Đề tự luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Ngày 28. 02. 2020)

Nội dung text: Đề tự luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Ngày 28. 02. 2020)

1. ĐỀ TỰ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 (28. 02. 2020) Thời gian làm bài: 150 phút Câu I. (4,0 điểm) 2x1− + x 2xx + x − x (x − x)(1 − x) Cho biểu thức A= +  − 1. 1x− 1+− x x 2 x 1 1. Rút gọn biểu thức A; 1 2. Tìm x để A −  7 Câu II. (4,0 điểm) x3x 1. Giải phương trình −−= 20. xx2x5x222−−−− 2222 xy2xy+= 2. Giải hệ phương trình . 22 (xy)(1xy)4xy++= Câu III. (4,0 điểm) 1. Tìm các nghiệm nguyên (x ; y) của phương trình 5(xxyy)7(x2y).22++=+ 2. Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho tồn tại số tự nhiên m thỏa mãn: pqm1 2 + = pqm1++ Câu IV. (6,0 điểm) Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không thuộc đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K. 1. Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn; 2. Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi; 3. Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME. Câu V. (2,0 điểm) a b a b Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 2 + + c + = 6. Tìm giá trị nhỏ ba ba22 bc ca 4ab nhất của biểu thức P = + +  a(2b+ c) b(2a + c) c(a + b) Hết