Giải một bài toán hình lạ kì - Hình học Lớp 9 - Ngô Vĩnh Chiến

Nội dung text: Giải một bài toán hình lạ kì - Hình học Lớp 9 - Ngô Vĩnh Chiến

1. Giải một bài toán hình lạ kì Lời bàn: Đây là một bài toán với các hệ thức một chia cho các tỷ số của thầy giáo:” Ngô Vĩnh Chiến”. Thấy bài toán hay nên tôi đã bổ sung thêm một số hệ thức hoàn chỉnh để có nên bài toán độc đáo như sau. Đề bài: Cho ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC có AH là đường cao. Trên tia đối tia CB lấy D sao cho CD = AC 1/Chứng minh: 2/ Đường thẳng qua B song song OA cắt DA tại F. Chứng minh: 3/ Đường thẳng vuông góc AH tại A cắt BF tại E, EH cắt AB và AO lần lượt tại J và K. Chứng minh: 4/ Tiếp tuyến tại A cắt BC tại I. Lấy G là trung điểm của IH. Chứng minh: 5/ Chứng minh: 6/ Tia phân giác của góc cắt BC tại Q. Chứng minh: 7/ Kẻ các đường phân giác trong AV và CU của tam giác AOC. Chứng minh: 8/ Tiếp tuyến tại B cắt AI tại P, AE cắt (O) tại R, AC cắt BR tại S, PS cắt AB tại T. Chứng minh: 9/ Trên tia đối tia AI lấy M bất kì. HM cắt AC tại N. Chứng minh: khi = 1200. 10/ BE cắt (O) tại Z. Gọi X, Y lần lượt là trung điểm của EB và OR. Chứng minh: khi 11/ Vẽ đường kính AA’ của (O). Gọi O’ là điểm đối xứng A qua A’. Tia IA’ lần
2. lượt cắt BO’ và CO’ lần lượt tại B’ và C’. Chứng minh: 12/ Vẽ các đường phân giác trong BM’ và CN’ của tam giác BCO’. Chứng minh: khi 3 điểm M’ ; N’ và A’ thẳng hàng. Hướng dẫn giải Hình 1: Từ câu 1 đến câu 7 Hình 2: Từ câu 8 đến câu 10 Hình 3: Từ câu 11 đến câu 12 1/ Ta có AC2 = HC.BC  HC.BC + BC.AC = AC2 + BC.AC  BC.(HC + AC) = AC.(AC + BC)  BC.HD = DB.DC   (luôn đúng) 2/
3. Dễ thấy góc ABF = góc BAO = góc ABD nên AB là tia phân giác góc DBF .Áp dụng định lý ta let với đường phân giác ta có   (luôn đúng) 3/ Dễ thấy tứ giác AEBO là hình thoi. Áp dụng liên tiếp định lý ta let ta có    Ta có: 1  (luôn đúng) 4/ Dễ dàng chứng minh được: IB.IC = IH.IO (cùng bằng với IA2 ) nên ta có (luôn đúng) 5/ Dễ dàng chứng minh được AB là tia phân giác góc HAI. Kết hợp với 2 tam giác OAI Và AHI đồng dạng ta có tỉ số => BH.OI = IB.OA = IB.OB Ta có (luôn đúng) 6/ Dễ thấy góc BAH = góc ACB = góc OAC. Từ đó suy ra góc BAQ = góc CAQ Lại có: góc IAQ = góc IAB + góc BAQ = góc ACB + góc CAQ = góc AQI Suy ra tam giác AQI cân tại I hay AI = IQ. Theo như trên ta có IQ2 = AI2 = IB.IC  IQ2 = (IQ – QB).(IQ + QC) = IQ2 +QC.IQ – QB.IQ – QB.QC  IQ.(QC – QB) = QB.QC   (luôn đúng) 7/
4. Trong tam giác AOC. Áp dụng tính chất đường phân giác ta có => UV // AC. Suy ra   (luôn đúng) 8/ Dễ thấy AR // BC nên sđcung AB = sđcung RC. Ta có: góc ASB = (sđcung AR + sđcungAB) : 2 = sđcung AB = góc AOB Vậy tứ giác ASOB nội tiếp. Mà dễ thấy tứ giác BPAO nội tiếp nên 5 điểm B, P, A, S, O cùng thuộc 1 đường tròn => góc BSP = góc BAP = góc BRA => PS // AR. Vậy AR // PS //AB. Áp dụng định lý ta lét ta có = 1  (luôn đúng) 9/ khi = 1200. Trên cạnh AM lấy điểm T’ sao cho NT’ // AH. Dễ thấy góc MAC = góc ABC = góc HAC nên AC là tia phân giác góc HAM. Với giả thiết góc HAM = 120 độ, dễ dàng chứng minh được tam giác ANT’ đều => AN = AT’ = NT’. Áp dụng định lý ta let ta có : = 1  (luôn đúng) 10/ khi Gọi H’ là trung điểm của cạnh AR. Dễ thấy tứ giác AHOH’ là hình chữ nhật. Từ đó suy ra AR = 2AH’= 2OH hay AR = 2OH. Mặt khác dễ thấy 2 tam giác OHA và BZC đồng dạng nên = 2 => BZ = 2OH Mặt khác theo như trên ta có tứ giác AEBO là hình thoi nên AE = OB = BE và XY là đường trung bình của hình thang BERO nên ta có: XY = (OB + RE) : 2 = ( OB + AE + AR) : 2 = (OB + OB + 2OH) : 2 = OB + OH EZ = BE + BZ = OB + 2OH.
5. Từ giả thiết ta suy ra  OB = 2OH Vậy suy ra AE = OB = 2OH ; AR = 2OH. Vậy suy ra (luôn đúng) 11/ Dễ thấy OB = OC và A’O’ = 2OA’ nên A’ là trọng tâm của tam giác BCO’. Trên đường thẳng AA’ lấy các điểm D’ và E’ sao cho BD’ // E’C // IC’. Khi đó dễ thấy BD’ = E’C và OE’ = OD’ nên D’E’ = 2OD’. Áp dụng định lý ta có: .Vậy suy ra (luôn đúng) 12/ khi 3 điểm M’ ; N’ và A’ thẳng hàng. Trên đường thẳng OO’ lấy các điểm P’ và Q’ sao cho BP’ // CQ’ // M’N’. Dễ thấy OP’ = OQ’ nên A’P’ + A’Q’ = A’O + O’P’ + A’O – OQ’ = 2A’O = A’O’. Kết hợp định lý ta lét với đường phân giác ta có 1 = Vậy suy ra (luôn đúng)