Tài liệu ôn thi môn Toán vào Lớp 10 THPT - Ngô Thị Bích Liên

86 trang thaodu 2790

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu ôn thi môn Toán vào Lớp 10 THPT - Ngô Thị Bích Liên", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tai_lieu_on_thi_mon_toan_vao_lop_10_thpt_ngo_thi_bich_lien.doc

Nội dung text: Tài liệu ôn thi môn Toán vào Lớp 10 THPT - Ngô Thị Bích Liên

TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN ChỦ ĐỀ 1: BÀI TẬP C¨n thøc vµ biÕn ®æi c¨n thøc D¹ng 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc cã chøa c¨n thøc cã nghÜa. Bµi 1: T×m x ®Ó c¸c biÓu thøc sau cã nghÜa.( T×m §KX§ cña c¸c biÓu thøc sau). 1 1) 3x 1 2) 5 2x 3) 4) 2x 1 5) x2 3 7x 14 3 x 1 6) x2 2 7) x2 3x 7 8) 2x2 5x 3 9) 10) 7x 2 x2 5x 6 x 3 1 3x 1 11) 12) 13) 14) 6x 1 x 3 7 x x 3 5 x 2x x2 D¹ng 2: BiÕn ®æi ®¬n gi¶n c¨n thøc. Bài 1. Thực hiện phép tính 1/ 3 1 3 1 2/ 2 3 . 2 3 3/ 2 5 2 5 4/ 3 2 . 3 2 5/ 5 2 2 . 5 2 2 6/ 3 2 2 3 . 3 2 2 3 2 2 2 7/ 3 2 2 3 8/ 5 2 2 9/ ( 6 5) 120 2 2 2 2 10/ ( 5 3) ( 5 2) 11/ ( 14 3 2) 6 28 12/ (2 3 3 2) 2 6 3 24 Bài 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1) 12 27 2) 6 12 20 2 27 125 3) 2 3 75 2 12 147 4) 3 2 8 50 4 32 5) 27 2 3 2 48 3 75 6) 3 2 4 18 32 50 7) 20 2 45 3 80 125 8) 3 8 4 18 2 50 9) 75 48 300 10) 20 2 45 3 80 320 11) 12 27 108 12) 4 24 2 54 3 6 150 2 18 3 80 5 147 5 245 3 98 13) 3 112 7 216 4 54 2 252 3 96 14) Bài 3: Tính 1/ 4 2 3 4 2 3 2/6 2 5 29 12 5 3/ 9 2 14 9 2 14 4/ 11 6 2 11 6 2 5/ 94 42 5 94 42 5 6/ 14 8 3 24 12 3 7/ 17 12 2 9 4 2 8/ 16 2 63 16 6 7 9/ 14 6 5 14 6 5 10/(3 10) 19 3 40 11/49 5 96 49 5 96 12/ 5 24 5 24 Bài 4: Tính a) ( 28 2 14 7) 7 7 8; c) 6 2 5 6 2 5; d) ( 8 3 2 10)( 2 3 0,4); e) 11 6 2 11 6 2 b) (15 50 5 200 3 450): 10; e) 3 5 2 7 3 5 2 7 f) 3 20 14 2 3; 20 14 2; h) 3 26 15 3 3 26 15 3 Bµi 5: Thùc hiÖn phÐp tÝnh. 2 3 6 216 1 14 7 15 5 1 5 2 6 8 2 15 a) ( )  b) ) : c) 8 2 3 6 1 2 1 3 7 5 7 2 10 Bµi 6: Thùc hiÖn phÐp tÝnh. Page 1
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN a) (4 15)( 10 6) 4 15 b) (3 5) 3 5 (3 5) 3 5 c) 3 5 3 5 2 d) 4 7 4 7 7 e) 6,5 12 6,5 12 2 6 Bµi 7: Rót gän c¸c biÓu thøc sau: 1 1 3 3 5 2 6 5 2 6 3 5 3 5 a) b) c) d) 7 24 1 7 24 1 3 1 1 3 1 1 5 6 5 6 3 5 3 5 Bµi 8: Rót gän biÓu thøc: a) 6 2 5 13 48 b) 4 5 3 5 48 10 7 4 3 Bµi 9: Rót gän biÓu thøc sau: a b b a 1 a a a a a) : , víi a 0, b 0 vµ a b. b) 1 1 , víi a 0 vµ a 1. ab a b a 1 a 1 a a 8 2a 4 a 1 2 3x2 6xy 3y2 c) ; d)  5a4(1 4a 4a2) e)  a 4 2a 1 x2 y2 4 Bµi 10: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 1 1 a) A x2 3x y 2y, khi x ;y 5 2 9 4 5 b) B x3 12x 8 víi x 3 4( 5 1) 3 4( 5 1); c) C x y, biÕt x x2 3 y y2 3 3; d) D 16 2x x2 9 2x x2 , biÕt 16 2x x2 9 2x x2 1. e) E x 1 y2 y 1 x2 , biÕt xy (1 x2 )(1 y2 ) a. Dạng 3: Giải phương trình: a) x 2 9 x 14 0 b) 2x 1 2 1 c) x 2 4x 4 2x 5 0 1 d) 5 12x 4 3x 2 48x 14 e) 4x 20 x 5 9x 45 4 f) x 1 x 2 1 3 D¹ng 4: Bµi to¸n tæng hîp kiÕn thøc vµ kü n¨ng tÝnh to¸n. x 3 Bµi 1: Cho biÓu thøc P x 1 2 a) Rót gän P. b) TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu x = 4(2 - 3 ). c) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P. a 2 a 2a a Bµi 2: XÐt biÓu thøc A 1. a) Rót gän A. b) T×m a ®Ó A = 2 a a 1 a c) BiÕt a > 1, h·y so s¸nh A víi A . d) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. 1 1 x Bµi 3: Cho biÓu thøc C 2 x 2 2 x 2 1 x 4 1 a) Rót gän biÓu thøc C. b) TÝnh gi¸ trÞ cña C víi x . c) TÝnh gi¸ trÞ cña x ®Ó C . 9 3 a a b Bµi 4: Cho biÓu thøc M 1 : 2 2 2 2 2 2 a b a b a a b Page 2
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN a 3 a) Rót gän M. b) TÝnh gi¸ trÞ M nÕu . c) T×m ®iÒu kiÖn cña a, b ®Ó M 0. c) T×m gi¸ trÞ l¬n nhÊt cña P. 2 x 9 x 3 2 x 1 Bµi 6: XÐt biÓu thøc Q . x 5 x 6 x 2 3 x a) Rót gän Q. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó Q 1. c) TÝnh c¸c gi¸ trÞ cña A nÕu a 20015 2 20014 . 3x 9x 3 x 1 x 2 Bµi 9: XÐt biÓu thøc M . x x 2 x 2 1 x a) Rót gän M. b) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó gi¸ trÞ t¬ng øng cña M còng lµ sè nguyªn. 15 x 11 3 x 2 2 x 3 Bµi 10: XÐt biÓu thøc P . x 2 x 3 1 x x 3 1 2 a) Rót gän P. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x sao cho P . c) So s¸nh P víi . 2 3 2 a 1 a 1 a 1 Bµi 11: Cho biÓu thøc: P . 2 2 a a 1 a 1 a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P > 0. 1 1 1 Bµi 13: Cho biÓu thøc: A 1 a) Rót gän A. b) T×m a ®Ó A 1 a 1 a 2 x 2 x 2 x 1 Bµi 14: Cho biÓu thøc: A . x 2 x 1 x 1 x a) Rót gän A b) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyen cña x sao cho A cã gi¸ trÞ nguyªn. a a 1 a a 1 a 2 Bµi 15: Cho biÓu thøc A : a a a a a 2 a) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó A cã nghÜa. b) Rót gän biÓu thøc A. c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó biÓu thøc A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. x x 1 x x 1 2 x 2 x 1 Bµi 16: Cho biÓu thøc: A : x x x x x 1 a) Rót gän A b) T×m x nguyªn ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn 1 1 x 1 Bµi 17: Cho biÓu thøc: A 2 víi x 0; x 1 x 1 x 1 x 1 Page 3
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN a) rót gän A b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A cã gi¸ trÞ nguyªn. x 2 x 1 x 1 Bµi 18: Cho biÓu thøc: A x ( víi x 0; x 1) x 1 x 1 6 a) Rót gän A b) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó nhËn gi¸ trÞ nguyªn. A Bµi 19. Cho biÓu thøc A x 2 2x2 1 x 8 a. Rót gän biÓu thøc A b. Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A = -3 Bµi 20: Cho biÓu thøc: A x2 2 x2 1 x2 2 x2 1 . a. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A cã nghÜa. b. TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x 2. 1 x 1 Bµi 21: Cho A : . a. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A cã nghÜa. b. Rót gän A. x2 x x x x x 1 1 x3 x Bµi 22: Cho B . x x 1 x x 1 1 x a. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó B cã nghÜa. b. TÜm x ®Ó B > 0. 2x 1 x 2x x x x x x 1 x Bµi 23: Cho biÓu thøc: E 1 . . 1 x 1 x x 2 x 1 a. T×m ®iÒu kiÖn ®Ó E cã nghÜa. b. Rót gän E. a3 b3 a 2 b 2 Bµi 24: Cho A ab : . 1 1 a b a b a. T×m ®iÒu kiÖn cña a, b ®Ó A cã nghÜa. b. Rót gän A. Bµi 25: Cho biÓu thøc: A x2 6x 9 x2 6x 9 . a. Rót gän A. b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó A = 1. x x2 2x x x2 2x Bµi 26: Cho biÓu thøc: A . x x2 2x x x2 2x a. T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña A. Rót gän A. b. T×m x ®Ó A 1 c. TÝnh gi¸ trÞ cña B nÕu a 6 2 5 2 a 3 b 6 ab Bµi 28. XÐt biÓu thøc A ab 2 a 3 b 6 ab 2 a 3 b 6 a. Rót gän A b 10 b. Cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc A sau khi ®· rót gän b»ng (b 10) . Cmr»ng a/b = 9/10 b 10 2 x 2 x 4x x 3 Bµi 29. XÐt biÓu thøc: P : 2 x 2 x x 4 2 x x a. Rót gän P b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P > 0, P < 0 c. T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó |P| = 1 Bµi 30. Cho biÓu thøc A 4x 9x2 12x 4 a. Rót gän A b. TÝnh giá trị A khi x = 2/7 Bµi 31. Cho biÓu thøc A 5x x2 6x 9 . a. Rót gän B b. TÝnh gi¸ trÞ cña x ®Ó B = -9 Page 4
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN 1 5 x 2 Bµi 32: Cho biÓu thøc: P . a. Rót gän P. b. T×m GTLN cña P. x 2 x x 6 3 x x y x y x y 2xy Bµi 33: Cho P : 1 . 1 xy 1 xy 1 xy 2 a. Rót gän P. b. TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x . c. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P. 2 3 3 3 Bµi 34: Cho biÓu thøc: M 1 x : 1 . 1 x 1 x2 3 a. Rót gän M. b. T×m gi¸ trÞ cña M khi x . c. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó M M . 2 3 Bµi 35: Cho biÓu thøc: A 3x 1 4x2 9 12x . a. Rót gän biÓu thøc A. b. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = 3. 2 x 9 x 3 2 x 1 Bµi 36: Cho biÓu thøc: Q x 5 x 6 x 2 3 x a. Rót gän råi t×m gi¸ trÞ cña x ®Ó Q c , b > c > 0. Chứng minh rằng: c(a c) c(b c) ab b/ Với x,y không âm. Tìm GTNN của: P = x - 2xy + 3y -2x +2009,5 c/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn y x2 4x 5 3 2010 3 10 6 3.( 3 1) Bài 5: a/ CMR: P (x 4x 1) có giá trị là một số tự nhiên với x 6 2 5 5 1 1 1 1 1 1 b/ Tính S = 1 1 1 12 22 22 32 20112 20122 3 c/ Tính giá trị của A = x +12x - 8 với x 3 4 5 1 3 4 5 1 Page 5
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN 2 6 xy d/ Cho x = ; y . Tính giá trị của biểu thức P = 2 3 2 2 3 4 2 3 2 2 3 4 x y 3 8 3 5 3 64 12 20 3 9 2 2 9 3 9 e/ Cho x .3 8 3 5 ; y . Tính xy 3 57 3 3 4 2 4 2 3 81 1 f/ CMR: x = 3 7 5 2 là nghiệm của phương trình x3 +3x -14 = 0 3 7 5 2 g/ Tính giá trị của biểu thức: A= x3+15x tại x = 3 5( 6 1) 3 5( 6 1) h/ Tính giá trị của biểu thức: P = x3 + y3 -3(x+y) + 2004 biết: x 3 3 2 2 3 3 2 2 ; y 3 17 12 2 3 17 12 2 i/ Tính giá trị của biểu thức: P = (x3 + 6x - 5)2006 biết: x 3 3 17 3 3 17 125 125 j/ CMR số x 3 3 9 3 3 9 là một số hữu tỉ. 27 27 k/CMR x 2 2 3 6 3 2 3 là một nghiệm của phương trình x4 – 16x2 + 32 = 0 l/. CMR biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào giá trị của x: 3 2 3.6 7 4 3 x A x 4 9 4 5. 2 5 x 3 2 1 m/.CMR A ( 3 2 1).3 là một số nguyên 3 n/ Cho c 3 6 3 10 , d 3 6 3 10 .CMR c2 và d2là 2 nghiệm của một pt bậc hai với hệ số nguyên. s/ Hãy lập phương trình f(x) = 0 với hệ số nguyên có một nghiệm x = 3 3 3 9 p/ Tính giá trị A = ( 4 7 48 4 28 16 3).4 7 48 === CHỦ ĐỀ 2: BÀI TẬP HÖ ph¬ng tr×nh Bài 1: Giải hệ phương trình sau x 2y 1 2x 3y 7 2x y 4 x 2y 5 1/ 2/ 3/ 4/ x y 3 x 3y 1 3x y 1 3x y 1 x y 3 4x 3y 6 3x 2y 4 4x 2y 3 5/ 6/ 7/ 8/ 3x 4 y 2 2x y 4 2x y 5 6x 3y 5 2x 3y 5 3x 4y 2 0 2x 5y 3 x y 3 9/ 10/ 11/ 12/ 4x 6y 10 5x 2y 14 3x 2y 14 3x 4y 2 5 2 .x y 3 5 2x y 2 x 2 - y 3= 1 3 x 4 y 8 13/ 14/ 15/ 16/ 2y x 6 2 5 (2 2)x y 2 x + y 3 = 3 2 x y 2 Bµi 2. Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh (x 2)(y 2) xy (x 1)(y 2) (x 1)(y 3) 4 (x 5)(y 2) xy (x 4)(y 3) xy 6 (x 3)(y 1) (x 3)(y 5) 18 (x 5)(y 12) xy Page 6
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN 2x 5y 1 x 2y 9x 2y 4x 3 16 28 x y 11 3 7 3 5 7x y 2(x 1) 3x 12y 15 9y 31 15 x 3y 5 3 2 5 14 5 1 4 1 4 3 13 10 1 x 1 y 1 x 2y x 2y x y 36 1 3 20 3 6 10 18 1 1 x 1 y 1 x 2y x 2y x y 2 5 7 4 5 3 2 3 8 3x y x 3y x 7 y 6 3 x y 3 x y 1 1 2 3 5 3 13 3 1 1,5 x y 3 x y 1 3x y x 3y 5 x 7 y 6 6 Bµi 3. Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh x 1 y 2 1 x2 10x 25 x 5 x 2 2 y 1 9 . x 1 3y 3 2 x y 1 1 x 10x 25 5 x x2 y2 2(xy 2) x y xy 1 0 x y xy 7 2 2 2 2 x y 6 x y x y 22 x y xy 13 x2 y2 10 x2 y2 65 x2 y xy2 6 x y 4 (x 1)(y 1) 18 xy x y 5 x3 y3 1 x y 1 (x 1)(y 1) 10 5 5 2 2 3 3 2 2 (x y)(xy 1) 25 x y x y x y x y x y 5 x3 y3 2 x4 y4 97 2 2 2 2 x y 13 x y xy 2 xy(x y ) 78 y x 6 C¸c bµi HPT cã chøa tham sè 3x y m . Cho hÖ ph¬ng tr×nh: Bµi 1 2 9x m y 3 3 a. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm b. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm? Khi ®ã h·y t×m d¹ng tæng qu¸t nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh c. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt mx y 4 Bµi 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh : x my 1 8 Cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn x y . Khi ®ã h·y t×m c¸c gi¸ trÞ cña x vµ y. m2 1 2mx 3y m Bµi 3. T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh : x y m 1 Cã nghiÖm nguyªn, t×m nghiÖm nguyªn ®ã. Page 7
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN x 2y 6 Bµi 4. Cho hÖ ph¬ng tr×nh : 2x y 2 a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho b»ng ph¬ng ph¸p ®å thÞ b. NghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho cã ph¶i lµ nghiÖm cña ptr×nh 3x - 7y = - 8 kh«ng ? c. NghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho cã ph¶i lµ nghiÖm cña ptr×nh 4,5x + 7,5y = 25 kh«ng ? Bµi 5. Cho hai ®êng th¼ng (d1): 2x - 3y = 8 vµ (d2): 7x - 5y = -5 T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó ®êng th¼ng y = ax ®i qua giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng (d1) vµ (d2) Bµi 6. Cho ba ®êng th¼ng: (d1): y = 2x - 5 (d2): y = 1 (d3): y = (2m - 3)x -1 T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ba ®êng th¼ng ®ång quy x ay 2 Bµi 7. Cho hÖ ph¬ng tr×nh ax 2y 1 T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn x > 0, y 0, y 1, y > 0 4x my 6 mx y 2m Bµi 10. Cho hÖ ph¬ng tr×nh : x my m 1 T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x, y lµ c¸c sè nguyªn (m 1)x my 2m 1 Bµi 11. Cho hÖ ph¬ng tr×nh : 2 mx y m 2 T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ptr×nh cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn xy ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt Bµi 12. H·y t×m gi¸ trÞ cña m vµ n sao cho ®a thøc P(x) = mx3 + (m + 1)x2 - (4n + 3)x + 5n ®ång thêi chia hÕt cho (x - 1) vµ (x + 2). (m 1)x y m 1 Bµi 13. Cho hÖ ph¬ng tr×nh : x (m 1)y 2 T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ pt cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn: S = x + y ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt mx my m Bµi 14. Cho hÖ ph¬ng tr×nh : m, n lµ c¸c tham sè mx y 2m a. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh b. trong trêng hîp hÖ cã nghiÖm duy nhÊt h·y t×m gi¸ trÞ cña m ®Ó nghiÖm cña ph¬ng tr×nh tháa m·n ®iÒu kiÖn x > 0, y < 0 Bµi 15. T×m a vµ b ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖmcã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m (m 3)x 4y 5a 3b m x my am 2b 3m 1 y2 x3 4x2 a.x Bµi 16. T×m tham sè a ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt: 2 3 2 x y 4y ay x y m Bµi 17. BiÕt cÆp sè (x, y) lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh: 2 2 2 y x m 6 H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = xy + 2(x + y). Page 8
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN x y 2a 1 Bµi 18. Gi¶ sö (x, y) lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh: 2 2 2 X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham y x a 2a 3 sè a ®Ó hÖ tháa m·n tÝch xy nhá nhÊt. xy a2 Bµi 19. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: 1 1 1 x y b Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh biÕt r»ng x, y lµ ®é dµi c¸c c¹nh cña mét h×nh ch÷ nhÊt. 2x my 1 Bµi 20. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx 2y 1 a. Gi¶i vµ biÖn luËn theo tham sè m. b. T×m c¸c sè nguyªn m ®Ó cho hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) víi x, y lµ c¸c sè nguyªn. x my 4 Bµi 21. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: (m lµ tham sè). mx 4y 10 m a. Gi¶i vµ biÖn luËn theo m. b. Víi gi¸ trÞ nµo cña sè nguyªn m, hÖ cã nghiÖm (x; y) víi x, y lµ c¸c sè nguyªn d¬ng. (m 1)x my 3m 1 Bµi 22. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: 2x y m 5 X¸c ®Þnh tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) mµ S = x2 + y2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. (m 1)x my 2m 1 Bµi 23 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: 2 mx y m 2. X¸c ®Þnh tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó hÖ cã nghiÖm (x; y) mµ tÝch P = xy ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. mx y 2m Bµi 24. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: x my m 1. a. Gi¶i hÖ khi m = -1. b. T×m m ®Ó hÖ cã v« sè nghiÖm, trong ®ã cã nghiÖm: x = 1, y = 1. mx 2y m 1 Bµi 25. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh sau ®©y theo tham sè m: 2x my 3. x my 2 Bµi 26. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx 2y 1. a. Gi¶i hÖ khi m = 2. b. T×m sè nguyªn m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) mµ x > 0 vµ y 0, y < 0. Page 9
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN mx y 2 Bµi 29. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: 3x my 5. a. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ®· cho. m2 b. T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) tháa m·n hÖ thøc: x y 1 . m2 3 mx 2my m 1 Bµi 30. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: x (m 1)y 2. a. Chøng minh r»ng nÕu hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) th× ®iÓm M(x; y) lu«n lu«n thuéc mét ®êng th¼ng cè ®Þnh khi m thay ®æi. b. X¸c ®Þnh m ®Ó M thuéc gãc vu«ng phÇn t thø nhÊt. c. X¸c ®Þnh m ®Ó M thuéc ®êng trßn cã t©m lµ gèc täa ®é vµ b¸n kÝnh b»ng 5 . mx 4y m 2 Bµi 31. Víi gi¸ trÞ nµo cña sè nguyªn m, hÖ ph¬ng tr×nh: cã nghiÖm duy nhÊt (x; x my m. y) víi x; y lµ c¸c sè nguyªn. 2x my 1 Bµi 32. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx 2y 1. a. Gi¶i vµ biÖn luËn theo m. b. T×m sè nguyªn m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) víi x; y lµ c¸c sè nguyªn. c. Chøng minh r»ng khi hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y), ®iÓm M(x; y) lu«n lu«n ch¹y trªn mét ®êng th¼ng cè ®Þnh. 2 d. X¸c ®Þnh m ®Ó M thuéc ®êng trßn cã t©m lµ gèc täa ®é vµ b¸n kÝnh b»ng . 2 Bµi 33. Gi¶i vµ biÖn c¸c hÖ ph¬ng tr×nh: 2m2 x 3(m 1)y 3 x 2y m 1 x my 1 a. b. c. m(x y) 2y 2 x y 2 m. x y m. 2mx y 5 Bµi 34. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx 3y 1. a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh lóc m = 1. b. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè. mx y 1 Bµi 35. Cho hÖ ph¬ng tr×nh (m lµ tham sè ): x y m. a. Chøng tá lóc m = 1, hÖ ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm. b. Gi¶i hÖ lóc m kh¸c 1. Bµi 36. Víi gi¸ trÞ nµo cña x, y, z; ta cã ®¼ng thøc sau: 4x2 + 9y2 + 16z2 - 4x - 6y - 8z +3 = 0. x2 y2 25 Bµi 37. Víi gi¸ trÞ nµo cña m, hÖ ph¬ng tr×nh: cã nghiÖm? mx y 3m 4 x2 y2 2a Bµi 38. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: . X¸c ®Þnh a ®Ó hÖ cã hai nghiÖm ph©n biÖt. T×m c¸c 2xy 1 2a nghiÖm ®ã. x y m Bµi 39. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: y x . X¸c ®Þnh m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp. x y 8 Page 10
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN x y m Bµi 40. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: 2 2 . X¸c ®Þnh m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. T×m nghiÖm ®ã. y x 1 xy x y 71 2 2 Bµi 41. Cho x, y lµ hai sè nguyªn d¬ng sao cho: 2 2 . T×m gi¸ trÞ cña: M = x +y . x y xy 880 x my m 1 Bµi 42. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx y 3m 1 a. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh trªn. b. Kh«ng gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh, cho biÕt víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ p tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt? (a 1)x y a 1 Bµi 43. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: (a lµ tham sè). x (a 1)y 2 a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi a = 2. b. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh. c. T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn. d. T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó nghiÖm cña hÖ tháa m·n ®iÒu kiÖn x + y nhá nhÊt. Bµi 44. LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua gèc O vµ song song víi AB biÕt: a/ A(-1; 1), B(-1; 3). b/ A(1; 2), B(3; 2). c/ A(1; 5), B(4; 3). Bµi 45. Cho ba ®iÓm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1). T×m täa ®é ®Ønh D cña h×nh b×nh hµnh ABCD. Bµi 46. Cho bèn ®iÓm: A(0; -5), B(1; -2), C(2; 1), D(2,5; 2,5). Cmr bèn ®iÓm A, B, C, D th¼ng hµng. Bµi 47. Cho bèn ®iÓm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2). H·y x¸c ®Þnh tø gi¸c ABCD lµ h×nh g×? (m 1)x 2my 2 0 Bµi 48. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: (m lµ tham sè). 2mx (m 1)y (m 1) 0 a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trªn. b. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt tháa m·n x < 0, y < 0. (m 1)x y 3m 4 Bµi 49. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: (m lµ tham sè) x (m 1)y m a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh. b. T×m gi¸ trÞ nguyªn cña m ®Ó hÖ cã nghiÖm nguyªn. c. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm d¬ng duy nhÊt. x my m 1 Bµi 50. Cho hÖ ph¬ng tr×nh: (m lµ tham sè) mx y 3m 1 a. Gi¶i hÖ pt. b. T×m m ®Ó hÖ pt cã nghiÖm duy nhÊt tháa m·n ®iÒu kiÖn xy nhá nhÊt. === CHỦ ĐỀ 3: BÀI TẬP VỀ Ph¬ng tr×nh BẬC HAI D¹ng 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai. Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh 1) x2 – 6x + 14 = 0 ; 2) 4x2 – 8x + 3 = 0 ; 3) 3x2 + 5x + 2 = 0 ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = 0 ; 5) x2 – 4x + 2 = 0 ; 6) x2 – 2x – 2 = 0 ; 7) x2 + 22 x + 4 = 3(x + 2 ) ; 8) 23 x2 + x + 1 = 3 (x + 1) ; 9) x2 – 2(3 - 1)x - 23 = 0. Bµi 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nghiÖm: 1) 3x2 – 11x + 8 = 0 ; 2) 5x2 – 17x + 12 = 0 ; 3) x2 – (1 + 3 )x + 3 = 0 ; 4) (1 - 2 )x2 – 2(1 + 2 )x + 1 + 32 = 0 ; Page 11
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN 5) 3x2 – 19x – 22 = 0 ; 6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ; 7) (3 + 1)x2 + 23 x + 3 - 1 = 0 ; 8) x2 – 11x + 30 = 0 ; 9) x2 – 12x + 27 = 0 ; 10) x2 – 10x + 21 = 0. D¹ng 2: Chøng minh ph¬ng tr×nh cã nghiÖm, v« nghiÖm. Bµi 1: Chøng minh r»ng c¸c ph¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiÖm. 1) x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ; 2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ; 3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 ; 5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 ; 7) x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0 9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0. D¹ng 3: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc ®èi xøng, lËp ph¬ng tr×nh bËc hai nhê nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai cho tríc. 2 Bµi 1: Gäi x1 ; x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x – 3x – 7 = 0.TÝnh: 2 2 A x1 x2 ; B x1 x2 ; 1 1 C ; D 3x1 x2 3x2 x1 ; x1 1 x2 1 3 3 4 4 E x1 x2 ; F x1 x2 1 1 LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ vµ . x1 1 x2 1 2 Bµi 2: Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 5x – 3x – 1 = 0. Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: 3 2 3 2 A 2x1 3x1 x2 2x2 3x1x2 ; 2 x1 x1 x2 x2 1 1 B ; x2 x2 1 x1 x1 1 x1 x2 2 2 3x1 5x1x2 3x2 C 2 2 . 4x1x2 4x1 x2 Bµi 3: a) Gäi p vµ q lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai: 3x2 + 7x + 4 = 0. Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y p q thµnh lËp ph¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè b»ng sè mµ c¸c nghiÖm cña nã lµ vµ . q 1 p 1 1 1 b) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã 2 nghiÖm lµ vµ . 10 72 10 6 2 Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2(m -1)x – m = 0. a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm x1 ; x2 víi mäi m. 1 1 b) Víi m ≠ 0, lËp ph¬ng tr×nh Èn y tho¶ m·n y1 x1 vµ y2 x2 . x2 x1 Bµi 5: Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh 3x2 + 5x – 6 = 0. H·y tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau: x1 x2 A 3x1 2x2 3x2 2x1 ; B ; x2 1 x1 1 x1 2 x2 2 C x 1 x2 ; D x1 x2 Page 12
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN 2 Bµi 6: Cho ph¬ng tr×nh 2x – 4x – 10 = 0 cã hai nghiÖm x1 ; x2. Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y thiÕt lËp ph¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 2 Bµi 7: Cho ph¬ng tr×nh 2x – 3x – 1 = 0 cã hai nghiÖm x1 ; x2. H·y thiÕt lËp ph¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: 2 x 1 y1 y1 x 1 2 x 2 a) b) y x 2 2 2 2 x 2 y 2 x 1 2 Bµi 8: Cho ph¬ng tr×nh x + x – 1 = 0 cã hai nghiÖm x1 ; x2. H·y thiÕt lËp ph¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: x 1 x 2 y1 y 2 2 2 x 2 x 1 y1 y 2 x 1 x 2 a) ; b) 2 2 y1 y 2 y y 5x 5x 0. 3x 3x 1 2 1 2 1 2 y 2 y1 2 Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh 2x + 4ax – a = 0 (a tham sè, a ≠ 0) cã hai nghiÖm x1 ; x2. H·y lËp 1 1 1 1 ph¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 y2 vµ x1 x2 x1 x2 y1 y2 D¹ng 4: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm, cã nghiÖm kÐp, v« nghiÖm. Bµi 1: a) Cho ph¬ng tr×nh (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 (Èn x). X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp. TÝnh nghiÖm kÐp nµy. b) Cho ph¬ng tr×nh (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm. c) Cho ph¬ng tr×nh: (m – 1)x2 – 2mx + m – 4 = 0. - T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm. - T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp. TÝnh nghiÖm kÐp ®ã. d) Cho ptr×nh: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – 5 = 0. T×m a ®Ó pt cã hai nghiÖm ph©n biÖt. Bµi 2: 4x2 2 2m 1 x a) Cho ph¬ng tr×nh: m2 m 6 0 . x4 2x2 1 x2 1 X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm. b) Cho ph¬ng tr×nh: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm. Bài 3: Cho phương trình : x2 – 4x + 3m – 1= 0 (1) a) Tìm m để PT (1) có 2 nghiệm phân biệt? c, Tìm m để PT(1) có nghiệm x = -1 2 2 b) Tìm nghiệm x1; x2 biết x1 – x2 = 2 d, Tìm m biết x1 + x2 = 24 Bài 4: Cho PT : x2 – 2(m-1)x – 4m = 0 ( 2) a) Chứng minh rằng PT(3) có nghiệm? Khi nào PT(3) có 2 nghiệm phân biệt? b) Tìm hệ thưc liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình không phụ thuộc m Bài 5: Cho PT: x2 – 2( m+1) x – 4m – 5= 0 ( 3) a) Tìm m để PT(4) có nghiệm b) Có giá trị nào của m để PT(4) vô nghiệm ? D¹ng 5: X¸c ®Þnh tham sè ®Ó c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cho tríc. Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 Page 13
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN 1) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp. T×m nghiÖm kÐp ®ã. 2) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm b»ng 4. TÝnh nghiÖm cßn l¹i. 3) Víi ®iÒu kiÖn nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu (tr¸i dÊu) 4) Víi ®iÒu kiÖn nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng d¬ng (cïng ©m). 5) §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm sao cho nghiÖm nµy gÊp ®«i nghiÖm kia. 6) §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n 2x1 – x2 = - 2. 2 2 7) §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 sao cho A = 2x1 + 2x2 – x1x2 nhËn gi¸ trÞ nhá nhÊt. Bµi 2: §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm tho¶ m·n hÖ thøc ®· chØ ra: 2 a) (m + 1)x – 2(m + 1)x + m – 3 = 0 ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 2 2 2 b) mx – (m – 4)x + 2m = 0 ; 2(x1 + x2 ) = 5x1x2 2 2 2 2 2 c) (m – 1)x – 2mx + m + 1 = 0 ; 4(x1 + x2 ) = 5x1 x2 2 2 d) x – (2m + 1)x + m + 2 = 0 ; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + 7 = 0. Bµi 3: §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm tho¶ m·n hÖ thøc ®· chØ ra: 2 a) x + 2mx – 3m – 2 = 0 ; 2x1 – 3x2 = 1 2 2 b) x – 4mx + 4m – m = 0 ; x1 = 3x2 2 c) mx + 2mx + m – 4 = 0 ; 2x1 + x2 + 1 = 0 2 2 2 d) x – (3m – 1)x + 2m – m = 0 ; x1 = x2 2 3 2 e) x + (2m – 8)x + 8m = 0 ; x1 = x2 2 2 2 f) x – 4x + m + 3m = 0 ; x1 + x2 = 6. Bµi 4: a) Cho ph¬nmg tr×nh: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0. T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2 sao cho nghiÖm nµy gÊp ®«i nghiÖm kia. 2 b) Ch ph¬ng tr×nh bËc hai: x – mx + m – 1 = 0. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; 2x1x2 3 x2 sao cho biÓu thøc R 2 2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. x1 x2 2(1 x1x2 ) c) §Þnh m ®Ó hiÖu hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh sau ®©y b»ng 2. mx2 – (m + 3)x + 2m + 1 = 0. Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). CMR ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó pt cã hai nghiÖm mµ nghiÖm nµy gÊp ®«i nghiÖm kia lµ 9ac = 2b2. Bµi 6: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm mµ nghiÖm nµy gÊp k lÇn nghiÖm kia (k > 0) lµ : kb2 = (k + 1)2.ac D¹ng 6: So s¸nh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai víi mét sè. Bµi 1: a/ Cho ph¬ng tr×nh x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n 1 < x1 < x2 < 6. b/ Cho ph¬ng tr×nh 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2 tho¶ m·n: - 1 < x1 < x2 < 1. Bµi 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1. a. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm víi mäi m. b. §Æt x = t + 2. TÝnh f(x) theo t, tõ ®ã t×m ®iÒu kiÖn ®èi víi m ®Ó ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã hai nghiÖm lín h¬n 2. Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0. a) Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè a, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp. TÝnh c¸c nghiÖm kÐp. b) X¸c ®Þnh a ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lín h¬n – 1. Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0. a) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm nhá h¬n 1 vµ mét nghiÖm lín h¬n 1. b) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm nhá h¬n 2. 2 Bµi 5: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh: x – mx + m = 0 cã nghiÖm tho¶ m·n x1 ≤ - 2 ≤ x2. Page 14
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN D¹ng 7: T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ptr×nh bËc hai kh«ng phô thuéc tham sè. Bµi 1: a) Cho ph¬ng tr×nh: x2 – mx + 2m – 3 = 0. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo tham sè m. b) Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = 0. Khi ph¬ng tr×nh cã nghiÖm, h·y t×m mét hÖ thøc gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè m. c) Cho ph¬ng tr×nh: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2. T×m hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm ®éc lËp víi m, suy ra vÞ trÝ cña c¸c nghiÖm ®èi víi hai sè – 1 vµ 1. Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = 0. Khi ph¬ng tr×nh cã nghiÖm, h·y t×m mét hÖ thøc gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè m. Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2mx – m2 – 1 = 0. a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm x1 , x2 víi mäi m. b) T×m biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x1 ; x2 kh«ng phô thuéc vµo m. x1 x2 5 c) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n: . x2 x1 2 Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0. a) Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh theo m. b) Khi ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2: - T×m mét hÖ thøc gi÷a x1 ; x2 ®éc lËp víi m. - T×m m sao cho |x1 – x2| ≥ 2. Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – 1 = 0. Chøng minh r»ng nÕu ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 th×: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + 2 = 0. D¹ng 8: Mèi quan hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña hai ph¬ng tr×nh bËc hai. KiÕn thøc cÇn nhí: 1/ §Þnh gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh nµy cã mét nghiÖm b»ng k (k ≠ 0) lÇn mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kia: XÐt hai ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 (1); a’x2 + b’x + c’ = 0 (2) trong ®ã c¸c hÖ sè a, b, c, a’, b’, c’ phô thuéc vµo tham sè m. §Þnh m ®Ó sao cho ph¬ng tr×nh (2) cã mét nghiÖm b»ng k (k ≠ 0) lÇn mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1), ta cã thÓ lµm nh sau: i) Gi¶ sö x0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) th× kx0 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2), suy ra hÖ ph¬ng tr×nh: 2 ax0 bx0 c 0 (*) 2 2 a'k x0 b'kx0 c' 0 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trªn b»ng ph¬ng ph¸p thÕ hoÆc céng ®¹i sè ®Ó t×m m. ii) Thay c¸c gi¸ trÞ m võa t×m ®îc vµo hai ph¬ng tr×nh (1) vµ (2) ®Ó kiÓm tra l¹i. 2/ §Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó hai ph¬ng tr×nh bËc hai t¬ng ®¬ng víi nhau. XÐt hai ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (3); a’x2 + b’x + c’ = 0 (a’ ≠ 0) (4) Hai ph¬ng tr×nh (3) vµ (4) t¬ng ®¬ng víi nhau khi vµ chØ khi hai ph¬ng tr×nh cã cïng 1 tËp nghiÖm (kÓ c¶ tËp nghiÖm lµ rçng). Do ®ã, muçn x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai ph¬ng tr×nh bËc hai t¬ng ®¬ng víi nhau ta xÐt hai trêng hîp sau: (3) 0 i/ Trêng hîp c¶ hai ph¬ng trinhg cuïng v« nghiÖm, tøc lµ: (4) 0 Gi¶i hÖ trªn ta tÞm ®îc gi¸ trÞ cña tham sè. Page 15
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN Δ(3) 0 Δ(4) 0 ii/ Trêng hîp c¶ hai ph¬ng tr×nh ®Òu cã nghiÖm, ta gi¶i hÖ sau: S(3) S(4) P(3) P(4) Chó ý: B»ng c¸ch ®Æt y = x2 hÖ ph¬ng tr×nh (*) cã thÓ ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt 2 Èn nh sau: bx ay c b'x a'y c' §Ó gi¶i quyÕt tiÕp bµi to¸n, ta lµm nh sau: - T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hÖ cã nghiÖm råi tÝnh nghiÖm (x ; y) theo m. - T×m m tho¶ m·n y = x2. - KiÓm tra l¹i kÕt qu¶. Bµi 1: T×m m ®Ó hai ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 vµ 4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0 Bµi 2: Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hai ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung. T×m nghiÖm chung ®ã: a) 2x2 + (3m + 1)x – 9 = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0. b) 2x2 + mx – 1 = 0; mx2 – x + 2 = 0. c) x2 – mx + 2m + 1 = 0; mx2 – (2m + 1)x – 1 = 0. Bµi 3: XÐt c¸c ph¬ng tr×nh sau: ax2 + bx + c = 0 (1) cx2 + bx + a = 0 (2) T×m hÖ thøc gi÷a a, b, c lµ ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hai ph¬ng tr×nh trªn cã mét nghiÖm chung duy nhÊt. Bµi 4: Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 – 2mx + 4m = 0 (1) x2 – mx + 10m = 0 (2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh (2) cã mét nghiÖm b»ng hai lÇn mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1). Bµi 5: Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + x + a = 0 vµ x2 + ax + 1 = 0 a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó cho hai ph¬ng tr×nh trªn cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung. b) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña a th× hai ph¬ng tr×nh trªn t¬ng ®¬ng. Bµi 6: Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + mx + 2 = 0 (1) vµ x2 + 2x + m = 0 (2) a) §Þnh m ®Ó hai ph¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung. b) §Þnh m ®Ó hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng. c) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0 cã 4 nghiÖm ph©n biÖt Bµi 7: Cho c¸c ph¬ng tr×nh: x2 – 5x + k = 0 (1) vµ x2 – 7x + 2k = 0 (2) X¸c ®Þnh k ®Ó mét trong c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2) lín gÊp 2 lÇn mét trong c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1). Ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai. 1/Ph¬ng tr×nh chứa ẩn ở mẫu x x 3 2x 1 x 3 t2 2t2 5t a) 6 b) 3 c) t x 2 x 1 x 2x 1 t 1 t 1 2. Ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc. A 0 (hayB 0) Lo¹i A B A B B 0 Lo¹i A B 2 A B Page 16
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN a) 2x2 3x 11 x2 1 b) x 2 2 3x2 5x 14 c) 2x2 3x 5 x 1 d) x 1 2x 3 x 9 e) x 1 x2 3x 3/ Ph¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. a) x 1 x2 x 3 b) x 2 2x 1 x2 2x 3 c) x4 2x2 2 x2 x x4 4x d) x2 1 x2 4x 4 3x 4/ Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng. a) 4x4 + 7x2 – 2 = 0 ; b) x4 – 13x2 + 36 = 0; c) 2x4 + 5x2 + 2 = 0 ; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – 9 = 0. 5/ Ph¬ng tr×nh bËc cao. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch ®a vÒ d¹ng tÝch hoÆc ®Æt Èn phô ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai: Bµi 1: a) 2x3 – 7x2 + 5x = 0 ; b) 2x3 – x2 – 6x + 3 = 0 ; c) x4 + x3 – 2x2 – x + 1 = 0 ; d) x4 = (2x2 – 4x + 1)2. Bµi 2: a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – 3 = 0 c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 = 0 1 1 c) x 2 x 2 x 2 x 3 0 d) 4 x 2 16 x 23 0 x 2 x x 2 x 5 3x 21 e) 4 0 f) x 2 4x 6 0 x x 2 x 5 x 2 4x 10 2 2 x 48 x 4 g) 3 2x 2 3x 1 5 2x 2 3x 3 24 0 h) 10 0 3 x 2 3 x 2x 13x i) 6 k) x 2 3x 5 x 2 3x 7. 2x 2 5x 3 2x 2 x 3 Bµi 3: a/ 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = 0 b/ 10x4 – 77x3 + 105x2 – 77x + 10 = 0 c/ (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = 1 d/ (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = 0 Bµi tËp vÒ nhµ: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1 3 1 4x x 3 2x 2 x 2 x2 2x 3 2x2 2 1. a) b) 6 c) x d) 8 2 x 1 x2 1 4 x 1 x 4 x 4 x2 9 x2 3x 2 2. a) x4 – 34x2 + 225 = 0 b) x4 – 7x2 – 144 = 0 c) 9x4 + 8x2 – 1 = 0 d) 9x4 – 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = 0 e) a2x4 – (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = 0 (a ≠ 0) 3. a) (2x2 – 5x + 1)2 – (x2 – 5x + 6)2 = 0 b) (4x – 7)(x2 – 5x + 4)(2x2 – 7x + 3) = 0 c) (x3 – 4x2 + 5)2 = (x3 – 6x2 + 12x – 5)2 d) (x2 + x – 2)2 + (x – 1)4 = 0 e) (2x2 – x – 1)2 + (x2 – 3x + 2)2 = 0 4. a) x4 – 4x3 – 9(x2 – 4x) = 0 b) x4 – 6x3 + 9x2 – 100 = 0 c) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = 0 d) x4 – 25x2 + 60x – 36 = 0 5. a) x3 – x2 – 4x + 4 = 0 b) 2x3 – 5x2 + 5x – 2 = 0 c) x3 – x2 + 2x – 8 = 0 d) x3 + 2x2 + 3x – 6 = 0 Page 17
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN e) x3 – 2x2 – 4x – 3 = 0 6. a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = 0 b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) – 77 = 0 2 2x 1 2x 1 c) x2 – 4x – 10 - 3 x 2 x 6 = 0 d) 4 3 0 x 2 x 2 e) x 5 x x 5 x 5 7. a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24 b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 5 1 1 1 1 c) 3 x 2 16 x 26 0 d) 2 x 2 7 x 2 0 x 2 x x 2 x a) x 2 4x x 14 b) 2x 2 x 9 x 1 2 3 8. c) 2x 6x 1 x 2 d) x 3x 4 x 2 e) 4x 2 4x 1 x 2 x 2 3 f) x 3 x 2 1 x 3 x 1 9. §Þnh a ®Ó c¸c ph¬ng tr×nh sau cã 4 nghiÖm a) x4 – 4x2 + a = 0 b) 4y4 – 2y2 + 1 – 2a = 0 c) 2t4 – 2at2 + a2 – 4 = 0. Chñ ®Ò 4: Hµm sè vµ ®å thÞ. D¹ng 1: VÏ ®å thÞ hµm sè Bµi 1: VÏ ®å thÞ c¸c hµm sè sau: a) y = 2x – 5 ; b) y = - 0,5x + 3 Bµi 2: VÏ ®å thÞ hµm sè y = ax2 khi: a) a = 2 ; b) a = - 1. D¹ng 2: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng B×a 1: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) biÕt: a) (d) ®i qua A(1 ; 2) vµ B(- 2 ; - 5) b) (d) ®i qua M(3 ; 2) vµ song song víi ®êng th¼ng ( ) : y = 2x – 1/5. c) (d) ®i qua N(1 ; - 5) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng (d’): y = -1/2x + 3. d) (d) ®i qua D(1 ; 3) vµ t¹o víi chiÒu d¬ng trôc Ox mét gãc 300. e) (d) ®i qua E(0 ; 4) vµ ®ång quy víi hai ®êng th¼ng f) ( ): y = 2x – 3; ( ’): y = 7 – 3x t¹i mét ®iÓm. g) (d) ®i qua K(6 ; - 4) vµ c¸ch gèc O mét kho¶ng b»ng 12/5 (®¬n vÞ dµi). Bµi 2: Gäi (d) lµ ®êng th¼ng y = (2k – 1)x + k – 2 víi k lµ tham sè. a) §Þnh k ®Ó (d) ®i qua ®iÓm (1 ; 6). b) §Þnh k ®Ó (d) song song víi ®êng th¼ng 2x + 3y – 5 = 0. c) §Þnh k ®Ó (d) vu«ng gãc víi ®êng th¼ng x + 2y = 0. d) Chøng minh r»ng kh«ng cã ®êng th¼ng (d) nµo ®i qua ®iÓm A(-1/2 ; 1). e) Chøng minh r»ng khi k thay ®æi, ®êng th¼ng (d) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. D¹ng 3: VÞ trÝ t¬ng ®èi gi÷a ®êng th¼ng vµ parabol Bµi 1: a) BiÕt ®å thÞ hµm sè y = ax2 ®i qua ®iÓm (- 2 ; -1). H·y t×m a vµ vÏ ®å thÞ (P) ®ã. b) Gäi A vµ B lµ hai ®iÓm lÇn lît trªn (P) cã hoµnh ®é lÇn lît lµ 2 vµ - 4. T×m to¹ ®é A vµ B tõ ®ã suy ra ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB. 1 Bµi 2: Cho hµm sè y x2 2 a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè trªn. b) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) qua A(- 2; - 2) vµ tiÕp xóc víi (P). Bµi 3: Page 18
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN 1 Trong cïng hÖ trôc vu«ng gãc, cho parabol (P): y x2 vµ ®êng th¼ng (D): y = mx - 2m - 1. 4 a) VÏ ®é thÞ (P). b) T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P). c) Chøng tá r»ng (D) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh A thuéc (P). 1 Bµi 4: Cho hµm sè y x2 2 a) VÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè trªn. b) Trªn (P) lÊy hai ®iÓm M vµ N lÇn lît cã hoµnh ®é lµ - 2; 1. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng MN. c) X¸c ®Þnh hµm sè y = ax + b biÕt r»ng ®å thÞ (D) cña nã song song víi ®êng th¼ng MN vµ chØ c¾t (P) t¹i mét ®iÓm. Bµi 5: Trong cïng hÖ trôc to¹ ®é, cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) vµ ®êng th¼ng (D): y = kx + b. 1) T×m k vµ b cho biÕt (D) ®i qua hai ®iÓm A(1; 0) vµ B(0; - 1). 2) T×m a biÕt r»ng (P) tiÕp xóc víi (D) võa t×m ®îc ë c©u 1). 3)VÏ (D) vµ (P) võa t×m ®îc ë c©u 1) vµ c©u 2). 3 4) Gäi (d) lµ ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm C ; 1 vµ cã hÖ sè gãc m 2 a) ViÕt ph¬ng tr×nh cña (d). b) Chøng tá r»ng qua ®iÓm C cã hai ®êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi (P) (ë c©u 2) vµ vu«ng gãc víi nhau. D¹ng 3: §å thÞ hµm sè y ax b (a 0). Bµi 1: Cho hµm sè y = 2x. a) VÏ ®å thÞ cña hµm sè trªn. b) X¸c ®Þnh ®iÓm A thuéc ®å thÞ hµm sè cã tung ®é b»ng -3 c) TÝnh sè ®o gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = 2x víi trôc Ox. Bµi 2: Cho ®êng th¼ng y 2x 4 c¾t hai trôc to¹ ®é t¹i hai ®iÓm A vµ B. a) X¸c ®Þnh to¹ ®é c¸c ®iÓm A vµ B. b) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c t¹o bëi ®êng th¼ng Êy víi hai trôc to¹ ®é. c) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ gèc to¹ ®é ®Õn ®êng th¼ng trªn. Bµi 3: a) VÏ ®å thÞ hµm sè y 2x vµ y 2x 1 trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é. b) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng trªn. Bµi 4: a) VÏ trªn cïng mét mÆt ph¼ng to¹ ®é ®å thÞ c¸c hµm sè sau: y 2x (d1)y 2x 2 (d2)y x 4 (d3) b)§êng th¼ng (d3) c¾t c¸c ®êng th¼ng (d1) vµ (d2) theo thø tù t¹i A vµ B. T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm A, B vµ tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c OAB. Bµi 5: Cho hµm sè y m 3 x a) Víi gi¸ trÞ nµo th× hµm sè ®ång biÕn trªn R? NghÞch biÕn trªn R? b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè ®i qua ®iÓm B(1; - 2). c) T×m m biÕt khi x=1 3 th× hµm sè cã gi¸ trÞ b»ng -3. Bài 6 Cho hµm sè y=3x+m 1) TÝnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè ®i qua A(-2; 5) 2) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é lµ -5. 3) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é lµ -3. Bµi 7: Cho hµm sè y m 1 x m +3 a)X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè ®i qua gèc to¹ ®é. Page 19
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN b)X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng -3. c)X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ®.t.h.s c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng -2. d)T×m m biÕt khi x=-3 th× hµm sè cã gi¸ trÞ b»ng 2. Bµi 8: a)X¸c ®Þnh hµm sè y ax b biÕt hµm sè cã hÖ sè gãc b»ng3 vµ ®i qua ®iÓm A(2;1) b)X¸c ®Þnh hµm sè y ax b biÕt ®êng th¼ng y ax b ®i qua ®iÓm A(2;1) vµ song song víi ®êng th¼ng y 2x 5 D¹ng 4: §iÓm cè ®Þnh cña ®êng th¼ng Bµi 1: Cho hµm sè y mx 2m 1 (1) Chøng tá r»ng ®êng th¼ng (1) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña m. H·y x¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm ®ã. Bµi 2: Chøng minh r»ng c¸c ®êng th¼ng sau ®©y lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. a) y mx m 2 b) y 2mx 1 m c) y m 1 x m 1 D¹ng 5. HÖ sè gãc cña ®êng th¼ng. §êng th¼ng song song vµ ®êng th¼ng c¾t nhau Bµi 1: Víi ®iÒu kiÖn nµo cña k vµ m th× hai ®êng th¼ng : y = (k - 2)x + m – 1 vµ y = (6 - 2k)x + 5 - 2m. a) Trïng nhau b) Song song c) C¾t nhau Bµi 2: Cho hµm sè y ax 5 . H·y x¸c ®Þnh hÖ sè a trong mçi trêng hîp sau: a) §å thÞ cña hµm sè song song víi ®êng th¼ng y 3x b) Khi x 1 2 th× hµm sè cã gi¸ trÞ b»ng y 2 2 Bµi 3: Cho hµm sè y m 3 x k (d) . T×m gi¸ trÞ cña m vµ k ®Ó ®êng th¼ng (d): a) Song song víi ®êng th¼ng y 2x 1 0 vµ ®i qua ®iÓm M(1; -3). b) §i qua hai ®iÓm A(1; 2) vµ B(-3; 4) c) C¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 1 2 vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é 1 2 . d) Trïng víi ®êng th¼ng 3x y 5 0 D¹ng 6: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng . Bµi 1: X¸c ®Þnh hµm sè y = ax + b biÕt ®å thÞ cña nã c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 3 vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng -2. Bµi 2: X¸c ®Þnh hµm sè y=ax+b biÕt ®å thÞ cña hµm sè lµ ®i qua gèc to¹ ®é vµ: a) §i qua ®iÓm A(3; 2) b) Song song víi ®êng th¼ng y=3x+1. Bµi 3: X¸c ®Þnh hµm sè bËc nhÊt y = ax + b trong mçi trêng hîp sau: a) a =-1 vµ ®å thÞ cña hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng –2 b) a = 3 vµ ®å thÞ cña hµm sè ®i qua ®iÓm A(2; 5) c) §å thÞ cña hµm sè song song víi ®êng th¼ng y 2x vµ ®i qua ®iÓm B(1;2 3 ) d) §å thÞ hµm sè ®i qua hai ®iÓm A(-1; 2) vµ B(2;-3) e) §å thÞ hµm sè ®i qua M(2;- 3) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng y=x–2 Bµi 4: Cho hµm sè y = (a–1)x + a a) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña a ®Ó ®å thÞ cña hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é -3 b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña a ®Ó ®å thÞ cña hµm sè c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é 2 Bµi 5: Cho ®êng th¼ng y = (m – 2)x + n (m 2) (d) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m vµ n biÕt ®êng th¼ng (d): a) §i qua hai ®iÓm A(-1;2) vµ B(3;4) Page 20
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN b) C¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 1 2 vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 2 2 c) Trïng víi ®êng th¼ng y–2x+3=0 Bµi 6: Cho hµm sè y = (1– 2m)x + m + 1 (1) a) T×m m ®Ó hµm sè (1) nghÞch biÕn trªn R. b) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (1) song song víi ®êng th¼ng y=3x–1 c) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (1) vµ c¸c ®êng th¼ng y=x; y=2x-1 ®ång quy. Bµi 7: Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é cho hai ®iÓm A(1; 2) vµ B(3; 4) T×m hÖ sè gãc cña ®êng th¼ng ®i qua A vµ B. Bµi 8: Cho hµm sè y m 1 x m 1 (1) a) X¸c ®Þnh hµm sè (1) biÕt ®å thÞ hµm sè ®i qua gèc to¹ ®é. b) X¸c ®Þnh m ®Ó ®êng th¼ng (1) song song víi ®êng th¼ng y 3x 2 c) X¸c ®Þnh m ®Ó ®êng th¼ng (1) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é lµ 1 . Bài 9 Cho hai ®êng th¼ng y = 2x + m – 1 vµ y = x + 2m . a) T×m m ®Ó hai ®êng th¼ng trªn c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung. b) T×m m ®Ó hai ®êng th¼ng trªn c¾t nhau t¹i mét ®iÓm n»m trªn ®êng th¼ng y=3x Bài 10: Cho hµm sè y=(m–2)x+m+3. a) T×m ®iÒu kiÖm cña m ®Ó hµm sè lu«n nghÞch biÕn . b) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hµnh ®é lµ 3 . c) T×m m ®Ó ®å thÞ c¸c hµm sè y=-x+2 ; y =2x–1vµ y=(m–2)x+m+3 ®ång quy Bµi 11: T×m to¹ ®é cña M(x1; y1) thuéc ®êng th¼ng 2x+3y =5 sao cho kho¶ng c¸ch tõ gèc to¹ ®é O ®Õn M nhá nhÊt. Bµi 12: Trªn cïng mÆt ph¼ng to¹ ®é cho ba ®iÓm A(1; 4); B(-2; -2); C(3; 0) a) ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c ®êng th¼ng chøa c¹nh AB, BC, AC cña tam gi¸c ABC. b) T×m to¹ ®é D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. c) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trung tuyÕn AM cña tam gi¸c ABC. d) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng cao AH cña tam gi¸c ABC. e) T×m to¹ ®é träng t©m G cña tam gi¸c ABC. f) T×m to¹ ®é trùc t©m cña tam gi¸c ABC. Quan hÖ gi÷a ®êng th¼ng – ®êng th¼ng Bµi 1: Cho hai ®t: y = (k - 3)x - 3k + 3 (d1) vµ y = (2k + 1)x + k + 5 (d2). T×m c¸c gi¸ trÞ cña k ®Ó: a. (d1) vµ (d2) c¾t nhau. d. (d1) vµ (d2) c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung. a. (d1) vµ (d2) song song víi nhau. e. (d1) vµ (d2) vu«ng gãc víi nhau. b. (d1) vµ (d2) trïng nhau. Bµi 2: Cho hµm sè y = (m + 3)x + n (m ≠ - 3) (d). T×m c¸c gi¸ trÞ cña m, n ®Ó ®êng th¼ng (d): a. §i qua ®iÓm A(1; - 3) vµ B(- 2; 3). b. C¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 1 3 , c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é 3 3 . c. C¾t ®êng th¼ng 3y - x - 4 = 0. d. Song song víi ®êng th¼ng 2x + 5y = - 1. e. Trïng víi ®êng th¼ng y - 3x - 7 = 0. Bµi 3: Cho hµm sè: y = (m + 4)x - m + 6 (d). a. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hµm sè ®ång biÕn, nghÞch biÕn. b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m, biÕt r»ng ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(-1; 2). VÏ ®å thÞ cña hµm sè víi gi¸ trÞ t×m ®îc cña m. Page 21
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN c. Chøng minh r»ng khi m thay ®æi th× c¸c ®êng th¼ng (d) lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Bµi 4: Cho hµm sè: y = (3m – 2)x – 2m. a. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 2. b. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 2. c. X¸c ®Þnh täa ®é giao ®iÓm cña hai ®å thÞ øng víi gi¸ trÞ cña m t×m ®îc ë c©u a, b. Bµi 5: Cho ba ®êng th¼ng y = -x + 1, y = x + 1 vµ y = -1. a. VÏ ba ®êng th¼ng ®· cho trªn cïng mét hÖ trôc täa ®é Oxy. b. Gäi giao ®iÓm cña ®êng th¼ng y = -x + 1 vµ y = x + 1 lµ A, giao ®iÓm cña ®êng th¼ng y = -1 víi hai ®êng th¼ng y = -x + 1 vµ y = x + 1 theo thø tù lµ B vµ C. T×m täa ®é c¸c ®iÓm A, B, C. c. Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g×? TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. Bµi 6: Cho ®êng th¼ng (d): ;y = - 2x + 3. a. X¸c ®Þnh täa ®é giao ®iÓm A vµ B cña ®êng th¼ng d víi hai trôc Ox, Oy, tÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm O(0; 0) ®Õn ®êng th¼ng d. b. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm C(0; -2) ®Õn ®êng th¼ng d. 1 7 Bµi 7: T×m gi¸ trÞ cña k ®Ó ba ®êng th¼ng: y = 2x + 7 (d1) ; y x (d2); 3 3 2 1 y x (d3) ®ång quy trong mÆt ph¼ng täa ®é. k k Bµi 8: Cho hai ®êng th¼ng: y = (m + 1)x - 3 vµ y = (2m - 1)x + 4. 1 a. Chøng minh r»ng khi m th× hai ®êng th¼ng ®· cho vu«ng gãc víi nhau. 2 b. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ®êng th¼ng ®· cho vu«ng gãc víi nhau. Bµi 9: Cho ®êng th¼ng: y = 4x (d). a. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d1) song song víi ®êng th¼ng (d) vµ cã tung ®é gèc b»ng 10. b. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d2) vu«ng gãc víi ®êng th¼ng (d) vµ c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng – 8. c. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d3) song song víi ®êng th¼ng (d) c¾t trôc Ox t¹i A, c¾t trôc Oy t¹i B vµ diÖn tÝch tam gi¸c AOB b»ng 8. 1 Bµi 10: Cho hµm sè: y = 2x + 2 (d1)y x 2 (d2). 2 a. VÏ ®å thÞ cña hai hµm sè ®· cho trªn cïng mét hÖ trôc täa ®é Oxy. b. Gäi giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d1) víi trôc Oy lµ A, giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d2) víi trôc Ox lµ B, cßn giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d1) vµ (d2) lµ C. Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g×? T×m täa ®é c¸c ®iÓm A, B, C. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. Bµi 11: Cho hai ®êng th¼ng: y = x + 3 (d1) vµ y = 3x + 7 (d2). a. VÏ ®å thÞ cña c¸c hµm sè ®· cho trªn cïng mét hÖ trôc täa ®é Oxy. b. Gäi giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d1) vµ (d2) víi trôc Oy lÇn lît lµ A vµ B. T×m täa ®é trung ®iÓm I cña ®o¹n AB. c. Gäi J lµ giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng (d1) vµ (d2). Chøng minh tam gi¸c OIJ lµ tam gi¸c vu«ng. TÝnh diÖn tÝch cña tam gi¸c ®ã. Quan hÖ gi÷a Parabol y = ax2 (a 0) vµ ®êng th¼ng y = mx + n (m 0) Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + n. Khi ®ã y ax2 - Täa ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh y mx n Page 22
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN - Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax2= mx + n (*) - Sè giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*) + NÕu (*) v« nghiÖm th× (P) vµ (d) kh«ng cã ®iÓm chung + NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau + NÕu (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt 1 Bµi 1. Cho hµm sè y x2 . 2 1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè trªn. 2. LËp phong tr×nh ®êng th¼ng (D) qua A(- 2; - 2) vµ tiÕp xóc víi (P). Bµi 2. Cho (P) lµ ®å thÞ cña hµm sè y = ax2 vµ ®iÓm A(- 2; -1) trong cïng hÖ trôc. 1. T×m a sao cho A thuéc (P). VÏ (P) víi a t×m ®îc. 2. Gäi B lµ ®iÓm thuéc (P) cã hoµnh ®é lµ 4. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng AB. 3. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng tiÕp xóc víi (P) vµ song song víi AB. Bµi 3. Cho hµm sè: y = x2 vµ y = x + m (m lµ tham sè). 1. T×m m sao cho ®å thÞ (P) cña hµm sè y = x2 vµ ®å thÞ (D) cña y = x + m cã hai giao ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. 2. T×m phong tr×nh cña ®êng th¼ng (d) vu«ng gãc víi (D) vµ (d) tiÕp xóc víi (P). 3. a). ThiÕt lËp c«ng thøc tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm theo täa ®é cña hai ®iÓm Êy. b). ¸p dông: T×m m sao cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A, B (ë c©u 1) lµ 3 3 . Bµi 4. Trong cïng hÖ trôc täa ®é gäi (P) lµ ®å thÞ hµm sè y = ax2 vµ (D) lµ ®å thÞ hsè y = - x + m. 1. T×m a biÕt r»ng (P) ®i qua A(2; -1) vµ vÏ (P) víi a t×m ®îc. 2. T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P) (ë c©u 1) vµ t×m täa ®é tiÕp ®iÓm. 3. Gäi B lµ giao ®iÓm cña (D) (ë c©u 2) víi tung ®é. C lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua trôc tung. Chøng tá r»ng C n»m trªn (P) vµ tam gi¸c ABC vu«ng c©n. Bµi 5. Trong cïng mÆt ph¼ng täa ®é cho hai ®êng th¼ng: (D1): y = x + 1; (D2): x + 2y + 4 = 0 1. T×m täa ®é giao ®iÓm A cña (D1) vµ (D2) b»ng ®å thÞ vµ kiÓm tra l¹i b»ng phÐp to¸n. 2. T×m a trong hµm sè y = ax2 cã ®å thÞ (P) qua A. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (P) víi a võa t×m ®îc. 3. T×m phong tr×nh cña ®êng th¼ng tiÕp xóc víi (P) t¹i A. 1 Bµi 6. Cho (P): y x2 vµ ®t (D) qua 2 ®iÓm A vµ B trªn (P) cã hoµnh ®é lÇn lît lµ - 2 vµ 4. 4 1. VÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè trªn. 2. ViÕt phong tr×nh cña (D). 1 Bµi 7. Trong cïng hÖ trôc vu«ng gãc, cho parabol (P): y x2 vµ ®t (D): y = mx - 2m - 1. 4 1. VÏ (P). 2. T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P). 2. Chøng tá r»ng (D) lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh A thuéc (P). 1 3 Bµi 8. Cho parabol (P): y x2 vµ ®êng th¼ng (D) qua ®iÓm I( ; 1) cã hÖ sè gãc m. 4 2 1. VÏ (P) vµ viÕt phong tr×nh cña (D). 2. T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P). 3. T×m m sao cho (D) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt. 1 1 Bµi 9. Trong cïng hÖ trôc täa ®é cho parabol (P): y x2 vµ ®êng th¼ng (D): y x 2 . 4 2 1. VÏ (P) vµ (D). 2. B»ng phÐp to¸n, t×m täa ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (D). 3. T×m täa ®é cña ®iÓm thuéc (P) sao cho t¹i ®ã ®êng tiÕp tuyÕn cña (P) song song víi (D). 1 Bµi 10. Cho parabol y x2 (P), ®iÓm I(0; 2) vµ ®iÓm M(m; 0) víi m ≠ 0. 2 1. VÏ (P). ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng (D) ®i qua hai ®iÓm M, I. 2. Cmr ®êng th¼ng (D) lu«n lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B víi mäi m ≠ 0. Page 23
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN 3. Gäi H vµ K lµ h×nh chiÕu cña A vµ B lªn trôc hoµnh. CMR tam gi¸c IHK lµ tam gi¸c vu«ng. 4. Chøng minh r»ng ®é dµi ®o¹n AB > 4 víi mäi m ≠ 0. Bµi 11. Trong cïng hÖ trôc täa ®é, cho parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0) vµ ®êng th¼ng (D): y = kx + b. 1. T×m k vµ b cho biÕt (D) ®i qua hai ®iÓm A(1; 0) vµ B(0; -1). 2. T×m a biÕt r»ng (P) tiÕp xóc víi (D) võa t×m ®îc ë c©u 1). 3. VÏ (D) vµ (P) võa t×m ®îc ë c©u 1) vµ 2). 3 4. Gäi (d) lµ ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm C ; 1 vµ cã hÖ sè gãc m. 2 a. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng cña (d). b. Chøng tá r»ng qua ®iÓm C cã hai ®êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi (P) (ë c©u 2) vµ vu«ng gãc víi nhau. Bµi 12. Cho hµm sè y = x2 cã ®å thÞ (P) trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy. 1. VÏ (P). 2. Gäi A vµ B lµ 2 ®iÓm n»m trªn (P) lÇn lît cã hoµnh ®é -1 vµ 2. CMR: tam gi¸c OAB vu«ng 3. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng (D) song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P). 4. Cho ®êng th¼ng (d): y = mx + 1 (víi m lµ tham sè). c. Chøng minh r»ng; (d) lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m. 1 1 d. T×m m sao cho (d) c¾t ®å thÞ (P) t¹i hai ®iÓm cã hoµnh ®é x1, x2 tháa m·n: 2 2 11 . x1 x2 VÏ (d) víi m t×m ®îc. Bµi 13. Cho parabol (P): y = ax2 vµ hai ®iÓm A(2; 3), B(- 1; 0). 1. T×m a biÕt r»ng (P) ®i qua ®iÓm M(1; 2). Kh¶o s¸t vµ vÏ (P) víi a t×m ®îc. 2. T×m phong tr×nh ®êng th¼ng AB råi t×m giao ®iÓm cña ®êng th¼ng nµy víi (P) (ë c©u 1). 3. Gäi C lµ giao ®iÓm cã hoµnh ®é d¬ng. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng qua C vµ cã víi (P) mét ®iÓm chung duy nhÊt. Bµi 14. Cho parabol (P): y = ax2 vµ hai ®iÓm A(- 2; - 5) vµ B(3; 5). 1. ViÕt ptr×nh ®êng th¼ng AB. X¸c ®Þnh a ®Ó ®t AB tiÕp xóc víi (P). T×m täa ®é tiÕp ®iÓm. 2. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (P) víi a võa t×m ®îc. 3. Mét ®êng th¼ng (D) di ®éng lu«n lu«n vu«ng gãc víi AB vµ c¾t (P) t¹i hai ®iÓm M vµ N. 5 X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña (D) ®Ó MN . 2 Bµi 15. Cho hµm sè: y = x2 - 2x + m - 1 cã ®å thÞ (P). 1. VÏ ®å thÞ (P) khi m = 1. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ (P) cña hµm sè tiÕp xóc víi trôc hoµnh. 2. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ (P) cña hµm sè c¾t ®êng th¼ng (d) cã phong tr×nh: y = x + 1 t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. Bµi 16. Cho ®êng th¼ng (D1): y = mx – 3; (D2): y = 2mx + 1 - m. 1. VÏ trªn cïng mÆt ph¼ng täa ®é Oxy c¸c ®êng th¼ng (D1) vµ (D2) øng víi m = 1. T×m täa ®é giao ®iÓm B cña chóng. Qua O viÕt phong tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc víi (D1) t¹i A. X¸c ®Þnh A vµ tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AOB. 2. Chøng tá r»ng c¸c ®êng th¼ng (D1) vµ (D2) ®Òu ®i qua nh÷ng ®iÓm cè ®Þnh. T×m täa ®é cña ®iÓm cè ®Þnh. 1 Bµi 17. Cho parabol (P): y x2 . 2 1. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng cã hÖ sè gãc m vµ ®i qua ®iÓm A trªn trôc hoµnh cã hoµnh ®é lµ 1, ®êng th¼ng nµy gäi lµ (D). 2. BiÖn luËn theo m sè giao ®iÓm cña (P) vµ (D). 3. ViÕt phong tr×nh ®êng th¼ng (D) tiÕp xóc víi (P). T×m täa ®é tiÕp ®iÓm. 4. Khi (D) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña AB. Page 24
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN 5. T×m trªn (P) c¸c ®iÓm mµ ®êng th¼ng (D) kh«ng ®i qua víi mäi m. CHỦ ĐỀ 5: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Thông tư số 91/2015/TT-BGTVT ngày 31/12/2015 của Bộ GTVT quy định về tốc độ và khoảng cách an toàn của xe cơ giới, xe máy chuyên dùng tham gia giao thông đường bộ, trừ khi có biển báo hạn chế tốc độ tối đa khác, thì xe máy được lưu thông với tốc độ như sau: - Đường đôi (có dải phân cách giữa); đường một chiều có từ 2 làn xe cơ giới trở lên: Tối đa 60km/h. - Đường hai chiều không có dải phân cách giữa; đường một chiều có 1 làn xe cơ giới: 50km/h. Một người đi xe máy từ thành phố A đến thành phố B. Lúc về người đó tăng vận tốc thêm 5km/h, do đó thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút. Quãng đường từ thành phố A đến thành phố B dài 120km. Vậy lúc đi người này có vượt quá tốc độ cho phép không? Bài 2: Một hãng tacxi quy định giá thuê xe đi mỗi km là 10500 đồng đối với 10 km đầu tiên và 9200 đồng đối với các km tiếp theo. a) Hỏi một hành khách thuê xe taxi của hãng đó đi quãng đường 21km thì phải trả bao nhiêu tiền? b) Hãy viết hàm số p(x) là số tiền phải trả trong đó x là số km mà hành khách đó đã đi? Bài 3. Một hãng Taxi đưa ra cách tính tiên như sau: Quãng đường đi nhỏ hơn 1km phải trả 12000 đồng và 10000 đồng phụ thu. Từ km thứ 2 đến km thứ 10 mỗi km phải trả 10000 đồng và số tiền phụ thu giảm dần 1000 đồng/1km (tức là quãng đường cứ tăng lên 1 km thì số tiền phụ thu giảm 1000 đồng). Từ km thứ 11 trở đi được tính đồng giá 8000 đồng /km. Một lần bạn Huyền đi chơi cùng gia đình bằng taxi của hãng trên, quãng đường đã đi là một số tự nhiên có 2 chữ số. Biết rằng chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị là 1. Tổng bình phương 2 chữ số ấy bằng 41. Hỏi gia đình bạn Huyền phải trả bao nhiêu tiền? Bài 4: Một trường THCS tổ chức cho học sinh giỏi đi dâng hương và báo công tại Văn Miếu Quốc Tử Giám- Hà Nội bằng phương tiện ô tô trong một thời gian quy định . Ô tô bắt đầu khởi hành ở trường từ lúc 6 giờ sáng , sau khi đi được 1 giờ ô tô gặp đoạn đường có tàu hỏa đi ngang qua nên đã dừng lại 10 phút . Do đó , để đến Hà Nội theo đúng thời gian dự định, xe phải tăng vận tốc trung bình thêm 6 km/h. Biết quãng đường từ trường đến Văn Miếu là 120 km , tính vận tốc lúc đầu của ô tô và thời điểm ô tô đến Văn Miếu ? Bài 5: Một hãng taxi giá rẻ tính giá tiền theo hai gói cước trong bảng giá như sau: Gói 1: Giá mở cửa là 6000 đồng/1km cho 10km đầu tiên và 2500 đồng với mỗi km tiếp theo Gói 2: 4000 đồng cho mỗi km trên cả quãng đường. Nếu bác An cần đi một quãng đường là 42km thì chọn gói cước nào có lợi hơn? Nếu bác An cần đi một quãng đường là x km mà chọn gói cước 1 có lợi hơn thì x phải thỏa mãn điều kiện gì? Bài 6: Hai hãng xe taxi có bảng giá như sau: -Hãng A: Cứ 10000 đồng/1km và phụ thu thêm 15000 đồng. -Hãng B: 12000 đồng/ 1km. a) Bác An đi 20km. Hỏi bác An nên đi xe nào thì có lợi hơn? b) Nếu bác An chọn đi xe taxi của hãng B thì quãng đường bác An đi thỏa mãn điều kiện gì thì có lợi hơn đi xe của hãng A? Bài 7. Đường cao tốc Hà Nội - Hải Phòng (còn gọi là Quốc lộ 5B, ký hiệu toàn tuyến là CT 04), là một trong 6 tuyến cao tốc được xây dựng theo quy hoạch tại miền Bắc Việt Nam. Đây là dự án đường ô-tô cao tốc loại A dài 105,5 km từ Thủ đô Hà Nội qua Hưng Yên, Hải Dương tới thành phố cảng Hải Phòng. Toàn tuyến có chiều rộng mặt cắt ngang bình quân 100 m, mặt đường rộng từ 32,5 đến 35 m với sáu làn xe chạy theo tốc độ thiết kế lên tới 120 km/giờ, hai làn dừng xe khẩn cấp, Page 25
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN dải phân cách cứng ở giữa, dải cây xanh hai bên. Các loại xe ô-tô có tốc độ thiết kế dưới 60 km/giờ và xe máy không được đi vào đường này. Trên cùng tuyến đường cao tốc Hải Phòng – Hà Nội dài 105,5km. Xe 16 chỗ ở Hải Phòng, xe 47 chỗ ở Hà Nội khởi hành cùng một lúc và đi ngược chiều nhau sau 30 phút hai xe gặp nhau. Tìm vận tốc mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe 47 chỗ đi nhanh hơn xe 16 chỗ 11km. Với vận tốc hai xe vừa tìm được em hãy cho biết hai xe đó đã chấp hành đúng qui định luật giao thông chưa? Bài 8. Theo Điều 6 Nghị định 171/2013/NĐ-CP về xử phạt vi phạm hành chính trong lĩnh vực giao thông đường bộ và đường sắt. Cụ thể: “ Đối với ôtô: Phạt tiền từ 600.000 đến 800.000 đồng nếu điều khiển xe chạy quá tốc độ quy định từ 5 km/h đến dưới 10 km/h. Phạt tiền từ 2 triệu đến 3 triệu đồng nếu điều khiển chạy quá tốc độ quy định từ 10 km/h đến 20 km/h. Phạt tiền từ 4 triệu đến 6 triệu đồng nếu điều khiển xe chạy quá tốc độ quy định trên 20 km/h đến 35 km/h. Phạt tiền từ 7 triệu đến 8 triệu đồng nếu điều khiển xe chạy quá tốc độ quy định trên 35 km/h; điều khiển xe đi ngược chiều trên đường cao tốc, trừ các xe ưu tiên đang đi làm nhiệm vụ khẩn cấp theo quy định.” Áp dụng các quy định trên để giải bài toán sau: Một cơ quan tổ chức đi du lịch Hà Nội – Cát Bà bằng 2 xe ô tô qua đường cao tốc Hà Nội – Hải Phòng dài 120km. Hai xe cùng khởi hành lúc tại đầu đường cao tốc phía Hà Nội, xe thứ nhất chạy chậm hơn xe thứ hai 44km/h do đó xe thứ nhất đến hết đường cao tốc chậm hơn xe thứ hai là 22 phút. Biết rằng khi đến cuối đường có trạm kiểm soát tốc độ, hỏi khi đó có xe nào trong hai xe bị xử phạt vi phạm tốc độ hay không? Mức xử phạt là bao nhiêu tiền? (Giả sử vận tốc hai xe không đổi trên cao tốc) Bài 9. Biết rằng, theo quy định tốc độ tối đa của xe đạp điện là 25 km/h. Hai bạn Tuấn và Hoa học trường nội trú, một hôm hai bạn cùng xuất phát một lúc để đi từ trường đến trung tâm văn hóa các dân tộc trên quãng đường dài 26 km bằng phương tiện xe đạp điện. Mỗi giờ Tuấn đi nhanh hơn Hoa 2km nên đến nơi sớm hơn 5 phút. Hỏi hai bạn đi như vậy có đúng vận tốc quy định hay không? Bài 10. Tại chân một chiếc cầu có biển báo giao thông hình tròn viền mầu đỏ nền mầu trắng có ghi 10T ( hình bên) . Một ô tô tải có trọng lượng của xe là 2,7 tấn muốn trở một số thùng hàng như nhau đi qua cầu trên. Hỏi ô tô đó trở được tối đa bao nhiêu thùng hàng? Biết rằng mỗi thùng hàng nặng 500 kg Bài 11. Anh Nam đi từ địa điểm A đến địa điểm B trên tuyến đường có biển báo giao thông bên. Anh tính rằng nếu giảm vận tốc đi 10km/h anh sẽ đến B chậm 1h15ph so với dự định. Nếu anh tăng vận tốc thêm 10 km/h anh sẽ đến B sớm hơn dự định 45ph. Tính vận tốc anh Nam dự định đi Theo bạn anh Nam nên đi như thế nào? Bài 12. Em có thể tưởng tượng được hai lá phổi (gọi tắt là phổi) của mình chứa khoảng bao nhiêu lít không khí hay không? Dung tích phổi của mỗi người phụ thuộc vào một số yếu tố, trong đó hai yếu tố quan trọng là chiều cao và độ tuổi. Sau đây là một công thức ước tính dung tích chuẩn phổi của mỗi người: Nam: P= 0,057h – 0,022a – 4,23 Nữ: Q= 0,041h – 0,018a – 2,69 Page 26
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN Trong đó: h: chiều cao tính bằng xentimét. a: tuổi tính bằng năm P, Q: dung tích chuẩn của phổi tính bằng lít. Ví dụ: Bạn Lâm (nam) 15 tuổi, cao 169 cm thì dung tích chuẩn phổi của Lâm tính theo công thức trên là: P= 0,057 x 169 – 0,022 x 15 – 4,23 = 5,073 (lít). Bạn Hải (nam) có số đo chiều cao được tính bằng xentimét như sau: Là một số tự nhiên có 3 chữ số, trong đó chữ số hàng trăm là 1. Biết rằng chữ số hàng chục kém chữ số hàng đơn vị là 2. Nhưng 2 lần chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị là 4. Tính số đó chiều cao của bạn Hải (nam). Nếu coi dung tích phổi của Lâm là dung tích chuẩn. Em có nhận xét gì về dung tích phổi của Hải và đưa ra lời khuyên cho bạn vê luyện tập, ăn uống cũng như học tập và nghỉ ngơi Bài 13. Em có tưởng tượng được hai lá phổi ( gọi tắt là phổi) của mình chứa khoảng bao nhiêu lít không khí hay không ? Dung tích phổi của mỗi người phụ thuộc vào một số yếu tố,trong đó hai yếu tố quan trọng là chiều cao và độ tuổi. Sau đây là một công thức ước tính dung tích chuẩn phổi của mỗi người: Nam: P = 0,057h – 0,022a – 4,23 Nữ : Q = 0,041h – 0,018a – 2,69 Trong đó: h: chiều cao tính bằng xentimet, a: tuổi tính bằng năm P, Q : dung tích chuẩn của phổi tính bằng lít Hãy tính dung tích chuẩn phổi của bạn Lan(nữ) có chiều cao là 150cm. Biết tuổi của bạn Lan là một số tự nhiên có 2 chữ số, tổng 2 chữ số của nó là 5. Nếu viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì được số mới lớn hơn số đã cho 27 đơn vị. Bài 13. Đường cao tốc Hà Nội - Hải Phòng (còn gọi là Quốc lộ 5B, ký hiệu toàn tuyến là CT 04), là một trong 6 tuyến cao tốc được xây dựng theo quy hoạch tại miền Bắc Việt Nam. Đây là dự án đường ô-tô cao tốc loại A dài 105,5 km từ Thủ đô Hà Nội qua Hưng Yên, Hải Dương tới thành phố cảng Hải Phòng. Toàn tuyến có chiều rộng mặt cắt ngang bình quân 100 m, mặt đường rộng từ 32,5 đến 35 m với sáu làn xe chạy theo tốc độ thiết kế lên tới 120 km/giờ, hai làn dừng xe khẩn cấp, dải phân cách cứng ở giữa, dải cây xanh hai bên. Các loại xe ô-tô có tốc độ thiết kế dưới 60 km/giờ và xe máy không được đi vào đường này. Trên cùng tuyến đường cao tốc Hải Phòng – Hà Nội dài 105,5km. Xe 16 chỗ ở Hải Phòng, xe 47 chỗ ở Hà Nội khởi hành cùng một lúc và đi ngược chiều nhau sau 30 phút hai xe gặp nhau. Tìm vận tốc mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe 47 chỗ đi nhanh hơn xe 16 chỗ 11km. Với vận tốc hai xe vừa tìm được em hãy cho biết hai xe đó đã chấp hành đúng qui định luật giao thông chưa? Bài 14. Theo thông tư Số: 13/2016/TTLT-BYT-BGDĐT Liên bộ Y tế và Giáo dục quy định về công tác y tế trường học như sau: 1. Bảo đảm nước uống, nước sinh hoạt a) Trường học cung cấp đủ nước uống cho học sinh, tối thiểu 0,5 lít về mùa hè, 0,3 lít về mùa đông cho một học sinh trong một buổi học; b) Trường học cung cấp đủ nước sinh hoạt cho học sinh, tối thiểu 4 lít cho một học sinh trong một buổi học; nếu dùng hệ thống cấp nước bằng đường ống thì mỗi vòi sử dụng tối đa cho 200 học sinh trong một buổi học; c) Trường học có học sinh nội trú cung cấp đủ nước ăn uống và sinh hoạt, tối thiểu 100 lít cho một học sinh trong 24 giờ; Page 27
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN Căn cứ vào thông tư trên, giải bài toán sau: Trường THCS A tính bình quân mỗi buổi học mùa hè cung cấp 30 bình nước sạch (loại bình 20 lít) và trong mỗi buổi học mùa đông cung cấp 15 bình 1 nước như vậy. Do đó bình quân mỗi buổi học mùa đông thì mỗi học sinh đã uống giảm đi lít so 3 với mỗi buổi học mùa hè. Tính số học sinh của trường đó? Nhà trường đã thực hiện đúng thông tư trên chưa? Vì sao? Bài 15. BMI (body Mas Index) chính là chỉ số cơ thể được các bác sĩ và các chuyên gia sức khỏe sử dụng để xác định trình trạng cơ thể của một người nào đó có bị béo phì , thừa cân hay quá gầy hay không .Thông thường người ta dùng để tính toán mức độ béo phì. Nhược điểm duy nhất của chi số BMI là nó không thể tính được lượng chất béo trong cơ thể -yếu tố p tiềm ẩn các nguy cơ liên quan đến sức khẻo tương lai . Chỉ số BMI được tính như sau : BMI = h 2 (p là trọng lượng cơ thể (kg) ; h là chiều cao (m) . Ta có thể tự đánh giá được chỉ số BMI của bản thân như sau BMI 30 béo phì Khi Hải đi khám sức khỏe , bác sĩ đo được trọng lượng của anh là p (kg) và chiều cao là h (m) . Biết p là số tự nhiên có hai chữ số , có tổng của chữ số hàng chục và hàng đơn vị bằng 12 . Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau được số mới lớn hơn số đã cho 18 đơn vị ; Còn h là độ dài của cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 9 dm,và 12 dm . Có nhận xét gì về chí số BMI của bạn Hải . Bài 16. Trong một cuộc thi về “ bữa ăn dinh dưỡng”, ban tổ chức yêu cầu để đảm bảo lượng dinh dưỡng hằng ngày thì mỗi gia đình cần ít nhất 900 đơn vị Prôtêin và 400 đơn vị Lipít trong thức ăn hằng ngày. Mỗi kg thịt bò chứa 800 đơn vị Prôtêin và 200 đơn vị Lipit, 1kg thịt lợn chứa 600 đơn vị Prôtêin và 400 đơn vị Lipit. Biết rằng: 1 kg thịt bò giá 100.000đ, 1kg thịt lợn giá 70.000đ và chỉ được mua tối đa 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. Phần thắng sẽ thuộc về gia đình nào nấu nhanh nhất, ngon nhất, trong khẩu phần thức ăn đảm bảo chất dinh dưỡng là 900 đơn vị Prôtêin và 500 đơn vị Lipít trong thức ăn hằng ngày với chi phí bỏ ra là ít nhất. Hỏi: a) Nếu chỉ mua thịt bò hoặc chỉ mua thịt lợn có được không? Vì sao? b) Nếu mua cả hai loại thịt bò và thịt lợn thì mỗi loại bao nhiêu kilôgam thịt? Bài 17. Cách đây hơn một thế kỉ, nhà khoa học người Ha Lan Lo– ren – tơ đưa ra công thức tính T 150 số cân nặng lí tưởng của con người theo chiều cao của người đó như sau: M = T – 100 – . N Trong đó M là số cân nặng tính theo kilogam; T là chiều cao tính theo xentimet; N = 4 với nam giới và N = 2 với nữ giới. Lần khám sức khỏe gần đây của bạn Hùng học sinh nam lớp 9 có số đo chiều cao là 170 cm và cân nặng là P(kg). Biết rằng: P là số tự nhiên có hai chữ số, tổng hai chữ số đó là 7 và nếu viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số ta được số mới lớn hơn số đã cho là 450 đơn vị. Theo em cân nặn của bạn Hùng có là lí tưởng không, em có lời khuyên gì cho bạn Thịnh. Bài 18. IQ LÀ GÌ? IQ là ký hiệu lấy hai chữ cái đầu của từ tiếng Anh là “Intelligence Quotient”, thường dịch là thương số trí tuệ hay còn gọi là chỉ số thông minh. Chỉ số này của mỗi người nói lên năng lực trí tuệ của người đó. AM Chỉ số thông minh IQ được tính theo công thức: IQ .100 AR Trong đó AM là tuổi khôn, AR là tuổi thực. Tuổi khôn được xác định qua các nghiệm pháp (Tests) hình vẽ, để kiểm tra khả năng nhớ, suy đoán, tính toán của con người. Để đánh giá được một Page 28
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN người có chỉ số thông minh tới mức nào, các nhà nghiên cứu đã kiểm nghiệm và đưa ra bảng mô tả sau: Khoảng điểm IQ Mô tả ý nghĩa 0 – 55 Trí tuệ rất kém 55 – 70 Chậm phát triển tâm thần 70 – 85 Kém thông minh 85 – 115 Trí tuệ bình thường 115 – 130 Thông minh 130 – 145 Trí thông minh cao (có tài) 145 – 160 Thiên tài Em Đào Nhật Minh năm nay 8 tuổi, khi được kiểm tra bằng nghiệm pháp (Tests) được số điểm quy theo độ tuổi là 11. Có nhận xét gì về chỉ số IQ của em Minh? Bài 19. Theo các bác sĩ và chuyên gia nghiên cứu sự phát triển về cân nặng của trẻ em thì:Trẻ em tròn 5 tuổi ( 60 tháng) nếu : -Cân nặng từ 14 đến 19 kg là bình thường( Kênh A), -Cân nặng từ 12 đến 14 kg là suy dinh dưỡng vừa( Kênh B), -Cân nặng từ 10 đến 12 kg là suy dinh dưỡng nặng( Kênh C), cân nặng từ 7 đến 10kg là suy dinh dưỡng rất nặng( Kênh D), Căn cứ vào đó cô giáo hoặc các mẹ có thể tự đánh giá được sự phát triển của con mình trong độ tuổi trên. Em của Nam năm nay tròn 5 tuổi, trong đợt kiểm tra sức khỏe tháng 2 vừa qua cô giáo đã cân và cho biết Năm nặng m(kg) .Biết rằng m là số tự nhiên có hai chữ số,nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 63 và tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99.Nhận xét gì về chỉ số cân nặng của em bạn Nam. Bài 20. Thuế VAT là thuế mà người mua hàng phải trả, người bán hàng thu và nộp cho Nhà nước. Giả sử thuế VAT đối với mặt hàng A được quy định là 10%. Khi đó nếu giá bán của mặt hàng A là x đồng thì kể cả thuế VAT, người mua mặt hàng này phải trả tổng cộng là x + 10%x đồng. Bạn Hải mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 480 nghìn đồng, trong đó đã tính cả 40 nghìn đồng là thuế giá trị gia tăng (viết tắt là thuế VAT). Biết rằng thuế VAT đối với mặt hàng thứ nhất là 10%; thuế VAT đối với mặt hàng thứ hai là 8%. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì bạn Hải phải trả mỗi mặt hàng giá bao nhiêu tiền. Bài 21. Để khuyến khích tiết kiệm điện, giá điện sinh hoạt được tính theo kiểu lũy tiến, nghĩa là nếu người sử dụng càng dùng nhiều điện thì giá mỗi số điện càng tăng lên theo các mức sau: Mức 1: Tính cho 50 số điện đầu tiên. Mức 2: Tính cho số điện thứ 51 đến 100, mỗi số đắt hơn 100 đồng so với mức 1. Mức 3: Tính cho số điện thứ 101 đến 200, mỗi số đắt hơn 200 đồng so với mức 2. Mức 4: Tính cho số điện thứ 201 đến 300, mỗi số đắt hơn 500 đồng so với mức 3. Mức 5: Tính cho số điện thứ 301 đến 400, mỗi số đắt hơn 250 đồng so với mức 4. Mức 6: Tính cho số điện thứ 401 trở lên, mỗi số đắt hơn 80 đồng so với mức 5. Ngoài ra người sử dụng còn phải trả thêm 10% thuế giá trị gia tăng (thuế VAT) Tháng vừa rồi nhà bạn Dũng dùng hết 185 số điện và phải trả 328 625 đồng. Hỏi mỗi số điện ở mức 1 giá bao nhiêu tiền. Page 29
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN Bài 22. Trong một đợt ủng hộ các bạn nhỏ vùng khó khăn, lớp 9A đặt ra chỉ tiêu phải quyên góp được 135 bộ sách giáo khoa. Khi thực hiện, mặc dù có 5 học sinh nghỉ đột xuất không tham gia được, nhưng số còn lại mỗi em lại đóng góp vượt chỉ tiêu 2 bộ sách giáo khoa nên toàn lớp vượt chỉ tiêu 65 bộ sách giáo khoa so với dự định. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh? Bài 23. Cách đây hơn 400 năm, Ga–li–lê (1564 – 1642) nhà thiên văn học, nhà triết học người Ytalia đã làm thí nghiệm đo vận tốc rơi, ông dùng hai quả cầu bằng chì, quả này nặng gấp 10 quả kia và cho rơi cùng một lúc từ đỉnh tháp nghiêng. Kết quả nhiều lần cho thấy hai quả cầu đều chạm đất cùng một lúc. Quãng đường chuyển động là s(mét) của vật rơi phụ thuộc vào t (giây) bởi công thức s = 4t2. Nếu vật rơi ở độ cao so với mặt đất 100m. Sau 1 giây vật này cách đất bao nhiêu mét? Sau bao lâu vật này tiếp đất? Bài 24. Trong đợt quyên góp ủng hộ miền Trung bị bão lụt của Trường THCS Hồng Bàng, lớp 9A1 và 9A2 có 89 học sinh quyên góp được 1105000 đồng. Mỗi học sinh lớp 9A1 đóng góp 10000 đồng, mỗi học sinh lớp 9A2 đóng góp 15000 đồng. Tính số học sinh mỗi lớp. Bài 25. Để giúp các bạn học sinh hiểu được chiến thắng lừng lẫy của Đức vương Ngô Quyền trên sông Bạch Đằng, về vị trí vai trò của Từ Lương Xâm xưa và nay, cũng như nét đẹp độc đáo của lễ rước kiệu của các phường thuộc quận Hải An trong ngày hội Từ Lương Xâm ngày nay. Trường THCS Lê Lợi đã thực hiện chuyên đề “ Từ Lương Xâm – Hồn thiêng sông núi”. Trong đó một số học sinh khối 7 được tham gia chuyên đề và xếp theo các hàng sao cho số học sinh các hàng bằng nhau. Nếu xếp tăng 3 hàng, mỗi hàng giảm 4 học sinh so dự định lúc đầu thì vừa đủ không thừa học sinh nào. Nếu giảm 2 hàng, mỗi hàng tăng 5 học sinh thì cần thêm 10 học sinh so với số học sinh dự định lúc đầu. Tính số học sinh khối 7 dự định lúc đầu được tham gia trong chuyên đề. Bài 26. Bác Thành định làm ngôi nhà với diện tích 100m2. Bác dự tính tiền vật liệu và tiền công thợ theo m2 xây dựng, tổng chi phí là 800 triệu đồng. Nhưng khi thực hiện, bác xây thêm 50m2 nữa. 1 Khi đó giá vật liệu tăng thêm 10%, tiền công thợ cũng tăng thêm so với giá dự định. Vì thế chi 6 phí là 1,326 tỉ đồng. Hỏi thực tế bác đã phải chi cho mỗi mét vuông bao nhiêu tiền vật liệu và bao nhiêu tiền công thợ? Bài 27. Vào thế kỷ III trước công nguyên, vua xứ Xiracut giao cho Acsimet kiểm tra xem chiếc mũ bằng vàng của nhà vua có bị pha thêm bạc hay không. Chiếc mũ có trọng lượng 5 Niutơn (theo đơn vị hiện nay), nhúng trong nước thì trọng lượng giảm 0,3 Niu tơn. Biết rằng khi cân trong nước, vàng giảm 1/20 trọng lượng, bạc giảm 1/10 trọng lượng. ( Vật có khối lượng 100 gam thì có trọng lượng 1 Niu tơn). Bài 28. Dân số xã X hiện nay có 10 000 người. Người ta dự đoán sau 2 năm dân số xã X là 10 404 người. Hỏi trung bình hàng năm dân số xã X tăng bao nhiêu phần trăm? Bài 29. Một người đang muốn chọn mua một cái tủ lạnh trong hai loại, tủ lạnh A giá 3,5 triệu đồng và sử dụng trung bình khoảng 500 kw điện trong một năm, tủ lạnh B giá 4 triệu đồng và sử dụng trung bình khoảng 400 kw điện trong một năm. Biết rằng hai loại A và B đều có công năng như nhau và giá 1 kw điện là 2000 đồng. Người này dự tính mua tủ lạnh để sử dụng trong 3 năm. Tính tổng số tiền chi phí trong 1 năm cho mỗi loại tủ lanh (bao gồm tiền mua tủ lạnh và tiền điện). Theo em nên chọn loại tủ lạnh nào để tiết kiệm tiền nhất? tại sao? Thời gian sử dụng bao lâu thì nên chọn mua tủ lạnh loại A hoặc loại B? Bài 30. An mua hai loại hàng phải trả tổng cộng 240000 đồng, trong đó tính cả 20000 đồng tiền thuế giá trị gia tăng (VAT). Biết thuế VAT đối với loại hàng thứ nhất là 10%, đối với loại hàng thứ hai là 8%. Hỏi không kể thuế VAT thì An phải trả mỗi loại hàng là bao nhiêu tiền. Bài 31. Trong một cuộc thi “Tìm hiểu về an toàn giao thông”, mỗi thí sinh dự thi phải trả lời 20 câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng được 10 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ 5 điểm. Một thí sinh được tổng cộng 140 điểm. Hỏi thí sinh đó đã trả lời đúng mấy câu? Page 30
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN Bài 32. Cô Năm có một triệu đồng gồm 2 tờ 500 000 đồng. Nhân dịp Tết Đinh Dậu, cô Năm muốn đổi lấy 30 tờ gồm hai loại 50 000 đồng và 20 000 đồng để mừng tuổi cho các cháu. Hỏi cô Năm có thể đạt được ý muốn hay không? Bài 33. Ông Sơn và ông Thu ở sát nhà nhau. Ông Sơn có một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 720m2. Hai ông tính toán đổi một phần đất cho nhau để cả hai ông đề có khuôn viên đẹp mà không làm thay đổi đến diện tích đất sử dụng của nhau. Ông Sơn lấy tăng chiều dài thêm 6m cắt cho ông Thu 4m chiều rộng thì cả hai ông đề có mảnh vườn hình chữ nhật vuông vắn.Tìm kích thức ban đầu của mảnh vườn ông Sơn. Bài 34: Bác Hoàn muốn xây tường bao cho mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 15m và có diện tích 2700m2. Khi xây bác Hoàn muốn để 2m làm lối đi còn lại xây kín tường cao 1,5m . Tính số gạch cần phải mua đủ để xây tường biết rằng số gạch xây một mét vuông tường là 65 viên. Bài 35: Hưởng ứng phong trào “Xuân yêu thương” do Liên đội phát động, lớp 9A và lớp 9B dự định quyên góp 11 phần quà tặng các bạn học sinh có hoàn cảnh khó khăn. Khi thực hiện, lớp 9A đã vượt mức 40% và lớp 9B đã vượt mức 50% so với dự định. Do đó hai lớp đã quyên góp được tất cả 16 phần quà (mỗi phần quà đều bằng nhau). Tính số phần quà mà mỗi lớp dự định quyên góp lúc đầu? Bài 36: Một người gửi 200 triệu VNĐ và tài khoản ngân hàng Đông Á. Có 2 lựa chọn: Người gửi có thể nhận được lãi suất 7% một năm hoặc nhận tiền thưởng ngay là 3 triệu VNĐ với lãi suất 6% một năm. Lựa chọn nào tốt hơn sau một năm? Sau hai năm? Bài 37: Trong năm 2015, một gia đình có tổng thu nhập cả năm đạt 120 triệu đồng . Đến năm 2016, gia đình đó có thêm 1 người nên mặc dù tổng thu nhâp tăng thêm 10 triệu đồng nhưng thu nhập tính bình quân theo đầu người lại giảm đi 4 triệu đồng so với năm 2015. Hỏi trong năm 2016, gia đình đó có bao nhiêu người? Bài 38. Có hai hình thức trả tiền cho việc truy cập Internet - Hình thức 1: mỗi giờ truy cập giá 2500 đồng - Hình thức 2: thuê bao hàng tháng là 180000 đồng a) Nếu bác Mai mỗi ngày sử dụng mạng 4 giờ liên tục trong 30 ngày thì bác Mai nên chọn gói cước nào thì tiết kiệm? b) Để sử dụng gói cước 1 là hợp lí mà mỗi ngày dùng 2 giờ thì số người sử dụng phải thỏa mãn yêu cầu gì? Bài 39. Tổng số tiền điện phải đóng trong tháng 2 và tháng 3 của một gia đình là một triệu bốn trăm nghìn đồng. Nếu số tiền điện phải đóng trong tháng 2 giảm 15%, và tháng 3 giảm 25% thí số tiền phải đóng trong 2 tháng giảm được hai trăm bảy mươi nghìn đồng. Tính số tiền điện gia đình đó đóng trong tháng 2 , tháng 3? Bài 40. Một người đi siêu thị Metro mua thịt bò và thịt lợn phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng ( VAT) với mức 12% với thịt bò và 8% với thịt lợn. Nếu thuế VAT là 10% với cả hai loại thịt bò và thịt lợn thì người đó phải trả tổng cộng 2,2 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng ? Bài 41. Năm vừa qua ở khu vực biển miền Trung đã xảy ra vụ 100 tấn hải sản (chủ yếu là cá ở tầng đáy) chết hàng loạt do chất độc thải từ các nhà máy ra biển. Để chở lượng hải sản trên đi tiêu hủy, chính quyền địa phương dự định điều một số xe ô tô vận tải cỡ nhỏ. Tuy nhiên một số thương lái đã thu gom mất 1 tấn cá để làm mắm, nên số xe thực tế cần dùng đã giảm đi 3 chiếc so với dự định, nhưng mỗi xe lại phải chở thêm 0,5 tấn mới hết. Tính số xe thực tế đã sử dụng. Bài 42. Giá bán một chiếc Điều hòa giảm giá hai lần, mỗi lần giảm 10% so với giá đang bán, sau khi giảm giá hai lần đó thì giá còn lại là 10.530.000 đồng. Vậy giá bán ban đầu của Điều hòa là bao nhiêu? Page 31
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN Bài 43. Một người muốn chọn mua một cái tủ lạnh. Trong cửa hàng có hai loại: tủ lạnh loại A giá 3 triệu đồng và tiêu thụ trung bình khoảng 500kwh điện trong một năm, tủ lạnh loại B giá 4 triệu đồng và tiêu thụ trung bình khoảng 400kwh điện trong một năm. Biết rằng hai loại tủ lạnh A và B có công năng sử dụng như nhau và giá 1kwh điện là 2000 đồng. Người này dự định mua tủ lạnh để dùng trong 4 năm. a/ Theo em nên chọn loại tủ nào để tiết kiệm tiền nhất? b/ Với thời gian cần sử dụng bao lâu thì nên chọn mua tủ lạnh loại A hoặc loại B để tiết kiệm chi phí? Bài 44. Một đội thủy lợi theo kế hoạch phải sửa 1 đoạn đê trong thời gian quy định. Nếu bớt 3 người thì đội phải làm thêm 6 ngày. Nếu tăng 2 người thì hoàn thành trước thời gian quy định 2 ngày. Hỏi đội đó có bao nhiêu người và theo kế hoạch làm bao nhiêu ngày ? (Biết năng suất làm việc của mọi người như nhau.) Bài 45. Trong kỳ thi vào lớp 10 THPT Thành Phố Hải Phòng, tại một phòng thi có 24 thí sinh dự thi. Các thí sinh đều làm bài trên giấy thi của mình. Sau khi thu bài cán bộ coi thi đếm được 33 tờ giấy thi và bài làm của thí sinh chỉ gồm 1 tờ hoặc 2 tờ giấy thi. Hỏi trong phòng đó có bao nhiêu thí sinh bài làm gồm 1 tờ giấy thi, bao nhiêu thí sinh bài làm gồm 2 tờ giấy thi? (Tất cả các thí sinh đều nộp bài). Bài 46: Cô Hoa gửi tiết kiệm 200 triệu đồng vào Ngân hàng Nam Á. Có hai lựa chọn: Người gửi có thể nhận được lãi suất 7% một năm hoặc nhận tiền ngay là 3 triệu đồng và gửi với lãi suất 6% một năm. Lựa chọn nào tốt hơn sau một năm; sau hai năm? Bài 47. Bà Dung gửi một số tiền vào ngân hàng theo mức lãi suất tiết kiệm với kỳ hạn 1 năm là 6%. Tuy nhiên sau thời hạn 1 năm, bà Dung không đến nhận tiền lãi mà để thêm một năm nữa mới lãnh. Khi đó số tiền lãi có được sau năm đầu tiên sẽ được ngân hàng cộng dồn vào số tiền gửi ban đầu để thành số tiền gửi cho năm kế tiếp với mức lãi suất cũ. Sau hai năm bà Dung nhận được số tiền là 56.180.000 (kể cả gốc lẫn lãi). Hỏi ban đầu, bà Dung đã gửi bao nhiêu tiền? Bài 48. Giá bán một chiếc Tivi giảm giá hai lần, mỗi lần giảm giá 10% so với giá đang bán, sau khi giảm giá 2 lần đó thì giá bán còn lại là 16.200.000 đồng. Vậy giá bán ban đầu của Tivi là bao nhiêu? Bài 49. Dân số hiện nay của một phường là 41 618 người. Cách đây 2 năm dân số phường là 40 000 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số tăng bao nhiêu phần trăm? Bài 50. Có hai lớp học sinh 9A và 9B cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi em lớp 9A đều trồng được 4 cây phượng và 2 cây bàng. Mỗi em lớp 9B đều trồng được 3 cây phượng và 4 cây bàng. Cả hai lớp trồng được 233 cây phượng và 204 cây bàng . Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh? BÀI TẬP BỔ SUNG CHỦ ĐÈ 5: Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh. D¹ng 1: ChuyÓn ®éng (trªn ®êng bé, trªn ®êng s«ng cã tÝnh ®Õn dßng níc ch¶y) Bµi 1: Mét «t« ®i tõ A ®Õn B trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh. NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 35 km/h th× ®Õn chËm mÊt 2 giê. NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 50 km/h th× ®Õn sím h¬n 1 giê. TÝnh qu·ng ®êng AB vµ thêi gian dù ®Þnh ®i lóc ®Çu. Bµi 2: Mét ngêi ®i xe m¸y tõ A ®Õn B c¸ch nhau 120 km víi vËn tèc dù ®Þnh tríc. Sau khi ®îc 1 qu·ng ®êng AB ngêi ®ã t¨ng vËn tèc thªm 10 km/h trªn qu·ng ®êng cßn l¹i. T×m vËn tèc dù 3 ®Þnh vµ thêi gian xe l¨n b¸nh trªn ®êng, biÕt r»ng ngêi ®ã ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 24 phót. Bµi 3: Mét can« xu«i tõ bÕn s«ng A ®Õn bÕn s«ng B víi vËn tèc 30 km/h, sau ®ã l¹i ngîc tõ B trë vÒ A. Thêi gian xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ngîc 1 giê 20 phót. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A vµ B. BiÕt r»ng vËn tèc dßng níc lµ 5 km/h vµ vËn tèc riªng cña can« lóc xu«i vµ lóc ngîc b»ng nhau. Page 32
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN Bµi 4: Mét can« xu«i mét khóc s«ng dµi 90 km råi ngîc vÒ 36 km. BiÕt thêi gian xu«i dßng s«ng nhiÒu h¬n thêi gian ngîc dßng lµ 2 giê vµ vËn tèc khi xu«i dßng h¬n vËn tèc khi ngîc dßng lµ 6 km/h. Hái vËn tèc can« lóc xu«i vµ lóc ngîc dßng. D¹ng 2: To¸n lµm chung - lµn riªng (to¸n vßi níc) Bµi 1: Hai ngêi thî cïng lµm chung mét c«ng viÖc trong 7 giê 12 phót th× xong. NÕu ngêi thø 3 nhÊt lµm trong 5 giê vµ ngêi thø hai lµm trong 6 giê th× c¶ hai ngêi chØ lµm ®îc c«ng viÖc. 4 Hái mét ngêi lµm c«ng viÖc ®ã trong mÊy giê th× xong? 4 Bµi 2: NÕu vßi A ch¶y 2 giê vµ vßi B ch¶y trong 3 giê th× ®îc hå. NÕu vßi A ch¶y trong 3 giê 5 1 vµ vßi B ch¶y trong 1 giê 30 phót th× ®îc hå. Hái nÕu ch¶y mét m×nh mçI vßi ch¶y trong bao 2 l©u míi ®Çy hå. Bµi 3: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét bÓ th× sau 6 giê ®Çy bÓ. NÕu mçi vßi ch¶y mét m×nh cho ®Çy bÓ th× vßi II cÇn nhiÒu thêi gian h¬n vßi I lµ 5 giê. TÝnh thêi gian mçi vßi ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ? D¹ng 3: To¸n liªn quan ®Õn tØ lÖ phÇn tr¨m. Bµi 1: Trong th¸ng giªng hai tæ s¶n xuÊt ®îc 720 chi tiÕt m¸y. Trong th¸ng hai, tæ I vît møc 15%, tæ II vît møc 12% nªn s¶n xuÊt ®îc 819 chi tiÕt m¸y. TÝnh xem trong th¸ng giªng mçi tæ s¶n xuÊt ®îc bao nhiªu chi tiÕt m¸y?. Bµi 2: N¨m ngo¸i tæng sè d©n cña hai tØnh A vµ B lµ 4 triÖu ngêi. D©n sè tØnh A n¨m nay t¨ng 1,2%, cßn tØnh B t¨ng 1,1%. Tæng sè d©n cña c¶ hai tØnh n¨m nay lµ 4 045 000 ngêi. TÝnh sè d©n cña mçi tØnh n¨m ngo¸i vµ n¨m nay? D¹ng 4: To¸n cã néi dung h×nh häc. Bµi 1: Mét khu vên h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 280 m. Ngêi ta lµm lèi ®i xung quanh vên (thuéc ®Êt trong vên) réng 2 m. TÝnh kÝch thíc cña vên, biÕt r»ng ®Êt cßn l¹i trong vên ®Ó trång trät lµ 4256 m2. Bµi 2: Cho mét h×nh ch÷ nhËt. NÕu t¨ng chiÒu dµi lªn 10 m, t¨ng chiÒu réng lªn 5 m th× diÖn tÝch t¨ng 500 m2. NÕu gi¶m chiÒu dµi 15 m vµ gi¶m chiÒu réng 9 m th× diÖn tÝch gi¶m 600 m2. TÝnh chiÒu dµi, chiÒu réng ban ®Çu. Bµi 3:Cho mét tam gi¸c vu«ng. NÕu t¨ng c¸c c¹nh gãc vu«ng lªn 2 cm vµ 3 cm th× diÖn tÝch tam gi¸c t¨ng 50 cm2. NÕu gi¶m c¶ hai c¹nh ®i 2 cm th× diÖn tÝch sÏ gi¶m ®i 32 cm2. TÝnh hai c¹nh gãc vu«ng. D¹ng 5: To¸n vÒ t×m sè. Bµi 1: T×m mét sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè, tæng c¸c ch÷ sè b»ng 11, nÕu ®æi chç hai ch÷ sè hµng chôc vµ hµng ®¬n vÞ cho nhau th× sè ®ã t¨ng thªm 27 ®¬n vÞ. Bµi 2: T×m mét sè cã hai ch÷ sè, biÕt r»ng sè ®ã gÊp 7 lÇn ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña nã vµ nÕu sè cÇn t×m chia cho tæng c¸c ch÷ sè cña nã th× ®îc th¬ng lµ 4 vµ sè d lµ 3. 1 Bµi 3: NÕu tö sè cña mét ph©n sè ®îc t¨ng gÊp ®«i vµ mÉu sè thªm 8 th× gi¸ trÞ cña ph©n sè b»ng . 4 5 NÕu tö sè thªm 7 vµ mÉu sè t¨ng gÊp 3 th× gi¸ trÞ ph©n sè b»ng . T×m ph©n sè ®ã. 24 Bµi 4:NÕu thªm 4 vµo tö vµ mÉu cña mét ph©n sè th× gi¸ trÞ cña ph©n sè gi¶m 1. NÕu bít 1 vµo c¶ tö 3 vµ mÉu, ph©n sè t¨ng . T×m ph©n sè ®ã. 2 Page 33
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN BÀI TẬP HÌNH TỔNG HỢP Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (O). C¸c ®êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i H vµ c¾t ®êng trßn (O) lÇn lît t¹i M,N,P. Chøng minh r»ng: 1. Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp . 2. Bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H vµ M ®èi xøng nhau qua BC. 5. X¸c ®Þnh t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. Bµi 2: Cho ABC vu«ng ë A. Trªn AC lÊy diÓm M vµ vÏ ®ưêng trßn ®ưêng kÝnh MC. KÎ BM c¾t ®ưêng trßn t¹i D. §ưêng th¼ng DA c¾t đưêng trßn t¹i S. Chøng minh r»ng: a) Tø gi¸c ABCD néi tiÕp. b) A·BD = A·CD c) CA lµ ph©n gi¸c cña S·CB Bµi 3 Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Qua ®iÓm M thuéc nöa ®êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax , By lÇn lît ë C vµ D. C¸c ®êng th¼ng AD vµ BC c¾t nhau t¹i N. 1. Chøng minh AC + BD = CD. 2. Chøng minh COD = 900. AB2 3. Chøng minh AC. BD = . 4 4. Chøng minh OC // BM 5. Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ®êng kÝnh CD. 6. Chøng minh MN  AB. 7. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Bµi 4 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iÓm cña IK. a/ Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®êng trßn. b/ Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O). c/ TÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Bµi 5 Cho ®êng trßn (O; R), tõ mét ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O). Trªn ®êng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC  MB, BD  MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB. 1. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp. 2. Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn . 3. Chøng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi. 5. Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng. 6. T×m quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®êng th¼ng d Bµi 6 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ mét ®iÓm D n»m gi÷a A vµ B . §ưêng trßn ®ưêng kÝnh BD c¾t BC t¹i E . C¸c ®ưêng th¼ng CD , AE lÇn lưît c¾t ®ưêng trßn t¹i c¸c ®iÓm thø hai F , G . Chøng minh : a) Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD . Page 34
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN b) Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn . c) AC song song víi FG . d) C¸c ®ưêng th¼ng AC , DE vµ BF ®ång quy . Bµi 7 Cho ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Ax vµ lÊy trªn tiÕp tuyÕn ®ã mét ®iÓm P sao cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M. a/ Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn. b/ Chøng minh BM // OP. c/ §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Cm: tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh. d/ BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t nhau t¹i J. Cm: I, J, K th¼ng hµng. Bµi 8 Cho nöa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®êng trßn ( M kh¸c A,B). Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa ®êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn Ax. Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cña gãc IAM c¾t nöa ®êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K. 1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB. 3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n. 4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi. 5) X¸c ®Þnh vÞ trÝ M ®Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn. Bµi 9 Cho nöa ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Bx vµ lÊy hai ®iÓm C vµ D thuéc nöa ®êng trßn. C¸c tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn lît ë E, F (F ë gi÷a B vµ E). 1. Chøng minh AC. AE kh«ng ®æi. 2. Chøng minh  ABD =  DFB. 3. Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. Bµi 10 Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®êng trßn sao cho AM AC), ®êng cao AH. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa ®iÓn A , VÏ nöa ®êng trßn ®êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nöa ®êng trßn ®êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F. 1. Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt. 2. BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3. AE. AB = AF. AC. 4. Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®êng trßn . Page 35
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN Bµi 14 Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. VÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c nöa ®êng trßn cã ®êng kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã t©m theo thø tù lµ O, I, K. §êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nöa ®êng trßn (O) t¹i E. Gäi M. N theo thø tù lµ giao ®iÓm cña EA, EB víi c¸c nöa ®êng trßn (I), (K). 1. Chøng minh EC = MN. 2. Chøng minh MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®êng trßn (I), (K). 3. TÝnh MN. 4. TÝnh diÖn tÝch h×nh ®îc giíi h¹n bëi ba nöa ®êng trßn Bµi 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm M, dùng ®êng trßn (O) cã ®êng kÝnh MC. ®êng th¼ng BM c¾t ®êng trßn (O) t¹i D. ®êng th¼ng AD c¾t ®êng trßn (O) t¹i S. 1. Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. Gäi E lµ giao ®iÓm cña BC víi ®êng trßn (O). Chøng minh r»ng c¸c ®êng th¼ng BA, EM, CD ®ång quy. 4. Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE. 5. Chøng minh ®iÓm M lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE. Bµi 16 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A.vµ mét ®iÓm D n»m gi÷a A vµ B. §êng trßn ®êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E. C¸c ®êng thẳng CD, AE lÇn lît c¾t ®êng trßn t¹i F, G. Chøng minh : 1. Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD. 2. Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp . 3. AC // FG. 4. C¸c ®êng th¼ng AC, DE, FB ®ång quy. Bµi 17. Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã ®êng cao lµ AH. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh«ng trïng B. C, H ) ; tõ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB. AC. 1. Chøng minh APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ h·y x¸c ®Þnh t©m O cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ®ã. 2. Chøng minh r»ng MP + MQ = AH. 3. Chøng minh OH  PQ. Bµi 18 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n th¼ng OB lÊy ®iÓm H bÊt k× ( H kh«ng trïng O, B) ; trªn ®êng th¼ng vu«ng gãc víi OB t¹i H, lÊy mét ®iÓm M ë ngoµi ®êng trßn ; MA vµ MB thø tù c¾t ®êng trßn (O) t¹i C vµ D. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC. 1. Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh c¸c ®êng th¼ng AD, BC, MH ®ång quy t¹i I. 3. Gäi K lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c MCID, Chøng minh KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp . Bµi 19. Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AC. Trªn b¸n kÝnh OC lÊy ®iÓm B tuú ý (B kh¸c O, C ). Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AB. Qua M kÎ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB. Nèi CD, KÎ BI vu«ng gãc víi CD. 1. Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp . 2. Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. 3. Chøng minh BI // AD. 4. Chøng minh I, B, E th¼ng hµng. 5. Chøng minh MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). Bµi 20. Cho ®êng trßn (O; R) vµ (O’; R’) cã R > R’ tiÕp xóc ngoµi nhau t¹i C. Gäi AC vµ BC lµ hai ®êng kÝnh ®i qua ®iÓm C cña (O) vµ (O’). DE lµ d©y cung cña (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm M cña AB. Gäi giao ®iÓm thø hai cña DC víi (O’) lµ F, BD c¾t (O’) t¹i G. Chøng minh r»ng: 1. Tø gi¸c MDGC néi tiÕp . Page 36
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN 2. Bèn ®iÓm M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®êng trßn 3. Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi. 4. B, E, F th¼ng hµng 5. DF, EG, AB ®ång quy. 6. MF = 1/2 DE. 7. MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). Bµi 21. Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB. Gäi I lµ trung ®iÓm cña OA . VÏ ®êng tron t©m I ®i qua A, trªn (I) lÊy P bÊt k×, AP c¾t (O) t¹i Q. 1. Chøng minh r»ng c¸c ®êng trßn (I) vµ (O) tiÕp xóc nhau t¹i A. 2. Chøng minh IP // OQ. 3. Chøng minh r»ng AP = PQ. 4. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña P ®Ó tam gi¸c AQB cã diÖn tÝch lín nhÊt. Bµi 22. Cho h×nh vu«ng ABCD, ®iÓm E thuéc c¹nh BC. Qua B kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi DE, ®êng th¼ng nµy c¾t c¸c ®êng th¼ng DE vµ DC theo thø tù ë H vµ K. 1. Chøng minh BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2. TÝnh gãc CHK. 3. Chøng minh KC. KD = KH.KB 4. Khi E di chuyÓn trªn c¹nh BC th× H di chuyÓn trªn ®êng nµo? Bµi 23. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Dùng ë miÒn ngoµi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABHK, ACDE. 1. Chøng minh ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng. 2. §êng th¼ng HD c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC t¹i F, chøng minh FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n. 3. Cho biÕt ABC > 450 ; gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ ED, Chøng minh 5 ®iÓm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 4. Chøng minh MC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. Bµi 24. Cho tam gi¸c nhän ABC cã B = 450 . VÏ ®êng trßn ®êng kÝnh AC cã t©m O, ®êng trßn nµy c¾t BA vµ BC t¹i D vµ E. 1. Chøng minh AE = EB. 2. Gäi H lµ giao ®iÓm cña CD vµ AE, Chøng minh r»ng ®êng trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH. 3. Chøng minh OD lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE. Bµi 25. Cho ®êng trßn (O), BC lµ d©y bÊt k× (BC< 2R). KÎ c¸c tiÕp tuyÕn víi ®êng trßn (O) t¹i B vµ C chóng c¾t nhau t¹i A. Trªn cung nhá BC lÊy mét ®iÓm M råi kÎ c¸c ®êng vu«ng gãc MI, MH, MK xuèng c¸c c¹nh t¬ng øng BC, AC, AB. Gäi giao ®iÓm cña BM, IK lµ P; giao ®iÓm cña CM, IH lµ Q. 1. Chøng minh tam gi¸c ABC c©n. 2. C¸c tø gi¸c BIMK, CIMH néi tiÕp . 3. Chøng minh MI2 = MH.MK. 4. Chøng minh PQ  MI. Bµi 26. Cho ®êng trßn (O), ®êng kÝnh AB = 2R. VÏ d©y cung CD  AB ë H. Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung CB, I lµ giao ®iÓm cña CB vµ OM. K lµ giao ®iÓm cña AM vµ CB. Chøng minh : KC AC 1. 2. AM lµ tia ph©n gi¸c cña CMD. 3. Tø gi¸c OHCI néi tiÕp KB AB 4. Chøng minh ®êng vu«ng gãc kÎ tõ M ®Õn AC còng lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i M. Page 37
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN Bµi 27 Cho ®êng trßn (O) vµ mét ®iÓm A ë ngoµi ®êng trßn . C¸c tiÕp tuyÕn víi ®êng trßn (O) kÎ tõ A tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i B vµ C. Gäi M lµ ®iÓm tuú ý trªn ®êng trßn ( M kh¸c B, C), tõ M kÎ MH  BC, MK  CA, MI  AB. Chøng minh : 1.Tø gi¸c ABOC néi tiÕp. 2. BAO =  BCO. 3. MIH  MHK. 4. MI.MK = MH2. Bµi 28 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O). Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC; E lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua BC; F lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña BC. Page 38
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN 1. Chøng minh tø gi¸c BHCF lµ h×nh b×nh hµnh. 2. E, F n»m trªn ®êng trßn (O). 3. Chøng minh tø gi¸c BCFE lµ h×nh thang c©n. 4. Gäi G lµ giao ®iÓm cña AI vµ OH. Chøng minh G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. Bµi 29 Cho ®ưêng trßn (O) vµ ®ưêng th¼ng xy ngoµi ®ưêng trßn. §ưêng th¼ng ®i qua O vu«ng gãc víi xy t¹i H c¾t ®ưêng trßn (O) t¹i A vµ B. M lµ ®iÓm trªn (O), ®ưêng th¼ng AM c¾t xy t¹i E, ®ưêng th¼ng BM c¾t xy t¹i F, tiÕp tuyÕn t¹i M c¾t xy t¹i I, ®ưêng th¼ng AF c¾t (O) t¹i K. Nèi E víi K. a) Chøng minh: IM = IF b) Chøng minh: 4 ®iÓm E, M, K, F cïng thuéc mét ®ưêng trßn. c) Chøng minh: IK lµ tiÕp tuyÕn cña (O). d) T×m tËp hîp t©m ®ưêng trßn ngo¹i tiÕp AMH khi M di ®éng trªn (O) Bµi 30 Cho ®ưêng trßn (O; R) cã ®ưêng kÝnh AB; ®iÓm I n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ O. KÎ ®ưêng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i I, ®ưêng th¼ng nµy c¾t ®ưêng trßn (O; R) t¹i M vµ N. Gäi S lµ giao ®iÓm BM vµ AN. Qua S kÎ ®ưêng th¼ng song song víi MN, ®ưêng th¼ng nµy c¾t c¸c ®ưêng th¼ng AB vµ AM lÇn lưît ë K vµ H. H·y chøng minh: 1) Tø gi¸c SKAM lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ HS.HK=HA.HM. 2) KM lµ tiÕp tuyÕn cña ®ưêng trßn (O; R) 3) Ba ®iÓm H; N; B th¼ng hµng Bµi 31 Cho ®ưêng trßn (0; R), mét d©y CD cã trung ®iÓm M. Trªn tia ®èi cña tia DC lÊy ®iÓm S, qua S kÎ c¸c tiÕp tuyÕn SA, SB víi ®ưêng trßn. §ưêng th¼ng AB c¾t c¸c ®ưêng th¼ng SO ; OM t¹i P vµ Q. a) Chøng minh tø gi¸c SPMQ, tø gi¸c ABOM néi tiÕp. b) Chøng minh SA2 = SD. SC. c) Chøng minh OM. OQ kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm S. d) Khi BC // SA. Chøng minh tam gi¸c ABC c©n t¹i A e) X¸c ®Þnh vÞ ®iÓm S trªn tia ®èi cña tia DC ®Ó C, O, B th¼ng hµng vµ BC // SA. Bµi 32 Cho nöa ®ưêng trßn (0) ®ưêng kÝnh AB, M lµ mét ®iÓm chÝnh gi÷a cung AB. K thuéc cung BM ( K kh¸c M vµ B ). AK c¾t MO t¹i I. a) Chøng minh : Tø gi¸c OIKB néi tiÕp ®ưîc trong mét ®ưêng trßn. b) Gäi H lµ h×nh chiÕu cña M lªn AK. Chøng minh : Tø gi¸c AMHO néi tiÕp . c) Tam gi¸c HMK lµ tam gi¸c g× ? d) Chøng minh : OH lµ ph©n gi¸c cña gãc MOK. e) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm K ®Ó chu vi tam gi¸c OPK lín nhÊt (P lµ h×nh chiÕu cña K lªn AB) Bµi 33 Cho tam gi¸c ABC víi ba gãc nhän néi tiÕp ®ưêng trßn (0). Tia ph©n gi¸c trong cña gãc B, gãc C c¾t ®ưêng trßn nµy thø tù t¹i D vµ E, hai tia ph©n gi¸c nµy c¾t nhau t¹i F. Gäi I, K theo thø tù lµ giao ®iÓm cña d©y DE víi c¸c c¹nh AB, AC. a) Chøng minh: c¸c tam gi¸c EBF, DAF c©n. b) Chøng minh tø gi¸c DKFC néi tiÕp vµ FK // AB c) Tø gi¸c AIFK lµ h×nh g× ? T¹i sao ? d) T×m ®iÒu kiÖn cña tam gi¸c ABC ®Ó tø gi¸c AEFD lµ h×nh thoi ®ång thêi cã diÖn tÝch gÊp 3 lÇn diÖn tÝch tø gi¸c AIFK. Bµi 34 Page 39
TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT – NGÔ THỊ BÍCH LIÊN 2 .OA Cho ®ưêng trßn (O), mét ®ưêng kÝnh AB cè ®Þnh, trªn ®o¹n OA lÊy ®iÓm I sao cho AI = 3 . KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I. Gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN ( C kh«ng trïng víi M, N, B). Nèi AC c¾t MN t¹i E. a) Chøng minh : Tø gi¸c IECB néi tiÕp. b) Chøng minh : C¸c tam gi¸c AME, ACM ®ång d¹ng vµ AM2 = AE . AC c) Chøng minh : AE .AC - AI .IB = AI2. d) H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm C sao cho kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®ưêng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt. Bµi 35 Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®ưêng trßn (O;R)(AB < CD). Gäi P lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá AB ; DP c¾t AB t¹i E vµ c¾t CB t¹i K ; CP c¾t AB t¹i F vµ c¾t DA t¹i I. a) Chøng minh: Tø gi¸c CKID néi tiÕp ®îc b) Chøng minh: IK // AB. c) Chøng minh: Tø gi¸c CDFE néi tiÕp ®îc d) Chøng minh: AP2 = PE .PD = PF . PC e) Chøng minh : AP lµ tiÕp tuyÕn cña ®ưêng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AED. f) Gäi R1 , R2 lµ c¸c b¸n kÝnh ®ưêng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c AED vµ BED.Chøng minh: 4R 2 PA 2 R1 + R2 = Bµi 36 Cho h×nh vu«ng ABCD cè ®Þnh , cã ®é dµi c¹nh lµ a. E lµ ®iÓm ®i chuyÓn trªn ®o¹n CD (E kh¸c D), ®ưêng th¼ng AE c¾t ®ưêng th¼ng BC t¹i F, ®ưêng th¼ng vu«ng gãc víi AE t¹i A c¾t ®ưêng th¼ng CD t¹i K. 1) Chøng minh ABF = ADK tõ ®ã suy ra AFK vu«ng c©n . 2) Gäi I lµ trung ®iÓm cña FK, Chøng minh I lµ t©m ®ưêng trßn ®i qua A , C, F , K. 3) TÝnh sè ®o gãc AIF, suy ra 4 ®iÓm A, B, F, I cïng n»m trªn mét ®ưêng trßn . Bµi 37 Cho gãc vu«ng xOy , trªn Ox, Oy lÇn lưît lÊy hai ®iÓm A vµ B sao cho OA = OB . M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn AB. Dùng ®ưêng trßn t©m O1 ®i qua M vµ tiÕp xóc víi Ox t¹i A, ®ưêng trßn t©m O2 ®i qua M vµ tiÕp xóc víi Oy t¹i B , (O1) c¾t (O2) t¹i ®iÓm thø hai N . 1) Chøng minh tø gi¸c OANB lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ ON lµ ph©n gi¸c cña gãc ANB . 2) Chøng minh M n»m trªn mét cung trßn cè ®Þnh khi M thay ®æi . 3) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó kho¶ng c¸ch O1O2 lµ ng¾n nhÊt . Bµi 38 Cho điểm A bên ngoài đường tròn (O ; R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến đường tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE. a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn. · b) Chứng minh HA là tia phân giác của BHC . 2 c) DE cắt BC tại I. Chứng minh : AB AI.AH . Bµi 39 Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp ®ưêng trßn t©m O . §ưêng ph©n gi¸c trong cña gãc A , B c¾t ®ư- êng trßn t©m O t¹i D vµ E , gäi giao ®iÓm hai ®ưêng ph©n gi¸c lµ I , ®ưêng th¼ng DE c¾t CA, CB lÇn lưît t¹i M , N . 1) Chøng minh tam gi¸c AIE vµ tam gi¸c BID lµ tam gi¸c c©n . 2) Chøng minh tø gi¸c AEMI lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ MI // BC . 3) Tø gi¸c CMIN lµ h×nh g× ? Page 40