×nh : x2 2x 1 0 (x 1)2 0 x 1 0 x 1 VËy víi m = - 2 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 1. b/ Ph­¬ng tr×nh : x2 mx m 3 0 (1) Ta có: m2 4(m 3) m2 4m 12 Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1;x2 0 x1 x2 m (a) Khi ®ã theo ®Þnh lý Vi-et, ta cã : x1x2 m 3 (b) 2 2 2 2 2 *) x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 ( m) 2(m 3) m 2m 6 3 3 3 3 3 2 *) x1 x2 (x1 x2 ) 3x1x2 (x1 x2 ) ( m) 3(m 3)( m) m 3m 9m c/ Theo phÇn b : Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1;x2 0 2 2 2 Khi ®ã x1 x2 m 2m 6 2 2 2 2 Do ®ã x1 x2 9 m 2m 6 9 m 2m 15 0 2 '(m) ( 1) 1.( 15) 1 15 16 0; (m) 4 1 4 1 4 => ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : m 5;m 3 1 1 2 1 Thö l¹i : +) Víi m 5 7 0 => lo¹i. +) Víi m 3 9 0 => tháa m·n. 2 2 VËy víi m = - 3 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : x1 x2 9 . d/ Theo phÇn b : Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1;x2 0 x1 x2 m (a) Khi ®ã theo ®Þnh lý Vi-et, ta cã : x1x2 m 3 (b) - 12 -
  13. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng HÖ thøc : 2x1 + 3x2 = 5 (c) Tõ (a) vµ (c) ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh : x1 x2 m 3x1 3x2 3m x1 3m 5 x1 3m 5 2x1 3x2 5 2x1 3x2 5 x2 m x1 x2 2m 5 x1 3m 5 Thay vµo (b) ta cã ph­¬ng tr×nh : x2 2m 5 ( 3m 5)(2 m 5) m 3 6 m 2 15m 10 m 25 m 3 6 m 2 26 m 28 0 3m 2 13m 14 0 2 ( m ) 13 4.3.14 1 0 13 1 m 2 1 2.3 => ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt : 13 1 7 m 2 2.3 3 Thö l¹i : +) Víi m 2 0 => tháa m·n. 7 25 +) Víi m 0 => tháa m·n. 3 9 7 VËy víi m 2;m ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : 2x1 + 3x2 = 5. 3 2 e/ Ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x1 3 ( 3) m.( 3) m 3 0 2m 12 0 m 6 Khi ®ã : x1 x2 m x2 m x1 x2 6 ( 3) x2 3 VËy víi m = 6 th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = x2 = - 3. f/ Ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu ac 0 1.(m 3) 0 m 3 0 m 3 VËy víi m 0 víi mäi m 2 4 Ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt Hay ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm (®pcm) b) Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu a.c -3 VËy m > -3 c) Theo ý a) ta cã ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm - 13 -
  14. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng Khi ®ã theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: S = x1 + x2 = 2(m-1) vµ P = x1.x2 = - (m+3) Khi ®ã ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m S 0 2(m 1) 0 m 1 m 3 (m 3) 0 m 3 VËy m 0 cã 1 biÖt sè kh«ng ©m . m Bµi 10: Cho hai ph­¬ng tr×nh : x2 + (m - 2)x + = 0 (1) 4 vµ 4x2 - 4(m - 3)x + 2m2 - 11m + 13 = 0 (2) CMR víi mäi m, Ýt nhÊt 1 trong 2 ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm . HDÉn : 1 (m 1)(m 4) ; 2 16(1 m)(m 4) 2 2 1. 2 16(m 1) (m 4) 0 cã 1 biÖt sè kh«ng ©m . Bµi 11: T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh sau ®©y cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm chung. x2 + 2x + m = 0 x2 + mx + 2 = 0 2 HDÉn : (m -2)x 0 = m - 2 : + m =2 : hai ph­¬ng tr×nh cã d¹ng : x + 2x +2 = 0 ( v« nghiÖm) + m 2 : x 0 = 1 ; m = -3 Bµi 12: T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh sau ®©y cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm chung. x2 + (m - 2)x + 3 = 0 2x2 + mx + (m + 2) = 0 - 14 -
  15. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng 2 HDÉn : (m - 4)x 0 = m - 4 : + m = 4 : hai ph­¬ng tr×nh cã d¹ng : x + 2x +3 = 0 ( v« nghiÖm) + m 4 : x 0 = 1 ; m = -2 2 Bµi 13 : Gäi x1 vµ x2 lµ nh÷ng nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh : 3x - (3k - 2)x - (3k + 1) = 0 (1) T×m nh÷ng gi¸ trÞ cña k ®Ó c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n : 3x1 5x2 6 k 0 4 HDÉn : * (3k 4) 2 0 k * 32 (t/m) 3 k 15 2 2 Bµi 14 : Cho ph­¬ng tr×nh : x - (2m + 1)x + m + 2 = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó gi÷a hai nghiÖm x1 , x2 ta cã hÖ thøc : 3x1 x2 5(x1 x2 ) 7 0 m 2 7 4 HDÉn : * 4m 7 0 m * 4 lo¹i m = 4 m 3 3 2 Bµi 15: Cho ph­¬ng tr×nh x 2 m 2 x m 1 0 . Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng 2 tr×nh. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó x1 1 2x2 x2 1 2x1 m 2 3 3 HDÉn : * ' = m 0 2 4 2 2 m 0 * x1 1 2x2 x2 1 2x1 m x1 x2 4x1 x2 m m m 2 0 m 2 Bµi 16: Cho ph­¬ng tr×nh x 2 2 m 3 x 2m 7 0 (1) 1 1 Gäi hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) lµ x1, x2 . h·y t×m m ®Ó m x1 1 x2 1 HDÉn : * = m 4 2 0 1 1 7 33 * m 2m 2 7m 2 0 m x1 1 x2 1 4 Bµi 17: Cho ph­¬ng tr×nh x2 - ( 2m + 1)x + m2 + m = 0. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho¶ m·n: - 2 0 * x1= m , x2= m + 1 x1 < x2Do ®ã: 2 m 3 x2 4 m 3 Bµi 19: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai mx 2 5m 2 x 6m 5 0 2 1-T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ®èi nhau. ( m = ) 5 2-T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm nghÞch ®¶o nhau. m 1 Bµi 20: T×m gi¸ trÞ m ®Ó ph­¬ng tr×nh: a) 2x2 + mx + m - 3 = 0 Cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm ©m cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n nghiÖm d­¬ng. ( 0<m <3) b) x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 Cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu vµ b»ng nhau vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. (m = 1) Bµi 22: Sè ®o hai c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai : m 2 x 2 2 m 1 x m 0 . 2 H·y x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó sè ®o ®­êng cao øngvíi c¹nh huyÒn lµ . 5 - 15 -
  16. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng m 2 ' 0 m 0 1 1 1 HD GIẢI* * m 4(t / m) khi ®ã x1 = 1; x2 = 2 m 2 2 2 2 P 0 x1 x2 2 S 0 5 Bµi 23: Cho hai ph­¬ng tr×nh x 2 2m n x 3m 0 (1) vµ x 2 m 3n x 6 0 (2) T×m m vµ n ®Ó c¸c ph­¬ng tr×nh (1) vµ (2) t­¬ng ®­¬ng. H.DẪN*Ph­¬ng tr×nh (2) cã ac = - 6<0 (2) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. 2m n m 3n m 2 * 3m 6 n 1 * Thö l¹i, rót kÕt luËn. Bµi 24: T×m c¸c gi¸ trÞ cña m vµ n ®Ó hai ph­¬ng tr×nh sau t­¬ng ®­¬ng : x 2 4m 3n x 9 0 (1) vµ x 2 3m 4n x 3n 0 (2) H.DẪN*Ph­¬ng tr×nh (1) cã ac = - 9<0 (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. 4m 3n 3m 4n * m n 3 9 3n * Thö l¹i, rót kÕt luËn. 2 2 2 Bµi 25: Cho ph­¬ng tr×nh x 2mx 2m 1 0 . T×m m sao cho A = 2(x 1 x 2 ) 5x1 x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. * ' m 1 2 0 2 2 9 9 9 9 9 * A 8m 18m 9 2 2m Amin m 4 8 8 8 8 2 Bµi 26: Cho ph­¬ng tr×nh x 2(m 2)x 6m 0 (1). Gäi x1 , x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) . T×m 2 2 gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x 1 x 2 . * ' m 1 2 3 0 2 2 2 2 2 1 * x 1 x 2 = 2m 1 15 15 x 1 x 2 15 m min 2 2 Bµi 27: Cho ph­¬ng tr×nh x 2(m 1)x m 4 0 cã hai nghiÖm x1, x2 . Chøng minh r»ng biÓu thøc H = x1 1 x2 x2 1 x1 kh«ng phô thuéc vµo m. 2 1 19 HƯỚNG DẪN: * ' m 0 2 4 * H x1 x2 2x1 x2 2 m 1 2 m 4 10 2 Bµi 28: Cho ph­¬ng tr×nh x 2(m 1)x m 3 0 cã hai nghiÖm x1, x2 . Chøng minh r»ng biÓu thøc Q = x1 2007 2006x2 x2 2007 2008x1 kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña m. 2 1 15 HƯỚNG DẪN: * ' m 0 2 4 * Q 2007 x1 x2 4014x1 x2 2007 2m 2 4014 m 3 16056 Bµi tËp 29 : §Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh x2 m(m 1)x 5m 20 0 Cã mét nghiÖm x = - 5 . T×m nghiÖm kia. Bµi tËp 30 : Cho ph­¬ng tr×nh x2 mx 3 0 (1) a) §Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt. b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm b»ng 1? T×m nghiÖm kia. - 16 -
  17. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng Bµi tËp 31 : Cho ph­¬ng tr×nh x2 8x m 5 0 (1) a) §Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt. b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm gÊp 3 lÇn nghiÖm kia? T×m c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh trong tr­êng hîp nµy. Bµi tËp 32: Cho ph­¬ng tr×nh (m 4)x2 2mx m 2 0 (1) a) m = ? th× (1) cã nghiÖm lµ x = 2 . b) m = ? th× (1) cã nghiÖm kÐp. Bµi tËp 33 : Cho ph­¬ng tr×nh x2 2(m 1)x m 4 0 (1) a) Chøng minh (1) cã hai nghiÖm víi mäi m. b) m =? th× (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu . c) Gi¶ sö x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) CMR : M = 1 x2 x1 1 x1 x2 kh«ng phô thuéc m. Bµi tËp 34 : Cho ph­¬ng tr×nh x2 2(m 1)x m 3 0 (1) a) Chøng minh (1) cã nghiÖm víi mäi m. 2 2 b) §Æt M = x1 x2 ( x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1)). T×m min M. Bµi tËp 36: Cho ph­¬ng tr×nh x2 (a 1)x a2 a 2 0 (1) a) Chøng minh (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊuvíi mäi a. 2 2 b) x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) . T×m min B = x1 x2 . Bµi tËp 37: Cho ph­¬ng tr×nh x2 2(a 1)x 2a 5 0 (1) a) Chøng minh (1) cã hai nghiÖm víi mäi a. b) a = ? th× (1) cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n x1 1 x2 . 2 2 c) a = ? th× (1) cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n x1 x2 = 6. Bµi tËp 38: Cho ph­¬ng tr×nh 2x2 (2m 1)x m 1 0 (1) a) m = ? th× (1) cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n 3x1 4x2 11. b) Chøng minh (1) kh«ng cã hai nghiÖm d­¬ng. c) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc m. Gîi ý: Gi¶ sö (1) cã hai nghiÖm d­¬ng -> v« lý x2 (2m n)x 3m 0(1) Bµi tËp 39: Cho hai ph­¬ng tr×nh x2 (m 3n)x 6 0(2) T×m m vµ n ®Ó (1) vµ (2) t­¬ng ®­¬ng . Bµi tËp 41: Cho ph­¬ng tr×nh mx2 2(m 4)x m 7 0 (1) a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 . b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n x1 2x2 0 . c) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 ®éc lËp víi m. Bµi tËp 42: Cho ph­¬ng tr×nh x2 (2m 3)x m2 3m 2 0 (1) a) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m. b)T×m m ®Ó ph­ong tr×nh cã hai nghiÖm ®èi nhau . c)T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 ®éc lËp víi m. Bµi tËp 43: Cho ph­¬ng tr×nh (m 2)x2 2(m 4)x (m 4)(m 2) 0 (1) a) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp. b) Gi¶ sö ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 . T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 ®éc lËp víi m. 1 1 c) TÝnh theo m biÓu thøc A ; d)T×m m ®Ó A = 2. x1 1 x2 1 Bµi tËp 44: Cho ph­¬ng tr×nh x2 mx 4 0 (1) a) CMR ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi . 2(x1 x2 ) 7 b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A 2 2 . x1 x2 c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®Òu lµ nghiÖm nguyªn. Bµi tËp 45: Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× ph­¬ng tr×nh x2 kx 7 0 cã hai nghiÖm h¬n kÐm nhau mét ®¬n vÞ. - 17 -
  18. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng Bµi tËp 46: Cho ph­¬ng tr×nh x2 (m 2)x m 1 0 (1) a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt. c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm ©m. Bµi tËp 47: Cho ph­¬ng tr×nh x2 (m 1)x m 0 (1) a) CMR ph­¬ng r×nh (1) lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m 2 2 b) Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . TÝnh x1 x2 theo m. 2 2 c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n x1 x2 = 5. Bµi tËp 48: Cho ph­¬ng tr×nh x2 (2m 1)x m2 3m 0 (1) a)Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) víi m = -3. b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm vµ tÝch hai nghiÖm ®ã b»ng 4. T×m hai nghiÖm ®ã . Bµi tËp 49: Cho ph­¬ng tr×nh x2 12x m 0 (1) 2 T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 to¶ m·n x2 x1 . Bµi tËp 50: Cho ph­¬ng tr×nh (m 2)x2 2mx 1 0 (1) a)Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 2.T×m b) m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm. c)T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt . d) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n 1 2x1 1 2x2 1. Bµi tËp 51: Cho ph­¬ng tr×nh x2 2(m 1)x m 3 0 (1) a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 5. b)CMR ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiªm ph©n biÖt víi mäi m. 1 1 c)TÝnh A = 3 3 theo m. d)T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ®èi nhau. x1 x2 Bµi tËp 52: Cho ph­¬ng tr×nh (m 2)x2 2mx m 4 0 (1) 3 a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai. b)Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = . 2 c)T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh«ng ©m. Bµi tËp 53: Cho ph­¬ng tr×nh x2 px q 0 (1) a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi p = 3 3 ; q = 3 3 . b) T×m p , q ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm : x1 2, x2 1 2 c) CMR : nÕu (1) cã hai nghiÖm d­¬ng x1, x2 th× ph­¬ng tr×nh qx px 1 0 cã hai nghiÖm d­¬ng x3 , x4 1 1 x1 x2 d) LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm lµ 3x1va3x2 ; 2 vµ 2 ; vµ x1 x2 x2 x1 Bµi tËp 54: Cho ph­¬ng tr×nh x2 (2m 1)x m 0 (1) a) CMR ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiªm ph©n biÖt víi mäi m. b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho¶ m·n : x1 x2 1; 2 2 c) T×m m ®Ó x1 x2 6x1x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Bµi tËp 55: Cho ph­¬ng tr×nh x2 2(m 1)x 2m 10 0 (1) a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = -6. 2 2 b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm x1, x2 . T×m GTNN cña biÓu thøc A x1 x2 10x1x2 Bµi tËp 56: Cho ph­¬ng tr×nh (m 1)x2 (2m 3)x m 2 0 (1) a) T×m m ®Ó (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. b) T×m m ®Ó (1) cã hai nghiÖm x1, x2 . H·y tÝnh nghiÖm nµy theo nghiÖm kia. Bµi tËp 57: Cho ph­¬ng tr×nh x2 2(m 2)x (m2 2m 3) 0 (1) 1 1 x1 x2 T×m m ®Ó (1) cã hai nghiÖm x1, x2 ph©n biÖt tho¶ m·n x1 x2 5 Bµi tËp 58: Cho ph­¬ng tr×nh x2 mx n 0 cã 3 m2 = 16n. CMR hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh , cã mét nghiÖm gÊp ba lÇn nghiÖm kia. 2 Bµi tËp 59 : Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 2x 3x 5 0 . Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh , h·y tÝnh : - 18 -
  19. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng 1 1 2 a) ; b) (x1 x2 ) ; c) x 3 x 3 d) x1 x2 x1 x2 1 2 Bµi tËp 60 : LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm b»ng : a) 3 vµ 2 3 ; b) 2 - 3 vµ 2 + 3 . Bµi tËp 62 : LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm b»ng : a) B×nh ph­¬ng cña c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x2 2x 1 0 ; b) NghÞch ®¶o cña c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x2 mx 2 0 Bµi tËp 63 : X¸c ®Þnh c¸c sè m vµ n sao cho c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x2 mx n 0 còng lµ m vµ n. Bµi tËp 64: Cho ph­¬ng tr×nh x2 2mx (m 1)3 0 (1) a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) khi m = -1. b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt , trong ®ã mét nghiÖm b»ng b×nh phu¬ng nghiÖm cßn l¹i. Bµi tËp 65: Cho ph­¬ng tr×nh 2x2 5x 1 0 (1) TÝnh x1 x2 x2 x1 ( Víi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh) Bµi tËp 66: Cho ph­¬ng tr×nh (2m 1)x2 2mx 1 0 (1) a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm thuéc kho¶ng ( -1; 0 ). 2 2 b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n x1 x2 1 Bµi tËp 67: T×m c¸c gi¸ rÞ cña a ®Ó ptr×nh : (a 2 a 3)x 2 a 2 x 3a 2 0 NhËn x=2 lµ nghiÖm .T×m nghiÖm cßn l¹i cña ptr×nh ? Bµi tËp 68 X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m trong ph­¬ng tr×nh bËc hai : x2 8x m 0 ®Ó 4 + 3 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . Víi m võa t×m ®­îc , ph­¬ng tr×nh ®· cho cßn mét nghiÖm n÷a . T×m nghiÖm cßn l¹i Êy? Bµi tËp 69: Cho ph­¬ng tr×nh : x2 2(m 1)x m 4 0 (1) , (m lµ tham sè). 1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) víi m = -5. 2) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm x1, x2 ph©n biÖt mäi m. 3) T×m m ®Ó x1 x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ( x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) nãi trong phÇn 2/ ) . 2 2 1 Bµi tËp 70: Cho ph­¬ng tr×nh ( Èn x) : x - 2mx + m – = 0 (1) 2 1) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm vµ c¸c nghiÖm cña ptr×nh cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng nhau 2) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm vµ c¸c nghiÖm Êy lµ sè ®o cña 2 c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng cã c¹nh huyÒn b»ng 3. Bµi tËp 72: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh : x 2 2x x 1 m 0 cã ®óng hai nghiÖm ph©n biÖt. x2 (2m 3)x 6 0 Bµi tËp 73: Cho hai ph­¬ng tr×nh sau : ( x lµ Èn , m lµ tham sè ) 2x2 x m 5 0 T×m m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh ®· cho cã ®óng mét nghiÖm chung. Bµi tËp 74: Cho ph­¬ng tr×nh : x2 2(m 1)x m2 1 0 víi x lµ Èn , m lµ tham sè cho tr­íc 1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®· cho kho m = 0. 2) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm d­¬ng x1, x2 ph©n biÖt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 2 2 x1 x2 4 2 Bµi tËp 75: Cho ph­¬ng tr×nh : m 2 x2 1 2m x m 3 0 ( x lµ Èn ; m lµ tham sè ). 9 a)Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = - b) CMR ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm víi mäi m. 2 c)T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho pt cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ nghiÖm nµy gÊp ba lÇn nghiÖm kia. - 19 -
  20. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng Bµi tËp 76: Cho ph­¬ng tr×nh x2 + x – 1 = 0 . a) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu . 8 b) Gäi x1 lµ nghiÖm ©m cña ph­¬ng tr×nh . H·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc : P x1 10x1 13 x1 Bµi tËp 77: Cho ph­¬ng tr×nh víi Èn sè thùc x: x2 - 2(m – 2 ) x + m - 2 =0. (1) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp. TÝnh nghiÖm kÐp ®ã. Bµi tËp 78: Cho ph­¬ng tr×nh : x2 + 2(m-1) x +2m - 5 =0. (1) a) CMR ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m. 2 2 b) T×m m ®Ó 2 nghiÖm x1, x2 cña (1) tho¶ m·n : x1 x2 14 . Bµi tËp 81:Cho ph­¬ng tr×nh : x2 - 2(m-1) x +2m - 3 =0. a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu. b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm nµy b»ng b×nh ph­¬ng nghiÖm kia. Bµi tËp 82: Cho ph­¬ng tr×nh : x2 6x 6a a2 0. 1) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm. 3 2) Gi¶ sö x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh nµy. H·y t×m gi¸ trÞ cña a sao cho x2 x1 8x1 Bµi tËp 83: Cho ph­¬ng tr×nh : mx2 -5x – ( m + 5) = 0 (1) trong ®ã m lµ tham sè, x lµ Èn. a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 5. b) Chøng tá r»ng ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm víi mäi m. c) Trong tr­êng hîp ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 , h·y tÝnh theo m gi¸ trÞ cña biÓu thøc B = 2 2 10x1x2 3(x1 x2 ) . T×m m ®Ó B = 0. Bµi tËp 85:Cho a, b , c, lµ c¸c sè d­¬ng tho¶ m·n ®¼ng thøc a2 b2 ab c2 . CMR ph­¬ng tr×nh x2 2x (a c)(b c) 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt. 2 1) Cho ph­¬ng tr×nh x x p 0 cã hai nghiÖm d­¬ng x1, x2 . X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña p khi 4 4 5 5 x1 x2 x1 x2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. 2 Bµi tËp 86: Cho ph­¬ng tr×nh : (m + 1 ) x – ( 2m + 3 ) x +2 = 0 , víi m lµ tham sè. a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 1. b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt sao cho nghiÖm nµy gÊp 4 lÇn nghiÖm kia. Bµi tËp 87: Cho ph­¬ng tr×nh : x2 3y2 2xy 2x 10y 4 0 (1) 1) T×m nghiÖm ( x ; y ) cña ph­¬ng tr×nh ( 1 ) tho¶ m·n x2 y2 10 2) T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh (1). Bµi tËp 88: Gi¶ sö hai ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x : 2 2 a1x b1x c1 0 vµ a2 x b2 x c2 0 2 Cã nghiÖm chung. CMR : a1c2 a2c1 a1b2 a2b1 b1c2 b2c1 . Bµi tËp 89: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x : x2 2(m 1)x 2m2 3m 1 0 a) Chøng minh ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi 0 m 1 9 b) Gäi x , x lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh , chøng minh : x x x x 1 2 1 2 1 2 8 Bµi tËp 90: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x : 2x2 2mx m2 2 0 a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm. b) Gäi x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh , t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : A 2x1x2 x1 x2 4 . Bµi tËp 91: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x : (m 1)x2 2(m 1)x m 3 0 víi m 1. (1) a) CMR (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m. b) Gäi x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) , t×m m ®Ó x1x2 0 vµ x1 2x2 Bµi tËp 92: Cho a , b , c lµ ®ä dµi 3 c¹nh cña 1 tam gi¸c . CMR ph­¬ng tr×nh x2 (a b c)x ab bc ac 0 v« nghiÖm . Bµi tËp 94: Cho c¸c ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x : 2 2 2 x bx c 0 cã c¸c nghiÖm x1, x2 ; ph­¬ng tr×nh x b x bc 0 cã c¸c nghiÖm x3 , x4 . BiÕt x3 x1 x4 x2 1. X¸c ®Þnh b, c. - 20 -
  21. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng Bµi tËp 95 . Cho hai ph­¬ng tr×nh : x2- mx +3 = 0 vµ x2- x +m+2= 0 . a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm chung. B) T×m m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng. Bµi tËp 96. Cho ph­¬ng tr×nh (a-3)x2- 2(a-1)x +a-5 = 0 . a) t×m a ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2. 1 1 b) T×m a sao cho + <3 . c)T×m mét hÖ thøc ®éc lËp gi÷a x1, x2. x1 x 2 Bµi tËp 97. Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai: x2 +(m+2)x +m= 0 . a)Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m =- 2 . B)T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2. 2 2 c)T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña C x1 x2 Bµi tËp 98: Cho ph­¬ng tr×nh mx2 – 2( m + 1) x + (m- 4) = 0 (1) a)T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm b) T×m m ®Ó PT(1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu . Khi ®ã trong hai nghiÖm nµo cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n ? c)X¸c ®Þnh m ®Ó nghiÖm x1 ; x2 cña PT (1) cã hai nghiÖm tho¶ m·n x1 + 4x2 = 3 d)T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 ; x2 kh«ng phô thuéc vµo m 2 Bµi tËp 99: Cho ph­¬ng tr×nh mx – 2( m -2) x + (m – 3) = T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó nghiÖm x1 ;x2 cña PT tho¶ 2 2 m·n ®iÒu kiÖn x1 + x2 = 1 Bµi tËp 100: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ m ®Ó PT sau cã hai nghiÖm ph©n biÖt tr¸i ®Êu (m – 1)x2 – 2x + 3 = 0 Chuyên đề 8 : GIẢI BÀI TOÁN BẲNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. PHƯƠNG PHÁP CHUNG: - B1: Lập phương trình + Chọn ẩn, đặt điều kiện cho ẩn + Biểu diễn đại lượng chưa biết qua ẩn và đại lượng đã biết + Lập ra phương trình (hệ phương trình) - B2: Giải phương trình (hệ pt) - B3: Kiểm tra và kết luận B. CÁC DẠNG TOÁN I. Dạng 1: Tìm số * Chú ý: + Số tự nhiên có 2 chữ số: xy 10x y + Số tự nhiên có 3 chữ số: xyz 100x 10y z * Ví dụ: Bài 1: Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 17 và tổng các bình phương của chúng là 157. Gọi số thứ nhất là x (x < 17) Số thứ hai là: 17 – x 2 2 2 Theo bài ra ta có pt: x 17 x 157 2x 34x 132 0 x1 11; x2 6 Vậy 2 số cần tìm là: 11 và 6 Bài 2: Lấy 1 số có 2 chữ số chia cho số viết theo thứ tự ngược lại thì được thương là 4 và dư 15. nếu lấy số đó trừ đi 9 thì được 1 số bằng tổng bình phương của mỗi chữ số đó. Tìm số này? Gọi số cần tìm là xy x, y N;0 x, y 9 Số viết theo thứ tự ngược lại là: yx Vì lấy xy đem chia cho yx được thương là 4 và dư 15 nên ta có: xy 4yx 15 2x 13y 5 (1) Lấy xy trừ đi 9 được 1 số bằng tổng bình phương của mỗi chữ số, nên ta có: xy 9 x2 y2 10x y 9 x2 y2 (2) 2x 13y 5 x 9 Từ (1) và (2) ta có hpt: xy 91 2 2 10x y 9 x y y 1 II. Dạng 2: Dạng toán chuyển động: ( trên đường bộ, đường sông ) s s * Chú ý: S v.t v ;t t v - 21 -
  22. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng + Vxuôi=Vriêng+Vnước + Vngược=Vriêng-Vnước + Vxuôi –Vngược =2.Vnước Ví dụ: Bài 1: 1 xuồng máy xuôi dòng 30km, và ngược dòng 28km hết 1 thời gian bằng thời gian mà xuồng máy đi 59,5km trên mặt hồ yên lặng. Tính vận tốc của xuồng khi đi trên hồ yên lặng, biết rằng vận tốc của nước là 3km/h V S T Nước yên lặng x 59,5 59,5 119 x 2x xuôi x 3 30 30 x 3 Ngược x 3 28 28 x 3 Ta có pt: 119 30 28 119 x 3 x 3 2x.30. x 3 2x.28. x 3 2x x 3 x 3 2 2 3x 12x 1071 0 x 4x 357 0 x1 17; x2 21 Bài 5: Một ô tô đi từ Hải Phòng về Hà Nội, đường dài 100km, người lái xe tính rằng nếu tăng vận tốc thêm 10 km/h thì về đến Hà Nội sớm nửa giờ. Tính vận tốc của ô tô nếu không tăng. * Lập bảng Quãng đường Vận tốc Thời gian Không tăng 100 x 100/x Tăng 100 x + 10 100/x + 10 100 100 1 * Ta có phương trình: x x 10 2 Bài 6. Một ô tô đi quãng đường AB dài 840km, sau khi đi được nửa đường xe dừng lại 30 phút nên trên quãng đường còn lại, xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h để đến B đúng hẹn. Tính vận tốc ban đầu của ô tô . + Gọi vân tốc ban đầu của ô tô là x (km/h, x > 0) 840 + Thời gian đi hết quãng đường AB theo dự định là: (h) x 420 + Nửa quãng đường đầu ô tô đi hết: (h) x + Vận tốc của ô tô trên nửa quãng đường còn lại là: x + 2 (km/h) 420 + Thời gian của ô tô trên nửa quãng đường còn lại là: (h) x 2 840 420 1 420 + Theo bài ra ta có phương trình sau: x 40; x 42 x x 2 x 2 1 2 III. Dạng 3: Dạng toán làm chung, làm riêng (toán vòi nước chảy) Chú ý: Dạng toán này bao giờ cũng quy về năng suất làm việc trong 1 ngày hoặc 1 h Bài 1. Hai đội công nhân, mỗi đội phải sửa một quãng đường dài 20km, trong một tuần cả hai đội làm tổng cộng được 9km. Tính xem mỗi đội sửa được bao nhiêu km trong một tuần, biết thời gian đội I làm nhiều hơn đội II làm là một tuần . * Lập bảng Tổng số quãng đường phải sửa Mỗi tuần làm được TGHTCV Đội 1 20 x 20/x Đội 2 20 9 – x 20/9 – x 20 20 * Ta có phtrình: 1 x2 49x 180 0 x 45; x 4 x 9 x - 22 -
  23. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng Bài 3: hai vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể sau 1 thời gian thì đầy bể. Nếu vòi 1 chảy 1 mình thì lâu hơn 2h mới đầy bể so với cả 2 vòi, vòi 2 chảy 1 mình thì phải lâu hơn 4,5h mới đầy bể so với cả 2 vòi. Hỏi nếu chảy 1 mình thì mỗi vòi chảy bao lâu mới đầy bể? Cả 2 vòi Vòi 1 Vòi 2 TGHTCV x x 2 x 4,5 1h chảy được 1 1 1 x x 2 x 4,5 1 1 1 Ta có pt: x2 9 x 3 x 2 x 4,5 x Nghiệm thỏa mãn là x = 3 Bài 4: 1 công nhân phải hoàn thành 50 sản phẩm trong 1 thời gian quy định. Do cải tiến kỹ thuật nên mỗi giờ đã tăng năng suất thêm 5 sản phẩm vì thế người ấy hoàn thành kế hoaahj sớm hơn thời gian quy định là 1h40ph. Tính số sản phẩm mỗi giờ người đó phải làm theo dự định. Số sản phẩm mỗi giờ làm TGHTCV Dự định x 50 x Thực tế x 5 50 x 5 . Ta có pt: 50 50 5 x2 5x 150 0 x 10; x 15 x x 5 3 1 2 Nghiệm thỏa mãn là x = 10 bài 8 : Theo kÕ ho¹ch, mét tæ c«ng nh©n ph¶i s¶n xuÊt 360 s¶n phÈm. §Õn khi lµm viÖc, do ph¶i ®iÒu 3 c«ng nh©n ®i lµm viÖc kh¸c nªn mçi c«ng nh©n cßn l¹i ph¶i lµm nhiÒu h¬n dù ®Þnh 4 s¶n phÈm. Hái lóc ®Çu tæ cã bao nhiªu c«ng nh©n? BiÕt r»ng n¨ng suÊt lao ®éng cña mçi c«ng nh©n lµ nh­ nhau. Gi¶i : Gäi x lµ sè c«ng nh©n lóc ®Çu ( c«ng nh©n). §K : x nguyªn d­¬ng, x > 3. 360 360 Theo gt bµi ra ta cã pt : 4 x2 – 3x – 270 = 0 ( = 33 ) x 3 x Gi¶i ra ta ®­îc : x = -15 (lo¹i) ; x =18. §¸p sè : Sè c«ng nh©n lóc ®Çu : 18 ( c«ng nh©n) IV. Dạng 4. Toán liên quan tới yếu tố hình học. - Ta phải nắm được công thức tính chu vi; diện tích của tam giác, hình thang, hình chữ nhật, hình vuông, định lý Pi-ta-go. Bài 1: 1 HCN có chu vi 80m. Nếu tăng chiều dài thêm 3m, tăng chiều rộng thêm 5m thì diện tích của mảnh đất tăng thêm 195m2. Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh đất Gọi chiều dài là x, chiều rộng là y 2 x y 80 x 30 Ta có hpt x 3 y 5 xy 195 y 10 Bài 2: 1 thửa ruộng HCN, nếu tăng chiều dài thêm 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm 100m2. Nếu cùng giảm cả chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 68m 2. Tính diện tích của thửa ruộng đó? Gọi chiều dài HCN là x Gọi chiều rộng HCN là y x 2 y 3 xy 100 x 22 Ta có hpt x 2 y 2 xy 68 y 14 Dạng 5. Toán năng suất (v-ît møc %) * Chú ý: - Năng suất (NS) là số sản phẩm làm được trong một đơn vị thời gian (t). - (NS) x (t) = Tổng sản phẩm thu hoạch - 23 -
  24. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng Bài 46) Trong th¸ng I hai tæ s¶n xuÊt ®-îc 600 chi tiÕt m¸y.sang th¸ng II tæ mét v-ît møc 18% vµ tæ hai v­ît møc 21% nªn s¶n xuÊt ®­îc 720 chi tiÕt m¸y .TÝnh sè chi tiÕt m¸y cña mçi tæ lµm ®­îc trong th¸ng I 47) Trong th¸ng I hai tæ s¶n xuÊt ®­îc 300 chi tiÕt m¸y.sang th¸ng II tæ mét v­ît møc 15% vµ tæ hai v­ît møc 20% nªn s¶n xuÊt ®­îc 352 chi tiÕt m¸y .TÝnh sè chi tiÕt m¸y cña mçi tæ lµm ®­îc trong th¸ng I 48) Trong th¸ng I hai tæ s¶n xuÊt ®­îc 800 chi tiÕt m¸y.sang th¸ng II tæ mét v­ît møc 15% vµ tæ hai v­ît møc 20% nªn s¶n xuÊt ®­îc 945 chi tiÕt m¸y .TÝnh sè chi tiÕt m¸y cña mçi tæ lµm ®­îc trong th¸ng I 49) Trong th¸ng I hai tæ s¶n xuÊt ®­îc 720 chi tiÕt m¸y.sang th¸ng II tæ mét v­ît møc 15% vµ tæ hai v­ît møc 12% nªn s¶n xuÊt ®­îc 819 chi tiÕt m¸y .TÝnh sè chi tiÕt m¸y cña mçi tæ lµm ®­îc trong th¸ng I 50) Trong th¸ng I hai tæ s¶n xuÊt ®­îc 500 chi tiÕt m¸y.sang th¸ng II tæ mét v­ît møc 12% vµ tæ hai v­ît møc 25% nªn s¶n xuÊt ®­îc 599 chi tiÕt m¸y .TÝnh sè chi tiÕt m¸y cña mçi tæ lµm ®­îc trong th¸ng I C. Bài tập vận dụng 1. chuyÓn ®éng Bµi 1: Hai tØnh A vµ B c¸ch nhau 180 km . Cïng mét lóc , mét «t« ®i tõ A ®Õn B vµ mét xe m¸y ®i tõ B vÒ A . Hai xe gÆp nhau t¹i thÞ trÊn C . Tõ C ®Õn B «t« ®i hÕt 2 giê , cßn tõ C vÒ A xe m¸y ®i hÕt 4 giê 30 phót . TÝnh vËn tèc cña mçi xe biÕt r»ng trªn ®­êng AB hai xe ®Òu ch¹y víi vËn tèc kh«ng ®æi Bµi 2: Mét ca n« xu«i dßng tõ bÕn A ®Õn bÕn B råi l¹i ng­îc dßng tõ bÕn B vÒ bÕn A mÊt tÊt c¶ 4 giê . TÝnh vËn tèc cña ca n« khi n­íc yªn lÆng ,biÕt r»ng qu·ng s«ng AB dµi 30 km vµ vËn tèc dßng n­íc lµ 4 km/h. Bµi3: Mét ca n« xu«i tõ bÕn A ®Õn bÕn B víi vËn tèc 30 km/h , sau ®ã l¹i ngù¬c tõ B trë vÒ A .Thêi gian xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ng­îc 1 giê 20 phót . TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A vµ B biÕt r»ng vËn tèc dßng n­íc lµ 5 km/h Bµi 4: Mét ng­êi chuyÓn ®éng ®Òu trªn mét qu·ng ®­êng gåm mét ®o¹n ®­êng b»ng vµ mét ®o¹n ®­êng dèc . VËn tèc trªn ®o¹n ®­êng b»ng vµ trªn ®o¹n ®­êng dèc t­¬ng øng lµ 40 km/h vµ 20 km/h . BiÕt r»ng ®o¹n ®­êng dèc ng¾n h¬n ®o¹n ®­êng b»ng lµ 110km vµ thêi gian ®Ó ng­êi ®ã ®i c¶ qu·ng ®­êng lµ 3 giê 30 phót . TÝnh chiÒu dµi qu·ng ®­êng ng­êi ®ã ®· ®i. Bµi 5: Mét xe t¶i vµ mét xe con cïng khëi hµnh tõ A ®Õn B . Xe t¶I ®i víi vËn tèc 30 Km/h , xe con ®i 3 víi vËn tèc 45 Km/h. Sau khi ®i ®­îc qu·ng ®­êng AB , xe con t¨ng vËn tèc thªm 5 Km/h trªn qu·ng 4 ®­êng cßn l¹i . TÝnh qu·ng ®­êng AB biÕt r»ng xe con ®Õn B sím h¬n xe t¶i 2giê 20 phót. Bµi 6: Mét ng­êi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B c¸ch nhau 33 Km víi mét vËn tèc x¸c ®Þnh . Khi tõ B vÒ A ng­êi ®ã ®i b»ng con ®­êng kh¸c dµi h¬n tr­íc 29 Km nh­ng víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc lóc ®i 3 Km/h . TÝnh vËn tèc lóc ®i , biÕt r»ng thêi gian vÒ nhiÒu h¬n thêi gian ®i lµ 1 giê 30 phót. Bµi 7:Hai ca n« cïng khëi hµnh tõ hai bÕn A, B c¸ch nhau 85 Km ®i ng­îc chiÒu nhau . Sau 1h40’ th× gÆp nhau . TÝnh vËn tèc riªng cña mçi ca n« , biÕt r»ng vËn tèc ca n« ®i xu«i lín h¬n vËn tèc ca n« ®i ng­îc 9Km/h vµ vËn tèc dßng n­íc lµ 3 Km/h. Bµi 95: Hai ®Þa ®iÓm A,B c¸ch nhau 56 Km . Lóc 6h45phót mét ng­êi ®i xe ®¹p tõ A víi vËn tèc 10 Km/h . Sau ®ã 2 giê mét ng­êi ®i xe ®¹p tõ B ®Õn A víi vËn tèc 14 Km/h . Hái ®Õn mÊy giê hä gÆp nhau vµ chç gÆp nhau c¸ch A bao nhiªu Km ? Bµi 8: Mét ng­êi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B víi vËn tèc 15 Km/h . Sau ®ã mét thêi gian, mét ng­êi ®i xe m¸y còng xuÊt ph¸t tõ A víi vËn tèc 30 Km/h vµ nÕu kh«ng cã g× thay ®æi th× sÏ ®uæi kÞp ng­êi ®i xe m¸y t¹i B . Nh­ng sau khi ®i ®­îc nöa qu·ng ®­êng AB , ng­êi ®i xe ®¹p gi¶m bít vËn tèc 3 Km/h nªn hai ng­ßi gÆp nhau t¹i C c¸ch B 10 Km . TÝnh qu·ng ®­êng AB Bµi 9: Mét ng­êi ®i xe m¸y tõ A ®Õn B víi vËn tèc trung b×nh lµ 30 Km/h . Khi ®Õn B ng­êi ®ã nghØ 20 phót råi quay trë vÒ A víi vËn tèc trung b×nh lµ 24 Km/h . TÝnh q/®­êng AB biÕt r»ng thêi gian c¶ ®i lÉn vÒ lµ 5 giê 50 phót. Bµi 10: Mét ca n« xu«i tõ bÕn A ®Õn bÕn B víi vËn tèc trung b×nh 30 Km/h , sau ®ã ng­îc tõ B vÒ A . Thêi gian ®i xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ng­îc lµ 40 phót . TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A vµ B biÕt r»ng vËn tèc dßng n­íc lµ 3 Km/h vµ vËn tèc riªng cña ca n« lµ kh«ng ®æi . Bµi 11: Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ tØnh A ®Õn tØnh B víi vvËn tèc trung b×nh lµ 40 Km/h . Lóc ®Çu « t« ®i víi vËn tèc ®ã , khi cßn 60 Km n÷a th× ®­îc mét nöa qu·ng ®­êng AB , ng­êi l¸i xe t¨ng vËn tèc thªm 10 Km/h trªn qu·ng ®­êng cßn l¹i . Do ®ã « t« ®Õn tØnh B sím h¬n 1 giê so víi dù ®Þnh . TÝnh qu·ng ®­êng AB. - 24 -
  25. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng Bµi 12: Hai ca n« khëi hµnh cïng mét lóc vµ ch¹y tõ bÕn A ®Õn bÕn B . Ca n« I ch¹y víi vËn tèc 20 Km/h , ca n« II ch¹y víi vËn tèc 24 Km/h . Trªn ®­êng ®i ca n« II dõng l¹i 40 phót , sau ®ã tiÕp tôc ch¹y . TÝnh chiÒu dµi qu·ng ®­êng s«ng AB biÕt r»ng hai ca n« ®Õn B cïng mét lóc . Bµi 13: Mét ng­êi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B c¸ch nhau 50 Km . Sau ®ã 1 giê 30 phót , mét ng­êi ®i xe m¸y còng ®i tõ A vµ ®Õn B sím h¬n 1 giê . TÝnh v tèc cña mçi xe , biÕt r»ng vËn tèc cña xe m¸y gÊp 2,5 lÇn vËn tèc xe ®¹p. Bµi 14: Mét ca n« ch¹y trªn s«ng trong 7 giê , xu«i dßng 108 Km vµ ng­îc dßng 63 Km. Mét lÇn kh¸c , ca n« ®ã còng ch¹y trong 7 giê, xu«i dßng 81 Km vµ ng­îc dßng 84 Km . TÝnh vËn tèc dßng n­íc ch¶y vµ vËn tèc riªng ( thùc ) cña ca n«. Bµi15: Mét tÇu thuû ch¹y trªn mét khóc s«ng dµi 80 Km , c¶ ®i vµ vÒ mÊt 8 giê 20 phót . TÝnh vËn tèc cña tÇu khi n­íc yªn lÆng , biÕt r»ng vËn tèc dßng n­íc lµ 4 Km/h. Bµi 16: Mét chiÕc thuyÒn khëi hµnh tõ bÕn s«ng A . Sau ®ã 5 giê 20 phót mét chiÕc ca n« ch¹y tõ bÕn s«ng A ®uæi theo vµ gÆp chiÕc thuyÒn t¹i mét ®iÓm c¸ch bÕn A 20 Km. Hái vËn tèc cña thuyÒn , biÕt r»ng ca n« ch¹y nhanh h¬n thuyÒn 12 Km/h. Bµi 17: Mét «t« chuyÓn ®éng ®Òu víi vËn tèc ®· ®Þnh ®Ó ®i hÕt qu·ng ®­êng dµi 120 Km trong mét thêi gian ®· ®Þnh . §i ®­îc mét nöa qu·ng ®­êng xe nghØ 3 phót nªn ®Ó ®Õn n¬i ®óng giê , xe ph¶i t¨ng vËn tèc thªm 2 Km/h trªn nöa qu·ng ®­êng cßn l¹i . TÝnh thêi gian xe l¨n b¸nh trªn ®­êng . Bµi 18: Mét «t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Ðn B c¸ch nhau 120 Km trong mét thêi gian quy ®Þnh . Sau khi ®i ®­îc 1 giê «t« bÞ ch¾n ®­êng bëi xe ho¶ 10 phót . Do ®ã , ®Ó ®Õn B ®óng h¹n , xe ph¶i t¨ng vËn tèc thªm 6 Km/h . TÝnh vËn tèc lóc ®Çu cña «t«. Bµi19: Mét ng­êi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B trong mét thêi gian ®· ®Þnh . Khi cßn c¸ch B 30 Km , ng­êi ®ã nhËn thÊy r»ng sÏ ®Õn B chËm nöa giê nÕu gi÷ nguyªn vËn tèc ®ang ®i , nh­ng nÕu t¨ng vËn tèc thªm 5 Km/h th× sÏ tíi ®Ých sím h¬n nöa giê.TÝnh v/tèc cña xe ®¹p tren qu·ng ®­êng ®· ®i lóc ®Çu. 2. Làm chung làm riêng, năng suất Bµi 20: Hai ®éi c«ng nh©n cïng lµm mét c«ng viÖc th× lµm xong trong 4 giê . NÕu mçi ®éi lµm mét m×nh ®Ó lµm xong c«ng viÖc Êy , th× ®éi thø nhÊt cÇn thêi gian Ýt h¬n so víi ®éi thø hai lµ 6 giê . Hái mçi ®éi lµm mét m×nh xong c«ng viÖc Êy trong bao l©u? Bµi 21: Mét xÝ nghiÖp ®ãng giÇy dù ®Þnh hoµn thµnh kÕ ho¹ch trong 26 ngµy . Nh­ng do c¶i tiÕn kü thuËt nªn mçi ngµy ®· v­ît møc 6000 ®«i giÇy do ®ã ch¼ng nh÷ng ®· hoµn thµnh kÕ ho¹ch ®· ®Þnh trong 24 ngµy mµ cßn v­ît møc 104 000 ®«i giÇy . TÝnh sè ®«i giÇy ph¶i lµm theo kÕ ho¹ch. Bµi 22: Mét c¬ së ®¸nh c¸ dù ®Þnh trung b×nh mçi tuÇn ®¸nh b¾t ®­îc 20 tÊn c¸ , nh­ng ®· v­ît møc ®­îc 6 tÊn mçi tuÇn nªn ch¼ng nh÷ng ®· hoµn thµnh kÕ ho¹ch sím 1 tuÇn mµ cßn v­ît møc kÕ ho¹ch 10 tÊn . TÝnh møc kÕ ho¹ch ®· ®Þnh Bµi 23: Mét ®éi xe cÇn chuyªn chë 36 tÊn hµng . Trøoc khi lµm viÖc ®éi xe ®ã ®­îc bæ xung thªm 3 xe n÷a nªn mçi xe chë Ýt h¬n 1 tÊn so víi dù ®Þnh . Hái ®éi xe lóc ®Çu cã bao nhiªu xe ? BiÕt r»ng sè hµng chë trªn tÊt c¶ c¸c xe cã khèi l­îng b»ng nhau. Bµi 24: Hai tæ s¶n xuÊt cïng nhËn chung mét møc kho¸n . NÕu lµm chung trong 4 giê th× hoµn thµnh 2 ®­îc møc kho¸n . NÕu ®Ó mçi tæ lµm riªng th× tæ nµy sÏ lµm xong møc kho¸n th× mçi tæ ph¶i lµm 3 trong bao l©u ? Bµi 25: Hai tæ c«ng nh©n lµm chung trong 12 giê sÏ hoµn thµnh xong c«ng viÖc ®· ®Þnh . Hä lµm chung víi nhau trong 4 giê th× tæ thø nhÊt ®­îc ®iÒu ®i lµm viÖc kh¸c , tæ thø hai lµm nèt c«ng viÖc cßn l¹i trong 10 giê . Hái tæ thø hai lµm mét m×nh th× sau bao l©u sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc. Bµi 26: Hai ng­êi thî cïng lµm mét c«ng viÖc trong 16 giê th× xong . NÕu ng­êi thø nhÊt lµm 3 giê vµ ng­êi thø hai lµm 6 giê th× hä lµm ®­îc 25% c«ngviÖc . Hái mçi ng­êi lµm c«ng viÖc ®ã trong mÊy giê th× xong . 3. ThÓ tÝch Bµi 27: Hai vßi n­íc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ kh«ng chøa n­íc ®· lµm ®Çy bÓ trong 5 giê 50 phót . NÕu ch¶y riªng th× vßi thø hai ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø nhÊt lµ 4 giê . Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y trong bao l©u sÏ ®Çy bÓ ? Bµi 28: Hai vßi n­íc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ kh«ng cã n­íc vµ ch¶y ®Çy bÓ mÊt 1 giê 48 phót . NÕu ch¶y riªng , vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai trong 1 giê 30 phót . Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi sÏ ch¶y ®Çy bÓ trong bao l©u ? Bµi 29: Mét m¸y b¬m muèn b¬m ®Çy n­íc vµo mét bÓ chøa trong mét thêi gian quy ®Þnh th× mçi giê 1 ph¶i b¬m ®­îc 10 m3 . Sau khi b¬m ®­îc thÓ tÝch bÓ chøa , m¸y b¬m ho¹t ®éng víi c«ng suÊt lín 3 3 h¬n , mçi giê b¬m ®­îc 15 m . Do vËy so víi quy ®Þnh , bÓ chøa ®­îc b¬m ®Çy tr­íc 48 phót. TÝnh thÓ tÝch bÓ chøa. - 25 -
  26. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng Bµi 30: NÕu hai vßi n­íc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ chøa kh«ng cã n­íc th× sau 1 giê 30 phót sÏ ®Çy bÓ . 1 NÕu më vßi thø nhÊt trong 15 phót råi kho¸ l¹i vµ më vßi thø hai ch¶y tiÕp trong 20 phót th× sÏ ®­îc 5 bÓ . Hái mçi vßi ch¶y riªng th× sau bao l©u sÏ ®Çy bÓ ? Bµi 31: Hai vßi n­íc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ chøa kh«ng cã n­íc th× sau 2 giê 55 phót sÏ ®Çy bÓ . NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai 2 giê . Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y ®Çy bÓ trong bao l©u ? 32: Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc ®i tõ A ®Õn B c¸ch nhau 300 km . ¤ t« thø nhÊt mçi giê ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai 10 km nªn ®Õn B sím h¬n « t« thø hai 1 giê . TÝnh vËn tèc mçi xe « t« . 33.Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 50 km/h. Sau khi ®i ®­îc 2/3 qu·ng ®­êng víi vËn tèc ®ã, v× ®­êng khã ®i nªn ng­êi l¸i xe ph¶i gi¶m vËn tèc mçi giê 10 km trªn qu·ng ®­êng cßn l¹i. Do ®ã « t« ®Õn B chËm 30 phót so víi dù ®Þnh. TÝnh qu·ng ®­êng AB. 35.Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Òn B trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh . NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 35 km/h th× ®Õn chËm mÊt 2 giê. NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 50 km/h th× ®Õn sím h¬n 1 giê . TÝnh qu·ng ®êng AB vµ thêi gian dù ®Þnh ®i lóc ®Çu . 36. Qu·ng ®­êng AB dµi 180 km. Cïng mét lóc hai «t« khëi hµnh tõ A ®Ó ®Õn B. Do vËn tèc cña «t« thø nhÊt h¬n vËn tèc cña «t« thø hai lµ 15 km/h nªn «t« thø nhÊt ®Õn sím h¬n «t« thø hai 2h. TÝnh vËn tèc cña mçi «t«? 37. Kho¶ng c¸ch gi÷a hai thµnh phè A vµ B lµ 180 km. Mét « t« ®i tõ A ®Õn B, nghØ 90 phót ë B råi trë l¹i tõ B vÒ A. Thêi gian tõ lóc ®i ®Õn lóc trë vÒ lµ 10 giê. BiÕt vËn tèc lóc vÒ kÐm vËn tèc lóc ®i lµ 5 km/h. TÝnh vËn tèc lóc ®i cña « t«. 38. Mét ca n« xu«i dßng tõ bÕn s«ng A ®Õn bÕn s«ng B c¸ch nhau 24 km, cïng lóc ®ã còng tõ A mét bÌ nøa tr«i víi vËn tèc dßng n­íc 4 km/h. Khi ®Õn B ca n« quay l¹i ngay vµ gÆp bÌ nøa tr«i t¹i mét ®Þa ®iÓm C c¸ch A lµ 8 km. TÝnh vËn tèc thùc cña ca n«. 39.Kho¶ng c¸ch gi÷a hai tØnh A vµ B lµ 108 km. Hai « t« cïng khëi hµnh mét lóc ®i tõ A ®Õn B, mçi giê xe thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n xe thø hai 6 km nªn ®Õn B tr­íc xe thø hai 12 phót. TÝnh vËn tèc mçi xe. 40 .Mét ca n« xu«i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 30km/h, sau ®ã ng­îc tõ B trë vÒ A. Thêi gian ®i xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ng­îc lµ 40'. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B . BiÕt vËn tèc ca n« kh«ng ®æi, vËn tèc dßng n­íc lµ 3km/h. 41. Hai ng­êi thî cïng lµm mét c«ng viÖc trong 16 giê th× xong. NÕu ng­êi thø nhÊt lµm 3 giê vµ ng­êi thø 2 lµm 6 giê th× hä lµm ®­îc 25% c«ng viÖc. Hái mçi ng­êi lµm mét m×nh c«ng viÖc ®ã trong mÊy giêi th× xong? 42. Hai vËt chuyÓn ®éng trªn mét ®­êng trßn cã ®­êng kÝnh 20m , xuÊt ph¸t cïng mét lóc tõ cïng mét ®iÓm. NÕu chóng chuyÓn ®éng ng­îc chiÒu nhau th× cø 2 gi©y l¹i gÆp nhau. NÕu chóng chuyÓn ®éng cïng chiÒu nhau th× cø sau 10 gi©y l¹i gÆp nhau. TÝnh vËn tèc cña mçi vËt. 43. Th¸ng thø nhÊt hai tæ s¶n xuÊt ®­îc 800 s¶n phÈm. Sang th¸ng thø hai tæ 1 v­ît 15%.tæ 2 v­ît 20%. Do ®ã cuèi th¸ng c¶ hai tæ x¶n xuÊt ®ùoc 945 s¶n phÈm. TÝnh xem trong th¸ng thø nhÊt mçi tæ s¶n xuÊt ®­îc bao nhiªu s¶n phÈm 44.Mét nhµ m¸y dù ®Þnh s¶n xuÊt chi tiÕt m¸y trong thêi gian ®· ®Þnh vµ dù ®Þnh sÏ s¶n xuÊt 300 chi tiÕt m¸y trong mét ngµy. Nh­ng thùc tÕ mçi ngµy ®· lµm thªm ®­îc 100 chi tiÕt, nªn ®· s¶n xuÊt thªm ®­îc tÊt c¶ lµ 600 chi tiÕt vµ hoµn thµnh kÕ ho¹ch tr­íc 1 ngµy. TÝnh sè chi tiÕt m¸y dù ®Þnh s¶n xuÊt. 45. Mét ®éi xe cÇn chuyªn chë 120 tÊn hµng. H«m lµm viÖc cã 2 xe ph¶i ®iÒu ®i n¬i kh¸c nªn mçi xe ph¶i chë thªm 16 tÊn. Hái ®éi cã bao nhiªu xe? 46. Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc tõ ®Þa ®iÓm A ®Ôn ®Þa ®iÓm B. Mçi giê «t« thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n «t« thø hai 12km nªn ®Õn ®Þa ®iÓm B tr­íc « t« thø hai 100phót. TÝnh vËn tèc cña mçi « t« biÕt qu·ng ®­êng AB dµi 240km . 47. NÕu më c¶ hai vßi n­íc ch¶y vµo mét bÓ c¹n th× sau 2 giê 55phót bÓ ®Çy bÓ. NÕu më riªng tõng vßi th× vßi thø nhÊt lµm ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai lµ hai giê. Hái nÕu më riªng tõng vßi th× mçi vßi ch¶y bao l©u ®Çy bÓ? 48. Hai « t« A vµ B khëi hµnh cïng mét lóc tõ hai tØnh c¸ch nhau 150km, ®i ng­îc chiÒu vµ gÆp nhau sau 2 giê. T×m vËn tèc cña mçi « t«, biÕt r»ng nÕu vËn tèc cña « t« A t¨ng thªm 5km/h vµ vËn tèc « t« B gi¶m 5km/h th× vËn tèc cña « t« A b»ng 2 lÇn vËn tèc cña « t« B. Bµi 49: Hai hîp t¸c x· ®· b¸n cho nhµ n­íc 860 tÊn thãc. TÝnh sè thãc mµ mçi hîp t¸c x· ®· b¸n cho nhµ n­íc. BiÕt r»ng 3 lÇn sè thãc hîp t¸c x· thø nhÊt b¸n cho nhµ n­íc nhiÒu h¬n hai lÇn sè thãc hîp t¸c x· thø hai b¸n lµ 280 tÊn - 26 -
  27. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng 50: Quãng đường AB dài 120 km. Hai xe máy khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. Vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai là 10 km/h nên xe máy thứ nhất đến B trước xe thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe. 52 Tính diện tích của một hình chữ nhật có chiều dài trừ chiều rộng bằng 18 m và chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. 53: Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi là 32 m. Nếu giảm chiều rộng đi 3 m và tăng chiều dài lên 2 m thì diện tích giảm 24 m2. Tính chiều dài và chiều rộng miếng đất đó. Dạng toán về tìm số. 54: Tìm soá töï nhieân coù 2 chöõ soá , bieát raèng 2 laàn chöõ soá haøng ñôn vò lôùn hôn chöõ soá haøng chuïc 1 ñôn vò vaø neáu 2 chöõ soá aáy vieát theo chieàu ngöôïc laïi thì ñöôïc 1 soá môùi (coù 2 chöõ soá ) beù hôn soá cuõ 27 ñôn vò . 55: Cho moät soá coù 2 chöõ soá . Neáu ñoåi choå 2 chöõ soá cuûa noù thì ñöôïc moät soá lôùn hôn chöõ soá ñaõ cho laø 63. toång cuûa soá ñaõ cho vaø soá môùi taïo thaønh baèng 99 . Tìm soá ñaõ cho . ( 18 ) 56: Cho moät soá töï nhieân coù 2 chöõ soá .Neáu ñoåi choå 2 chöõ soá cuûa noù thì ñöôïc moät soá lôùn hôn soá ñaõ cho laø 36. toång cuûa soá ñaõ cho vaø soá môùi taïo thaønh laø 110. Tìm soá ñaõ cho . ( 3 ;7 ) 57: Tìm moät soá coù 2 chöõ soá , bieát raèng toång caùc chöõ soá laø 16, neáu ñoåi choå 2 chöõ soá cho nhau ta ñöôïc soá môùi nhoû hôn soá ban ñaàu 18 ñôn vò .( 9; 7) 58: Tìm 2 soá töï nhieân , bieát raèng toång cuûa chuùng baèng 1006 vaø neáu laáy soá lôùn chia cho soá nhoû thì ñöôïc thöông laø 2 soá dö laø 124. (712;294) 59: tìm 2 soá töï nhieân , bieát raèng hieäu cuûa chuùng baèng 1275 vaø neáu laáy soá lôùn chia cho soá nhoû thì ñöôïc thöông laø 3 soá dö 125 . ( 1850 ; 575 ) 60: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị. 61: Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng 1/4. Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng 5/24. Tìm phân số đó. III. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Phương trình trùng phương Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax4 bx2 c 0 ( a 0 ) . Cách giải: Đặt t x2 (t 0), đưa về phương trình bậc hai at2 bt c 0 . 2. Phương trình bậc bốn dạng: (x a)(x b)(x c)(x d) m với a b c d Cách giải: Đặt t x2 (a b)x , đưa về phương trình bậc hai (t ab)(t cd) m . 3. Phương trình bậc bốn dạng: (x a)4 (x b)4 c a b Cách giải: Đặt t x , đưa về phương trình trùng phương theo t. 2 Chú ý: (x y)4 x4 4x3y 6x2y2 4xy3 y4 . 4. Phương trình bậc bốn dạng: ax4 bx3 c2 bx a 0 Cách giải: – Nhận xét x 0 không phải là nghiệm của phương trình. 2 2 1 1 – Với x 0 , chia 2 vế của phương trình cho x ta được: a x b x c 0 . x2 x 1 Đặt t x , đưa về phương trình bậc hai theo t. x 5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức Cách giải: Thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện xác định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho. - 27 -
  28. Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng 6. Phương trình tích Phương trình tích là phương trình có dạng A.B 0 .Cách giải: A 0 A.B 0 B 0 8. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Cách giải: Có thể dùng các phương pháp sau để bỏ giá trị tuyệt đối: • Dùng định nghĩa hoặc tính chất giá trị tuyệt đối. • Đặt ẩn phụ. 2 2 2 2 A 0 9. Phương trình dạng A B 0 Cách giải: A B 0 B 0 Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 4x4 8x2 12 0 b) 12x4 5x2 30 0 c) 8x4 x2 7 0 7 d) 5x4 3x2 0 e) 4x4 7x2 –2 0 f) x4 –13x2 36 0 g) 2x4 5x2 2 0 16 Bài 2. Giải các phương trình sau: a) x(x 1)(x 2)(x 3) 24 b) (x 1)(x 4)(x2 5x 6) 24 c) (x 1)4 (x 3)4 2 d) (x 2)2(x2 4x) 5 2 1 1 e) 3 x 16 x 26 0 f) 2 1 1 2 2 x 7 x 2 0 x x x 2 x Bài 3. Giải các phương trình sau: a) (x2 –2x)2 –2(x2 –2x) –3 0 b) (x2 4x 2)2 4x2 16x 11 0 c) (x2 – x)2 –8(x2 – x) 12 0 d) (2x 1)4 –8(2x 1)2 –9 0 2 e) (x4 4x2 4) –4(x2 2) –77 0 f) 2 x 1 2 x 1 ĐS: 4 3 0 x 2 x 2 Bài 4. Giải các phương trình sau: 2 x 5 3 x 4 x x 1 2x 5 5 a) b) c) x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x2 5x 6 1 3 1 x x 3 2x 1 x 3 d) 1 e) 6 f) 3 ĐS: 3x2 27 4 x 3 x 2 x 1 x 2x 1 Bài 5. Giải các phương trình sau: a) (4x2 25)(2x2 7x 9) 0 b) (2x2 3)2 4(x 1)2 0 c) 2x(3x 1)2 9x2 1 0 d) x3 3x2 x 3 0 e) x3 5x2 7x 3 0 f) x3 6x2 11x 6 0 Bài 6. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: a) x3 (2m 1)x2 3(m 4)x m 12 0 b) x3 (2m 3)x2 (m2 2m 2)x m2 0 Bài 7. Tìm m để các phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: a) x4 (2m 1)x2 m2 0 b) (x2 1)(x 3)(x 5) m Bài 8. Giải các phương trình sau: a) 3x2 14 x 5 0 b) x 1 x2 x 3 c) x 2 2x 1 x2 2x 3 d) x2 1 x2 4x 4 3x Bài 9. Giải các phương trình sau: a) x 5 x 7 b) x 2 x 6 2 c) 3x 7 x 1 2 d) x2 x2 3x 5 3x 7 e) x2 4x x 14 f) 2x2 6x 1 x 2 Bài 10. Giải các hệ phương trình sau: (Đưa về dạng A2 B2 0 ) a) x 2 y 2 z 2 27 b) x y z 6 2 2 2 xy yz zx 27 x y z 12 - 28 -