Lời giải 500 Đề học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Phần 2 - Nguyễn Văn Đại

Nội dung text: Lời giải 500 Đề học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Phần 2 - Nguyễn Văn Đại

1. Lời giải 02 500 HSG Toán 8 Đề 12: Bµi 2: a/ T×m 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp biÕt r»ng nÕu céng ba tÝch cña hai trong ba sè Êy ta ®ưîc 242. b/ T×m sè nguyªn n ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc A chia hÕt cho gi¸ trÞ biÓu thøc B. A = n3 + 2n2 - 3n + 2 ; B = n2 -n Giải a/ Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp lần lượt là a ; a + 1 ; a + 2. - Theo đề bài ta có: a(a 1) a(a 2) (a 1)(a 2) 242 a2 2a 80 0 a 8 (tmñk) 1 a2 10 (loïai) Vậy ba số tự nhiên liên tiếp đó là 8 ; 9 ; 10. b/ Tìm n để A chia hết cho B ta có: A n3 2n 2 3n 2 2 n 3 B n2 n n 2 n 2 n n Ö(2)  1; 2 1 5 n1 (loaïi) 2 2 n n 1 1 5 n2 (loaïi) 2 n2 n 1 (loaïi) ờ ả ễ ă Đạ Đứ Đứ ọ ĩ L i gi i - Nguy n V n i - c An, c Th , Hà T nh.
2. n 1 (tmñk) n2 n 2 3 n4 2 (tmñk) n2 n 2 (loaïi) Vậy khi n = -1 hoặc n = 2 thì A  B . Bµi 3 a/ Cho 3 sè x, y ,z tho· m·n x.y.z = 1. TÝnh biÓu thøc: 1 1 1 M = 1 x xy 1 y yz 1 z zx b/ Cho a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c 1 1 1 1 1 1 Chøng minh r»ng: a b c b c a c a b a b c Giải a/ Vì x . y . z = 1 ta có: 1 1 1 M 1x xy 1y yz 1z zx 1 x xy M 1 x xy x xy xyz xy xyz x2 yz 1 x xy M 1x xy x xy1 xy1x 1 x xy M 1 1 x xy M 1 Đề 15: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 C©u 3: Gi¶i phương tr×nh: 6 0 1000 999 998 997 996 995 Giải x1x2x3x4x5x6 6 0 1000 999 998 997 996 995 x1 x2 x3 x4 x5 x6 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 1000 999 998 997 996 995 1 1 1 1 1 1 x 1001 0 1000 999 998 997 996 995 x 1001 0 x 1001 ờ ả ễ ă Đạ Đứ Đứ ọ ĩ L i gi i - Nguy n V n i - c An, c Th , Hà T nh.
3. Đề 16 C©u 1: T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lµ sè nguyªn. 2x3 x 2 2x 5 A 2x 1 Giải 2x3 x 2 2x 5 4 A x2 x 2x 1 2x 1 2x 1 Ö(4)  1; 2; 4 2x 1 1 x 0 (tmñk) 2x 1 1 x 1 (tmñk) 1 2x 1 2 x (loaïi) 2 3 2x 1 2 x (loaïi) 2 3 2x 1 4 x (loaïi) 2 5 2x 1 4 x (loaïi) 2 Vậy khi x = 0 hoặc x = - 1 thì biểu thức A nhận gí trị nguyên. Đề 16 27 12x Bµi 3: T×m GTLN vµ GTNN cña biÓu thøc: A = x 2 9 Giải + Tìm GTLN của biểu thức A 4x2 36 4x 2 12x 9 4 x 2 9 2x 3 2 A x2 9 x 2 9 2 2x 3 -3 A 4 4 khi x = . x2 9 2 -3 Vaäy GTLN cuûa A = 4 khi x = . 2 + Tìm GTNN của biểu thức A x2 12x 36 x 2 9 x 6 2 x 2 9 A x2 9 x 2 9 x 6 2 A 1 1 khi x = 6. x2 9 Vaäy GTNN cuûa A = - 1 ñaït ñöôïc khi x = 6. ờ ả ễ ă Đạ Đứ Đứ ọ ĩ L i gi i - Nguy n V n i - c An, c Th , Hà T nh.
4. Đề 20 Câu IV: Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình sau; yx2 yx + y = 1 Giải y = 1 y = 1 y = 1 y x2 x + 1 = 1 x = 0 (tmñk) 2 x x + 1 = 1 x x + 1 0 x = -1 (loaïi) Vậy nghiệm nguyên không âm của pt là (x, y) = (0; 1) Đề 21 1 1 1 Bµi 1: Cho A = . Rót gän biÓu thøc A, b2 c 2 - a 2 c 2 a 2 - b 2 a 2 b 2 - c 2 biÕt a + b + c = 0. Giải a b c = 0 a + b = - c (a + b)2 = c 2 a2 b 2 c 2 2ab Töông töï: a2 c 2 b 2 2ac b2 c 2 a 2 2bc Do ñoù: 1 1 1 A = b2 c 2 a 2 a 2 c 2 b 2 a 2 b 2 c 2 1 1 1 A 2bc 2ac 2ab a b c A 2abc 2abc 2abc a b c A 0 (Vì a + b + c = 0) 2abc A = 0 Bµi 2: Gi¶i phương tr×nh: 1/ (x+1)4 + (x+3)4 = 16 x 1001 x 1003 x 1005 x 1007 2/ 4 1006 1004 1002 1000 Giải 1/ Đặt t = x + 2 ờ ả ễ ă Đạ Đứ Đứ ọ ĩ L i gi i - Nguy n V n i - c An, c Th , Hà T nh.
5. t 1 4 t 1 4 16 t4 6t 2 7 0 t2 1 t 2 7 0 t 1 t2 1 0 t 1 x 2 1 x 1 x 2 1 x 3 Vaäy taäp nghieäm cuûa pt laø S =  - 1; - 3 x 1001 x 1003 x 1005 x 1007 2 / 4 1006 1004 1002 1000 x 1001 x 1003 x 1005 x 1007 1 1 1 0 1006 1004 1002 1000 1 1 1 1 x 2007 0 1006 1004 1002 1000 x 2007 0 x 2007 1 1 1 1 Bµi 3: Chøng minh: a = , n Z kh«ng ph¶i lµ mét 1.2 2.3 3.4 n.(n+1) + sè nguyªn. Giải 1 1 1 1 1 1 1 a 1 . . . + - 2 2 3 3 4 n n + 1 1 a 1 - n + 1 n a (vì n vaø töû nhoû hôn maãu) n 1 + n 0 < 1 n 1 n Vaäy a khoâng phaûi laø soá nguyeân. n 1 Bµi 4: Cho tø gi¸c ABCD. Gäi M, N, P, Q lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, BC, CD vµ DA. a/ Tø gi¸c MNPQ lµ h×nh g×? T¹i sao? b/ T×m ®iÒu kiÖn ®Ó tø gi¸c MNPQ lµ h×nh vu«ng? c/ Víi ®iÒu kiÖn c©u b), h·y tÝnh tû sè diÖn tÝch cña hai tø gi¸c ABCD vµ MNPQ. Giải ờ ả ễ ă Đạ Đứ Đứ ọ ĩ L i gi i - Nguy n V n i - c An, c Th , Hà T nh.
6. a/ Tứ giác MNPQ là hình bình hành có hai cạnh đối song song với nhau. MN // PQ (// AC) vì MQ // NP (// BD) B M N A C Q P D b/ Khi tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau thì tứ giác MNPQ là hình vuông. Khi đường chéo AC = BD và AC  BD. B M N A C Q P D c/ Khi tứ giác MNPQ là hình vuông thì tỷ số diện tích tứ giác ABCD và tứ giác MNPQ là. 1 1 1 1 S AC.BD ; S MN.MQ AC. BD AC.BD ABCD2 MNPQ 2 2 4 1 S AC.BD ABCD 2 2 S 1 MNPQ AC.BD 4 S Vaäy ABCD 2 SMNPQ ờ ả ễ ă Đạ Đứ Đứ ọ ĩ L i gi i - Nguy n V n i - c An, c Th , Hà T nh.