›
›
›

Hệ thống công thức môn Toán Lớp 12 - Năm học 2022

doc 37 trang hangtran11 11/03/2022 3352
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Hệ thống công thức môn Toán Lớp 12 - Năm học 2022", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doche_thong_cong_thuc_mon_toan_lop_12_nam_hoc_2022.doc

Nội dung text: Hệ thống công thức môn Toán Lớp 12 - Năm học 2022

  1. A. HÀM SỐ I.SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Bài toán 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số: Cho hàm số y f x +) f ' x 0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy. +) f ' x 0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy. Quy tắc: +) Tính f ' x , giải phương trình f ' x 0 tìm nghiệm. +) Lập bảng xét dấu f ' x . +)Dựa vào bảng xét dấu và kết luận. Bài toán 2: Tìm m để hàm số y f x,m đơn điệu trên khoảng (a,b) +) Để hàm số đồng biến trên khoảng a,b thì f ' x 0x a,b . +) Để hàm số nghịch biến trên khoảng a,b thì f ' x 0x a,b ax b *) Riêng hàm số: y . Có TXĐ là tập D. Điều kiện như sau: cx d +) Để hàm số đồng biến trên TXĐ thì y' 0x D +) Để hàm số nghịch biến trên TXĐ thì y' 0x D y' 0x a,b +) Để hàm số đồng biến trên khoảng a;b thì d x c y' 0x a,b +) Để hàm số nghịch biến trên khoảng a;b thì d x c *) Tìm m để hàm số bậc 3 y ax3 bx2 cx d đơn điệu trên R +) Tính y' 3ax2 2bx c là tam thức bậc 2 có biệt thức . a 0 +) Để hàm số đồng biến trên R 0 a a +) Để hàm số nghịch biến trên R 0 3 2 Chú ý: Cho hàm số y ax bx cx d +) Khi a 0 để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k y' 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1 x2 k . +) Khi a 0 để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k y' 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1 x2 k . Trang 1
  2. II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài toán 1: tìm điểm cực đại – cực tiểu của hàm số Dấu hiệu 1: +) nếu f ' x0 0 hoặc f ' x không xác định tại x0 và nó đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0 thì x0 là điểm cực đại của hàm sô. +) nếu f ' x0 0 hoặc f ' x không xác định tại x0 và nó đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm sô. *) Quy tắc 1: +) tính y' +) tìm các điểm tới hạn của hàm số. (tại đó y' 0 hoặc y' không xác định) +) lập bảng xét dấu y'. dựa vào bảng xét dấu và kết luận. Dấu hiệu 2: cho hàm số y f x có đạo hàm đến cấp 2 tại x0 . f ' x0 0 f ' x0 0 +) x0 là điểm cđ +) x0 là điểm cđ f " x0 0 f " x0 0 *) Quy tắc 2: +) tính f ' x ,f " x . +) giải phương trình f ' x 0 tìm nghiệm. +) thay nghiệm vừa tìm vào f " x và kiểm tra. từ đó suy kết luận. Bài toán 2: Cực trị của hàm bậc 3 Cho hàm số: y ax3 bx2 cx d có đạo hàm y' 3ax2 2bx c 1. Để hàm số có cực đại, cực tiểu y' 0 có 2 nghiệm phân biệt 0 2. Để hàm số có không cực đại, cực tiểu y' 0 hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 0 3. Đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu. +) Cách 1: Tìm tọa độ các điểm cực đại và cực tiểu A, B. Viết phương trình đường thẳng qua A, B. +) Cách 2: Lấy y chia y’ ta được: y mx n y' Ax B . Phần dư trong phép chia này là y Ax B chính là phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu. Bài toán 3: Cực trị của hàm số bậc 4 trùng phương Cho hàm số: y ax4 bx2 c có đạo hàm y' 4ax3 2bx 2x 2ax2 b 1. Hàm số có đúng 1 cực trị khi ab 0 . a 0 +) Nếu hàm số có 1 cực tiểu và không có cực đại. b 0 a 0 +) nếu hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu. b 0 2. hàm số có 3 cực trị khi ab 0 (a và b trái dấu). Trang 2
  3. a 0 +) nếu hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu. b 0 a 0 +) Nếu hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu. b 0 3. Gọi A, B, C là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số và A Oy , A 0;c ,B xB , yB ,C xC , yC ,H 0; yB . +) Tam giác ABC luôn cân tại A +) B, C đối xứng nhau qua Oy và xB xC , yB yC yH   +) Để tam giác ABC vuông tại A: AB.AC 0 +) Tam giác ABC đều: AB BC 1 1 +) Tam giác ABC có diện tích S: S AH.BC x x . y y 2 2 B C A B 4. Trường hợp thường gặp: Cho hàm số y x4 2bx2 c y +) Hàm số có 3 cực trị khi b 0 A +) A, B, C là các điểm cực trị HB=HC= b AH=b2 A 0;c ,B b,c b2 ,C b;c b2 AB=AC= b4+b +) Tam giác ABC vuông tại A khi b 1 b2 3 +) Tam giác ABC đều khi b 3 O x µ 0 1 C B +) Tam giác ABC có A 120 khi b b H b 3 3 2 +) Tam giác ABC có diện tích S0 khi S0 b b b3 1 +) Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R khi 2R 0 0 b b2 +) Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r0 khi r0 b3 1 1 III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1. Định nghĩa: Cho hàm số y f x xác định trên D. M f x x D +) M là GTLN của hàm số trên D nếu: . Kí hiệu: M max f x D x0 D : f x0 M m f x x D +) m là GTNN của hàm số trên D nếu: . Kí hiệu: m min f x D x0 D : f x0 m +) Nhận xét: Nếu M, N là GTLN và GTNN của hàm số trên D thì phương trình f x m 0 & f x M 0 có nghiệm trên D. 2. Quy tắc tìm GTLN – GTNN của hàm số: *) Quy tắc chung: (Thường dung cho D là một khoảng) - Tính f ' x , giải phương trình f ' x 0 tìm nghiệm trên D. Trang 3
  4. - Lập BBT cho hàm số trên D. - Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN. *) Quy tắc riêng: (Dùng cho a;b ) . Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên a;b . - Tính f ' x , giải phương trình f ' x 0 tìm nghiệm trên a,b . - Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1, x2 a,b . - Tính 4 giá trị f a ,f b ,f x1 ,f x2 . So sánh chúng và kết luận. 3. Chú ý: 1. GTLN,GTNN của hàm số là một số hữu hạn. 2. Hàm số liên tục trên đoạn a,b thì luôn đạt GTLN, NN trên đoạn này. 3. Nếu hàm sồ f x đồng biến trên a,b thì max f x f b ,min f x f a 4. Nếu hàm sồ f x nghịch biến trên a,b thì max f x f a ,min f x f b 5. Cho phương trình f x m với y f x là hàm số liên tục trên D thì phương trình có nghiệm khi min f x m max f x D D IV. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. Định nghĩa: +) Đường thẳng x a là TCĐ của đồ thị hàm số y f x nếu có một trong các điều kiện sau: lim y hoặc lim y hoặc lim y hoặc lim y x a x a x a x a +) Đường thẳng y b là TCN của đồ thị hàm số y f x nếu có một trong các điều kiện sau: lim y b hoặc lim y b x x 2. Dấu hiệu: +) Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có tiệm cận đứng. +) Hàm phân thức mà bậc của tử bậc của mẫu có TCN. +) Hàm căn thức dạng: y , y bt, y bt có TCN. (Dùng liên hợp) +) Hàm y a x , 0 a 1 có TCN y 0 +) Hàm số y loga x, 0 a 1 có TCĐ x 0 3. Cách tìm: +) TCĐ: Tìm nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử. +) TCN: Tính 2 giới hạn: lim y hoặc lim y x x 4. Chú ý: +) Nếu x x 0 x2 x x +) Nếu x x 0 x2 x x Trang 4
  5. V. BẢNG BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. Định hình hàm số bậc 3: y ax3 bx2 cx d a>0 a<0 y' 0 có hai y y nghiệm phân biệt hay 0 y/ O x O x y' 0 có hai y y nghiệm kép hay 0 y/ O x O x y' 0 vô y y nghiệm hay 0 y/ O x O x 1. Định hình hàm số bậc 3: y ax4 bx2 c x 0 +) Đạo hàm: y' 4ax3 2bx 2x 2ax2 b , y' 0 2 2ax b 0 +) Để hàm số có 3 cực trị: ab 0 a 0 - Nếu hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu b 0 a 0 - Nếu hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu b 0 +) Để hàm số có 1 cực trị ab 0 Trang 5
  6. a 0 - Nếu hàm số có 1 cực tiểu và không có cực đại b 0 a 0 - Nếu hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu b 0 a>0 a<0 y' 0 có 3 y y nghiệm phân biệt hay ab 0 O x O x y' 0 có đúng 1 y y nghiệm hay ab 0 O x O x ax b 3. Định hình hàm số y cx d d  +) Tập xác định: D R \  c  ad bc +) Đạo hàm: y 2 cx d - Nếu ad bc 0 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư 2 và 4. - Nếu ad bc 0 hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư 1 và 3. d a +) Đồ thị hàm số có: TCĐ: x và TCN: y c c d a +) Đồ thị có tâm đối xứng: I ; c c ad bc 0 ad bc 0 y y 1 O x O x Trang 6
  7. VI.SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BÀI TOÁN 1: TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ: Phương pháp: Cho 2 hàm số y f x , y g x có đồ thị lần lượt là (C) và (C’). +) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f x g x +) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm. +) Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’). BÀI TOÁN 2: TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC 3 Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị) +) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F x,m 0(phương trình ẩn x tham số m) +) Cô lập m đưa phương trình về dạng m f x +) Lập BBT cho hàm số y f x . +) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m. *) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi m độc lập với x. Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2. +) Lập phương trình hoành độ giao điểm F x,m 0 +) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số). Giả sử x x0 là 1 nghiệm của phương trình. x x0 +) Phân tích: F x,m 0 x x0 .g x 0 (là g x 0 là phương trình bậc 2 ẩn x tham g x 0 số m ). +) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc 2 g x 0 . Phương pháp 3: Cực trị *) Nhận dạng: Khi bài toán không cô lập được m và cũng không nhẩm được nghiệm. *) Quy tắc: +) Lập phương trình hoành độ giao điểm F x,m 0(1). Xét hàm số y F x,m y +) Để (1) có đúng 1 nghiệm thì đồ thị y y F x,m cắt trục hoành tại đúng 1 điểm. (2TH) f(x) = x3 3∙x 3 - Hoặc hàm số luôn đơn điệu trên R hàm q(x) = x3 + x + 1 O x số không có cực trị y' 0 hoặc vô nghiệm O x hoặc có nghiệm kép y' 0 - Hoặc hàm số có CĐ, CT và ycd .yct 0 (hình vẽ) Trang 7
  8. +) Để (1) có đúng 3 nghiệm thì đồ thị y y y F x,m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Hàm số có cực đại, cực tiểu và ycd .yct 0 O x O x f(x) = x3 3∙x + 1 f(x) = x3 + 3∙x + 1 +) Để (1) có đúng 2 nghiệm thì đồ thị y y y F x,m cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt Hàm số có cực đại, cực tiểu và ycd .yct 0 O x O x 3 g(x) = x 3∙x + 2 f(x) = x3 + 3∙x + 2 Bài toán: Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành 1 cấp số cộng: 1. Định lí vi ét: b c *) Cho bậc 2: Cho phương trình ax2 bx c 0 có 2 nghiệm x , x thì ta có: x x , x x 1 2 1 2 a 1 2 a 3 2 *) Cho bậc 3: Cho phương trình ax bx cx d 0 có 3 nghiệm x1, x2 , x3 thì ta có: b c d x x x , x x x x x x , x x x 1 2 3 a 1 2 2 3 3 1 a 1 2 3 a 2.Tính chất của cấp số cộng: +) Cho 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng thì: a c 2b 3. Phương pháp giải toán: b +) Điều kiện cần: x là 1 nghiệm của phương trình. Từ đó thay vào phương trình để tìm m. 0 3a +) Điều kiện đủ: Thay m tìm được vào phương trình và kiểm tra. BÀI TOÁN 3: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC Phương pháp ax b Cho hàm số y C và đường thẳng d : y px q . Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và cx d (d): ax b px q F x,m 0 (phương trình bậc 2 ẩn x tham số m). cx d *) Các câu hỏi thường gặp: d 1. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt 1 có 2 nghiệm phân biệt khác . c Trang 8
  9. 2. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh phải của (C) 1 có 2 nghiệm phân biệt d x , x và thỏa mãn : x x . 1 2 c 1 2 3. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh trái của (C) 1 có 2 nghiệm phân biệt d x , x và thỏa mãn x x . 1 2 1 2 c 4. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của (C) 1 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và d thỏa mãn x x . 1 c 2 5. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B thỏa mãn điều kiện hình học cho trước: +) Đoạn thẳng AB k +) Tam giác ABC vuông. +) Tam giác ABC có diện tích S0 * Quy tắc: +) Tìm điều kiện tồn tại A, B (1) có 2 nghiệm phân biệt. +) Xác định tọa độ của A và B (chú ý Vi ét) +) Dựa vào giả thiết xác lập phương trình ẩn m. Từ đó suy ra m. *) Chú ý: Công thức khoảng cách: 2 +) A x ; y ,B x ; y : AB x x 2 y y A A B B B A B A M x ; y Ax By C +) 0 0 d M, 0 0 2 2 : Ax0 By0 C 0 A B BÀI TOÁN 4: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ BẬC 4 NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG: ax4 bx2 c 0 (1) 1. Nhẩm nghiệm: - Nhẩm nghiệm: Giả sử x x0 là một nghiệm của phương trình. x x 2 2 0 - Khi đó ta phân tích: f x,m x x0 g x 0 g x 0 - Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc 2 g x 0 2. Ẩn phụ - tam thức bậc 2: - Đặt t x2 , t 0 . Phương trình: at2 bt c 0 (2). t1 0 t2 - Để (1) có đúng 1 nghiệm thì (2) có nghiệm t1, t2 thỏa mãn: t1 t2 0 t1 0 t2 - Để (1) có đúng 2 nghiệm thì (2) có nghiệm t1, t2 thỏa mãn: 0 t1 t2 - Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm t1, t2 thỏa mãn: 0 t1 t2 Trang 9
  10. - Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm t1, t2 thỏa mãn: 0 t1 t2 4 2 3. Bài toán: Tìm m để (C): y ax bx c 1 cắt (Ox) tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng. - Đặt t x2 , t 0 . Phương trình: at2 bt c 0 (2). - Để (1) cắt (Ox) tại 4 điểm phân biệt thì (2) phải có 2 nghiệm dương t1, t2 t1 t2 thỏa mãn t2 9t1 . - Kết hợp t2 9t1 vơi định lý vi – ét tìm được m. VII. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài toán 1: Tiếp tuyến tại điểm M x0 ; y0 thuộc đồ thị hàm số: Cho hàm số C : y f x và điểm M x0 ; y0 C . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M. - Tính đạo hàm f ' x . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là f ' x0 - phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y f ' x x x0 y0 Bài toán 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước - Gọi là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k. - Giả sử M x0 ; y0 là tiếp điểm. Khi đó x0 thỏa mãn: f ' x0 k (*) . - Giải (*) tìm x0 . Suy ra y0 f x0 . - Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y k x x0 y0 Bài toán 3: Tiếp tuyến đi qua điểm Cho hàm số C : y f x và điểm A a;b . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua A. - Gọi là đường thẳng qua A và có hệ số góc k. Khi đó : y k x a b (*) f x k x a b 1 - Để là tiếp tuyến của (C) có nghiệm. f ' x k 2 - Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x. Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm. * Chú ý: 1. Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm M x0 ; y0 thuộc (C) là: k f ' x0 2. Cho đường thẳng d : y kd x b 1 +) / / d k kd +)  d k .kd 1 k kd k kd +) ,d tan +) ,Ox k tan 1 k .kd 3. Tiếp tuyến tại các điểm cực trị của đồ thị (C) có phương song song hoặc trùng với trục hoành. 4. Cho hàm số bậc 3: y ax3 bx2 cx d, a 0 Trang 10
  11. +) Khi a 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. +) Khi a 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất. B.MŨ VÀ LÔGARIT I. LŨY THỪA 1. Định nghĩa luỹ thừa Số mũ Cơ số a Luỹ thừa a n N* a R a a n a.a a (n thừa số a) 0 a 0 a a0 1 1 n ( n N* ) a 0 a a n a n m m * (m Z,n N ) a 0 n n m n n n a a a ( a b b a) * rn lim rn (rn Q,n N ) a 0 a lima 2. Tính chất của luỹ thừa Với mọi a > 0, b > 0 ta có:   a   . a a a .a a ;  a ; (a ) a ; (ab) a .b ; a b b a > 1 : a a ; 0 < a < 1 : a a  Với 0 < a < b ta có: a m bm m 0; a m bm m 0 Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0. + Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương. 3. Định nghĩa và tính chất của căn thức Căn bậc n của a là số b sao cho bn a . Với a, b 0, m, n N*, p, q Z ta có: a n a p n ab n a.n b ; n (b 0) ; n a p n a (a 0) ; m n a mn a b n b p q Neáu thì n a p m aq (a 0) ; Đặc biệt n a mn a m n m Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n a n b . Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a n b . Chú ý: + Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a . + Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau. II. HÀM SỐ LŨY THỪA 1) Hàm số luỹ thừa y x ( là hằng số) Trang 11
  12. Số mũ Hàm số y x Tập xác định D = n (n nguyên dương) y xn D = R = n (n nguyên âm hoặc n = 0) y xn D = R \ {0} là số thực không nguyên y x D = (0; + ) 1 Chú ý: Hàm số y x n không đồng nhất với hàm số y n x (n N*) . 2) Đạo hàm x x 1 (x 0) ; u u 1.u 1 vôùi x 0 neáu n chaün Chú ý: . n x n vôùi x 0 neáu n leû n xn 1 u n u n n un 1 III. LÔGARIT 1. Định nghĩa Với a > 0, a 1, b > 0 ta có: loga b a b a 0,a 1 Chú ý: loga b có nghĩa khi b 0 Logarit thập phân: lg b log b log10 b n 1 Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b log b (với e lim 1 2,718281) e n 2. Tính chất b loga b loga 1 0 ; loga a 1; loga a b ; a b (b 0) Cho a > 0, a 1, b, c > 0. Khi đó: + Nếu a > 1 thì loga b loga c b c + Nếu 0 0, a 1, b, c > 0, ta có: b loga (bc) loga b loga c loga loga b loga c loga b loga b c 4. Đổi cơ số Với a, b, c > 0 và a, b 1, ta có: loga c logb c hay loga b.logb c loga c loga b 1 1 log b log c log c ( 0) a a a logb a Trang 12
  13. IV. HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT 1) Hàm số mũ y a x (a > 0, a 1). Tập xác định: D = R. Tập giá trị: T = (0; + ). Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 1 0 0, a 1) Tập xác định: D = (0; + ). Tập giá trị: T = R. Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 1 0<a<1 3) Giới hạn đặc biệt x 1 1 ln(1 x) ex 1 lim(1 x) x lim 1 e lim 1 lim 1 x 0 x x x 0 x x 0 x 4) Đạo hàm a x a x ln a ; a u a u ln a.u ex ex ; eu eu .u Trang 13
  14. 1 u log x ; log u a x ln a a u ln a 1 u ln x (x > 0); ln u x u V. PHƯƠNG TRÌNH MŨ x b 0 1. Phương trình mũ cơ bản: Với a > 0, a 1: a b x loga b 2. Một số phương pháp giải phương trình mũ a) Đưa về cùng cơ số: Với a > 0, a 1: af (x) ag(x) f (x) g(x) Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: a M a N (a 1)(M N) 0 f (x) g(x) b) Logarit hoá: a b f (x) loga b .g(x) c) Đặt ẩn phụ: f (x) f (x) t a , t 0 Dạng 1: P(a ) 0 , trong đó P(t) là đa thức theo t. P(t) 0 Dạng 2: a 2f (x) (ab)f (x) b2f (x) 0 f (x) 2f (x) a Chia 2 vế cho b , rồi đặt ẩn phụ t b 1 Dạng 3: af (x) bf (x) m , với ab 1. Đặt t af (x) bf (x) t d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1). Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất: f (x) ñoàng bieán vaø g(x) nghòch bieán (hoaëc ñoàng bieán nhöng nghieâm ngaët). f (x) ñôn ñieäu vaø g(x) c haèng soá Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f (u) f (v) u v e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt A 0 2 2 A 0 Phương trình tích A.B = 0 Phương trình A B 0 B 0 B 0 f) Phương pháp đối lập Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) f (x) M f (x) M Nếu ta chứng minh được: thì (1) g(x) M g(x) M VI. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1. Phương trình logarit cơ bản Trang 14
  15. b Với a > 0, a 1: loga x b x a 2. Một số phương pháp giải phương trình logarit a) Đưa về cùng cơ số f (x) g(x) Với a > 0, a 1: loga f (x) loga g(x) f (x) 0 (hoaëcg(x) 0) b) Mũ hoá loga f (x) b Với a > 0, a 1: loga f (x) b a a c) Đặt ẩn phụ d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số e) Đưa về phương trình đặc biệt f) Phương pháp đối lập Chú ý: Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa. Với a, b, c > 0 và a, b, c 1: alogb c clogb a VII. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ. a 1 f (x) g(x) af (x) ag(x) 0 a 1 f (x) g(x) Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ: – Đưa về cùng cơ số. – Đặt ẩn phụ. – . Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: a M a N (a 1)(M N) 0 VIII. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit. a 1 f (x) g(x) 0 loga f (x) loga g(x) 0 a 1 0 f (x) g(x) Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit: – Đưa về cùng cơ số. – Đặt ẩn phụ. – . Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: Trang 15
  16. loga A loga B 0 (a 1)(B 1) 0 ; 0 (A 1)(B 1) 0 loga B IX.HỆ MŨ-LÔGARIT Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như: Phương pháp thế. Phương pháp cộng đại số. Phương pháp đặt ẩn phụ. X. CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1) Bài toán lãi suất a) Gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng là r% trong n tháng. Tính cả vốn lẫn lãi T sau n tháng? Gọi A là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có: Tháng 1 (n = 1): A = a + ar = a(1 + r) Tháng 2 (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r = a(1 + r)2 Tháng n (n = n): A = a(1 + r)n – 1 + a(1 + r)n – 1.r = a(1 + r)n Vậy T = a(1 + r)n (*) Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng. Từ công thức (*) T = a(1 + r)n ta tính được các đại lượng khác như sau: T ln T T 1) n a ; 2) r n 1; a ln(1 r) a (1 r)n b) Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là a (đồng). Biết lãi suất hàng tháng là m%. Hỏi sau n tháng, người ấy có bao nhiêu tiền? Cuối tháng thứ I, người đó có số tiền là: T1= a + a.m = a(1 + m). Đầu tháng thứ II, người đó có số tiền là: a a a(1 + m) + a = a[(1+m)+1] = [(1+m)2 -1] = [(1+m)2 -1] [(1+m)-1] m Cuối tháng thứ II, người đó có số tiền là: a 2 a 2 a 2 T2= [(1+m) -1] + [(1+m) -1] .m = [(1+m) -1] (1+m) m m m Cuối tháng thứ n, người đó có số tiền cả gốc lẫn lãi là Tn: a Tn .m n Tn .m Ln( 1 m ) Tn = [(1+m) -1] (1+m) a n n a 1 m (1 m ) (1 m ) 1 Trang 16 Ln(1 m )
  17. 2) Bài toán tăng dân số 3) Bài toán chất phóng xạ 4) Các bài toán khác liên quan Trang 17
  18. C. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN I. ÁP DỤNG BẲNG NGUYÊN HÀM VÀ PHÂN TÍCH 1. Khái niệm nguyên hàm Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu: F'(x) f (x) , x K Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là: f (x)dx F(x) C , C R. Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính chất f '(x)dx f (x) C f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx kf (x)dx k f (x)dx (k 0) 3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp xn 1 1) k.dx k.x C 2) xndx C n 1 1 1 1 3) dx C 4) dx ln x C x2 x x 1 1 1 1 5) dx C ; 6) dx ln ax b C (ax b)n a(n 1)(ax b)n 1 (ax b) a 7) sin x.dx cos x C 8) cos x.dx sin x C 1 1 9)sin(ax b)dx cos(ax b) C 10) cos(ax b)dx sin(ax b) C a a 1 1 11) dx (1 tan2 x)dx tan x C 12) dx (1 cot2 x)dx cot x C cos2 x sin2 x 1 1 1 1 13) dx tan(ax b) C 14) dx cot(ax b) C cos2 (ax b) a sin2 (ax b) a 15) exdx ex C 16) e xdx e x C 1 1 (ax b)n 1 17)e(ax b)dx e(ax b) C 18) (ax b)n .dx . C (n 1) a a n 1 a x 1 19)a xdx C 20) dx arctan x C ln a x2 1 1 1 x 1 1 x 21) dx ln C 22) dx arctan C x2 1 2 x 1 x2 a 2 a 1 1 x a 1 23)dx ln C 24) dx arcsin x C 2 2 2 x a 2a x a 1 x 1 x 1 25)dx arcsin C 26) dx ln x x2 1 C 2 2 2 a x a x 1 Trang 18
  19. 1 x a 2 x 27)dx ln x x2 a 2 C 28) a 2 x2 dx a 2 x2 arcsin C 2 2 x a 2 2 a x a 2 29) x2 a 2 dx x2 a 2 ln x x2 a 2 C 2 2 II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN VÀ VI PHÂN + Phương pháp + Phương pháp biến đổi đưa về bảng công thức cơ bản + Cách giải: +Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số f u(x).u' (x)dx F[u(x)] C ( F(u) là một nguyên hàm của f(u) ). Cốt lõi của phương pháp là dùng 1 biến phụ u đặt và chuyển đổi biểu thức f(x)dx ban đầu về toàn bộ biểu thức g(u)du đơn giản và dễ tìm nguyên hàm hơn.Cần nhận dạng được các mối liên quan giữa biểu thức và đạo hàm với nó ví dụ như: 1 t anx  ;sinx  cos x; cos2x - Ở phương pháp này người ta chia ra các dạng như sau : + Dạng 1:Hàm số cần tính tích phân có hoặc biến đổi được biểu thức và đạo hàm của biểu thức đó: f (u(x)).u, (x).dx + Dạng 2: Nếu hàm số cần lấy tích phân có dạng :   f(x) chứa biểu thức a 2 x2 . Đặt x = |a|sint (- t ) 2 2   f(x) chứa biểu thức a 2 x2 hoặc a2 + x2 . Đặt x = |a|tgt ( t ) 2 2 2 2 | a |   f(x) chứa biểu thức x a . Đặt x = (t 0; \  ) cos t 2  III. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN +Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần : Công thức u(x).v'(x)dx u(x).v(x) v(x).u '(x)dx (*) + Phương pháp này chủ yếu dùng cho các biểu thức dạng f (x).g(x)dx trong các trường hợp sau: -f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số mũ -f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số logarit -f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số đa thức -f(x) là hàm đa thức.g(x) là hàm lôgarit -f(x) là hàm mũ.g(x) là hàm lôgarit -f(x) là hàm đa thức.g(x) là hàm mũ Cách giải : - Dùng công thức (*) - Dùng sơ đồ (thường dùng để làm trắc nghiệm) Chú ý: Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: Trang 19
  20. P(x)exdx P(x)cosx dx P(x)sinx dx P(x)lnx dx u P(x) P(x) P(x) lnx x dv e dx cos xdx sin xdx P(x) IV. TÍCH PHÂN 1. Khái niệm tích phân Cho hàm số f liên tục trên K và a, b K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: b F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là f (x)dx . a b f (x)dx F(b) F(a) a Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là: b b b f (x)dx f (t)dt f (u)du F(b) F(a) a a a Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình b thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: S f (x)dx a 2. Tính chất của tích phân 0 b a b b f (x)dx 0 f ( x(k:)d xconst) f (x)dx kf (x)dx k f (x)dx 0 a b a a b b b b c b f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx a a a a a c b Nếu f(x) 0 trên [a; b] thì f (x)dx 0 a b b Nếu f(x) g(x) trên [a; b] thì f (x)dx g(x)dx a a 3. Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số b u(b) f u(x).u '(x)dx f (u)du a u(a) trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b K. b) Phương pháp tích phân từng phần b b Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b K thì: udv uv b vdu a a a Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm. Trang 20
  21. b b – Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho vdu dễ tính hơn udv . a a V. ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH 1) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Trục hoành. – Hai đường thẳng x = a, x = b. b là:S f (x)dx (1) a 2) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Hai đường thẳng x = a, x = b. b là:S f (x) g(x)dx (2) a Chú ý: b b Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: f (x)dx f (x)dx a a Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm được 2 nghiệm c, d (c < d). Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b c d b c d b f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx = f (x)dx f (x)dx f (x)dx a a c d a c d (vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d]) – Hai đường thẳng x = c, x = d. VI. ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b. S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a x b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b]. b Thể tích của B là: V S(x)dx a Thể tích của khối tròn xoay: Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) Trang 21
  22. b sinh ra khi quay quanh trục Ox: V f 2 (x)dx a Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh trục Oy: (C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d d là: V g2 (y)dy c Trang 22
  23. D.SỐ PHỨC 1. Khái niệm số phức Tập hợp số phức: C Số phức (dạng đại số) : z a bi (a, b R , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1) z là số thực phần ảo của z bằng 0 (b = 0) z là thuần ảo phần thực của z bằng 0 (a = 0) Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. a a ' Hai số phức bằng nhau: a bi a’ b’i (a,b,a ',b' R) b b' 2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b R) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi u (a; b) trong mp(Oxy) (mp phức) 3. Cộng và trừ số phức: a bi a’ b’i a a’ b b’ i a bi a’ b’i a a’ b b’ i Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' thì u u ' biểu diễn z + z’ và u u ' biểu diễn z – z’. 4. Nhân hai số phức : a bi a ' b'i aa’ – bb’ ab’ ba’ i k(a bi) ka kbi (k R) 5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi z1 z1 2 2 z z ; z z ' z z ' ; z.z ' z.z '; ; z.z a b z2 z2 z là số thực z z ; z là số ảo z z 6. Môđun của số phức : z = a + bi  z a 2 b2 zz OM z 0, z C , z 0 z 0 z z z.z ' z . z ' z z ' z z ' z z ' z ' z ' 7. Chia hai số phức: 1 z ' z '.z z '.z z ' z 1 z (z 0) z 'z 1 w z ' wz z 2 z z 2 z.z z 8. Căn bậc hai của số phức: Trang 23
  24. 2 2 2 x y a z x yi là căn bậc hai của số phức w a bi z w 2xy b w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0 w 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau Hai căn bậc hai của a > 0 là a Hai căn bậc hai của a < 0 là a.i 9. Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A 0 ). B2 4AC B  0: (*) có hai nghiệm phân biệt z , (  là 1 căn bậc hai của ) 1,2 2A B 0 : (*) có 1 nghiệm kép: z z 1 2 2A Chú ý: Nếu z0 C là một nghiệm của (*) thì z0 cũng là một nghiệm của (*). Trang 24
  25. E.ĐA DIỆN, NÓN, TRỤ CẦU I.ĐA DIỆN 1) Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) (H) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện: a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung. b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. Mỗi đa giác như thế được gọi là một mặt của hình đa diện (H). Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện (H). 2) Phần không gian được giới hạn bới một hình đa diện (H) được gọi là khối đa diện (H). 3) Mỗi đa diện (H) chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau: miền trong và miền ngoài của (H). Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy. Các điểm thuộc miền trong là các điểm trong, các điểm thuộc miền ngoài là các điểm ngoài của (H). Khối đa diện (H) là hợp của hình đa diện (H) và miền trong của nó. 4) Phép dời hình và sự bằng nhau giữa các khối đa diện. a) Trong không gian quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian. b) Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý. c) Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình. d) Phép dời hình biến một đa diện thành một đa diện, biến các đỉnh, cạnh, mặt của đa diện này thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của đa diện kia. e) Một số phép dời hình trong không gian :  - Phép dời hình tịnh tiến theo vector v , là phép biến hình biến điểm M thành M’ sao cho MM ' v . - Phép đối xứng qua mặt phẳng (P), là phép biến hình biến mọi điểm thuộc (P) thành chính nó, biến điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng chung trực của MM’. Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của (H). - Phép đối xứng tâm O, là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến điếm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’. Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của (H). - Phép đối xứng qua đường thẳng d, là phép biến hình mọi điểm thuộc d thành chính nó, biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là trung trực của MM’. Phép đối xứng qua đường thẳng d còn được gọi là phép đối xứng qua trục d. Trang 25
  26. Nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình (H) thành chính nó thì d được gọi là trục đối xứng của (H). g) Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. h) Hai tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau. 5) Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H1), (H2) sao cho (H1) và (H2) không có điểm trong chung thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H1) và (H2) , hay có thể lắp ghép được hai khối đa diện (H1) và (H2) với nhau để được khối đa diện (H). 6) Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia được thành các khối tứ diện. 7) Kiến thức bổ sung Phép vị tự trong không gian và sự đồng dạng giữa các khối đa diện. a) Phép vị tự tâm O, tỉ số k (k khác 0) là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho   OM ' kOM b) Hình (H) được gọi là đồng dạng với hình (H’) nếu có một phép vị tự biến (H) thành (H1) và (H1) bằng (H’). II.ĐA DIỆN LỒI, ĐA DIỆN ĐỀU 1. Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện giới hạn (H) được gọi là đa diện lồi. 2. Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó. 3. Một khối đa diện lồi được gọi là khối đa diện đều loại { p; q} nếu: a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh. b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt. 4. Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều và bằng nhau. 5. Có năm loại khối đa diện đều. Đó là các khối đa diện đều loại {3; 3}, loại {4; 3}, loại {3; 4}, loại {5;3}, và loại {3;5}. Tùy theo số mặt của chúng, năm loại khối đa diện đều kể trên theo theo thứ tự được gọi là khối tứ diện đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều. 6. Hai khối đa diện đều có cùng số mặt và có cạnh bằng nhau thì bằng nhau. 7. Hai khối đa diện đều có cùng số mặt thì đồng dạng với nhau. III. THỂ TÍCH HÌNH CHÓP Trang 26
  27. 1 1) Nếu khối chóp đã cho có chiều cao h và diện tích đáy B thì thể tích tính theo công thức V B.h 3 h B 2) Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa biết chiều cao thì ta phải xác định được vị trí chân đường cao trên đáy. a) Chóp có cạnh bên vuông góc chiều cao chính là cạnh bên. b) Chóp có hai mặt bên vuông góc đáy đường cao là giao tuyến của hai mặt bên vuông góc đáy. c) Chóp có mặt bên vuông góc đáy chiều cao của mặt bên vuông góc đáy. d) Chóp đều chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy. e) Chóp có hình chiếu vuông góc của một đỉnh xuống mặt đáy thuộc cạnh mặt đáy đường cao là từ đỉnh tới hình chiếu. Chú ý: Các công thức tính diện tích đáy a) Tam giác: 1 1 1 1 1 1 S a.h b.h c.h S bcsin A ca.sin B absin C 2 a 2 b 2 c 2 2 2 abc S S pr S p p a p b p c 4R ABC vuông tại A: 2S AB.AC BC.AH a 2 3 ABC đều, cạnh a: S 4 b) Hình vuông cạnh a: S = a2 (a: cạnh hình vuông) c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành ABCD: S = đáy cao = AB.AD.sinB· AD 1 e) Hình thoi ABCD: S AB.AD.sinB· AD AC.BD 2 1 f) Hình thang: S a b .h (a, b: hai đáy, h: chiều cao) 2 1 g) Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc: S AC.BD 2 IV.TỈ SỐ THỂ TÍCH * Cho khối chóp S.ABC, A' SA, B' SB, C' SC * M SC, ta có: Trang 27
  28. V SA.SB.SC V SA.SB.SM SM SABC SABC V SA '.SB'.SC' V SA.SB.SC SC SA'B'C' SA'B'C' S S B' C' M A' C C A A B B V. KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng + Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng a d(M, ) = MH, , trong đó H là hình chiếu của M trên 2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng + Khoảng cách từ một điểm đến đến một mặt phẳng ( ) d(O,( )) OH , trong đó H là hình chiếu của O trên ( ) Cách 1. Tính trực tiếp. Xác định hình chiếu H của O trên ( ) và tính OH - Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với ( ) - Tìm giao tuyến của (P) và ( ) - Kẻ OH  (H ). Khi đó d(O,( )) OH . Cách 2. Sử dụng công thức thể tích 1 3V Thể tích của khối chóp V S.h h . Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh của hình chóp 3 S đến mặt đáy, ta đi tính V và S Cách 3. Sử dụng phép trượt đỉnh Kết quả 1. Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng ( ) và M, N thì d(M;( )) d(N;( )) Kết quả 2. Nếu đường thẳng cắt mặt phẳng ( ) tại điểm I và M, N (M, N không trùng với I) thì d(M;( )) MI d(N;( )) NI 1 Đặc biệt: + nếu M là trung điểm của NI thì d(M;( )) d(N;( )) 2 + nếu I là trung điểm của MN thì d(M;( )) d(N;( )) Cách 4. Sử dụng tính chất của tứ diện vuông Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O ( OA  OB,OB  OC,OC  OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). 1 1 1 1 OH2 OA2 OB2 OC2 Cách 5. Sử dụng phương pháp tọa độ Trang 28
  29. Cơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng các công thức sau: Ax0 By0 Cz0 D + d(M;( )) với M(x0 ; y0 ;z0 ) , ( ) : Ax By Cz D 0 A2 B2 C2  MA  u + d(M, ) với là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương u u   u  u '.AA '  + d( , ')  với ' là đường thẳng đi qua A ' và có vtcp u ' u  u ' 3. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó + d( , ( )) = d(M, ( )), trong đó M là điểm bất kì nằm trên . + Việc tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng ( ) được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song + d(( ),() ) = d(M,() ), trong đó M là điểm bất kì nằm trên ( ) + Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau + Đường thẳng cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b gọi là đường vuông góc chung của a, b. + Nếu cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b. + Độ dài đoạn IJ được gọi là khoảng cách giữa a, b. + Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó. + Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. * Đặc biệt + Nếu a  b thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b, tiếp theo ta tìm giao điểm I của (P) với b. Trong mp(P), hạ đường cao IH. Khi đó d(a,b) IH + Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung điểm của AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD. VI. GÓC 1) Góc giữa hai đường thẳng: a//a', b//b' a¶,b a· ',b' Chú ý: 00 a¶,b 900 2) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng: Nếu d  (P) thì d·,(P) = 900. Nếu d  (P) thì d·,(P) = d· ,d ' với d là hình chiếu của d trên (P). Chú ý: 00 d·,(P) 900 Trang 29
  30. a  (P) 2) Góc giữa hai mặt phẳng (·P),(Q) a¶,b b  (Q) a  (P),a  c Giả sử (P)  (Q) = c. Từ I c, dựng (·P),(Q) a¶,b b  (Q),b  c Chú ý: 00 (·P),(Q) 900 3) Diện tích hình chiếu của một đa giác Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S là diện tích của hình chiếu (H ) của (H) trên (Q), = (·P),(Q) . Khi đó:S = S.cos VII. THỂ TÍCH LĂNG TRỤ 1. Thể tích khối lăng trụ: V= B.h với B là diện tích đáy, h là chiều cao 2) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a, b, c là ba kích thước a 3) Thể tích khối lập phương: c a b V = a3 a với a là độ dài cạnh a VIII. HÌNH NÓN - KHỐI NÓN 1) Mặt nón tròn xoay + Trong mặt phẳng (P), cho 2 đường thẳng d, Δ cắt nhau tại O và chúng tạo thành góc β với 0 < β < 900. Khi quay mp(P) xung quanh trục Δ với góc β không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O (hình 1). + Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón. Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh. 2) Hình nón tròn xoay Trang 30
  31. + Cho ΔOIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2). + Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón. + Hình tròn tâm I, bán kính r = IM là đáy của hình nón. 3) Công thức diện tích và thể tích của hình nón Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh là ℓ thì có: + Diện tích xung quanh: Sxq=π.r.l + Diện tích đáy (hình tròn): Str=π.r2 + Diện tích toàn phần hình tròn: S = Str + Sxq 1 1 + Thể tích khối nón: Vnón = Str.h = π.r2.h. 3 3 4) Tính chất: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh→Thiết diện là tam giác cân. + Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón. Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón→giao tuyến là một đường tròn. + Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón→giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol. + Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón→giao tuyến là 1 đường parabol. IX. HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ 1) Mặt trụ tròn xoay + Trong mp(P) cho hai đường thẳng Δ và ℓ song song nhau, cách nhau một khoảng r. Khi quay mp(P) quanh trục cố định Δ thì đường thẳng ℓ sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ. + Đường thẳng Δ được gọi là trục. + Đường thẳng ℓ được gọi là đường sinh. + Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ. 2) Hình trụ tròn xoay + Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúcABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ. Trang 31
  32. + Đường thẳng AB được gọi là trục. + Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh. + Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h được gọi là chiều cao của hình trụ. + Hình tròn tâm A, bán kính r = AD và hình tròn tâm B, bán kính r = BC được gọi là 2 đáy của hình trụ. + Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ. 3) Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r, khi đó: + Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2πrh 2 + Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp=Sxq+Sđ=2πrh+2πr + Thể tích khối trụ: V = Bh = πr2h 4) Tính chất: + Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) vuông góc với trục Δ thì ta được đường tròn có tâm trên Δ và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó. + Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) không vuông góc với trục Δ nhưng cắt tất cả 2r các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng , trong đó sin φ là góc giữa trục Δ và mp(α) với 0 r thì mp(α) không cắt mặt trụ. X. MẶT CẦU – KHỐI CẦU I. Mặt cầu – Khối cầu: 1. Định nghĩa Mặt cầu: KhốiS(O cầu:;R) M OM R V(O;R) M OM R 2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi d = d(O; (P)). Nếu d R thì (P) và (S) không có điểm chung. Trang 32
  33. Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và đgl mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng R đgl đường tròn lớn. 3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng . Gọi d = d(O; ). Nếu d R thì và (S) không có điểm chung. 4. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp Hình đa diện Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm Tất cả các mặt của hình đa diện đều tiếp trên mặt cầu xúc với mặt cầu Hình trụ Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm trên Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và mọi mặt cầu đường sinh của hình trụ Hình nón Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn đáy Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi của hình nón đường sinh của hình nón 5. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó. Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. – Xác định trục của đáy ( là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy). – Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên. – Giao điểm của (P) và là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. II. Diện tích – Thể tích Cầu Trụ Nón Sxq 2 Rh Sxq Rl Diện tích S 4 R 2 Stp Sxq 2Sñaùy Stp Sxq Sñaùy 4 1 Thể tích V R3 V R 2h V R 2h 3 3 Trang 33
  34. F. HÌNH OXYZ I. TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VÉC TƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ  1. AB (xB xA , yB yA , zB zA )  2 2 2 2. AB AB xB xA yB yA zB zA 3. a b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3 z 4. k.a ka1,ka2 ,ka3 2 2 2 5. a a1 a2 a3 k 0;0;1 a1 b1 6. a b a b 2 2 j 0;1;0 a3 b3 y 7. a.b a1.b1 a2.b2 a3.b3 O a a a 8. a / /b a k.b a  b 0 1 2 3 b b b x i 1;0;0 1 2 3 9. a  b a.b 0 a1.b1 a2.b2 a3.b3 0 a2 a3 a3 a1 a1 a2 10. a  b , , b2 b3 b3 b1 b1 b2 11. a,b,c đồng phẳng a  b .c 0 12. a,b,c không đồng phẳng a  b .c 0 x A kxB y A kyB z A kzB 13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1: M , , 1 k 1 k 1 k xA xB yA yB zA zB 14. M là trung điểm AB: M , , 2 2 2 xA xB xC yA yB yC zA zB zC 15. G là trọng tâm tam giác ABC: G , , , 3 3 3 16. Véctơ đơn vị : i (1,0,0); j (0,1,0);k (0,0,1) 17. M (x,0,0) Ox; N(0, y,0) Oy; K(0,0, z) Oz 18. M (x, y,0) Oxy; N(0, y, z) Oyz; K(x,0, z) Oxz 1   1 19. S AB  AC a2 a2 a2 ABC 2 2 1 2 3 1    20. V (AB  AC).AD ABCD 6    21. V (AB  AD).AA/ ABCD.A/ B/C/ D/ Trang 34
  35. II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1. Vectơ pháp tuyến của mp( ) : n ≠ 0 là véctơ pháp tuyến của n  2. Cặp véctơ chỉ phương của mp( ) : a , b là cặp vtcp của mp( ) gía của các véc tơ a , b cùng // 3. Quan hệ giữa vtpt n và cặp vtcp a , b : n = [a ,b ] 4. Pt mp qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n = (A;B;C) A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0 ( ): Ax + By + Cz + D = 0 ta coù n = (A; B; C) x y z 5. Phöông trình maët phaúng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : 1 a b c Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến 6. Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0 7. Chùm mặt phẳng : Giả sử 1  2 = d trong đó: ( 1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 ( 2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Phương trình mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2 ≠ 0 : m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG x x0 a1t 1. Phương trình ttham số của đường thẳng : y y0 a2t (t R) z z0 a3t Trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và a (a1;a2 ;a3 ) là vtcp của đường thẳng. x x y y z z 2. Phương trình chính tắc của đuờng thẳng : 0 0 0 a1 a2 a3 Trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và a (a1;a2 ;a3 ) là vtcp của đường thẳng. A1x B1 y C1z D1 0 3. Phương trình tổng quát của đường thẳng: (với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2) A2 x B2 y C2 z D2 0      trong đó n1 (A1; B1;C1) , n2 (A2 ; B2 ;C2 ) là hai VTPT và VTCP u [n1 n2 ]. y 0 x 0 x 0 †Chú ý: a. Đường thẳng Ox: ; Oy: ; Oz: z 0 z 0 y 0  b. (AB):u AB AB  c. 1 2 u u 1 2   d. 1 2 u n 1 2 Trang 35
  36. IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Mặt cầu (S), tâm I(a;b;c), bán kính R Dạng 1: (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 (S) Dạng 2: x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 khi đó R = a2 b2 c2 d 1. d(I, )>R:  (S) =  2. d(I, )= R:  (S) = M (M gọi là tiếp điểm) + Điều kiện để mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, )=R (mặt phẳng là tiếp diện của mặt cầu (S)   tại M khi đó n = IM ) 3. Nếu d(I, )<R thì sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao của và (S). Để tìm tâm H và bán kính r của (C) ta làm như sau: a. Tìm r = R2 - d 2 (I, ) b. Tìm H: + Viết phương trình đường thẳng qua I, vuông góc với + H=  (toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình với ) V. KHOẢNG CÁCH  2 2 2 1. AB AB xB xA yB yA zB zA  2. Cho M (xM;yM;zM), mp( ): Ax+By+Cz+D=0, : M0(x0;y0;z0), u , ’ M’0(x0';y0';z0'), u '  Ax By CZ D a. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng : d(M, )= M M M A2 B2 C 2  [MM1,u] b. Khoảng cách từ M đến đường thẳng : d(M, )= u   [u,u '].M 0M '0 c. Khoảng cách giữa hai đường thẳng: d( , ’)=   [u,u '] VI. GÓC 1. Góc giữa hai véc tơ u,v :  u.v cos u,v u . v 2. Góc giữa hai đường thẳng có các vecto chỉ phương lần lượt là u,v : u.v aa' bb' cc' cos cos(u;v) ,(0 900 ) u . v a2 b2 c2 . a'2 b'2 c'2 3. Cho đường thẳng d có vecto chỉ phương u (a;b;c) và mặt ( ) có pháp tuyến n (A; B;C) , là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng khi đó: Trang 36
  37. u.n aA bB cC sin u n a2 b2 c2 . A2 B2 C 2   4. Góc giữa hai mặt phẳng ( ), ( ’) có các véc tơ pháp tuyến lần lượt là n, n' :   n.n' cos(( ),( ’))=cos =  n . n' VII.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐIỂM, MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT CẦU 1. Vị trí tương đối hai mặt phẳng: ( ),( ) có các véc tơ pháp tuyến là (A1; B1; C1), (A2; B2; C2): ( ) cắt ( ) : A1 : B1 :C1 A2 : B2 :C2 A B C D ( ) / /(  ) : 1 1 1 1 , (với điều kiện thỏa mãn) A2 B2 C2 D2 A B C D ( )  (  ) : 1 1 1 1 , (với điều kiện thỏa mãn) A2 B2 C2 D2 ( ) ( ) : A1 A2 B1B2 C1C2 0  2. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng: (d) qua M có vtcp a , (d’) qua N có vtcp a d d/  d chéo d’ [ a , a ]. MN (không đồng phẳng) d d/ ≠ 0  d, d’ đồng phẳng [ a , a ]. MN d d/ = 0   d, d’ cắt nhau [ a , a ] 0 và [ a , a ]. MN d d/ d d/ =0  d, d’ song song nhau { a // a và M (d / ) } d d/  d, d’ trùng nhau { a // a và M (d / ) } d d/ 3. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu: Cho (S) : x a 2 x b 2 x c 2 R2 và ( ): Ax + By + Cz + D = 0 Gọi d = d(I, ) : khỏang cách từ tâm mặt cầu (S) đến mp( ) : d > R : (S)  =  d = R : ( ) tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, ( ): tiếp diện) 2 2 2 (S) : x a x b x c R2 d < R : ( ) cắt (S) theo đường tròn có phương trình: ( ) : Ax By Cz D 0 Trang 37