Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán (Dành cho thí sinh chuyên Toán, chuyên Tin) - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Bắc Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán (Dành cho thí sinh chuyên Toán, chuyên Tin) - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Bắc Ninh (Có đáp án)

1. UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYấN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2019 - 2020 Mụn thi: Toỏn (Dành cho thớ sinh chuyờn Toỏn, chuyờn Tin) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phỳt(khụng kể thời gian giao đề) Cõu 1. (2,0điểm) x 4 - 2x 3 + 3x2 - 38x + 5 a) Tớnh giỏ trị của biểu thức A = khi x 2 3 . x2 - 4x + 5 b) Cho hai hàm số y = x2 và y = (m - 1)x - 1 (với m là tham số) cú đồ thị lần lượt là (P) và d . Tỡm m để (P) cắt d tại hai điểm phõn biệt A (x1;y1) , B (x2;y2 ) sao cho 3 3 3 3 y1 - y2 = 18(x1 - x2 ). Cõu 2. (2,5 điểm) ỡ 2 ù y + 2xy + 4 = 2x + 5y a) Giải hệ phương trỡnh ớù . ù 5x2 + 7y - 18 = x 4 + 4 ợù b) Cho cỏc số thực khụng õm x,y,z thỏa món x + y + z = 3 . Tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức M = x2 - 6x + 25 + y2 - 6y + 25 + z2 - 6z + 25 . Cõu 3. (1,5 điểm) a) Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn dương (x;y) thỏa món (xy + x + y)(x2 + y2 + 1) = 30 . b) Cho n là số nguyờn dương thỏa món 12n 2 + 1 là số nguyờn. Chứng minh rằng 2 12n 2 + 1 + 2 là số chớnh phương. Cõu 4. (3,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn, AB IE .Đường thẳng DI cắt đường thẳng CE tại điểm N , đường thẳng EF cắt đường thẳng CI tại điểm M . a) Chứng minh rằng NI .ND = NE.NC . b) Chứng minh rằng đường thẳng MN vuụng gúc với đường thẳngC. H c) Đường thẳng HM cắt đường trũn(O) tại điểm K (khỏc điểm H), đường thẳng KN cắt đường trũn (O) tại điểm G (khỏc điểm K ), đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại điểm T. Chứng minh rằng ba điểm H,T ,G thẳng hàng. Cõu 5. (1,0 điểm) Cho 2020 cỏi kẹo vào 1010 chiếc hộp sao cho khụng cú hộp nào chứa nhiều hơn 1010 cỏi kẹo và mỗi hộp chứa ớt nhất 1 cỏi kẹo. Chứng minh rằng cú thể tỡm thấy một số hộp mà tổng số kẹo trong cỏc hộp đú bằng 1010 cỏi. === Hết === (Đề thi cú 01 trang) Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: Lờ Nguyờn Thạch 0394838727 sưu tầm và biờn soạn Cỏc bạn cú nhu cầu sủ dụng 50 đề thi chuyờn THPT 2020 thỡ Liện hệ nhộ
2. UBND TỈNH BẮC NINH HƯỚNG DẪN CHẤM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYấN NĂM HỌC 2019 - 2020 Mụn thi: Toỏn (Dành cho thớ sinh chuyờn Toỏn, chuyờn Tin) (Hướng dẫn chấm cú 04 trang) Cõu Đỏp ỏn Điểm 1.a 1,0 2 Ta cú x - 2 = 3 ị (x - 2) = 3 ị x 2 - 4x + 1 = 0 . 0,5 x 2 - 4x + 5 = x 2 - 4x + 1+ 4 = 2 . x 4 - 2x 3 + 3x 2 - 38x + 5 - 5 0,5 = (x 4 - 4x 3 + x 2)+ (2x 3 - 8x 2 + 2x)+ (10x 2 - 40x + 10)- 5 = - 5 ị A = . 2 1.b 1,0 Phương trỡnh hoành độ giao điểm của d và (P) là x 2 - (m - 1)x + 1 = 0 (1) . (P)cắt d tại hai điểm phõn biệt A(x1;y1), B (x2;y2 ) khi và chỉ khi phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt x , x 1 2 0,5 2 ộm > 3 Û D = m - 1 - 4 > 0 Û m - 1 > 2 Û ờ (*). ( ) ờm < - 1 ởờ Áp dụng ĐL Vi-ột ta cú x1 + x2 = m - 1 ; x1x2 = 1 . 2 2 Từ giả thiết ta cú y1 = x1 ,y2 = x2 . 3 3 3 3 6 6 3 3 3 3 3 3 Khi đú y1 - y2 = 18(x1 - x2 ) Û x1 - x2 = 18(x1 - x2 ) Û (x1 - x2 )(x1 + x2 - 18) = 0 (2). 3 3 3 0,5 Do x1 ạ x2 nờn (2) Û x1 + x2 - 18 = 0 Û (x1 + x2 ) - 3x1x2 (x1 + x2 )- 18 = 0 . Do đú, 3 ộ 2 ự (m - 1) - 3(m - 1)- 18 = 0 Û (m - 1- 3)ờ(m - 1) + 3(m - 1)+ 6ỳ= 0 Û m = 4 (t/m ởờ ỷỳ (*)). 2.a 1,5 ỡ 2 ù y + 2xy + 4 = 2x + 5y (1) ớù ù 5x 2 + 7y - 18 = x 4 + 4 2 ợù ( ) ĐK: x,y ẻ Ă . 0,5 ộy = 1 1 Û y2 - y + 2x y - 1 + 4 1- y = 0 Û y - 1 y + 2x - 4 = 0 Û ờ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ờy = 4 - 2x ởờ Với y = 1 thay vào (2) ta được ùỡ ù 2 11 2 4 ù x ³ 5x - 11 = x + 4 Û ớ 5 ù 4 2 ù 24x - 110x + 117 = 0 0,5 ợù 55 + 217 55 + 217 Û x 2 = Û x = ± . 24 24 Lờ Nguyờn Thạch 0394838727 sưu tầm và biờn soạn Cỏc bạn cú nhu cầu sủ dụng 50 đề thi chuyờn THPT 2020 thỡ Liện hệ nhộ
3. Với y = 4 - 2x thay vào (2) ta được5x 2 + 28 - 14x - 18 = x 4 + 4 Û (x 2 + 2x + 2)+ (x 2 + 2x + 2)(x 2 - 2x + 2) - 6(x 2 - 2x + 2) = 0 ộ 2 2 ờ x + 2x + 2 = 2 x - 2x + 2 Û ờ Û x 2 + 2x + 2 = 4(x 2 - 2x + 2) ờ x 2 + 2x + 2 = - 3 x 2 - 2x + 2 ởờ ộ ờ 5 - 7 2 + 2 7 0,5 ờx = ị y = Û 3x 2 - 10x + 6 = 0 Û ờ 3 3 . ờ 5 + 7 2 - 2 7 ờx = ị y = ởờ 3 3 Vậy hệ phương trỡnh cú bốn nghiệm là: ổ ử ổ ử ỗ ữ ỗ ữ ổ ử ổ ử ỗ 55 + 217 ữ ỗ 55 + 217 ữ ỗ5- 7 2+ 2 7ữ ỗ5 + 7 2 - 2 7ữ ỗ ;1ữ;;;.ỗ- ;1ữ ỗ ; ữ ỗ ; ữ ỗ 24 ữ ỗ 24 ữ ỗ 3 3 ữ ỗ 3 3 ữ ốỗ ứữ ốỗ ứữ ốỗ ứữ ốỗ ứữ 2.b 1,0 Từ giả thiết suy ra 0 Ê x;y;z Ê 3 .Ta cú 2 2 9(x 2 - 6x + 25) = (x 2 - 30x + 225)+ 8x 2 - 24x = (15 - x) + 8x (x - 3)Ê (15 - x) với " x,0 Ê x Ê 3 (do 0 x 3 8x x 3 0 , dấu bằng xảy ra khi x 0 hoặc x 3 ). 15 - x Do đú 9(x 2 - 6x + 25) Ê 15 - x hay x 2 - 6x + 25 Ê với " x,0 Ê x Ê 3 . 3 0,5 15 - y 15 - z Tương tự y2 - 6y + 25 Ê ; z2 - 6z + 25 Ê với " y,z : 0 Ê y,z Ê 3 . 3 3 15 - x + 15 - y + 15 - z 45 - 3 Do đú, M Ê = = 14 . 3 3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (x;y;z) = (3;0;0) hoặc (x;y;z) = (0;3;0)hoặc (x;y;z) = (0;0;3). Ta cú5(x 2 - 6x + 25) = (x 2 - 22x + 121)+ (4x 2 - 8x + 4) 2 2 2 = (11- x) + 4(x - 1) ³ (11- x) với " x,0 Ê x Ê 3 2 (do 4 x 1 0 , dấu bằng xảy ra khi x 1 ). 11- x Do đú 5(x 2 - 6x + 25) ³ 11- x hay x 2 - 6x + 25 ³ với " x,0 Ê x Ê 3 . 5 11- y 11- z 0,5 Tương tự y2 - 6y + 25 ³ ; z2 - 6z + 25 ³ với " y,z : 0 Ê y,z Ê 3 . 5 5 11- x + 11- y + 11- z 33 - 3 Do đú, M ³ = = 6 5 . 5 5 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 . Vậy GTLN của M là 14 đạt được khi (x;y;z) = (3;0;0) hoặc (x;y;z) = (0;3;0)hoặc (x;y;z) = (0;0;3) và GTNN của M là 6 5 đạt được khi x = y = z = 1 . 3.a 1,0 Lờ Nguyờn Thạch 0394838727 sưu tầm và biờn soạn Cỏc bạn cú nhu cầu sủ dụng 50 đề thi chuyờn THPT 2020 thỡ Liện hệ nhộ
4. Vỡ x,y nguyờn dương và (x;y) = (1;1) khụng thỏa món phương trỡnh nờn x 2 + y2 + 1 > 3;xy + x + y > 3. Suy ra xy + x + y là ước nguyờn dương lớn hơn 3của 0,5 30 gồm: 5;6 Nếu xy + x + y = 5 Û (x + 1)(y + 1) = 6 ta được cỏc trường hợp ỡ ỡ ù x + 1 = 2 ù x = 1 +) ớ Û ớ (thỏa món điều kiện đầu bài) ù y + 1 = 3 ù y = 2 ợù ợù ỡ ỡ ù x + 1 = 3 ù x = 2 0,5 +) ớ Û ớ (thỏa món điều kiện đầu bài) ù y + 1 = 2 ù y = 1 ợù ợù Nếu xy + x + y = 6 Û (x + 1)(y + 1) = 7 khụng thỏa món Vậy cỏc cặp số (x;y) thỏa món là (1;2),(2;1) . 3.b 0,5 2 Vỡ 12n 2 + 1 là số lẻ nờn để 12n 2 + 1 là số nguyờn thỡ 12n 2 + 1 = (2m + 1) ,m ẻ Ơ . Suy ra, m (m + 1) = 3n 2 . 0,25 ộm = 3u2;m + 1 = v2 ờ * Vỡ (m;m + 1) = 1 nờn xảy ra hai trường hợp 2 2 ,u,vẻ Â . ờm = v ;m + 1 = 3u ởờ Nếu m = v2;m + 1 = 3u2 thỡ v2 = 3u2 - 1 hay v2 là số chớnh phương chia 3 dư 2 . Điều này khụng xảy ra vỡ mọi số chớnh phương chia 3 dư là 0 hoặc 1 . Do đú chỉ xảy ra 2 2 m = 3u ;m + 1 = v . 0,25 Ta cú 2 12n 2 + 1 + 2 = 2(2m + 1)+ 2 = 4m + 4 = 4v2 là số chớnh phương (điều phải chứng minh) 4.a 1,0 A Vẽ hỡnh đỳng ý a) 0,25 M E K I Xột DNDE và DNCI cú: N ã ã END INC (đối đỉnh) F ã ã H EDN ICN (cựng chắn cung ằ O EI ) 0,75 Suy ra DNDE ∽ DNCI (g.g) B D T C ND NE nờn = . NC NI ị NI .ND = NE.NC . G 4.b 1,0 Do cỏc tứ giỏc BFEC ,DEIC , ABDE nội tiếp nờn: 0,5 Lờ Nguyờn Thạch 0394838727 sưu tầm và biờn soạn Cỏc bạn cú nhu cầu sủ dụng 50 đề thi chuyờn THPT 2020 thỡ Liện hệ nhộ
5. ÃFE = ÃCB = DãIE . ã ã ã ã MEC = ABC = DEC = DIC ị Tứ giỏc MENI nội tiếp. ã ã ã ã ị DIE = EMN ị AFE = EMN ị MN / / AB . 0,5 Mà CH ^ AB ị CH ^ MN . 4.c 1,0 Xột DENM ,DTNC cú ã ã ã ã ã EMN = EIN = NCT ,ENM = TNC ị DENM ∽ DTNC (g.g). NE NM ị = ị NC.NE = NM .NT (1). NT NC 0,5 ã ã ã ã Xột DENK ,DGNC cú KEN = CGN,ENK = GNC ị DENK ∽ DGNC (g.g). NE NK ị = ị NC.NE = NG.NK (2) . NG NC NK NM Từ (1),(2) suy ra NM .NT = NG.NK ị = ị DTGN ∽ DKMN . NT NG ã ã ị KMN = TGN 3 . 0,5 ã ã ã Mà KMN = HCK (cựng phụ với KHC ) ị KãMN = HãGN 4 . Từ 3 và 4 ta cú T ãGN = HãGN ị H,T ,G thẳng hàng. 5 1,0 TH1: Tất cả cỏc hộp cú số kẹo bằng nhau và bằng 2 , khi đú lấy 505chiếc hộp bất kỳ ta sẽ 0,25 cú tổng số kẹo là 1010 . TH2: Tồn tại hai hộp cú số kẹo khỏc nhau, khi đú ta sắp xếp cỏc hộp thành một hàng ngang sao cho hai hộp đầu tiờn khụng cú cựng số kẹo. Ký hiệu ai là số kẹo trong hộp thứ i , i = 1;2; ;1010. Xột cỏc số S = a ;S = a + a ; ;S = a + a + + a , với 1 a 1010 . 1 1 2 1 2 1010 1 2 1010 i 0,25 +) Nếu tồn tại hai số trong S1;S2; ;S1010 cú cựng số dư khi chia cho 1010 , giả sử là Si ,Sj (i < j ) thỡ Sj - Si = (ai + 1 + + aj )M1010 . Do 1 Ê Sj - Si Ê 2019;(Sj - Si )M1010 nờn Sj - Si = 1010 hay ai + 1 + + aj = 1010 +) Nếu trong S1;S2; ;S1010 khụng cú hai số nào cú cựng số dư khi chia cho 1010 (1) . Xột 1011 số S1;S2; ;S1010,a2 , theo nguyờn lý Dirichlet tồn tại hai số cú cựng số dư khi chia cho 1010 . Mà S1 = a1 ạ a2,1 Ê a1,a2 Ê 1010 nờn S1,a2 khụng cựng số dư khi chia cho 1010 (2). 0,5 Từ (1) và (2) suy ra tồn tại k = 2;3; ;1010 sao cho Sk,a2 cựng số dư khi chia cho 1010. Khi đú Sk - a2 = a1 + a3 + + ak M1010. Mà 1 Ê a1 + a3 + + ak Ê 2019 ị a1 + a3 + + ak = 1010 . Suy ra điều phải chứng minh. Hết Lờ Nguyờn Thạch 0394838727 sưu tầm và biờn soạn Cỏc bạn cú nhu cầu sủ dụng 50 đề thi chuyờn THPT 2020 thỡ Liện hệ nhộ