Một số sai lầm học sinh thường mắc phải khi giải toán và cách khắc phục - Trường THCS Ngô Sĩ Liên

Nội dung text: Một số sai lầm học sinh thường mắc phải khi giải toán và cách khắc phục - Trường THCS Ngô Sĩ Liên

1. TRƯỜNG THCS NGÔ SĨ LIÊN TỔ TỰ NHIÊN 1 MỘT SỐ SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG MẮC PHẢI KHI GIẢI TOÁN VÀ CÁCH KHẮC PHỤC A. BÀI TOÁN RÚT GỌN VÀ CÁC CÂU HỎI LIÊN QUAN TT Dạng bài Sai sót Cách giải đúng 1) Tìm x để biểu thức P ≥ a hoặc P ≤ a, P > a, P < a 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 Ví dụ 1: Cho P = Sai sót 1: 1 2 x 1 x 1 1 0 x 1 x 1 x 1 x 1 với x ≥ 0, x ≠ 1. x 0 x 0 2 x x 0 0 Tìm x để biểu thức P ≥ 1 Sai sót 2: x 1 x 1 (do x 0) 2 x 1 2 x 1 x 1 x 0 1 0 x 1 x 1 x 1 2 x 0 x 1 (dox 0 ) x ≥ 1 x 1 x 1 2 4 x 1 4 Điều kiện để A có nghĩa là: Ví dụ 2: Cho A = Sai sót 1: A A x 1 3 9 x 1 9 x 1 0 x 1 0 x 1 (1) 13 169 với x ≥ 0, x ≠ 4. x 0 x x 1 5 25 2 Tìm x để biểu thức A 2 4 x 1 4 3 2 4 x 1 4 A A Sai sót 2: A A 3 9 x 1 9 3 9 x 1 9
2. 13 169 x x (2) 5 25 13 169 x x 5 25 Mà x ≥ 0, x ≠ 4 (3) 169 169 Mà x ≥ 0, x ≠ 4 0 ≤ x ≤ Từ (1)(2)(3) 1 x ; x 4 25 25 Các bài tập tương tự x x 6 x 9 x 1 Bài 3: Tìm x để P = 0 Bài 4: Tìm x để P = 0 Bài 5: Tìm x để P = 2 với x 1 x 1 x x ≥ 0, x ≠ 1 2) Tìm giá trị của tham số để phương trình hoặc bất phương trình có nghiệm 1 1 Ví dụ 1: Biết A = x x Sai sót 1: x x m x x m 4 4 1 1 với x ≥ 0, x ≠ 1. x x m x x m 2 1 1 4 4 x m Tìm m để A = m có nghiệm x. 2 2 4 1 1 x m 2 4 2 1 1 Vì x 0 x 2 2 4 1 Vì x 0 2 2 1 1 x 0 m 0 2 2 4 1 1 1 1 x m 2 4 4 4 Vì x ≠ 1 x 1 Sai sót 2: x x 2 m 2 Vậy m ≥ 0; m ≠ 2
3. 1 1 x x m x x m 4 4 2 1 1 x m 2 4 2 1 1 Vì x 0 x 2 4 2 1 1 x 0 m 0 2 4 x x x x Sai sót 2: Ví dụ 2: Biết A = m x (1 3m) x m 0 (1) 3 x 1 3 x 1 x x m 1 1 3 x 1 với x ≥ 0, x ≠ . Đặt t = x t 0, t 9 9 x (1 3m) x m 0 (1) Tìm m để A = m có nghiệm x. (1) t2 + (1 – 3m)t + m = 0 (2) 1 Đặt t = x t 0, t = (1 – 3m)2 – 4m 9 Sai sót 1: (1) t2 + (1 – 3m)t + m = 0 (2) (1) có nghiệm khi (2) có nghiệm Vì a = 1 ≠ 0 (2) luôn là pt bậc 2. 2 = (1 – 3m) – 4m ≥ 0 = (1 – 3m)2 – 4m = (m – 1)(9m – 1) 1 m (1) có nghiệm khi (2) có nghiệm ít (m – 1)(9m – 1) ≥ 0 9 1 m 1 nhất một nghiệm t 0 và t 9 Sai sót 2: TH1: Phương trình (2) có nghiệm (1) có nghiệm khi (2) có nghiệm cùng t = 0 m = 0
4. không âm TH2: Phương trình (2) có nghiệm kép 2 1 = (1 – 3m) – 4m ≥ 0 t 0, t 9 1 m (m – 1)(9m – 1) ≥ 0 9 = 0 (m – 1)(9m – 1) = 0 m 1 Khi đó, phương trình có 2 nghiệm t1, t2 1 m t t 0 9 1 2 3m 1 0 Vì t 0 m 1 t t 0 m 0 1 2 1 4 Với m t (Không TMĐK) 1 9 3 m ( ). Kết hợp (*) và ( ) m ≥ 1 3 Với m = 1 t = 1 (TMĐK) Sai sót 3: Phương trình có ít nhất 1 nghiệm TH3: Phương trình (2) có hai nghiệm không âm 1 trái dấu và t TH1: Phương trình (2) có nghiệm kép t ≥ 0 3 = 0 (m – 1)(9m – 1) = 0 ac 0 1 2 m 1 1 9 (1 3m). m 0 3 3 m 1 m 0 1 4 m 0 Với (Không TMĐK) 4 m t 0 9 3 9 Với m = 1 t = 1 (TMĐK) TH3: Phương trình (2) có hai nghiệm TH2: Phương trình (2) có hai nghiệm trái phân biệt cùng dương dấu ac < 0 m < 0 (m 1)(9m 1) 0 1 TH3: Phương trình (2) có hai nghiệm phân 1 3m 0 0 m 9 biệt cùng dương m 0
5. (m 1)(9m 1) 0 1 1 Kết hợp lại 0 m hoặc m = 1 1 3m 0 0 m 9 9 m 0 1 Kết hợp lại 0 m hoặc m = 1 9 Các bài tập tương tự 2x 6 x 2 x 1 x 1 Bài 3: Biết P = với Bài 4: Biết P = với x ≥ 0, x ≠ 1. Bài 5: Biết P = x 1 x 1 x 1 x ≥ 0, x ≠ 1. Tìm m để mP x 2 có nghiệm x với x ≥ 0, x ≠ 1. Tìm m để P = m có nghiệm x Tìm m để ( x 1)P m x có nghiệm x B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL TT Dạng bài Sai sót Cách giải đúng 1) Tìm m thỏa mãn số nghiệm của phương trình Ví dụ 1: Cho phương trình Sai sót 1: Phương trình có hai nghiệm Phương trình có hai nghiệm 2 2 2 2 x – 2mx + m – m + 3 = 0 x1; x2 ’ > 0 m – (m – m + 3) > 0 x1; x2 Tìm m để phương trình có hai m > 3 ’ ≥ 0 m2 – (m2 – m + 3) ≥ 0 Sai sót 2: Phương trình có hai nghiệm m ≥ 3 nghiệm x1, x2 và tìm giá trị x x 2m 2 2 x1; x2 ’ ≥ 0 m ≥ 3 1 2 nhỏ nhất của A = x x Theo Viet ta có: 1 2 x x 2m 2 1 2 x x m m 3 Theo Viet ta có: 1 2 2 x x m m 3 1 2 A = x2 x2 (x x )2 2x x 1 2 1 2 1 2 A = x2 x2 (x x )2 2x x 1 2 1 2 1 2
6. 2 2 1 13 1 13 = = 2 m = = 2 m 2 4 2 4 2 2 2 1 1 13 13 1 49 Vì m 0 2 m Vì m ≥ 3 m 2 2 4 2 2 4 2 13 1 1 13 A m 2 m 16 min 2 2 2 4 A 16 m 3 min Ví dụ 2: Cho phương trình Sai sót 1: Phương trình chỉ có 1 nghiệm Xét: m + 1 = 0 m = –1 (m +1)x2 – 2(m–1)x+m+3 = 0 x 0 Khi đó ta được phương trình: Tìm m để phương trình có 1 phương trình có hai nghiệm trái dấu –2(m – 1)x + m + 3 = 0 4x + 2 = 0 nghiệm x 0 TH2: P.trình có hai nghiệm trái dấu phương trình có hai nghiệm trái dấu ac < 0 (m + 1)(m + 3) < 0
7. ac 0 với mọi ’ = (m – 1)2 + m + 3 = m2 – m + 4 m phương trình có hai nghiệm phân biệt m tất cả các giá trị của m để Dễ dàng chứng minh được ’ > 0 với với mọi m. mọi m phương trình có hai nghiệm phương trình có hai nghiệm Sai sót 1: Học sinh không lý luận đưa ra phân biệt với mọi m. phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 ≤ luôn: Phương trình có hai nghiệm Vì x1 ≤ 1 1 1 x = 1 12 + 2(m – 1).1 – m – 3 = 0 x (m 1) m2 m 4 1 2 m = 4 (*) x2 + 6m – 7 = 0 x (m 1) m2 m 4 1 1 x 7 1 m 4 (loại) x (m 1) m2 m 4 1 x 7 (KTM ) 2 2 2 TH2: Tìm m để x1 1 m m m 4 2 x1 – 1 0 m m 4 m 2 2 (x1 – 1)(x2 – 1) < 0 ( m) m m 4 m 4 m 4 2 2 m 4 x1x2 – (x1 + x2) + 1 < 0 m m 4 m x x 2(m 1) Sai sót 2: Vì x ≤ 1 < x x < x 1 2 1 2 1 2 Theo Viet: x x m 3 Phương trình có hai nghiệm: 1 2 (1)(2) –m – 3 + 2(m – 1) + 1 < 0
8. x (m 1) m2 m 4 m – 4 0 (x1 –1)(x2 – 1) ≤ 0 x1x2 – (x1 + x2) + 1 ≤ 0 x x 2(m 1) 1 2 Theo Viet: x x m 3 1 2 (1)(2) –m – 3 + 2(m – 1) + 1 ≤ 0 m – 4 ≤ 0 m ≤ 4 Các bài tập tương tự:
9. Bài 4:Tìm m để phương trình Bài 5: x2 + (m + 2)x – m – 4 = 0. Tìm tất cả Bài 6: Tìm m để phương trình (m + 1)x2 – 2mx + m + 2 = 0 các giá trị của m để phương trình có hai x4 – (2m – 1)x2 + 2m – 2 = 0 có hai có hai nghiệm phân biệt nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn nghiệm phân biệt x1 ≤ 0 < x2 (Đề thi thử vào lớp 10 năm học 2018 – (Đề khảo sát chất lượng môn Toán lớp 9 2019 của trường THCS và THPT năm học 2015 – 2016 của Phòng Giáo dục Lương Thế Vinh) và Đào tạo quận Hoàn Kiếm) 2) Quan hệ giữa đường thẳng và parabol Ví dụ 1: Cho đường thẳng Vẽ hình Vẽ hình (d): y = 2x + m 2 – 1 và Dễ dàng tìm được m ≠ 0 thì (d) cắt (P) tại Dễ dàng tìm được m ≠ 0 thì (d) cắt (P) parabol (P): 2 điểm phân biệt A, B tại 2 điểm phân biệt A, B 2 y = x (với m là tham số) Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ của A, B Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ của A, B trong mặt phẳng tọa độ Oxy Sai sót 1: Cách 1: ’ = m2 Không mất tính tổng a) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai HK = HO + OK quát, ta giả sử phương trình có hai điểm phân biệt A và B. x 1 m 1 HO = |x |; OK = |x | HK = |x | + |x | nghiệm b) Gọi H và K lần lượt là hình 1 2 1 2 x 1 m 2 chiếu vuông góc của A, B Sai sót 2: ’ = m2 Phương trình có hai x 1 m HK = |x – x | = |1 + m – 1 + m| trên trục hoành. Tìm m để độ 1 2 1 dài đoạn thẳng HK bằng 3 nghiệm x 1 m 3 2 = |2m| = 3 m = (đơn vị độ dài) 2 HK = x – x = 1 + m – 1 + m = 2m = 3 (Đề thi học kì II môn Toán 2 1 x x 2 1 2 lớp 9 năm học 2017 – 2018 3 Cách 2: Theo Viet: m = 2 của Phòng Giáo dục và Đào x x m 1 2 1 2 tạo quận Hoàn Kiếm)
10. HK = |x1 – x2| = 3 3 (x + x )2 – 4x x = 9 m = 1 2 1 2 2 Kết luận Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa Vẽ hình Vẽ hình 2 độ cho Parabol (P): y = x và Dễ dàng tìm được tọa độ giao điểm của Dễ dàng tìm được tọa độ giao điểm của đường thẳng (d): y = 2x + 3 (d) và (P) là (–1;1); (3;9) (d) và (P) là (–1;1); (3;9) a) Tìm tọa độ các giao điểm Sai sót 1: C(2;0) Vì C (P) C(2;4) của (d) và (P). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông b) Gọi A, B là giao điểm của góc của A, B trên trục hoành. góc của A, B trên trục hoành. (d) và (P). Lấy điểm C thuộc S S S S Parabol (P) có hoành độ bằng ABC ABKH AHC BKC H (–1;0); I(2;0); K(3;0) 2. Tính diện tích tam giác S S S S ABC. ABC ABKH AHIC BKIC Sai sót 2: Vì C (P) C(2;4) (Đề khảo sát chất lượng môn Gọi H, I và K lần lượt là hình chiếu vuông AH = |yA| = |1| = 1; Toán lớp 9 năm học 2017 – góc của A, C, B trên trục hoành. CI = |yC| = |4| = 4; S S S S 2018 của trường THCS Ngô ABC ABKH AHIC BKCI BK = |yB| = |9| = 9; Sĩ Liên – Hoàn Kiếm) Không lý luận, đưa ra luôn kết quả HI = |xI – xH| = |2 – (–1)| = 3; (1 9).4 (4 9).1 (1 4).3 IK|xK – xI| = |3 – (–1)| = 4; S 6 ABC 2 2 2 Lý luận chứng minh ABHK, AHIC, (đvdt) BKIC là các hình thang vuông (1 9).4 (4 9).1 (1 4).3 S 6 ABC 2 2 2
11. (đvdt) Các bài tập tương tự Bài 3: Cho đường thẳng (d): y Bài 4: Cho đường thẳng (d): y = mx+m+1 Bài 5: Cho đường thẳng (d) đi qua I(0;2) 2 1 = x – m + 1 (với m là tham số) và parabol (P): y = x (với m là tham số) có hệ số góc m và parabol (P): y = x 2 2 1 và parabol (P): y = x 2 trong trong mặt phẳng tọa độ Oxy 2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy a) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm m a) Chứng minh (d) cắt (P) tại hai điểm biệt A(xA; yA) và B(xB; yB). để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x ; y ) và B(x ; y ). b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông A A B B phân biệt A(x ;y ) và B(x ;y ) b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu 1 1 2 2 góc của A, B trên trục hoành. Tìm m để độ sao cho một trong hai giao vuông góc của A, B trên trục hoành. Tính dài đoạn thẳng HK bằng 4 (đơn vị độ dài) điểm có hoành độ lớn hơn 1 diện tích tam giác HIK. c) Tìm m để |xA| + |xB| = 4. và y1 + y2 = 4(x1 + x2)