Lời giải đề thi vào Lớp 10 môn Toán (Đề chung) năm 2019 tỉnh Phú Thọ

Nội dung text: Lời giải đề thi vào Lớp 10 môn Toán (Đề chung) năm 2019 tỉnh Phú Thọ

1. LỜI GIẢI ĐỀ TOÁN CHUNG LỚP 10/2019 TỈNH PHÚ THỌ - Tập thể lớp chuyên Toán khóa 36 - 6th June 2019 1 Đề thi 1.1 Trắc nghiệm 1.2 Tự luận Bài 1 (1,5 điểm). Lớp 9A và lớp 9B của một trường THCS dự định làm 90 chiếc đèn ông sao để tặng các em thiếu nhi nhân dịp Tết Trung Thu. Nếu lớp 9A làm trong 2 ngày và lớp 9B làm trong 1 ngày thì được 23 chiếc đèn; nếu lớp 9A làm trong 1 ngày và lớp 9B làm trong 2 ngày thì được 22 chiếc đèn. Biết rằng số đèn từng lớp làm được trong mỗi ngày là như nhau, hỏi nếu cả hai lớp cùng làm thì hết bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc đã dự định? Bài 2 (2,0 điểm). Cho phương trình x2 − mx − 3 = 0 (m là tham số). a) Giải phương trình với m = 2. b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để (x1 + 6)(x2 + 6) = 2019. Bài 3 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AD (D ∈ BC). Gọi I là trung điểm của AC; kẻ AH vuông góc với BI tại H. a) Chứng minh tứ giác ABDH nội tiếp. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDH. b) Chứng minh tam giác BDH đồng dạng tam giác BIC. 1 c) Chứng minh AB · HD = AH · BD = · AD · AH. 2 Bài 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình sau  x2 y2  + = 4 x + 1 y − 1 x + 2 y − 2  + = y − x x + 1 y − 1 1
2. 2 Lời giải 2.1 Trắc nghiệm Câu 1. D Câu 2. C Câu 3. B Câu 4. A Câu 5. C Câu 6. A Câu 7. B Câu 8. D Câu 9. C Câu 10. A 2.2 Tự luận Bài 1 (1,5 điểm). Lớp 9A và lớp 9B của một trường THCS dự định làm 90 chiếc đèn ông sao để tặng các em thiếu nhi nhân dịp Tết Trung Thu. Nếu lớp 9A làm trong 2 ngày và lớp 9B làm trong 1 ngày thì được 23 chiếc đèn; nếu lớp 9A làm trong 1 ngày và lớp 9B làm trong 2 ngày thì được 22 chiếc đèn. Biết rằng số đèn từng lớp làm được trong mỗi ngày là như nhau, hỏi nếu cả hai lớp cùng làm thì hết bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc đã dự định? Lời giải. Ta gọi số đèn lớp 9A và 9B làm được trong một ngày lần lượt là a và b (chiếc đèn). Từ giả thiết bài toán ta có hệ phương trình ( 2a + b = 23 2b + a = 22 Giải hệ này ta được a = 8, b = 7. Do đó, số đèn mà cả hai lớp làm được trong 1 ngày là 7 + 8 = 15 (chiếc đèn). Vậy số ngày cần thiết để cả hai lớp làm xong công việc là 90 : 15 = 6 (ngày). Bài 2 (2,0 điểm). Cho phương trình x2 − mx − 3 = 0 (m là tham số). a) Giải phương trình với m = 2. b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để (x1 + 6)(x2 + 6) = 2019. Lời giải. a) Với m = 2 ta có phương trình x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ (x − 3)(x + 1) = 0. Từ đó phương trình có hai nghiệm x = 3 hoặc x = −1. b) Phương trình ban đầu là phương trình bậc hai ẩn x. Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆ > 0. 2 2 Thật vậy, ta có ∆x = (−m) − 4 · (−3) = m + 12 > 0, ∀m ∈ R. c) Theo định lý Vi-ét cho phương trình ban đầu thì ta thu được x1 +x2 = m và x1 ·x2 = −3. Theo giả thiết ta có (x1 + 6)(x2 + 6) = 2019 ⇔ x1x2 + 6(x1 + x2) + 36 = 2019 ⇔ −3 + 6m + 36 = 2019. Từ đó m = 331. Thử lại ta thấy thỏa mãn. Vậy kết thúc phép chứng minh. 2
3. Bài 3 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AD (D ∈ BC). Gọi I là trung điểm của AC; kẻ AH vuông góc với BI tại H. a) Chứng minh tứ giác ABDH nội tiếp. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDH. b) Chứng minh tam giác BDH đồng dạng tam giác BIC. 1 c) Chứng minh AB · HD = AH · BD = · AD · AH. 2 A M I H C B D ◦ Lời giải. a) Ta có ∠AHB = ∠ADB = 90 . Do đó, tứ giác ABDH nội tiếp đường tròn có tâm M là trung điểm AB. b) Theo tính chất góc nội tiếp ta có ∠BHD = ∠BAD. Mà lại có ∠BAD = ∠ICB (cùng phụ ∠ABC) nên ∠BHD = ∠BCI. Xét hai tam giác BDH và BIC có chung ∠DBH và có ∠BHD = ∠BCI. Suy ra 4BDH ∼ 4BIC (góc - góc). BD BI BI c) Từ phần b) ta có hai tam giác đồng dạng nên ta rút tỉ số là = = (do HD IC AI IA = IC). BI BA Mặt khác, dễ chứng minh được 4BAI ∼ 4BHA nên ta có = . AI AH BD BA Suy ra ta có = ⇒ AB · HD = AH · BD. (1) HD AH BH BC BC Tiếp tục sử dụng phần b) ta có tỉ số = = 2 · . HD IC AC BC AB Do 4BDA ∼ 4BAC (góc - góc) nên ta có = . AC AD BH AB 1 Từ đó suy ra = 2 · ⇒ AB · HD = · AD · BH. (2) HD AD 2 1 Từ (1) và (2) ta có AB · HD = AH · BD = · AD · AH. 2 Vậy ta kết thúc phép chứng minh. 3
4. Bài 4 (1,0 điểm).Giải hệ phương trình sau  x2 y2  + = 4 (1) x + 1 y − 1 x + 2 y − 2  + = y − x (2) x + 1 y − 1 Lời giải. Ta biến đổi phương trình (1) tương đương với 1 1 x − 1 + + y + 1 + = 4 x + 1 y − 1 1 1 ⇔ x + y + + = 4 (3). x + 1 y − 1 Ta viết (2) thành 1 1 1 + + 1 − = y − x x + 1 y − 1 1 1 ⇔ 2 + x + = y + (4). x + 1 y − 1 1 1 Từ (3) và (4) ta thu được x + = 1 và y + = 3. x + 1 y − 1 Quy đồng từng đẳng thức để ra phương trình bậc hai, sau đó giải x, y ta được x = 0, y = 2. Thử lại thỏa mãn phương trình ban đầu. Kết luận, hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (0; 2). Bình luận chung. Đề thi năm nay rất vừa sức với các bạn, khác với năm ngoái. Các bạn học sinh với đề thi này nếu nắm chắc kiến thức hoàn toàn có thể đạt từ 7-8 điểm trở lên. Ngày mai các bạn sẽ tiếp tục chiến đấu với đề thi môn chuyên. Các tác giả xin chúc các bạn làm bài hiệu quả nhất và các tác giả sẽ tiếp tục làm đáp án sớm nhất có thể. Đồng thời nghiêm cấm các hành vi sao chép hoặc in ra bán nhằm mục đích kinh doanh mà không có sự đồng ý của các tác giả. Xin chân thành cảm ơn! Email: 10toancutee@gmail.com Hỗ trợ soạn thảo LATEX: Nguyễn Đăng Khoa - K36 - THPT Chuyên Hùng Vương 4