Luyện thi THPT môn Toán - Chuyên đề 6: Tích phân và ứng dụng của tích phân - Vũ Tuấn Anh

Nội dung text: Luyện thi THPT môn Toán - Chuyên đề 6: Tích phân và ứng dụng của tích phân - Vũ Tuấn Anh

1. CHUYÊN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1. Kiến thức liên quan 1.1. Công thức nguyên hàm cơ bản Nguyên hàm của hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng dx x C a.dx ax C, a ¡ x 1 1 (ax b) 1 x dx C, 1 (ax b) dx . C 1 a 1 dx dx 1 ln x C, x 0 .ln ax b C x ax b a x x 1 e dx e C eax bdx .eax b C a a x 1 a x  a xdx C a x  dx . C ln a ln a 1 cos xdx sin x C cos(ax b)dx .sin(ax b) C a 1 sin xdx cos x C sin(ax b)dx .cos(ax b) C a 1 1 1 dx tan x C dx tan(ax b) C cos2 x cos2 (ax b) a 1 1 1 dx cotx C dx cot(ax b) C sin2 x sin2 (ax b) a 1.2. Công thức tích phân F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì b f (x)dx F(x) b F(b) F(a) a a 1.3. Phương pháp đổi biến số b 1.3.1. Dạng 1 : Tính I = f  (x) ' (x)dx a + Đặt t = (x) dt ' (x).dx + Đổi cận : x a b (b) I = t (a) (b) (b) f (t).dt F(t) (a) (a) b 1.3.2. Dạng 2 : Tính I = f (x)dx bằng cách đặt x = (t) a Dạng chứa a2 x2 : Đặt x = asint, t ; (a>0) 2 2 1.4. Phương pháp tích phân từng phần 87
2. b b b * Công thức tính : f (x)dx udv uv b vdu a a a a u du dx (lay dao ham) Đặt dv v (lay nguyen ham) Ta thường gặp hai loại tích phân như sau: * Loại 1: b P(x).sin f (x).dx a b P(x).cos f (x).dx u P(x) , trong đó P(x) là đa thức bậc n. a b P(x).e f (x).dx a b *Loại 2: P(x).ln f (x).dx u ln f (x) a 1.5. Tính chất tích phân b b Tính chất 1: kf (x)dx k f (x)dx , k: hằng số a a b b b Tính chất 2:  f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx a a a b c b Tính chất 3: f (x)dx f (x)dx f (x)dx (a c b) a a c 1.6. Diện tích hình phẳng 1.6.1. Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là: b S f (x) dx (*) a Lưu ý:  f (x) 0 vô nghiệm trên (a;b) thì b b S f (x) dx f (x)dx a a  f (x) 0 có 1 nghiệm c (a;b) thì b c b S f (x) dx f (x)dx f (x)dx a a c 1.6.2. Dạng 2: Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f1(x), f2(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là: 88
3. b S f (x) f (x) dx ( ) 1 2 a Lưu ý: Khử dấu giá trị tuyệt đối của công thức ( ) thực hiện tương tự đối với công thức (*). 1.7. Thể tích vật thể tròn xoay Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là: b V f 2 (x)dx a Lưu ý: Diện tích, thể tích đều là những giá trị dương. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính các tích phân sau 1 1 1/ A (2x+ex )dx 2 / B 2x ex 3 dx 3 / C sinx+cos x dx 0 0 0 4 x2 2 x 3 4 / D dx 5 / E x sin 2x dx 3 1 x 0 Lời giải 1 1 1 1 1 1/ A 2x ex dx 2xdx exdx x2 ex 1 0 e 1 e 0 0 0 0 0 1 1 1 1 x x 1 x x x x 2e 2 2e 1 3 2 / B 2 e 3 dx 2e dx 3 2 dx 3 0 0 0 ln 2e ln 2 ln 2e ln 2 0 0 3 / C sinx cos x dx sinxdx cos xdx cos x sin x 2 0 0 0 0 0 4 4 5 3 4 1 x 3 1 3 4 2 3 2 4 4 / D dx x 2 3x dx ln x x 2 x x x3 x3 x 1 3 2 1 1 1 1 1 1 2 5 / E x sin 2x dx xdx sin 2xdx x2 cos2x 0 0 0 2 0 2 0 2 Ví dụ 2. Tính các tích phân sau 6 1 2x 1 1/ I x x 3dx 2 / J dx 1 0 1 3x 1 e 1 2ln x 1 ln 2 1 3 / K dx 4 / L x x dx x x ln x 1 2e 1 1 0 Lời giải 6 1/ I x x 3dx 1 Đặt x 3 t ta được x 3 t 2 dx 2tdt 89
4. Đổi cận: x 1 t 2; x 6 t 3 3 3 4 2 2 5 3 232 Khi đó I 2t 6t dt t 2t 2 5 2 5 1 2x 1 2 / J dx 0 1 3x 1 t 2 1 2 Đặt 3x 1 t ta được x dx tdt 3 3 Đổi cận x 0 t 1; x 1 t 2 2 3 2 2 2t t 2 2 3 28 2 3 Khi đó J dt 2t 2t 3 dt ln 9 1 1 t 9 1 t 1 27 3 2 e 1 2ln x 1 3 / K dx 1 x x ln x 1 e 1 TínhK dx ta được kết quả K 2 e 1 1 1 1 x dx Đặt ln x t ta được dt x Đổi cận x 1 t 0; x e t 1 1 2t 1 1 Khi đó K dt 2t ln t 1 2 ln 2 2 0 0 t 1 Vậy ta được K K1 K2 2 e ln 2 ln 2 1 4 / L x dx x 0 2e 1 ln 2 1 TínhL xdx ta được kết quả I ln2 2 1 0 2 ln 2 1 TínhL dx 2 x 0 2e 1 Đặt ex t ta được exdx dt Đổi cận x 0 t 1; x ln 2 t 2 2 dt 2 5 6 Khi đó L lnt ln 2t 1 ln 2 ln ln 2 1 1 t 2t 1 3 5 1 6 Vậy ta được L L L ln2 2 ln 1 2 2 5 Ví dụ 3. Tính các tích phân sau 4 1 1/ I 1 sin3 x cos xdx 2 / J dx 3 / K sinx x sin xdx 2 4 0 sin xcos x 0 6 Lời giải 90
5. 2 1/ I 1 sin3 x cos xdx 0 Đặt sin x t dt cos xdx Đổi cận x 0 t 0; x t 1 2 1 1 4 3 t 3 Khi đó I 1 t dt t 4 4 0 0 4 1 2 / J dx 2 4 sin xcos x 6 1 Đặtcot x t dt dx sin2 x Đổi cận x t 3; x t 1 6 4 2 3 3 1 3 2 1 2 1 8 3 4 Khi đó J 1 dt 1 dt t 2 2 4 3 1 t 1 t t t 3t 1 27 3 3 / K sinx x sin xdx sin2 xdx xsin xdx 0 0 0 1 cos2x 1 Đặt K sin2 xdx dx 1 0 0 2 2 K xsin xdx 2 0 u x du dx dv sin xdx v cos x K xcos x cos xdx sinx 2 0 0 0 * Chú ý: Ta thường đặt t là căn, mũ, mẫu. - Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất. - Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số. - Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t = căn thức. dx - Nếu tích phân chứa thì đặt t ln x . x - Nếu tích phân chứa ex thì đặt t ex . dx - Nếu tích phân chứa thì đặt t x . x dx 1 - Nếu tích phân chứa thì đặt t . x2 x 91
6. - Nếu tích phân chứa cos xdx thì đặt t sin x . - Nếu tích phân chứa sin xdx thì đặt t cos x . dx - Nếu tích phân chứa thì đặt t tan x . cos2 x dx - Nếu tích phân chứa thì đặt t cot x . sin2 x Ví dụ 3. Tính các tích phân 2 e 1 a) I xsin xdx b) J xln xdx c) K xexdx 0 1 0 Lời giải 2 a) I xsin xdx 0 u x du dx  dv sin xdx v cos x 2  I xcos x 2 cos xdx 0 0 sinx 2 1 0 0 0 e b) J xln xdx 1 1 du dx u ln x x  dv xdx x2 v 2 e e e x2 e x x2 x2 e2 1  J ln x dx ln x 2 1 1 2 2 1 4 1 4 1 c) K xexdx 0 u x du dx  x x dv e dx v e 1 1 1  K xex exdx e ex 1 0 0 0 Ví dụ 4. Tính các tích phân sau 2 1 x2 ln 4 1 2 x2 1 1/ I x2 dx 2 / J ex dx 3 / K ln xdx 3 x 2 1 x x 0 e 2 1 x 92
7. Lời giải 2 1 x2 2 2 1 x2 1/ I x2 dx x2dx dx 3 2 1 x x 1 1 x x 2 1 2 7 Tính I x2dx x3 1 3 3 1 1 1 1 2 2 2 1 2 d x 2 1 x x2 x 1 4 I2 3 dx dx dx ln x ln x x 1 1 x 5 1 1 x 1 x 1 x x 7 4 Vậy I I I ln 1 2 3 5 ln 4 1 ln 4 ln 4 1 2 / J ex dx exdx dx x x 0 e 2 0 0 e 2 ln 4 ln 4 J exdx ex 3 1 0 0 ln 4 1 2 J dx; t ex t 2 ex 2tdt exdx dx dt 2 x 0 e 2 t 2 2 2 t 3 J dt ln ln 2 1 t t 2 t 2 1 2 3 Vậy J J J 3 ln 1 2 2 2 x2 1 3 / K ln xdx 2 1 x 1 u ln x du dx 2 2 x 1 1 1 Đặt x2 1 K x ln x x dx 1 x x x dv 2 dx 1 1 x v x x 2 2 1 1 5 3 K x ln x x ln 2 x x 2 2 1 1 Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau a) y x2 , trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=2. b) y x2 , y 2x 3 và hai đường thẳng x =0, x=2. c) y x2 , y x 2 Lời giải a) y x2 , trục hoành và hai đường thẳng x= 0, x=2. 93
8.  Trên [0; 2] ta có x2 0 x 0 [0;2]  Diện tích của hình phẳng đã cho: 2 1 2 8 S x2 dx x3 0 3 0 3 2 b) Đặt f1(x) x , f2 (x) 2x 3 2 2 x 1 [0;2] Ta có: f1(x) f2 (x) 0 x ( 2x 3) 0 x 2x 3 0 x 3[0;2]  Diện tích hình phẳng đã cho 2 S | x2 2x 3 | dx 0 1 2 (x2 2x 3)dx (x2 2x 3)dx 0 1 1 2 3 3 x 2 x 2 x 3x x 3x 3 3 0 1 1 8 1 5 7 2 4 6 1 3 4 3 3 3 3 3 2 2 x 1 c) Ta có: x (x 2) 0 x x 2 0 x 2 Diện tích hình phẳng 2 2 3 2 2 x x 8 1 1 9 S | x x 2 | dx 2x 2 4 2 3 2 3 3 2 2 1 1 Ví dụ 6. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình (D) quanh trục Ox biết (D) giới hạn bởi y 1 x2 , y 0 Lời giải  Ta có: 1 x2 0 x 1 b  Áp dụng công thức: V f 2 (x)dx a 1 1 1 3 5 2 2 2 4 2x x  Ta có: V (1 x ) dx 1 2x x dx x 3 5 1 1 1 2 1 2 1 4 2 16 1 1 2 3 5 3 5 3 5 15 Bài Tập tự luyện Bài 1: Tính các tích phân sau 94
9. 1 e 1 1 2 1.(x3 x 1)dx 2. (x x2 )dx 3. x 1dx 2 0 1 x x 1 2 1 1 4. (2sin x 3cosx x)dx 5. (ex x)dx 6. (x3 x x)dx 0 0 3 2 2 1 1 7. ( x 1)(x x 1)dx 8. (3sin x 2cosx )dx 9. (ex x2 1)dx 1 x 0 3 2 3 e 7x 2 x 5 2 10. (x3 1).dx 11. dx 12. x(x 3)dx 1 1 x 2 4 2 1 1 2 x2 2x 13. (x2 4)dx 14. dx 15. dx 2 3 3 3 1 x x 1 x 8 1 16. 4x dx 3 2 1 3 x Bài 2: Tính các tích phân sau 2 6 1 1. sin3 xcos2 xdx 2. 1 4sin xcosxdx 3. x x2 1dx 0 0 3 1 1 x2 1 x 4. x 1 x2 dx 5. dx 6. dx 3 2 2 0 0 x 1 0 (1 3x ) 2 2 1 7. esin xcosxdx 8. sin 2x(1 sin2 x)3dx 9. x5 (1 x3 )6dx 0 0 4 6 cos x 9 x 6 12. dx 11. dx 12. 1 4sin x.cos xdx 2 0 6 5sin x sin x 4 x 1 0 1 e e 2 1 ln x sin(ln x) 13. ex 2 xdx 14. dx 15. dx 0 1 x 1 x 1 1 8 1 16. x x 1dx 17. x2 x3 5dx 18. dx 2 0 0 3 x x 1 ln 5 dx 1 3 sin x 19. 20. e xdx 21. dx x x 3 ln 3 e 2e 3 0 0 cos x 1 1 1 1 1 22. 1 x2 dx 23. dx 24. dx 2 2 0 0 4 x 0 1 x 95
10. Bài 3: Tính các tích phân sau 2 1 2 1. xcos2 xdx 2. ex sin xdx 3. (2x 1)cosxdx 0 0 0 1 e 2 4. xexdx 5. xln xdx 6. (x2 1)sin xdx 0 1 0 2 2 1 7. (x cos2 x)sin xdx 8. e2x sin3xdx 9. (x 2)e2xdx 0 0 0 1 e 2 10. xln(1 x2 )dx 11. (2x 2)ln xdx 12. x cos x dx 0 1 0 2 1 13. (2x 7)ln(x 1)dx 14. (x 2)e2xdx 0 0 Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 1 2 a) y x3 x2 , trục hoành, x = 0 và x = 2. 3 3 b) y x2 1, x 1, x 2 và trục hoành. c) y x3 12x, y x2 d)y x3 1 và tiếp tuyến của nó tại điểm có tung độ bằng -2. e) y x2 4x, y 0, x 0, x 3 3 f) y sinx, y=0, x=0, x= 2 g) y ex , Ox, x 0, x 3 Bài 5: Tính thể tích vật tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành: a) y x2 4x, y 0, x 0, x 3 b) y cos x, y 0, x 0, x c) y tan x, y 0, x 0, x 4 d) y 2 x2 , y 1 1 e) y ln x, x , x e, y 0 e 96