Hướng dẫn giải bài hình học Lớp 9 thử thách rất đơn giản

Nội dung text: Hướng dẫn giải bài hình học Lớp 9 thử thách rất đơn giản

1. Hướng dẫn giải bài hình thử thách rất đơn giản Đề bài: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) có 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Cho AH cắt EF tại I, IC cắt AM tại K. Chứng minh: FK // BC Hướng dẫn: Bài toán này một phần có nguồn gốc từ diễn đàn toán học và tôi đã phát triển thêm một chút. Nhưng nó cũng đã là câu khá là khó với nhiều câu nhỏ kết hợp với nhau. Và sau đây là lời giải chi tiết
2. Lời giải Cho AH cắt BC tại D và cắt (O) tại G. Gọi N và S lần lượt là trung điểm các cạnh EF và AH. Cho AN cắt (O) tại P, IC cắt BS tại T và cắt (O) tại J. Ta sẽ chứng minh: 1/ I là trực tâm tam giác BSC 2/ Tứ giác BINC nội tiếp 3/ 3 điểm J, F, P thẳng hàng 4/ Tứ giác AJFK nội tiếp Xét tam giác ABC có BE và CF là 2 đường cao và cắt nhau tại H => H là trực tâm tam giác ABC => AD _|_ BC Ta có (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB) Mà (cùng phụ với góc ) Xét tam giác AHR vuông tại E có ES là đường trung tuyến => SE = SH => Tam giác SHE cân tại S => Từ các kết quả trên cho => Tứ giác SBGE nội tiếp (2 góc cùng nhìn cạnh SB dưới 2 góc bằng nhau). Tứ giác SBGE nội tiếp => Xét tứ giác BFEC ta có => Tứ giác BFEC nội tiếp (2 góc cùng nhìn cạnh BC dưới 2 góc bằng nhau). Tứ giác BFEC nội tiếp =>
3. Mà (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC) => => Tứ giác EIGC nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong) Tứ giác EIGC nội tiếp => Từ đó suy ra ( = ) Xét tứ giác BTEC ta có (cmt) => Tứ giác BTEC nội tiếp (2 góc cùng nhìn cạnh ET dưới 2 góc bằng nhau) Tứ giác BFEC nội tiếp => => BS _|_ IC Xét tam giác BSC có SD và IC là đường cao của tam giác và cắt nhau tại I => I là trực tâm tam giác BSC Xét tứ giác AFHE ta có => Tứ giác AFHE nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong). Tứ giác AFHE nội tiếp => Xét và ta có là góc chung ; (cmt) => (g – g) => => => Xét và ta có (do ) ; (cmt) => (c – g – c) => Theo như trên có SD _|_ BC và CT _|_ BS => (cùng phụ với góc ) Từ đó suy ra ( = ) => Tứ giác BINC nội tiếp (2 góc cùng nhìn cạnh BI dưới 2 góc bằng nhau) Ta có (Tứ giác BFEC nội tiếp) Mà (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB) => => Tứ giác BFNP nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong) Tứ giác BFNP nội tiếp => Mà (Tứ giác BINC nội tiếp) Lại có (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BJ) Từ đó suy ra => 2 tia PF và PJ trùng nhau => 3 điểm P, F, J thẳng hàng
4. Xét và ta có là góc chung ; (cmt) => (g – g) => => => Xét và ta có (cmt) ; (cmt) => (c – g – c) => Mà (2 góc nội tiếp cùng chắn cung PC) Từ đó suy ra => Tứ giác AJFK nội tiếp (2 góc bằng nhau cùng nhìn cạnh FK) Tứ giác AJFK nội tiếp => Mà (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BJ) Từ đó suy ra => FK // BC (2 góc ở vị trí đồng vị) (đpcm) Bình luận: Qủa là một bài toán hay và khó phải không các bạn ?. Tuy nhiên, câu phát triển khó nhất mà tôi tham khảo ở trong diển đàn chính là cũng theo bài hình trên. Chứng minh: PF và IC cắt nhau tại 1 điểm thuộc đường tròn (O). Từ điểm này tôi đã phát triển bài hình lên một chút xíu và các điểm đã bị giấu, dẫn đến việc chứng minh khá là tương đối khó khăn. Tuy nhiên, dù sao đi nữa. Biết đâu đây không phải là cách giải tối ưu, các bạn và thầy cô có thể tìm thêm cách cách giải khác ngắn gọn hơn và dễ hiểu hơn, có thể dựa vào lời giải trên. Điều này cho chúng ta thấy đôi khi từ các dữ liệu rất đơn giản nhưng lại xây dựng nên các bài toán khó một cách bất ngờ.