Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2019-2020 - Nguyễn Thu Hà (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2019-2020 - Nguyễn Thu Hà (Có đáp án)

1. 1/5 Với cô Hà, Toán học là đam mê! I love Mathematics! NHÓM TOÁN 9 THÁI THỊNH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học 2019 – 2020 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I. (2,0 điểm) x 3 xx 1 5 2 Cho hai biểu thức A = và B = với x 0, x 4. x 2 x 2 x 4 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. 2) Rút gọn B. 4B 3) Tìm tất cả các giá trị của x để nhận giá trị là một số nguyên. A Bài II. (2,0 điểm) Một phòng họp có 300 ghế ngồi nhưng phải xếp cho 357 người đến dự họp, do đó ban tổ chức đã kê thêm một hàng ghế và mỗi hàng ghế phải xếp nhiều hơn quy định 2 ghế mới đủ chỗ ngồi. Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng ghế có bao nhiêu ghế? Bài III. (2,0 điểm) x y | x | 10 1) Giải hệ phương trình . x y | x | 8 2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2(m – 1)x – m2 + 6 và parabol (P): y = x2. a) Với m = 3 tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P). b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tổng bình phương các hoành độ là 16. Bài IV. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không đi qua tâm (O) cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Gọi C là điểm thuộc đường thẳng d sao cho A nằm giữa B và C. Vẽ đường kính PQ vuông góc với dây AB tại D (P thuộc cung lớn AB). Tia CP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I (I khác P), AB cắt IQ tại K. 1) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp. 2) Chứng minh KB.IQ = BQ.BI AC AK 3) Chứng minh IK đường phân giác trong của AIB và . BC BK 4) Cho ba điểm A, B, C cố định còn đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn đi qua AB. Chứng minh đường thẳng IQ luôn đi qua một điểm cố định. Bài V. (0,5 điểm) 1 2 9 Cho x, y là các số dương thoả mãn x + y 3. Chứng minh rằng: xy . 22xy Giáo viên: Nguyễn Thu Hà – 08.1386.1995 – Trường THCS An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội
2. 2/5 Với cô Hà, Toán học là đam mê! I love Mathematics! ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Bài ý Nội dung Điểm I x + 3 x -1 5 x - 2 2,0 Cho hai biểu thức A = và B = + với x 0, x 4. x - 2 x + 2 x - 4 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. 2) Rút gọn B. 4B 3) Tìm tất cả các giá trị của x để nhận giá trị là một số nguyên. A 1) Với x = 9 (thoả mãn điều kiện) 0,25 9 + 3 0,25 Thay vào A ta được: A = = 12 9 - 2 2) ( x -1)( x - 2) + 5 x - 2 0,25 B = ( x - 2)( x + 2) x - 3 x + 2 + 5 x - 2 0,25 = ( x - 2)( x + 2) x + 2 x 0,25 = ( x - 2)( x + 2) x 0,25 = x - 2 3) 4B 4 x 4B 0,25 = . Vì x 0 nên ³ 0. A x + 3 A 4 x 4 x 2 Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si ta có: £ = x + 3 2 x.3 3 4B 2 4B 4B Do đó 0 £ £ Þ Î» Û Î{0;1} A 3 A A 4B 0,25 Nếu = 0 thì x = 0 (thoả mãn điều kiện). A 4B éx = 1 Nếu = 1 thì x + 3 = 4 x Û ( x -1)( x - 3)= 0 Û ê (thoả mãn A ëx = 9 điều kiện) 4B Vậy x = 0; x = 1; x = 9 là những giá trị để nhận giá trị là một số A nguyên. II Gọi số hàng ghế lúc đầu của phòng họp là x (hàng) (x λ *) 0,25 Số hàng ghế sau khi kê thêm là: x + 1 (hàng). Giáo viên: Nguyễn Thu Hà – 08.1386.1995 – Trường THCS An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội
3. 3/5 Với cô Hà, Toán học là đam mê! I love Mathematics! 300 Số ghế mỗi hành ban đầu là: (ghế). x 0,25 357 Số ghế mỗi hàng lúc sau là: (ghế) x +1 357 300 0,25 Theo đề bài ta có phương trình: - = 2. x +1 x Phương trình trên tương đương với 2x2 – 55x + 300 = 0 0,5 15 0,25 Giải phương trình này ta được hai nghiệm là x = 20; x = . 2 Kết hợp với điều kiện x R* ta được x = 20. 0,25 Vậy ban đầu phòng họp đó có 20 hàng ghế, mỗi hàng có 300:20 = 15 ghế. 0,25 III 1) Đặt x + y = a và |x| = b (b 0) 0,25 ìa + b = 10 Khi đó hệ đã cho trở thành: í îa - b = -8 ïì a + b = 10 ïì a = 1 0,25 Û í Û í îï 2a = 2 îï b = 9 Với b = 9 ta được |x| = 9 Þ x = 9 hoặc x = – 9 0,25 Với a = 1 ta được x + y = 1. x = 9 y = –8. 0,25 x = –9 y = 10. Vậy nghiệm (x; y) của hệ là (9; –8) và (–9; 10). 2a) Với m = 3 ta được (d): y = 4x – 3 0,25 Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là nghiệm của phương trình: x2 = 4x – 3 Û x2 – 4x + 3 = 0 x2 – 3x – x + 3 = 0 x(x – 3) – (x – 3) = 0 (x – 3)(x – 1) = 0 0,25 éx = 1 Û ê ëx = 3 Với x = 1 y = 1. Với x = 3 y = 9. Vậy toạ độ giao điểm của (d) và (P) là A(1; 1); B(3; 9). 2b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình: x2 = 2(m – 1)x – m2 + 6 x2 – 2(m – 1)x + m2 – 6 = 0 (1) D' = (m – 1)2 – (m2 – 6) = 7 – 2m 0,25 Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ phương trình (1) 7 có hai nghiệm phân biệt D' > 0 7– 2m>0 m < (*) 2 Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Giáo viên: Nguyễn Thu Hà – 08.1386.1995 – Trường THCS An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội
4. 4/5 Với cô Hà, Toán học là đam mê! I love Mathematics! ïìx1 + x2 = 2(m -1) Khi đó theo định lí Vi-ét ta có í 2 îïx1.x2 = m - 6 2 Theo đề bài x2 + x2 = 16 Û x + x - 2x x = 16 1 2 ( 1 2 ) 1 2 0,25 Þ 4(m – 1)2 – 2(m2 – 6) = 16 Û 2m2 – 8m = 0 m = 0 hoặc m = 4. m = 0 (thoả mãn điều kiện (*)) m = 4 (không thoả mãn điều kiện (*)) Vậy m = 0 là giá trị cần tìm. IV Q B D K A C 0,25 O I P 1 Vì I thuộc đường tròn đường kính PQ nên = 90o (góc nội tiếp chắn nửa 0,25 đường tròn). Vì PQ vuông góc với AB (gt) nên 0,25 Từ đó suy ra Tứ giác PDKI nội tiếp (dấu hiệu nhận 0,25 biết tứ giác nội tiếp). 2 Vì PQ vuông góc với AB nên Q là điểm chính giữa cung AB nên 0,25 (liên hệ giữa đường kính và dây) (tính chất góc nội tiếp) 0,25 KBQ đồng dạng với BIQ (g – g) 0,25 KB BQ 0,25 Þ = Þ KB.IQ = BQ.BI (điều phải chứng minh) BI IQ 3 Ta có (chứng minh trên) nên (tính chất góc nội 0,25 tiếp). AK IA 0,25 Từ đó suy ra IK là đường phân giác trong của AIBÞ = (1) BK IB Vì IC vuông góc với IK (giả thiết) mà IK là phân giác trong góc I của 0,25 AIB nên IC là phân giác ngoài của AIB CA IA Þ = (2) CB IB Giáo viên: Nguyễn Thu Hà – 08.1386.1995 – Trường THCS An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội
5. 5/5 Với cô Hà, Toán học là đam mê! I love Mathematics! AC AK 0,25 Từ (1) và (2) Þ = (điều phải chứng minh) BC BK 4 Vì tứ giác ABPI nội tiếp nên CI.CP = CA.CB 0,25 Vì tứ giác IKDP nội tiếp nên CI.CP = CK.CD CA.CB Từ đó suy ra CA.CB = CK. CD Þ CK = (không đổi vì C, A, B, D CD cố định; D là trung điểm của AB) 0,25 K là điểm cố định (điều phải chứng minh) V Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: x 1 x 1 + ³ 2 . = 1 2 2x 2 2x 0,25 y 2 y 2 + ³ 2 . = 2 2 y 2 y Theo giả thiết x + y 3 1 2 æ x 1 ö æ y 2ö æ x + yö 3 9 Do đó x + y + + = + + + + ³1+ 2 + = . 2x y èç 2 2xø÷ èç 2 yø÷ èç 2 ø÷ 2 2 0,25 Dấu “=” xảy ra khi x = 1; y = 2. Giáo viên: Nguyễn Thu Hà – 08.1386.1995 – Trường THCS An Thượng – Hoài Đức – Hà Nội