Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán tỉnh Hà Nam - Năm học 2019-2020

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán tỉnh Hà Nam - Năm học 2019-2020

1. Nộp sản phẩm: TOÁN HỌA Email: vantien87lp@gmail.com ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH HÀ NAM NĂM HỌC 2019-2020 Câu I (2,0 điểm). 1) Giải phương trình x2 5x 4 0 3x y 3 2) Giải hệ phương trình: 2x y 7 Câu II (2,0 điểm). 4 2 1) Rút gọn biếu thức: A 3 45 5 1 5 1 1 1 3 x 2) Cho biểu thức: B . , (với x 0; x 9 ). 3 x 3 x x 1 Rút gọn biểu thức và tìm tất cả các giá trị nguyên của x để B . 2 Câu III (1.5 điểm). 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol P có phương trình y x2 và đường thẳng 2 d có phương trình y mx 3 m (với m là tham số). 1) Tìm tọa độ điểm M thuộc parabol P , biết điểm M có hoành độ bằng 4. 2) Chứng minh đường thẳng d luôn cắt parabol P tại hai điểm phân biệt. Gọi x1 , x2 2 2 lần lượt là hoành độ của hai điểm A, B . Tìm m để x1 x2 2x1 x2 20 . Câu IV (4.0 điểm). 1) Cho nửa đường tròn O; R đường kính AB . Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn O; R vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn đó. Gọi M là một điểm bất kì trên nửa đường tròn O; R (với M khác A , M khác B ), tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt Ax, By lần lượt tại C và D . a) Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp. b) Chứng minh tam giác COD vuông tại O . c) Chứng minh AC.BD R2 . b) Kẻ MN  AB, N AB ; BC cắt MN tại I . Chứng minh I là trung điểm của MN . 2) Tính thể tích của một hình nón có bán kính đáy r 4 cm, độ dài đường sinh l 5 cm. Câu V (0,5 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc 1 1 1 1 Chứng minh 1 . 2 a 2 b 2 c
2. Hướng dẫn giải Câu I (2,0 điểm). 1) Giải phương trình x2 5x 4 0 Lời giải Ta có a b c 1 5 4 0 x1 1; x2 4 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1;4 . 3x y 3 2) Giải hệ phương trình: 2x y 7 Lời giải 3x y 3 5x 10 x 2 x 2 Ta có x; y 2;3 . 2x y 7 2x y 7 4 y 7 y 3 Câu II (2,0 điểm). 4 2 1) Rút gọn biếu thức: A 3 45 5 1 5 1 Lời giải 4 2 4 5 1 Ta có A 3 45 5 1 9 5 5 1 5 1 5 1 5 1 9 5 5 1 7 5 . 1 1 3 x 2) Cho biểu thức: B . , (với x 0; x 9 ). 3 x 3 x x 1 Rút gọn biểu thức và tìm tất cả các giá trị nguyên của x để B . 2 Lời giải 1 1 3 x 3 x 3 x 3 x Ta có B . . 3 x 3 x x 3 x 3 x x 2 x 3 x 2 . . 3 x 3 x x 3 x 1 2 1 2 1 4 3 x B 0 0 2 3 x 2 3 x 2 2 3 x 1 x 0; * 2 3 x Vì 1 x 0 nên * 3 x 0 x 3 0 x 9
3. Vì x x 1;2;3;4;5;6;7;8 . Câu III (1.5 điểm). 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol P có phương trình y x2 và đường thẳng 2 d có phương trình y mx 3 m (với m là tham số). 1) Tìm tọa độ điểm M thuộc parabol P , biết điểm M có hoành độ bằng 4. Lời giải 1 Vì M P y .42 8 M 4;8 . 2 2) Chứng minh đường thẳng d luôn cắt parabol P tại hai điểm phân biệt. Gọi x1 , x2 2 2 lần lượt là hoành độ của hai điểm A, B . Tìm m để x1 x2 2x1 x2 20 . Lời giải 1 Phương trình hoành độ giao điểm của d và P là x2 mx 3 m 2 x2 2mx 2m 6 0 2 2 Ta có m 2m 6 m2 2m 6 m 1 5 0,m Suy ra đường thẳng d luôn cắt parabol P tại hai điểm phân biệt. x1 x2 2m Ta có hệ thức Vi-ét x1.x2 2m 6 2 2 2 2 Yêu cầu x1 x2 2x1 x2 20 x1 x2 2x1 x2 4x1 x2 20 2 2 x1 x2 4x1 x2 20 2m 4 2m 6 20 2 4m2 8m 4 0 4 m 1 0 m 1 0 m 1 thoa man . Vậy m 1 . Câu IV (4.0 điểm). 1) Cho nửa đường tròn O; R đường kính AB . Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn O; R vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn đó. Gọi M là một điểm bất kì trên nửa đường tròn O; R (với M khác A , M khác B ), tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt Ax, By lần lượt tại C và D . a) Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp. b) Chứng minh tam giác COD vuông tại O . c) Chứng minh AC.BD R2 . b) Kẻ MN  AB, N AB ; BC cắt MN tại I . Chứng minh I là trung điểm của MN . 2) Tính thể tích của một hình nón có bán kính đáy r 4 cm, độ dài đường sinh l 5 cm.
4. Lời giải a) Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp. OA  AC O AC 90 Theo tính chất tiếp tuyến ta có OM  CM O MC 90 Xét tứ giác ACMO có tổng hai góc ở vị trí đối nhau O AC O MC 90 90 180 Suy ra tứ giác ACMO nội tiếp. b) Chứng minh tam giác COD vuông tại O . Tương tự ý a) ta cũng chứng minh được tứ giác BDMO nội tiếp. Ta có AMB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra tam giác ABM vuông tại B . Suy ra O AM O BM 90 Lại có O AM M CO (cùng chắn cung MO của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACMO ) O DM O BM (cùng chắn cung MO của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDMO ) D CO O DC M CO O DM O AM O BM 90 COD vuông tại O . c) Chứng minh AC.BD R2 . AC MC Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có BD MD Tam giác COD vuông tại O có đường cao OM Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có MC.MD OM 2 AC.BD R2 Đpcm. d) Kẻ MN  AB, N AB ; BC cắt MN tại I . Chứng minh I là trung điểm của MN . Kẻ BM cắt Ax tại E. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có CO là đường phân giác trong của tam giác cân ACM. Suy ra OC vừa phân giác vừa là đường cao của tam giác ACM. Suy ra OC  AM , mà EB  AM OC //EB . Lại có O là trung điểm của AB suy ra OC là đường trung bình tam giác ABE. Suy ra C là trung điểm của AE.
5. Ta có AE //MN (vì cùng vuông góc với AB). BA AE Áp dụng hệ quả định lý Ta Lét vào tam giác ABE ta có BN NM BA AC Áp dụng hệ quả định lý Ta Lét vào tam giác ABC ta có BN NI AE AC BA AE AC AE NM 2 I là trung điểm của MN . NM NI BN NM NI AC NI 2) Tính thể tích của một hình nón có bán kính đáy r 4 cm, độ dài đường sinh l 5 cm. Ta có AH r 4cm;AO l 5cm OH AO2 AH2 9 3cm 1 Thể tích hình nón là V .OH. .r2 16 cm3 . 3 Câu V (0,5 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc 1 1 1 1 Chứng minh 1 . 2 a 2 b 2 c Lời giải 1 1 1 Bất đẳng thức cần chứng minh 1 2 a 2 b 2 c b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 a 2 b 2 c 2 ab bc ca 4 a b c 12 abc 2 ab bc ca 4 a b c 8 ab bc ca 4 a b c 12 1 2 ab bc ca 4 a b c 8 ab bc ca 3 Thật vậy áp dụng bất đẳng thức CauChy cho 3 số dương ta có 2 ab bc ca 33 abc 3 . Dấu “=” xảy ra khi a b c 1 . Hoàn tất chứng minh.