›
›
›

Luyện tập Hình học Lớp 11 - Chuyên đề 8: Hình học không gian - Vũ Tuấn Anh

doc 26 trang thaodu 2640
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Luyện tập Hình học Lớp 11 - Chuyên đề 8: Hình học không gian - Vũ Tuấn Anh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docluyen_tap_hinh_hoc_lop_11_chuyen_de_8_hinh_hoc_khong_gian_vu.doc

Nội dung text: Luyện tập Hình học Lớp 11 - Chuyên đề 8: Hình học không gian - Vũ Tuấn Anh

  1. CHUYÊN ĐỀ 8: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1.1. Kiến thức liên quan 1.1.1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn MH sin M OM OH cos OM MH α tan OH O H OH cot MH 1.1.2. Hệ thức lượng trong tam giác vuông Cho ABC vuông ở A Định lý Pitago: BC 2 AB2 AC 2 hay a2 b2 c2 BA2 BH.BC; CA2 CH.CB hay b2 a.b',c2 a.c' A AB. AC BC. AH hay bc ah 1 1 1 1 1 1 hay c b AH 2 AB2 AC 2 h2 b2 c2 h BC 2AM c' b' 1.1.3. Hệ thức lượng trong tam giác thường B H a M C Định lý hàm số Côsin: a2 b2 c2 2bc.cos A a b c Định lý hàm số Sin: 2R sin A sin B sinC 1.1.4. Các công thức tính diện tích. a. Công thức tính diện tích tam giác. 1 1 1 S a.h bh ch A 2 a 2 b 2 c 1 1 1 c S absinC bcsin A casin B b 2 2 2 ha a3 183 VABC.A B C SABC .AA a 8 B C S = pr a b c S p( p a)( p b)( p c) với p (Công thức Hê-rông) 2 Đặc biệt: 1 ABC vuông ở A: S AB.AC 2 a2 3 ABC đều cạnh a: S 4 108
  2. b. Diện tích hình vuông cạnh a: S a2 (H.1) c. Diện tích hình chữ nhật: S a.b (H.2) 1 d. Diện tích hình thoi: S m.n (H.3) 2 1 e. Diện tích hình thang: S h a b (H.4) 2 a b a b m n h a a H.4 H.1 H.2 H.3 1.1.5. Một số tính chất đặc biệt thường sử dụng Đường chéo hình vuông cạnh a là d a 2 (H.5) a 3 Đường cao tam giác đều cạnh a là h (H.6) 2 2 Điểm G là trọng tâm tam giác ABC thì AG AM (H.7) 3 A a a G a B C a M H.5 H.6 H.7 1.1.6. Thể tích khối đa diện a. Thể tích khối lăng trụ Thể tích khối lăng trụ: V Bh , với B là diện tích đáy ; h là chiều cao Thể tích khối hộp chữ nhật: V abc , với a, b, c là chiều dài, rộng, cao Thể tích khối lập phương: V a3 với a là cạnh a a h h c b B B a a b.Thể tích khối chóp 1 Thể tích khối chóp:V Bh , với B là diện tích đáy, h là chiều cao 3 h B 109
  3. 1.2.Phương pháp tính thể tích khối đa diện 1.2.1.Phương pháp tính trực tiếp bằng việc sử dụng công thức thể tích Khi tính thể tích khối đa diện đầu tiên cần quan tâm hai yếu tố quan trọng xác định thể tích là: chiều cao và diện tích đáy dựa trên các công cụ đã học như các hệ thức lượng trong tam giác thường, hệ thức lượng trong tam giác vuông, a. Thể tích khối chóp. Ví dụ 1. (Đề thi TSĐH Khối A năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM theo a. Lời giải. S Vì SH  ABCD nên 1 1 V SH.S SH. S S S S.CDMN 3 CDMN 3 ABCD BCM AMN M B 1 5 2 5 3 3 A a 3 a a N 3 8 24 H D C *Nhận xét: Trong nhiều bài toán yếu tố quan trọng chính là chiều cao. Với khối chóp cần chính xác hóa đường cao (chân đường cao) của hình chóp. Ở đây ta có thể liệt kê một số trường hợp thường gặp sau: Ví dụ 2. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a. Lời giải Gọi H là tâm của hình vuông Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SH  ABCD 1 S Do đó, V SH.S S.ABCD 3 ABCD 2 2 Vì ABCD là hình vuông nên SABCD AB a (đvdt) Ta có SA2 SC 2 AB2 BC 2 AC 2 2a2 B nên SAC vuông tại S, mà H là trung điểm của AC nên C AC a 2 H SH A 2 2 D 1 1 a 2 2 V SH.S . .a2 a3 (đvtt) S.ABCD 3 ABCD 3 2 6 *Nhận xét: Với khối chóp đều, chiều cao chính là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm của đáy Ví dụ 3. 110
  4. Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC, biết cạnh đáy bằng a và các cạnh bên hợp đáy góc 600 . Lời giải Gọi H là tâm của tam giác ABC , M là trung điểm của BC Vì S.ABC là hình chóp đều nên SH  ABC S 1 Do đó, V SH.S S.ABC 3 ABC Vì ABC là tam giác đều nên AM  BC Trong tam giác vuông ACM , A 2 2 600 B 2 2 2 2 a 3a 3 AM AC CM a AM a (1) H 4 4 2 M C 1 3 S AM.BC a2 (đvdt) (2) ABC 2 4 Mà ta lại có AM  BC,SH  BC nên SM  BC . Do đó, Góc giữa mặt phẳng SBC và mặt phẳng ABC bằng góc giữa SM và AM hay góc S· MA 600 . 1 3 Do H là trọng tâm tam giác ABC nên HM AM a 3 6 SH a Trong tam giác vuông SHM , tan S·MH SH HM.tan 600 HM 2 1 1 a 3 3 V SH.S . . a2 a3 (đvtt) S.ABC 3 ABC 3 2 4 24 *Ghi nhớ: + Cách xác định góc giữa đt d và mặt phẳng : -Nếu d  thì góc giữa d và bằng 900 -Nếu d  thì góc giữa d và bằng góc giữa d và d’ là hình chiếu của d trên +Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng và  -Cách 1: Xác định hai đt A, B sao cho a  ,b   thì góc giữa và  là góc giữa a và b -Cách 2: Nếu giao tuyến của và  là d thì xác định hai đt A, B lần lượt nằm trong và  sao cho a  d,b  d thì thì góc giữa và  là góc giữa a và b d β b φ d' φ d α α a Ví dụ 6. 111
  5. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a,BCD là tam giác vuông cân tại D, mặt phẳng r 2 . Tính thể tích khối tứ diện ABCD. Lời giải Gọi H là trung điểm của BC. Ta có tam giác ABC đều nên AH  BC mà ABC  BCD , ABC  BCD BC AH  (BCD) . a 3 A Ta có ABC là tam giác đều cạnh a nên AH 2 Mà BCD là tam giác vuông cân nên 1 a 2 DH BC BD DH 2 a 2 2 2 2 1 2 a SBCD BD (đvdt) B C 2 4 H 1 1 a2 3 3 V AH.S . a a3 (đvtt) D ABCD 3 BCD 3 4 2 24 *Nhận xét: Hình chóp có một mặt bên hoặc mặt chéo vuông góc với đáy góc thì chân đường cao thuộc giao tuyến mặt đó với đáy, đường cao nằm trong mặt bên hoặc mặt chéo đó.   *Ghi nhớ:   d a   a  ,a  d Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 60 0. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Lời giải (SAB)  ABCD S Ta có: SAD  ABCD SA  ABCD SAB  SAD SA 1 B Do đó, V SA.S A 600 S.ABCD 3 ABCD 2 D C Diện tích đáy ABCD là: SABCD AB.BC 2a Do AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng ABCD nên góc giữa SC và mặt phẳng ABCD là góc S· CA 600 Ta có: AC AB2 BC 2 a 5 SA AC.tan S· CA a 5.tan 600 a 15 112
  6. 2a3 15 Vậy thể tích khối chóp là: V (đvtt) S.ABCD 3 *Nhận xét: Hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao là giao tuyến của hai mặt đó. Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a, BC 2a . Các cạnh bên SA SB SC 2a . Tính thể tích khối chóp S.ABC . S Lời giải Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng ABC vì các đường xiên SA SB SC nên các hình chiếu tương ứng HA HB HC B C Do đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác H ABC mà tam giác ABC vuông tại A nên H là trung điểm của BC. A 3 Vì SBC là tam giác đều cạnh 2a nên đường cao SH 2a. a 3 2 1 a2 3 Theo định lí Pitago, AC 2 BC 2 AB2 3a AC a 3 S AB.AC (đvdt) ABC 2 2 1 a3 Nên thể tích khối chóp là: V SH.S (đvtt) S.ABC 3 ABC 2 *Nhận xét: Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc hợp đáy góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. Ví dụ 9. (Đề TSĐH khối A năm 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D; AB=AD=2a, CD=a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. gọi I là trung điểm của AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính VS.ABCD Lời giải. Gọi H là hình chiếu của I trên BC Từ giả thiết suy ra SI vuông góc với mặt đáy. Ta có thể dễ dàng tính được: IC a 2, IB BC a 5 , 1 S AD. AB CD 3a2 ABCD 2 S 1 Ta có IH.BC S S S S 2 IBC ABCD ABI CDI a2 3a2 3a2 a2 2 2 B A 113 I 600 H D C
  7. 2S 3 3 nên IH BCI a . BC 5 3 15 Từ đó tìm được V a3 (đvtt) S.ABCD 5 Ví dụ 10. Hai cạnh đối diện của một tứ diện có độ dài bằng x, các cạnh khác đều có độ dài bằng 1. Với giá trị nào của x thể tích của tứ diện đạt giá trị lớn nhất ? Lời giải Giả sử SA = BC = x, các cạnh khác của tứ diện có độ dài bằng 1. Gọi I, D lần lượt là trung điểm của BC & SA. Ta có: SA  (BCD). Do đó: 1 1 S V dt BCD.SA BC.ID.SA 3 6 x2 D mà ID = CD2 – CI2 = SC2 – SD2 – CI2 = 1 – 2 A C 2 H 1 x 1 I Suy ra, V x2 1 x2 4 2x 2 6 2 12 B 2 2 3 Vì vậy, MaxV đạt tại x = 9 3 3 b. Thể tích khối lăng trụ. Với thể tích khối lăng trụ ta vẫn sử dụng những hướng trên để làm đó là tìm cách xác định đường cao và diện tích đáy là được. Ví dụ 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C 'D có' AB 4a, AC 5a mặt phẳng ABC 'D' hợp đáy góc 450 . Tính thể tích khối hộp chữ nhật đó. Lời giải 2 2 2 Theo ĐL Pitago ta có: BC AC AB 3a SABCD AB.BC 12a (đvdt) ABCD  ABC 'D' AB D' A' Do BC  ABCD , BC  AB C' B' BC '  ABC 'D' , BC '  AB Nên góc giữa mặt phẳng ABC 'D' và đáy là góc C· BC ' 450 D A Suy ra, tam giác vuông cân nên CC ' BC 3a 450 C B 3 Vậy thể tích khối hộp chữ nhật là VABCD.A' B 'C ' D ' CC '.SABCD 36a (đvtt) *Nhận xét:Với khối lăng trụ và khối đa diện khác ta có thể sử dụng một số hướng sau: 114
  8. +Sử dụng trực tiếp các công thức đã biết về thể tích khối lăng trụ +Quy về tính thể tích một khối chóp đặc biệt. + Chia nhỏ thành nhiều khối chóp để tính +Bù thêm vào khối đa diện phức tạp để được khối đa diện dễ tính thể tích. Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C ' , đáy là tam giác đều cạnh a và diện tích tam giác A'BC bằng 2a2 . Tính thể tích khối lăng trụ. Lời giải Gọi I là trung điểm của BC. C' A' AB 3 a 3 Ta có ABC đều nên AI 2 2 B' Vì AI là hình chiếu của A’I trên mặt phẳng ABC , AI  BC A I  BC (ĐL ba đường vuông góc) 1 2S C A S BC.A I A I A BC 4a A BC 2 BC I B 61 Do tam giác AIA’ vuông tại A nên AA A I 2 AI 2 a 2 a3 183 V S .AA (đvtt) ABC.A B C ABC 8 Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a, ·ACB 600 , biết BC' hợp với AA'C 'C một góc 300. Tính AC' và thể tích khối lăng trụ. Lời giải Ta cóABC là tam giác vuông tại A với AC = a, ·ACB 600 AB AC.tan 60o a 3 . Ta có: AB  AC ; AB  AA AB  (AA C C) nên AC' là hình chiếu của BC' trên AA'C 'C . Vậy góc giữa BC’ và mặt phẳng AA'C 'C là góc ·AC 'B 300 AB AC 3a tan30o A' C' Trong tam giác vuông AC ' A' , B' 2 2 2 AA' AC ' A'C ' 8a 2 2a 300 Trong tam giác vuông ABC , AB tan ·ACB 3 AB a 3 AC a A 1 a2 3 600 C S AB.AC (đvdt) ABC 2 2 B 3 Vậy VABC.A' B 'C ' AA'.SABC a 6 (đvtt) 115
  9. Ví dụ 4. Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C 'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và B· AD 600 , biết AB' hợp với đáy ABCD một góc 300 .Tính thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C 'D' . Lời giải B' Vì ABD đều cạnh a nên C' a2 3 a2 3 A' D' S S 2S ABD 4 ABCD ABD 2 ABB vuông tại B BB AB tan30o a 3 B 3 C 3a 300 Vậy VABCD.A' B 'C ' D ' SABCD .BB (đvtt) 600 2 A D Ví dụ 5. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 600 . Tính thể tích khối lăng trụ. Lời giải Ta có C H  (ABC) CH là hình chiếu của CC' trên (ABC) 3a Nên góc giữa CC’ và mặt phẳng ABC bằng 600 C H CC .sin 600 2 A' a2 3 B' S ABC 4 a 3 C' 3a3 3 Vậy V S .C H ABC 600 8 A B C Ví dụ 6. Cho hình hộp ABCD.A'B'C 'D có đáy là hình chữ nhật với AB a 3, AD a 7 . Hai mặt bên ABB’A’ và ADD’A’ lần lượt tạo với đáy các góc 450 ,60 .0 Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng a. Lời giải Gọi H là hình chiếu của A’ trên mặt phẳng ABCD , M,N lần lượt là hình chiếu của trên AD,AB. Dễ thấy, góc giữa các mặt ABB’A’ và ADD’A’ và đáy lần lượt là ·ANH 450 , ·AMH 600 · Đặt A’H x ta có: NH A'H cot ANH x B' C' x MH A'H.cot ·AMH A' 3 D' Vì AMHN là hình chữ nhật nên 1 2 2 2 2 2 2 x 4x AH AM AN x B 3 3 N 3 C H A 116 M 7 D
  10. 4x2 7x2 3 mà AA'2 AH 2 A'H 2 a2 x2 x a 3 3 7 3 Vậy V S .A'H a 3.a 7.a 3a3 (đvtt) ABCD.A' B 'C ' D ABCD 7 Ví dụ 7. 2 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a, K CC sao cho CK a . Mặt 3 phẳng (α) qua A,K và song song với BD chia khối lập phương trình hai phần. Tính tỷ số thể tích hai phần đó. Lời giải. Gọi O,O’ là tâm của hình vuông ABCD,A’B’C’D’, M AK  OO Qua M kẻ đường thẳng song song với BD cắt BB’,DD’ lần lượt tại E,F Khi đó, thiết diện tạo bởi (α) và hình lập phương chính là hình bình hành AEKF. 1 a Có OM là đường trung bình tam giác ACK nên OM CK 2 3 a Do đó, BE DF . Đặt V V ,V V 3 1 ABEKFDC 2 AEKFA B C D Để ý rằng tứ giác BCKF=C’B’EK, mặt phẳng (AA’C’C) chia khối ABEKFDC thành hai phần bằng nhau nên C' D' O' 1 2 1 a3 V 2V 2. .AB.S a. .S , B' 1 A.BCKE 3 BCKE 3 2 BCC B 3 A' K 3 3 3 a 2a V V V a F 2 ABCD.A B C D 1 3 3 M E C D V1 1 Vậy O V 2 2 B A Ví dụ 8. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các mặt bên hợp và mặt A'BD với đáy góc 60 ,0 · 0 biết góc BAD 60 , AB 2a, BD a 7 . Tính VABCD.A’B’C’D’ Lời giải. C' Gọi H là hình chiếu của A’ trên ABD , B' D' J,K là hình chiếu của H trên AB, AD Áp dụng ĐL cosin cho ABD A' BD2 AB2 AD2 2AB.AD.cos B· AD 2 2 AD 2a.AD 3a 0 AD 3a C 1 3 3a2 S AB.AD.sin B· AD a 7 ABD B 600 D 2 2 2a J H 600 K 117 A
  11. Từ giả thiết suy ra hình chóp A'.ABD có các mặt bên hợp đáy góc 600 Nên H là cách đều các cạnh của ABD *TH1: Nếu H nằm trong ABD thì H là tâm đường tròn nội tiếp ABD . Góc giữa mặt bên ABB' A' và đáy bằng ·A' JH 600 Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp ABD thì S 3 3a 9a r ABD A'H r.tan 600 p 5 7 5 7 1 27 3a3 Từ đó, V 6V 6. A'H.S ABCD.A' B 'C ' D ' A'.ABD 3 ABD 5 7 *TH2: Nếu H nằm ngoài ABD thì H là tâm đường tròn bàng tiếp ABD . · Nếu H nằm trong góc BAD , gọi ra là bán kính đường tròn bàng tiếp ABD tương ứng thì S 3 3a 9a r ABD A'H r.tan 600 a p BD 5 7 5 7 1 27 3a3 Từ đó, V 6V 6. A'H.S ABCD.A' B 'C ' D ' A'.ABD 3 ABD 5 7 27 3a3 27 3a3 Tương tự hai TH còn lại ta được các kết quả: , 1 7 7 1 Ví dụ 9.(Đề dự bị ĐH khối A năm 2006) a 3 Cho hình hộp đứng ABCD.A B C D có các cạnh AB AD a, AA' và B· AD 60o . 2 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A′D′ và A′B′. a) Chứng minh rằng AC '  BDMN . b) Tính thể tích khối chóp A.BDMN Lời giải. a) Ta có AC là hình chiếu của AC’ trên mặt phẳng ABCD và AC  BD nên AC '  BD (1)       1  Mà AC '.BN AB AD AA' AA' AB 2 1 1   3a2 a2 1 AA'2 AB2 AB.AD a2 cos600 0 AC '  BN (2) 2 2 4 2 2 B C Từ (1) và (2) suy ra, AC '  BDMN a A 600 a b) Cách 1: dựa theo câu a) tính chiều cao và SBDMN D Cách 2: V V V V V a 3 B' A.BDMN ABD.A' B ' D ' A.A'MN B.B 'MN M .BDD ' B ' 2 C' N O' H A' M D' 118
  12. a 3 1 3a3 V AA'.S . a2 sin 600 (đvtt) ABD.A' B ' D ' ABD 2 2 8 1 1 a 3 1 a2 a3 V V AA'.S . . sin 600 (đvtt) A.A'MN B.B 'MN 3 A'MN 3 2 2 4 32 Gọi O' A'C ' B'D' , kẻ MH / / A'C ' . Dễ thấy A'C '  BDD'B' MH  BDD'B' 1 1 1 a 3 a 3 a3 3a3 V MH.S . .a. (đvtt) (đvtt)V M .BDD ' B ' 3 BDD ' B ' 3 2 2 2 8 A.BDMN 16 Bài tập tự luyện Bài 1. (Đề TN-THPT PB 2007 Lần 2) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA AC . Tính thể tích khối chóp S.ABCD . 2 Đáp số: V a3 S.ABCD 3 Bài 2. (Đề thi TN THPT 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và góc A của tam giác ABC bằng 1200 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. 2 Đáp số: V a3 S.ABC 36 Bài 3. (Trích đề thi ĐH khối D – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết B = 2a 3 và S· BC 30o . Tính thể tích khối chóp S.ABC. Đáp số: V 2 3a3 Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. AB = SD = 3a, AD = SB = 4a, a > 0. Đường chéo AC (SBD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 15 Đáp số: V a3 2 Bài 5. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH khối A – 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a; Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o. Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Biết (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 2 15 Đáp số: V a3 5 Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB//CD, AB = 2CD = 4a, BC a 10 , biết mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SAB) là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 3 Đáp số: VS.ABCD 6a 2 . 119
  13. Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh 2a, SA = SB = SC = 2a. Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD, chứng minh V 2a3. Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60o. Tính thể tích khối chóp. 3 Đáp số: VSABC 8 3a . Bài 9. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết AB = 2a, SA = BC = a, CD = 2a 5. Tính thể tích khối chóp SABCD. Bài 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AD = 4a, các cạnh bên bằng nhau và bằng a 6 . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích khối chóp SABCD là lớn nhất. Bài 11. Cho hình chóp SABCD có mặt phẳng (SBC) và (SDC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình thoi có cạnh a 3 , ·ABC 120o , góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) bằng 45o. Tính thể tích khối chóp SABCD. Bài 12. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy. Tam giác SAB vuông tại S, góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 30o. Tính theo a thể tích khối chóp SABCD. Bài 13. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang vuông cạnh a 3 , tam giác SBC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SBC) một góc 60o. Tính thể tích khối chóp SABCD. Bài 14. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân, AB AC 5a , BC = 6a, các mặt bên tạo với đáy một góc 60o. Tính thể tích khối chóp SABC. 1.2.2. Phương pháp sử dụng tỉ số diện tích, thể tích và tính chất khoảng cách Thông thường, khi tính diện tích đáy ta có thể linh hoạt sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác hay tính toán dựa trên việc thêm bớt các đa giác dễ tính diện tích. Ngoài ra, ta có thể sử dụng thêm tính chất về tỉ số diện tích. Cụ thể: Cho ΔABC, B' AB,C ' AC . Khi đó, S B'B  B ' BC A SABC AB S AB' AC ' C'  AB 'C ' . B' SABC AB AC B a. Sử dụng tính chất khoảng cách trong tính thể tích C Khi tính thể tích, việc linh hoạt sử dụng các tính chất về khoảng cách giúp ta có thể giải quyết bài toán khá nhanh gọn. Công cụ thường dùng là các tính chất khoảng cách đó là: 120
  14. V MA Cho hình chóp S.ABC,M SA M .ABC VS.ABC SA Cho hình chóp S.ABC,S,M d / / ABC VM .ABC VS.ABC Kết quả được mở rộng cho khối chóp đa giác Ví dụ 1.(Đề TSĐH khối D năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu AC vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH . Gọi CM 4 là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. Lời giải. Trong tam giác vuông SAH và SCH 2 S a 2 a 14 Ta có SH SA2 AH 2 a2 4 4 M 2 14a2 3a 2 SC SH 2 HC 2 A 16 4 B H 32a2 a 2 AC D C 16 Vậy SAC cân tại C mà CM là đường cao hạ từ C của SAC nên M là trung điểm của SA. 3 1 1 1 1 2 a 14 a 14 VSMBC VA.MBC VS.ABC . a . 2 2 3 2 4 48 Bây giờ ta lại quay trở lại Ví dụ 9 ở phần 2.1.b với cách làm sử dụng kĩ thuật khoảng cách và cách bù thêm khối đa diện. Ví dụ 2. Xem lại đề bài ở Ví dụ 9 ở phần 2.1.b Lời giải. Gọi I AA' DM dễ dàng chứng minh được A’ là trung điểm của AI nên 1 1 a2 3 a3 B C VI .ABD .IA.SABD 3a. (đvtt) a 3 3 4 4 A 600 a 1 D V V AA'.S A.A'MN I .A'MN 3 A'MN a 3 2 3 B' 1 a 3 1 1 3a a 2 C' . . . (đvtt) N 3 2 2 4 4 32 A' M D' 3a3 V V V V (đvtt) A.BDMN I .ABD A.A'MN I .A'MN 16 I 121
  15. Ví dụ 3.(Đề TSĐH khối D năm 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC. Lời giải. Dễ dàng tính được AC a 5, BC 2a 2 B' C' Ta có I là trọng tâm tam giác AA’C’ nên IA AM M 3 A' VI .ABC 2 nên I VM .ABC 3 2 2 2 1 4 2a 3a V V V . .a.2a.2a a3 I .ABC 3 M .ABC 3 A'.ABC 3 6 9 B C Ví dụ 4. A SD SE 1 Trên cạnh SA,SB của hình chóp SABC lần lượt lấy điểm D và E sao cho . Mặt DA EB 2 phẳng qua DE và song song với SC chia khối chóp SABC thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. Lời giải. Dễ dạng xác định được thiết diện tạo bởi mặt phẳng qua DE, song song với SC và hình chóp SABC chính là hình bình hành DEFG . Ta có V V V V ABDEFG A.DFG B.DEF ABDF S Do AB / / DEFG ,SDEF SDFG VA.DFG VB.DEF D 2 2 1 E VB.DEF VF.BDE VC.BDE . d C, SAB .SBDE 3 3 3 2 1 2 . d C, SAB . SSBD C A 3 3 3 G F 2 1 2 1 4 . d C, SAB . . SSAB VSABC 3 3 3 3 27 B 2 2 1 2 1 2 4 VABDF VF.ABD VC.ABD . d C, SAB .SABD . d C, SAB . SSAB VSABC 3 3 3 3 3 3 9 20 V V V V V ABDEFG A.DFG B.DEF ABDF 27 SABC 20 Do đó, tỉ số thể tích của hai phần là: 7 S b. Sử dụng tỉ số thể tích Cho hình chóp S.ABC có A' SA, B' SB,C ' SC . Khi đó, B' A' C' 122 A B C
  16. V SA' SB' SC ' SA' B 'C ' . . VSABC SA SB SC Lưu ý: Công thức trên chỉ được áp dụng cho khối chóp tam giác,còn với khối chóp đa giác khi áp dụng cần chia nhỏ khối đa diện thành nhiều khối chóp tam giác để tính tỉ số Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có AB a, AC 2a, AD 3a, BC a 3, BD a 10, CD a 19 . Tính VABCD Lời giải. Sử dụng định lý Cosin cho các tam giác ABC, ABD, ACD ta được B· AC 600 ,C· AD 1200 , B· AD 900 Lấy M AC, N AD sao cho AM=AN=a 1 Ta có BM AC a, BN a 2, 2 MN 2 AM 2 AN 2 2AM.AN.cos M· AN 3a2 MN a 3 A Do đó, tam giác BMN vuông tại B. Vì AB=AM=AN nên hình chiếu của A B N trên (BMN) là tâm H của đường tròn ngoại tiếp VBMN , H cũng H M chính là trung điểm của MN V AB AM AN 1 Có ABMN . . VABCD AB AC AD 6 3 C 3 1 1 3 1 a 2 a 2 D V AH.S a2 a2 . a.a 2 V (đvtt) A.BMN 3 BMN 3 4 2 12 ABCD 2 Ví dụ 2. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C .' Các mặt phẳng ABC ' , A'B'C chia lăng trụ thành 4 phần. Tính tỷ số thể tích của 4 phần đó. Lời giải. A C Gọi V1 VC.MNC ';V2 VC '.MNB ' A';V3 VC.MNBA;V4 VMNABB ' A' V là thể tích của lăng trụ. Ta có VC.A' B 'C ' V1 V2 B M Mặt khác: V CM.CN.CC 1 1 N VC.A B C CA .CB .CC 4 A' C' 1 V V 1 V V V . ; V .V 1 4 3 12 2 3 12 4 B' 123
  17. V 5V V V V V V V ;V ; V V V V V 3 C ' ABC CMNC ' CA' B 'C ' CMNC ' 2 3 4 4 1 2 3 12 Vậy V1 :V2 :V3 :V4 1: 3: 3: 5 Ví dụ 3. (Đề thi dự bị ĐH khối D năm 2008) Cho tứ diện ABCD, M , N, P lần lượt thuộc BC, BD, AC sao cho BC 4BM , BD 2BN, AC 3AP , mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỷ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD bị chia bởi mặt phẳng (MNP). Lời giải. Gọi I MN  CD,Q PI  AD , kẻ DH / /BC H IM , DK / / AC K IP ID DH BM 1 NMB NDH IC CM CM 3 IK DK ID 1 DK 1 DK 2 A IP CP IC 3 2AP 3 AP 3 APQ đồng dạng DKQ AQ AP 3 AQ 3 P Q K I DQ DK 2 AD 5 H B Đặt V VABCD Ta có: N D M VANPQ AP AQ 1 VANCD VDACN DN 1 1 . , VANPQ V VANCD AC AD 5 VABCD VDABC DB 2 10 C VCDMP CM CP 1 1 1 1 1 . VCDMP V VN.ABMP VDABMP V VCDMP V VCDBA CB CA 2 2 2 2 4 7 VABMNQP 7 VABMNQP VANPQ VN.ABMP V 20 VCDMNQP 13 7 Vậy mặt phẳng MNP chia khối chóp thành hai phần với tỉ lệ thể tích 13 Bài tập tự luyện Bài 1. (Trích đề thi khối A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a. a3 3 Đáp số: V . CMNP 96 Bài 2. (Đề thi ĐH khối B - 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD a 2 , SA = a và SA  (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIB. a3 2 Đáp số: V . ABIN 72 124
  18. Bài 3. (Trích đề khối A - 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa o hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 . Tính VSBCNM. 3 Đáp số: VSBCNM 3a . Bài 4. (Trích đề khối B - 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = a, AD = 2a, SA  (ABCD) và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Tính VSBCNM. a3 Đáp số: VSBCNM . 3 Bài 5. Cho hình chóp đều S.ABCD,trên cạnh CD kéo dài lấy điểm M sao cho MC 3DC , mặt phẳng (P) đi qua M,B và trung điểm của SC chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. Bài 6. Cho khối chóp S.ABCD, trong đó ABCD là hình thang có các cạnh đáy AB, CD sao cho CD=4.AB, một mặt phẳng qua CD cắt SA, SB tại các điểm tương ứng M, N. Hãy xác định vị trí điểm M trên SA sao cho thiết diện MNCD chia khối chóp đã cho thành hai phần tương đương (có thể tích bằng nhau). Bài 7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a, gọi M,N,P lần thuộc các đoạn AA’,BC,CD sao cho AA' 3A'M , BC 3BN,CD 3DP mặt phẳng (MNP) chia khối lập phương thành hai phần tính thể tích từng phần 2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 2.1. Các bài toán về chứng minh tính vuông góc 2.1.1. Kiến thức cơ bản cần biết a. Tiêu chuẩn vuông góc d + Đường thẳng (d) vuông góc mặt phẳng (P) khi (d) vuông a b góc với hai đường thẳng giao nhau của (P). P + Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau khi góc tạo bởi hai mặt phẳng đó bằng 900. b. Các định lý về tính vuông góc + Định lý ba đường vuông góc: Giả sử d  P và d không vuông góc (P),  P , d’ là hình chiếu của d lên (P). Khi đó  d  d ' + Giả sử (P) và (Q) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau, (P)  (Q) . Nếu a  (P),a  thì a  (Q) 125
  19. + Nếu  P thì Δ sẽ vuông góc với mọi đường thẳng chứa trong mp(P). + Giả sử (P) và (Q) cùng vuông góc với (R) trong đó (P)  (Q) thì  R + Nếu a  (Q) và P  a thì P  Q 2.1.2. Các dạng toán thường gặp * Chứng minh đường thẳng a và b vuông góc: - Cách 1: Ta chứng minh góc giữa hai đt đó bằng 900 . - Cách 2: Ta chứng minh a//c mà c b.  - Cách 3: Ta chứng minh tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương u.v 0 . - Cách 4: Ta chứng minh a vuông góc với một mp( ) chứa đường thẳng b. (hay dùng) - Cách 5: Sử dụng định lí ba đường vuông góc * Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp( ): - Cách 1: Ta chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong ( ). - Cách 2: Ta chứng minh d song song với một đường thẳng d’ vuông góc với ( ). - Cách 3: Nếu hai mp cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến (nếu có) của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng này. - Cách 4: Nếu hai mp vuông góc với nhau, một đường thẳng nằm trong mp này mà vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mp kia. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau: - Cách 1: Ta chứng minh mp này chứa một đường thẳng vuông góc với mp kia.(đường nào đây ta??) - Cách 2: Ta chứng minh góc giữa chúng là 900 . Ví dụ 1. (ĐH Khối A năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAD là tam giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD. Chứng minh AM BP. Lời giải Gọi H là trung điểm AD, do tam giác SAD đều nên SH AD S Vì (SAD) (ABCD), suy ra SH  (ABCD) suy ra SH BP (1) Dễ thấy hai tam giác vuông BPC và CHD bằng nhau, nên ta có M 0 C· BP D· CH C· BP H· CB 90 BP  CH (2) B A Từ (1) và (2) suy ra: BP  SHC (3) H N Do HC // AN, MN // SC SHC / / MAN (4) D P C Từ (3) và (4) suy ra: BP  MAN AM  BP (đpcm) Ví dụ 2. (ĐH khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của điểm D qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, BC. Chứng minh MN  BD . Lời giải 126
  20. Ta có SEAD là hình bình hành SE / /DA và SE = DA E SEBC cũng là hình bình hành SC / /EB S Gọi P là trung điểm của AB. Khi đó trong các tam giác EAB và ABC ta có MP // EB, PN // AC. M Từ đó suy ra (MNP) // (SAC) (1) Ta có DB  AC và BD  SH do SH  (ABCD) BD  SAC (2) P A D Từ (1) và (2) suy ra: DB  MNP BD  MN (đpcm) H N B C Ví dụ 3. (ĐH Khối B năm 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2 , SA = a và SA  (ABCD) . Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh (SAC)  (SMB) . Lời giải Giả sử I là giao điểm của AC và MB S Ta có MA = MD và AD // BC 1 nên theo định lý Talet suy ra AI IC 2 2 2 2 2 2 2 1 2 a M AC AD DC 3a , AI AC A D 9 3 a I 2 2 B 1 1 a 2 a a 2 C MI 2 MB2 a2 9 9 2 6 2 a2 a2 a 2 Từ đó suy ra AI 2 MI 2 MA2 3 6 2 Vậy AMI là tam giác vuông tại I MB  AC (1) Mặt khác SA  (ABCD) SA  MB (2) Từ (1), (2) suy ra MB  (SAC) (SMB)  (SAC) đpcm Bài tập tự luyện. Bài 1. (ĐH Khối D năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, trong đó ·ABC B· AD 900 , BA BC a, AD 2a . Giả sử SA a 2,SA  (ABCD) . Chứng minh SC  SD . Bài 2. (Cao đẳng khối A năm 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, với ·ABC B· AD 900 ,SA  (ABCD) , BA = BC = a, AD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Chứng minh BCNM là hình chữ nhật. Bài 3. (Cao đẳng khối A, B, D năm 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a.Cạnh bên bằng a 2. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SD, DC.Chứng minh rằng MN  SP . 127
  21. Bài 4. Cho hình chóp S.ABC trong đó đáy ABC là tam giác vuông tại C, hai mặt bên (SAC) và (SAB) cùng vuông góc với đáy. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB. Chứng minh (SAB)  (ADE) . Bài 5. Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Đoạn SA cố định vuông góc với (P) tại A, M và N là hai điểm tương ứng di động trên các cạnh BC và CD. Đặt BM = u, DN = v. Chứng minh rằng a(u + v) = a 2 u2 là điều kiện cần và đủ để (SAM)  (SMN). Bài 6. Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Hai nửa đường thăng Bx và Dy vuông góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P), M và N là hai điểm di động tương ứng trên Bx, Dy. Đặt BM = u, DN = v. a. Tìm mối liên hệ giữa u, v để (MAC)  (NAC) b. Giả sử ta có điều kiện ở câu 1, chứng minh (AMN)  (CMN) . Đáp số: a. (MAC)  (NAC) 2uv = a Bài 7. (ĐH khối A năm 2003) Cho hình hộp chữ nhật ABCD,A’B’C’D’ đáy là hình vuông a ABCD cạnh a, AA’ = b. Gọi M là trung điểm của CC’. Xác định tỷ số để hai mặt phẳng b (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau. Bài 8. Cho hình chóp tam giác S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh hai mặt phẳng (SAI) và (SBC) vuông góc với nhau. Bài 10. (ĐH Khối B năm 2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD, A’D’. Chứng minh MP  C ' N. 2.2. Bài toán về khoảng cách 2.2.1. Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Cách 1. Phương pháp tính trực tiếp Tìm hình chiếu H của A lên mặt phẳng (P). Khi đó, AH = d(A; (P)). Để tìm hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng (P) có 2 phương pháp thường dùng: Phương pháp 1: Dựng đường thẳng Δ qua A và Δ  (P) (nếu có), khi đó H  (P) Phương pháp 2: Dựng mặt phẳng (Q) qua A và (Q)  (P), gọi Δ là giao tuyến của (P) và (Q), từ A hạ AH  Δ tại H. Khi đó, H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P). Cách 2. Phương pháp tính gián tiếp Việc tính gián tiếp thông qua điểm khác dựa vào các tính chất hình học sau: a) Nếu đường thẳng Δ qua A và Δ // (P) thì d(A; (P)) = d(B; (P)) với B . AI d(A;(P)) b) Nếu Δ qua A cắt mặt phẳng (P) tại I, khi đó B A , ta có: . BI d(B;(P)) c) Mặt phẳng (Q) qua A và (Q) // (P) thì d(A; (P)) = d(B; (P)) với B (Q) . 128
  22. Cách 3. Để tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P), ta có thể dựa vào công thức tính thể tích khối chóp với đỉnh là A và đáy nằm trên mặt phẳng (P) có diện tích S. Khi đó, 3V d(A;(P)) . S Cách 4. Dựa vào bài toán cơ bản: Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc 1 1 1 1 với nhau. Kẻ OH  (ABC) . Khi đó, . OH 2 OA2 OB2 OC 2 Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD), SA a 3 , gọi G là trọng tâm ΔSAB. Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SAC). Lời giải Lời giải 1: Tính trực tiếp Tìm hình chiếu H của G lên mặt phẳng (SAC).  Phân tích lời giải: Việc tìm một đường thẳng qua G và  mặt phẳng (SAC) là rất khó. Vậy, để tìm hình chiếu H của A lên mặt phẳng (SAC) ta dùng cách 2: Dựng mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với mặt phẳng (SAC).  Cách dựng mặt phẳng (P): Vì SA  (ABCD) nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P). SG cắt AB tại E nên từ E hạ EF  AC EF  (SAC) (SEF)  (SAC) (SEF)  (P). 2 1 a 2 Từ G hạ GH  SF tại H GH = d(G; (SAC)). Ta có GH EF BO . 3 3 6 Lời giải 2: Tính gián tiếp ES 2 2 2 a 2 Nhận xét: EG cắt (SAC) tại S và d(G;(SAC)) = d(E;(SAC)) EF . GS 3 3 3 6 BN 1 1 a 2 GB cắt SA tại N và 3 d(G;(SAC)) d(B;(SAC)) BO GN 3 3 6 Từ G dựng đường thẳng Δ song song với SA cắt AB tại P. Từ P hạ PJ  AC tại J PJ = a 2 d(P;(SAC)) = d(G;(SAC)) . 6 3VGSAC 1 VSABC Ta có d(G;(SAC)) . Ta có VGSAC VBASC d(G;(SAC)) S ASC 3 S ASC 1 a3 3 1 a2 2 a 2 V SA.S , S SA.AC d(G;(SAC)) . SABC 3 ABC 2 ASC 2 6 6 129
  23. Ví dụ 2. (Trích đề thi ĐH khối D – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2 3a , S· BC 30o . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.  Lời giải 1: 3 SH 3a, HB = 3a, HC = a. Từ H hạ HI  AC tại I HI a. 5 Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên SI HK = d(H;(SAC)) 3a 6a HK = d(B;(SAC)) = 4.HK = . 2 7 7  Lời giải 2: 3 Ta dễ dàng tính được VSABC 2 3a . Lại có SB  AB SA SB2 BA2 a 21. CA = 5a; SC = SH 2 CH 2 2a. Từ đó ta tính được S SAC p( p SA)( p CA)( p SC) a 7 21 Trong đó, p S 21a. 2 SAC 3V 6a Vậy d(B;(SAC)) = SABC . S SAC 7 Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA a, SA  (ABCD). Tính khoảng cách giữa SB và AC. Lời giải 1: Trong mặt phẳng (ABCD) dựng qua B song song với AC. Đặt (P) = ( , SB). Khi đó, AC // (P) và d(AC; SB) = d(AC; (P)) = d(A; (P)). Từ A hạ AI  tại I; Từ A hạ AH  SI tại H suy ra AH = a a 3 d(A; (P)). Ta có AI = AH . 2 3 Lời giải 2: Dựng hình bình hành ABEC. Ta có VSABC = VSBEC ; AC // BE AC // (SBE) 130
  24. 3V d(AC; SB) = d(AC; (SBE)) = d(A; (SBE)) = SABC S SBE Ta có: BE = AC = a 2 , SB = a 2 , AE a 3, SE a 6. 2 2 2 6 a 6 2 2 6 S SBE a. . a 2 2 2 a2 a2 3 = 6 2 2 6 . 2 2 6 . 4 3 3 1 1 a 3VSABC a 3 VSABC SA BA.BC d(A;(SBE)) . 3 2 6 S SBE 3 Lời giải 3: AC  BD O, I là trung điểm của SD. 3 .V 3V SABC d(AC; SB) = d(SB; (ACI)) = d(B; (ACI) BACI 2 . S ACI S ACI a2 3 a 3 Tính dt : Ta có S d(AC;SB) . ACI ACI 4 3 Bài tập tự luyện Bài 1. (Trích đề thi khối A – 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm h thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 o. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. a 42 Đáp số: d(BC; SA) . 8 Bài 2. (ĐH khối D năm 2002) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), ngoài ra AD = AC = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tìm khoảng cách từ A đến (BCD). 6 34 Đáp số: 17 Bài 3. (ĐH khối D năm 2008) Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông có BA = BC = a, cạnh bên AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C. a 7 Đáp số: d(AM , B'C) 7 2.2.2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Cách 1: Dựng và tính độ dài đường vuông góc chung. 131
  25. Cách 2: Dựng mặt phẳng (P) chứa 1 và song song với 2 . Khi đó, khoảng cách giữa 1 và 2 bằng khoảng cách từ 2 đến mặt phẳng (P) và bằng khoảng cách từ A 2đến mặt phẳng (P). Ví dụ 1. (Đề thi tuyển sinh ĐH khối A – 2006) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN. Lời giải: Ta có BC // MN A' MN // (A’BC) D' d(MN,A’C) = d(MN,(A’BC)) = d(M,(A’BC)) (1) B' Ta có AI  A'B ( AB'  A'B = I) C' I A Lại có BC  (BAA'B') BC  AI H D Từ đó AI  (A'BC) . M N Vì thế nếu kẻ MH // AI (H A'B) B C 1 a 2 thì MH  (A'BC) và d(M,(A'BC)) = MH = AI = (2) 2 4 2 Từ (1), (2) suy ra d(MN,A'C) = 4 Ví dụ 2. Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a = 6 2 cm. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD. Lời giải: A Gọi M và N tương ứng là các trung điểm của AB và CD. Do ABCD là tứ diện đều, nên ta có CM  AB và DM  AB M AB  (MCD) AN  MN B Lý luận tương tự ta có: CD  (ANB) CD  MN. D Vậy MN là đường vuông góc chung của AB và CD. N 6 2. 3 Ta có: MC = MD = 3 6 . C 2 Vậy MN 2 MC 2 CN 2 (3 6)2 (3 2)2 36 MN 6cm Bài tập tự luyện Bài 1. (ĐH khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, AC theo a. a 2 Đáp số: d(MN, AC) 4 Bài 2. (ĐH khối B năm 2002) Cho hình lập phương ABCD.A 1B1C1D1 cạnh a. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D. a 6 Đáp số: d(A B, B D) 1 1 6 132
  26. Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có SA = 3a, SA  (ABCD) .Giả sử AB = AC = 2a, · 0 ABC 120 . Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). 3a Đáp số: d(A,(SBC)) = 2 Bài 4. (ĐH khối A năm 2004) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 5 , đường chéo AC = 4, SO = 2 2 và SO  (ABCD), với O là giao điểm của AC và BD. Gọi M là trung điểm cạnh SC. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM. 2 6 Đáp số: d(SA, BM) = 3 Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC. Đáp số: a 2 Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = h và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SC và AB. 133