Giải trí Toán học: Mở rộng của lũy thừa để tạo nên các con số lớn - Nguyễn Khánh Ninh

147 trang thaodu 8390

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giải trí Toán học: Mở rộng của lũy thừa để tạo nên các con số lớn - Nguyễn Khánh Ninh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giai_tri_toan_hoc_mo_rong_cua_luy_thua_de_tao_nen_cac_con_so.pdf

Nội dung text: Giải trí Toán học: Mở rộng của lũy thừa để tạo nên các con số lớn - Nguyễn Khánh Ninh

Mở rộng của lũy thừa để tạo nên các con số lớn  Khám phá các công thức lũy thừa  Ứng dụng của việc sử dụng các con số lớn trong cuộc sống  Giới thiệu công thức mở rộng ở các tầng lũy thừa  Ý nghĩa sự biểu hiện các con số lũy thừa 풏  Giả thuyết thú vị về √ trong đó n có thể là số âm, 1, 0 và mở rộng mới về lũy thừa của các lớp căn thức  Ý nghĩa và mối quan hệ của 1 , 0 và vô cực ∞  Tài liệu bổ ích cho học sinh Trung học cơ sở Tác giả: Nguyễn Khánh Ninh ^ ^ ^ ^ ^ ^ Cuộc hành trình khám phá các con số biểu hiện dưới dạng các con số lũy thừa. Dành tặng cho những ai ham thích tìm hiểu sự biểu hiện, ý nghĩa về độ lớn của các con số lũy thừa
Lời bàn: Các công thức ở trong toán học luôn đa dạng và phong phú. Trong toán học, luôn có rất nhiều loại toán học khác nhau từ hệ phương trình, bất phương trình, đa thức, phép nhân chia đa thức cho đến các loại hình học như tam giác, tứ giác, hình thang, hình chữ nhật, đường tròn Tuy nhiên, việc sử dụng các con số trong toán học đôi khi chúng ta đã quên mất đi ý nghĩa của nó. Những con số có ý nghĩa gì ra sao, nó nói lên điều gì thì chúng ta lại ít khi quan tâm đến mà chỉ chú trọng đến kĩ năng học thuật và tính toán. Với lý do này, tôi mạnh dạn giới thiệu cho mọi người ý nghĩa của các con số lũy thừa. Con số biểu hiện đơn giản nhưng lại mang những giá trị rất lớn mà không ai có thể hiểu hết được chúng. Thật chất toán lũy thừa nhìn đơn giản nhưng lại rất khó, ngay cả biểu hiện thông thường của nó cũng đã lớn. Hình thức biểu hiện của nó đa dạng và phong phú. Có thể kí hiệu đơn giản nhưng dễ dàng tăng thêm mức độ mở rộng thêm các lớp lũy thừa. Việc này các con số thông thường dạng khác khó có thể biểu đạt. Phép lũy thừa còn khó ở chỗ phải thông qua phép nhân để hình thành và thú vị là phần lũy thừa thông qua phép cộng thì phần dưới thông qua phép nhân và ngược lại. Đây cũng là sự lý thú và bí ẩn của lũy thừa. Tuy nhiên,dù các công thức có nhiều và phức tạp đến đâu vẫn vận hành theo các quy tắc cơ bản là cộng trừ nhân chia và lũy thừa cũng tuân thủ theo quy tắc này. Trong phạm vi này, tôi sẽ trình bày rõ hơn các công thức lũy thừa mở rộng đơn giản để mọi người dễ hình dung nên các con số rất lớn vượt khỏi nhận thức của con người Dù đã được biên soạn nhưng chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi những sai sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của học sinh và thầy cô để tôi có thể hoàn thiện được tài liệu này ngày càng chỉnh chu hơn Nguyễn Khánh Ninh
I/ Số lũy thừa là gì ? Lũy thừa là một khái niệm đơn giản với chương trình toán lớp 6. Để hình dung cơ bản tôi sẽ trình bày như sau: + Phép cộng: a + b. Ví dụ: 10 + 1 ; 10 + 2 Cho đến khi cộng với số bằng với số trước đó. VD: 10 + 10 Và cộng cho nhiều số giống nhau. VD: 10 + 10 + 10 + 10 + Và lúc này phép nhân xuất hiện để tiếp nối cho phép cộng + Phép nhân: a x b = a + a + a + a (b lần a). Ví dụ: 10 x 4 = 10 + 10 + 10 + 10 Tương tự như vậy cho đến khi thực hiện phép nhân với chính nó. Ví dụ: 10 x 10 Tiếp tục thực hiện nhiều phép nhân với các số giống nhau. Ví dụ: 10 x 10 x 10 x 10 Và lúc này phép lũy thừa tiếp nối cho phép nhân + Phép lũy thừa: = a x a x a x a (b lần a). Ví dụ: ퟒ= 10 x 10 x 10 x 10 Một câu hỏi được đặt ra chính là: Vì sao học sinh chỉ học đến phép lũy thừa là cao nhất. Vậy theo logic tiếp tục phát triển trên phép tính lũy thừa là gì ? Một lí do thích đáng đó là ngay cả phép lũy thừa cũng đã là khó để hình dung. Thật vậy từ phép lũy thừa có thể tạo ra các phép trung gian như căn thức, logrit cũng đã là khá là khó với nhận thức chung của chúng ta. Lấy một ví dụ cơ bản: Từ lũy thừa có thể xây dựng nên các phương trình bậc cao. Tuy nhiên cho đến nay, chúng ta chỉ mới áp dụng và tìm ra cách giải tổng quát của một Phương trình bậc hai có dạng ax2 + bx + c = 0. Đến phương trình bậc ba đã là quá phức tạp. Mặc dù có những triết gia toán học xưa đã có thể tìm ra cách giải tổng quát của phương trình bậc 3 nhưng cách giải quá là phức tạp. Huống chi là các phương trình ở cấp độ cao hơn nhiều như thế ? Các khái niêm về căn thức, logarit cũng khá là khó với các khái niệm trừu tượng. Do vậy, các kí hiệu và con số vẫn là một điều bí ẩn với chúng ta. Một số công thức cơ bản từ phép tính lũy thừa. . 풏 = +풏 . 풏. 풑 = +풏+풑 −풏 = . = ( ) ( )풏 = ( 풏) = 풏 풏 . − = = = ( )
II/ Mở rộng tầng 1 của lũy thừa. Như đã nói ở trên, các khái niệm 3 tầng trong toán là phép cộng, phép nhân, phép lũy thừa tương đối dễ hiểu. Nhưng nếu đòi hỏi thêm một phép toán tiếp tục tiếp nối trên lũy thừa thì cũng rất khó hình dung. Tại sao lại như thế ? Thứ nhất chính là phải có kí hiệu để hình dung. Ví dụ như phép cộng thì sử dụng dấu + ; phép nhân sử dụng dấu x ; phép lũy thừa sử dụng kí hiệu . Biểu thị của từng phép tính dựa vào phép tính trước đó, ví dụ phép nhân dựa vào phép cộng, phép lũy thừa dựa vào phép nhân Vậy theo logic thì tầng tiếp theo sẽ vận dụng kí hiệu lũy thừa để tính toán, nhưng không biết kí hiệu đó là gì ví dụ như lũy thừa kí hiệu là . Mà các phép toán luôn có sự lặp lại chính nó vậy suy ra tầng phép toán tiếp theo có dạng. Ta kí hiệu nó là S. S = ( b lần a). Nhìn đến đây là nhức đầu rồi phải không. Thật vậy, chúng rất là khó để chúng ta suy ngẫm và tưởng tượng như thế nào. Và đây là lí do tôi muốn khai thác chủ đề này. Như tôi đã nói ở trên mở rộng lũy thừa là một khái niệm khá là khó bởi vì Ta nhận xét rằng các phép tính ở 3 tầng cộng, nhân, lũy thừa chỉ cho cùng 1 đáp án VD: 2 + 2 + 2 = 6 ; 2 x 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 ; 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 Lí do đó chính là khi thay đổi vị trí để tính toán thì các giá trị vẫn không thay đổi giá trị của nó. VD: 2 x 3 = 2 + 2 + 2 = (2 + 2) + 2 = 2 + (2 + 2); 24 = (2 x 2 x 2) x 2 = (2 x 2) x (2 x 2) Nhưng kết quả sẽ khác với tầng phép toán trên lũy thừa một chút. VD như phép toán .Phép toán này sẽ giải như thế nào. Không giống như phép toán của 3 tầng trước. Phép toán này sẽ cho ra rất nhiều kết quả khác nhau nếu ta không có kí hiệu dấu ngoặc !. ( ) Thật vậy. Với phép toán trên cho ra 2 phép tính = ( ) = Phép tính này cho ra 2 kết quả khác nhau là: ( ) = =
( ) Và = = ퟒ ퟒ III/ Phép toán cao hơn lũy thừa một chút. 1/ Các bước để leo thang từ 1 lớp lên 2 lớp lũy thừa Như đã nói trên phép toán chỉ trên tầng lũy thừa một chút xíu cũng đã phức tạp vì đã có đến 2 trường hợp khác nhau. Nhưng tệ hơn nữa là chúng ta chỉ mới sử dụng 2 lớp lũy thừa thôi !!. Để dễ nhìn, tôi sẽ thay thế dấu nhân x bằng dấu . Xin lấy ví dụ ờ 2 trường hợp là Trường hợp 1: = ( ) Làm thế nào đế phát triển lên đến ( ) Bước 1: Đầu tiên ta sẽ cộng 1 vào hệ thức ta có + Bước 2: Cộng đến khi nào ta có + Bước 3: Cộng thêm chính số 3 vào ta có + + Bước 4: Cộng đến khi có ta phép nhân ta có + . Bước 5: Thực hiện tương tự phép nhân ta có + . . = + Bước 6: Thực hiện như các bước trên ta có + + = . Bước 7: Ta đã có 3 lớp . Tương tự cộng với số lớp nhiều như 3Ta có . = ( ) Bước 8: Thực hiện tương tự như các bước ban đầu ta có ( ) + ( ) = . ( ) Bước 9: Thực hiện thêm 1 lớp như các bước ban đầu ta có . ( ) Bước 10: Ta đã có 3 lớp ( ) Tương tự cộng với số lớp nhiều như như trước ta có ( ). ( ) = ( ) Vậy ta đã có số cần đạt được
( ) Trường hợp 2: = ( ) Làm thế nào đế phát triển lên đến Bước 1: Đầu tiên ta sẽ cộng 1 vào hệ thức ta có + Bước 2: Cộng đến khi nào ta có + Bước 3: Cộng thêm chính số 3 vào ta có + + Bước 4: Cộng đến khi có ta phép nhân ta có + . Bước 5: Thực hiện tương tự phép nhân ta có + . . = + Bước 6: Thực hiện như các bước trên ta có + + = . Bước 7: Ta đã có 3 lớp . Tương tự cộng với số lớp nhiều như + . 3Ta có . = = . . . Bước 8: Thực hiện tương tự ta có + = . . Bước 9: Thực hiện tương tự ta có . . Bước 10: Ta đã có 3 lớp . Thực hiện với lớp ta có . . + . ( ) . = = = ( ) ( ) ( ) Bước 11: Thực hiện tương tự các bước trên ta có + = . ( ) ( ) + Bước 12: Ta đã có 2 lớp . Thực hiện với lớp ta có . = + + + Bước 13: Thực hiện tương tự các bước trên ta có + = . + Bước 14: Ta đã có 2 lớp . Thực hiện với lớp ta có . + = + + = . + . + . + Bước 15: Thực hiện tương tự các bước trên ta có + . + Bước 16: Ta đã có 2 lớp . Thực hiện với lớp ta có
. . + = + . + = . + = . . . Bước 17: Thực hiện tương tự các bước trên ta có + . . . + Bước 18: Ta đã có 2 lớp . Thực hiện với lớp ta có . = . + . + Bước 19: Thực hiện tương tự các bước trên ta có + . + Bước 20: Ta đã có 2 lớp . Thực hiện với lớp ta có . . + = . + + = . + . . + . . + . Bước 21: Thực hiện tương tự các bước trên ta có + . + . Bước 22: Ta đã có 2 lớp . Thực hiện với lớp ta có . . + . = . + . + = . + . = . + = . = ( ) Vậy ta đã có số cần đạt được Wow!. Thật đáng ngạc nhiên phải không ?. Tại sao tôi lại phải trình bày như vậy. Bởi vì hình dung sự liên kết của chúng thật sự là quá khó. Mặc dù khi tính tay thì cũng quá là đơn giản, nhưng khi từng bậc leo thang sẽ cho thấy các kết quả thật đáng kinh ngạc. Nếu như phân tích ở tầng lũy thừa thì không có gì phức tạp cho lắm Ví dụ: Làm thế nào để từ 3 lên Bước 1: Đầu tiên ta sẽ cộng 1 vào hệ thức ta có + Bước 2: Cộng đến khi nào ta có + Bước 3: Cộng thêm chính số 3 vào ta có + + = . Bước 4: Thực hiện tương tự ta có . + . Bước 5: Tiếp tục tương tự ta có . + . + . = . . = Rõ ràng, khi so sánh các kết quả tính toán. Ta thấy rằng kết quả tính toán ở trường hợp 2 là phức tạp với nhiều bước và cho ra kết qủa lớn hơn nhiều so với trường hợp 1. Điều đó cho thấy rằng khi tính toán từ trái sang phải sẽ cho ra các kết quả lớn hơn rất nhiều
so với tưởng tượng. Điều này hợp lý bởi vì nếu số mũ càng lớn thì sẽ xuất hiện càng nhiều phép nhân do vậy mà kết quả sẽ lớn hơn nhiều. 2/ Tạo nên các phương trình kinh dị Xin lấy 1 ví dụ cơ bản. Phương trình bậc 2 chúng ta đã nghiên cứu cho ra công thức tổng quát. Nhưng khi giải ra nghiệm cũng phải đưa phương trình về với dạng phương trình bậc nhất. Thường thì phân tích sẽ đưa về dạng A2 = B2. Một cách để ví dụ đó là dựa vào tính chất của đa thức để biến đổi phương trình về dạng hằng đẳng thức (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 và (A + B)2 = A2 + 2AB + B2. Một cách ngạc nhiên đó là phép thử lại nghiệm của phương trình giống như kết quả tôi đã phân tích ở trên. Lấy ví dụ phương trình x2 – 3x + 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt lả 1 và 2 Với x = 1 ta có x2 – 3x + 2 = 12 – 3.1 + 2 = 1.1 – 3.1 +2 = 1 – ( 1 + 1 + 1) + 2 = 1 – 1 – 1 – 1 + 2 = – 1 – 1 + 2 = – 2 +2 = 0. Với x = 2 ta có x2 – 3x + 2 = 22 – 3.2 + 2 = 2.2 – 3.2 +2 = 2 + 2 – ( 2 + 2 + 2) + 2 =2 + 2 – 2 – 2 – 2 + 2 = 4 – 2 – 2 – 2 + 2 = 2 – 2 – 2 + 2 = – 2 + 2 = 0. Một tưởng tưởng vui như thế này. Giả sử như có một sinh mệnh có trí thông minh siêu việt. Có thể giải được các dạng phương trình bậc cao như bậc 2, bậc 3, bậc 4 .thậm chí bậc 100000000000000000000000 .!! Họ vẫn giải được. Không chỉ vậy, khi các phương ퟒ ퟒ trình trở nên phức tạp như lũy thừa 2 lớp. VD: 풙 hoặc 풙 Họ vẫn chia ra 2 trường hợp trường hợp để giải. Thậm chi các phương trình cực kì khó hiểu như ퟒ 푿 푿+ 푿 푿 + ퟒ ퟒ 푿푿; 푿푿+ ; 푿 푿; 푿푿 ; 푿푿 ; 푿 ; 푿 ; 푿푿 ; 푿 푿 Họ vẫn có thể giải được. Nhưng đó là những tư duy phức tạp vượt quá sức của con người !. Để có thể giải thích cho chúng ta hiểu có lẽ phải dùng đến hàng tỷ tỷ tỷ trang A4 mới giải thích cho chúng ta hiểu được, ngay cả con số trên vẫn không đủ !!!!! Những điều ấy vượt quá sức tưởng tượng của con người, nhưng đó có thể là một pháp lí vận hành ki diệu ở một nơi nào đó ở trong vũ trụ. Câu chuyện trên tuy vui nhưng minh chứng rằng thật sự thì tư duy của chúng ta bị giới hạn nhiều lắm. Thậm chí đó chỉ là dùng logic trong toán học thôi. Những thứ chúng ta khám phá ra những công thức, định lý cao siêu phức tạp được biểu dạng dưới dạng toán học cũng chỉ dừng ở tầng lũy thừa. Tầng tiếp theo của lũy thừa mới có 2 lớp mà đã
khủng khiếp đến như vậy rồi. Mà biết đâu trong vũ trụ có những công thức được biểu dạng dưới dạng siêu việt hơn cả những gì tôi kể. 2/ Những ứng dụng sô lũy thừa cụ thể trong cuộc sống Tôi sẽ dùng số 10 lũy thừa để dễ hình dung. : 1 triệu. Với nhiều người thì 1 triệu đã là 1 con số khá lớn. Ví dụ như sở hữu 1 mảnh đất hình vuông có cạnh là 1 km = 1000m. Thật vậy nếu mỗi căn nhà có chiều rộng là 6m; mỗi căn nhà cách nhau 1,5 km thì mảnh đất có thể chứa được đến 130 căn nhà trên một chiều dài. Trường đại học Havard của Mỹ nổi tiếng với diện tích lên đến 1,5 km2 Con số hàng triệu có thể miêu tả số sách được tích trữ ớ 1 thư viện. Thư viện Quốc hội Mỹ là thư viện lớn nhất thế giới. Số sách có thể chứa được lên tới hơn 80 triệu cuốn sách Hãy hình dung một ví dụ thú vị như thế này. Giả sử như chúng ta xây một tòa chung cư cao ốc vĩ đại cho toàn bộ dân số của chúng ta sinh sống. Tòa chung cư tính trung bình 1 tầng sẽ có khoảng 1000 người sinh sống. Như vậy chúng ta sẽ có khoảng 7 triệu tầng lầu. Giả sử như 1 tầng có độ cao là 3m. Như vậy thì tòa nhà đó sẽ cao đến 21 triệu m = 21000 km !. Chiều cao của tòa nhà thậm chí vượt quá độ cao của trạm quốc tế và có độ cao hơn gấp 3 lần bán kính của Trái Đất. Giả sử bạn là một người tập đếm liên tục từ 1 cho đến 1000000. Bạn đếm liên tục không ngừng nghỉ và bạn không có cảm giác mệt hay hết hơi. Thậm chí bạn cũng không ăn uống, ngủ nghỉ và chỉ đếm thì bạn sẽ mất đếm 29 ngày tức là gần 1 tháng để đếm xong. Một triệu quả là một con số tương đối lớn. 3746160: Tổng số cách sắp xếp cho 1 khối rubik có dạng 2 x 2. Nó có dạng như thế này Chỉ có 1 khối rubik nhỏ xíu sao cho nhiều cách sắp xếp như thế này. Một cách giải đó là chúng ta cố định 1 hình khối, và sau đó 7 mặt còn lại sẽ có 7! = 5040 cách sắp xếp. Ngoài ra mỗi vòng quay có 3 vòng khác nhau. DO vậy số cách là !. = ퟒ
: 100 triệu. Đây là con số dùng để đo lường kích thước của bề mặt trên các hành tinh của chúng ta. Diện tích bề mặt trái đất là 510.000.000 km2 Diện tích bề mặt sao Hỏa là 144.800.000 km2. Diện tích bề mặt sao Kim là 460.200.000 km2 Giả sử bạn là người thích viết một bộ tiều thuyết dài. Bạn dữ định sẽ viết đủ 100 triệu từ cho bộ tiểu thuyết. Giả sử như 1 trang trung bình có 50 dòng, mỗi dòng có thể chứa được 20 chữ. Như vậy 1 trang của bạn sẽ chứa được 1000 từ. Vậy suy ra bộ tiểu thuyết của bạn sẽ dày đến 100000 trang !. Nếu tính trung bình thì quyển sách của bạn sẽ cao đến 6m bằng đến độ cao 2 tầng lầu nhà bạn!. Và hơn nữa giả sử bạn mất đến gần 1 tiếng chỉ để viết hoàn chỉnh 1 trang tiểu thiết. Bạn sẽ mất tổng cộng thời gian là 11, 4 năm để viết bộ tiểu thuyết trên. Nhưng nếu mỗi ngày bạn chỉ dành ra 3 giờ đồng hồ để viết tiểu thuyết thì bạn sẽ mất đến 91,3 năm mới viết xong bộ tiểu thuyết này !. : 1 tỷ. Đây cũng là một con số khá lớn. Thật vậy, ta cũng từng nghe các tỷ phú, doanh nhân sở hữu đến hàng tỷ, chục tỷ đô la. Dường như con số tượng trưng cho khối tài sản khổng lồ của các tỷ phú. Ngoài ra, con số này có thể đo lường mức độ dân số trên toàn thế giới khoảng 7,5 tỷ người. Một con số tượng trưng cho số lượng dân số cho toàn Trái Đất Một tưởng tượng vui đó là: Tại sao các cuốn sách chỉ in nhiều lắm là 1000, 2000 hay 3000 ; 4000 trang đã là chứa được lượng thông tin rất lớn ở trong 1 cuốn sách. Giả sử như có chúng ta có một siêu năng lực, có thể xây dựng nên một cuốn sách dày đến 1 tỷ trang !!. Hảy thử tưởng tượng 1 cuốn sách dày 1000 trang có độ dày là 6cm. Vậy ta suy ra cuốn sách dày sẽ dày đến 6000000 cm = 60000 m = 60 km !!!.Ngay cả 1 máy bay bay ở độ cao cao nhất hiện tại chỉ là 10000 m. Độ cao của cuốn sách này cao gấp 6 lần độ cao trên !!. Độ cao của cuốn sách này cao gần 7 lần so với đỉnh núi Everest cao nhất thế giới. Để xem được cuốn sách trên phải xây dựng 1 cầu thang có độ cao như cuốn sách trên. Nhưng mà dám chắc là chúng ta có sợ hãi độ cao như vậy hay không khi nó vượt quá độ cao của đỉnh núi cao nhất thế giới. Giả sử như cái thang này cao 60000m, thang này có các nấc thang mỗi nấc thang cách nhau 20cm. Vậy thì cái thang này sẽ có đến 300000 bậc. Giả sử như 1 người trong 5 giây leo lên được 1 bậc, không tính là người này sợ hãi khi phải leo lên thì người này muốn leo lên đỉnh thang để đọc trang đầu tiên của cuốn sách thì sẽ cần đến 17,36 ngày tức là hơn nửa tháng !!. Giả sử như người ấy đọc 1 trang hết 10 phút là đọc liên tục không ngừng nghỉ thì thời gian người này đọc sẽ mất đến 190258 năm cộng với thời gian xuống thang !!!. Giả sử như giá tiền của cuốn
sách này cứ 1000 trang thì có giá 200000 nghìn đồng thì cuốn sách này sẽ có giá là 200 tỷ đồng. Đây có thể là những tưởng tượng khá điên rồ nhưng nó cho thấy con số lớn này khủng khiếp đến mức nào : 1 nghìn tỷ. Đây là con số đo lường quãng đường ánh sáng đi được trong 1 năm là 946 tỷ km2 Ngoài ra đây cũng là con số tổng số cân là 1012 được hợp nhất thành 1 chiếc cân khổng lồ để đo được trọng lượng của toàn bộ con người khi được đặt lên chiếc cân đó Một nghìn tỉ từ sẽ chiếm khoảng 11 triệu cuốn sách. Ứơc tính rằng ở thành phố Mỹ mỗi thư viện có khoảng 18000 cuốn sách như vậy nó sẽ chiếm khoảng 611 thư viện. Giả sử như có 1 người có tốc độ đọc cực nhanh, đọc hết toàn bộ 11 triệu cuốn sách đó. Trung bình mỗi ngày anh ta có thể đọc xong 15 cuốn sách. Tính ra trung bình khoảng thời gian để anh ta đọc hết toàn bộ cuốn sách là 2009 năm !!! tức là gần 2 thiên niên kỉ. Nếu anh ta sống tới 100 năm thì chỉ đọc khoảng được 547500 cuốn sách. Một con số quá lớn cho hoạt động hằng ngày của mỗi cá nhân. Cơ thể con người chứa khoảng 20-50 nghìn tỷ tế bào dựa trên ước tính. Người ta thường nhấn mạnh rằng các tế bào cực kỳ nhỏ (ví dụ, bạn gãi cánh tay của bạn khi bị ngứa và bạn đã tác động đến hàng nghìn tỷ tế bào), vì vậy có thể rất ngạc nhiên khi cơ thể con người chỉ được tạo ra từ hàng nghìn tỷ của các tế bào. Một lần nữa, điều này cho thấy mức độ thường xuyên bị đánh giá thấp, và một nghìn tỷ khổng lồ đến mức nào. : 1 triệu tỷ. Đây cũng là một con số khá là lớn. Tương tự như trên 1 triệu tỷ từ có thể chứa được trong 11 tỷ cuốn sách tất cả. Google ước tính vào năm 2010 rằng có khoảng 130 triệu cuốn sách khác nhau trên thế giới, tính từng phiên bản, bản dịch, v.v., như một cuốn sách riêng biệt. Con số này ít hơn tổng số sách trong chứa 1 triệu tỷ từ khoảng 8 lần. Giả sử như chúng ta mong muốn xây dựng các thư viện khổng lồ để chứa toàn bộ số sách trên. Giả sử như chúng ta xây dựng nên một thư viện rất lớn hình vuông có diện tích là 1 km2. Thư viện này sẽ chứa khoảng 5000 kệ sách. Mỗi kệ sách có thể chứa được đến 100 cuốn sách. Như vậy mỗi thư viện sẽ chứa khoảng 500.000 cuốn sách. Muốn chứa được toàn bộ số sách trên, chúng ta phải xây dựng đến 22000 thư viện. Diện tích tổng cộng của các thư viện sẽ chứa đến 22000 km2. Nó sẽ rộng gấp 10 lần diện tích của thành phố Hồ Chí Minh.
Để có thể đọc được hết số sách trên, chúng ta cử ra 1 triệu người hợp sức để đọc. Giả sử mỗi người đọc hết 2 cuốn sách trong 1 ngày và ngày nào cũng đọc như vậy. Vậy thì tổng thời gian để họ đọc hết 11 tỷ cuốn sách là 15 năm tức là chia ra mỗi người chỉ đọc khoảng 11000 cuốn sách !!. Khi một ai đó đến liên tục không ngừng nghỉ đến 1 triệu tỷ sẽ mất đến khoảng 200 triệu năm mới đếm xong !!. Giả sử như người này có siêu năng lực, trung bình trong 1 giây có thể đếm được đến 500 con số thì người này cũng sẽ mất khoảng 63420 năm để đếm xong tức là gần 60 thiên niên kỷ. Một khoảng thời gian cũng tương đối dài. : 1 tỷ tỷ. Đây là con số ước lượng số mết khối nước ở tất cả bề mặt của trái đất. Đồng thời nó cũng cho thấy có khoảng 7,4 tỷ tỷ hạt cát ở tất cả các bãi biển ở trên Trái Đất của chúng ta. Một con số khá lớn cũng đủ để chứng minh chúng ta nhiều chuyện đến chừng nào. Các nghiên cứu chỉ ra rằng đàn ông nói 7000 từ mỗi ngày, phụ nữ nói 20000 từ mỗi ngày. Nếu như tính tổng số từ nói được của loài người là 7,5 tỷ người thì khoảng thời gian nói được 1 tỷ tỷ từ thì sẽ mất đến 28 năm. Một con số tồn tại vô hình trong hoạt động giao tiếp của chúng ta. Giả sử như chúng ta xây dựng một cái hồ bơi hình hộp chữ nhật chứa được 1 tỷ tỷ tỷ mét khối nước. Giả sử bể bơi này có diện tích bằng với diện tích của cả Trái Đất nơi ta đang sinh sống. Vậy thì bể bơi này sẽ có chiều sâu lên đến 2000 m = 2 km !. Một hồ bơi có độ sâu đáng sợ cho những ai bơi lội bởi vì độ sâu nhất của đại dương cũng chỉ khoảng 11 km. Giả sử như có rất nhiều người bơi ở hồ bơi này, diện tích trung bình cho 1 người để bơi là 250m2 thì hồ bơi này sẽ chứa được 2 nghìn tỷ người. Một con số lớn hơn 266 lần so với tổng số người ở trên mặt đất. : 1 nghìn tỷ tỷ. Đây là một con số đã trở nên khá lớn. Tương tự như trên, tổng số người có thể nói được hết 1 nghìn tỷ tỷ từ sẽ mất đến 28000 năm. Một khoảng thời gian quá dài cho những lần xuất hiện và biến mất ở các nền văn minh khác nhau. Hãy thử tưởng tượng như thế này. Giả sử chúng ta có thể xây dựng được một tòa tháp khổng lồ, tòa tháp này có đến 1 nghìn tỷ tỷ tầng, mỗi tầng cao khoảng 3m. Vậy thì tòa tháp này có độ cao bằng với chiều dài của 317097 năm ánh sáng !!!. Như vậy ở trong tòa tháp, chúng ta cũng có thể tham quan các hành tinh ở bên ngoài rìa hệ ngân hà chúng ta. Nó dài hơn khoảng cách hệ ngân hà chúng ta khoảng 3 lần, tức khoảng 100.000 năm ánh sáng.
43.252.003.274.489.856.000: Con số này tượng trưng cho tất cả sắp xếp xếp có thể có của khối rubik 3 x 3. Đùa chắc !!! Chỉ với 1 khối rubik tạo bởi 27 khối hình vuông nhỏ đã tạo nên con số khổng lồ này nhưng trong đó chỉ có 1 cách sắp xếp duy nhất hợp lí. Giả sử như mỗi khu rubik như thế này có kích thích là 6 cm x 6 cm. Nếu như nó xuất hiện nhiều với tất cả các hình dạng sắp xếp khác nhau như con số trên và bao phủ khắp Trái Đất thì chiều cao bao phủ của nó có thể cao khoảng 1 tòa nhà 6 tầng với chiều cao khoảng 2, 13 km !!. , ퟒ . ퟒ: Đây là con số quan sát được bằng kính thiên văn với vũ trụ hiện nay. Bán kính quan sát được nằm trong khoảng 100 tỷ năm ánh sáng. Tức là bán kính là 9,42. 1024 km : Con số chỉ số giọt nước của toàn bộ đại dương ở trên Trái Đất : 1 tỷ tỷ tỷ. Đây là con số đã bắt đầu trở nên rất lớn để hình dung. Hãy thử tượng tượng có 1 hình cầu có bán kính lên đến 190000 km, khoảng cách này là kích thước giữa Sao Mộc và Mặt Trời. Tức là nó lớn gấp 25 lần Trái đất nhưng nó có thể chứa được đến 1 tỷ tỷ tỷ gallon nước. Nếu như chúng ta là những người cực kì giàu khó, sở hữu đến 1 tỷ tỷ tỷ đô la thì số tiền này sẽ bao phủ toàn bộ thế giới trong 1 lớp dày đến 15 km. Khoảng cách này gấp 2 lần khoảng cách cao nhất của đỉnh núi cao nhất thế giới. Giờ đây, hãy tưởng tượng bạn đang đi đến 1 thế giới mới. Thế giới này có chứa đến 1 tỷ tỷ tỷ cuốn sách. Giả sử tất cả người ở Trái Đất, mỗi người trang bị siêu năng lực có khả năng đọc không ngừng nghỉ, trong 1 ngày có thể đọc đến 1000 cuốn sách. Vậy thì thời gian để tất cả người đọc hết toàn bộ số sách ở thế giới này sẻ kéo dài đến gần 4 trăm tỷ năm tức là 40 triệu thiên niên kỉ !. Một con số đủ để gây cho ta nhức đầu.
, ퟒ . ퟒ : Số cách sắp xếp cho một khối rubik 4 x 4. So với khối rubik 3 x 3, số cách sắp xếp của nó tăng một cách điên rồ. So với khối rubik 3 x 3. Nó nhiều hơn gấp 1,71 một trăm triệu tỷ lần !!. Hãy tưởng tượng như bây giờ ta hợp nhất tất cả số cách xếp của rubik thành 1 rubik khổng lồ. Như vậy rubik khổng lồ tạo bởi 2 x 2 sẽ cao khoảng 3,8 mét thì nó sẽ cao gấp đôi người bình thường. Còn khối rubik khổng lồ tạo bởi 3 x 3 sẽ có chiều cao khoảng 200 km. Nó sẽ cao hơn khoảng cách cao nhất của đỉnh núi cao nhất thế giới khoảng 23,5 lần !!. Còn khối rubik khổng lồ tạo bởi 4 x 4 sẽ có độ cao lên đến 148 tỷ km. Nếu nó được đặt ở tâm Mặt Trời thì khối rubik sẽ vượt qua quỹ đạo của Sao Diêm Vương lên đến 20,3 lần !! : Ứơc tính tổng số nguyên tử xuất hiện trong vũ trụ : Nó được đặt tên là Googol. Cái tên googol xuất hiện khi nhà toán học người Mỹ Edward Kasner trở nên dễ thương vào một ngày năm 1938 và yêu cầu cháu trai 9 tuổi của mình Milton đưa ra một cái tên cho 10 có số mũ với 100 số không. Milton, là một đứa trẻ 9 tuổi, gợi ý về googol. Kasner rõ ràng đã quyết định đây là một câu trả lời hợp lý và chấp nhận nó. = : Đây là một con số khá lớn với số 1 theo sau bởi 1 triệu con số 0. Nếu như viết con số ngày ra 1 tờ giấy. Nếu như chỉ viết theo 1 đường thẳng. Tức 1 con số chiếm khoảng 0,2 cm thì con số sẽ dài khoảng 200000cm = 2000m = 2km !. Nếu như giả sử trong 1 giây viết liên tiếp 3 chữ số 0 và viết không ngừng nghỉ thì thời gian để viết con số này sẽ là 9,25 giờ tức là hơn một phần ba ngày. , . ퟒ : Số lượng sách của thư viện Babel. Đây là số lượng sách trong một thư viện hư cấu khổng lồ được gọi là Thư viện Babel, một số đôi khi được gọi là số của Borges. Chính xác thì Thư viện Babel là gì? Nó xuất phát từ một truyện ngắn nổi tiếng cùng tên của tác giả người Argentina, ông Jorge Luis Borges, được xuất bản lần đầu tiên bằng tiếng Tây Ban Nha năm 1941 và bằng tiếng Anh năm 1962 .Câu chuyện kể về
một vũ trụ là một thư viện khổng lồ chứa mọi cuốn sách có thể có 410 trang, 40 dòng trên một trang, 80 ký tự trên mỗi dòng và 25 ký tự khác nhau có thể có (22 chữ cái, dấu cách, dấu phẩy, dấu chấm). Đó là những gì mà Thư viện Babel là. Trong số những cuốn sách đó có thông tin về mọi thứ theo nghĩa đen: tiểu sử của chính bạn, tiểu sử của bất kỳ ai khác, bất kỳ báo cáo nào về bất cứ điều gì đã xảy ra, cụm từ bạn chọn, dịch sang nghĩa đen bất kỳ ngôn ngữ nào, v.v. Ban đầu, đối với những người trong thư viện, điều này có vẻ rất tuyệt vời và đáng kinh ngạc Cho đến khi bạn xem xét sự phân nhánh của tất cả điều này. Thậm chí sẽ còn nhiều hơn, nếu không có nhiều hơn , những cuốn sách có thông tin sai lệch hơn những cuốn sách có thông tin thật, từ những cuốn sách làm rối tung một hoặc hai thông tin chính xác đến những cuốn sách có thông tin đầy đủ và hoàn toàn nhảm nhí ! Và đó thậm chí không phải là phần tồi tệ nhất: đại đa số những cuốn sách đó sẽ là vô nghĩa, vì vậy có thể mất rất nhiều thời gian để tìm một cuốn sách với các thông tin ý nghĩa! Trong câu chuyện của mình, Borges tiếp tục thảo luận về cách mọi người trong thư viện phản ứng với kịch bản như vậy một số người quyết định phá hủy những cuốn sách vô nghĩa, trong khi những người khác tìm kiếm một cuốn sách sẽ là một hướng dẫn chỉ đường cho các cuốn sách có nghĩa khác. Bây giờ ý tưởng về Thư viện Babel dường như không vẻ vang, nhưng thật kinh khủng. Để có thể hiểu được số lượng sách này lớn như thế này. Hãy lấy một ví dụ đó là số sách của toàn bộ thế giới theo ước tính là 130 triệu cuốn sách tức là khoảng , . cuốn sách. Giờ hãy thử 1 ý tưởng điên rồ đó chính là toàn bộ Trái Đất là một thư viên khổng lồ. Thư viện này sẽ cao đến 8010 km tức là gần bằng độ cao đỉnh núi Everest. Nếu mỗi cuốn sách có chiều dài khoảng 0,9 m ; chiều rộng khoảng 0,4 m và chiều cao khoảng 0,5 m thì thư viện này sẽ có khoảng 2,24 tức là khoảng hơn 2 triệu tỷ cuốn sách. Phần số mũ là 16 còn rất lâu lên đến 1834097. Giờ hãy tưởng tượng toàn bộ vũ trụ của ta quan sát được là một thư viện khổng lồ. Theo tính toán của tôi như vậy thư vậy này chỉ mới chiếm khoảng , . cuốn sách. Bạn thấy đấy vẫn còn quá xa. Thư viện của Babel phải rộng hơn vũ trụ của ta quan sát được là 1 con số có giá trị là số 1 theo sau bởi hơn 1,8 triệu con số 0 !!!. Đủ để tháy nó rộng lớn khủng khiếp như thế nào khi chúng ta bị lạc vào vũ trụ như vậy. , . ퟒ ~ , . : Số người có tổng cộng trong vũ trụ theo dự đoán của Robert Munafo
Xem xét DNA của mỗi người sẽ xác định chính xác người đó là ai là ai. DNA của mỗi người là một mã được tạo thành từ bốn cơ sở khác nhau, A, T, C và G. Mỗi người có thể có bao nhiêu mã DNA khác nhau? Người ta thường cho rằng vì "tất cả mọi người là duy nhất" hoàn toàn tất cả mọi người (ngoại trừ sinh đôi, sinh ba, bốn người, v.v.) có DNA khác nhau. Nhưng trong thực tế, số lượng kết hợp DNA có thể có mà ai đó có thể có là rất lớn, nhưng KHÔNG phải là vô hạn. Theo Robert Munafo, có khoảng 5.941.000.000 cơ sở trong DNA của một người điển hình. Bởi vì có 4 cơ sở DNA khác nhau, chúng tôi tính toán có khoãng 3,1 * 10 3,576,838,408 con người khác nhau có thể. Bây giờ hãy nghĩ về con số này lớn như thế nào. Dân số trên thế giới là 7,1 tỷ, và số người đã từng sống được ước tính là 100 tỷ. Điều đó thật đáng sợ bởi vì số người đã từng sống sẽ chỉ là một phần nhỏ không thể tưởng tượng được trong tất cả số loài người tổng cộng kết hợp có thể. Giả sử khi ngay cả khi loài người tồn tại trong một năm google tức là 10100 năm sẽ chỉ tăng thêm khoảng 100 lần độ lớn cho số lượng con người, điều đó vẫn không đưa chúng ta đến con số này! : Khoảng cách giữa bạn và bảo sao chép y chang giống y như bạn Đây là ước tính của Max Tegmark về khoảng cách giữa bạn và một bản sao giống hệt bạn đến từ một nơi khác. Theo ước tính đó là vũ trụ là rộng lớn vô hạn, Do đó tồn tại các không gian rất rộng lớn vượt quá sức hiểu biết tính toán của loài người. Con số này có thể dùng đơn vị là m; km; năm ánh sáng đều được vì chệnh lệch đơn vị so với con số này không đáng kể một chút nào. Con số này lớn như thế nào. Con số này có đến 1029 chữ số 0 !!. Để chứa đựng chữ số này. Giả sử như có 1 siêu từ điển rất lớn. Trong 1 trang có 100 dòng. Mỗi dòng chứa được 50 chữ số 0 vậy 1 trang sẽ chứa được 5000 chữ số 0 hay 2 trang chứa được 104 chữ số 0. Vậy chúng ta sẽ cần đến 2.1025 trang tất cả để chứa đựng con số này !!. Giả sử như mỗi cuốn từ điển có 1 nghìn trang. Vậy thì cần đền 2.1022 cuốn từ điển tức là 2 chục nghìn tỷ tỷ cuốn từ điển để chứa đựng con số này !!!. Nếu như giá tiền của mỗi cuốn từ điển là 150.000 đồng. Vậy thì sẽ cần đến 3 triệu tỷ tỷ đồng đế mua toàn bộ số từ điển chứa đựng con số này !!!. Thật là điên rồ đúng không ?. Ngay cả ta viết 10100 thì số này khi được viết trên giấy chỉ dài chưa đến chưa đến nửa trang word. Mà con số này lớn đến nỗi giá trị của nó khi được đong đếm bằng tiền thì số tiền cũng đã vượt quá các tỷ phú đến hàng tỷ lần !!.
, ퟒ. : Đây là con số có giá trị với con số : “ Bất khả thuyết bất khả thuyết chuyển “ ở trong Phật Giáo. Con số dùng để ước tính cái vô cùng rộng lớn vô lượng vô biên ở các không gian rộng lớn ở trong vũ trụ. Nhưng đó chỉ là ước tính vẫn không là gì so với các thế giới ở mười phương. Nhưng nó cũng đã là con số khá là lớn đối với tưởng tượng của chúng ta. Hãy thử tưởng tượng đó là giả sử có 1 máy in với tốc độ kinh hoàng để in con số này đó là in được 1 tỷ con số 0 trong 1 giây. Vậy thì thời gian để in con số này sẽ cần đến 295 tỷ tỷ năm tức là gần 300 tỷ tỷ năm thiên niên kỉ !. Một con số quá lớn trong việc tái hiện thời gian xuất hiện trong 1 đời người, 1 thời kỳ văn minh hay thậm chí lâu gấp hàng tỷ lần mỗi một thời kì hình thành ở Trái Đất. : Đây là con số có tên là googolplex. Một googolplex ban đầu được Milton Sirotta đặt ra như là một sự tiếp nối của con số googol, con số này được đặt ra với mục đích viết các chữ số 0 của nó với một cách mệt mỏi. Tuy nhiên, chú của anh, Edward Kasner không hài lòng với định nghĩa mơ hồ này, vì những người khác nhau cảm thấy mệt mỏi với các mức giá khác nhau và do đó, một googolplex rất khó định nghĩa chính xác theo cách đó. Vậy con số này lớn đến mức độ nào. Con số có đến 10100 con số 0 !!. Hãy tưởng tượng đầu tiên với con số 10100. Nếu viết được trong 1 giây được 3 chữ số 0 thì con số này chỉ viết trong khoảng 35 giây là xong. Còn con số này thì sao ?. Giả sử như người này viết không ngừng nghỉ và trong 1 giây viết được 3 chữ số 0. Như vậy trong 1 năm sẽ viết được 94608000 chữ số 0 tức khoảng 109 chữ số 0. Như vậy có thể tính trong suốt 1 đời của người đó là 100 năm chỉ viết được 1011 chữ số 0. Thực chất nếu người này viết sẽ cần đến 1091 năm đế viết xong con số này !!! Con số này vẫn còn là khá là lớn như hình dung. Giả sử như toàn bộ loài người ở vũ trụ cùng tham gia viết chữ số 0 cho con số này tức là theo ước tính trên có , . Người cùng tham gia viết chữ số 0 cho con số này. Vậy thì trong 1 năm toàn thể người chỉ mới viết được + , . chữ số 0. Một con số vẫn là quá bé so với ban đầu. Giả sử như họ cùng viết trong 1 tỷ tỷ tỷ năm thì số chữ số 0 mới hoàn thành là + , . Phần số mũ đó không hề thay đổi đáng kể chưa lên đến 1010 . Trong khi đó lại cần đến 10100 mới hoàn thành. Vậy thì như tôi đã ví dụ trên. Phải ví dụ lập thể đó là tăng từ từ 1010 lên 1011 ; 1012 lên 1013 cứ tiếp tục như vậy cho đến 10100. Mà muốn tăng lên 1 bậc
từ 1010 lên 1011 thì tốc độ phải tăng thêm gấp 10 lần so với trước đó. Một con số quá là khủng vượt quá suy nghĩ nhận thức của con người. Con số này sẽ dài ra sao nếu như được viết trên 1 đường thẳng. Giả sử như các con số 0 được viết liên tiếp kề nhau. Chiều dài của mỗi con số khoảng 0,2 cm. Con số này sẽ dài khoảng 0,2. 1095 km thì chiều dài của con số này sẽ dài đến 2,1. 1081 năm ánh sáng !!!. Hãy tưởng tượng như vũ trụ ta quan sát được là vũ trụ tầng 1 với đường kính là 1011 tỷ năm ánh sáng. Vũ trụ tầng 2 có chiều dài gấp 10 lần tầng thứ nhất là 1012 tỷ năm ánh sáng. Vũ trụ tầng 3 có chiều dài gấp 10 lần tầng thứ hai là 1013 tỷ năm ánh sáng. Cứ như thế cho đến tầng thứ 71 có chiều dài là 1081 tỷ năm ánh sáng. Như vậy chiều dài của con số này sẽ rộng khoảng giữa tầng thứ 70 và 71. Một con số khó mà tưởng tượng nổi. Trong khi đó vũ trụ ta chỉ quan sát được có đường kính khoảng 1011 năm ánh sáng. Chúng ta chỉ mới trải qua có 2 lớp lũy thừa trong 1 tầng thôi. Nhưng những giá trị lớn của nó cũng đã khiến cho tâm trí của chúng ta bị thổi bay rất khó để hình dung rồi. Hãy đến với 3 lớp của tầng lũy thừa. ퟒ : S ố lượng cách sắp xếp tất cả sách của thư viện label. Bằng cách lấy tính giai thừa số sách của thư viện label. Chúng ta có con số khổng lồ này. Con số này sẽ có đến 10 mũ 1834103 chữ số. Con số khổng lồ này rất khó để diễn tả độ lớn của nó. Nhưng hãy tưởng tượng bạn bị lac ở bên trong thư viện. Mỗi ngày thư viện đều sẽ tự động được thay thế và sắp xếp số sách. Vậy thì cơ hội để bạn thoát ra thư viện và chọn lựa sách phù hợp thì sẽ là con số 0. Con só quá lớn có thể bị con người bị lạc lói ở bên trong đó. Kết luận: Chúng ta vừa mới tìm hiểu một số ứng dụng của các số siêu lớn. Chúng rất gần gũi trong đời sống của chúng ta nhưng lại khi xét về tổng thể chúng lại mang những giá trị rất lớn. Lớn hơn rất nhiều so với tưởng tượng của chúng ta chỉ với khoảng 1 triệu, 1 tỷ Và biết đâu đó những con số đó chỉ là biểu hiện một phần nhỏ bé của vũ trụ ta hiểu biết được. Vẫn còn tồn tại rất nhiều con số lớn khác mà chúng ta vẫn chưa biết nhưng chúng vẫn đang tồn tại một cách vô hình. IV/ Phép toán 3 lớp của tầng lũy thừa 1/ Các ví dụ minh họa Chúng ta đã trải qua phép toán 2 lớp lũy thừa. Phép toán 2 lớp lũy thừa có đến 2 cách giải khác nhau. Vậy thì 3 lớp lũy thừa sẽ có mấy cách giải đây.
Thật đáng ngạc nhiên, đáp số sẽ có đến 5 cách giải khác nhau !. Như sau: ( ) = ( ) = ~ ퟒ, ퟒ. = [( ) ] = ( ) = ~ , . = [ ( )] = ( ) ~( , . ) ~ ퟒ, ퟒ. = [( ) ] = ( ) = ~ , . ( ) [ ] ( ) ( , . ) ( , . ) = = ~ ~ Thật đáng ngạc nhiên phải không. Đó là 5 cách để giải nhưng chỉ cho ra 4 đáp số khác ( ) ( ) nhau. Lí do đó là biểu thức ( ) = [ ] theo công thức lũy thừa ( ) .( ) ( ) Thật vậy ta có[ ] = ( ) = [ ] Cũng từ các kết quã tính toán ở các trường hợp cho thấy rằng nếu ta tính từng bước liên tục từ trái sang phải sẽ cho ra kết quả thấp nhất là , . . Còn nếu như thực hiện phép tính liên tục từ phải sang trái thì sẽ cho ra phép tính cực kì lớn hơn so với mức tưởng tượng vì ta đang thực hiện phép tính với các cơ số mũ trước ở đỉnh cao nhất. Điều này cho thấy các con số tạo bởi lũy thừa mang giá trị lớn chính là hệ số lũy thừa hay hệ số mũ đóng vai trò chính yếu. Với sô 3 sẽ cho ra 4 đáp số khác nhau thông qua 5 cách giải ở 5 tầng lũy thừa. Ta hãy thử xem xét với số 2 xem sao. ( ) = ( ) = ퟒퟒ = = [( ) ] = (ퟒ ) = = = [ ( )] = ( ퟒ) = = = [( ) ] = (ퟒ ) = =
( ) [ ] ퟒ = = ( ) = = Thật là lạ kì vì phép toán này chỉ cho ra có 2 kết quả là 256 và 65535. Lí do đó là ta nhận thấy 24 = 42 = 16. Do vậy mà 2 trường hợp cuối trùng nhau và trường hợp 2 và 3 trùng nhau. Do vậy chỉ còn có 3 trường hợp. Lại thê, trường hợp 1 và 3 trùng nhau theo như công thức lũy thừa do vậy con số này chỉ có 2 giá trị khác nhau. Còn với giá trị cũa thì sao ?. Phép toán này sẽ luôn luôn cho kết quả là 1 với các cách khác nhau. Nó thậm chí luôn có giá trị là 1 với nhiều lớp lũy thừa ở trên. Lý do đó là dù thế nào đi nữa thì 11 luôn cho kết quả là 1 2/ Các bước để leo thang từ 2 lớp lũy thừa lên 3 lớp lũy thừa. Để leo lên 2 lớp lũy thừa chúng ta chỉ có 2 trường hợp. Nhưng để leo từ 2 lớp lũy thừa lên đến 3 lớp lũy thừa sẽ cần đến 8 trường hợp. Lí do ở 2 lớp lũy thừa cho ra 2 trường hợp; ở 3 lớp lũy thừa cho ra đến 4 trường hợp khác nhau. Ta sẽ đi phân tích các trường hợp ấy. Để nhanh gọn, tôi sẽ dùng kí hiệu mũi tên và các phép cộng lũy thừa vào biểu thức mới mà không cần phải diễn giải. Cách đó tương tự như đã làm ở trên ( ) Trường hợp 1: Từ ( ) đến ( ) ( ) => ( ) + => ( ) + => ( ) + . => ( ) + . . => ( ) + => ( ) + + => ( ) + . => ( ) + . + . => ( ) + . . => ( ) + . . => ( ) + ( ) + ( ) => . ( ) => . ( ) + . ( ) => . . ( ) => . . ( ) + . . ( ) => . . . ( ) = ( ) + => ( ) + => ( ) + + ( ) + => . ( ) + => . ( ) + + . ( ) + => . . ( ) + => . . ( ) + + . . ( ) + ( ) => . . . ( ) + = ( ) + + = ( ) . = ( )
=> ( )( ) + ( )( ) => . ( )( ) => . ( )( ) + . ( )( ) => . . ( )( ) => . . ( )( ) + . . ( )( ) => . . . ( )( ) = ( ) . ( )( ) = ( )( + ) => ( )( + ) + ( )( + ) => . ( )( + ) => . ( )( + ) + . ( )( + ) => . . ( )( + ) => . . ( )( + ) + . . ( )( + ) => . . . ( )( + ) = ( )( + + ) => . ( )( + + ) => . . ( )( + + ) => . . . ( )( + + ) = ( )( + + + ) = ( )( + ) => . ( )( + ) => . . ( )( + ) => . . . ( )( + ) = ( )( + + ) => . . . ( )( + + ) = ( )( + + + ) => . . . ( )( + + + ) = ( )( + + + + ) = ( )( + + ) = ( )( . ) = ( )( ) Vậy công thức được hoàn thành ( ) ( ) ( ) Trường hợp 2: Từ đến ( ) = [ ] Thực hiện tương tự như trên ta có biển đổi từ 1 => 33 => ( ) ( ) => ( ) + =>. . . ( ) + ( ) => ( ). ( ) => ( ). ( ) + ( ). ( ) => ( ). ( ). ( ) => ( ). ( ). ( ) + ( ). ( ). ( ) => ( ). ( ). ( ). ( ) = ( ) . ( ) = . . ( ) => . . ( ) + . . ( ) => . . . ( ) = . . ( ) => . . . ( ) = ( ). ( )
=> . . . ( ). ( ) = ( + ). ( ) => . . ( + ). ( ) = ( + + + ). ( ) = ( . ). ( ) => . . . ( . ). ( ) = ( . + ). ( ) = ( ). ( ) => . . . ( ). ( ) = ( ) . ( ). ( ) = ( ). ( ). ( ) => . . . ( ). ( ). ( ) = ( . ). ( ). ( ) => . . . ( . ). ( ). ( ) = ( . + ). ( ). ( ) = [ ( )] Vậy công thức được hoàn thành Trường hợp 3: Từ ( ) đến [( ) ] ( ) => ( ) + => ( ) + => ( ) + . => ( ) + . . => ( ) + => ( ) + + => ( ) + . => ( ) + . + . => ( ) + . . => ( ) + . . => ( ) + ( ) + ( ) => . ( ) => . ( ) + . ( ) => . . ( ) => . . ( ) + . . ( ) => . . . ( ) = ( ) . ( ) => ( ) . ( ) + ( ) . ( ) => . ( ) . ( ) => . ( ) . ( ) + . ( ) . ( ) => . . ( ) . ( ) => . . ( ) . ( ) + . . ( ) . ( ) => . . . ( ) . ( ) = [( ) ] Vậy công thức được hoàn thành ( ) Trường hợp 4: Từ đến [( ) ] Thực hiện các phép biến đổi ngược như trên đó là đổi phép nhân thành phép chia, phép ( ) cộng thành phép trừ ta chuyển được =>
Thực hiện tương tự như ví dụ 2 lớp lũy thừa ta biến đổi được => ( ) Làm tương tự như trường hợp 3. Ta cũng sẽ biến đổi được công thức như cách 3 [( ) ] Trường hợp 5: Từ ( ) đến Thực hiện các phép biến đổi ngược như trên đó là đổi phép nhân thành phép chia, phép cộng thành phép trừ ta chuyển được ( ) => Thực hiện tương tự như ví dụ 2 lớp lũy thừa ta biến đổi được => ( ) => ( ) + ( ) => . . . ( ) = ( ). ( ) => . . . ( ). ( ) = ( ). ( ). ( ) = ( . ). ( ) => . . . ( . ). ( ) = ( ). ( . ). ( ) = .( ) => . . . .( ) = .( )+ => . . . . . . .( )+ = .( )+ + + = .( ) => ( ). .( ) = ퟒ.( ) => ( ). ( ). .( ) = .( ). ퟒ.( ) = .( ) = . .( ) => ( + + ).( ). . .( ) =. ( + + ).( ) = ( ).( ) => ( ).( ). ( ).( ) = .( ).( )=> ( ).( ). .( ).( ) = .( ).( ) => ( ).( ). . . .( ).( ) = . .( ).( ) => ( ).( ).( ). . .( ).( ) = . . .( ).( ) [( ) ] => ( ).( ).( ). . . .( ).( ) = . . .( ).( ) = Vậy công thức đã được hoàn thành [( ) ] Trường hợp 6: Từ ( ) đến Thực hiện tương tự như bước 5 Trường hợp 7 và 8 không ví dụ vì số mũ trở nên quá phức tạp. Ý tưởng này sẽ được nói ở phần sau
Nhận xét: Nhận thấy rằng việc leo thang từ 2 lớp lũy thừa lên 3 lớp lũy thừa thật sự là phức tạp hơn rất nhiều. Đặc biệt là ở trường hợp 5 và 6 quả là các công thức trở nên khá là phức tạp. Do đó, tôi phải đẩy nhanh tiến trình vì nếu không sẽ mất một thời gian rất lâu để hoàn thành. Qua các ví dụ trên nhận định rằng cách tính toán bậc lũy nhiều từ phải sang trái là số lớn nhất và phương trình cũng phức tạp nhất. Lý do là nó dựa vào lớp lũy thừa trước đó. V/ Tổng quan về nhiều lớp lũy thừa 1/ Các định nghĩa mang tính ví dụ về các con số lớn từ lũy thừa. Nhận xét rằng trong toán học. Không có phép toán nào nhanh bằng lũy thửa. Do vậy mà lũy thừa chính là công cụ để thúc đẩy thành lập các hệ thức tạo ra các con số khổng lồ. Qua các ví dụ trên có thể định nghĩa về các lớp của tầng lũy thừa như sau: Để bớt đi tính phức tạp ở các trường hợp. Chúng ta hướng đến các con số lớn do vậy mả các lớp lũy thừa này được tính toán từ phải sang trái. Tầng lũy thừa khởi đầu: Không có mang dấu lũy thừa. Nó là một con số bất kì có thể viết được. Ví dụ như 34 ; 42456433; 1000000 Tầng lũy thừa một lớp: Là kí hiệu trong việc định nghĩa các con số có giá trị tương đối lớn. VD: 1 tỷ = 109 ; 1 tỷ tỷ tỷ = 1027 ; 1 googol = 10100 Tầng lũy thừa hai lớp: Là những con số lũy thừa được định nghĩa từ tầng lũy thừa 1 lớp tuy nhiên nó lại quá lớn nên cần được viết gọn lại. Con số này có thể khá lớn ở tầng lũy thừa một lớp nhưng lại mang giá trị rất lớn không thể viết ở tầng lũy thừa khởi đầu VD: = Tầng lũy thừa ba lớp: Là những con số lũy thừa được định nghĩa từ tầng lũy thừa 2 lớp tuy nhiên nó lại quá lớn ổ tầng lũy thừa thứ hai nên cần được viết gọn lại lên lớp thứ ba. Con số này có thể rất lớn ngay cả ở tầng lũy thừa thứ hai VD: = Có thể đưa ra định nghĩa cho các tầng lũy thừa bốn lớp, năm lớp, sáu lớp n lớp 2/ Các mối liên hệ giữa các lớp lũy thừa các lớp Như vậy đã nói ở trên, tôi đã cho ví dụ để leo thang lên các lớp lũy thừa lớn hơn. Ở đây chúng ta sẽ tìm hiểu mối liên hệ của chúng như thế nào.
Lấy ví dụ như 10 ; ; ; ; Giả sử như có một chiếc máy tính tăng trưởng siêu nhanh đến với con số 4 lớp lũy thừa như trên, nó sẽ chạy như thế nào. Từ số 10. Nó sẽ thực hiện phép cộng rồi đến phép nhân biến thành 1 trăm, 1 nghìn, 1 triệu cứ mỗi lần tăng gấp 10 lần. Số mũ ở tầng lũy thừa thứ nhất chỉ mới tăng có 1 đơn vị. Cứ như thế cho đến Điều đáng sợ đó là tầng lũy thừa khởi đầu nó phải tăng trưởng gấp 10 lần so với lúc trước thì mới tầng lũy thừa 1 lớp chỉ mới tăng thêm 1 đơn vị. Nhưng muốn tăng lên tầng lũy thừa 2 lớp thì phải tăng từ cơ số 10 ở lớp lũy thừa 2 lên đến lên đến 1010. Có thể hình dung => => Lại Tiếp tục tưởng tượng tương tự đó là khi mà giá trị ở tầng lũy thừa ở lớp thứ hai Tăng 1 đơn vị thì giá trị tầng lũy thừa thứ nhất phải tăng gấp 10 lần. Mà như vậy thì tầng lũy thừa khởi đầu phải chạy như điên bởi vì từ 1010 lên đến 10100 sẽ có 90 lần giá trị lũy thừa ở tầng thứ nhất tăng gấp 10 lần. Mỗi lần trước đó đều nhanh gấp 10 lần trước đó. Khi lớp lũy thừa rất lâu để cộng thêm 1 đơn vị thì lớp lũy thừa bên dưới đang tính toán phép nhân. Và lớp lũy thừa bên dưới nữa đang thực hiện phép siêu lũy thừa. Khi lên đến giá trị của con số trở nên quá lớn để có thể viết ở lớp lũy thừa khởi đầu. Thật vậy, con số này có đến 1010 chữ số 0. Nếu viết nó ra thành 1 đường thẳng, giả sử như mỗi con số 0 dài 0,2 cm thì chiều dài của con số này sẽ lên đến 20000 km. Khoảng cách này gấp 3 lần bán kính của Trái Đất. Khi giá trị lũy thừa thứ hai đủ là 10. Nó cũng phải chạy nhanh hơn nữa để tăng thêm 1 đơn vị ở lớp lũy thừa thứ ba. Lúc này vai trò các lớp lũy thừa trước đó đều tăng thêm 1 bậc so với trước đó. Tạo thêm gánh nặng đó là tầng lũy thừa ban đầu. Đó là giá trị tầng lũy thừa thứ hai phải tăng gấp 10 lần. Mà như vậy thì tầng lũy thừa thứ nhất phải chạy nhanh như tốc độ ở tầng lũy thừa trước đó. Tiếp tục như vậy cho đến lớp lũy thừa thứ tư. Cũng các lớp lũy thừa đều thay thế vị trí trước đó tức là lớp thứ ba sẽ thay thế lớp thứ 2 Sau đây là ví dụ leo thang để các bạn đễ hình dung. Lớp lũy thừa ảnh hưởng đến lớp lũy thừa trước đó 10 => 10.10 => => + => + => + => .
=> . + => . + => . + . => . . => => + => + => . + => . . + => . => ퟒ. => . => => => + => + => . + => + => . => . => . . => . + + . + => => => => . . ퟒ => => => => + + . + => => => + . . => => => . + => => => + . + . => => => . => => => 풏 3/ Giả thuyết mới về √ Ở lớp 9 các học sinh đã được học về căn bậc hai Theo định nghĩa căn bậc hai của 1 số a là giá trị x sao cho 풙 = . 풏 Điều này tương tự cho căn bậc n của 1 số a là giá trị x sao cho 풙 = Theo định nghĩa của căn bậc hai số học nếu như a là số dương thì thì chỉ cò duy nhất 1 căn bậc hai duy nhất gọi là √ Nhưng ngoài ra thì mọi số dương a đều có 2 căn bậc a là √ và −√ . 풏 풏 Với căn bậc n tổng quát nếu 풙 = => 풙 = √ Bạn thấy rằng trong tính toán chúng ta đã mặc định nghiêng về căn bậc hai số học. Điều này phải chăng là tự giới hạn cơ chế nhận thức logic của chúng ta ?.
Thật vậy để tính √ퟒ. Đặt x = √ퟒ => x2 = 4 => (x – 2).( x + 2) = 0 Hai giá trị có 2 nghiệm là 2 và – 2. Vậy phải chăng chúng ta nghiêng về căn bậc hai số học chỉ chọn số dương và không chọn số âm ?. Nếu như vậy thì sẽ bất công vì phép thử lại chĩ chọn giá trị dương là 2. Thật ra nếu chấp nhận cả 2 trường hợp thì sẽ rắc rối to. Ví dụ biểu thức √ퟒ+√ +√ +√ +√ +√ , ퟒ+√ , +√ , +√ , +√ , A = √ퟒ +√ ퟒ+√ +√ +√ +√ ,ퟒ +√ , ퟒ+√ , +√ , +√ ,ퟒퟒ Biểu thức trên nếu chia trường hợp để tính sẽ có đến 1048576 trường hợp !!!. Nếu chấp nhận tính theo căn bậc hai số học thì chỉ cho ra 1 trường hợp Chưa kể khi xét trường hợp. Giá trị biểu thức B = √ퟒ+√ +√ Nếu chọn √ퟒ = ; √ = ; √ = − thì mẫu thức của B bằng 0. Nhưng hãy quên những định nghĩa bó hẹp ấy đi. Hôm nay tôi sẽ cho các bạn cái nhìn mới mẻ từ giả thuyết mới vui vẻ hơn. Theo định nghĩa từ căn bậc n. Hãy bắt đầu từ n = 2. Để đơn giản ta sẽ chấp nhận căn bậc hai số học. Ta có thể viết 풙 = => 풙 = √ Ta thường thấy rằng khi sử dụng căn bậc n thì ta thường sử dụng n là các số dương là n = 2 ; 3 ; 4 ;5 ; 6 Nếu n là số âm thì sao. Điều này nghe nó vẻ không hiểu cho lắm vì nó quá trừu tượng. Ví dụ như ta nói: có 5 số 2 nhân với nhau thì ta kí hiệu 25 = 2.2.2.2.2 Nếu như nói có – 5 số 2 nhân vơi nhau. Nghe có vẻ quá trừu tượng !!!. Nhưng theo logic đã được đặt ra thì không khó hiểu. Ta có − . − . − . − . − = − = Điều đó cho ta thấy đó chỉ mặt đối xứng nghịch đảo của số âm. Điều này đúng với cả lũy thừa !!. Ta sẽ xem xét mối quan hệ giữa chúng Giá trị của n đối nhau Giả sử như ta đặt √ = a => a2 = 9 => (a – 3).( a + 3) = 0 => a = 3 hoặc a = – 3
− Nếu đặt √ = b => 9 = − = => = Từ đó suy ra . = => = 풉풐ặ = − . − − Tức là chúng ta có √ . √ = 풉풐ặ √ . √ = − Từ công thức ta suy ra sẽ có 4 trường hợp như sau: − Nếu √ = 3 thì √ = − Nếu √ = – 3 thì √ = − − − Nếu √ = 3 thì √ = − Nếu √ = – 3 thì √ = Một công thức đẹp thể hiện tính đối xứng của của bậc bậc n với n là số đối của nhau. Một trường hợp. Hãy thử với n = 3. Giả sử như ta đặt √ = a => a3 = 27 => (a – 3).( a2 + 3a + 9) = 0 => a = 3 hoặc a2 + 3a + 9 = 0. Nhận thấy rằng a2 + 3a + 9 = ( + ) + ≥ > . Cho nên chỉ chọn a = 3 ퟒ ퟒ − Nếu đặt √ = b => 27 = − = => = Từ đó suy ra . = => = − Tức là chúng ta có √ . √ = Từ công thức ta suy ra sẽ có duy nhất trường hợp như sau: − − Nếu √ = 3 thì √ = Thử với n = 3, 4, 5, 6, 7 Chúng ta có kết quả tương tự. 풏 −풏 Tổng quát ta luôn có kết quả √ . √ = . Với a > 0
Các giá trị n chẵn là 2n cho ra 2 trường hợp vì tính đối xứng, còn n lẻ thì chỉ co 1 trường hợp. Bây giờ ta sẽ xét các phép nghịch đảo trong lớp căn thức đối nhau Theo như trên ta có √ = a => a2 = 9 => (a – 3).( a + 3) = 0 => a = 3 hoặc a = – 3 − Đặt = √ = c => − = => = => c2 = 9 Từ đó suy ra = => = 풉풐ặ = − − Từ đó suy ra nếu √ = 3 thì thì √ = 3 − √ = – 3 thì thì √ = – 3 − √ = 3 thì thì √ = – 3 − √ = – 3 thì thì √ = 3 Tương tự ta cũng có − nếu √ = 3 thì thì √ = 3 Các công thức trên đúng cho trường hợp cao hơn 풏 −풏 Tổng quát ta luôn có √ = √ với a > 0 Căn bậc 1 và – 1 Ta xét trường hợp sau Tính. √ . Đặt a = √ => a1 = 3 => a = 3 − − Tính. √ . Đặt a = √ => a–1 = 3 => = 3 => a =
− Tổng quát ta có √ = và √ = với mọi a khác 0 Trường hợp của căn bậc 0 sẽ được xét ở trường hợp sau Biểu hiện căn thức ở các lớp lũy thừa khác Theo như trên thông qua 1 lớp lũy thừa chúng ta biểu diễn được công thức 풙풏 = => 풙 = 풏√ 풏 Nếu như ở dạng cao hơn 풙 = => x = ??? Nay ta xét 2 lớp lũy thừa trước. 2 lũy thừa đã là phức tạp vì đã có 2 trường hợp đó là 풏 ( 풏) (풙 ) = và 풙 = . Ngay trong từng trường hợp cũng đã phải tính 2 lần ở 1 lớp lũy thừa. 풏 Trường hợp đầu tiên là tính từ trái sang phải. (풙 ) = Áp dụng công thức của 1 lớp lũy thừa ta có 풏 (풙풏) = => 풙풏 = √ => 풙 = √ √ 풏 풏 Tổng quát ta có 풙 = => √ √ Công thức này đúng cho nhiều lớp lũy thừa nếu ta tính từ trái sang phải 풌 풏 풌 풏 Tổng quát ta có 풙 = => 풙 = √ √ √ √ ( 풏) Trường hợp sau phức tạp hơn nhiều ta có 풙 = 풏 풏 Trước hết ta đặt b = => m = √ ( 풏) ( ^풏) Từ đó ta có 풙 = => 풙 = √ ( Kí hiệu dấu ^ là lũy thừa) 풏 Để ý rằng m ^ n = m. ( 풏− ) = √ . ( 풏− ). Theo công thức của lũy thừa ta có √ = √√ nên từ đó ta suy ra 풏 ( √ ) ^(풏− ) 풙 = √ √
풏 ( √ ) ( ∶ ) √ ( ) Áp dụng công thức lũy thừa ta có √ = => 풙 = ^(풏− ) Lại ap dụng công thức lũy thừa √ = (√ ) 풏 ( ) 풏 ( ) ( √ ) ^(풏− ) ( √ ) ^(풏− ) => 풙 = ( √ ) => √ = √풙 ( ^(풏− )) 풏 풏 ( √ ) Tổng quát ta có 풙 = => √ = √풙 với b = m ^ n Nếu thay x bằng một kí tự khác ta có công thức tổng quát 2 trường hợp như sau = √ √ = => [ ( ) ( √ ^ ) ^( − ) √ = √ Lũy thừa các lớp căn thức Bây giờ hãy tưởng tượng n không phải là số nguyên nữa. Mà là một con số bản sao chính căn thức dưới nó. Giá trị đầu tiên ta tạm mang giá trị là căn bậc hai. Chính là lồng căn bậc n trong căn bậc n !!!. Ví dụ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ ; √ ; √ ; √ ; √ ; √ . 풏 √ Giá trị đầu của là căn bậc hai của 2. Gía trị tiếp theo là √ = √ với n là giá trị của căn bậc hai của 2, tiếp theo tương tự như vậy. Nói chung giá trị của căn bậc hai ở đỉnh cao nhất. Công thức cũng giống như các lớp lũy thừa. Nhưng khác ở chỗ ta chỉ có duy nhất 1 cách tính là từ trên cao xuống dưới tức là từ trái sang phải . Ta sẽ tìm hiểu mối liên hệ giữa các bậc căn thức n khi chúng được lồng với nhau. √ √ √ Đặt a = √ ; b = √ ; c = √
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ ; d = √ ; e = √ ; f = √ 2 Ta có a = 2 => √ = = => = √ ( √ ) => = = => = 풅 풆 Tương tự ta chứng minh được = = 풅 = 풆 = 풇 = Đến đây tôi phải sử dụng công cụ mạnh logarit (sẽ được học ở lơp 12). Nhưng nó có liên quan đến số mũ. Tôi tạm giới thiệu như sau Cho 2 số dương a và b. Nghiệm duy nhất của phương trình có dạng 풙 = được gọi là logab. Như vậy nếu ta có logab = c  = . n Nếu a, b > 0 và a # 1 thì với mọi số n bất kì ta có loga(b ) = n. logab Ta chỉ việc sử dụng 2 công thức trên là đủ a Theo như trên ta có = => 2 = loga(b ) √ => 2 = a.logab = √ .logab => √ = logab => = √ => = √ Tương tự ta cũng có 2 = b.logac => logac = ( ) ( ) √ => = = √ √ Để ý rằng 2 = (√ ) . Áp dụng công thức lũy thừa ta có √ ( −√ ) √ .(√ − ) = = = √ √ √ √ √ √ √ .(√ − ) √ Vậy c = √ . Phép tính này tính từ phải sang trái
( ) 풕 Tương tự ta tìm được 풅 = = √ với t = ( ) √ √ √ Đến đây là đã bắt đầu trở nên phức tạp. Ta sẽ tính t ( − ) ( .( − ) ) √ √ √ Ta có t = = √ √ = √ √ ( ) √ √ √ 풌 √ Đến đây rút gọn d ta được d = với k = . ( − ) √ √ √ Có lẽ đến đây chúng tôi phải dừng không thể làm tiếp e và f được nữa vì căn thức đã trở nên quá phức tạp. Đây là loại căn thức muốn giải thích và làm cũng không thể. Nhưng đã là thành tựu khi chuyển 3 hạng tử được dãy √ √ √ √ √ √ a = √ ; b = √ ; c = √ ; d = √ sang dãy √ .(√ − ) ( .( − )) √ √ √ √ √ √ ; √ ; √ ; √ Kết quả số mũ tính từ phải sang trái Kết luận: Chúng ta chỉ trải qua một khảo sát về biểu hiện của căn thức nếu tăng cấp thêm 1 lớp lũy thừa. Thật sự là quá phức tạp và kinh khủng !!!. Tôi cảm nhận rằng ngay cả logarit cũng không đủ để làm nỗi nữa. Thế mói thầy rằng tầng lũy thừa đã tạo ra những tầng bậc khó hiểu như leo thang, nếu là lồng chúng vào nhiều lớp căn thì vấn đề sẽ khó hơn gấp 10 nghìn tỷ lần so với 1 lần chúng ta sử dụng loại căn thức bình thường. Có lẽ đây là quá đủ để hiểu. Nhưng hãy tưởng tưởng nếu phương trình chứa căn thức nằm ờ nhiều lớp của tầng lũy thừa khác nhau !!!!!. Đây là điều khó hiểu, dù hiểu thì
cũng sẽ không thể làm được. Mời các bạn sang phần tiếp theo là ví dụ về phương trình siêu cấp, loại này chỉ ví dụ minh họa cho mọi người thấy để hiểu thôi. 4/ Các phương trình có thể tạo ra từ các lớp lũy thừa. Xét các phương trình ở tầng lũy thừa một lớp thường có các dạng sau: XA với A là một số tự nhiên hay là một số bất kì Khi A là số nguyên. Với A = 1 và A = 2 thì ta có các phương trình bậc nhất và bậc hai Ví dụ như 3X + 4 = 10 Hoặc X2 – 5X + 4 = 0 Hai dạng phương trình này chúng ta đã chinh phục được cách giải. Nhưng sẽ là xuất hiện khó khăn khi tìm ra cách giải tổng quát cho các phương trình ở bậc cao hơn rất nhiều. Ví dụ: 3X3 – 5X2 + 6X + 3 = 0 ; X7 – 4X4 + 3X + 1 = 0 Các phương trình này không thể dùng mẹo để giải vì không phải lúc nào nghiệm số phải đẹp. Nhưng cách giải tổng quát thì các nghiệm của nó có thể được biểu hiện dưới dạng chính xác. Vì dù các nghiệm phương trình bậc hai có thể biểu diễn dưới dạng căn thức. Cao hơn nữa chúng ta sẽ luôn phương trình mũ 1000 X1000 – 345X923 + 2X899 – X756 + 23X701 – 346X567 – 2200X314 + 8X54 – 2X23 + 1 = 0 Ái chà chà. Có rắc rối rồi đấy. Phương trình này sẽ có tối đa đến 1000 nghiệm!. Tôi cũng chắc chắn rằng bộ não của con người không thể nào tưởng tượng nổi loại toán học này. Thật vậy đấy các bạn, có những thứ thật sự là quá là khó để chúng ta có thể hiểu được. Nhưng biết đâu đó chúng vẫn tồn tại thật sự đấy. Nhưng tệ hơn nữa là số A ta chỉ xét có dạng là số nguyên. Nếu x không phải là số nguyên thì sao. Vấn đề này còn phức tạp hơn nữa. Ví dụ: X1,5 = X3/2 = √푿 ; X1,2 = X6/5 = √푿 ퟒ Đến đây tôi tạo ra 1 phương trình hỗn hợp √푿 − 푿 − √푿 + 푿 + √푿 = Bạn có thể thấy rằng đến đây bộ não chúng ta cũng sẽ phải bó tay để giải tìm ra cách giải tổng quát những dạng như thế này !!!. Ngay cả việc làm mất căn cũng là một vấn đề lớn. Bởi vì các lớp trong căn khác nhau hoàn toàn đó là bậc hai, bậc 5, bậc 4. Có lẽ nhiều bạn sẽ nói rằng đây chỉ là một phương trình để giải. Nhưng có một điều đáng buồn có là hầu hết các tài liệu chỉ đưa ra các mẹo để giải như đặt ẩn phụ, trục căn, xét dấu !! chứ không phải là tìm ra một cách giải tổng quát vì như tôi đã nói ở trên, bộ não chúng ta đã bị giới hạn rồi chỉ có giải được nhiêu đó thôi. Thực chất các đáp số đẹp,
cách giải đáp khiến bài toán có thể giải được nhanh chóng là do người ra đề cũng áp dụng cái mẹo ấy để tạo ra bài toán nhìn thật sự rất khó. Do vậy, thật sự là cái nhìn của chúng ta với toán học chỉ là cái nhìn khá là cạn hẹp. Đó là tự đặt ra giới hạn cách giải của mình với chúng chứ thật sự không tìm ra cách giải tổng quát ấy luôn. Có lẽ tôi nói hơi quá lời nhưng các bạn hãy nghĩ xem, liệu rằng trong các tài liệu ấy đa số các phương pháp chỉ dẫn là dùng mẹo và phương pháp để giải thôi đúng không. Do vậy mà tư duy của chúng ta vẫn còn bị bó hẹp rất nhiều. Thực ra toán học vẫn có những điều khủng khiếp đến như vậy. Cũng từ đó chúng tôi có thể tạo ra các phương trình khác như 푿 = 푿 − ; 푿+ = 푿 + ; √푿 −푿+ = 푿 + ; 푿푿 = 푿 + ퟒ √푿 + ; (푿 − )(푿 + ) = 푿 + 푿푿 ; 푿√푿− = 푿 + 푿− ; √푿 + 푿 = √ 푿− Bạn cũng có thể thấy rằng để giải các dạng phương trình như thế này. Chúng ta cũng phải sử dụng các công cụ mạnh như khảo sát hàm số, dùng logarit. Nhưng những dạng phương trình như thế này đôi khi chúng quá khó để giải, vượt ra khỏi tư duy nhận thức của chúng ta. Ngay cả việc tìm mẹo để giải cũng không đơn giản. Nếu các phương trình ấy được đề xuất một cách tự nhiên. Nghĩa là không có chuyện đoán nghiệm, mò đa thức, đặt ẩn phụ. Nó thực sự khó hơn nhiều vì như tôi đã nói ở trên, các giá trị lũy thừa cũng đã là thật sự rất khó đối với chúng ta. Thậm chí khi leo 1 bậc thang cũng đã tạo ra những hằng đẳng thức siêu phức tạp. Chúng không dễ mà dùng những công cụ mạnh thậm chí của đại số cao cấp để giải Tiếp theo chúng ta sẽ đến với phương trình lũy thừa 2 lớp. Chúng ta sẽ đến với các khái niệm sau: + Phương trình một ẩn 2 lớp lũy thừa: Là những dạng phương trình chỉ có 1 ẩn X trong lớp lũy thừa. Lại chia ra như sau: * Một ẩn ở lớp lũy thừa khởi đầu. Ví dụ: ퟒ ퟒ √ , 푿 − 푿 = ; 푿 + 푿 − 푿 = ; 푿 − 푿 = ; (√푿 − ) − √푿 = Dạng phương trình này phức tạp vì theo như trên thì với lũy thừa 2 lớp sẽ có 2 trường hợp khác nhau. Do vậy, khi giải vẫn phải chia ra các trường hợp để giải * Một ẩn ở lớp lũy thừa thứ nhất. Ví dụ: √ ퟒ 푿 + ퟒ푿 = ; (푿− ) − 푿 = ; √푿 − 푿√푿 = ; (푿 + ) − √푿 − = ퟒ
* Một ẩn ở lớp lũy thừa thứ hai. Ví dụ: 푿 푿+ √푿− (푿 + ) ퟒ + 푿 = ; √ + 푿푿− = ; ퟒퟒ, − 푿 = ; ퟒ − 푿푿 = + Phương trình hai ẩn 2 lớp lũy thừa: Là những dạng phương trình chỉ có 2 ẩn X trong lớp lũy thừa. Lại chia ra như sau: * Hai ẩn ở lớp lũy thừa khởi đầu và thứ nhất. Ví dụ: √ (√푿−ퟒ) 푿푿 + 푿 = ; (푿 − )( 푿+ ) + 푿 = 푿 ; ퟒ√ 푿 + − 푿√푿− = ퟒ ퟒ ; ( − 푿√푿)(푿 + ) − √푿 − = ퟒ * Hai ẩn ở lớp lũy thừa khởi đầu và thứ hai. Ví dụ: 푿 푿 (√푿− ) √ 푿 + ퟒ푿 = 푿푿 ; (푿 + ) + = 푿 ; √푿 + − 푿 푿− = (푿ퟒ+ 푿+ ) ; (ퟒ − 푿√푿) − √푿푿 − 푿 + = * Hai ẩn ở lớp lũy thừa thứ nhất và thứ hai. Ví dụ: (푿 + ) 푿 ( 푿+ ) √푿−ퟒ 푿 + 푿 = ; √ + 푿 = ; (푿√푿+푿 ) − 푿푿+ = 푿 푿 (푿푿+ 푿− ) ; √√ − − 푿 = + Phương trình ba ẩn 2 lớp lũy thừa: Là những dạng phương trình chỉ có đủ 3 ẩn X trong lớp lũy thừa. Ví dụ: (푿 + ) 푿 ( √ 푿+ ) (푿 ) 푿푿 + 푿푿 = √ ; √푿 − + 푿 = ; 푿(푿√푿− +푿 ) − 푿 = ퟒ 푿 (푿 −√푿) ; √푿√푿 − 푿 − 푿 = Nhận xét: Qua các ví dụ, các bạn có thể cho rằng các phương trình trên trông có vẻ khá là điên rồ, phức tạp và nhức đầu. Việc suy nghĩ giải được chúng có lẽ sẽ liên tục gây nên những cơn đau đầu. Thật như vậy đó các bạn. Chỉ qua những ví dụ trên thôi, các bạn cũng thấy rằng lớp lũy thừa chồng nhau quả là phức tạp ngoài sức tưởng tượng. Tôi có suy nghĩ những dạng bài như thế này không một ai có một bộ não siêu việt có thể giải được. Nó quá là thần bí và phức tạp, thậm chí nó còn khó hơn cả những định nghĩa, các dạng toán trong các kì thi quốc tế. Nó giống như là thuộc về những thế giới chỉ dành cho những sinh mệnh có trí thông minh rất siêu việt mới có thể hiểu nổi mà thôi.
Thông qua những ví dụ trên tôi mới thông qua có 3 lớp lũy thừa. Liệu rằng có phép toán nào có thể khiến cho ta tiến xa thêm rất nhiều hay không ?. Có thể tính đến hàng triệu tỷ tỷ lớp lũy thừa. Hoặc thậm chí còn hơn thế nữa !!!!!. Có đấy, tôi xin giới thiệu các bạn kí hiệu mũi tên knuth do một nhà toán học đã giới hạn kí hiệu nhằm để biểu hiện các tầng lũy thừa siêu việt. VI/ Kí hiệu mũi tên Donalth Knuth 1/ Lịch sử giới thiệu Donald Ervin Knuth (sinh ngày 10 tháng 1, năm 1938) là một nhà khoa học máy tính nổi tiếng hiện đang là giáo sư danh dự tại Đại học Stanford. Knuth được biết đến nhiều nhất là tác giả của bộ sách Nghệ thuật lập trình máy tính (The Art of Computer Programming, TAOCP), một trong những sách tham khảo được coi trọng nhất trong ngành khoa học máy tính. Ông đã tạo ra ngành phân tích thuật toán và đã đem lại nhiều cống hiến nền tảng cho ngành khoa học máy tính lý thuyết. Ông đã tạo ra hệ thống sắp chữ TEX và hệ thống phát họa phông chữ METAFONT, và cũng là người khởi xướng khái niệm lập trình học thức (literate programming) Sinh ra tại Milwaukee, Wisconsin, ông nhận bằng cử nhân và thạc sĩ ngành Toán học năm 1960 tại Học viện Kỹ thuật Case (nay là một phần của trường Đại học Bách khoa Case Western). Năm 1963, ông lấy bằng tiến sĩ Toán tại Học viện Kỹ thuật California, nơi ông trở thành giáo sư và bắt đầu viết cuốn Nghệ thuật lập trình máy tinh, thoạt tiên được dự tính là một bộ bảy tập. Năm 1968, ông xuất bản tập thứ nhất. Cùng năm đó, ông vào dạy tại trường Stanford.
Năm 1971, ông là người đầu tiên nhận giải Grace Murray Hopper do Hiệp hội Máy tính (ACM) trao tặng. Ông đã nhận được nhiều giải khác, trong đó có giải Turing, Huy chương Khoa học Quốc gia, Huy chương John von Neumann, và giải Kyoto. Sau khi xuất bản tập thứ ba của bộ sách mình, ông tỏ vẻ bực tức với các dụng cụ xuất bản cổ lỗ sĩ của thời đó và tự tay tạo ra các dụng cụ TEX và METAFONT. Vì các đóng góp của ông vào lĩnh vực khoa học máy tính, trong năm 1990 ông được tặng chức vị đặc biệt Giáo sư Nghệ thuật lập trình máy tính và sau này được đổi thành Giáo sư danh dự Nghệ thuật lập trình máy tính. Ông cũng là người phát minh ra các kí hiệu đặc biệt của lũy thừa để biểu diễn nên các con số rất lớn 2/ Kí hiệu công thức lũy thừa Thay vì dùng dấu mũi tên ↑ , tôi sẽ dùng kí hiệu ^ để biểu thị (dấu này cũng được hiểu là dấu lũy thừa ) Luật lệ 1: x ^ (0) = 1 ( Tức là không có dấu ^ ) 풚 Luật lệ 2: x ^ y = 풙 Luật lệ 3: x ^^ y = x ^ x ^ x ^ x ( y lần x) ( Tính từ phải sang trái) x ^^^ y = x ^^ x ^^ x ^^ x ( y lần x) ( Tính từ phải sang trái) x ^^^^ y = x ^^^ x ^^^ x ^^^ x ( y lần x) ( Tính từ phải sang trái) x ^^^^^ y = x ^^^^ x ^^^^x ^^^^ x ( y lần x) ( Tính từ phải sang trái) Tổng quát x ^(a) y = x ^( a – 1) x ^ ( a – 1) x ^ ( a – 1) x (y lần x) ( a số lượng ^) ( Tính từ phải sang trái) Nhìn vào các luật lệ trên chúng ta thấy rằng công thức của ông đã được mở rộng ở nhiều bậc khác nhau. Chúng ta có thể gọi tên x ^ y là tầng lũy thừa thứ nhất ; x ^^ y là tầng lũy thừa thứ hai. Đây cũng là tầng mà chúng ta đã khai thác khá nhiều. x ^^^ y là tầng lũy thừa thứ ba và cứ tiếp tục như thế 3/ Tầng lũy thừa thứ nhất. Đây là công thức lũy thừa rất đơn giản có thể đưa ra các ví dụ sau. 2 ^ 3 = 23 = 8 ; 3 ^ 2 = 32 = 9 ; 4 ^ 3 = 43 = 256 ; 5 ^ 1 = 51 = 5 4/ Tầng lũy thừa thứ hai. Đây là tầng lũy thừa chúng ta đã sử dụng ở trên
Bắt đầu với cơ số 1 Ta có 1 ^^ 1 = 1. Lý do theo công thức chỉ xuất hiện 1 chữ số 1 cho nên không có đẳng thức cần chứng minh 1 ^^ 2 = 1 ^ 1 = 11 = 1 1 ^^ 3 = 1 ^ 1 ^ 1 = 1 ^ (1 ^ 1) = 1 ^ (11) = 1 ^ 1 = 11 = 1 Có lẽ như 1 ^^ n = 1 bởi vì ta luôn có 11 = 1 Hãy thử với cơ số 2 Ta có 2 ^^ 1 = 2 2 ^^ 2 = 2 ^ 2 = 22 = 4 Con số này vẫn còn quá nhỏ. Hãy tăng thêm giá trị 2 ^^ 3 = 2 ^ 2 ^ 2 = 2 ^ (2 ^ 2) = 2 ^ (22) = 2 ^ 4 = 24 = 16 Vẫn chưa có sự tăng đáng kể. Tiếp tục tăng thêm giá trị 2 ^^ 4 = 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 = 2 ^ 2 ^ (2 ^ 2) = 2 ^ 2 ^ 4 = 2 ^ ( 2 ^ 4) = 2 ^ 16 = 65536 Thật là tuyệt. Một giá trị đã tăng đáng kể hơn so với trước đó. Hãy tiếp tục tăng thêm một đơn vị xem trông như thế nào. 2 ^^ 5 = 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 = 2 ^ 2 ^ 2 ^ (2 ^ 2) = 2 ^ 2 ^ 2 ^ 4 = 2 ^ 2 ^ ( 2 ^ 4) = 2 ^ 2 ^ 16 = 2 ^ ( 2 ^ 16) = 2 ^ 65536 = 20035299304068464649790723515602557504478254755697514192650169737108940595 56311453089506130880933348101038234342907263181822949382118812668869506364 76154702916504187191635158796634721944293092798208430910485599057015931895 96395248633723672030029169695921561087649488892540908059114570376752080020 66715637023661263597471448071117748158809141357427209671901518362825606180 91458852699826141425030123391108273603843767876449043205960379124490905707 56031403507616256247603186379312648470374378295497561377098160461441330869 21181024859591523801953310302921628001605686701056516467505680387415294638 42244845292537361442533614373729088303794601274724958414864915930647252015 15569392262818069165079638106413227530726714399815850881129262890113423778 27055674210800700652839633221550778312142885516755540733451072131124273995 62982719769150054883905223804357045848197956393157853510018992000024141963 70681355984046403947219401606951769015611972698233789001764151719005113346 63068981402193834814354263873065395529696913880241581618595611006403621197
96101859534802787167200122604642492385111393400464351623867567078745259464 67090388654774348321789701276445552940909202195958575162297333357615955239 48852975799540284719435299135437637059869289137571537400019863943324648900 52543106629669165243419174691389632476560289415199775477703138064781342309 59619096065459130089018888758808473362595606544488850144733570605881709016 21084997145295683440619796905654698136311620535793697914032363284962330464 21066136200220175787851857409162050489711781820400187282939943446186224328 00983732376493181478984811945271300744022076568091037620399920349202390662 62644919091679854615157788390603977207592793788522412943010174580868622633 69284725851403039615558564330385450688652213114813638408384778263790459607 18687672850976347127198889068047824323039471865052566097815072986114143030 58169279249714091610594171853522758875044775922183011587807019755357222414 00019548102005661773589781499532325208589753463547007786690406429016763808 16174055040511767009367320280454933902799249186730653993164072049223847481 52806191669009338057321208163507076343516698696250209690231628593500718741 90579161241536897514808261904847946571736601005892476655445840838334790544 14481768425532720731558634934760513741977952519036503219802010876473836868 25310251833775339088614261848003740080822381040764688784716475529453269476 61700424461063311238021134588694532200116564076327023074292426051582811070 38701834532456763562595143003203743274078087905628366340696503084422585596 70392718694611585137933864756997485686700798239606043934788508616492603049 45061743412365828352144806726676841807083754862211408236579802961200027441 32443843240233125740354501935242877643088023285085588608996277445816468085 78751158070147437638679769550499916439982843572904153781434388473034842619 03388841494031366139854257635577105335580206622185577060082551288893332226 43628198483861323957067619140963853383237434375883085923372228464428799624 56054769324289984326526773783731732880632107532112386806046747084280511664 88709084770291208161104912555598322366244868556651402684641209694982590565 51921618810434122683899628307165486852553691485029953967550395493837185340 59000961874894739928804324963731657538036735867101757839948184717984982469 48060532081996066183434012476096639519778021441199752546704080608499344178
25628509272652370989865153946219300460736450792621297591769829389236701517 09920915315678144397912484757062378046000099182933213068805700465914583872 08088016887445835557926258465124763087148566313528934166117490617526671492 67217612833084527393646924458289257138887783905630048248379983969202922221 54861459023734782226825216399574408017271441461795592261750838890200741699 26238300282286249284182671243405751424188569994272331606998712986882771820 61721445314257494401506613946316919762918150657974552623619122484806389003 36690743659892263495641146655030629659601997206362026035219177767406687774 63549375318899587866282125469797102065747232721372918144666659421872003474 50894283091153518927111428710837615922238027660532782335166155514936937577 84666701457179719012271178127804502400263847587883393968179629506907988171 21690686929538248529830023476068454114178139110648560236549754227497231007 61513187002405391051091381784372179142252858743209852495787803468370333781 84214440171386881242499844186181292711985333153825673218704215306311977485 35214670955334626336610864667332292409879849256691109516143618601548909740 24191350962304361219612816595051866602203071561368473236466086890501426391 39065150639081993788523183650598972991254044794434251667742996598118492331 51555272883274028352688442408752811283289980625912673699546247341543333500 14723143061275039030739713525206933817384332295070104906186753943313078479 80156551303847581556852362180104196502555961819349863159132330360964619059 90236112681196023441843363334594927631946101716652913823717182394299216272 53846177606569454229787707138319881703696458868981186321097690035573588462 44648357062914530527571012788720279653644797240254054481327483917941288264 23835171949197209797145936887537198729130831738033911016128547415377377715 95172808411162759718638492422280237344192546999198367219213128703558530796 69427134163910338827543186136434901009431974090473310144762998617254244233 55612237435715825933382804986243892498222780715951762757847109475119033482 24141202518268871372819310425347819612844017647953150505711072297431456991 52234516431218486575757865281975648435089583847229235345594645212158316577 51471298708225909292655638836651120681943836904116252668710044560243704200 66370900194118555716047204464369693285006004692814050711906926139399390273 55345455674703149038860220246399482605017624319693056406663666260902070488
87438898907498152865444381862917382901051820869936382661868303915273264581 28678280660133750009659336462514609172318031293034787742123467911845479131 11098977946482169225056293999567934838016991574397005375421344858745868560 47286751065423341893839099110586465595113646061055156838541217459801807133 16361257307961116834386376766730735458349478978831633012924080083635682593 91571131309780305164417166825183465736759341980849589479409832925000863897 78563494693212473426103062713745077286156922596628573857905533240641849018 45132828463270926975383086730840914224765947443997334813081098639941737978 96570106870267341619671965915995885378348229882701256058423655895396903064 74965584147981310997157542043256395776070485100881578291408250777738559790 12912940730946278594450585941227319481275322515232480150346651904822896140 66468903051025109162377704484862302294889667113805556079566207324493733740 27836767300203011615227008921843515652121379215748206859356920790214502277 13309998772945959695281704458218195608096581170279806266989120506156074232 56868422713062950098644218534708104071289176469065508361299166947780238225 02789667843489199409657361704586786242554006942516693979292624714524945408 85842272615375526007190433632919637577750217600519580069384763578958687848 95368721228985578068265181927036320994801558744555751753127364714212955364 94084385586615208012115079075068553344489258693283859653013272046970694571 54695935365857178889486233329246520273585318853337094845540333656535698817 25825289180566354883637437933484118455801683318276768346462919956055134700 39147876808640322629616641560667508153710646723108461964247537490553744805 31822600271021640098058449752602303564003808347205314994117296573678506642 14008426964971032419191821212132069397691439233683747092282677387081322366 80086924703491586840991153098315412063566123187504305467536983230827966457 41762080659317726568584168183796610614496343254411170694170022265781735835 12598210807691019610522292638797450490192543119006205619065774524161919131 87533984049343976823310298465893318373015809592522829206820862230332585280 11926649631444131644277300323779227471233069641714994553226103547514563129 06688543454268697884477429817774937101176146516241836166802548152963353084 90849943006763654806102940094693750609845588558043970485914449584445079978 49704558355068540874516331646411808312307970438984919050658758642581073842
24205911919416741824904527002882639830579500573417114870311871428341844991 53456702915280104485145176055306971441761368582384102787659324662689978418 31962031226242117739147720800488357833356920453393595325456489702855858973 55057512351295365405028420810227852487766035742463666731486802794860524457 82673626230852978265057114624846595914210278122788941448163994973881884622 76824485162205181707672216986326570165431691974265123004175732990447353767 25368457927543654128265535818580468400693677186050200705472475484008055304 24951854495267247261347318174742180078574693465447136036975884118029408039 61674694628854067917213860122541950381970453841726800639882065632879283958 27085109199588394482977756471520261328710895261634177071516428994879535648 54553553148754978134009964854498635824847690590033116961303766127923464323 12970662841130742704620203201336835038542536031363676357521260470742531120 92334028374829494531047274189692872755720276152722682833767413934256526532 83068469997597097750005560889932685025049212884068274139881631540456490350 77587168007405568572402175868543905322813377070741583075626962831695568742 40605277264858530506113563848519659189686495963355682169754376214307786659 34730450164822432964891270709898076676625671517269062058815549666382573829 27418208227896068448822298339481667098403902428351430681376725346012600726 92629694686727507943461904399966189796119287505194423564026443032717373415 91281496056168353988188569484045342311424613559925272330064881627466723523 75123431189344211888508507935816384899448754475633168921386967557430273795 37852625423290248810471819390372206668947022042588368958409399984535609488 69946833852579675161882159410981624918741813364726965123980677561947912557 95744647142786862405375057610420426714936608498023827468057598259133100691 99419046519065311719089260779491192179464073551296338645230356733455880333 13197080365457184791550432654899559705862888286866606618021882248602144999 97312216413817065348017551043840662441282280361664890425737764095632648282 52584076690456084394903252905263375323165090876813366142423983095308065496 61879381949120033919489494065132398816642080088395554942237096734840072642 70570116508907519615537018626479745638118785617545711340047381076276301495 33097351741806554791126609380343113785325328835333520249343659791293412848 54970946826329075830193072665337782559314331110963848053940859283988907796
21047984791968687653998747709591278872747587443980677982496827827220092644 99445593804146087706419418104407582698056880389496546165879839046605876453 41810289907194293021774519976104495043196841503455514044820928933378657363 05283061999007774872692299860827905317169187657886090894181705799340489021 84415597910926768627965975839524839267348836347456516870161662406424242412 28961118010615682342539392180052483454723779219911228595914191877491793823 34001007812832650671028178139602912091472010094787875255126337288422235386 94900679276645116347581011938753196572421214760382847747745717045786104173 85747911301908583877890152334343013005282797038580359815182929600305682612 09195094373732545417105638388704752895056396102984364136093564163258940813 79815116933386197973398216707610046079800960160248230969430438069566201232 13650140549586250615282588033022908385812478469315720323233601899469437647 72672187937682643182838260356452069946863021604887452842436359355862233350 62359450028905585816112753417837504559361261308526408280512138731774902002 49552738734585956405160830583053770732533971552620444705429573538361113677 52316997274029294167420442324811387507563131907827218886405337469421384216 99288629404796353051505607881263662064972312575790195988730411956262273437 28900516561111094111745277965482790471250581999077498063821559376885546498 82293898540829132512907647838632249478101675349169348928810420301561028338 61438273781609463413353835783407653143214171506558775478202524547806573013 42277470616744241968952613164274104695474621483756288299771804186785084546 96561915090869587425118443583730659095146098045124740941137389992782249298 33677960110153870961297497055663016373072027507347599229437923938244274211 86158236161317886392553095117188421298508307238259729144142251579403883011 35908333165185823496722125962181250705811375949552502274727467436988713192 66707692991990844671612287388584575846227265733307537355728239516169641751 98675012681745429323738294143824814377139861906716657572945807804820559511 88168718807521297183263644215533678775127476694079011705750981957508456356 52173895441798750745238544552001335720333323798950743939053129182122552598 33790909463630202185353848854825062897715616963860712382771725621313460549 40177041358173193176337013633225281912754719144345092071184883836681817426 33429496118700915030491653394647637177664391207983474946273978221715020906
70190302469762151278521956142070806461631373236517853976292092025500288962 01297014137964003805573494926907353514596120867479654773369295877362863566 01437679640384307968641385634478013282612845891848985280480488441808216394 23974014362903481665458114454366460032490618763039502356402044530748210241 36689519664422133920075747912868380517515063466256939193774028351207566626 08298904918772878338521785227920457718469658552787904475621926639920084093 02075673925363735628390829817577902153202106409617373283598494066652141198 18381088451545977289516457213189779790749194101314836854463961690460703010 75968189337412175759881651270007612627891695104063158576375347874200702220 51070891257612361658026806815858499852631465878086616800733264676830206391 69720306489440562819540619068524200305346315662189132730906968735318164109 45142880366059952202482488867115544291047219291342483464387053685086487490 99178812670565665387191049721820042371492740164460943459845392536706132210 61653308566202118896823400575267548610147699368873820958455221157192347968 68881608536316158628801503959494185294892270744108282071693033878180849362 04018255222271010985653444817207470756019245915599431072949578197878590578 94005254012286751714251118435643718405356302418122547326609330271039796809 10649392727226830354104676325913552796838377050198552346212228584105571199 21731717969804339317707750755627056047831779844447637560254637033369247114 22081551997369137197516324130274871219986340454824852457011855334267526471 59783107312456634298052214554941562527240289153333543493412178620370072603 15279870771872491234494477147909520734761385425485311552773301030342476835 86549609372232400715451812973269208105842409055772564580368146223449318970 81388971432998313476177996797124537823107037391514738786921191875667003193 21281896803322696594459286210607438827416919465162267632540665070881071030 39417886056489376981673415902592519461182364294565266937220315550470021359 88462927580125277154220166299548631303249123110296279237238997664168034971 41226527931907636326136814145516376656559839788489381733082668779901962886 93229659737995193162118721545528739417024366988559388879331674453336311954 15184040882838151934212341228200309503133410507047601599879854725291906652 22479319715440331794836837373220821885773341623856441380700541913530245943 91350255453188645479625226025176292837433046510236105758351455073944333961
02162296754614157811271970017386114942795014112532806212547758105129720884 65263158094806633687670147310733540717710876615935856814098212967730759197 38297344144525668877085532457088895832099382343210271822411476373279135756 86154212528496579033350931527769255058456440105521926445053120737562877449 98163646332835816140330175813967359427327690448920361880386754955751806890 05853292720149392350052584514670698262854825788326739873522045722823929020 71448222198855871028969919358730742778151597576207640239512438602020325965 96250212578349957710085626386118233813318509014686577064010676278617583772 77289589274603940393033727187385053691295712671506689668849388088514294360 99620129667590792250822753138128498515269029317002631363289420957975779593 27635531162066753488651317323872438748063513314512644889967589828812925480 07642518658649024111112730135719718138160258317850693224400799865663537154 40884548663931817083957357807990597308390948818040609359591909074739609044 10150516321749681412100765719177483767355751000733616922386537429079457803 20004233745280756615304292901449578062963413838355178359976470885134900485 69736979652386958459945955920907090589568914511414126845054621179450266117 50166928260250950770778211950432617383223562437601776799362796099368975191 39496503335850715541843645685261667424368892037103749532842592713161053783 49807407391586338179676584252580367372064693512486522384813416638080615057 04829059890696451936440018597120425723007316410009916987524260377362177763 43062161674488493081092990100951797454156425120482208671458684925513244426 67771278637282113315362243010918243912433802140462422233491535595168908162 88487989988273630445372432174280215755777967021666317047969728172483392841 01564227450727177926939992974030807277039501358154514249404902653610582540 93731146531049433824843797186069372144446008267980024712294894057618538922 03425608302697052876621377373594394224114707074072902725461307358541745691 41944648762435768239706570318416846754073346634629367398362000404140071405 42776324801327422026853936988697876070095900486846506267713630709798210065 57285101306601010780633743344773073478653881742681230743766066643312775356 46657860371519292276844045827328324380821284121877613204246046490080105473 14267492608269221556374054862417170310279199969426456209556198164545476620 45022411449404749349832206807191352767986747813458203859570413466177937228
53494003163159954409368408957253343870298671782977037333280680176463950209 00239419314991150091052768211195109990631661503115855828355826071794100525 28583611369961303442790173811787412061288182062023263849861515656451230047 79296756361834576810504334176954306753804111392855379252924134733948105053 20257087281863072911589113359420147618726642915640363719276023062838406504 25441742335464549987055318726887926424102147363698625463747159744354943443 89973005174252511087735788639094681209667342815258591992485764048805507132 98142993599114632399191139599267525763590074465728101918058418073422277347 21397723218231771716916400108826112549093361186780575722391018186168549108 50088527227437421208652485237245624869766224538481929867112945294551549703 05859193071984971054141816369689761311267440270096486675459345670599369954 64500558921628047976365686133316563907395703272034389175415267500915011198 85687270884819553167693168127289214303137681801644547736751835349785792427 64633541624336011259602521095016122641103460834656482355979342740568688492 24458745493776752120324703803035491157544831295275891939893680876327685438 76955769488142284431199859570072752139317683783177033913042306095899913731 46845690104220951619670705064202567338734461156552761759927271518776600102 38944760539789516945708802728736225121076224091810066700883474737605156285 53394356584375627124124445765166306408593950794755092046393224520253546363 44447917556617259621871992791865754908578529500128402290350615149373101070 09446151011613712423761426722541732055959202782129325725947146417224977321 31638184532655527960427054187149623658525245864893325414506264233788565146 46706042985647819684615936632889542997807225422647904006160197519750074605 45150060291806638271497016110987951336633771378434416194053121445291855180 13657555866761501937302969193207612000925506508158327550849934076879725236 99870235679310268041367457189566414318526790547171699629903630155456450900 44802789055701968328313630718997699153166679208958768572290600915472919636 38167359667395997571032601557192023734858052112811745861006515259888384311 45118948805521291457756991465775300413847171245779650481758563950728953375 39755822087777506072339445587895905719156736 Có chuyện gì đang xảy ra vậy ?!!. Đáp số dài đến 9 trang với 19729 chữ số. Vậy nó đến từ đâu ?. Nó đến từ việc chúng ta tính 3 lớp lũy thừa 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 = 65536. Và chữ số 2
cuối cùng đã bình phương con số này cho ra một kết quả khổng lồ. Qủa là một bước nhảy vọt khôn lường. Con số tiếp theo có thể là quá lớn để tính toán. Tôi đành phải dùng thiết bị siêu tính toán để trợ giúp. 2 ^^ 6 = 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 = 2 ^ ( 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2) = 2 ^ ( 2 ^^ 5) . = 2 ^ (20035299 .905719156736) ~ . ~ Con số này có đến khoảng chữ số !!. Để có thể hình dung về nó hãy tưởng tượng có 1 siêu máy tính. Để có thể in được con số này mới phải tăng sức mạnh đến cấp độ có thế in được chữ số trong 1 giây (nghĩa là trong 1 giây nó đã in được số googolplex như đã ví dụ ở trên). Với 1 siêu máy tính không đủ phải dùng đến . Tất cả cùng in trong khoảng thời gian thiên niên kỷ. Vậy nó đã in xong con số này hay chưa ?. Và đây là đáp số . . 60 . 60 . 24 . 365 . 10 –3 . ~ 3,15. chữ số . Cái gì ?. Vậy là còn rất lâu mới đến được . Muốn đuổi được tốc độ trên phải một kiểu siêu máy tính khác. Đó là siêu máy tính loại 2 có tốc độ nhanh gấp 10 lần tốc độ loại 1 như đã ví dụ như trên như nhìn chung thì vẫn chỉ in được ퟒ chữ số . Lại tiếp tục chúng tôi lại phải sử dụng một siêu máy tính loại 3 có tốc độ nhanh gấp 10 lần loại 2 thì chúng ta chỉ mới in được chữ số . Tiếp tục lâu đến như vậy cho đến khi chúng tôi dùng siêu máy tính loại 19425 mới đáp ứng được con số được đưa ra !!!. Giờ đây chúng tôi sẽ so sánh tốc độ in của loại siêu máy tính thứ 19425 so với loại ban đầu. Loại 2 tốc độ nhanh hơn loại 1 là 10 lần; loại 3 nhanh hơn loại 2 là 10 lần tức nhanh hơn loại 1 là 100 lần. Tương tự như vậy loại 4 nhanh hơn loại 1 là 1000 lần. Vậy công thức tăng trưởng được chiếu theo công thức 10n từ đó suy ra tốc độ loại 19425 nhanh ퟒ ퟒ hơn loại 1 là . Con số này cũng lớn khủng khiếp may mắn nhỏ hơn so với 2 ^^ 5 khoảng lần . Nhưng nhìn chung là số mũ thì cũng tương đương nhau Đó là ví dụ cho thấy 2 ^^ 6 lớn như thế nào. . Tiếp tục ta có 2 ^^ 7 = 2 ^ ( 2 ^^ 6) ~ ~
Con số này có đến khoảng chữ số !. Chữ số của nó bằng 10 mũ lũy thừa chữ số của số 2 ^^ 6. Vậy phải làm sao để in được con số trên. Theo như trên đã phải cải biến siêu máy tính in được chữ số trong 1 giây thành chữ số trong 1 giây Theo như trên ta dùng siêu máy tính loại 2 có tốc độ in nhanh gấp 10 lần loại 1 vậy thì trong 1 giây in được chữ số. Tương tự như trên ta phải dùng siêu máy tính loại thứ 9999999990 mới cải biến được tốc độ lên + = chữ số 0trong 1 giây. Lúc này tôi sẽ gọi đây là siêu máy tính loại A. Tương tự như trên, khác với trước nó cũng sẽ cần đến số lượng để in con con số này trong khoảng thời gian thiên niên kỉ. Vậy trong thời gian này sẽ in được bao nhiêu chữ số . . . . 60 . 60 . 24 . 365 . 10 –3 . ~ 31536. chữ số . Liệu rằng có thể dùng như cách trên để thay thế một siêu máy tính loại A2 nhanh gấp 10 lần lọai A như ban đầu. Muốn thử như vậy hãy làm nháp đó là biến đổi từ . lên . Ta hãy thử các bước để leo thang nếu áp dụng giống lần trước . => . + => . + => . + => . => . . => . => => => =>> => Như đã thấy ở trên. Phép leo thang ở trên không chỉ dùng phép cộng mà dùng đến cả phép nhân và phép lũy thừa rất nhiều. Nếu chuyển hóa thành phép cộng thì sẽ rất lâu. Do vậy chúng ta sẽ dùng cách khác tăng tốc độ lên đến lần !!. Muốn vậy đầu tiên sẽ phải cải biến máy tính loại A lên đến tốc đỗ trên. Trước hết ta xây dựng siêu máy tính loại A2 nhanh gấp 10 lần loại A1; loại A3 nhanh gấp 10 lần loại A2. Cứ như vậy cho đến máy tính loại A thứ 10 chục tỷ (10000000000) thì tốc độ thì đạt yêu cầu. Lúc này gọi máy tính loại A thứ 10 chục tỷ là loại B. Vậy lúc này máy tính loại B . ퟒ. đã in được. . = chữ số
Bây giờ chúng tôi lại cải tiến mội loại siêu siêu máy tính có tốc độ lần loại B và gọi đó là B2. Tương tự cho B3 gấp 10 lần B2 ; B4 ; B5 Cho đến B9999999996 thì lúc ퟒ. + . . này máy in được = = Cái gì ????!!!!!. Chỉ mới in được nhiêu đây thôi sao. Còn lâu mới tiến đến Chà, đến đây siêu máy tính đã gần bị hỏng rồi !!!. Qúa lợi hại, lợi hại !!!. Xin bái phục Chỉ mới sử dụng cơ số là 2 với 6 lớp lũy thừa mà đã lớn đến mức độ như vậy rồi. Vậy thì hãy tưởng tượng 2 ^^ 8 ; 2 ^^ 9 ; 2 ^^ 10 lớn đến mức nào !!. Hãy thử với cơ số 3 3 ^^ 1 = 3 3 ^^ 2 = 3 ^ 3 = 33 = 27 Con số này vẫn còn quá nhỏ. Hãy tăng thêm giá trị 3 ^^ 3 = 3 ^ 3 ^ 3 = 3 ^ (3 ^ 3) = 3 ^ 27 = 7625597484987 Chà !. Mới có 3 lớp mà con số đã tăng lên đến 7 nghìn tỷ rồi. Kết quả với cơ số 3 có lẽ tăng trưởng khá nhanh chóng so với 2 3 ^^ 4 = 3 ^ 3 ^ 3 ^ 3 = 3 ^ (3 ^^ 3) ~ , . Con số này có khoảng 3,6 nghìn tỷ chữ số. Khác với 3 ^^ 3 cho kết quả giá trị chỉ có 13 chữ số. Một bước nhảy vọt rất tốt !. Nếu con số này được viết trên 1 đường thẳng, mỗi chữ số dài khoảng 0,2 cm liên tiếp nhau thì kết quả con số này sẽ dài 7,2 triệu km. Nó bằng độ dài quãng đường ánh sáng đi được trong 24 giây. Khoảng cách này lớn gấp 1107 lần bán kính Trái Đất và gấp khoảng 19 lần khoảng cách giữa Trái Đất và mặt trăng. Hãy thử với giá trị tiếp theo , . 3 ^^ 5 = 3 ^ (3 ^^ 4) ~ , . Con số này có khoảng chữ số !!. Nếu cùng so sánh với 2 ^^ 5 cho 19729 chữ số. Chữ số của con số này thật sự không thể tưởng nổi. Để có thể lưu trữ được con số này, giả sử như chúng ta sử dụng loại giấy A0 có kích thước là 1,5 m và 1 m để làm thành 1 cuốn sách dày đến 2000 trang. Một cuốn sách siêu khổng lồ. Giả sử như trong tờ giấy A0 đó. Giả sử tờ giấy A0 đó có đến 750 dòng. Mỗi dòng chứa được 500 chữ số vậy thì 1 trang sẽ chứa được 375000 chữ số. Vậy thì 1 cuốn như vậy sẽ chứa được 750 triệu chữ
số . Tính trung bình ra 14 cuốn sách này sẽ chứa được chữ số này. Nhưng như vậy chưa đủ, chúng ta cần nhiều cuốn sách hơn nữa. Đầu tiên chúng ta sẽ cần đến 140 tỷ cuốn sách thì mới chứa được chữ số này. Cái gì thế này, phần số mũ chúng ta cần leo từ 20 lên đến , . !!. Nếu mỗi cuốn sách dày 12cm và xét 140 tỷ cuốn sách đó bao phủ hết toàn bộ diện tích bề mặt Trái Đất thì độ cao của nó sẽ dày đến 4,5 km bao phủ toàn trái đất !. Theo tính toán nếu như chúng tôi giả sử như vũ trụ của chúng ta quan sát được có dạng là hình cầu có đường kính là 100 tỷ năm ánh sáng thì số sách chứa được trong toàn bộ vũ trụ quan sát được là khoảng 2 . 1043 cuốn sách. Vậy thì chỉ mới chứa được 15 . 1061 chữ số. Để đơn giản chúng ta hãy tạo ra một vũ trụ có thể tích gấp khoảng 6,6 lần vũ trụ ta quan sát được và gọi đó là vũ trụ loại A1. Vậy thì vũ trụ loại A1 này mới chứa được có chữ số. Chúng ta cần nhảy từ 62 lên đến , . Tiếp theo chúng ta tưởng tượng vũ trụ hình cầu loại A2 có bán kính gấp 10 lần loại A1 thì thể tích của nó gấp 1000 lần loại A1 tức là 103 lần A1. Tương tự loại A3 có thể tích gấp 1000 lần loại A2. Theo tính toán chúng tôi cần đến vũ trụ thứ A120000000001 tức là vũ trụ loại A thứ một nghìn hai trăm tỷ một đơn vị mới có thể chứa được số lượng sách khổng lồ để dung chứa toàn bộ chữ số của con số này. Một vũ trụ như vậy như vậy thật sự là quá sức tưởng tượng. Vũ trụ chúng ta tưởng tượng loại A120000000001 đấy độ lớn có bán kính dài gấp số lần bán kính vũ trụ chúng ta quan sát được là ~ , . .Ngay cả hệ số phóng đại so sánh cũng đã siêu khủng là một chữ số theo sau bởi hàng nghìn tỷ chữ số 0. Hãy thử với giá trị tiếp theo 3 ^^ 6 = 3 ^ (3 ^^ 5) ~ Con số này còn kinh dị hơn ở trên. Nó có khoảng chữ số !!!! Nếu chỉ so sánh với 2 ^^ 6 có chữ số. Chữ số của nó tăng như điên thêm 1 lớp lũy thừa. Sự khác biệt giữa 19727 với quả là cách xa một trời một vực. Để có thể hiểu con số này điên rồ như thế nào hãy tiếp tục ở ví dụ trên. Tiếp tục ví dụ tiếp nối ở trên chúng tôi cần đến vũ trụ thứ A3333333314 để có được 1 vũ trụ khổng lồ
chứa đựng toàn bộ sách để chứa được chữ số ở con số này. Nhưng mà phần số mũ của chúng ta cần phải leo thang từ lên đến . Chúng tôi đành tạo ra 1 vũ trụ loại B có kích cỡ bằng với kích cỡ vũ trụ thứ A3333333314 và gọi đây là B1. Liệu rằng chúng ta có thể tưởng tượng vũ trụ loại B2 có thể tích gấp 1000 lần B1 ? Không hề !!!. Hãy thử tính toán vậy chữ số vũ trụ thứ B2 chứa được là + . = . Bạn thấy đấy phần số mũ chỉ có tăng 3 đơn vị. Theo công thức leo thang sẽ phải cần đến một con số rất lớn, rất dài và rất lâu để leo được đến . Nó đã trở nên tồi tệ rất nhiều. Nếu chúng tôi tưởng tưởng vũ trụ B2 có đường kính lần so với B1 (nên nhớ từ 10 lần lên 10 tỷ lần !) thì nó có thể tích gấp vũ trụ thứ B1 thì lúc này vũ trụ B2 chỉ mới chứa được + . = .Bạn thấy rằng thay vì tăng lên 3 đơn vị ban đầu ở phần số mũ nó chỉ tăng lên có 30 đơn vị. Phần tăng trưởng này không đáng kể. Tôi nghĩ đến đây đã quá khó để tưởng tượng nổi. Bây giờ tưởng tưởng hướng khác. Vũ trụ B2 không có thể tích lớn hơn lần so với B1 nữa mà nó có thể tích lớn hơn đến thể tích vũ trụ B1. Một con số so sánh bây giờ đã khá quá để hình dung nhưng phải chấp nhận thì chúng ta mới có thể đi tiếp cuộc hành trình. Vậy lúc này vũ trụ B2 chứa được. . . = chữ số. Tương tự như hình thức tăng theo cấp số nhân. Vậy thì đến vũ trụ thứ B10000000000 tức vụ trụ thứ B 10 tỷ thì chỉ mới chứa được . . = = chữ số Một bước tiến triển tốt nhưng phần số mũ ở đỉnh mới là 20. Chúng ta cần chuyển từ 20 lên . Vậy thì còn lâu chúng ta mới xây dựng được vũ trụ như vậy. Càng leo lên đỉnh thì các số mũ ở dưới càng mệt mỏi tăng cường giá trị như điên mà phía trên đỉnh không chỉ tăng có 1 vài đơn vị.
Giờ đây, lại phải điên rồ hơn khi xây dựng vũ trụ loại C1 có kích cỡ bằng với kích thước vũ trụ B10 tỷ. Lúc này vũ trụ C2 phải có thể tích gấp kích cở thể tích vũ trụ C1. Áp dụng phương pháp cấp số nhân thì đến vũ trụ C thứ 10 tỷ như trên thì ta mới . chỉ chứa được = chữ số. Tương tự như trên lại phải xây dựng vũ trụ loại D thì thể tích vũ trụ loại D2 gấp ퟒ kích cở thể tích vũ trụ D1. Thì vũ trụ thứ D 10 tỷ chứa được chữ số. Cứ tiếp túc như vậy ta xây dựng vũ trụ loại E; loại F; loại G; loại H. Cứ mỗi loại sau thì số mũ tăng trưởng có số mũ tận cùng gấp 10 lần so với trước đó. ퟒ Ví dụ: ; ; ; ; ; Nhưng các chữ cái A, B, C, D, E, F vẫn không đủ. Để hiểu được tôi sẽ quy gán A với 1 ; B với 2 ; C với 3. Ví dụ tầng vũ trụ thứ C2000 thì kí hiệu là 3 – 2000. Vũ trụ thứ D234 Thì kí hiệu là 4 – 234. Cuối mỗi tầng vũ trụ là bậc 10 tỷ ví dụ C thứ 10 tỷ ; D thứ 10 tỷ. Cuối bậc của tầng vũ trụ này lại chính là bậc đầu tiên của vũ trụ tiếp theo. Ví dụ C10 tỷ = D1 ; D10 tỷ = E1 ; E10 tỷ = F1 Cứ tiếp tục tăng trưởng nhanh chóng như vậy thì theo tính toán của tôi để chứa được chữ số 0 của con số trên chúng ta cần đến. Vũ trụ loại 100000000000 – 10000000000. Tức là − . Tầng vũ trụ cuối cùng này có tốc độ tăng trưởng là . Một ví dụ khá là nhức đầu để hình dung. Nhưng đó chỉ là sức mạnh khủng khiếp của 5 lớp lũy thừa của số 3. Nhưng đó chỉ là biểu hiện của nó mà đã khủng khiếp đến đến như vậy. Chứ vẫn chia tính đến độ lớn của nó. Nếu 3 ^^ 6 đã lớn như vậy. Hãy tưởng tượng 3 ^^ 7 ; 3 ^^ 8 ; 3 ^^ 9 . Hãy thử với cơ số 4 4 ^^ 1 = 4 4 ^^ 2 = 4 ^ 4 = 44 = 256 Con số này vẫn còn quá nhỏ. Hãy tăng thêm giá trị 4 ^^ 3 = 4 ^ 4 ^ 4 = 4 ^ (4 ^ 4) = 4 ^ 256 =
13,407,807,929,942,597,099,574,024,998,205,846,127,479,365,820,592,393,377,723,561,4 43,721,764,030,073,546,976,801,874,298,166,903,427,690,031,858,186,486,050,853,753,8 82,811,946,569,946,433,649,006,084,096 Chà. Thật đáng ngạc nhiên. Nếu như so sánh 2 ^^ 3 = 16 có 2 chữ số ; 3 ^^ 3 = 7625597484987 có 13 chữ số thì con số thì 4 ^^ 3 có đến 155 chữ số. Số lượng chữ số của nó tăng quá nhanh ở 2 lớp lũy thừa bắt đầu từ cơ số 4. Hãy thử với lớp lũy thừa tiếp theo . 4 ^^ 4 = 4 ^ 4 ^ 4 ^ 4 = 4 ^ (4 ^^ 3) ~ Con số này có khoảng . chữ số. Nếu như so sánh với con số googolplex là một con số rất lớn như trên có chữ số thì con số này đã là lớn không tưởng. Nếu so sánh với 3 ^^ 4 có , . chữ số thì chữ số con số này cũng đã là điều không thể nghĩ bàn. Để biết được độ dài của nó thì hãy tưởng tượng gấp 10 lần như đã ví dụ trên từ số mũ 12 lên đến số mũ 153. Mỗi lớp đằng sau có độ dài gấp 10 lần lớp đằng trước. Liên tục như vậy 141 lần nhưng so sánh ở đây không phải là phép nhân mà là phép lũy thừa với hệ số cách biệt là ퟒ cũng đã là một con số lớn thông thường khó mà hình dung được. Và tiếp tục với giá trị tiếp theo ퟒ 4 ^^ 5 = 4 ^ 4 ^ 4 ^ 4 ^ 4 = 4 ^ (4 ^^ 4) ~ ퟒ Con số này có khoảng chữ số. Nếu như so sánh với 3 ^^ 5 có , . chữ số thì ta thấy phần số mũ của con số này ở đỉnh nhiều hơn đến 142 đơn vị. Mà theo như trên giá trị ở đỉnh tăng càng nhiều thì giá trị ở lớp lủy thừa dưới sẽ tăng như điên. Tưởng chừng vậy nhưng mà mức độ chệnh lệch nhiều lắm. Tôi sẽ làm một số ví dụ leo thang để minh chứng cho điều này , . . = ퟒ, . ; ퟒ, . . ,ퟒ. = ퟒ . = . ; . . . = ퟒ ퟒ ퟒ ퟒ ퟒ . = . ; . . . = Bạn thấy đấy. Các giá trị trên đã mỗi con số được nhân vào đã chứa đến hàng nghìn tỷ con số 0. Nhưng số mũ đỉnh ở trên mới tăng có 2, 3 đơn vị. Phải liên tục như vậy đến