Hướng dẫn bài tập tương tự dạy trực tuyến Toán Lớp 9: Sử dụng nguyên lí DIRICHLET để giải bài toán tìm cực trị Đại Số

Nội dung text: Hướng dẫn bài tập tương tự dạy trực tuyến Toán Lớp 9: Sử dụng nguyên lí DIRICHLET để giải bài toán tìm cực trị Đại Số

1. Hướng dẫn bài tập tương tự dạy trực tuyến “ Sử dụng nguyên lí DIRICHLET để giải bài toán tìm cực trị Đại Số” Bài 1 Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 3. Tìm GTNN của biểu thức R x4 2 y4 2 z4 2 Lời giải Dự đoán điểm rơi x4 y4 z4 1 Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số x4 1 ; y4 1 và z4 1 luôn tồn tại 2 số có tích không âm. . Không mất tính tổng quát giả sử đó là x4 1 và y4 1 . Suy ra: x4 1 y4 1 0 x4 y4 x4 y4 1 x4 y4 2x4 2y4 4 3x4 3y4 3 x4 2 y4 2 3 x4 y4 1 x4 2 y4 2 z4 2 3 x4 y4 1 z4 2 Mặt khác theo BĐT Bunhiacopxki ta cũng có: 2 x4 y4 1 1 1 z4 x2 y2 z2 xy yz zx 2 9 Suy ra: R x4 2 y4 2 z4 2 27 xy yz zx 3 4 4 Dấu “=” xảy ra x y 1 x y z 1 1 x4 y4 z4 Vậy Min(R) = 27 x y z 1 . Bài 2 Cho các số a,b,c > 0 sao cho a2 + b2 + c2 + abc = 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = ab + bc + ca - abc Lời giải. Dự đoán điểm rơi a b c 1 Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số (a - 1),(b- 1),(c - 1) có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử (a - 1)(b- 1)³ 0 Þ c(a - 1)(b- 1)³ 0 Þ abc ³ bc + ca - 2c .
2. Nên ab + bc + ca - abc £ ab + c Mà 4 = a2 + b2 + c2 + abc ³ 2ab + c2 + abc Þ 4- c2 ³ ab(c + 2)Þ 2- c ³ ab Þ ab + c £ 2 Từ hai BĐT trên ta suy ra Max(S)=2 khi a = b = c = 1. Bài 3:Cho a,b,c không âm thỏa mãn ab bc ca 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 T a b b c c a Lời giải Theo nguyên tắc DIRICHLET Trong ba số a 1,b 1,c 1 có ít nhất hai số có tích không âm giả sử a 1 b 1 0 ab a b 1 0 a b ab 1 ab bc ca 1 2 1 ab Mặt khác từ ab bc ca 1 c 0 a b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Nên P a b 1 ab 1 ab 2 2 a b b c c a a b b c a b a 1 b 1 a b a b Ta chứng minh 1 1 a b 1 a 1 b 2 2 2 2 1 2 1 0 a 1 b 1 2 a 1 2 b 1 2 2 2 2 a3 a 2a2 2 2 b3 b 2b2 2 a a 1 b b 1 0 0 (dung) 2 a2 1 2 b2 1 2 a2 1 2 b2 1 1 1 1 1 a b Vậy a b 2 2 a b 2 a b a 1 b 1 a b 2 1 a b 5 Ta chứng minh a b 2 a b 2 2 Đặt a b t, thi : 0 t 2 Ta có 1 t 5 1 t 2 5 2 4t 2 t3 5t t 2 2t 0 0 t 2 2 t 2 2 2t 2 t3 4t 2 5t 2 t 1 t 2 0 0 (dung) Vi 0 t 2 2t 2t Do vai trò bình đẳng a, b, c như nhau nên 1 1 1 5 5 Min T khi: a b b c c a 2 2 ab bc ca 1 (a 1)(b 1) 0 a b ab 1 ab bc ca 1 2 a b 1;c 0 va cac hoan vi a a 1 2 b b 1 2 0 2 2 2 a 1 2 b 1