Lời giải câu 4 trong đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Phù Ninh - Phú Thọ (23-6-2020)

Nội dung text: Lời giải câu 4 trong đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Phù Ninh - Phú Thọ (23-6-2020)

1. Câu 4 ( HSG toán 8 Phù Ninh-Phú Thọ 23-6-2020) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a8 b8 c8 2 a 1 b 1 c 1 Hướng dẫn (Khác đáp án phải dùng BĐT tam giác) Ta có 2 a 1 b 1 c 1 2abc 2 ab bc ca 2(a b c) 2 2abc 2 ab bc ca 4;(1) Mặt khác Côsi cho 4 số dương a8 1 1 1 4a2 ;b8 1 1 1 4b2 ;c8 1 1 1 4c2 ; a8 b8 c8 4 a2 b2 c2 9 ;(2) Từ (1);(2) ta có P 4 a2 b2 c2 2abc 2 ab bc ca 5 Q P Q 3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2abc 1 2 ab bc ca 6 (*) Ta có 3 a2 b2 c2 a b c 2 9 (4) Xét 3 số a 1;b 1;c 1 theo nguyên tắc DIRICHLET luôn tồn tại 2 số có tích không âm giả sử a 1 b 1 0 ab a b 1 0 abc ac bc c 2abc 2ac 2bc 2c Nên a2 b2 c2 2abc 1 a2 b2 c2 2ac 2bc 2c 1 a2 b2 2 ac bc c 1 2 2 ab bc ca ;(5) Từ (4) &(5) thay vào (*) ta có P 3 a8 b8 c8 1 a 1 b 1 0 2 Min(P) 3 c 1 0 a b c 1 a b c 3 a b c 0 ( cách làm này không cần a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác chỉ cần a,b,c >0 có tổng bằng 3)