Sách chuyên khảo rèn luyện và nâng cao Toán 9 - Đỗ Kiến Vọng

Nội dung text: Sách chuyên khảo rèn luyện và nâng cao Toán 9 - Đỗ Kiến Vọng

1. mơ ớc h ư CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN án p c GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM Chắ “Không có tài sản nào quý bằng trí thông minh, không vinh quang nào lớn hơn học vấn và hiểu biết” GIỚI THIỆU CHUNG Trung tâm Văn hoá Vinstar Việt Nam trực thuộc công ty TNHH Đầu tư và Phát triển giáo dục Vinstar Việt Nam. Được thành lập từ năm 2013, sau gần 3 năm hoạt động đến nay Trung tâm Vinstar Việt Nam đã có đội ngũ cán bộ, giáo viên trên 20 người. Trung tâm đã đào tạo thành công nhiều khoá học sinh ôn thi đại học, cao đẳng, nhiều học sinh của Vinstar Việt Nam đã đỗ vào các trường đại học, cao đẳng trên địa bàn thành phố Hà Nội. Nhiều thế hệ học sinh trước đây của Vinstar đã và đang du học ở nước ngoài (các nước Anh, Pháp, Mỹ, Úc, Canada ). Mục tiêu của Vinstar Việt Nam là xây dựng và phát triển theo định hướng hiện đại, phù hợp với xu thế phát triển chung của giáo dục Việt Nam và Khu vực. Slogan của Vinstar Việt Nam là “Vững một niềm tin - Vững một tương lai”. CƠ SỞ VẬT CHẤT Triết lý hoạt động của Vinstar Việt Nam là: “Thân thiện - Trách nhiệm - Chất lượng - Thành công”. - Cơ sở vật chất khang trang, hiện đại. - Các phòng học có điều hòa và các thiết bị hiện đại phục vụ tốt nhất nhu cầu các lớp học. Giải KK (100.000 đồng). Thưởng Sao đối với học Giải Ba (150.000 đồng). sinh tích cực xây dựng Phần thưởng 20.000 đồng/Sao Học sinh giỏi Giải Nhì (200.000 đồng). bài, hiểu bài tại lớp Giải Nhất (500.000 áp dụng đối với đồng). môn học, học sinh có học thêm Thi học kỳ 9 điểm (50.000 đồng). Tổng kết môn học trên 100.000 đồng. 10 điểm (100.000 đồng). 9.0 tại Vinstar Việt Nam 9 điểm (30.000 đồng). Kiểm tra 1 tiết Quà sinh nhật 10 điểm (50.000 đồng). 100.000 đồng I Facebook: Vinstar Việt Nam I Hotline: 0978.459.828 I Tel/Fax: 0462.787.333
2. LIÊN TỤC TUYỂN SINH mơ ớc h ư án p c ĐỘI NGŨ GIÁO VIÊN Chắ Trung tâm Văn hóa Vinstar Việt Nam còn có các giáo viên/giảng viên đại học chuyên biệt đảm nhiệm kỹ năng bồi dưỡng văn hóa và luyện thi đại học, việc giảng dạy kĩ năng sống, kỹ năng giao tiếp, thuyết trình và đào tạo nghề. Thầy Đỗ Kiến Vọng Thầy Nguyễn Thanh Tùng Thầy Hồ Đức Minh Cô Hoàng Thị Hương Giáo viên Toán: Giáo viên Lý Giáo viên Hóa Giáo viên Tiếng Anh Trình độ: Tiến sỹ Trình độ: Thạc sỹ. Trình độ: Thạc sỹ. Trình độ: Thạc sỹ. Đơn vị công tác: Học viện Đơn vị công tác: Đơn vị công tác: Đại học Đơn vị công tác: Công ty Chính sách và Phát triển. Đại học Mỏ - Địa chất Khoa học tự nhiên - Vinstar Việt Nam - Giám Kinh nghiệm giảng dạy: Kinh nghiệm giảng dạy ĐHQGHN đốc Vinstar Việt Nam Thầy Đỗ Kiến Vọng có hơn - Trên 15 năm kinh nghiệm Kinh nghiệm giảng dạy Kinh nghiệm giảng dạy 15 năm kinh nghiệm dạy dạy và luyện thi đại học môn - Gần 20 năm kinh nghiệm Cô Hoàng Thị Hương là một toán ôn thi vào lớp 10 và Vật lý dạy và luyện thi đại học môn trong những giáo viên Anh luyện thi vào đại học. - Đã và đang dạy và luyện thi Hóa văn ưu tú hàng đầu của online trên các diễn đàn lớn - Đã và đang dạy và luyện Vinstar Việt Nam với 10 chuyên về luyện thi như : thi online trên các diễn đàn năm giảng dạy cùng các trải hocmai.vn; viettelstudy.vn; lớn chuyên về luyện thi như: nghiệm tại ĐH Sư phạm hoc360.vn hocmai.vn; viettelstudy.vn; Ngoại ngữ Hà Nội. hoc360.vn ĐIỂM NỔI BẬT VỀ CHƯƠNG TRÌNH ĐÀO TẠO TẠI VINSTAR VIỆT NAM TẠI SAO PHỤ HUYNH CHỌN TRUNG TÂM VĂN HÓA VINSTAR VIỆT NAM LÀ ĐIỂM ĐẾN TIN CẬY ĐỂ CHO CON EM MÌNH THEO HỌC? BỞI VÌ THỨ NHẤT: Đội ngũ giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, tâm huyết và am hiểu tâm lý học sinh. THỨ HAI: Cơ sở vật chất khang trang, Phòng học có trang bị điều hòa, địa điểm học tại khu trung tâm thành phố Hà Nội thuận tiện cho việc đi lại và đưa đón học sinh của phụ huynh. THỨ BA: Đội ngũ nhân viên thân thiện, hòa đồng, môi trường học tập thân thiện. THỨ TƯ: Học sinh được cấp nước uống và chế độ ăn nhẹ giữa giờ. THỨ NĂM: Thời gian học 02 giờ/ca học. THỨ SÁU: Học sinh được học thử miễn phí để đánh giá chất lượng đầu vào và xếp lớp học phù hợp với từng nhóm học sinh. THỨ BẢY: Tỷ lệ học sinh học tại Trung tâm đỗ vào các trường THPT chuyên và các trường đại học, cao đẳng năm 2014 chiếm tới 98%, năm 2015 chiếm tỷ lệ 100%. THỨ TÁM: Học sinh học tại Trung tâm được hỗ trợ tư vấn hướng nghiệp ngay từ sớm, để lựa chọn trường dự thi phù hợp với khả năng và tính cách của học sinh. THỨ 9: Học sinh được khen thưởng khi đạt kết quả học tập cao đối với các môn có học thêm tại Vinstar Việt Nam, được Trung tâm tổ chức và tặng quà nhân dịp sinh nhật. THỨ 10: Được Vinstar Việt Nam tri ân 200.000 đồng khi giới thiệu 01 người học đến học tại Vinstar Việt Nam. LIÊN TỤC TUYỂN SINH CÁC LỚP BỒI DƯỠNG VĂN HÓA VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC HOTLINE: 0978.459.828 I Facebook: Vinstar Việt Nam I Hotline: 0978.459.828 I Tel/Fax: 0462.787.333
3. ĐỖ KIẾN VỌNG SÁCH CHUYÊN KHẢO RÈN LUYỆN VÀ NÂNG CAO TOÁN 9 Số STT Nội dung trang 1 Lời nhắn gửi 1 2 Kinh nghiệm làm bài thi môn toán 5 3 Tổng hợp lý thuyết toán 9 và phương pháp giải bài tập toán 9 7 4 Tổng hợp lý thuyết hình học 9 16 5 Kiến thức cần nắm vững và thực hành đại số kỳ I 32 6 Rút gọn biểu thức 38 7 Hàm số bậc nhất 53 8 Hàm số bậc 2 61 9 Kiến thức cần nắm vững và thực hành hình học kỳ I 65 10 Một số đề kiểm tra học kỳ I tham khảo 70 11 Kiến thức cần nắm vững và thực hành đại số học kỳ II 72 12 Chuyên đề phương trình bậc 2 75 13 Chuyên đề hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn 105 14 Một số đề kiểm tra học kỳ II tham khảo 118 Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phương trình và lập hệ 15 125 phương trình 16 Chuyên đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 152 17 80 bài tập hình rèn luyện và nâng cao 170 18 22 đề thi vào lớp 10 năm 2017 (tham khảo) 195
4. LỜI NHẮN GỬI Thân gửi các em học sinh của Trung tâm Văn hóa Vinstar Việt Nam thân mến! Khi sinh ra, mỗi em đã có sự khác nhau về điều kiện gia đình và hoàn cảnh sống. Sau một thời gian khi các em lớn lên, mỗi em sẽ phải tự quyết định lấy cuộc sống của mình. Bằng ý chí và nghị lực, cùng với sự quyết tâm các em hoàn toàn có thể làm cho cuộc sống của mình trở lên tốt đẹp, có ý nghĩa, giàu có, thịnh vượng như ý muốn, vượt qua được nghịch cảnh hiện tại. Các em hãy nhớ rằng, từ muôn đời nay đã chứng minh một điều: “Tri thức là con đường ngắn nhất và vinh quang nhất để đi đến thành công và hạnh phúc” “Học tập tốt vừa là trách nhiệm vừa là cách tốt nhất để các em báo hiếu với bố mẹ, ông bà, tổ tiên và giúp cho tương lai của các em ngày một tốt đẹp hơn” Nếu các em thực sự cố gắng và quyết tâm học tập hết mình, chăm chỉ thực hành các kiến thức được các thầy cô giảng dạy, kết hợp với việc giải trí phù hợp, đồng thời không ngừng rèn luyện và tu dưỡng đạo đức (sống tốt, chan hòa với gia đình, bạn bè và mọi người) thì các em sẽ có nhiều cơ hội để đạt được thành công và vinh quang trong cuộc sống. “Tài cao phận thấp chí khí uất Tháng ngày rèn chí, tu thân dựng cơ đồ” “NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng” Khi các em có tài, có đức thì mọi điều tốt đẹp sẽ dần đến với các em. Thầy hy vọng tài liệu nhỏ bé này sẽ thực sự góp ích cho những bạn yêu thích môn toán, đồng thời dùng là tài liệu rèn luyện kỹ năng, kinh nghiệm làm bài thi, đề thi tuyển sinh vào lớp 10, qua đó giúp các em thêm hiểu và học môn Toán ngày càng tốt hơn. Thầy luôn mong và cầu chúc cho các em cùng gia đình luôn mạnh khỏe, hạnh phúc và gặp nhiều may mắn trong cuộc sống. Chúc các em luôn chăm ngoan, học giỏi để sau này sẽ là những công dân tốt, có ích để xây dựng gia đình, quê hương và đất nước ngày càng giàu đẹp. Thầy chúc các em sẽ đạt kết quả cao trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 sắp tới./. “NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng” 1
5. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Chiến thuật ôn thi vào lớp 10 hiệu quả trong 15 ngày – Giai đoạn nước rút Nếu chỉ còn khoảng 15 ngày nữa là đến ngày các bạn học sinh lớp 9 sẽ bước vào kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Đây là giai đoạn nước rút vô cùng quan trọng, vì vậy các bạn cần phải có chiến thuật ôn thi thật tốt để có thể đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Cấu trúc đề thi vào lớp 10 môn Toán, Văn và Anh năm 2016 về cơ bản không có nhiều thay đổi. Đề thi được ra như thế nào sẽ do mỗi Sở GD&ĐT địa phương quy định, tuy nhiên, nội dung trong đề thi chủ yếu tập trung vào chương trình giảng dạy lớp 9 với một số câu hỏi vận dụng thực tế, vận dụng cao. Để ôn thi thật hiệu quả trong vẻn vẹn 15 ngày, hãy đặt ra cho bản thân mình những nguyên tắc khắt khe và tuân thủ theo đúng những điều đã đề ra. Hãy suy nghĩ tích cực, giữ tinh thần lạc quan, tâm thái bình tĩnh để bắt đầu chiến thuật ôn thi nước rút. Kế hoạch vạch ra càng chi tiết thì hiệu quả càng cao. Bắt đầu chiến thuật ôn thi với 3 ngày học lý thuyết Bạn chỉ nên gói gọn việc ôn lý thuyết 3 môn trong 3 ngày đầu tiên. Việc ôn lại kiến thức tổng quan sẽ giúp bạn biết được lượng kiến thức mình đã dung nạp được và bản thân đang bị hổng ở đâu. Thực tế 3 ngày này cường độ ôn tập khá nhẹ nhàng, bởi môn Toán chủ yếu là các công thức, môn Anh không quá nhiều lý thuyết, môn Văn hơi nặng nề nhưng các bạn vừa trải qua kỳ thi học kỳ, nên cũng không cần phải học thuộc quá nhiều. Nếu thực hiện theo các bước sau thì việc ôn lý thuyết sẽ dễ dàng hơn.  Bước 1: Dựng khung đề cương ôn tập theo từng môn  Bước 2: Thu thập mọi tài liệu cần thiết  Bước 3: Lập timeline cụ thể cho từng phần theo đề cương trong chiến thuật ôn thi  Bước 4: Đọc lướt lại tất cả tài liệu  Bước 5: Đánh dấu lại những nội dung trọng tâm và những lỗ hổng kiến thức  Bước 6: Lấp đầy những lỗ hổng đã tìm được  Bước 7: Dành nhiều thời gian để ôn lại lý thuyết trọng tâm  Để đạt hiệu quả cao, bạn nên bắt đầu ôn lý thuyết môn Toán đầu tiên. Hãy ghi lại tất cả những công thức đã học trong sách giáo khoa. Gạch chân hoặc tô màu những công thức quan trọng hoặc những công thức mà bạn hay quên, hay nhầm lẫn. Bạn cũng phải ghi nhớ những quy tắc làm bài thi môn Toán như không được dùng bút chì để vẽ hình, không bỏ qua các bước đặt điều kiện, phải kết luận khi làm bài toán chứng minh  Sau đó ôn đến môn Anh văn. Ghi lại tất cả những công thức ngữ pháp, với mỗi công thức nên có kèm ít nhất 1 ví dụ vận dụng để minh họa. Đọc lại tất cả những từ mới đã được học, đối với những từ khó nhỡ hoặc dễ nhầm lẫn với nhau, cần gạch chân hoặc ghi chép lại cẩn thận.  Môn Văn nên được ôn cuối cùng vì đòi hỏi phải sử dụng bộ nhớ khá nhiều. Những kiến thức đòi hỏi phải học thuộc như đoạn thơ, tác giả, tác phẩm, hoàn cảnh sáng tác, nội 2
6. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 dung chủ đạo và đặc sắc nghệ thuật trong mỗi tác phẩm. Còn cách diễn đạt thì bạn không nên học thuộc theo sách hoặc văn mẫu, nên học theo ý hiểu bằng những gạch đầu dòng ngắn gọn. Kết thúc 3 ngày đầu tiên bạn phải nắm được toàn bộ kiến thức cơ bản. Khi thuộc nằm lòng lý thuyết thì bạn hoàn toàn có thể ăn chắc 50% điểm bài thi. Đào sâu Ngữ văn trong 4 ngày Vừa ôn xong phần lý thuyết môn Văn, với lượng kiến thức phải học thuộc nhiều nhất, bạn nên bắt đầu vận dụng ngay với môn học này. Nếu có nhiều thời gian để ôn tập thì mỗi ngày bạn có thể làm 1 bài văn, nhưng chỉ có 4 ngày hoàn toàn không đủ để làm điều đó. Vì vậy, bạn cần chia nhỏ nội dung ra để ôn tập hiệu quả. Phương pháp làm dạng câu hỏi nghị luận xã hội và một số đề tài nghị luận xã hội thường gặp, những vấn đề nóng đang được xã hội quan tâm. Phần tác phẩm thơ phải hiểu rõ ý chính và nghệ thuật của từng câu, biết cách mở rộng, phân tích từng câu và liên hệ toàn bài. Ghi nhớ những ý cơ bản nhất, trên cơ sở đó, lập luận theo quan điểm và ý hiểu của bản thân. Phần tác phẩm văn xuôi: Nhớ được những đoạn văn quan trọng cần phân tích, biết triển khai ý lớn nhỏ trong bài. Bạn phải trình bày chặt chẽ, logic và biết lồng ghép cảm xúc của mình vào bài viết. Vận dụng công thức Toán trong 4 ngày Luyện theo từng dạng bài, chứ không thực hiện chiến dịch ôn thi môn Toán theo đề. Làm theo dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững và ghi nhớ cách làm của từng dạng. Cấu trúc đề thi vào lớp 10 môn Toán thường có khoảng 5 đến 6 câu hỏi, như vậy lượng dạng bài cũng tương đương. Lưu ý, phần giải toán hình học chiếm nhiều điểm nhất trong bài thi, vì vậy hãy phân bổ thời gian ôn tập thật hợp lý cho mỗi dạng bài. Với mỗi dạng bài hãy thử làm thật nhiều bài tập thuộc dạng đó, đồng thời cố gắng khắc phục những lỗi sai hay mắc phải. Bốn ngày cuối nỗ lực cùng Anh văn Cách ôn thi môn Anh hiệu quả nhất là làm các bộ đề tuyển sinh. Khi làm các bạn nên canh thời gian, càng làm được nhiều đề càng tốt, nhưng phải đảm bảo làm đề nào chất lượng đề đấy. Khi luyện đề Anh văn, các bạn nên làm từ đề khó đến đến dễ để tích lũy kiến thức. Nếu vượt qua đề khó khoảng 7 – 8 điểm thì yên tâm đề dễ bạn hoàn toàn có thể đạt điểm tuyệt đối. 3
7. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Điều nên chuẩn bị trước kì thi tuyển sinh vào lớp 10 học sinh cần nhớ Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 dường như là bước ngoặt lớn đầu đời với các bạn học sinh ở tuổi 14 – 15. Bởi đây là kỳ thi có tính quyết định đến việc lựa chọn được môi trường học tập mới, tự lâp hơn trong 3 năm tới và định hướng tương lai sau này của các em học sinh. Dưới đây là những điều nên chuẩn bị trước khi thi vào lớp 10 cần nhớ, giúp bạn có nhiều hơn cơ hội trúng tuyển vào lớp 10. Cùng tham khảo nhé! Điều nên chuẩn bị trước kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 cần nhớ 1. Tăng tốc ôn tập hiệu quả Ôn tập là việc cần làm và không thể thiếu đối với các thí sinh trước giờ “G” của kỳ thi tuyển sinh lớp 10. Tuy nhiên không phải ôn thật nhanh là sẽ có kết quả tốt nhất. Lời khuyên cho các bạn là tăng tốc nhưng phải hiệu quả. Tức là:  Ôn thi đúng phạm vi nhưng không học tủ.  Ôn kỹ, đảm bảo năm vững các kiến thức cơ bản. Không nên học chay.  Dành thời gian để hệ thống hóa lại kiến thức và thử sức với các bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10. 2. Chế độ giải trí và cân bằng tâm lý thời kỳ ôn thi Nên tuân thủ theo nhịp sinh học, đó là ngủ thỏa mãn theo nhu cầu, ngủ càng sớm càng tốt, ngủ sớm sẽ thức dậy sớm. Nếu thiếu ngủ, cơ thể sẽ tiêu hao nhiều năng lượng, giảm bài tiết hormon tăng trưởng, giảm ăn, ăn mất ngon, chậm tiêu, kéo dài sự kích thích vỏ não dẫn tới suy nhược hệ thần kinh và toàn cơ thể, từ đó sẽ giảm năng suất học tập. Kết hợp thư giãn bằng hình thức nghe nhạc hoặc vận động để khỏe hơn trong mùa thi Hoạt động thể lực tuy không phải là “thức ăn bổ não” nhưng lại hết sức cần thiết vì giúp máu lưu thông tốt, mang ôxy và dưỡng chất tới cho não nhiều hơn nên các em sẽ “sáng trí” hơn khi học tập. Bộ não của chúng ta chỉ có thể tập trung, hoạt động liên tục trong vòng 45 phút, sau đó nó cần được nghỉ ngơi. Do vậy không phải cứ học liên tục là tốt mà cứ mỗi 45 phút nên nghỉ giải lao khoảng 10 phút. Thời gian nghỉ ngắn này có thể vận động bằng các bài tập thể dục nhẹ nhàng như đi lại, đồng thời hít thở sâu để tăng lưu lượng máu lên não, giúp não thư giãn, nghỉ ngơi. 3. Làm chủ tâm lý phòng thi Để có thể có một tâm lý vững vàng, giảm bợt lo lắng trước một kỳ thi quan trọng thì các bạn cần phải có những cách để giảm áp lực tâm lý như: - Ôn tập thật tốt để tạo tâm lý tự tin. - Gần đến ngày thi hãy thôi nghĩ đến việc đề thi ra thế nào để giảm lo lắng. - Đến thời kỳ chỉ còn gần 1 tháng đến ngày thi, các em có thể sẽ chỉ học lại các kiến thức chính và luyện đề để rèn luyện kỹ năng, tâm lý đồng thời dành thời gian nghỉ ngơi, giải trí phù hợp. 4
8. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI MÔN TOÁN Có kiến thức về Toán học nhưng không hẳn bạn sẽ đạt được điểm thi vào lớp 10 cao bởi sự thiếu kinh nghiệm và mắc phải lỗi đáng tiếc trong quá trình làm bài thi. Thầy xin gửi tới các bạn một số lưu ý, kinh nghiệm giúp bạn rất nhiều trong quá trình làm bài thi môn toán vào lớp 10. 1. Khi nhận đề thi cần phải đọc và xem lại toàn bộ một lượt đề thi. Việc làm này không mất nhiều thời gian của các bạn (khoảng 03 phút) nhưng giúp các bạn có thể có các cảm nhận về mức độ khó dễ của đề thi và có những sắp xếp làm bài thi hợp lý. 2. Đọc lại đề chậm hơn và phân loại bài từ dễ đến khó để có chiến lược lựa chọn làm bài phù hợp. 3. Nên làm từ bài dễ đến bài khó để không mất nhiều thời gian làm bài dễ, ghi được điểm tốt và tâm lý thoải mái, tập trung tư duy hơn để làm các câu hỏi khó. Ngược lại, nếu làm bài thi từ khó tới dễ có thể khiến bạn mất nhiều thời gian và đôi khi lúc làm xong thời gian còn ít sẽ làm bạn mất bình tĩnh làm bài dễ vội vàng và dễ mắc sai lầm. Trong khi đó, các bài dễ là câu để gỡ điểm cũng làm không tốt sẽ khiến cho điểm thi lớp 10 môn toán của bạn bị hạ xuống. Đồng thời, cách làm này sẽ giúp các bạn học sinh có học lực trung bình khá ghi các điểm cần thiết và không nhất thiết phải làm cho bằng được câu điểm 10 trong khi mình không thể trong khi bỏ mất cơ hội đat điểm tốt ở các câu dễ hơn. 4. Không quên kiểm tra lại các đáp án, phép tính khi còn thời gian làm bài để tránh nhầm lẫn. Tức là cac em nên thử lại kết quả cho mỗi bài toán của mình. Vì nhiều trường hợp trong quá trình làm bài có phương pháp đúng, phép tính đúng nhưng vì lý do tính toán nhầm lẫn dẫn đến quả sai rất đáng tiếc. 5. Làm bài trình bày sạch sẽ, ngắn ngọn, cố gắng không tẩy xóa nhưng phải đầy đủ các lời giải để người chấm hiểu được cách làm, bước làm của mình. Không được dùng bút xóa để tẩy chỗ sai trong bài thi của mình. Tránh bỏ qua những lời giải cần thiết vì chúng có thể khiến bạn mất đi 0,25 điểm mà đôi khi lặp lại trong bài thi nhiều lần cũng có thể mất khá nhiều điểm. 6. Không được sử dụng 2 loại mực khác nhau trong bài thi, bởi nó sẽ làm bài thi của bạn bị đánh dấu và vi phạm quy chế. Trên đây là một số lưu ý cơ bản, kinh nghiệm làm bài thi toán vào lớp 10 đạt điểm cao cần nhớ giúp cho các bạn có thể dành được điểm thi vào lớp 10 môn toán khá cao và trúng tuyển vào trường cấp 3 như mong muốn. Ngoài ra, bạn đừng quên cố gắng ôn tập thật tốt để bước vào kỳ thi thật tự tin và đạt điểm số tốt nhé! 10 loại thực phẩm cực cần thiết cho sĩ tử mùa thi 5
9. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Nhu cầu năng lượng của các sĩ tử mùa thi cao gấp nhiều lần so với người lớn bởi các em cần năng lượng để phát triển thể chất và trí não. Trung bình một ngày, bộ não tiêu hao 400 Kcalo chiếm 1/5 năng lượng cơ thể. Vì vậy, thực phẩm tốt cho trí não cần được ưu tiên hàng đầu đối với các sĩ tử mùa thi.10 loại thực phẩm dưới đây rất đơn giản, dễ mua, dễ chế biến giúp cung cấp đầy đủ dưỡng chất cho trí não sĩ tử.  Nước: đừng để đến khi khát mới uống ước. Nước rất tốt cho bộ não bởi 80% bộ não là nước. Vì vậy, mỗi ngày cần uống 2 lít nước. Ngoài ra, thêm những loại rau củ, hoa quả nhiều nước như: dưa chuột, dưa hấu, các loại tảo biển, sâm Cũng là một cách tăng lượng nước cho cơ thể.  Trứng: quan niệm kiêng trứng vì sợ điểm thi giống quả trứng đã khiến sĩ tử có thể thiếu nhiều chất dinh dưỡng, vì trứng hoặc trứng vịt lộn là món ăn rất giàu protein. Tuy nhiên, không nên ăn quá nhiều, mỗi ngày nên ăn một quả vào buổi sáng hoặc bữa phụ buổi chiều, không nên ăn vào buổi tối.  Nấm: là loại thực phẩm mang lại giá trị dinh dưỡng cao, cung cấp chất đạm, chất béo, carbohydrat và vitamin  Đậu phụ: cung cấp đạm thực vật dễ tiêu, có thể mua và chế biến rất đơn giản.  Các loại hạt: như đậu xanh, đậu đen, đậu đỏ, hạt sen Đây là nguồn cung cấp vitamin, chất khoáng và đạm thực vật rất tốt cho các sĩ tử, đồng thời cũng là món ăn để các bạn bồi dưỡng thêm vào bữa ăn phụ.  Cá: không những là nguồn cung cấp đạm mà còn cung cấp các axit béo (hay còn gọi là omega) có lợi cho hệ tim mạch, thần kinh. Một tuần nên ăn ba bữa cá, ưu tiên các loại cá thu, cá basa, cá trích Ngoài ra, mùa hè có thể ăn thêm canh cua, ngao hoặc hến là nguồn cung cấp đạm và chất khoáng rất dồi dào.  Các loại quả: Nên ưu tiên các loại quả có màu vàng, đỏ để cung cấp nhiều vitamin A cho mắt. Ít nhất cũng ăn một quả chuối và một quả táo hoặc một cốc nước cam, quýt mỗi ngày để cung cấp vitamin và khoáng chất cho cơ thể.  Sữa chua: Ăn 1 - 2 hộp sữa chua mỗi ngày (nếu có) để cung cấp thêm lợi khuẩn giúp hệ tiêu hóa hoạt động tốt và bảo vệ đường ruột, hệ miễn dịch.  Sữa: Cung cấp nhiều năng lượng, có thể uống một ly sữa cho bữa đêm hoặc các bữa ăn phụ giúp tăng cường năng lượng và chất dinh dưỡng cho cơ thể.  Dinh dưỡng từ thực phẩm tự nhiên như: sâm, yến, các loại tảo biển nếu có điều kiện  Các loại rau có màu xanh đậm: Có nhiều sắt và vitamin nhóm B rất tốt cho các sĩ tử như rau ngót, rau dền, rau cải bắp, cà rốt 6
10. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TỔNG HỢP KIẾN THỨC LÝ THUYẾT VÀ CÁCH GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 PHẦN I: A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Điều kiện để căn thức có nghĩa.ĐẠI SỐ A có nghĩa khi A 0 có nghĩa khi có nghĩa khi B có nghĩa khi 2. Các công thức biến đổi căn thức. a. AA2 b. AB A. B ( A 0; B 0) AA c. (AB 0; 0) B B d. ABABB2 ( 0) e. ABABAB 2 ( 0; 0) ABABAB 2 ( 0; 0) A 1 f. AB( AB 0; B 0) BB AAB i. (B 0) B B CCAB() k. (AAB 0; 2 ) AB AB 2 CCAB() m. (ABAB 0; 0; ) AB AB 2 3. Hàm số y = ax + b (a 0) - Tính chất: + Hàm số đồng biến trên R khi a > 0. + Hàm số nghịch biến trên R khi a 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x 0. *)Đồ thị của hàm số y = ax2(a 0): Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành. 0 là điểm thấp nhất của đồ thị. Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành. 0 là điểm cao nhất của đồ thị. *)Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0): Lập bảng các giá trị tương ứng của (P). Dựa và bảng giátrị vẽ (P). 5.Tìmgiao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a 0) và (D): y = ax + b: 7
11. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Lập phương trń h hoành độ giao điểm của (P) và (D): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng nhau đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0. Giải pt hoành độ giao điểm: + Nếu > 0 pt có 2 nghiệm phân biệt (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. + Nếu = 0 pt có nghiệm kép (D) và (P) tiếp xúc nhau. + Nếu 0 giải bất pt tḿ m. + (Dm) tiếp xúc (P) tại 1 điểm = 0 giải pt tìm m. + (Dm) và (P) không giao nhau khi 0 : Phương trình có hai nghiệm phân - Nếu ' > 0 : Phương trình có hai nghiệm biệt: phân biệt: b b b' ' b' ' x ; x x ; x 1 2a 2 2a 1 a 2 a Nếu = 0 : Phương trình có nghiệm kép : - Nếu ' = 0 : Phương trình có nghiệm kép: b ' x x b 1 2 x x 2a 1 2 a Nếu < 0 : Phương trình vô nghiệm - Nếu ' < 0 : Phương trình vô nghiệm 8. Hệ thức Viet và ứng dụng. - Hệ thức Viet: 2 Nếu x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 (a 0) thì: b S x x 12a c P x. x 12 a - Một số ứng dụng: + Tìm hai số u và v biết u + v = S; u.v = P ta giải phương trình: x2 - Sx + P = 0 (Điều kiện S2 - 4P 0) + Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm: c x1 = 1 ; x2 = a Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm: c x1 = -1 ; x2 = a Chú ý: 8
12. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 9. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình Bước 3: Kiểm tra các nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận B. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC Bài toán: Rút gọn biểu thức A  Để rút gọn biểu thức A ta thực hiện các bước sau: - Quy đồng mẫu thức (nếu có) - Đưa bớt thừa số ra ngoài căn thức (nếu có) - Trục căn thức ở mẫu (nếu có) - Thực hiện các phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia - Cộng trừ các số hạng đồng dạng. Dạng 2: BÀI TOÁN TÍNH TOÁN Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức A.  Tính A mà không có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với bài toán Rút gọn biểu thức A Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức A(x) biết x = a  Cách giải: - Rút gọn biểu thức A(x). - Thay x = a vào biểu thức rút gọn. Dạng 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Bài toỏn: Chứng minh đẳng thức A = B  Một số phương pháp chứng minh: - Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa. A = B  A - B = 0 - Phương pháp 2: Biến đổi trực tiếp. A = A1 = A2 = = B - Phương pháp 3: Phương pháp so sánh. A = A1 = A2 = = C A = B B = B1 = B2 = = C - Phương pháp 4: Phương pháp tương đương. A = B  A' = B'  A" = B"  (*) (*) đỳng do đú A = B - Phương pháp 5: Phương pháp sử dụng giả thiết. - Phương pháp 6: Phương pháp quy nạp. - Phương pháp 7: Phương pháp dùng biểu thức phụ. Dạng 4: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B  Một số bất đẳng thức quan trọng: - Bất đẳng thức Cosi: a a a a 1 2 3 n n a .a .a a (với a .a .a a 0 ) n 1 2 3 n 1 2 3 n Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a1 a2 a3 an - Bất đẳng thức BunhiaCôpxki: 9
13. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Với mọi số a1; a2; a3; ; an; b1; b2; b3; bn 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a1b1 a2b2 a3b3 anbn (a1 a2 a3 an )(b1 b2 b3 bn ) a a a a Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 3 n b1 b2 b3 bn  Một số phương pháp chứng minh: - Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa A > B  A - B > 0 - Phương pháp 2: Biến đổi trực tiếp 2 A = A1 = A2 = = B + M > B nếu M 0 - Phương pháp 3: Phương pháp tương đương A > B  A' > B'  A" > B"  (*) (*) đúng do đó A > B - Phương pháp 4: Phương pháp dùng tính chất bắc cầu A > C và C > B A > B - Phương pháp 5: Phương pháp phản chứng Để chứng minh A > B ta giả sử B > A và dùng các phép biến đổi tương đương để dẫn đến điều vô lí khi đó ta kết luận A > B. - Phương pháp 6: Phương pháp sử dụng giả thiết. - Phương pháp 7: Phương pháp quy nạp. - Phương pháp 8: Phương pháp dùng biểu thức phụ. Dạng 5: BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài toán 1: Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0)  Các phương pháp giải: - Phương pháp 1: Phân tích đưa về phương trình tích. - Phương pháp 2: Dùng kiến thức về căn bậc hai x2 = a x = a - Phương pháp 3: Dùng công thức nghiệm Ta có = b2 - 4ac + Nếu > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: b b x ; x 1 2a 2 2a + Nếu = 0 : Phương trình có nghiệm kép b x x 1 2 2a + Nếu 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: b' ' b' ' x ; x 1 a 2 a + Nếu ' = 0 : Phương trình có nghiệm kép b' x x 1 2 a + Nếu ' < 0 : Phương trình vô nghiệm - Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et. 2 Nếu x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 (a 0) thì: 10
14. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 b x x 1 2 a c x .x 1 2 a Chú ý: Nếu a, c trái dấu tức là a.c 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: b b x ; x 1 2a 2 2a b Nếu = 0 : Phương trình có nghiệm kép : x x 1 2 2a Nếu 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: b' ' b' ' x ; x 1 a 2 a b' Nếu ' = 0 : Phương trình có nghiệm kép: x x 1 2 a Nếu ' < 0 : Phương trình vô nghiệm - Ghi tóm tắt phần biện luận trên. Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm.  Có hai khả năng để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm: 1. Hoặc a = 0, b 0 2. Hoặc a 0, 0 hoặc ' 0 Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mãn điều kiện 1 hoặc điều kiện 2. Bài toán 4: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm phân biệt. a 0 a 0  Điều kiện có hai nghiệm phân biệt hoặc ' 0 0 Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.  Điều kiện có một nghiệm: a 0 a 0 a 0 hoặc hoặc ' b 0 0 0 Bài toán 6: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép. 11
15. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 a 0 a 0  Điều kiện có nghiệm kép: hoặc ' 0 0 Bài toán 7: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm. a 0 a 0  Điều kiện có một nghiệm: hoặc ' 0 0 Bài toán 8: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm. a 0  Điều kiện có một nghiệm: hoặc hoặc b 0 Bài toán 9 : Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có hai nghiệm cùng dấu.  Điều kiện có hai nghiệm cùng dấu: 0 ' 0 c hoặc c P 0 P 0 a a Bài toán 10 : Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm dương.  Điều kiện có hai nghiệm dương: 0 ' 0 c c P 0 hoặc P 0 a a b b S 0 S 0 a a Bài toán 11 : Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm âm.  Điều kiện có hai nghiệm âm: 0 ' 0 c c P 0 hoặc P 0 a a b b S 0 S 0 a a Bài toán 12 : Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm trái dấu.  Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P < 0 hoặc a và c trái dấu. Bài toán 13 : Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai 2 ax + bx + c = 0 (*) ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có một nghiệm x = x1.  Cách giải: 2 - Thay x = x1 vào phương trình (*) ta có: ax1 + bx1 + c = 0 m - Thay giá trị của m vào (*) x1, x2 P - Hoặc tính x2 = S - x1 hoặc x2 = x1 Bài toán 14 : Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai 12
16. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 2 ax + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn các điều kiện: 2 2 a. x1 x2  b. x1 x2 k 1 1 2 2 3 3 c. n d. x1 x2 h e. x1 x2 t x1 x2  Điều kiện chung: 0 hoặc ' 0 (*) Theo định lí Viet ta có: b x x S (1) 1 2 a c x .x P (2) 1 2 a a. Trường hợp: x1 x2  b x1 x2 Giải hệ a x1, x2 x1 x2  Thay x1, x2 vào (2) m Chọn các giá trị của m thoả mãn (*) 2 2 2 b. Trường hợp: x1 x2 k (x1 x2 ) 2x1 x2 k b c Thay x1 + x2 = S = và x1.x2 = P = vào ta có: a a S2 - 2P = k Tìm được giá trị của m thoả mãn (*) 1 1 c. Trường hợp: n  x1 x2 nx1.x2  b nc x1 x2 Giải phương trình - b = nc tìm được m thoả mãn (*) 2 2 2 d. Trường hợp: x1 x2 h  S 2P h 0 Giải bất phương trình S2 - 2P - h 0 chọn m thoả mãn (*) 3 3 3 e. Trường hợp: x1 x2 t  S 3PS t Giải phương trình S 3 3PS t chọn m thoả mãn (*) Bài toán 15 : Tìm hai số u và v biết tổng u + v = S và tích u.v = P của chúng.  Ta có u và v là nghiệm của phương trình: x2 - Sx + P = 0 (*) (Điều kiện S2 - 4P 0) Giải phương trình (*) ta tìm được hai số u và v cần tìm. Nội dung 6: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ Bài toán1: Giải phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0  Đặt t = x2 (t 0) ta có phương trình at2 + bt + c = 0 Giải phương trình bậc hai ẩn t sau đó thay vào tìm ẩn x Bảng tóm tắt at2 + bt + c = 0 ax4 + bx2 + c = 0 vô nghiệm vô nghiệm 2 nghiệm âm vô nghiệm nghiệm kép âm vô nghiệm 1 nghiệm dương 2 nghiệm đối nhau 13
17. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 4 nghiệm 2 nghiệm dương 2 cặp nghiệm đối nhau 1 1 Bài toán 2: Giải phương trình A(x2 ) B(x ) C 0 x2 x 1  Đặt x = t  x2 - tx + 1 = 0 x 1 1 1 Suy ra t2 = ( x )2 = x2 2  x2 t 2 2 x x2 x2 Thay vào phương trình ta có: A(t2 - 2) + Bt + C = 0  At2 + Bt + C - 2A = 0 Giải phương trình ẩn t sau đó thế vào = t giải tìm x. 1 1 Bài toán 3: Giải phương trình A(x2 ) B(x ) C 0 x2 x 1  Đặt x = t  x2 - tx - 1 = 0 x 1 1 1 Suy ra t2 = ( x )2 = x2 2  x2 t 2 2 x x2 x2 Thay vào phương trình ta có: A(t2 + 2) + Bt + C = 0  At2 + Bt + C + 2A = 0 1 Giải phương trình ẩn t sau đó thế vào x = t giải tìm x. x Bài toán 4: Giải phương trình bậc cao  Dùng các phép biến đổi đưa phương trình bậc cao về dạng: + Phương trình tích + Phương trình bậc hai. Nội dung 7: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ax by c Bài toán: Giải hệ phương trình a'x b' y c'  Các phương pháp giải: + Phương pháp đồ thị + Phương pháp cộng + Phương pháp thế + Phương pháp đặt ẩn phụ Nội dung 7: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Bài toán 1: Giải phương trình dạng f (x) g(x) (1) g(x) 0 (2)  Ta có f (x) g(x)  2 f (x) g(x) (3) Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp nghiệm của (1) 14
18. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Bài toán 2: Giải phương trình dạng f (x) h(x) g(x)  Điều kiện có nghĩa của phương trình f (x) 0 h(x) 0 g(x) 0 Với điều kiện trên thoả mãn ta bình phương hai vế để giải tìm x. Nội dung 8: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài toán: Giải phương trình dạng f (x) g(x) g(x) 0  Phương pháp 1:  2 2 f (x) g(x)  Phương pháp 2: Xét f(x) 0 f(x) = g(x) Xét f(x) < 0 - f(x) = g(x)  Phương pháp 3: Với g(x) 0 ta có f(x) = g(x) Nội dung 9: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)  Phương pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn. - Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho: y = M - [g(x)]2n , n Z y M Do đó ymax = M khi g(x) = 0 - Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho: y = m + [h(x)]2k k Z y m Do đó ymin = m khi h(x) = 0  Phương pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm.  Phương pháp 3: Dựa vào đẳng thức. Nội dung 10: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ * ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG - ĐƯỜNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM Bài toán: Cho (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) và một điểm A(xA;yA). Hỏi (C) có đi qua A không?  Đồ thị (C) đi qua A(xA;yA) khi và chỉ khi toạ độ của A nghiệm đúng phương trình của (C) A (C)  yA = f(xA) Dó đó tính f(xA) Nếu f(xA) = yA thì (C) đi qua A. Nếu f(xA) yA thì (C) không đi qua A. * SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Bài toán : Cho (C) và (L) theo thứ tự là độ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) Hãy khảo sát sự tương giao của hai đồ thị  Toạ độ điểm chung của (C) và (L) là nghiệm của phương trình hoành độ điểm chung: f(x) = g(x) (*) - Nếu (*) vô nghiệm thì (C) và (L) không có điểm chung. 15
19. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 - Nếu (*) có nghiệm kép thì (C) và (L) tiếp xúc nhau. - Nếu (*) có 1 nghiệm thì (C) và (L) có 1 điểm chung. - Nếu (*) có 2 nghiệm thì (C) và (L) có 2 điểm chung. * LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Bài toán 1: Lập phương trình của đường thẳng (D) đi qua điểm A(xA;yA) và có hệ số góc bằng k.  Phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là : y = ax + b (*) - Xác định a: ta có a = k - Xác định b: (D) đi qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b b = yA - kxA - Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta có phương trình của (D) Bài toán 2: Lập phương trình của đường thẳng (D) đi qua điểm A(xA;yA); B(xB;yB)  Phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là : y = ax + b yA ax A b (D) đi qua A và B nên ta có: yB ax B b Giải hệ ta tìm được a và b suy ra phương trình của (D) Bài toán 3: Lập phương trình của đường thẳng (D) có hệ số góc k và tiếp xúc với đường cong (C): y = f(x)  Phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là : y = kx + b Phương trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép. Từ điều kiện này ta tìm được b và suy ra phương trình của (D) Bài toán 3: Lập phương trình của đường thẳng (D) đi qua điểm A(xA;yA) k và tiếp xúc với đường cong (C): y = f(x)  Phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là : y = kx + b Phương trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép. Từ điều kiện này ta tìm được hệ thức liên hệ giữa a và b ( ) Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) do đó ta có yA = axA + b ( ) Từ ( ) và ( ) a và b Phương trình đường thẳng (D). PHẦN II: HÌNH HỌC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông. ABC vuông tại A có AH  BC và độ dài các cạnh tương ứng: AB = c; AC = b BC = a ta có 6 công thức cơ bản sau: A B 1) AC2= CH. BC hay b2 = a . b' 2) AB2=BH.BC hay C2 = a . c’ 3) AH2 = HB.HC hay h2 = b/ . c/ 4) BC.AH = AC.AB hay a . h = b . c B C a H 1 1 1 1 1 1 5) hay =+ c AH2 AB 2 AC 2 h2 b 2 c 2 6) BC2 = AB2 + AC2 hay a2 = b2 + c2 16 A b C
20. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn. 0 R . * Điểm M nằm trong đường tròn ( O ; R ) OM < R . c) So sánh độ dài dây và đường kính : * Định lý : Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn . d) Sự xác định của đường tròn: Định lí : * Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( Tam giác ABC gọi là tam giác nội tiếp đường tròn ) * Tâm của đường tròn ngoại tiếp t/g là giao điểm các đường trung trực của các cạnh tam giác . 2) Tính chất đối xứng của đường tròn : M a) Liên hệ giữa đường kính và dây cung: *Định lí : Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây A B I đó . (Đường tròn ( O ) có OM ⊥ AB tại I I là trung điểm của AB ). O *Định lí đảo : đường kính đi qua trung điểm của một dây (dây không là đường kính ) thì vuông góc với dây đó . (Đường tròn ( O ) có OM cắt AB tại I và I là trung điểm của dây AB OM ⊥ AB tại I ) b) Liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm : N 17
21. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 * Định lí : Trong một đường tròn : B + Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm (Đường tròn ( O )có AB = CD, OI I ⊥AB tạiI, OK ⊥CD tại K OI = OK ) A + Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau O C (Đ. Tròn (O) có OI ⊥AB tại I, OK⊥CD tại K, OI = OK AB = CD) K + Dây lớn hơn thì gần tâm hơn ;+ Dây gần tâm hơn thì lớn hơn . D 2)Vị trí tương đối của đường thẳng và đư ờng tròn : Ghi chú : d = OH là khoảng cách từ tâm đ. tròn ( O, R ) đến đ .thẳng a *Đường thẳng và đường tròn không giao nhau : Số điểm chung : 0 ; - Hệ thức : d > R O d O a d a H *Đường thẳng và đường tròn cắt nhau : - Số điểm chung : 0 ;- Hệ thức : d < R +Trường hợp này đường thẳng a gọi là cát tuyến của đường tròn ( O, R ) * Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc : - Số điểm chung : 1 ; - Hệ thức : d = R O d a H + Trường hợp này đường thẳng a gọi là tiếp tuyến của đường tròn ( O ; R ) và H gọi là tiếp điểm * Định lí 1:( t/c của tiếp tuyến ) Nếu một đ.thẳng là tiếp tuyến của đ. tròn thì nó vuông góc với b.kính đi qua t. điểm (Nếu a là tiếp tuyến của đ. tròn tâm O và H là tiếp điểm thì a ⊥OH hay a ⊥d ) * Định lí 2 ( dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến ) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đưòng tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn . ( Đường tròn ( O , R ) có OH = R và OH ⊥ a thì a là tiếp tuyến của đường tròn ( O ) ). * Định lí 3: ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ) Nếu MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) ( A và B là hai tiếp điểm ) thì : + MA = MB . + OM là phân giác của góc AOB + MO là phân giác của góc AMB + OM ⊥ AB tại I ; I là trung điểm của AB ( OM là trung trực của AB ) 18
22. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 A I O M * Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC gọi là đường B tròn nội tiếp tam giác ABC ( Tam giác ABC gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn ) A + Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác . 4) Vị trí tương đối của hai đường tròn : O Ghi chú : d là khoảng cách hai tâm hai đường tròn ( O; R) và ( I ; r ), d = OI, giả sử R > r > 0 . * Hai đường tròn không giao nhau : B C - Số điểm chung : 0 ;-Hệ thức giữa d , R , r : R r E I O F I O O Ở ngoài nhau : d > R + r Đựng nhau : d < R – r Đặc biệt : đồng tâm ( d = 0 ) * Hai đường tròn cắt nhau : - Số điểm chung : 2 A - Hệ thức giữa d, R, r là: R – r < d < R + r + Tính chất đường nối tâm : Nếu hai đường tròn cắt nhau thì O I đường nối tâm vuông góc với dây chung và đi qua trung điểm của dây chung B ( Nếu đường tròn (O) và đường tròn (I) cắt nhau tại hai điểm A và B thì OI ⊥ AB tại H và HA = HB ) * Hai đường tròn tiếp xúc : - Số điểm chung : 1 - Hệ thức giữa d, R, r : A O A I I O Tiếp xúc ngoài : d = R + r Tiếp xúc trong : d = R – r + Tính chất đường nối tâm : Nếu hai đ. tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm. GÓC VÀ ĐƯỜNG TRÒN 1) Góc ở tâm :Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn 19
23. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 A x ( Góc ở tâm AOB chắn cung AB ) m n * Số đo cung : O + AOB sđ AB B + Số đo cung nửa đường tròn là 1800 y + Sđ AmB = 3600 – sđ AnB *So sánh hai cung : + sđ AB = sđ CD AB CD A + sđ AB sđ CD AB CD B Đối với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai C O đường tròn bằng nhau . + AB = CD AB CD + AB > CD AB CD D 2) Góc nội tiếp : * Định nghĩa : Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh cắt đường tròn đó . * Tính chất : - Định lí : Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn . - Hệ quả : Trong một đường tròn : + Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc các cung bằng nhau thì bằng nhau + Mọi góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông . + Mọi góc nội tiếp (nhỏ hơn hay bằng 900 )có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung . B E F O O M N A C C P D ( Đường tròn ( O ; OA) có : (Đường tròn ( O ) đường kính MN có : 1 1 sđ ABC sđ AC ; ABC AOC ) MPN  90 ; CFD CED ) 2 2 B 3) Tứ giác nội tiếp A Tứ giác ABCD có ABD ACD = ( tứ giác ABCD có ABD và ACD cùng C cạnh AD dưới một góc ) tứ giác ABCD nội tiếp ) D 20
24. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 4) Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung : *Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung (đi từ tiếp điểm ) bằng nửa số đo của cung bị chắn . 1 A Sđ xAB sđ AB 2 x C * Trong một đường tròn số đo của góc nội tiếp và số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì bằng O nhau xAB ACB ( Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung B ;góc nội tiếp cùng chắn cung AB ) 5) Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn C Số đo góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn (một cung nằm giữa hai cạnh của góc và cung kia nằm giữa các 1 A tia đối của hai cạnh đó ) AEC ( sđ AC + sđ DB ) 2 6) Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn : Số đo góc có đỉnh ở bên O E ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn bởi hai cạnh của 1 góc .Ta có : sđ AIB (sđ AB - sđ CD ) 2 D B 7 ) Tứ giác nội tiếp : * Định ngh ĩa : m ột t ứ giác có bốn đỉnh I D nằm trên đường tròn gọi là tứ giác nội D tiêp đương tròn . C * Định lí ( Tính chất ) : Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 O C O * Định lí đảo ( cách nhận biết ) : Nếu A một tứ giác có tổng số đo hai góc đối A diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp B đường tròn . B 8) Độ dài đường tròn ( còn gọi là chu vi hình tròn ), độ dài cung tròn : * Độ dài đường tròn ( còn gọi là chu vi hình tròn ) : C = 2 R ( R là bán kính đường tròn ; 3,14 Rn O * Độ dài cung tròn : L ( R là bán kính đường tròn ; AB 180 A n0 là số đo độ cung . n B 9) Diện tích hình tròn , diện tích hình quạt tròn : * Diện tích hình tròn : S = R2 Rn2  L .R * Diện tích hình quạt tròn : S = hay S = AB ( R là bán kính 360 2 hình tròn ; n0 là số đo độ hình quạt ; L là độ dài cung AB ; 3,14 AB ) 21
25. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 O A B HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU A D 1) HÌNH TRỤ : Quay hình chữ nhật ABCD một vòng quanh cạnh CD cố định, hình phát sinh là hình trụ h * Đáy là hai hình tròn bằng nhau ( D ; AD ) và ( C ; CB ) thuộc hai mặt phẳng song song R * Đường thẳng CD là trục hình trụ . B C * AB là đường sinh ( AB quét nên mặt xung quanh hình trụ ) a) Diện tích xung quanh của hình trụ : Sxq = 2πR .h ( R là bán kính hình tròn đáy ) ; h là chiều cao hình trụ . b) Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + 2Sđáy c) Thể tích hình trụ : V = π R2.h 2) HÌNH NÓN : Quay hình tam giác ABC vuông tại A một vòng quanh cạnh AB cố định, hình phát sinh là HÌNH NÓN . * Đáy là hình tròn ( A ; AC ) ; Đỉnh là B B * BC là đường sinh ( BC quét nên mặt xung quanh hình nón) * Độ dài AB là chiều cao hình nón ; Đường thẳng AB là trục Hình nón . a) Diện tích xung quanh hình nón : S = πRl ( R là bán kính hình tròn đáy ; l là độ dài đường sinh ) l xq h b) Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + S đáy 1 c) Thể tích hình nón : V = πR2.h ( h là chiều cao hình nón ) C R 3 A 3) Hình cầu : Quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R một vòng quanh đường kính AB cố định thì hình phát sinh là hình cầu tâm O , bán kính R A a) Diện tích mặt cầu : S = 4π R2 ( R là bán kính hình cầu ) b) Thể tích hình cầu : 4 3 R V = πR C O 3 B CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý VÀ HỌC THUỘC ĐỂ ÁP DỤNG LÀM TOÁN Sin Cos 1) Tg = ; Cotg ; Tg . Cotgα = 1 ; Sin2 Cos2 = 1 Cos Sin 2) Nếu Sinβ > 22
26. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 * Nếu Cotgβ > 3) Vị trí của một điểm đối với đường tròn : M a) Điểm M nằm trên đường tròn ( O; R ) OM = R b) Điểm M nằm ngoài đường tròn ( O; R ) OM > R A B c) Điểm M nằm trong đường tròn ( O; R ) OM < R O 4) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn a) Nếu điểm M thuộc đường tròn đường kính AB thì AMB  1v = 90 b)Nếu ΔAMB vuông tại M thì tâm của đường tròn ngoại tiếp ΔAMB là trung điểm O của cạnh huyền AB và OA = OB = OM = 1 AB 2 5) Nếu tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh góc vuông AB = AC = a thì bán kính của đường tròn ( O ; R ) ngoại tiếp ΔABC là AB 2 a 2 OB = OA = OC = R = 22 6) a) Khi đường thẳng a và đường tròn ( O ; R ) có hai điểm chung A và B ta nói đường thẳng a và đường tròn ( O ) cắt nhau . Đường thẳng a còn gọi là cát tuyến của đường tròn ( O ; R ) O b) OH ⊥a tại H. Đuờng thẳng a và đường tròn ( O ; R ) cắt nhau khi R a và chỉ khi OH < R A H B 7) a) Khi đường thẳng a và đường tròn ( O; R ) chỉ có một điểm chung C ,ta nói đường thẳng a và đường tròn ( O ) tiếp xúc nhau. Ta còn nói đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn ( O; R ). Điểm C gọi là tiếp điểm O b) OH ⊥a tại H, đường thẳng a và đường tròn ( O; R ) tiếp xúc R nhau OH = R a CH 8) Đường thẳng a là tiếp tuyến của ( O ) ; C là tiếp điểm thì a ⊥ OC 9) Nếu A là điểm chính giữa của cung NM thì NA AM 10) Đường tròn ( O ) nội tiếp tam giác ABC ( Tam giác ABC ngoại tiếp A đường tròn ( O ) ) thì O chính là giao điểm ba đường phân giác trong của M N tam gi ác của ABC . 11) Đường tròn ( O ) ngoại tiếp tam giác ABC ( Tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) ) thì O chính là giao điểm ba đường trung trực của tam giác của ABC . P 12) Trong một đường tròn hai cung chắn bởi hai A B M N I dây song song thì bằng nhau . O O 13)* Trong một đường tròn đường kính đi qua điểm D C chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Q 12) Đường tròn ( O ) có AB // DC (AB và CD là 2 dây ) AD BC 13) Đường tròn ( O ) có PQ là đường kính ; MN là dây có PN PM và PQ NM =  I I là trung điểm của dây NM * Trong một đường tròn hai cung bị chắn giữa hai 23
27. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Trong một đường tròn đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy. 14) Đường tròn ( O ) có PQ là đường kính ; MN là dây cung ; MI = IN và PQ NM =  I P là điểm chính giữa của cung NM PN PM 15) Trong một đường tròn đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại . E a) Đường tròn ( O ) có E là điểm chính giữa của cung CD OE ⊥ CD C D b) Đường tròn ( O ) có OE ⊥ CD ( E thuộc cung CD ) E là điểm chính giữa 1 O của cung CD hay sđCE = sđ ED = sđ CD 2 16) Hình thang ABCD nội tiếp đường tròn ABCD là hình thang cân . 17) Với đa giác đều nội tiếp đường tròn ( O; R ) : a) Nếu lục giác đều có cạnh là a thì a = R . b) Nếu hình vuông có cạnh là b thì b = R 2 . c) Nếu tam giác đều có cạnh là c thì c = R 3 . 18) Đường tròn ( O; R ) có AB  60 thì AB là cạnh của lục giác đều nội tiếp AB = R . 19) Đường tròn ( O; R ) có CD  90 thì CD là cạnh của hình vuông nội tiếp CD = R 2 20)Đường tròn ( O; R ) có EF  120 thì EF là cạnh của tam giác đều nội tiếp EF = R 3 . a32 a3 21) Tam giác đều có cạnh là a thì S = và đường cao h = 4 2 22) Nếu tứ giác ABCD có DAC DBC thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn . B t 23)Ox’ là tia phân giác của góc xOt ; x' Oy’ là tia phân giác của góc tOy A y' và góc xOt kề bù với góc tOy suy ra Ox’ ⊥ Oy’ x'Oy' = 900 C D x O y 24) A Nếu CA và CB là hai tiếp tuyến của đường tròn ( O ) ( A và B là hai tiếp điểm ) thì : O C + CA = CB ; OA ⊥ CA ; OB ⊥ CB + OC ⊥ AB ; OC là đường trung trực của AB + OC là tia phân giác của góc AOB ; CO là tia phân giác của góc B ACB LƯU Ý KIẾN THỨC LIÊN QUAN ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN - Cách xác định: Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ được một và chỉ một đường tròn. - Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đường tròn có một tâm đối xứng; có vô số trục đối xứng. Trục đối xứng của đường tròn là đường kính của đường tròn. - Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây. Trong một đường tròn 24
28. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 + Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy + Đường kính đi qua trung điểm của một dây ( dây cung không đi qua tâm) thì vuông góc với dây ấy. - Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây: Trong một đường tròn: + Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm + Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau + Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn + Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn - Liên hệ giữa cung và dây: Trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: + Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau + Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau + Cung lớn hơn căng dây lớn hơn + Dây lớn hơn căng cung lớn hơn. - Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: Hệ thức liên hệ Vị trí tương đối Số điểm chung giữa d và R - Đường thẳng và đường tròn cắt nhau 2 d R - Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: Số điểm Vị trí tương đối Hệ thức liên hệ giữa d và R chung - Hai đường tròn cắt nhau 2 R - r < OO' < R + r - Hai đường tròn tiếp xúc nhau + Tiếp xúc ngoài OO' = R + r 1 + Tiếp xúc trong OO' = R - r - Hai đường tròn không giao nhau 25
29. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 + (O) và (O') ở ngoài nhau OO' > R + r 0 OO' < R - r + (O) đựng (O') OO' = 0 + (O) và (O') đồng tâm 5. Tiếp tuyến của đường tròn - Tính chất của tiếp tuyến: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. - Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến: + Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung + Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính + Đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó. - Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau A MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau thì: + MA = MB + MO là phân giác của góc AMB O + OM là phân giác của góc AOB M - Tiếp tuyến chung của hai đường tròn: là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó: B Tiếp tuyến chung ngoài Tiếp tuyến chung trong d d d' O O' O O' d' 6. Góc với đường tròn Loại góc Hình vẽ Công thức tính số đo A B AOB sd AB 1. Góc ở tâm O 26
30. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 A B O 1 2. Góc nội tiếp AMB sd AB 2 M x A B 1 3. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến xBA sd AB và dây cung. O 2 B A M 1 4. Góc có đỉnh ở bên trong đường O AMB () sd AB sdCD C 2 tròn D M D C 1 5. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường AMB () sd AB sdCD tròn 2 O A B  Chú ý: Trong một đường tròn - Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau - Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau - Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau - Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 900 có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. - Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đường tròn. - Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QUẠT TRÒN 1. Công thức tính diện tích hình tròn Diện tích S của một hình tròn bán kính R được tính theo công thức: SR 2 2. Công thức tính diện tích hình quạt tròn Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n0 được tính theo công thức: Rn2 lR S hay S (l là độ dài cung n0 của hình quạt tròn). 360 2 27
31. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 HÌNH TRỤ Diện tích – Thể tích Cho hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao h. Diện tích xung quanh: Sxq 2 Rh 2 Diện tích toàn phần: Stp 22 Rh R Thể tích: V R2 h A HÌNH NÓN – HÌNH NÓN CỤT 1. Hình nón Diện tích – Thể tích hình nón Cho hình nón có bán kính đáy R và đường sinh l, chiều cao h. O C 2 Diện tích xung quanh: Sxq Rl Diện tích toàn phần: Stp Rl R 1 S Thể tích: V R2 h 3 O’ A 2. Hình nón cụt r Diện tích – Thể tích hình nón cụt h l Cho hình nón cụt có các bán kính đáy R và r, chiều cao h, đường sinh l. O R C 1 Diện tích xung qaunh: S () R r l Thể tích: V h() R22 Rr r xq 3 XIII. HÌNH CẦU 1. Hình cầu Diện tích – Thể tích Cho hình cầu bán kính R. 4 Diện tích mặt cầu: SR 4 2 Thể tích hình cầu: VR 3 3 9. Các loại đường tròn Đường tròn ngoại tiếp tam Đường tròn nội tiếp Đường tròn bàng tiếp giác tam giác tam giác A A A B O C O F B E J C B C Tâm đường tròn là giao của Tâm đường tròn là giao của ba ba đường trung trực của tam đường phân giác trong của tam Tâm của đường tròn bàng tiếp giác giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B hoặc C hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác ngoài tại B (hoặc C) 10. Các loại hình không gian. 28 r: bán kính Trong đó h: chiều cao
32. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 a. Hình trụ. - Diện tích xung quanh: Sxq = 2 rh 2 - Diện tích toàn phần: Stp = 2 rh + r - Thể tích hình trụ: V = Sh = r2h b. Hình nón: - Diện tích xung quanh: Sxq = 2 rl r: bán kính - Diện tích toàn phần: S = 2 rl + r2 tp Trong đó l: Đường sinh 1 - Thể tích hình trụ: V = r2h h: chiều cao 3 c. Hình nón cụt: r1: bán kính dáy lớn - Diện tích xung quanh: Sxq = (r1 + r2)l r2: bán kính đáy nhỏ 1 22 - Thể tích: V = h() r1 r 2 r 1 r 2 Trong đó l: đường sinh 3 h: chiều cao d. Hình cầu. 2 - Diện tích mặt cầu: S = 4 R = d R: bán kính 4 - Thể tích hình cầu: V = R3 Trong đó 3 d: đường kính 11. Tứ giác nội tiếp:  Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 - Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện - Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm. - Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc . B. CÁC DẠNG BÀI TẬP. Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau.  Cách chứng minh: - Chứng minh hai góc cùng bằng góc thứ ba - Chứng minh hai góc bằng với hai góc bằng nhau khác - Hai góc bằng tổng hoặc hiệu của hai góc theo thứ tự đôi một bằng nhau - Hai góc cùng phụ (hoặc cùng bù) với góc thứ ba - Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có các cạnh đôi một song song hoặc vuông góc - Hai góc ó le trong, so le ngoài hoặc đồng vị - Hai góc ở vị trí đối đỉnh - Hai góc của cùng mộ tam giác cân hoặc đều - Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng - Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau. Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau  Cách chứng minh: - Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thứ ba - Hai cạnh của mmột tam giác cân hoặc tam giác đều - Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau - Hai cạnh đối của hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vuông) - Hai cạnh bên của hình thang cân - Hai dây trương hai cung bằng nhau trong một đường tròn hoặc hai đường bằng nhau. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song  Cách chứng minh: - Chứng minh hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba 29
33. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 - Chứng minh hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba - Chứng minh chúng cùng tạo với một cát tuyến hai góc bằng nhau: + Ở vị trí so le trong + Ở vị trí so le ngoài + Ở vị trí đồng vị. - Là hai dây chắn giữa chúng hai cung bằng nhau trong một đường tròn - Chúng là hai cạnh đối của một hình bình hành Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc  Cách chứng minh: - Chúng song song song song với hai đường thẳng vuông góc khác. - Chứng minh chúng là chân đường cao trong một tam giác. - Đường kính đi qua trung điểm dây và dây. - Chúng là phân giác của hai góc kề bù nhau. Dạng 4: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy.  Cách chứng minh: - Chứng minh chúng là ba đường cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác trong (hoặc một phân giác trong và phân giác ngoài của hai góc kia) - Vận dụng định lí đảo của định lí Talet. Dạng 5: Chứng minh hai tam giác bằng nhau  Cách chứng minh: * Hai tam giác thường: - Trường hợp góc - cạnh - góc (g-c-g) - Trường hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c) - Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c) * Hai tam giác vuông: - Có cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau - Có cạnh huyền bằng nhau và một cạnh góc vuông bằng nhau - Cạnh góc vuông đôi một bằng nhau Dạng 6: Chứng minh hai tam giác đồng dạng  Cách chứng minh: * Hai tam giác thường: - Có hai góc bằng nhau đôi một - Có một góc bằng nhau xen giữa hai cạnh tương ứng tỷ lệ - Có ba cạnh tương ứng tỷ lệ * Hai tam giác vuông: - Có một góc nhọn bằng nhau - Có hai cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ Dạng 7: Chứng minh đẳng thức hình học  Cách chứng minh: Giả sử phải chứng minh đẳng thức: MA.MB = MC.MD (*) - Chứng minh: MAC  MDB hoặc MAD  MCB - Nếu 5 điểm M, A, B, C, D cùng nằm trên một đường thẳng thì phải chứng minh các tích trên cùng bằng tích thứ ba: MA.MB = ME.MF MC.MD = ME.MF Tức là ta chứng minh: MAE  MFB MCE  MFD MA.MB = MC.MD * Trường hợp đặc biệt: MT2 = MA.MB ta chứng minh MTA  MBT Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp  Cách chứng minh: Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: 30
34. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 - Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 - Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện - Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm. - Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnhchứa hai đỉnh còn lại dưới một góc . Dạng 9: Chứng minh MT là tiếp tuyến của đường tròn (O;R)  Cách chứng minh: - Chứng minh OT  MT tại T (O;R) - Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng MT bằng bán kính - Dùng góc nội tiếp. Dạng 10: Các bài toán tính toán độ dài cạnh, độ lớn góc  Cách Tính: - Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông. - Dựa vào tỷ số lượng giác - Dựa vào hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông - Dựa vào công thức tính độ dài, diện tích, thể tích 31
35. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG VÀ THỰC HÀNH TRONG HỌC KỲ I MÔN TOÁN LỚP 9 – HỌC KỲ I Phần A- Đại số Chương I CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA  Kiến thức cơ bản: 1. Điều kiện tồn tại : A có nghĩa A 0 2. Hằng đẳng thức: A2 A 3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương: A.B A. B (A 0; B 0) A A 4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương: (A 0; B 0) B B 5. Đưa thừa số ra ngoài căn: A2 .B A B. (B 0) 6. Đưa thừa số vào trong căn: A B A2 .B (A 0; B 0) A B A2 .B (A 0; B 0) AAB 7. Khử căn thức ở mẫu: (B 0) B B C C( A  B) 8. Trục căn thức ở mẫu: A B A B 32
36. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10  Bài tập:  Dạng 1: Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau Phương pháp: Nếu biểu thức có Chứa mẫu số ĐKXĐ: mẫu số khác 0 Chứa căn bậc chẵn ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn 0 Chứa căn thức bậc chẵn dưới mẫu ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn 0 Chứa căn thức bậc lẻ dưới mẫu ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn 0 Bài 1: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định: 2 4 5 1) 2x 3 2) 3) 4) x 2 x 3 x 2 6 3 3 5) 3x 4 6) 1 x 2 7) 8) 1 2x 3x 5 1 1 9) x 1 10) 3 x 11) xx2 45 12) x 5 x 3 x 2 2008 x 1 13) 2008 2 x 1 14) 15) -5x 16) 17) 27 x x 4 5 x 1 17) xx 2 18) 3x 1 19) x32 20) 5 2x 21) 7x 14 3x x3 1 22) 2x 1 23) 24) 25) 7x 2 7x 2x x2 1 1 3x 26) 2x2 5x 3 27) 28) 29) 6x 1 x 3 x2 5x 6 x 3 5 x 2 3 2 30) x 3x 7 31) 3x 12 32) 3 33) 5x 1 34) 4 13 x 73x 5 1 3 x 1 1 35) 3x 2 2 36) 37) 38) x 1 39) x 3 2 3 x 3x 5 5 x 22 44x Dạng 2: RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau Bước 1: Trục căn thức ở mẫu (nếu có) Bước 2: Qui đồng mẫu thức (nếu có) Bước 3: Đưa một biểu thức ra ngoài dấu căn Bước 4: Rút gọn biểu thức Dạng toán này rất phong phú vì thế học sinh cần rèn luyện nhiều để nắm được “mạch bài toán” và tìm ra hướng đi đúng đắn, tránh các phép tính quá phức tạp. 33
37. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 1. 3 2 4 18 2 32 50 34. 18 2 65 2. 50 18 200 162 35. 9 4 5 3. 5 5 20 3 45 36. 4 2 3 4. 5 48 4 27 2 75 108 1 33 1 37. 7 24 5. 48 2 75 5 1 2311 38. 23 6. 3 12 4 27 5 48 39. 5 2 6 5 2 6 7. 12 5 3 48 40. 9 4 5 9 80 8. 2 32 4 8 5 18 9. 3 20 2 45 4 5 41. 17 12 2 24 8 8 10. 2 24 2 54 3 6 150 42. 3 2 2 6 4 2 11. 2 18 7 2 162 43. 8 2 15 - 8 2 15 12. 3 8 4 18 5 32 50 44. 17 3 32 17 3 32 13. 125 2 20 3 80 4 45 14. 2 28 2 63 3 175 112 45. 6 2 5 6 2 5 1 46. 11 6 2 11 6 2 15. 3 2 8 50 32 2 47. 15 6 6 33 12 6 16. 3 50 2 12 18 75 8 48. 6 2 5 6 2 5 17. 2 75 3 12 27 18. 12 75 27 49. 8 2 15 23 4 15 19. 27 12 75 147 50. 31 8 15 24 6 15 20. 2 3 48 75 243 51. 49 5 96 49 5 96 8 32 18 21. 6 5 14 52. 3 2 2 5 2 6 9 25 49 16 1 4 53. 7 2 10 7 2 10 22. 2 3 6 3 27 75 54. 17 4 9 4 5 1 23. 3 2 8 50 32 55. 3 2 2 6 4 2 5 24. 12 2 35 56. 40 2 57 40 2 57 25. 5 2 6 57. 4 10 2 5 4 10 2 5 26. 16 6 7 58. 35 12 6 35 12 6 27. 31 12 3 59. 8 8 20 40 28. 27 10 2 60. 4 15 10 6 4 15 29. 14 6 5 61. 2 3 5 13 48 30. 17 12 2 31. 7 4 3 62. 6 2 5 13 48 32. 23 63. 4 5 3 5 48 10 7 4 3 33. 8 28 34
38. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 2 15 10 85. 64. 13 30 2 9 4 2 84 6 86. 2 40 12 2 75 3 5 48 65. 30 216 611 44 23 1 87. 4 20 3 125 5 45 15 66. 13 30 2 9 4 2 5 88. 3 8 2 12 20 : 3 18 2 27 45 67. 4 8. 2 2 2 . 2 2 2 22 9 4 5. 21 8 5 2 3 1 3 5 4 68. 89. 22: 4 5 5 2 3 1 5 1 3 2 2 3 2 2 15 4 12 69. 90. 6 11 17 12 2 17 12 2 6 1 6 2 3 6 2 2 2 5 1 2 3 2 3 91. 70. 33 3 12 6 2 3 2 3 2 2 3 2 3 92. 7 5 2 35 71. 2 3 2 3 6 14 3 45 243 93. 34 72. 2 3 28 5 3 6 3 7 3 11 94. 6 73. 7 24 1 7 24 1 3 2 2 3 1 1 2 95. 74. ( 75 3 2 12)( 3 2) 2 3 3 3 3 5 3 5 3 88 75. 96. 22 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 1 76. 3 5 3 5 5 3 5 3 5 1 97. 2 2 3 5 2 2 3 5 2 77. 3 2 3 4 2 26 15 3 2 3 98. 11 33 78. 9 80 9 80 4 3 2 4 3 2 99. 3326 15 3 26 15 3 6 79. 3 3; 2 3 3 100. 20 14 2 20 14 2 1 33 80. 101. 26 15 3 26 15 3 10 15 14 21 102. 1 33 81. 103. 5 2 7 5 2 7 2 5 2 2 10 104. 15 50 5 200 3 450 : 10 3 2 2 3 2 2 82. 2 3 15 1 3 2 2 3 2 2 105. . 3 1 3 2 3 3 3 5 2 30 83. 5 5 5 5 106. 10 5 6 7 5 5 5 5 2 10 84. 24 6 3 61 35
39. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 1 1 1 2 107. 129. ( 14 3 2) 6 28 2 1 3 2 4 3 130. ( 6 5) 2 120 108. 4 8. 2 2 2 . 2 2 2 2 14 7 15 5 1 131. (2 3 3 2) 2 6 3 24 109. ): 1 2 1 3 7 5 132. (1 2)2 ( 2 3)2 2 3 6 216 1 110.  2 2 8 23 6 133. ( 3 2) ( 3 1) 2 2 111. 4 7 4 7 7 134. ( 5 3) ( 5 2) 112. 3 5 3 5 2 135. ( 19 3)( 19 3) 113. 3 5 3 5 3 5 3 5 7 5 7 5 136. 11 114. 7 5 7 5 55 7 24 1 7 24 1 137. 33 3 2 2 3 8 115. 3 2 3 2 2 3 1 1 3 1 1 138. 23 3 2 1 5 2 6 5 2 6 116. 5 6 5 6 139. 2 3 2 3 3 5 3 5 140. 3 2 2 6 4 2 117. 2 3 5 3 5 141. 3 3 2 3 3 3 1 2 6 2 3 3 3 118. 27 142. 4 3 2 2 57 40 2 2 1 3 143. 1100 7 44 2 176 1331 3 1 2 119. 18 3 2 2 2 2 23 144. 1 2002 . 2003 2 2002 4 8 15 120. 12 3 5 1 5 5 145. 72 5 4,5 2 2 27 33 5 5 5 5 121. 33 3 2 3 2 146. 5 1 1 5 6 2 4 . 3 12 6 . 2 2 3 2 3 6 14 122. 147. 8 2 15 8 2 15 2 3 28 123. ( 2 2) 2 2 2 148. 4 7 4 7 1 1 124. 149. 8 60 45 12 5 1 5 1 150. 9 4 5 9 4 5 1 1 125. 151. 28 35 72. 72 520 22 5 2 5 2 2 2 126. 152. 2 5 14 4 3 2 4 3 2 12 2 2 127. 5 3 50 5 24 1 2 153. 75 5 2 128. ( 28 2 14 7) 7 7 8 36
40. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 3 5 3 5 154. 176. 2 3 5 2 3 5 3 5 177. 3 5 3 5 155. 3 8 2 12 20 3 18 2 27 45 178. 4 10 2 5 4 10 2 5 2 156. 1 5 2 5 179. 526 49206 526 2 23 25 11 180. 2 2 3 2 2 3 157. 3 13 48 6 4 2 6 4 2 6 10 181. 158. 21 35 2 6 4 2 2 6 4 2 2 159. 18 32 50 . 2 5 2 8 5 182. 2 3 2 3 160. 2 5 4 1 1 2 2 3 2 2 3 183. 1 1 3 1 3 1 161. 5 2 5 2 184. (2 3 3 2)2 2 6 3 24 162. 8 27 6 48 : 3 185. 3132 3122 172 82 5 2 6 8 2 15 163. 186. 3 2 13 30 2 9 4 2 7 2 10 187. 12 2 11 . 22 2 . 6 11 164. ( 2 3)2 2( 3)2 5 ( 1)4 7 3 7 3 3 13 6 188. : 28 165. 7 3 7 3 2 3 4 3 3 3 5 5 3 3 5 15 166. 189. 1 . 1 3 5 3 1 167. 2 5 125 80 605 190. 14 8 3 24 12 3 10 2 10 8 4 1 6 168. 191. 5 2 1 5 3 1 3 2 3 3 33 169. 15 216 33 12 6 192. 2 1 2 1 2 8 12 5 27 170. 33 18 48 30 162 193. 1 3 1 1 3 1 2 3 2 3 171. 194. ( 14 3 2)2 6 28 2 3 2 3 195. 32 50 27 27 50 32 16 1 4 172. 2 3 6 3 27 75 3 2 3 2 2 1 196. . 1: 43 3 2 1 2 3 173. 2 27 6 75 35 1 1 1 . 197. 2 3 5. 3 5 5 2 5 2 174. 21 10 2 11 175. 8 3 2 25 12 4 192 198. 1 7 24 1 7 24 1 36
41. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 2 3 15 1 2 3 5 6 6 199. . 200. : 3 1 3 2 3 3 3 5 3 2 6 1 6  Rút gọn biểu thức (Bài tập rèn luyện) Bài 1 Rút gọn các biểu thức sau: 1) 12 5 3 48 2) 5 5 20 3 45 3) 2 32 4 8 5 18 4) 3 12 4 27 5 48 5) 12 75 27 6) 2 18 7 2 162 1 1 7) 3 20 2 45 4 5 8) ( 2 2) 2 2 2 9) 5 1 5 1 1 1 2 2 2 2 10) 11) 12) 5 2 5 2 4 3 2 4 3 2 1 2 13) ( 28 2 14 7) 7 7 8 14) ( 14 3 2)2 6 28 15) ( 6 5)2 120 16) (2 3 3 2)2 2 6 3 24 17) (1 2)2 ( 2 3)2 18) ( 3 2)2 ( 3 1)2 19) ( 5 3)2 ( 5 2)2 20) ( 19 3)( 19 3) 7 5 7 5 21) 4x (x 12)2 (x 2) 22) 7 5 7 5 23) x 2y (x2 4xy 4y 2 )2 (x 2y) Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau: 1) 12 27 48 2) 45 20 80 : 5 16 1 11 3) 2 27 48 8 4) 3 3 5 3 5 3 1 5) 125 12 2 5 3 5 3 27 6) 3 20 125 15  5 5 3 3 4 7) 6 128 50 7 8 : 3 2 8) 2 48 27  2 3 5 2 3 9) (3 2 2)2 ( 8 4)2 10) (4 15)2 ( 15 3)2 10 2 2 2 5 5 5 5 11) 12) 11 5 1 2 1 1 5 1 5 13) 15 6 6 14) 8 2 15 Bài 2 Rút gọn các biểu thức sau: 2 2 2 2 2 1) 3 2 3 2 2) 2 3 2 3 3) 5 3 2 5 3 4) 8 2 15 - 8 2 15 5) 5 2 6 + 8 2 15 5 5 6) 4 2 3 4 2 3 3 2 2 3 8  Giải phương trình: 37
42. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 1) 2x 1 5 2) x 5 3 3) 9(x 1) 21 4) 2x 50 0 5) 3x2 12 0 6) (x 3)2 9 7) 4x 2 4x 1 6 8) (2x 1)2 3 9) 4x 2 6 10) 4(1 x)2 6 0 11) 3 x 1 2 12) 3 3 2x 2 1 13) 4 5x 12 14) x 2 6x 9 3 15) 4x 20 x 5 9x 45 4 3 Dạng 3: Rút gọn biểu thức Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau Bước 1: Tìm ĐKXĐ nếu đề bài chưa cho. Bước 2: Phân tích các đa thức ở tử thức và mẫu thức thành nhân tử. Bước 3: Quy đồng mẫu thức Bước 4: Rút gọn x 2 x 1 x 1 4 x 1. A : A 2 x x 1 x x 1 1 x 2 x 1 2 x x 1 x x 2. B 1 : (1 x) A x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 8 x x x 3 1 4 x 3. B : B x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 4 1 1 1 1 1 3 4. A : A 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 x x 2 x 3x 9 3 5. A A x 3 x 3 x 9 x 3 x 4 3 x 2 x 6. Q = : A 1 x x 2 x 2 x x x 2 11xx3 7. A A x 2 x 1 x 1 x x 1 x x 1 a 3 a 1 4 a 4 4 8. a > 0 ; a 4 A aa 224 a a 2 1 1 1 1 1 1 9. A= : A 1- x 1 x 1 x 1 x 1 x x(1 x) x2 x 2x x 2(x 1) 10. A A x x 1 x x 1 x x 1 2 x x 1 x 2 1 11. A : A x x 1 x 1 x x 1 x 2 x x 1 1 2 x x 12. A x : A x 1 x 1 x x x x 1 38
43. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 15 x 11 3 x 2 2 x 3 2 5 x 13. A A x 2 x 3 1 x x 3 x 3 x x 1 x 1 x 14. A A x 1 x 1 x 1 4 1 x 2 x x 2 15. A 1 : A x 1 x 1 x 1 x x 2 x 3x 9 3 16. A A x 3 x 3 x 9 x 3 x 1 1 8 x 3 x 2 3x 13 x 17. A :1 A 3x 1 3 x 191x 3 x 1 9 x 3 x 2 x 10 x 2 1 1 18. Q Q x x 6 x 3 x 2 x 2 1 1 x 2 x 1 x 2 19. A : A x x 1 x 1 x 2 3 x x x 1 x x 1 1 x 1 x 1 2(x x 1) 20. E x A x x x x x x 1 x 1 x x x 1 x 1 x 2 x 21. A : x A x 1 x 1 x 1 x x x 1 1 2 x x 22. A x : A x 1 x 1 x x x x 1 x 4 3 x 2 x 23. A : A 1 x x 2 x 2 x x x 2 2x 1 1 x 2 x 24. A : 1 A x x 1 1 x x x 1 x 3 x 2 x 2 x 1 1 x x 1 25. A 1: A x x 1 x x 1 x 1 x x 3 3 x 2 x 3 2 x x 2 26. A : A x 2 2 x x 2 x 2 2 x x x 1 4 x 8 x 1 2 4x 27. P : A 2 x 4 x x 2 x x 3 x 1 1 x3 x 28. P A x 2 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x x 3 x 2 x 2 x 2 29. A 1 : A 1 x x 2 3 x x 5 x 6 x 1 x 1 x 2 x 3 x 3 2 4 30. A : A x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 39
44. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 1 2 x 2 1 2 x 1 31. A : A x 1 x x x x 1 x 1 x 1 x 1 2x 1 1 x 4 x 32. A : 1 A 3 x 1 x 1 x x 1 x 3 2 a 9 a 3 2 a 1 a 1 33. A A a 5 6 a 2 3 a a 3 x 5 x 25 x x 3 x 5 5 34. A 1 : A x 25 x 2 x 15 x 5 x 3 3 x x 3 x 9 x x 3 x 2 3 35. A 1 : A x 9 x x 6 2 x x 3 x 2 2 x x 3x 3 2 x 2 3 36. A : 1 A x 3 x 3 x 9 x 3 x 3 a 3 a 1 4 a 4 4 37. A A aa 224 a a 2 x x 1 x x 1 2(x 2 x 1) x 1 38. A : A x x x x x 1 x 1 2x 1 1 1 2 x 39. A : A 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 3 a 2 5 1 a 4 40. A A a 3 a a 6 2 a a 2 1 2 2x x x 1 41. A : 2 A x 1 x x x x 1 x 1 2 x x 2 x 7 x 1 1 1 x 1 42. A : A x 9 3 x x 3 x 1 x 3 a 2 a 1 a 1 43. A : a a 1 a a 1 1 a 2 a a a a 44. A 1  1 a 1 a 1 x 1 x x x x 45. A  2 2 x x 1 x 1 x x x x 46. A 3  3 x 1 x 1 a 1 1 a3 a 47. A a 2 1 a 2 a a 1 a a 1 3 2 2 a 3 a a 1 a 4 2 a 2 48. A : 3 2 2 a 2 a 3 a a 1 a 4 2 40
45. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 2 a 1 2 a 49. A 1 : a 1 a 1 a a a a 1 a 1 2 a 50. A 1 : a 1 a 1 1 a a a a x 1 8 x x 1 x x 3 1 51. A : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2a 1 a 1 a 3 52. A  a 3 a 1 a a 1 1 a 2a a 1 2a a a a a a 53. A 1  1 a 1 a a 2 a 1 2 a a 3a 3 2 a 2 54. A : 1 a 3 a 3 9 a a 3 2 x 1 x 55. A : 1 x x x x 1 x 1 x 1 x 4x 1 2x 2 x 56. A 1 : 1 1 4x 1 4x 2 x 1 2 5 x 1 x 1 57. P 1 : x 2 4x 1 1 2 x 4x 4 x 1 15 x 11 3 x 2 2 x 3 58. P x 2 x 3 1 x x 3 x 1 1 2 59. P : x 1 x x x 1 1 x 1 1 x 1 60. P : x x x 1 x 2 x 1 2 x 1 3 x 61. P : 2 2x 5 x 3 x 1 1 x 1 1 2x x 1 2x x x x 62. P : 1 x x 1 x 1 x x x 5 x 25 x x 3 x 5 63. M 1 : x 25 x 2 x 15 x 5 x 3 x. 1 x 2 1 x x 1 x x 64. P : x . x x 1 1 x 1 x 2 x x 3x 3 2 x 2 65. P : 1 x 3 x 3 x 9 x 3 41
46. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 x x 11 x x 2 xx 2 1 66. P : x x x x x 1 x x 11 x x 67. Px : x 1 xx 11 x x 1 x 1 68. x 1 x 1 x 1 2 x 2 5 x 69. x 2 x 2 x 4 1 1 a 1 a 2 70. : a 1 a a 2 a 1 x x x 4 71. . x 2 x 2 4x x x 3 x 72. x 1 x 1 x 1 2 2 x 4 x 4 73. . x 2 x 2 8 a 2 5 1 74. P a 3 a a 6 2 a 1 1 a 1 a 2 75. : a 1 a a 2 a 1 1 3 2 76. x 1 x x 1 x x 1 2 x 9 x 3 2 x 1 77. x 5 x 6 x 2 3 x x 1 1 2 78. : x 1 x x x 1 x 1 aa 1 1 1 79. 4.aa a 11 a a x 3 x 9 x x 3 x 2 80. 1: x 9 x x 6 x 2 x 3 15x 11 3 x 2 2 x 3 81. x 2 x 3 1 x x 3 xx 2 1 1 82. x x 1 x x 1 1 x 2a 9 a 3 2 a 1 83. a 5 a 6 a 2 3 a 1 3 2 84. x 1 x x 1 x x 1 42
47. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 x x 7 1 x 2 x 2 2 x 85. : xx 44x 2 x 2 x 2 x x 1 x x 1 1 x 1 x 1 86. x . x x x x x x 11 x x 4 3 x 2 x 87. : xx 2 x 22 x x 1 1 1 1 1 88. : 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x x 1 x 1 8 x x x 3 1 89. : x 1 x 1xx 11 x 1 4 1xx 2 90. 1: x 1 xx 11 x 2 x 2 x2 2 x 1 91. . x 12xx 21 2 a 1 a 1 a 1 92. P . 2 2 a a 1 a 1 3a 9a 3 a 1 a 2 93. P a a 2 a 2 1 a x 2 x 2 x 1 94. A . x 2 x 1 x 1 x 1 1 95. A 1 1 a 1 a a a 1 a a 1 a 2 96. A : a a a a a 2 1 1 x 1 97. A 2 x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 2 x 2 x 1 98. A : x x x x x 1 x 2 x 1 x 1 99. A x x 1 x 1 x 1 2x x x 1 2x x 100. 1 : 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 43
48. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau Để tính giá trị của biểu thức biết xa ta rút gọn biểu thức rồi thay vào biểu thức vừa rút gọn. Để tìm giá trị của x khi biết giá trị của biểu thức A ta giải phương trình Ax Lưu ý: Tất cả mọi tính toán, biến đổi đều dựa vào biểu thức đã rút gọn. a 2 5 1 1. Cho biểu thức :P a 3 a a 6 2a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để P < 1 x x 3 x 2 x 2 2. Cho biểu thức: P = 1: x 1 x 2 3 x x 5 x 6 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để P < 0 x 1 1 8 x 3 x 2 3. Cho biểu thức: P = :1 3 x 1 3 x 19x 1 3 x 1 a) Rút gọn P 6 b) Tìm các giá trị của x để P = 5 a 1 2 a 4. Cho biểu thức P = 1: a1 a 1 a a a a 1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để P < 1 c) Tìm giá trị của P nếu a 19 8 3 a(1 a)2 1 a 3 1 a 3 5. Cho biểu thức: P = : a . a 1a 1 a 1 a a) Rút gọn P 1 b) Xét dấu của biểu thức M = a.(P- ) 2 x 1 2x x x 1 2x x 6. Cho biểu thức: P = 1 : 1 2x1 2x1 2x1 2x1 a) Rút gọn P 1 b) Tính giá trị của P khi x . 3 2 2 2 2 x 1 x 7. Cho biểu thức: P = :1 x x x x 1 x 1 x1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P 0 44
49. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 2a 1 a 1 a3 8. Cho biểu thức: P = .a 3 a1 a a 1 1 a a) Rút gọn P b) Xét dấu của biểu thức P. 1a x 2 x 1 x 1 9. Cho biểu thức P = 1: . x x 1 x x 1 x1 a) Rút gọn P b) So sánh P với 3 1 a a 1 a a 10. Cho biểu thức : P = a . a 1 a 1 a a) Rút gọn P b) Tìm a để P 0 x m x m 4x 4m2 a) Rút gọn P b) Tính x theo m để P = 0. c) Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện x > 1 a2 a 2a a 15. Cho biểu thức P = 1 a a 1 a a) Rút gọn P b) Biết a > 1 Hãy so sánh P với P c) Tìm a để P = 2 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P 45
50. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 a 1 ab a a 1 ab a 16. Cho biểu thức P = 1 : 1 ab 1 ab 1 ab 1 ab 1 a) Rút gọn P 3 1 b) Tính giá trị của P nếu a = 23 và b = 1 3 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a b 4 aa1aa1 1 a1a1 17. Cho biểu thức : P = a a a a a a a 1 a 1 a) Với giá trị nào của a thì P = 7 b) Với giá trị nào của a thì P > 6 2 a 1 a 1 a 1 18. Cho biểu thức: P = 2 2 a a 1 a 1 a) Tìm các giá trị của a để P 0  x 1 2 x x 1 x 2 21. Cho biểu thức : P = :1 x x 1 x 1 x x 1 a) Rút gọn P b) Tính P khi x=5 2 3 3x 12 2 1 22. Cho biểu thức P = 1: : 2 x4x 4 2 x 4 2 x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để P = 20 2a a12aa aaa a 23. Cho biểu thức: P = 1. 1a 1 a a 2 a 1 6 a) Cho P= tìm giá trị của a 16 2 b) Chứng minh rằng P > 3 x 5 x 25 x x 3 x 5 24. Cho biểu thức: P = 1: x 25 x 2 x 15 x 5 x 3 a) Rút gọn P 46
51. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 b) Với giá trị nào của x thì P 6 x 2 x 2 x 1 27. Cho biểu thức : Q = . x 2 x 1x1 x a) Tìm x để QQ b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên. 1x 28. Cho biểu thức P = x 1 x x a) Rút gọn biểu thức sau P. 1 b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 2 x x 1 x 1 29. Cho biểu thức : A = x1 x1 a) Rút gọn biểu thức 1 b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 c) Tìm x để A . 2 x x 1 x x 1 2 x 2 x 1 31. Cho biểu thức : A = : x x x x x1 a) Rút gọn biểu thức sau A. b) Tìm x để A < 0 x 2 x 1 x 1 32. Cho biểu thức : A = : x x 1 x x 1 1 x 2 a) Rút gọn biểu thức sau A. b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2 a 3 a 1 4 a 4 33. Cho biểu thức : A = a 2 a 2 4a a) Rút gọn biểu thức sau A. 47
52. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 b) Tính giá trị của P với a = 9 a a a a 34. Cho biểu thức : A = 11 a 1 a 1 a) Rút gọn biểu thức sau A. b) Tìm giá trị của a để N = -2010 xx26x19 2x x3 35. Cho biểu thức : A = x 2 x 3 x 1 x 3 a) Rút gọn biểu thức sau A. b) Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó a 1 a 1 1 36. Cho biểu thức : A = 4 a . a a 1 a 1 a a) Rút gọn biểu thức sau A. b) Tính A với a = 4 15. 10 6. 4 15 x 3 x 9 x x 3 x 2 37. Cho A= 1: với x 0 , x 9, x 4 x9 x x 6 x 2 x 3 a) Tìm x để A 0 , x 4. x 4x 2 x 2 x 2 x 4 48
53. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 a) Rút gọn A. 1 b) So sánh A với A xx1xx1 1 x1x1 44. Cho A = x. Với x > 0 , x 1 x x x x x x 1 x 1 a) Rút gọn A. b) Tìm x để A = 6 x 4 3 x 2 x 45. Cho A = : với x > 0 , x 4. x x 2 x 2 x x 2 a) Rút gọn A b) Tính A với x = 6 2 5 1 1 1 1 1 46. Cho A= : với x > 0 , x 1. 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x a) Rút gọn A b) Tính A với x = 2x 1 1 x 4 47. Cho A = :1 với x 0 , x 1. 3 x1 x 1 x x 1 a) Rút gọn A. b) Tìm x nguyên để A nguyên 1 2 x 2 1 2 48. Cho A= : với x 0 , x 1. x 1 x x x x 1 x 1 x1 a) Rút gọn A. b) Tìm x để A đạt GTNN 2 x x 3x 3 2 x 2 49. Cho A = :1 với x 0 , x 9 x 3 x 3x9 x 3 a) Rút gọn A. 1 b) Tìm x để A 0 , x 1. x x x 1 x 2 x 1 a) Rút gọn A b) So sánh A với 1 x 1 1 8 x 3 x 2 1 52. Cho A = :1 Với x 0,x 3 x 1 3 x 19x 1 3 x 1 9 6 a) Tìm x để A = 5 b) Tìm x để A < 1. 49
54. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 x 2 x 2 x2 2x 1 53. Cho A = . với x 0 , x 1. x 1x 2 x 1 2 a) Rút gọn A. b) CMR nếu 0 0 c) Tính A khi x = 3 + 2 2 d) Tìm GTLN của A xx 21x 1 54. Cho biểu thức A = : x x 1 x x 1 1 x 2 a. Tìm điều kiện xác định. 2 b. Chứng minh A = x x 1 c. Tính giá trị của A tại x 8 28 d. Tìm max A. 2 x 4x 2 x x 3 x 55. Cho biểu thức : P = : 2 x x 4 2 x 2x x3 a) Rút gọn P. b) Tìm các số nguyên của x để P chia hết cho 4. x 3 x 1 x 1 4 x 1 56. Cho biểu thức : M = : x 1 1 x x x x a) Rút gọn M. b) Tìm các số tự nhiên x để M là số nguyên c) Tìm x thoả mãn M 0. 1 1 58. Cho biểu thức: A 1 1 a 1 a a) Rút gọn A. 1 b) Tìm a để A 2 x 2 x 2 x 1 59. Cho biểu thức: A . x 2 x 1 x 1 x a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị nguyen của x sao cho A có giá trị nguyên. a a 1 a a 1 a 2 60. Cho biểu thức A : a a a a a 2 a) Tìm điều kiện để A có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức A nhận giá trị nguyên. x x 1 x x 1 2 x 2 x 1 61. Cho biểu thức: A : x x x x x 1 a) Rút gọn A 50
55. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên 1 1 x 1 62. Cho biểu thức: A 2 với x 0; x 1 x 1 x 1 x 1 a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên. x 2 x 1 x 1 63. Cho biểu thức: A x ( với x 0; x 1) x 1 x 1 a) Rút gọn A 6 b) Tìm các giá trị nguyên của x để nhận giá trị nguyên. A a 2 5 1 64. Cho biểu thức : P a 3 a a 6 2 a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để P<1 x x 3 x 2 x 2 65. Cho biểu thức: P= 1 : x 1 x 2 3 x x 5 x 6 a) Rút gọn P b)Tìm giá trị của a để P<0 x 1 1 8 x 3 x 2 66. Cho biểu thức: P= : 1 3 x 1 3 x 1 9x 1 3 x 1 a) Rút gọn P 6 b) Tìm các giá trị của x để P= 5 a 1 2 a 67. Cho biểu thức : P= 1 : a 1 a 1 a a a a 1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để P<1 c) Tìm giá trị của P nếu a 19 8 3 x 1 2x x x 1 2x x 68. Cho biểu thức: P= 1 : 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 a) Rút gọn P 1 b) Tính giá trị của P khi x . 3 2 2 2 2 x 1 x 69. Cho biểu thức: P= : 1 x x x x 1 x 1 x 1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P 0 2a 1 a 1 a3 70. Cho biểu P= . a 3 a a a 1 1 a a) Rút gọn P b) Xét dấu của biểu thức P. 1 a x 2 x 1 x 1 71. Cho biểu thức: P=1: . x x 1 x x 1 x 1 51
56. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 a) Rút gọn P b) So sánh P với 3 2 x x 3x 3 2 x 2 72. Cho biểu thức: P= : 1 x 3 x 3 x 9 x 3 a) Rút gọn P 1 b) Tìm x để P 0  x 1 2 x x 1 x 2 78. Cho biểu thức : P= : 1 x x 1 x 1 x x 1 a) Rút gọn P b) Tính P khi x=5 2 3 3x 1 2 1 79. Cho biểu thức P=1: 2 : 2 x 4 x 4 2 x 4 2 x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để P=20 52
57. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 2a a 1 2a a a a a a 80. Cho biểu thức: P=1 . 1 a 1 a a 2 a 1 a) Rút gọn P 6 b) Cho P= tìm giá trị của a 1 6 2 c) Chứng minh rằng P> 3 11x Q = + + 81. Cho biểu thức: 2x- 2 2 x + 2 1 - x a/ Tìm điều kiện để Q có nghĩa b/ Rút gọn Q 4 x = c/ Tính giá trị của Q khi 9 1 d/ Tìm x để Q =- 2 e/ Tìm những giá trị nguyên của x để giá trị của Q nguyên. xx21- 82. Cho biểu thức: P =- x 1 x x a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa b) Rút gọn P c) Tìm x để P>0 d) Tìm x để PP= e) Giải phương trình Px=-2 f) Tìm giá trị x nguyên để giá trị của P nguyên Chương II HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT I. HÀM SỐ: Khái niệm hàm số * Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số. * Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng. II. HÀM SỐ BẬC NHẤT:  Kiến thức cơ bản:  Định nghĩa: Hàm số bậc nhất có dạng: y ax b , trong đó a; b là các số cho trước a 0 Như vậy: Điều kiện để hàm số dạng: là hàm số bậc nhất là: Vớ dụ: Cho hàm số: y = (3 – m)x - 2 (1) Tìm các giátrị của m để hàm số (1) là hàm số bậc nhất. Giải: Hàm số (1) là bậc nhất 3 mm 0 3  Tính chất: + TXĐ: x R + Đồng biến khi a 0 . Nghịch biến khi a 0 Vớ dụ: Cho hàm số: y = (3 – m)x - 2 (2) Tìm các giátrị của m để hàm số (2): + Đồng biến trên R; + Nghịch biến trên R. 53
58. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Giải: + Hàm số (2) đồng biến 3 mm 0 3; + Hàm số (2) nghịch biến 3 mm 0 3.  Đồ thị: + Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc nhất là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b. b cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng . a + Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y = ax+b: Cho x = 0 => y = b => điểm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b. -b -b Cho y = 0 => x = => điểm ( ;0) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b. a a -b Đường thẳng qua hai điểm (0;b) và ( ;0) là đồ thị hàm số y = ax + b a Vớ dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + 1 Giải: Cho x = 0 => y =1 => điểm (0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1 -1 -1 Cho y = 0 => x = => điểm ( ;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1 2 2 -1 Đường thẳng qua hai điểm (0;1) và ( ;0) là đồ thị hàm số y = 2x + 1 2 , ,  Điều kiện để hai đường thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a x + b : , + Cắt nhau: (d1) cắt (d2) a a . */. Để hai đường thẳng cắt nhau trên trục tung thì cần thờm điều kiện b b' . */. Để hai đường thẳng vuông góc với nhau thì : a.a' 1. , ' + Song song với nhau: (d1) // (d2) a a ;b b . , ' + Trựng nhau: (d1)  (d2) a a ;b b . Vớ dụ: Cho hai hàm số bậc nhất: y = (3 – m)x + 2 (d1) y = 2x – m (d2) a)Tìm giátrị của m để đồ thị hai hàm số song song với nhau; b)Tìmgiátrị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau; c)Tìmgiátrị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Giải: 3 mm 2 1 a)(d1)//(d2) m 1 22 mm b) (d1) cắt (d2) 3 m 2 m 1 c) (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung m 2 m 2  Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b là a. + Cách tính góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lượng giác tg a -Trường hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là góc nhọn. -Trường hợp: a < 0 thì góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là góc tù (1800 ) Vớ dụ 1: Tính góc tạo bởi đường thẳng y = 2x + 1 với trục Ox Giải: 54
59. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Ta có:Tg 2 Tg630 630. Vậy góc tạo bởi đường thẳng y = 2x + 1 với trục Ox là: 630. Vớ dụ 2: Tính góc tạo bởi đường thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox. Ta có: Tg(1800 ) 2 Tg630 (1800 ) 630 1170. Vậy góc tạo bởi đường thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox là: 1170.  Các dạng bài tập thường gặp: - Dạng1: Xác dịnh các giá trị của các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng song song; cắt nhau; trùng nhau. Phương pháp: Xem lại các ví dụ ở trên. -Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b , , Xác định toạ độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a x + b Phương pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phương trình ta tìm được giá trị của x; thay giá trị của x vào (d1) hoặc (d2) ta tính được giá trị của y. Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao điểm của hai đường thẳng. Tính chu vi - diện tích của các hình tạo bởi các đường thẳng: Phương pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py- ta -go để tính độ dài các đoạn thẳng không tính trực tiếp được. Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh. + Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S. -Dạng 3: Tính góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox Xem lại các ví dụ ở trên. -Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị: Phương pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b. Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không? Thay giá trị của x1 vào hàm số; tính được y0. Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị. Nếu y0 y1 thì điểm M không thuộc đồ thị. -Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng: Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1). Phương pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta được phương trình y0 = ax0 + b (1) + Thay x1; y1 vào y = ax + b ta được phương trình y1 = ax1 + b (2) + Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của a và b. + Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta được phương trình đường thẳng cần tìm. -Dạng 6: Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy: Ví dụ: Cho các đường thẳng : 2 2 (d1) : y = (m -1) x + m -5 ( Với m 1; m -1 ) (d2) : y = x +1 (d3) : y = -x +3 a) C/m rằng khi m thay đổi thì d1 luôn đi qua 1điểm cố định . b) C/m rằng khi d1 //d3 thì d1 vuông góc d2 c) Xác định m để 3 đường thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui Giải: a) Gọi điểm cố định mà đường thẳng d1 đi qua là A(x0; y0 ) thay vào PT (d1) ta có : 2 2 y0 = (m -1 ) x0 +m -5 Với mọi m 2 => m (x0+1) -(x0 +y0 +5) = 0 với mọi m ; Điều này chỉ xảy ra khi : x0+ 1 = 0 x0 + y0 + 5 = 0 suy ra : x0 = -1 y0 = - 4 Vậy điểm cố định là A (-1; - 4) b) +Ta tìm giao điểm B của (d2) và (d3) : Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1 Thay vào y = x +1 = 1 +1 =2 Vậy B (1;2) 55
60. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Để 3 đường thẳng đồng qui thì (d1) phải đi qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = 2 vào pt (d1) ta có: 2 = (m2 -1) .1 + m2 -5 m2 = 4 => m = 2 và m = -2 Vậy với m = 2 hoặc m = - 2 thì 3 đường thẳng trên đồng qui.  Bài tập: Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( 2 + m )x + 1 và (d2): y = ( 1 + 2m)x + 2 1) Tìm m để (d1) và (d2) cắt nhau . 2) Với m = – 1 , vẽ (d1) và (d2) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) bằng phép tính. Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a . Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao? Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y = (1- 3m)x + m + 3 đi qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao? Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – 2 ;(m 0) và y = (2 - m)x + 4 ; (m 2) . Tìm điều kiện của m để hai đường thẳng trên: a) Song song; b) Cắt nhau . Bài 5: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt nhau tại một điểm trên trục tung .Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với 1 (d’): y = x và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 10. 2 Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua điểm A(2;7). Bài 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3). 1 Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y = x 2 và (d2): y = x 2 2 a/ Vẽ (d1) và (d2) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm)? Bài 9: Cho các đường thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m 0 2 2 (d2) : y = (3m +1) x +(m -9) a; Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2) b; Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2 c; C/m rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A ;(d2) đi qua điểm cố định B . Tính BA ? Bài 10: Cho hàm số : y = ax +b a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2) b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc  tạo bởi đường thẳng trên với trục Ox ? c; Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với đường thẳng y = - 4x +3 ? d; Tìm giá trị của m để đường thẳng trên song song với đường thẳng y = (2m-3)x +2 Bài 11: Cho hàm số y = -2x + 3. a) Ve ̃ đồ thi ̣của hàm số trên. b) Goị A và B là giao điểm của đồ thi ̣vớ i các truc̣ toạ đô.̣Tính diêṇ tích tam giác OAB ( vớ i O là gốc toạ đô ̣và đơn vi ̣trên các truc̣ toạ đô ̣là centimet ). c) Tính góc taọ bở i đườ ng thẳng y = -2x + 3.vớ i truc̣ Ox. Bài 12: Cho hai hàm số: yx 1 và yx 3 a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục toạ độ Oxy. b) Bằng đồ thi xác định toạ độ giao điểm A của hai đường thẳng trên. c) Tìm giá trị của m để đường thẳng y mx ( m 1) đồng qui với hai đường thẳng trên. Bài 13: Cho hàm số y = (4 – 2a)x + 3 – a (1) 56
61. NCS.Ths. Đỗ Kiến Vọng BỒI DƯỠNG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 a) Tìm các giá tri ̣của a để hàm số (1) đồng biến. b) Tìm a để đồ thi ̣của hàm số (1) song song với đườ ng thẳ ng y = x – 2. c) Vẽ đồ thị của hàm số (1) khi a = 1 Bài 14: Viết phương trình của đường thằng (d) có hệ số góc bằng 7 và đi qua điểm M(2;-1) Bài 15: Cho hàm số y = (m – 2)x + 2m + 1 (*) a) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến. b) Tìm m để đồ thị hàm số (*) song song với đường thẳng y = 2x – 1. Bài 16: a) Trên cùng hệ trục tọa độ vẽ đồ thị của các hàm số sau: (d1): y = x + 2 và (d2) : y = –2x + 5 b) Tìm tọa độ giao điểm A của (d1) và (d2) bằng phép tính c) Tính góc tạo bởi đường thẳng (d1) với trục Ox. Bài 17: a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4). b) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với trục tung và trục hoành Bài 18 Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3. a) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến. b) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. c) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy Bài 19: Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3. a) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1. b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1; -4). c) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m Bài 20: Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1). a) Viết phương trình đường thẳng AB. b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2). Bài 21: Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3. a) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5) b) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định ấy. c) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 21 6x 4x 5 Bài 22: Tìm giá trị của k để các đường thẳng sau : y = ; y = và y = kx + k + 1 cắt 4 3 nhau tại một điểm. Bài 23 : Giả sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1; 3) và B(-3; -1). Bài 24: Cho hàm số : y = x + m (D). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) : a) Đi qua điểm A(1; 2010). b) Song song với đường thẳng x – y + 3 = 0. Bài 25: Cho hàm số y = (m - 2)x + n (d) Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số : a) Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4) b) Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1- 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2+ . c) Cắt đường thẳng -2y + x – 3 = 0 d) Song song vối đường thẳng 3x + 2y = 1 Bài 26: Cho hàm số : y 2x2 (P) a) Vẽ đồ thị (P) b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ c) Xét số giao điểm của (P) với đường thẳng (d) y mx 1 theo m d) Viết phương trình đường thẳng (d') đi qua điểm M(0; -2) và tiếp xúc với (P) 57