Giáo án Toán Lớp 8 - Chương II: Phân thức đại số - Trần Sĩ Tùng

Nội dung text: Giáo án Toán Lớp 8 - Chương II: Phân thức đại số - Trần Sĩ Tùng

1. Trần Sĩ Tùng Đại số 8 CHƯƠNG II: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ VẤN ĐỀ I. Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa Bài 1. Tìm điều kiện xác định của phân thức: x 2 4 2x 1 x 2 4 a) b) c) 9x 2 16 x 2 4x 4 x 2 1 5x 3 x2 5x 6 2 d) 2 e) f) 2x x x2 1 (x 1)(x 3) 2x 1 g) x2 5x 6 Bài 2. Tìm điều kiện xác định của phân thức: 1 x2y 2x 5x y a) b) c) x2 y2 x2 2x 1 x2 6x 10 x y d) (x 3)2 (y 2)2 VẤN ĐỀ II. Tìm điều kiện để phân thức bằng 0 Bài 1. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không: 2x 1 x2 x 2x 3 a) b) c) 5x 10 2x 4x 5 (x 1)(x 2) (x 1)(x 2) x2 1 d) e) f) x2 4x 3 x2 4x 3 x2 2x 1 Bài 2. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không: x2 4 x3 16x x3 x2 x 1 a) b) c) x2 3x 10 x3 3x2 4x x3 2x 3 VẤN ĐỀ III. Chứng minh một phân thức luôn có nghĩa Bài 1. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa: 3 3x 5 5x 1 a) b) c) x2 1 (x 1)2 2 x2 2x 4 x2 4 x 5 d) e) x2 4x 5 x2 x 7 Bài 2. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa: x y 4 a) b) x2 2y2 1 x2 y2 2x 2 Trang 11
2. Đại số 8 Trần Sĩ Tùng II. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ VẤN ĐỀ I. Phân thức bằng nhau Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: 3y 6xy 3x2 3x2 2(x y) 2 a) (x 0) b) (y 0) c) (x y) 4 8x 2y 2y 3(y x) 3 2xy 8xy2 1 x x 1 2a 2a d) (a 0,y 0) e) (y 2) f) (b 0) 3a 12ay 2 y y 2 5b 5b Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: x 2 23 x3 3x 3x(x y) a) (x 0) b) (x y) x x(x2 2x 4) x y y2 x2 x y 3a(x y)2 c) (a 0, x y) 3a 9a2(x y) Bài 3. Với những giá trị nào của x thì hai phân thức sau bằng nhau: x 2 1 a) và x2 5x 6 x 3 Bài 4. Cho hai phân thức A và B. Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các trường hợp sau: i) x N ii) x Z iii) x Q (2x 1)(x 2) x 2 a) A , B 3(2x 1) 3 Bài 5. Cho ba phân thức A, B và C. Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các trường hợp sau: i) x N ii) x Z iii) x Q x 1 (x 1)(x 2) (x 1)(3x 2) a) A , B , C 5 5(x 2) 5(3x 2) VẤN ĐỀ II. Rút gọn phân thức Bài 1. Rút gọn các phân thức sau: 5x 4xy 21x2y3 a) b) (y 0) c) (xy 0) 10 2y 6xy 2x 2y 5x 5y 15x(x y) d) e) (x y) f) (x y) 4 3x 3y 3(y x) Bài 2. Rút gọn các phân thức sau: x2 16 x2 4x 3 15x(x y)3 a) (x 0, x 4) b) (x 3) c) (y (x y) 0) 4x x2 2x 6 5y(x y)2 5(x y) 3(y x) 2x 2y 5x 5y x2 xy d) (x y) e) (x y) f) (x y,y 0) 10(x y) 2x 2y 5x 5y 3xy 3y2 2ax2 4ax 2a 4x2 4xy g) (b 0, x 1) h) (x 0, x y) 5b 5bx2 5x3 5x2y (x y)2 z2 x6 2x3y3 y6 i) (x y z 0) k) (x 0, x y) x y z x7 xy6 Trang 12
3. Trần Sĩ Tùng Đại số 8 Bài 3. Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau: (2x2 2x)(x 2)2 1 x3 x2y xy2 a) A với x b) B với x 5,y 10 (x3 4x)(x 1) 2 x3 y3 Bài 4. Rút gọn các phân thức sau: (a b)2 c2 a2 b2 c2 2ab 2x3 7x2 12x 45 a) b) c) a b c a2 b2 c2 2ac 3x3 19x2 33x 9 Bài 5. Rút gọn các phân thức sau: a3 b3 c3 3abc x3 y3 z3 3xyz a) b) a2 b2 c2 ab bc ca (x y)2 (y z)2 (z x)2 x3 y3 z3 3xyz a2(b c) b2(c a) c2(a b) c) d) (x y)2 (y z)2 (z x)2 a4(b2 c2) b4(c2 a2) c4(a2 b2) a2(b c) b2(c a) c2(a b) x24 x20 x16 x4 1 e) f) ab2 ac2 b3 bc2 x26 x24 x22 x2 1 Bài 6. Tìm giá trị của biến x để: 1 1 a) P đạt giá trị lớn nhất ĐS: max P khi x 1 x2 2x 6 5 x2 x 1 3 b) Q đạt giá trị nhỏ nhất ĐS: minQ khi x 1 x2 2x 1 4 Bài 7. Chứng minh rằng phân thức sau đây không phụ thuộc vào x và y: (x2 a)(1 a) a2x2 1 3xy 3x 2y 2 9x2 1 1 a) b) x ,y 1 (x2 a)(1 a) a2x2 1 y 1 3x 1 3 ax2 a axy ax ay a (x a)2 x2 c) (x 1,y 1) d) x 1 y 1 2x a x2 y2 2ax 2x 3y 3ay e) f) (x y)(ay ax) 4ax 6x 9y 6ay Trang 13
4. Đại số 8 Trần Sĩ Tùng III. CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC VẤN ĐỀ I. Qui đồng mẫu thức của nhiều phân thức Bài 1. Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa và tìm mẫu thức chung của chúng: x xy 1 3 xy y a) , b) , c) , 16 20 4x 6y 8 15 x y xy yz xz xy yz zx d) , e) , , f) , , 2y 2x 8 12 24 2z 3x 4y Bài 2. Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa và tìm mẫu thức chung của chúng: 5 4 7 x y z 2a x y a) , , b) , , c) , , 2x 4 3x 9 50 25x 4 2a 4 2a 4 a2 b2 2a 2b a2 b2 3 x 2 1 2 x4 1 d) , e) , f) , x2 1 2x 6 x2 6x 9 x2 2x 1 x2 2x x2 1 Bài 3. Qui đồng mẫu thức các phân thức sau: x x 2 1 1 1 1 a) , , b) , , 2x2 7x 15 x2 3x 10 x 5 x2 3x 2 x2 5x 6 x2 4x 3 3 2x x x y z c) , , d) , , x3 1 x2 x 1 x 1 x2 2xy y2 z2 x2 2yz y2 z2 x2 2xz y2 z2 VẤN ĐỀ II. Thực hiện các phép toán trên phân thức Bài 1. Thực hiện phép tính: x 5 1 x x y 2y x2 x 1 4x a) b) c) 5 5 8 8 xy xy 5xy2 x2y 4xy2 x2y x 1 x 1 x 3 5xy 4y 3xy 4y d) e) f) 3xy 3xy a b a b a b 2x2 y3 2x2 y3 2x2 xy xy y2 2y2 x2 g) x y y x x y Bài 2. Thực hiện phép tính: 2x 4 2 x 3x 2x 1 2 x x 1 x2 3 a) b) c) 10 15 10 15 20 2x 2 2 2x2 1 2x 2x 1 x 2x y x2 6 1 d) 2 e) f) 2x 2x 1 2x 4x xy y2 xy x2 x2 4x 6 3x x 2 2x2 10xy 5y x x 2y 2 1 3x x2 y2 g) h) i) x y 2xy y x x y x y x2 y2 x y Bài 3. Thực hiện phép tính: 2x y 4 1 3xy x y a) 2 2 2 2 b) x 2xy xy 2y x 4y x y y3 x3 x2 xy y2 2x y 16x 2x y 1 1 2 4 8 16 c) d) 2x2 xy y2 4x2 2x2 xy 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 x16 Trang 14
5. Trần Sĩ Tùng Đại số 8 Bài 4. Thực hiện phép tính: 1 3x x 3 2(x y)(x y) 2y2 3x 1 2x 3 a) b) c) 2 2 x x x y x y xy x2 1 4x 1 7 x 1 d) e) 2x y y 2x 3x 2 y 3x 2 y Bài 5. Thực hiện phép tính: 4x 1 3x 2 x 3 x 9 x 3 1 a) b) c) 2 3 x x 3 x2 3x x2 1 x2 x 1 4 10x 8 3 2x 1 2 3x x d) e) f) 3x 2 3x 2 9x2 4 2x2 2x x2 1 x 5x 5y 10x 10y 4a2 3a 5 1 2a 6 5x2 y2 3x 2y x 9y 3y g) h) i) a3 1 a2 a 1 a 1 xy y x2 9y2 x2 3xy 4 3x 2 6 3x 2 3 x 6 2 x 1 k) l) 2 m) x 1 x 2 2x 1 x 2 1 x 2 2x 1 2 x 6 2 x 6 x x2 1 5 10 15 n) a 1 a (a2 1) a3 1 Bài 6. Thực hiện phép tính: 1 6x 2x2 15x 2y2 a) . b) .3xy2 c) . x y y 7y3 x2 2x2 y 5x 10 4 2x x2 36 3 d) . e) . f) . x y 5x3 4x 8 x 2 2x 10 6 x x2 9y2 3xy 3x2 3y2 15x2y 2a3 2b3 6a 6b g) . h) . i) . x2y2 2x 6y 5xy 2y 2x 3a 3b a2 2ab b2 Bài 7. Thực hiện phép tính: 2x 5 18x2y5 25x3y5 a) : b) 16x2y2 : c) :15xy2 3 6x2 5 3 x2 y2 x y a2 ab a b x y x2 xy d) : e) : f) : 6x2y 3xy b a 2a2 2b2 y x 3x2 3y2 1 4x2 2 4x 5x 15 x 2 9 6x 48 x 2 64 g) : h) : i) : x2 4x 3x 4x 4 x 2 2x 1 7x 7 x 2 2x 1 4x 24 x 2 36 3x 21 x 2 49 3 3x 6x 2 6 k) : l) : m) : 5x 5 x 2 2x 1 5x 5 x 2 2x 1 (1 x) 2 x 1 Bài 8. Thực hiện phép tính: 1 2 x 1 3x 2x 6x 2 10x a) 2 : x 2 b) : 2 x x x 1 x 1 3x 3x 1 1 6x 9x 9 1 x 3 x x 1 x 2 x 3 c) 3 : 2 d) : : x 9x x 3 x 3x 3x 9 x 2 x 3 x 1 Bài 9. Rút gọn các biểu thức sau: 1 1 x x 1 x y x a) b) x 1 x c) 1 1 1 x x 1 x 1 x y x 1 x x 1 Trang 15
6. Đại số 8 Trần Sĩ Tùng 2 x y a x x 1 y x d) x 1 e) f) a a x x2 2 x y x y a x x 1 x2 1 x y x y a a x Bài 10.Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên: x3 x2 2 x3 2x2 4 2x3 x2 2x 2 a) b) c) x 1 x 2 2x 1 3x3 7x2 11x 1 x4 16 d) e) 3x 1 x4 4x3 8x2 16x 16 Bài 11. * Phân tích các phân thức sau thành tổng các phân thức mà mẫu thức là các nhị thức bậc nhất: 2x 1 x2 2x 6 3x2 3x 12 a) b) c) x2 5x 6 (x 1)(x 2)(x 4) (x 1)(x 2)x Bài 12. * Tìm các số A, B, C để có: x2 x 2 A B C x2 2x 1 A Bx C a) b) (x 1)3 (x 1)3 (x 1)2 x 1 (x 1)(x2 1) x 1 x2 1 Bài 13. * Tính các tổng: a b c a) A (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) a2 b2 c2 b) B (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) Bài 14. * Tính các tổng: 1 1 1 1 1 1 1 a) A HD: 1.2 2.3 3.4 n(n 1) k(k 1) k k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b) B HD: 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2) k(k 1)(k 2) 2 k k 2 k 1 Bài 15. * Chứng minh rằng với mọi m N , ta có: 4 1 1 a) 4m 2 m 1 (m 1)(2m 1) 4 1 1 1 b) 4m 3 m 2 (m 1)(m 2) (m 1)(4m 3) 4 1 1 1 c) 8m 5 2(m 1) 2(m 1)(3m 2) 2(3m 2)(8m 5) 4 1 1 1 d) 3m 2 m 1 3m 2 (m 1)(3m 2) Trang 16
7. Trần Sĩ Tùng Đại số 8 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II Bài 1. Thực hiện phép tính: 8 2 1 x y x y 2y2 a) b) (x2 3)(x2 1) x2 3 x 1 2(x y) 2(x y) x2 y2 x 1 x 1 3 xy (x a)(y a) (x b)(y b) c) d) x3 x3 x2 x3 2x2 x ab a(a b) b(a b) x3 x2 1 1 x3 x2 2x 20 5 3 e) f) x 1 x 1 x 1 x 1 x2 4 x 2 x 2 x y x y x2 y2 xy 1 1 1 g) . 1 . h) x y x y 2xy x2 y2 (a b)(b c) (b c)(c a) (c a)(a b) a2 (b c)2 (a b c)  x2 y2 1 x2 y2  x y i)   k)   : (a b c)(a2 c2 2ac b2)  xy x y y x  x Bài 2. Rút gọn các phân thức: 25x2 20x 4 5x2 10xy 5y2 x2 1 a) b) c) 25x2 4 3x3 3y3 x3 x2 x 1 x3 x2 4x 4 4x4 20x3 13x2 30x 9 d) e) x4 16 (4x2 1)2 Bài 3. Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức: a2 b2 c2 2ab 16x2 40xy x 10 a) với a 4,b 5,c 6 b) với a2 b2 c2 2ac 8x2 24xy y 3 x2 xy y2 x2 xy y2 x y x y c) với x 9,y 10 x2 x y x y Bài 4. Biểu diễn các phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với bậc của tử thức nhỏ hơn bậc chủa mẫu thức: x2 3 x2 1 x4 x3 4x2 x 5 x5 2x4 x 3 a) b) c) d) x2 1 x2 1 x2 1 x 1 Bài 5. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau cũng có giá trị nguyên: 1 1 x3 x2 2 x3 2x2 4 a) b) c) d) x 2 2x 3 x 1 x 2 3x2 3x Bài 6. Cho biểu thức:. P (x 1)(2x 6) a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Tìm giá trị của x để P 1 . x 2 5 1 Bài 7. Cho biểu thức: P x 3 x2 x 6 2 x a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. 3 c) Tìm x để P . 4 d) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P cũng có giá trị nguyên. Trang 17
8. Đại số 8 Trần Sĩ Tùng e) Tính giá trị của biểu thức P khi x2 –9 0 . (a 3)2 6a 18 Bài 8. Cho biểu thức:. P  1 2a2 6a a2 9 a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Với giá trị nào của a thì P = 0; P = 1. x x2 1 Bài 9. Cho biểu thức:. P 2x 2 2 2x2 a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. 1 c) Tìm giá trị của x để P . 2 x2 2x x 5 50 5x Bài 10.Cho biểu thức:. P 2x 10 x 2x(x 5) a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Tìm giá trị của x để P = 1; P = –3. 2 3 6x 5 Bài 11.Cho biểu thức:. P 2x 3 2x 1 (2x 3)(2x 3) a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tìm giá trị của x để P = –1. 1 2 2x 10 Bài 12.Cho biểu thức:. P x 5 x 5 (x 5)(x 5) a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Cho P = –3. Tính giá trị của biểu thức Q 9x2 – 42x 49 . 3 1 18 Bài 13.Cho biểu thức:. P x 3 x 3 9 x2 a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tìm giá trị của x để P = 4. x2 2x 10 50 5x Bài 14.Cho biểu thức:. P 5x 25 x x2 5x a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tìm giá trị của x để P = –4. 3x2 6x 12 Bài 15.Cho biểu thức: P x3 8 a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. 4001 c) Tính giá trị của P với x . 2000 1 x x2 x 1 2x 1 Bài 16.Cho biểu thức:. P . : 3 2 x 1 1 x x 1 x 2x 1 a) Tìm điều kiện xác định của P. Trang 18
9. Trần Sĩ Tùng Đại số 8 b) Rút gọn biểu thức P. 1 c) Tính giá trị của P khi x . 2 x2 2x x 5 50 5x Bài 17.Cho biểu thức:. P 2x 10 x 2x(x 5) a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. 1 c) Tìm giá trị của x để P = 0; P = . 4 d) Tìm giá trị của x để P > 0; P < 0.  x 1 3 x 3  4x2 4 Bài 18.Cho biểu thức:. P  . 2x 2 x2 1 2x 2 5 a) Tìm điều kiện xác định của P. b) CMR: khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x? 5x 2 5x 2 x2 100 Bài 19.Cho biểu thức:. P . x2 10 x2 10 x2 4 a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tính giá trị của P khi x = 20040. x2 10x 25 Bài 20.Cho biểu thức:. P x2 5x a) Tìm điều kiện xác định của P. 5 b) Tìm giá trị của x để P = 0; P . 2 c) Tìm giá trị nguyên của x để P cũng có giá trị nguyên. Trang 19