Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Bình (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Bình (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT QUẢNG BèNH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2019 – 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Khúa ngày 03/06/2019 Mụn: TOÁN (CHUYấN) SBD: Thời gian làm bài: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Đề cú 01 trang gồm 5 cõu Cõu 1 (2,0 điểm). Cho parabol P : y x2 và đường thẳng d đi qua điểm M 0;1 cú hệ số gúc k . a) Chứng minh rằng đường thẳng d luụn cắt P tại hai điểm A,B phõn biệt với mọi giỏ trị k . b) Chứng minh OAB là tam giỏc vuụng với mọi giỏ trị k (O là gốc tọa độ). Cõu 2 (2,0 điểm) 2 a) Giải phương trỡnh x - x - 4 = 2 x -1(1- x) . ỡ 2 2 ùx -5y + 3+ 6 y -7x + 4 = 0 b) Giải hệ phương trỡnh ớ . ùy(y x 2) 3x 3 ợù - + = + Cõu 3 (1,0 điểm) Cho x, y, z là cỏc số dương thỏa món x y z 2 . Chứng minh rằng: 2019x2 2xy 2019y2 2019y2 2yz 2019z2 2019z2 2zx 2019x2 2 2020. Cõu 4 (3,5 điểm). Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB 2AD 4a (a 0) . Đường thẳng vuụng gúc với AC tại C cắt cỏc đường thẳng AB và AD lần lượt tại E và F. a) Chứng minh tứ giỏc EBDF nội tiếp. b) Gọi I là giao điểm của cỏc đường thẳng BD và EF . Tớnh độ dài đoạn thẳng ID theo a. c) M là điểm thay đổi trờn cạnh AB (M khỏc A, M khỏc B), đường thẳng CM cắt đường thẳng AD tại N. Gọi S1 là diện tớch của tam giỏc CME và S2 là diện tớch của tam S 3 giỏc AMN. Xỏc định vị trớ của M sao cho 1 . S2 2 Cõu 5 (1,5 điểm). Cho abc là số nguyờn tố. Chứng minh rằng phương trỡnh ax2 bx c 0 khụng cú nghiệm hữu tỉ. HẾT
2. SỞ GD&ĐT QUẢNG BèNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2019 – 2010 Khúa ngày 03/06/2019 Mụn: TOÁN (CHUYấN) (Hướng dẫn chấm gồm cú 05 trang) Yờu cầu chung * Đỏp ỏn chỉ trỡnh bày một lời giải cho mỗi cõu. Trong bài làm của học sinh yờu cầu phải lập luận lụgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết, rừ ràng. * Trong mỗi cõu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thỡ cho điểm 0 đối với những bước giải sau cú liờn quan. * Điểm thành phần của mỗi cõu núi chung phõn chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thỡ tựy tổ giỏm khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm. * Đối với Cõu 4, học sinh khụng vẽ hỡnh thỡ cho điểm 0. Trường hợp học sinh cú vẽ hỡnh, nếu vẽ sai ở ý nào thỡ cho điểm 0 ở ý đú. * Học sinh cú lời giải khỏc đỏp ỏn (nếu đỳng) vẫn cho điểm tối đa tựy theo mức điểm của từng cõu. * Điểm của toàn bài là tổng (khụng làm trũn số) của điểm tất cả cỏc cõu. Cõu Nội dung Điểm 1. Cho parabol P : y x2 và đường thẳng d đi qua điểm M 0;1 cú hệ số gúc k . Cõu 1 a) Chứng minh rằng đường thẳng d luụn cắt P tại hai điểm A,B 2,0 phõn biệt với mọi giỏ trị k . b) Chứng minh tam giỏc OAB là tam giỏc vuụng với mọi giỏ trị k. 1a) Chứng minh rằng đường thẳng d luụn cắt P tại hai điểm A, B 1,0 phõn biệt với mọi giỏ trị k . Phương trỡnh đường thẳng d đi qua điểm M 0;1 cú hệ số gúc k: y kx 1 . 0,25 1a Phương trỡnh hoành độ giao điểm của d và P : x2 kx 1 0 (1). 0,25 Phương trỡnh (1) cú k 2 4 0,k . 0,25 Vậy phương trỡnh (1) luụn cú hai nghiệm phõn biệt hay đường thẳng d luụn cắt P tại hai điểm A,B phõn biệt với mọi giỏ trị k . 0,25 b) CMR OAB là tam giỏc vuụng với mọi giỏ trị k (O là gốc tọa độ). 1,0 2 2 Gọi A x1; x1 và B x2; x2 . Khi đú x1, x2 là nghiệm của phương trỡnh (1), 0,25 suy ra x1.x2 1. Phương trỡnh đường thẳng OA: y x .x 0,25 1b 1 Phương trỡnh đường thẳng OB: y x2.x 0,25 Do x .x 1 nờn OA  OB . Vậy làO tamAB giỏc vuụng . 1 2 0,25
3. Cõu Nội dung Điểm Cõu 2 2 2a) Giải phương trỡnh x - x - 4 = 2 x -1(1- x) 1,0 Điều kiện x ³1 . 2 x - x - 4 = 2 x -1(1- x) Û x(x -1) + 2 x -1(x -1)- 4 = 0 (1) 0,25 Đặt y = x -1, y ³ 0. 2a Phương trỡnh (1) trở thành 2 2 2 4 3 2 0,25 (y +1)y + 2y.y - 4 = 0 Û y + 2y + y - 4 = 0 3 2 Û (y -1)(y + 3y + 4y + 4) = 0 Û y =1 vỡ y ³ 0. 0,25 Suy ra x 1 1 x 2. - = Û = 0,25 Vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm duy nhất x = 2. ỡ 2 2 ùx -5y + 3+ 6 y -7x + 4 = 0 (1) 2b) Giải hệ phương trỡnh ớ 1,0 ùy(y x 2) 3x 3 (2) ợù - + = + 2 Điều kiện: y -7x + 4 ³ 0. ộ y = -3 0,25 (2) (y 3)(y x 1) 0 ờ Û + - - = Û y x 1 ởờ = + 2 2b Với y = -3 , từ (1) ta cú x +18 + 6 13-7x = 0 (vụ nghiệm) 0,25 2 2 Với y = x +1 , từ (1) ta cú (x -5x + 5)+ 6 x -5x + 5 -7 = 0 2 2 ộx -5x + 5 = -7 ộx -5x +12 = 0 (VN) ộx =1 0,25 Û ờ Û ờ Û ờ . ờx2 5x 5 1 ờx2 5x 4 0 ờx 4 ởờ - + = ởờ - + = ở = Với x 1 y 2 (TMĐK), với x 4 y 5 (TMĐK). = ị = = ị = 0,25 Vậy hệ đó cho cú 2 nghiệm (1;2) và (4;5). 3) Cho x, y, z là cỏc số dương thỏa món x y z 2 . CMR: 1,0 2019x2 2xy 2019y2 2019y2 2yz 2019z2 2019z2 2zx 2019x2 2 2020. Đặt S 2019x2 2xy 2019y2 2019y2 2yz 2019z2 2019z2 2zx 2019x2 Ta cú 2019x2 2xy 2019y2 1009 x y 2 1010 x y 2 1010 x y 2 0,25 Suy ra 2019x2 2xy 2019y2 1010 x y Cõu 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .x y Tương tự 2 2 2019y 2yz 2019z 1010 y z . 0,25 2019z2 2zx 2019x2 1010 z x . Do đú S 2 1010 x y z 2 2020. 0,25 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z . 0,25 3
4. Cõu Nội dung Điểm 4. Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB 2AD 4a (a 0) . Đường thẳng vuụng gúc với AC tại C cắt cỏc đường thẳng AB và AD lần lượt tại E và F. a) Chứng minh tứ giỏc EBDF nội tiếp. b) Gọi I là giao điểm của cỏc đường thẳng BD và EF . Tớnh độ dài Cõu 4 đoạn thẳng ID theo a. 3,5 c) M là điểm thay đổi trờn cạnh AB (M khỏc A, M khỏc B), đường thẳng CM cắt đường thẳng AD tại N. Gọi S 1là diện tớch của tam giỏc CME và S2 là diện tớch của tam giỏc AMN. Xỏc định vị trớ của M sao S 3 cho 1 . S2 2 I E C B M 4a N A D F Hỡnh vẽ giải được Cõu a) 0,5 4a) Chứng minh tứ giỏc EBDF nội tiếp. 1,0 Do ABCD là hỡnh chữ nhật nờn B DA C AD. 0,25 Mặt khỏc C AD A EF (cựng phụ với A FE ) 0,25 Suy ra B DA A EF . 0,25 Tứ giỏc EBDF cú B EF B DF B DA B DF 1800. Vậy tứ giỏc EBDF nội 0,25 tiếp. 4b) Gọi I là giao điểm của cỏc đường thẳng BD và EF . Tớnh độ dài 1,0 đoạn thẳng ID theo a. 2 4b Tam giỏc ACE vuụng tại C và CB ^ EA nờn ta cú CB = BE.BA CB2 (2a)2 0,25 Suy ra BE = = = a. BA 4a
5. Cõu Nội dung Điểm 2 2 2 2 2 2 Ta cú BD = AB + AD = (4a) +(2a) = 20a ị BD = 2a 5. 0,25 IB BE a 1 Do BE song song với CD nờn = = = 0,25 ID DC 4a 4 4 8 5a Suy ra ID BD . Vậy ID . 0,25 = 3 = 3 4c) M là điểm thay đổi trờn cạnh AB (M khỏc A, M khỏc B), đường thẳng CM cắt đường thẳng AD tại N. Gọi S 1là diện tớch của tam giỏc CME và S2 là diện tớch của tam giỏc AMN. Xỏc định vị trớ của M sao 1,0 S 3 cho 1 . S2 2 Đặt AM = x,0 < x < 4a . Suy ra MB = 4a - x,ME = 5a - x . 0,25 AN MA MA.BC 2ax Do BC song song với AN nờn = ị AN = = 0,25 BC MB MB 4a - x Suy ra 4c 1 1 S1 = CB.ME = .2a.(5a - x) = a(5a - x) 2 2 0,25 1 1 2ax ax2 S2 = AM.AN = x. = 2 2 4a - x 4a - x S1 3 (5a x)(4a x) 3 2 2 Do đú 2 x 18a.x 40a 0 S2 2 x 2 (x 2a)(x 20a) 0 x 2a (vỡ (0 x 4a) . 0,25 S 3 Kết luận: Khi M là trung điểm của AB thỡ 1 . S2 2 5. Cho abc là số nguyờn tố. Chứng minh rằng phương trỡnh 1,5 ax2 bx c 0 khụng cú nghiệm hữu tỉ. Giả sử phương trỡnh ax2 bx c 0 cú nghiệm hữu tỉ, khi đú 2 2 0,25 b 4ac m ,(m ) . Cõu 5 Suy ra b2 m2 hay b m. (1) 0,25 Ta cú 4a.abc 4a(100a 10b c) 400a2 40ab 4ac 2 400a2 40ab b2 b2 4ac 20a b m2 0,25 20a b m 20a b m
6. Cõu Nội dung Điểm Do alàb c số nguyờn tố nờn 20a b m  ahoặcbc 20a b m  , abc 0,25 suy ra 20a b m abc (2) Từ (1) ta cú 20a 2b 20a b b 20a b m Từ (2) ta cú 20a b m 100a 10b c 100a 10b Do đú 0,25 20a 2b 100a 10b 2(10a b) 10(10a b) 2 10 (vụ lý) Vậy khụng thể là số chớnh phương nờn phương trỡnh ax2 bx c 0 0,25 khụng cú nghiệm hữu tỉ.