Ôn tập Hình học Lớp 11 - Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Nội dung text: Ôn tập Hình học Lớp 11 - Bài 4: Hai mặt phẳng song song

1. Bài 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG •Chương 2. QUAN HỆ SONG SONG I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa. Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung, kí hiệu //  . Vậy //     . 2. Định lý và tính chất. M a α b β Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng  thì //  . a  ,b  Vậy a b M //  . a//  ,b//  Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. Hệ quả 1 Nếu d // thì trong có một đường thẳng song song với d và qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với . Hệ quả 2 Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song. Hệ quả 3 Cho điểm không nằm trên mặt phẳng . Mọi đường thẳng đi qua A và song song với đều nằm trong mặt phẳng qua A song song với . A , A  a A d α A Vậy d   . d //  // β Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến đó song song với nhau. //  Vậy    b//a .   a Trang 1
2. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Hệ quả Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn bằng nhau. 3. Định lí Ta-lét (Thales) Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. //  //  A1B1 A2 B2 d1  A1,d1   B1,d1   C1 . B1C1 B2C2 d2  A2 ,d2   B2 ,d2   C2 d1 d2 A2 A1 γ B1 B2 β C2 C1 α Định lí Ta-lét( Thales) đảo Cho hai đường thẳng d1,d2 chéo nhau và các điểm A1,B1,C1 trên d1 , các điểm A2,B2,C2 trên d2 A1B1 A2 B2 sao cho . Lúc đó các đường thẳng A1A2,B1B2,C1C2 cùng song song với một mặt B1C1 B2C2 phẳng. 4. Hình lăng trụ và hình chóp cụt. 4.1. Hình lăng trụ A4 A5 A3 A1 A2 α A'4 A'5 A'3 A' α' A'1 2 Cho hai mặt phẳng song song và . Trên cho đa giác A1A2 An . Qua các đỉnh A1, A2, , An vẽ các đường thẳng song song với nhau cắt lần lượt tại A1 , A2 , , An . Trang 2
3. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Hình gồm hai đa giác A1A2 An , A1 A2 An và các hình bình hành A1A1 A2 A2 , A2 A2 A3 A3 , , An An A1 A1 được gọi là hình lăng trụ A1 A2 An .A1 A2 An . Lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp. 4.2. Hình chóp cụt S A'1 A'4 A'5 α A'2 A'3 A5 A4 A1 A2 A3 Cho hình chóp S.A1A2 An . Một mặt phẳng không đi qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy của hình chóp cắt các cạnh bên SA1,SA2, ,SAn lần lượt tại A1 , A2 , , An . Hình tạo bởi thiết diện A1 A2 An và đáy A1A2 An cùng với các tứ giác A1 A2 A2 A1, A2 A2 A3 A2, , An A1 A1An gọi là hình chóp cụt A1 A2 An .A1A2 An . DẠNG 1. CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Phương pháp giải: áp dụng định lý a b I a,b  //  a//  ,b//  Nhận xét: Thực chất của việc chứng minh 2 mặt phẳng song song là tìm 2 đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng này song song với 2 đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng kia. Vậy: a  ,b  a   ,b   a b I //  c   ,d   a//c,b//d Chứng minh 2 mặt phẳng đó cùng song song với mặt phẳng khác. //   //  //   Bài tập tự luận Câu 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và không đồng phẳng. I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, EF. Chứng minh: a. ADF // BCE b. DIK // JBE Trang 3
4. Lời giải a. Chứng minh: ADF // BCE AF //BE AF // BCE AD//BC AD// BCD Mà: AF, AD  ADF ADF // BCE Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ b. Chứng minh DIK // JBE IK //BE IK // JBE ID//BJ ID// JBE Mà: IK, ID  DIK DIK // JBE Câu 2: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của AB, BC và I, J, K theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ADF, ADC, BCE. Chứng minh IJK // CDFE Lời giải Gọi P, Q, H lần lượt là trung điểm của FD, DC, EC. AI 2 Vì I là trọng tâm của AFD (1) AP 3 AJ 2 Vì J là trọng tâm của ADC (2) AQ 3 AI AJ Từ (1), (2) IJ //PQ IJ // CDEF AP AQ Bằng cách chứng minh tương tự, ta có: JK //DH JK // CDEF Mà JH, IJ cùng thuộc (IJK) IJK // CDEF Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H, I, K lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC a) Chứng minh rằng: HIK // ABCD b)Gọi M là giao điểm của AI và KD, N là giao điểm của DH và CI. Chứng minh rằng SMN // HIK Lời giải a) Chứng minh rằng: HIK // ABCD HI //AB HI // ABCD Trang 4
5. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ KI //BC KI // ABCD Mà: HI, KI  KIH KIH // ABCD b) Chứng minh rằng: SMN // HIK SAB  SCD SM  AB  SAB , CD  SCD  AB//CD//SM 1 AB//CD  SAD  SBC SN  AD  SAD , BC  SBC  BC//AD//SN 2 BC//AD  Từ (1) và (2) SMN // ABCD Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’, BB’, CC’. Chứng minh rằng: a) a) EFG // ABCD Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (C’D’D) b) Tìm giao điểm của A’C và (C’BD) Lời giải a) EFG // ABCD (học sinh tự giải) b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (C’D’D) Nhận thấy: ABD ABCD và C D D C D DC Câu 5: Cho hình lập phương ABCDA' B 'C ' D '. M , N, P là trung điểm A' B ', BC,DD'. Chúng minh MNP / / CB ' D ' Lời giải Gọi O là trung điểm của B 'C 1 *)Tam giác BB 'C : NO / / BB ' 1 2 1 *) BB '/ / DD ' D'P/ / BB ' 2 2 *) từ 1 và 2 NO / / D ' P tứ giác PNOD ' là hình bình hành PN / /D 'O 3 *)Và I là trung điểm của B ' D ' . Trang 5
6. Tương tự: MN / /CI 4 *) Từ 3 , 4 MNP / / CB ' D ' . Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có G1,G2 ,G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SAC . Chứng minh G1G2G3 / / ABC . Lời giải MG MG 1 *) Gọi M là trung điểm của SC 3 2 G G / / ABC 1 MA MB 3 2 3 *) Ta chứng minh: G1G2 / / AC 2 *) Từ 1 , 2 G1G2G3 / / ABC . Câu 7: Cho lăng trụ tam giác ABC.A' B 'C ' có I, K,G lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A' B 'C ', ACC '. Chứng minh: a) IKG / / BCC ' B ' . b) A' KG / / AIB ' . Lời giải a) Gọi M , M ' lần lượt là trung điểm của BC, B 'C ' KM '/ /IM hoặc KM '  IM tứ giác KIMM ' là hình bình hành IK / /MM ' 1 . AG 1 AI Gọi N là trung điểm của CC ', theo tính chất trọng tâm ta có AN 3 AM Trang 6
7. Theo Ta-let IG / /MN 2 Từ 1 , 2 IGK / / BCC ' B ' b) Ta có A' K / / AI 1 *) Nối AI  BC M M là trung điểm của BC . *) Nối A' K  B 'C ' M ' M ' là trung điểm của B 'C '. *) Theo bổ đề A'G qua C . A'GK  A'M 'C , AIB '  B AM *) B C / /  BC B M / /  CM Tứ giác B C CM là hình bình hành B M / /CM 2 Từ 1 , 2 A KG / / AIB . Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 8: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh C I / / ACD . Lời giải *) Từ C ta có C A / / AC 1 *) Từ I ta có A B / /CD 2 D AC / / BA C *) Từ 1 , 2 ta có C I / / D AC C I BA C Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SD , N AC , điểm E đối xứng với D qua A . Chứng minh MN / / SEB . Trang 7
8. Lời giải Gọi K DN  EB AE / /BC Ta có: AEBC là hình bình hành AE BC AC / /EB AN / / BE N là trung điểm của DK MN là đường trung bình của tam giác SDK MN / /SK, SK  SEB . Vậy MN / / SEB . Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SAvà SD . a) Chứng minh SBC // OMN . b) Gọi P , Q , R lần lượt là trung điểm của AB ,ON , SB . Chứng minh PQ // SBC và OMR // SCD . Lời giải a) Ta có: MN là đường trung bình của tam giác SAD nên MN //AD hay MN // BC . MN //BC MN  SBC MN //(SBC) (1) BC  SBC Tương tự OM là đường trung bình của tam giác SAC nên OM // SC . Trang 8
9. OM //SC OM  SBC OM //(SBC)(2) SC  SBC MN OM M trong OMN 3 Từ 1 , 2 , 3 suy ra SBC // OMN . b) Chứng minh PQ // SBC 1 Ta có: OP là đường trung bình của tam giác ABC nên OP//BC,OP BC . 2 1 MN là đường trung bình của tam giác SAD nên MN //AD, MN AD . 2 Mặt khác BC AD, BC//AD suy ra MN //OP , MN OP hay MNOP là hình bình hành. Vậy PQ  OMN , OMN // SBC nên PQ // SBC . Chứng minh OMR // SCD Ta có: MR là đường trung bình của tam giác SAB nên MR// AB hay MR//CD . MR//CD MR  SCD MR//(SCD) (1) CD  SCD Tương tự OM là đường trung bình của tam giác SAC nên OM // SC . OM //SC OM  SCD OM //(SCD)(2) SC  SCD MROM M trong OMR 3 Từ 1 , 2 , 3 suy ra SCD // OMR . Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Trang 9