Đề thi vào 10 THPT chuyên Hà Tĩnh - Năm học 2020-2021 - Môn Toán Chuyên

Nội dung text: Đề thi vào 10 THPT chuyên Hà Tĩnh - Năm học 2020-2021 - Môn Toán Chuyên

1. Đề thi vào 10 THPT chuyên Hà Tĩnh năm học 2020-2021 môn Toán chuyên ax by c Câu 1: Giả sử a, b, c là các số thực khác 0 sao cho hệ bx cy a có nghiệm (x, y). cx ay b a 2 b2 c2 Chứng minh: 3 bc ac ab Câu 2: x4 2x2y 1 (1) a) Giải hệ: 2 2 2x y 2y 2 (2) b) Giải phương trình: 2(x 2) x 2 x2 3x 3 Câu 3: a) Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho các số 2n+2021 và 3n+2020 là các số chính phương? x2 2 b) Tìm tất các cặp số nguyên dương (x,y) sao cho là số nguyên xy 2 Câu 4: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B sao O và O’ nằm về hai phía đối với đường thẳng AB. Đường thẳng d thay đổi qua B cắt đường tròn (O) tại C và cắt đường tròn (O’) tại D (d không trùng với đường thẳng AB) a) Xác định vị trí đường thẳng d sao cho CD đạt giá trị lớn nhất ? b) Gọi M là điểm di chuyển trên từ điểm A, ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn (O), N là điểm di chuyển trên từ điểm A, cùng chiều kim đồng hồ trên đường tròn (O’) sao cho A OM A O'N . Chứng minh trung trực MN luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5. Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x2z2 y2z2 1 3z 1 8 4z2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 1 2 y 3 2 1 2z 2 Hết./.
2. Lời giải đề thi và THPT chuyên Hà Tĩnh năm 2020-2021 (Lê Bá Hoàng- Chuyên viên Phòng Giáo dục và Đào tạo thị xã Hồng Lĩnh, Hà Tĩnh Sưu tầm và giới thiệu) ax by c Câu 1: Giả sử a, b, c là các số thực khác 0 sao cho hệ bx cy a cx ay b a 2 b2 c2 Chứng minh: 3 bc ac ab Hướng dẫn giải: ax by c Cách 1: Từ bx cy a (a b c)(x y) a b c cx ay b  a b c 0 hoặc x y 1 Nếu a b c 0 a b c (a b)3 ( c)3  a3 b3 3ab(a b) c3 a3 b3 3abc c3  a3 b3 c3 3abc a 2 b2 c2 3 bc ac ab ax by c (1) Nếu x y 1 , từ hệ bx cy a (2) cx ay b (3) Lấy phương trình (1) cộng với phương trình (2) vế theo vế ta có: ax b(x y) cy a c ax b cy a c ax b c(1 x) a c x(a c) a b(*) a c 0 * Nếu atừ (*)b ta0 suy raa b  x 0 a 2 b2 c2 + Xét a c 0  a c do đó a b c  0 3 bc ac ab a 2 b2 c2 + Xét x = 0 suy ra y =1 nên thay vào hệ ta suy ra a b c  0 3 bc ac ab
3. a c  0 a b * Nếu a b  0 từ (*) ta suy ra  do đó x x  0 a c b c Tương tự ta cũng có : x b a a b b c a b b c a c Do đó x x a c b a a c b a b c 3 a b b c a c x 1 x 1 a b c (vô lí vì a b  0 ) a c b a b c a 2 b2 c2 Vậy 3 bc ac ab Cách 2: Ta có: a3 b3 c3 a 2 bx cy b2 cx ay c2 ax by a 2 b2 c2 ab ax by bc bx ay ac cx ay 3abc , suy ra 3 bc ca ab Câu 2: x4 2x2y 1 (1) a) Giải hệ: 2 2 2x y 2y 2 (2) Hướng dẫn giải: Cộng theo vế của hệ ta suy ra: x4 2x2 (y 1) y2 2y 3  x4 2x2 (y 1) (y 1)2 4 2 2 2 x (y 1) 2 x y 1  x2 (y 1) 4      2  2 x (y 1) 2 x y 3 * Nếu x2 y 1 ( y  1 ) thay vào phương trình (2) ta được: y 0 2 2 2(y 1) y 2y 2   2 y  3 2 x 1 + y 0 x 1  x 1  1 x 2 1  3 + y x2   3 3 1 x  3
4. * Nếu x2 y 3 ( y  3 ) tương tự thay vào (2) ta suy ra y 2 2 2 2(y 3) y 2y 2   8 (loại) y  3 1 2 1 2 Vậy nghiệm của hệ đã cho: (x, y) =( 1;0), (1;0), ; , ; 3 3 3 3 b) Giải phương trình: 2(x 2) x 2 x2 3x 3 Hướng dẫn giải: Ta có: điều kiện x  2 Khi đó phương trình đã cho tương đương x2 3x 2(x 2) x 2 3  (x 2)2 2(x 2) x 2 x 2 9 2 x 2 x 2 3    x 2 x 2 9   x 2 x 2 3 * Nếu x 2 x 2 3  (x 2) x 2 7 0  1 29  x 2 2 11 29    x  1 29 2  x 2 0(L)  2 * Nếu x 2 x 2 3  (x 2) x 2 1 0  1 5  x 2 2 1 5    x  1 5 2  x 2 0(L)  2 11 29 1 5  Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = ;  2 2  Câu 3: a) Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho các số 2n+2021 và 3n+2020 là các số chính phương? Hướng dẫn giải:
5. Giả sử tồn tại số nguyên dương n sao cho các số 2n+2021 và 3n+2020 là các số chính 2n 2021 a 2 (1) phương. Khi đó, tồn tại các số nguyên dương a, b thỏa mãn 2 3n 2020 b (2) Từ (1) ta suy ra a 2 là số chính phương lẻ nên a là số nguyên dương lẻ, đặt a 2a1 1(a1  N) , thay vào (1) rút gọn, ta có: 2 2n 2020 4a1 4a1 4a1(a1 1)8 (*) 2n4 n2 2 2 Do n2 3n 20202 từ (2) ta suy ra b 2 b2 b 4 , mà 2020 4 do đó 3n4 n4 vì (3,4) =1 suy ra 2n8 , mà 4a1(a1 1)8 2 Từ 2n 2020 4a1 4a1 4a1(a1 1)8 20208 vô lí Vậy không tồn tại số nguyên n thỏa mãn đề bài. x2 2 b) Tìm tất các cặp số nguyên dương (x,y) sao cho là số nguyên xy 2 Hướng dẫn giải: 2 2 Từ bài ra ta suy ra : x 2xy 2 y x 2 xy 2 x(xy 2) 2(x y)xy 2 2(x y)xy 2 2(x y) k(xy 2) (1) Do x, y là các số nguyên dương nên ta sẽ chứng minh k =1, 2, 3 Thật vật, nếu k  4 k(xy 2)  4(xy 2) 2xy 2xy 8  2x 2y 8  2x 2y vô lí. + Nếu k = 1 từ (1) ta suy ra : 2x 2y xy 2  xy 2x 2y 4 2 (x 2)(y 2) 2 (x,y) (4;3),(3;4) Thử lại ta được (x, y) = (4 ; 3). + Nếu k = 2 từ (1) ta suy ra : x y xy 2  xy x y 1 1 (x 1)(y 1) 1 vô lí vì x, y nguyên dương. + Nếu k = 3 từ (1) ta suy ra : 2(x y) 3xy 6  3xy 2x 2y 6 0  (3x 2)(3y 2) 14 0 (vô lí vì x, y là các số nguyên dương) Vậy (x, y) =(4 ; 3) Câu 4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B sao O và O’ nằm về hai phía đối với đường thẳng AB. Đường thẳng d thay đổi qua B cắt đường tròn (O) tại C và cắt đường tròn (O’) tại D (d không trùng với đường thẳng AB)
6. a) Xác định vị trí đường thẳng d sao cho CD đạt giá trị lớn nhất ? b) Gọi M là điểm di chuyển trên từ điểm A, ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn (O), N là điểm di chuyển trên từ điểm A, cùng chiều kim đồng hồ trên đường tròn (O’) sao cho A OM A O'N . Chứng minh trung trực MN luôn đi qua một điểm cố định. Hướng dẫn giải: : A O O' K D I C H B Hình 1 a) (Hình 1) Kẻ OH  CD, O'I  CD,O'K  OH Dễ dàng chứng minh được CD 2.HI 2.O’K 2.O'O Vậy CD lớn nhất bằng 2.OO’ khi d//OO’
7. N A 1 2 O' 3 1 O F 3 M 2 I B E Hình 2 b) (Hình 2). Kẻ đường kính AE của đường tròn (O) và đường kính AF của đường tròn (O’) Nên E, F là điểm cố định. Gọi I là trung điểm của EF suy ra I cố định và từ giả thiết ta suy ra tứ giác AOIO’ là hình bình hành nên O’I = AO = OM, O’N = O’A = OI (1) AO//O’I, AO’//OI nên O 3 O'3 (cùng bằng góc EAF) Theo bài ra ta có: A OM A O'N hay O1 O'1 O 2 O'2 , Từ đây suy ra : O 2 O 3 O'2 O'3 hay M OI N O'I (2) Từ (1) và (2) ta suy ra MOI IO'N (c.g.c) do đó IM = IN hay trung trực của MN đi qua điểm I cố định. Do M là điểm di chuyển trên từ điểm A, ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn (O), N là điểm di chuyển trên từ điểm A, cùng chiều kim đồng hồ trên đường tròn (O’) nên khi M trùng E, N trùng F thì MN trùng EF nên trung trực của MN đi qua I cố định. Câu 5. Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x2z2 y2z2 1 3z 1 8 4z2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 1 2 y 3 2 1 2z 2 Hướng dẫn giải: 1 1 8 Trước hết ta chứng minh BĐT 2  2 (với A, B là các số thực dương) A B2 (A B) 2 2 A B 8 2 2 2 2 2  2 2  2  A B (A B)  8A B A B (A B)
8. 2 Luôn đúng (vì )A2 B2  2AB  0; A B  4AB  0 1 Từ giả thiết z  0 , đặt x a,y b,z 2c Từ x2z2 y2z2 1 3z a 2 b2 6c 4c2 2 2 2 2 2 a b c 6c 3c 31 (c 1)  3 Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cop-xki ta có (a b c)2 3(a 2 b2 c2 ) 9 a b c 3 0 a b c 5 8 1 1  (a b c 5)2 64 1 8 4z2 1 1 8 Ta có: P 2 2 2 2 2 2 x 1 y 3 1 2z x 1 1 y 3 1 2z 1 1 8  1 1  8 P 2 2 2  2 2  2 a 1 c 1 b 3  a 1 c 1  b 3 8 8  1 1  64  2 2 8 2 2   2 1 a c 2 b 3  a c 2 b 3  a c 2 b 3 x y 1 Dấu “=” xảy ra khi a =b = c =1 tức là 1 z 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P =1