Hệ thống kiến thức Toán 7 - Kiến thức cơ bản

Nội dung text: Hệ thống kiến thức Toán 7 - Kiến thức cơ bản

1. . HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN 7 Kiến thức cơ bản JHSMATH.COM
2. Lời nói đầu Các em học sinh lớp 7 thân mến! Mong muốn nắm vững kiến thức về Toán để học khá và học giỏi môn Toán là nguyện vọng của nhiều học sinh. Series Tự học Toán 7 này sẽ giúp các em thực hiện mong muốn đó Series Tự học Toán 7 được viết theo từng bài tương ứng với chương trình và Sách giáo khoa Toán 7 hiện hành. Mỗi bài gồm 4 mục Kiến thức cơ bản hệ thống những kiến thức cần thiết nhất mà các em phải nắm • vững Sai lầm cần tránh lưu ý các em những lỗi phổ biến thường mắc phải khi học và • làm toán Câu hỏi trắc nghiệm giúp các em vận dụng lí thuyết và tự kiểm tra mức độ nắm • kiến thức của mình Ví dụ minh họa được chọn lọc phù hợp với Chuẩn kiến thức và kĩ năng. Tất cả • các em cần nắm vững những kiến thức nền móng và những kĩ năng thiết yếu trong các ví dụ cơ bản này Tuy nhiên do thời gian có hạn nên trong tài liệu này chỉ trình bày phần Kiến thức cơ bản. Ba phần còn lại các em có thể xem trực tuyến tại Series Tự học Toán 7 Ngoài ra còn có các ví dụ minh họa ở mức nâng cao giúp các em đào sâu kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở mức độ cao hơn Trong series này các ví dụ giải mẫu giúp các em biết cách trình bày bài toán sao cho ngắn gọn và rõ ràng Ở một số ví dụ có những lưu ý về phương pháp giải toán giúp các em định hướng suy luận, trau dồi phương pháp và kinh nghiệm giải Toán, mở rộng thêm hiểu biết về bài toán Trong phạm vi của series này sẽ sử dụng kí hiệu để chỉ song song và kí hiệu để chỉ đồng dạng. Các kí hiệu khác sử dụng giống như trongk sách giáo khoa Toán THCS∼ hiện hành 2
3. Mục lục 1 Số hữu tỉ. Số thực 6 1.1 Tập hợp Q các số hữu tỉ 6 1.2 Cộng, trừ số hữu tỉ 6 1.3 Nhân, chia số hữu tỉ 7 1.4 Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ. Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân . . 7 1.5 Lũy thừa của một số hữu tỉ 7 1.6 Tỉ lệ thức 8 1.6.1 Định nghĩa 8 1.6.2 Tính chất 8 1.7 Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 8 1.8 Số thập phân hữu hạn. Số thập phân vô hạn tuấn hoàn 9 1.9 Làm tròn số 9 1.10 Số vô tỉ. Khái niệm về căn bậc hai 9 1.11 Số thực 10 2 Hàm số và đồ thị 11 2.1 Đại lượng tỉ lệ thuận 11 2.1.1 Định nghĩa 11 2.1.2 Tính chất 11 2.2 Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận 11 2.3 Đại lượng tỉ lệ nghịch 12 2.3.1 Định nghĩa 12 2.3.2 Tính chất 12 2.4 Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch 12 2.5 Hàm số 12 2.6 Mặt phẳng tọa độ 12 2.7 Đồ thị của hàm số y = ax 13 3 Thống kê 15 3.1 Thu thập số liệu thống kê. Tần số 15 3.1.1 Bảng số liệu thống kê 15 3.1.2 Dấu hiệu 15 3.1.3 Tần số của giá trị 15 3.2 Bảng “tần số” các giá trị của dấu hiệu 15 3.3 Biểu đồ 16 3.4 Số trung bình cộng 16 4 Biểu thức đại số 17 4.1 Khái niệm về biểu thức đại số 17 4.2 Giá trị của một biểu thức đại số 17 3
4. 4.3 Đơn thức 17 4.4 Đơn thức đồng dạng 18 4.5 Đa thức 18 4.6 Cộng, trừ đa thức 18 4.7 Đa thức một biến 18 4.8 Cộng, trừ đa thức một biến 19 4.9 Nghiệm của đa thức một biến 19 5 Đường thẳng vuông góc. Đường thẳng song song 20 5.1 Hai góc đối đỉnh 20 5.1.1 Định nghĩa 20 5.1.2 Tính chất 20 5.2 Hai đường thẳng vuông góc 21 5.2.1 Định nghĩa 21 5.2.2 Tính duy nhất của đường vuông góc 21 5.2.3 Đường trung trực của đoạn thẳng 21 5.3 Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng 22 5.3.1 Tính chất 22 5.4 Hai đường thẳng song song 23 5.4.1 Định nghĩa 23 5.4.2 Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song 23 5.5 Tiên đề Ơ-clit về đường thẳng song song 23 5.5.1 Tiên đề Ơ-clít về đường thẳng song song 23 5.5.2 Tính chất hai đường thẳng song song 24 5.6 Từ vuông góc đến song song 24 5.6.1 Quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song 24 5.6.2 Ba đường thẳng song song 25 5.7 Định lí 25 6 Tam giác 26 6.1 Tổng ba góc của một tam giác 26 6.1.1 Tổng ba góc của một tam giác 26 6.1.2 Áp dụng vào tam giác vuông 27 6.1.3 Góc ngoài của tam giác 27 6.2 Hai tam giác bằng nhau 27 6.3 Trường hợp bằng nhau thức nhất của tam giác: cạnh - cạnh - cạnh . . . . 27 6.4 Trường hợp bằng nhau thức hai của tam giác: cạnh - góc - cạnh 28 6.5 Trường hợp bằng nhau thức ba của tam giác: góc - cạnh - góc 28 6.5.1 Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác 28 6.5.2 Trường hợp bằng nhau cạnh huyền-góc nhọn của tam giác vuông . 29 6.6 Tam giác cân 29 6.6.1 Tam giác cân 29 6.6.2 Tam giác vuông cân 30 6.6.3 Tam giác đều 30 6.7 Định lí Py-ta-go 31 6.7.1 Định lí Py-ta-go 31 6.7.2 Định lí Py-ta-go đảo 32 6.8 Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông 32 4
5. 7 Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Các đường đồng quy của tam giác 33 7.1 Quan hệ giữa các góc và cạnh đối diện trong một tam giác 33 7.2 Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu . 34 7.3 Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác 34 7.4 Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác 34 7.5 Tính chất tia phân giác của một góc 35 7.6 Tính chất ba đường phân giác của một tam giác 36 7.7 Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng 36 7.8 Tính chất ba đường trung trực của tam giác 37 7.9 Tính chất ba đường cao của tam giác 38 5
6. Chương 1 Số hữu tỉ. Số thực 1.1 Tập hợp Q các số hữu tỉ 6 1.2 Cộng, trừ số hữu tỉ 6 1.3 Nhân, chia số hữu tỉ 7 1.4 Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ. Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân 7 1.5 Lũy thừa của một số hữu tỉ 7 1.6 Tỉ lệ thức 8 1.7 Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 8 1.8 Số thập phân hữu hạn. Số thập phân vô hạn tuấn hoàn 9 1.9 Làm tròn số 9 1.10 Số vô tỉ. Khái niệm về căn bậc hai 9 1.11 Số thực 10 1.1 Tập hợp Q các số hữu tỉ a Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng phân số với a, b là các số nguyên và b = 0. • b 6 Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q Ta có thể biểu diễn mọi số hữu tỉ trên trục số. Trên trục số điểm biểu diễn số hữu • tỉ x gọi là điểm x Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh • hai phân số đó. Nếu x<y thì điểm x ở bên trái điểm y Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương. Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm. • Số hữu tỉ 0 không là số hữu tỉ âm cùng không là số hữu tỉ dương 1.2 Cộng, trừ số hữu tỉ Ta có thể cộng, trừ hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng một phân số có • cùng một mẫu dương rối áp dụng quy tắc cộng trừ, phân số 6
7. Phép cộng số hữu tỉ có các tính chất của phép cộng phân số: giao hoán, kết hợp, • cộng với số 0. Mọi số hữu tỉ đều có một số đối Khi chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một đẳng thức ta phải đồi dấu • số hạng đó x + y = z x = z y ⇒ − 1.3 Nhân, chia số hữu tỉ Ta có thể nhân, chia hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rối áp • dụng quy tắc nhân, chia phân số Phép nhân số hữu tỉ có các tính chất của phép nhân phân số: giao hoán, kết hợp, • nhân với số 1, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. Mỗi số hữu tỉ khác 0 đều có một số nghịch đảo Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y (y = 0) gọi là tỉ số của hai số x • x 6 và y. Kí hiệu hay x : y y 1.4 Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ. Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x kí hiệu x là khoảng cách từ điểm x đến điểm • 0 trên trục số | | x khi x 0 x = ≥ | |  x khi x 1 n ∈ ∈ | {z } Quy ước x1 = x và x0 =1 với x =0 6 Nhân hai lũy thừa cùng cơ số xm.xn = xm+n • Chia hai lũy thừa cùng cơ số xn : xm = xm−n (x =0,m n) • 6 ≥ 7
8. Lũy thừa của lũy thừa (xm)n = xmn • Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa (x.y)n = xn.yn • n x xn Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa = (y = 0) • y  yn 6 1.6 Tỉ lệ thức 1.6.1 Định nghĩa a c Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số = . Ta còn viết a : b = c : d. Trong đó a và d gọi b d là ngoại tỉ còn b và c gọi là trung tỉ 1.6.2 Tính chất a c Tính chất cơ bản nếu = thì ad = bc. Tức là trong một tỉ lệ thức tích các ngoại • b d tỉ bằng tích các trung tỉ Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì có có các tỉ lệ thức • a c a b d c d b = , = , = , = b d c d b a c a Từ tính chất này ta suy ra có thể hoán vị các số hạng của một tỉ lệ thức. Trong tỉ • a c lệ thức = ta có thể  b d a b – Hoán vị các trung tỉ cho nhau = c d d c – Hoán vị các ngoại tỉ cho nhau = b a d b – Hoán vị các trung tỉ cho nhau các ngoại tỉ cho nhau = c a 1.7 Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau a c a c a + c a c Từ = ta suy ra = = = − (b = d & b = d) • b d b d b + d b d 6 6 − − a c m a c m a + c + m a c + m Từ = = ta suy ra = = = = − (giả thiết các tỉ • b d n b d n b + d + n b d + n số đều có nghĩa) − a b c Khi có dãy tỉ số = = ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 7. Ta cũng viết • 2 3 7 a : b : c =2:3:7 8
9. 1.8 Số thập phân hữu hạn. Số thập phân vô hạn tuấn hoàn Nếu một phân số tối giản với mẫu dương và mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và • 5 thì phân số đó viết được dưới dạng thập phân hữu hạn. Chẳng hạn 1 7 3 =0, 5 =0, 35 =0, 12 2 20 25 Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì • phân số đó viết được dưới dạng thập phân vô hạn tuần hoàn. Chẳng hạn 1 4 =0, 333 =0, (3) =0, 2666 =0, 2(6) 3 15 Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn dưới dạng một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn • tuần hoàn. Ngược lại mỗi số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn biểu diễn một số hữu tỉ 1.9 Làm tròn số Để dễ nhớ, dễ ước lượng và dễ tính toán với các số có nhiều chữ số (kể cả số thập • phân vô hạn) người ta thường làm tròn số Quy ước • – Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta giữ nguyên bộ phận còn lại. Trong trường hợp số nguyên thì ta thay các chữ số bị bỏ đi bằng các chữ số 0 – Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cộng thêm 1 vào chữ số cuối cùng của bộ phận còn lại. Trong trường hợp số nguyên thì ta thay các chữ số bị bỏ đi bằng số 0 1.10 Số vô tỉ. Khái niệm về căn bậc hai Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Tập hợp • các số vô tỉ được kí hiệu là I Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a • Số dương a có đúng hai căn bậc hai là √a và √a • − Số 0 chỉ có một căn bậc hai là số 0 • Số âm không có căn bậc hai • 9
10. 1.11 Số thực Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực. Tập hợp các số thực được kí hiệu là • R Với a, b là hai số thực dương ta có nếu a>b thì √a> √b • Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số. Ngược lại mỗi điểm trên trục • số đều biểu diễn một số thực. Như vậy có thể nói rằng các điểm biểu diễn số thực đã lấp đầy trục số 10
11. Chương 2 Hàm số và đồ thị 2.1 Đại lượng tỉ lệ thuận 11 2.2 Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận 11 2.3 Đại lượng tỉ lệ nghịch 12 2.4 Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch 12 2.5 Hàm số 12 2.6 Mặt phẳng tọa độ 12 2.7 Đồ thị của hàm số y = ax 13 2.1 Đại lượng tỉ lệ thuận 2.1.1 Định nghĩa Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = kx (với k là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k 2.1.2 Tính chất Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi • Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại • lượng kia Cụ thể • y1 y2 y3 = = = x1 x2 x3 ··· x1 y1 x1 y1 = , = , x2 y2 x3 y3 ··· 2.2 Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận Hai dạng toán thường gặp Dạng 1 Toán về hai đại lượng tỉ lệ thuận. Trong đó biết hai giá trị của một đại • lượng và một giá trị tương ứng của đại lượng kia. Tìm giá trị tương ứng còn lại Dạng 2 Chia một số thành nhiều phần tỉ lệ thuận với một số cho trước • 11
12. 2.3 Đại lượng tỉ lệ nghịch 2.3.1 Định nghĩa a Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = hay xy = a (a là một hằng x số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a 2.3.2 Tính chất Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ) • Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương • ứng của đại lượng kia Cụ thể • x1y1 = x2y2 = x3y3 = ··· x1 y2 x1 y3 = , = , x2 y1 x3 y1 ··· 2.4 Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch Hai dạng toán thường gặp về hai đại lượng tỉ lệ nghịch Dạng 1. Biết hai giá trị của một đại lượng và một giá trị tương ứng của đại lượng • kia. Tìm giá trị tương ứng còn lại Dạng 2. Biết hai giá trị của một đại lượng và tổng (hiệu) hai giá trị tương ứng của • đại lượng kia. Tìm hai giá trị tương ứng đó 2.5 Hàm số Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x • ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì y được gọi là hàm hằng. • Hàm số có thể cho bằng bảng, bằng công thức, . . . Khi y là hàm số của x ta có thể viết y = f(x),y = g(x), Với y = f(x) ta viết • f(3) để chỉ giá trị của hàm số tại x =3 2.6 Mặt phẳng tọa độ Mặt phẳng tọa độ Oxy được xác định bởi hai trục số vuông góc với nhau. Trục • hoành Ox và trục tung Oy. Điểm O là gốc tọa độ 12
13. Hai trục tọa độ chia mặt phẳng thành bốn góc phần tư I, II, III và IV Trên mặt phẳng tọa độ • – Mỗi điểm M xác định một cặp số (x0,y0). Ngược lại mỗi cặp số (x0,y0) xác định một điểm M – Cặp số (x0,y0) gọi là tọa độ của điểm M. x0 là hoàng độ và y0 là tung độ của điểm M – Điểm M có tọa độ (x0,y0) được kí hiệu là M(x0; y0) 2.7 Đồ thị của hàm số y = ax Đồ thị của hàm số y = f(x) làm tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị • tương ứng (x; y) trên mặt phẳng tọa độ Đồ thị của hàm số y = ax với a =0 là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ • 6 13
14. Vì đồ thị của hàm số là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ nên khi vẽ ta chỉ cần • xác định thêm một điểm A thuộc đồ thị và khác điểm gốc O. Muốn vậy ta cho x một giá trị khác 0 và tìm giá trị tương ứng của y Cặp giá trị đó là tọa độ của điểm A. Đường thẳng OA là đồ thị của hàm số đã cho • 14
15. Chương 3 Thống kê 3.1 Thu thập số liệu thống kê. Tần số 15 3.2 Bảng “tần số” các giá trị của dấu hiệu 15 3.3 Biểu đồ 16 3.4 Số trung bình cộng 16 3.1 Thu thập số liệu thống kê. Tần số 3.1.1 Bảng số liệu thống kê Khi điều tra nghiên cứu một vấn đề hay một hiện tượng người ta cần thu thập các số liệu và ghi lại chúng trong một bảng gọi là bảng số liệu thống kê ban đầu 3.1.2 Dấu hiệu Vấn đề hay hiện tượng được điều tra gọi là dấu hiệu (thường được kí hiệu là X,Y, ) • Khi điều tra về một dấu hiệu ứng với mỗi đơn vị điều tra có một số liệu tương ứng • gọi là giá trị của dấu hiệu đó (giá trị của dấu hiệu thường được kí hiệu là x). Số các giá trị của dấu hiệu bằng số các đơn vị điều tra (thường được kí hiệu là N) 3.1.3 Tần số của giá trị Trong dãy giá trị của một dấu hiệu một giá trị có thể có mặt một hay nhiều lần. số lần xuất hiện của một giá trị trong dãy giá trị của dấu hiệu gọi là tần số của giá trị đó (tần số của giá trị thường được kí hiệu là n) 3.2 Bảng “tần số” các giá trị của dấu hiệu Từ bảng số liệu thống kê ban đầu có thể lập bảng “tần số” các giá trị của dấu hiệu • (bảng phân phối thực nghiệm của dấu hiệu). Bảng “tần số” có thể viết theo hàng ngang hoặc cột dọc Bảng “tần số” viết theo hàng ngang là một khung hình chữ nhật có hai dòng • – Dòng trên ghi các giá trị khác nhau của dấu hiệu theo thứ tự tăng dần 15
16. – Dòng dưới ghi các tần số tương ứng với các giá trị đó Bảng “tần số” giúp người điều tra có những nhận xét chung về sự phân phối các giá • trị của dấu hiệu và tiện cho việc tính toán 3.3 Biểu đồ Dựa trên bảng “tần số” ta có thể dựng biểu đồ. Biểu đồ cho ta một hình ảnh cụ thể • về giá trị của dấu hiệu và tần số Các loại biểu đồ thường gặp là biểu đồ đoạn thẳng, biểu đồ chữ nhật và biểu đồ • hình quạt 3.4 Số trung bình cộng Cho bảng “tần số” • Giá trị (x) x1 x2 x3 xk ··· Tần số (n) n1 n2 n3 nk N = n1 + n2 + n2 + + nk ··· ··· Số trung bình cộng X của dấu hiệu được tính theo công thức x1n1 + x2n2 + x3n3 + + xknk X = ··· N Trong đó • – x1,x2,x3, ,xk là các giá trị đôi một khác nhau của dấu hiệu X ··· – n1,n2,n3, ,nk là các tần số tương ứng ··· – N là số các giá trị Số trung bình cộng thường được dùng làm “đại diện” cho dấu hiệu đặc biệt là khi • muốn so sánh các dấu hiệu cùng loại Mốt của dấu hiệu (kí hiệu Mo) là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng “tần số” • 16
17. Chương 4 Biểu thức đại số 4.1 Khái niệm về biểu thức đại số 17 4.2 Giá trị của một biểu thức đại số 17 4.3 Đơn thức 17 4.4 Đơn thức đồng dạng 18 4.5 Đa thức 18 4.6 Cộng, trừ đa thức 18 4.7 Đa thức một biến 18 4.8 Cộng, trừ đa thức một biến 19 4.9 Nghiệm của đa thức một biến 19 4.1 Khái niệm về biểu thức đại số 4 Các biểu thức 3x, 2a 5, 4(x2 +1), gồm các số và các chữ nối với nhau bởi • − − 2y +3 dấu các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa) là các biểu thức đại số Các chữ trong biểu thức đại số gọi là biến số. Gọi tắt là biến • Một biểu thức số cũng là một biểu thức đại số • 4.2 Giá trị của một biểu thức đại số Để tính giá trị của một biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của các biến Ta thay các giá trị cho trước vào biểu thức • Rồi thực hiện các phép tính • 4.3 Đơn thức Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một biến hoặc một tích giữa các • số và các biến 17
18. Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến mà mỗi biến đã • được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn • thức đó. Số 0 được coi là đơn thức không có bậc. Số thực khác 0 là các đơn thức bậc 0 Để nhân hai đơn thức ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau • 4.4 Đơn thức đồng dạng Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến • Các số khác 0 được coi là những đơn thức đồng dạng • Muốn cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau • và giữ nguyên phần biến 4.5 Đa thức Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong một tổng gọi là một • hạng tử của đa thức đó. Mỗi đơn thức được coi là một đa thức Thu gọn đa thức là đưa đa thức về dạng không còn hai hạng tử nào đồng dạng • Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức • đó. Số 0 được gọi là đa thức không (đa thức này không có bậc) 4.6 Cộng, trừ đa thức Khi cộng hoặc trừ đa thức ta thường làm như sau Viết hai đa thức trong dấu ngoặc • Bỏ dấu ngoặc theo quy tắc dấu ngoặc • Thu gọn đa thức • 4.7 Đa thức một biến Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến. Mỗi số được coi • là một đa thức một biến Đa thức của biến x được kí hiệu A(x),B(x), Giá trị của đa thức A(x) tại x =5 • được kí hiệu A(5) ··· Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của • biến trong đa thức đó Để thuận lợi trong tính toán, người ta thường sắp xếp các hạng tử của đa thức một • biến theo lũy thừa tăng dần hoặc giảm của biến 18
19. Hệ số của lũy thừa cao nhất của biến gọi là hệ số cao nhất. Hệ số của lũy thừa bậc • 0 của biến gọi là hệ số tự do. Chẳng hạn đa thức 3x2 +4x 5 có hệ số cao nhất là 3 và hệ số tự do là 5 − − − − Trong biểu thức đại số có những chữ đại diện cho các số xác định cho trước ta gọi • chúng là hằng số (gọi tắt là hằng). Chẳng hạn đa thức bậc hai ax2 + bx + c (a = 0) có biến x còn các hằng số là các số a, b, c 6 4.8 Cộng, trừ đa thức một biến Để cộng hoặc trừ hai đa thức một biến ta có thể thực hiện theo một trong hai cách sau Cách 1 Cộng trừ đa thức theo “hàng ngang” đã học • Cách 2 Cộng trừ đa thức theo “cột dọc”. Sắp xếp các hạng tử của hai đa thức cùng • theo lũy thừa giảm hoặc tăng của biến rồi thực hiện phép tính Đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột 4.9 Nghiệm của đa thức một biến Số a là một nghiệm của đa thức một biến P (x) nếu P (a)=0 • Một đa thức (khác đa thức 0) có thể có một nghiệm, hai nghiệm, . . . hoặc không • có nghiệm nào Một đa thức bậc n có nhiều nhất n nghiệm • 19
20. Chương 5 Đường thẳng vuông góc. Đường thẳng song song 5.1 Hai góc đối đỉnh 20 5.2 Hai đường thẳng vuông góc 21 5.3 Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng . . . . 22 5.4 Hai đường thẳng song song 23 5.5 Tiên đề Ơ-clit về đường thẳng song song 23 5.6 Từ vuông góc đến song song 24 5.7 Định lí 25 5.1 Hai góc đối đỉnh 5.1.1 Định nghĩa Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia 5.1.2 Tính chất Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau AOC[ và BOD\ đối đỉnh AOC[ = BOD\ ⇒ 20
21. 5.2 Hai đường thẳng vuông góc 5.2.1 Định nghĩa Hai đường thẳng vuông góc là hai đường thẳng cắt nhau và một trong các góc tạo thành là góc vuông (khi đó cả bốn góc là góc vuông) AB CD tại O AOC[ = 90o ⊥ ⇔ 5.2.2 Tính duy nhất của đường vuông góc Qua một điểm cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước 5.2.3 Đường trung trực của đoạn thẳng Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó 21
22. Trên hình đường thẳng xy là đường trung trực của AB (ta có xy AB và OA = OB) ⊥ 5.3 Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng Hình bên dưới ta có Hai góc so le trong A1 và B3, A4 và B2 • c c c c Bốn cặp góc đồng vị A1 và B1, A2 và B2, A3 và B3, A4 và B4 • c c c c c c c c Hai cặp góc trong cùng phía A1 và B2, A4 và B3 • c c c c 5.3.1 Tính chất Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì Hai góc so trong còn lại bằng nhau • Hai góc đồng vị bằng nhau • Khi đó ta cũng có hai góc trong cùng phía bù nhau Hình bên dưới ta có A4 = B2 c c 22
23. A1 = B3  A1 = B1, A2 = B2, A3 = B3, A4 = B4 ⇒  c c  A B o, A B o c1 + c1 =c 180 c 4c+ 3c= 180c c   c c c c 5.4 Hai đường thẳng song song 5.4.1 Định nghĩa Hai đường thẳng song song (trong mặt phẳng) là hai đường thẳng không có điểm chung 5.4.2 Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành một góc so le trong • bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song A1 = B1 a b ⇒ k Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thức bac tạo thành một cặp góc đồng vị • bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song A2 = B2 a b ⇒ k Lưu ý Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳngc thứ bac tạo thành một cặp góc trong o cùng phía bù nhau thì hai đường thẳng đó song song A1 + B2 = 180 a b ⇒ k c c 5.5 Tiên đề Ơ-clit về đường thẳng song song 5.5.1 Tiên đề Ơ-clít về đường thẳng song song Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó 23
24. 5.5.2 Tính chất hai đường thẳng song song Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì Hai góc so le trong bằng nhau • Hai góc đồng vị bằng nhau • Hai góc trong cùng phía bù nhau • Hình bên dưới ta có A1 = B1 a b  A3 = B1 k ⇒  c c  A B o c2 + c1 = 180   c c 5.6 Từ vuông góc đến song song 5.6.1 Quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song Nếu hai đường thẳng (phân biệt) cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau a b và b c a b ⊥ ⊥ ⇒ k Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia a b và c a c b k ⊥ ⇒ ⊥ 24
25. 5.6.2 Ba đường thẳng song song Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau a b và b c a b k k ⇒ k 5.7 Định lí Một tính chất được khẳng định là đúng bằng lập luận được gọi là một định lí. Giả • thuyết của định lí là điều cho biết và kết luận là điều được suy ra Chứng minh định lí là dùng lập luận để từ giả thuyết suy ra kết luận • 25
26. Chương 6 Tam giác 6.1 Tổng ba góc của một tam giác 26 6.2 Hai tam giác bằng nhau 27 6.3 Trường hợp bằng nhau thức nhất của tam giác: cạnh - cạnh - cạnh 27 6.4 Trường hợp bằng nhau thức hai của tam giác: cạnh - góc - cạnh 28 6.5 Trường hợp bằng nhau thức ba của tam giác: góc - cạnh - góc 28 6.6 Tam giác cân 29 6.7 Định lí Py-ta-go 31 6.8 Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông 32 6.1 Tổng ba góc của một tam giác 6.1.1 Tổng ba góc của một tam giác Tổng ba góc của một tam giác bằng 180o tức là ∆ABC A + B + C = 180o ⇒ b b b 26
27. 6.1.2 Áp dụng vào tam giác vuông Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông • Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau ∆ABC, A = 90o B + C = 90o • ⇒ b b b 6.1.3 Góc ngoài của tam giác Góc ngoài của tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác • Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó • ACD\ = A + B b b 6.2 Hai tam giác bằng nhau Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau A = A′  B B′ b = b  ′ ′ ′ ′  C = C ∆ABC =∆A B C  b c ′ ′ ⇔  AB = A B b c ′ ′ AC = A C  ′ ′  BC = B C   6.3 Trường hợp bằng nhau thức nhất của tam giác: cạnh - cạnh - cạnh Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau 27
28. AB = A′B′ ′ ′ ′ ′ ′ AC = A C  ∆ABC =∆A B C (c c c) BC = B′C′  ⇒ − −  6.4 Trường hợp bằng nhau thức hai của tam giác: cạnh - góc - cạnh Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau AB = A′B′ ′ ′ ′ B = B′  ∆ABC =∆A B C (c g c) ′ ′ ⇒ − − BC = B C  b c  6.5 Trường hợp bằng nhau thức ba của tam giác: góc - cạnh - góc 6.5.1 Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau 28
29. B = B′ ′ ′ ′ ′ ′ BC = B C  ∆ABC =∆A B C (g c g) b c ⇒ − − C = C′  b c  6.5.2 Trường hợp bằng nhau cạnh huyền-góc nhọn của tam giác vuông Nếu cạnh huyển và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạch huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau A = A′ = 90o ′ ′ ′ ′ ′ BC = B C  ∆ABC =∆A B C (cạnh huyền - góc nhọn) b b ⇒ B = B′  b c  6.6 Tam giác cân 6.6.1 Tam giác cân Định nghĩa Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau 29
30. ∆ABC ∆ABC cân tại A ⇔  AB = AC Tính chất Trong tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau tức là ∆ABC cân tại A B = C ⇒ b b Dấu hiệu nhận biết Theo định nghĩa • Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân • 6.6.2 Tam giác vuông cân Định nghĩa Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau ∆ABC ∆ABC vuông cân tại A  A = 90o ⇔  AB = AC b  Tính chất Mỗi góc nhọn của tam giác vuông cân bằng 45o tức là B = C = 45o b b 6.6.3 Tam giác đều Định nghĩa Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau 30
31. ∆ABC ∆ABC đều ⇔  AB = BC = CA Tính chất Trong tam giác đều mỗi góc bằng 60o tức là A = B = C = 60o b b b Dấu hiệu nhận biết Theo định nghĩa • Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều • Nếu một tam giác cân có một góc bằng 60o thì tam giác đó là tam giác đều • 6.7 Định lí Py-ta-go 6.7.1 Định lí Py-ta-go Trong một tam giác vuông bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông ∆ABC vuông tại A BC2 = AB2 + AC2 ⇒ 31
32. 6.7.2 Định lí Py-ta-go đảo Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông ∆ABC có BC2 = AB2 + AC2 BAC[ = 90o ⇒ 6.8 Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông Ngoài các trường hợp bằng nhau đã biết của hai tam giác vuông còn có trường hợp • bằng nhau theo cạnh huyền-cạnh góc vuông Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền • và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau A = A′ = 90o ′ ′ ′ BC = B′C′  ∆ABC =∆A B C (cạnh huyền - cạnh góc vuông) b b ′ ′ ⇒ AC = A C   32
33. Chương 7 Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Các đường đồng quy của tam giác 7.1 Quan hệ giữa các góc và cạnh đối diện trong một tam giác . 33 7.2 Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu 34 7.3 Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác 34 7.4 Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác 34 7.5 Tính chất tia phân giác của một góc 35 7.6 Tính chất ba đường phân giác của một tam giác 36 7.7 Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng 36 7.8 Tính chất ba đường trung trực của tam giác 37 7.9 Tính chất ba đường cao của tam giác 38 7.1 Quan hệ giữa các góc và cạnh đối diện trong một tam giác Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác • – Góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn – Cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn Cho tam giác ABC 33
34. Ta có AC > AB B > C • ⇔ – Trong tam giácb vuôngb cạnh huyền là cạnh lớn nhất – Trong tam giác tù cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất 7.2 Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường • thẳng đến đường thẳng đó đường vuông góc là đường ngắn nhất Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng • đó – Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn – Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn – Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau – Nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau 7.3 Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác Độ dài của một cạnh nhỏ hơn tổng độ dài của hai cạnh kia và lớn hơn hiệu của chúng đó chính là mối quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác 7.4 Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác với trung • điểm của cạnh đối diện 34
35. Các đoạn thẳng AM, BN, CP là các đường trung tuyến của ∆ABC. Các đường • thẳng AM, BN, CP cũng gọi là các đường trung tuyến của ∆ABC Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh • 2 một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy 3 Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác. Ta có G • là trọng tam của ∆ABC 2 2 2 AG = AM BG = BN CG = CP 3 3 3 7.5 Tính chất tia phân giác của một góc Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó • Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân • giác của góc đó Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân • giác của góc đó 35
36. 7.6 Tính chất ba đường phân giác của một tam giác Trong một tam giác cân đường phân giác của góc ở đỉnh cũng là đường trung tuyến • Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều • ba cạnh của tam giác đó Hai đường phân giác của hai góc ngoài của tam giác và đường phân giác của góc • trong không kề chúng cùng đi qua một điểm (điểm này cũng cách đều ba đường thẳng chứa cạnh của tam giác đó) Trong tam giác ABC nếu AK là đường phân giác của góc A thì đường vuông góc • với AK tại A là đường phân giác của góc ngoài đỉnh A 7.7 Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng Nhắc lại định nghĩa đường trung trực Đường trung trực của một đoạn thẳng là • đường vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó Khi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Ta cũng nói A và B đối xứng với • nhau qua d 36
37. Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của • đoạn thẳng đó Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của • đoạn thẳng đó Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của • đoạn thẳng đó 7.8 Tính chất ba đường trung trực của tam giác Trong một tam giác cân đường trung trực của cạnh đáy cũng là đường trung tuyến • và đường phân giác Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều • ba đỉnh của tam giác đó Hình bên dưới điểm O là giao điểm các đường trung trực của ∆ABC. Ta có OA = • OB = OC. Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Nếu tam giác ABC nhọn thì O nằm trong tam giác. Nếu tam giác ABC vuông thì • O là trung điểm của cạnh huyền. Nếu tam giác ABC tù thì O nằm ngoài tam giác 37
38. 7.9 Tính chất ba đường cao của tam giác Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của • tam giác Hình bên dưới H là trực tâm của ∆ABC. Nếu tam giác ABC nhọn thì H nằm • trong tam giác. Nếu tam giác ABC vuông thì H trùng với đỉnh góc vuông. Nếu tam giác ABC có góc tù thì H nằm ngoài tam giác Trong một tam giác cân đường cao ứng với cạnh đáy cũng là đường trung tuyến, • đường phân giác, đường trung trực Trong một tam giác nếu có hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường • phân giác, đường trung trực, đường cao) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân 38