Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh giải bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất bằng “Con Mắt” hình học

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh giải bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất bằng “Con Mắt” hình học

1. 1. Mở đầu 1. 1. Lí do chọn đề tài Số phức được đưa vào giảng dạy ở bậc phổ thông của nhiều nước trên thế giới, nhưng lại là nội dung mới với học sinh trung học phổ thông ở Việt Nam. Từ năm học 2008 – 2009, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chính thức đưa nội dung “số phức” vào chương trình phổ thông. Tính đến thời điểm này, cũng đã được gần 10 năm, mặc dù nội dung trong sách giáo khoa còn ở mức độ đơn giản song nó chỉ được phân bố trong khoảng thời lượng không nhiều, mặt khác tài liệu tham khảo về nội dung này còn rất ít, đã vậy nội dung này đã được đưa và hầu hết các đề thi THPT Quốc gia trong những năm gần đây và nó chiếm một tỉ lệ nhất định. Bắt đầu từ năm học 2016-2017 môn toán đã chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, việc giúp học sinh nhận dạng và đưa ra cách giải nhanh, chính xác là một yêu cầu tối cần thiết. Vì vậy việc dạy và học “Số phức” có hiệu quả thật sự là một vấn đề cần nghiên cứu. Trải qua một số năm tham gia dạy chương trình toán lớp 12, tôi thấy: Học sinh mới tiếp cận tập hợp “ Số phức” ở lớp 12 nên phần lớn khi vận dụng các em bị ảnh hưởng nhiều tính chất của tập hợp số thực, vì vậy các em tỏ ra lúng túng khi giải quyết bài toán về số phức, đặc biệt có em còn nhầm tưởng tính chất của tập hợp số thực cũng đúng trong tập hợp số phức. Đặc biệt việc giải bài toán “Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức” không phải là bài toán quá khó đối với học sinh. Các em chỉ cần nắm được kiến thức cơ bản về số phức: phần thực, phần ảo, môđun của số phức, các phép toán về số phức kết hợp với kiến thức về phương trình đường thẳng, đường tròn, đường Elíp, thì các em sẽ giải quyết tốt bài toán trên. Vấn đề là thông qua bài toán này học sinh biết khai thác kiến thức cơ bản của bài toán trên, kết hợp vận dụng kiến thức về bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, bài toán cực trị trong hình học, để từ đó giải quyết được bài toán “Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất thoả mãn điều kiện cho trước”. Trên cơ sở ấy các em có thể phát huy được sức sáng tạo và tư duy logíc của mình. Riêng bản thân, ở mối tiết dạy, ở mỗi bài dạy tôi luôn trăn trở tìm ra những phương pháp dạy học thích hợp để tác động tới từng đối tượng học sinh, và tìm mọi cách để xoá bỏ việc tiếp thu kiến thức một cách thụ động. Đồng thời nâng cao trình độ tư duy và sức sáng tạo của học sinh. Chính vì những lí do trên nên tôi chọn đề tài “Giúp học sinh giải bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất bằng “Con Mắt” hình học ” để viết sáng kiến kinh nghiệm. Nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học chương số phức của lớp 12. 1. 2. Mục đích nghiên cứu Giúp các em học sinh có nhiều cách nhìn hơn trong việc tư duy giải một bài toán đại số. 1. 3. Đối tượng nghiên cứu Trong đề tài “Giúp học sinh giải bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất bằng “Con Mắt” hình học ”, phương pháp hình học giải bài toán tìm số phức có môdun lớn nhất, nhỏ nhất. 1
2. 1. 4. Phương pháp nghiên cứu 1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Nghiên cứu tài liệu và các công trình nghiên cứu đổi mới PPDH theo hướng tích cực hóa việc học của học sinh. - Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình giải tích 12 (Chương số phức). 2. Phương pháp thực tập sư phạm Thực nghiệm sư phạm ở trường THPT, tiến hành theo quy trình của đề tài sáng kiến kinh nghiệm để đánh giá hiệu quả của đề tài nghiên cứu. 3. Phương pháp thống kê toán học: Sử dụng phương pháp này để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả thu được. 2
3. 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2. 1. Cơ sở lí luận của SKKN. Phương pháp nghiên cứu SKKN này dựa trên cơ sở: + Các kiến thức cơ bản về số phức. + Các kiến thức cơ bản về lượng giác và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. + Những sai lầm thực tế khi làm bài của học sinh về số phức. 2. 1.1. Số phức. [1] • Định nghĩa 1: Mỗi số phức là một biểu thức có dạng a+ bi, với a, b R và i2 = -1. Kí hiệu số phức đó là z = a +bi ; i gọi là đơn vị ảo, a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của số phức z = a + bi. Tập hợp các số phức kí hiệu là C. • Định nghĩa 2: Hai số phức bằng nhau a a' a bi a' b'i ' b b Từ đó, a + bi = 0 a = b = 0. • Biểu diễn hình học của số phức: + Ứng với mỗi số phức z = a + bi có duy nhất một điểm M(a;b) trên mặt phẳng Oxy và ngược lại. Kí hiệu M(a+bi) hay M(a;b). Ngoài ra, số phức z = a + bi còn được biểu diễn bởi vectơ u(a;b) . + Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực. Các điểm trên trục tung Oy biểu diễn các số ảo. • Phép cộng, phép trừ hai số phức: Cho hai số phức z = a + bi và số phức z’ = a' + b’i. Tổng của hai số phức trên là số phức z+z’ = (a+a’) + (b+b’)i . ’ ’ Hiệu của hai số phức trên là số phức z-z = (a-a ) + (b-b’)i . Khi đó, nếu u(a;b) biểu diễn số phức z, u'(a';b' ) biểu diễn số phức z’ thì vectơ   u u',u u' lần lượt biểu diễn số phức z+z’, z- z’ • Phép nhân số phức: Cho hai số phức z = a + bi và số phức z’ = a' + b’i. Tích của hai số phức trên là số phức zz’ = (aa’ –bb’)+ (ab’+a’b)i . Chú ý: Có thể thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân hai số phức một cách hình thức tương tự như các phép toán cộng, trừ, nhân trên tập hợp số thực R. • Phép chia số phức: + Số phức liên hợp của số phức z = a +bi là số phức z a bi . + Môđun của số phức z = a +bi là z a2 b2 . 1 + Số nghịch đảo của số phức z = a +bi khác 0 là số phức z 1 z . z 2 3
4. z' + Thương của hai số phức z ’ = a’ + b ’i và số phức z = a + bi khác 0 là tích z ' ' ’ z ' 1 z z của z với số phức nghịch đảo của z, tức là z .z z z 2 a' b'i (a' b'i)(a bi) Vậy: ,(a2 b2 0 ). a bi a2 b2 Chú ý : Nếu điểm M biểu diễn số phức z, điểm M’ biểu diễn số phức z’ thì MM’ = z z' . • Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c là số thực: ax2 bx c 0 (a 0), b2 4ac. b + 0: Phương trình có 2 nghiệm thực x 1,2 2a b | |.i + < 0: Phương trình có 2 nghiệm phức x 1,2 2a • Tập hợp các điểm biễu diễn số phức thừơng gặp: + Tập hợp điểm biễu diễn số phức z là đường thẳng : Cho số phức z thoã mãn: z z1 z z2 . Giả sử M, A, B lầ lượt là điểm biểu diễn các số phức z, z1,z2. Ta có z z1 z z2 MA MB M thuộc : ax by c 0 là trung trực của AB +Tập hợp điểm biểu diễn là đường tròn : Cho số phức z thoã mãn: z a bi R 0.Tập hợp điểm biễu diễn số phức z là đường tròn (C) : (x a)2 (y b)2 R2 +Tập hợp điểm biểu diễn là elip: Cho số phức z thoã mãn: z c z c 2a . Tập hợp điểm biễu diễn số phức z x2 y2 là (E) có phương trình: 1 (0 b a; b2 a2 c2 ) a2 b2 2.1.2. Một số kiến thức áp dụng. 1.Bất đẳng thức Bunhia-Cốpxki với bốn số thực: Với bốn số thực a,b,c,d, ta có: (ax by)2 (a2 b2 )(x2 y2 ) .Dấu đẳng thức xảy ra khi ay=bx. 2. Định lí về dấu tam thưc bậc hai. 3. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số. 4.Giao điểm của đường thẳng với đường thẳng, của đường thẳng với đường tròn 4
5. 2. 2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng dạy học chương số phức nói chung và bài toán tìm số phức có mô đun lớn nhất, nhỏ nhất nói riêng ở trường THPT được thể hiện ở một số điểm sau: Thời lượng SGK dành cho chương số phức không nhiều, kiến thức đơn giản, không có nhiều dạng bài tập trong khi đó các đề thi hiện nay ,với hình thức thi trắc nghiệm, nên các dạng bài tập hết sức đa dạng , phong phú. Mức , độ yêu cầu của đề ngày càng cao, vượt xa những gì sách giáo khoa cung cấp gây nhiều khó khăn cho học sinh. Đối với học sinh, việc tiếp thu và vận dụng kiến thức về số phức của nhiều em còn hạn chế một phần do đó là kiến thức mới.bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất lại càng khó hơn vì nó liên quan đến nhiều bài toán định lượng, bất đẳng thức, mối liên hệ giữa đại số với bài toán hình học Qua các bài kiểm tra thường xuyên, bài kiểm tra định kì ở lớp 12C2 tôi thấy nhiều học sinh thường không làm được bài tập phần này. Vì thế điểm kiểm tra thường thấp hơn so với các phần học khác. Cụ thể kết quả bài kiểm tra 15 phút của lớp 12C2 (Năm học 2014-2015), trước khi tôi chưa đưa ra phương pháp như sau: Đề bài: Câu 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z , biết rằng z 2 z 2 6. Lời giải Câu 2: Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất và thỏa mãn iz 3 z 2 i . Lớp 12C2(Năm học 2014-2015): ( Tổng số HS :36) Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 0 0 6 16,7 15 41,7 11 30.56 4 11.04 Phân tích : +Nhiều em không làm được câu 1 do lúng túng không biết xử lí khi bài toán cho cả z, z .Không nắm vững kiến thức về elip nên không tìm được tập hợp điểm M biểu diễn số phức z. + Nhiều em đi theo hướng 1 nhưng không lập được mối liên hệ giữa x và y nên không thể tính được z do đó không giải được bài toán. +Nhiều em đi theo hướng 2 nhưng không giải được bài toán do không nắm được bản chất “Hình học” của bài toán. 2. 3. Các giải pháp đã sử dụng giải quyết vấn đề 2.3.1. Một số bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức điển hình: Bài toán1: Giả sử M là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. 5
6. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây: a) z 1 i =2 b) 2 z 1 i c) z 2 z 2 6 Giải: Đặt z = x +yi (x, y R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y) a) Xét hệ thức: z 1 i =2 (1) x –1 y 1 i 2 x 1 2 y 1 2 2. x 1 2 y 1 2 4. Tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) là đường tròn có tâm tại I(1;-1) và bán kính R = 2. b) Xét hệ thức 2 z z i |(x+2) +yi| = |x+(y-1)i| (x+2)2 + y2 = x2 + (y-1)2 4x + 2y + 3 = 0. Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0. Nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0 chính là đường trung trực của đoạn AB. Giải Giả sử z x yi, x, y R . Ta có : z 2 z 2 6 x 2 yi x 2 yi 6 . x 2 2 y2 x 2 2 y2 6 Gọi M x; y là điểm biểu diễn của số phức z . Xét hai điểm F1 2;0 ,F2 2;0 . Khi đó hệ thức trên được viết lại thành MF1 MF2 6 . Tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện MF1 MF2 6 là elip E nhận F1,F2 làm hai tiêu điểm và có độ dài trục thực bằng 6. Độ dài trục bé bằng 2 32 22 2 5 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện đã cho là elip E có phương trình x2 y2 1. 9 5 Bài toán 2: (Trích đề thi tuyển sinh đại học Bách Khoa năm 2010) 6
7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z i 1 i z . Lời giải Giả sử z x yi, x, y R . Ta có : z i 1 i z x y 1 i 1 i x yi x y 1 i x y x y i x2 y 1 2 x y 2 x y 2 x2 y2 2y 1 0 x2 y 1 2 2 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện đã cho là đường tròn C có phương trình x2 y 1 2 2. Bài toán 3 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức 1 i z 2 , biết rằng z là số phức thỏa mãn điều kiện z 3 2i 2 . Lời giải Cách 1: Giả sử z x yi, x, y R . Ta có z 3 2i 2 x 3 y 2 i 2 x 3 2 y 2 2 4 * . Đặt w 1 i z 2 . Giả sử w a bi, a,b R . Ta có : w 1 i z 2 a bi 1 i x yi 2 a bi x y 2 x y i a b 2 x a x y 2 2 . b x y b a 2 y 2 2 2 a b 2 b a 2 Do đó từ hệ thức * , ta có 3 2 4 2 2 a b 4 2 b a 2 2 16 a2 b2 6a 2b 2 0 a 3 2 b 1 2 8 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức 1 i z 2 là đường tròn có phương trình : x 3 2 y 1 2 8. Cách 2: Đặt w 1 i z 2 . Khi đó ta có w 3 i 1 i z 3 2i . Từ giả thiết và tính chất của môđun ta có w 3 i 1 i z 3 2i w 3 i 1 i . z 3 2i w 3 i 2 2 . Giả sử w x yi, x, y R thì w 3 i 2 2 x 3 2 y 1 2 8 . 7
8. Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: 2 z i z z 2i . Lời giải Giả sử z x yi, x, y R . Ta có 2 z i z z 2i 2 x y 1 i x yi x yi 2i x y 1 i y 1 i 2 2 1 x2 y 1 y 1 y x2 4 Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện đã cho là parabol 1 P có phương trình y x2 . 4 2. 3.2. Bài toán tìm cực trị của số phức. *) Phương pháp: Bài toán: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện T. Tìm số phức z để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất. Từ điều kiện T, biến đổi để tìm cách rút ẩn rồi thế vào biểu thức P để được hàm một biến. Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) tuỳ theo yêu cầu bài toán của hàm số một biến vừa tìm được. Kỹ năng: +Phương pháp đại số. +Phương pháp hình học. + Phương pháp bđt modun. +Phương pháp casio. *) Một số bài toán điển hình. Dạng 1: Quỹ tích điểm biễu diễn số phức z là đường thẳng :Giả sử M,A,B lầ lượt là điểm biểu diễn các số phức z, z1,z2. Ta có : z z1 z z2 MA MB M thuộc : ax by c 0 là trung trực của AB Khi đó z khi điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là hình chiếu vuông góc của min O lên . Nhận xét : Đề bài có thể suy biến bài toán thành một số dạng khác,khi đó ta cần thực hiện biến đổi đưa về dạng cơ bản: Ví dụ : +Cho số phức z thoã mãn z a bi z c di .Khi đó ta biến đổi: z a bi z c di z a bi z c di + Cho số phức z thoã mãn iz a bi z c di .Khi đó ta biến đổi: a bi c di iz a bi z c di z z z b ai z d ci i i 8
9. Ví dụ 1: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z 1 5i z 3 i , tìm số phức có môđun nhỏ nhất. Giải: Gọi z x yi x; y R . z 1 5i z 3 i (x 1)2 (y 5)2 (x 3)2 (y 1)2 x 3y 4 0 ( ) . Gọi điểm M(x;y) biểu diễn số phức z suy ra z khi M là hình chiếu vuông min 2 6 2 10 góc của O lên (O là gốc tọa độ).Tìm được M ( ; ) suy ra z khi 5 5 min 5 2 6 z i 5 5 *Nhận xét: Nếu gặp bài toán chẳng hạn : Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z 1 5i z 3 i . Tìm z . min 2 10 z d(O; ) min 5 Ví dụ 2: Biết rằng số phức z thỏa mãn : u z 3 i z 1 3i là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của z . Giải Đặt z= x+ yi (x, y R ) ta có 2 2 u x 3 y 1 i x 1 y 3 i x y 4x 4y 6 2 x y 4 i Ta có: u R x y 4 0 Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0. M(x;y) là điểm biểu diễn của z , z có môđun nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất OM  d . Tìm được M(-2;2) suy ra z = -2+2i. z 2 2 min Dạng 2: Quỹ tích điểm biễu diễn số phức z là đường tròn (C) : (x a)2 (y b)2 R2 Gọi M(x;y) biểu diễn số phức z ,Khi đó ta có: z OI R a2 b2 R z R min 0 z OI R a2 b2 R z R max 0 Nhận xét : Đề bài có thể suy biến bài toán thành một số dạng khác,khi đó ta cần thực hiện biến đổi đưa về dạng cơ bản: Ví dụ : 9
10. + Cho số phức z thoã mãn iz a bi R .Khi đó ta biến đổi: a bi R iz a bi R z z a bi R i i + Cho số phức z thoã mãn z a bi R .Khi đó ta biến đổi: z a bi R z a bi R (Lấy liên hợp hai vế). + Cho số phức z thoã mãn (c di)z a bi R .Khi đó ta biến đổi: a bi R R (c di)z a bi R z c di c di c2 d 2 z 2 i Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 . Tìm giá trị nhỏ z 1 i nhất và giá trị lớn nhất của z . Giải Giả sử z x yi, x, y R . Ta có z 2 i 2 z 2 i 2 z 1 i x 2 y 1 i 2 x 1 y 1 i z 1 i x 2 2 y 1 2 2 x 1 2 y 1 2 x2 y 3 2 10 . Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 0; 3 , bán kính R 10 . Giả sử M x; y là điểm biểu diễn của số phức z thì z nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất; z lớn nhất khi và chỉ khi OM lớn nhất. Đường thẳng OI có phương trình x 0. Giao điểm của đường thẳng OI với đường tròn I;R là M1 0; 3 10 ,M 2 0; 3 10 . Khi đó OM1 3 10;OM 2 3 10 . Với mọi điểm M nằm trên đường tròn I;R , ta luôn có OM 2 OM OM1 . Vậy giá trị lớn nhất của z bằng 3 10 và giá trị nhỏ nhất của z bằng 3 10 . 2. 3.2.2. Mở rộng: Bài toán gốc số 1: Cho đường tròn (T ) cố định có tâm I bán kính R và điểm A cố định. Điểm M di động trên đường tròn (T ) . Hãy xác định vị trí điểm M sao cho AM lớn nhất, nhỏ nhất. Giải: TH1: A thuộc đường tròn (T) 10
11. Ta có: AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng với A AM đạt giá trị lớn nhất bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A qua I TH2: A không thuộc đường tròn (T) Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng qua A,I và đường tròn (T); Giả sử AB JB) ; d cắt (T2 ) tại hai điểm phân biệt C, D ( giả sử ID > IC). Với điểm M bất khì trên (T1) và điểm N bất kì trên (T2 ) . Ta có: MN IM IN IM IJ JN R1 R2 IJ AD. Đẳng thức xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D MN IM IN IJ IM JN IJ R1 R2 BC . Đẳng thức xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C. Vậy khi M trùng với A và N trùng với D thì MN đạt giá trị lớn nhất. Khi M trùng với B và N trùng với C thì MN đạt giá trị nhỏ nhất. Bài toán gốc số 3: 11
12. Cho hai đường tròn (T ) có tâm I, bán kính R; đường thẳng không có điểm chung với (T ) . Tìm vị trí của điểm M trên (T ) , điểm N trên sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất. Giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d Đoạn IH cắt đường tròn (T ) tại J Với M thuộc đường thẳng , N thuộc đường tròn (T ) , ta có: MN IN IM IH IJ JH const . Đẳng thức xảy ra khi M  H; N  I Vậy khi M trùng với H; N trùng với J thì MN đạt giá trị nhỏ nhất. Ví dụ 4: Trong các số phức z thoả mãn z 3 4i 4 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z . Giải: Gọi z x yi x; y R M (x; y) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy z 3 4i 4 (x 3)2 (y 4)2 4 (x 3)2 (y 4)2 16 Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc đường tròn (T) có tâm I(3; 4) , bán kính R = 4. z x2 y2 OM ;OI 5 R nên O nằm ngoài đường tròn (T) z lớn nhất khi OM lớn nhất, nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất. (Bài toán qui về bài toán gốc số 1- Trường hợp 2) Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) tại hai điểm phân biệt 3 4 27 36 A ; ;B ; OA 1;OB 9 5 5 5 5 Với M di động trên (T), ta có: OA OM OB 1 OM 9 1 z 9 OM nhỏ nhất khi M trùng với A; OM lớn nhất khi M trùng với B 3 4 27 36 Vậy z nhỏ nhất bằng 1 khi z i ; z lớn nhất bằng 9 khi z i 5 5 5 5 Cách 2 Gọi z x yi x; y R M (x; y) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy  3 4i A(3; 4) biểu diễn cho số phức  z OM ;  OA 5 z  AM ; Theo giả thiết z 3 4i 4 z  4 AM 4 . 12
13. Ta có: OM OA AM 4 OM OA 4 4 OA OM 4 OA 1 OM 9 3 4 27 36 1 z 9 ; z 1 khi z i ; z 9 khi z i 5 5 5 5 3 4 27 36 Vậy z nhỏ nhất bằng 1 khi z i ; z lớn nhất bằng 9 khi z i 5 5 5 5 Nhận xét: Ngoài ra bài toán trên có thể giải bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia-Cốpxki hoặc phương pháp lượng giác hoá. Ví dụ 5: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z (z 2 4i)là một số ảo, tìm số phức z sao cho z 1 i có môđun lớn nhất. Giải: Gọi z x yi x; y R M (x; y) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy z (z 2 4i) (x yi)(x 2) (y 4)i x(x 2) y(y 4) x(y 4) y(x 2)i z (z 2 4i)là một số ảo x(x 2) y(y 4) 0 x2 y2 2x 4y 0 (x 1)2 (y 2)2 5 M biểu diễn cho z thuộc đường tròn (T) có tâm I( 1;2), bán kính R 5  z 1 i (x 1) (y 1)i (x 1)2 (y 1)2 AM với A(1;1) IA 5 A (T ) (Bài toán được qui về bài toán gốc số 1 - trường hợp 1). Vì M là điểm di động trên (T) nên AM lớn nhất AM là đường kính của (T) M đối xứng với A qua I I là trung diểm của AM M ( 3;3) z 3 3i  4 2i Vậy  lớn nhất bằng 2 5 khi z 3 3i . Ví dụ 6: Trong các số phức z1, z2 thoả mãn: z1 1 i 1 ; z2 6 6i 6, tìm số phức z1, z2 sao cho z1 z2 đạt giá trị lớn nhất. Giải: Gọi z1 a b.i; z2 c d.i ; (a,b,c,d là những số thực); z1 được biểu diễn bởi điểm M(a; b); z2 được biểu diễn bởi điểm N(c; d) trong mặt phẳng toạ độ Oxy 2 2 2 z1 1 i 1 z1 1 i 1 (a 1) (b 1) 1 suy ra M thuộc đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = 1. 2 2 2 z2 6 6i 6 z2 6 6i 36 (c 6) (d 6) 36 suy ra M thuộc đường tròn tâm J(6; 6), bán kính R' = 6. 13
14. 2 2 z1 z2 (c a) (d b) MN . Ví dụ 7: (Trích đề thi thử THPT chuyên Phan Bội Châu ) Cho số phức z thoã mãn z 2 3i 1 .Giá trị lớn nhất của z 1 i là A. 13 2 B.4 C.6 D. 13 1 Giải: Cách 1: Gọi z=x+yi, ta có z-2-3i=(x-2)+(y-3)i .Nên ta có :(x 2)2 (y 3)2 1 .Do đó điểm M biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn tâm I(2;3), bán kính R=1. Ta có z 1 i (x 1)2 (y 1)2 .Gọi M(x;y) và H(-1;1) thì MH (x 1)2 (y 1)2 .Vì M chạy trên đường tròn , H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao điểm của HI với đường tròn . x 2 3t Phương trình HI: , Giao điểm của HI với đường tròn ứng với t thoã y 3 2t 1 mãn 9t 2 4t 2 1 t suy ra 13 3 2 3 2 M (2 ;3 ),M (2 ;3 ) . 13 13 13 13 Tính độ dài MH , ta chọn kết quả MH 13 1 .Chọn đáp án D Cách 2: Đặt W z 1 i .Ta có z 2 3i 1 z 2 3i 1 (z 1 i) 3 2i 1 W 3 2i 1 .Nên tập hợp điểm biểu diễn W là đường tròn có tâm I(3;-2), bán kính R=1 Vậy W OI R 1 13 .Chọn đáp án D. max Nhận xét: có thể dùng lượng giác để giải bài toán này. (Bài toán được qui về bài toán gốc số 2). Đường thẳng IJ có phương trình y = x. Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm I tại 2 2 2 2 2 2 2 2 hai điểm M1 ; ;M 2 ; 2 2 2 2 Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm J tại hai điểm N1 6 3 2;6 3 2 ; N2 6 3 2;6 3 2 . M 2 N1 MN M1N2 5 2 7 z1 z2 5 2 7 max z1 z2 5 2 7khi M  M1, N  N2 . 14
15. 2 2 2 2 Vậy z i ; z 6 3 2 6 3 2 i thì z z đạt giá trị lớn 1 2 2 2 1 2 nhất. Ví dụ 8: Cho các số phức z1; z2 thoả mãn: z1 1 ; z2 z2 (1 i) 6 2i là một số 2 thực. Tìm số phức z1; z2 sao cho P z2 z1z2 z1z2 đạt giá trị nhỏ nhất. Giải: Gọi z1 a bi; z2 c di ; a,b,c,d R M (a;b), N(c;d) lần lượt biểu diễn cho z1; z2 trong hệ toạ độ Oxy 2 2 2 2 z1 1 a b 1 a b 1 M thuộc đường tròn (T ) có tâm O, bán kính R = 1 z2 c di;  z z 1 i 6 2i c di (c 1) (d 1)i 2 6i c(c 1) d(d 1) 2 c(d 1) d(c 1) 6i  là số thực c(d 1) d(c 1) 6 0 c d 6 0 N thuộc đường thẳng : x y 6 0 Ta có d(O; ) 1 nên và (T ) không có điểm chung z1z2 ac bd (bc ad)i; z1z2 ac bd ( bc ad)i z1z2 z1z2 2(ac bd) P c2 d 2 2(ac bd) (c a)2 (b d)2 1 MN 2 1 (vì a2 b2 1) (Bài toán được qui về bài toán gốc số 3). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên : x y 6 0 H (3;3) 2 2 Đoạn OH cắt đường tròn (T ) tại I ; 2 2 Với N thuộc đường thẳng , M thuộc đường tròn (T ) , ta có: MN ON OM OH OI IH 3 2 1. Đẳng thức xảy ra khi M  I; N  H 2 P 3 2 1 1 18 6 2 . 2 2 Đẳng thức xảy ra khi z i; z 3 3i 1 2 2 2 2 2 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 18 3 2 khi z i; z 3 3i . 1 2 2 2 15
16. Ví dụ 9: Cho số phức z thoả mãn z 1 i 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z 2 i 2 z 2 3i 2 . Giải Cách 1: Gọi z x yi(x, y R), M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z.Ta có : z 1 i 2 (x 1)2 (y 1)2 4 suy ra M nằm trên đường tròn (C) tâm I(1;- 1), bán kính R=2. Xét A( 2;1),B(2;3),N(0,2) là trung điểm của AB.Khi đó: P z 2 i 2 z 2 3i 2 (x 2)2 (y 1)2 (x 2)2 (y 3)2 AB2 MA2 MB2 2MN 2 2MN 2 10 2 Mặt khác do N nằm ngoài đường tròn (C) nên MNmax =NI+R=2 10 Pmax 38 8 10 Cách 2: Ta có : P z 2 i 2 z 2 3i 2 (x 2)2 (y 1)2 (x 2)2 (y 3)2 2x2 2y2 8y 18 P 0 Suy ra toạ độ điểm M thoả mãn hệ: (x 1)2 (y 1)2 4 (x 1)2 (y 1)2 4 2 2 2x 2y 8y 18 P 0 4x 12y 22 P 0 ( ) Hệ trên có nghiệm khi d(I, ) R P 38 8 10 38 8 10 P 38 8 10 Suy ra Pmax 38 8 10 x2 y2 Dạng 3: Quỹ tích điểm biễu diễn số phức z là elip (E): 1,(0 b a) a2 b2 Ví dụ 10: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z 3 z 3 10. Tìm số phức z có môđun lớn nhất. Giải: Gọi z x yi x; y R M (x; y) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy 2 2 2 2 z 3 z 3 10 (x 3) y (x 3) y 10 MF1 MF2 10; (với F1( 3;0); F2 (3;0) ). x2 y2 M (E) có tâm O, trục lớn bằng 10; tiêu cự bằng 6 M (E) : 1 25 9 z OM ;OM lớn nhất OM a 5 M (5;0)  M ( 5;0) Vậy z lớn nhất bằng 5 khi hoặc z=-5 16
17. 2. 4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm Với cách làm tôi vừa trình bày ở trên, giáo viên cần gơị mở để học sinh chủ động phát hiện ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z để có thể đưa bài toán phức tạp về bài toán cơ bản đơn giản hơn. Sau khi dạy xong chủ đề “Giúp học sinh giải bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất bằng “Con Mắt” hình học ” . Tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra 15 phút như sau: Đề bài: Câu 1: Cho số phức z R thỏa mãn z 4. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w 3 4i z i . Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện w z 3 i z 1 3i là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của z . Kết quả của bài kiểm tra thể hiện cụ thể như sau: Lớp 12A1(Năm học 2017-2018): ( Tổng số HS :40). Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 13 32.5 15 42.5 10 25 2 5 0 0 Qua bảng trên, có thể thấy rằng kết quả học tập của lớp 12A1 sau khi học xong chủ đề này đã có sự khác biệt rõ rệt so với các anh chị khoá trước. Từ chỗ chưa có học sinh đạt điểm giỏi khi chưa áp dụng cách làm mà tôi đã trình bày ở trên, thì khi áp dụng cách làm này đã có 13 học sinh đạt điểm giỏi. Số lượng học sinh đạt điểm khá, trung bình tăng lên, số lượng học sinh đạt điểm yếu chỉ còn 2 em và không còn học sinh bị điểm kém . Như vây, thành công bước đầu và quan trọng của cách làm là đã cải thiện được chất lượng học tập của học sinh cũng như tạo ra được sự hứng thú, say mê của học sinh khi học phần kiến thức này. 3. Kết luận và kiến nghị. 3.1. Kết luận. Dạng bài tập về tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất trong chương trình giải tích lớp 12 nói chung rất đa dạng, phong phú và là dạng bài tập khó đối với đa số học sinh THPT. Để có thể áp dụng sáng kiến kinh nghiệm của bản thân có hiệu quả vào đối tượng học sinh thì yêu cầu cả người dạy và người học phải không ngừng học hỏi và tìm kiếm những tri thức mới. Các em học sinh phải luôn cố gắng, tìm tòi, sáng tạo, phân tích vấn đề và khái quát hoá vấn đề, Trong khuôn khổ bài viết của mình, tôi chỉ xin đưa ra một số bài toán về tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất của số phức qua việc tìm tập hợp điểm 17
18. biểu diễn số phức đó. Từ đó, giúp các em giải quyết bài toán một cách dễ dàng hơn và nhanh nhất khi làm trắc nghịêm. 3.2. Kiến nghị. Với khả năng, kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế, việc áp dụng phương pháp cũng như hệ thống bài tập đưa ra ở trên chắc chắn sẽ không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong các đồng nghiệp cũng như quý vị độc giả góp ý để SKKN này được hoàn thiện hơn . XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 02 tháng 05 năm 2019 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. Ký và ghi rõ họ tên Nguyễn Huy Quang 18
19. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Giải tích 12. NXB Giáo dục. 2.Xây dựng tài liệu về số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh - Nguyễn Tiên Tiến,THPT Gia Viễn B 3.Bài toán Max-Min số phức-Lương Văn Huy –Thanh Trì- Hà Nội 4. Đề thi thử đại học và THPT Quốc Gia (Từ 2006-2018) -Nguồn internet 5.Trích một số bài tập từ Word toán. 19
20. MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG 1. Mở đầu 1 1.1. Lí do chọn đề tài 1 1.2. Mục đích nghiên cứu 1 1.3. Đối tượng nghiên cứu 1 1.4. Phương pháp nghiên cứu 2 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3 2.1. Cơ sở lí luận 3 2.1.1. Số phức 3 • Định nghĩa 1 3 • Định nghĩa 2 3 • Biểu diễn hình học của số phức 3 • Phép cộng, phép trừ hai số phức 3 • Phép nhân số phức 3 • Phép chia số phức 3 • Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c là số thực 4 • Tập hợp các điểm biễu diễn số phức thường gặp 4 2.1.2. Một số kiến thức áp dụng 4 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh 5 nghiệm 2.3. Các biện pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 5 2.3.1. Một số bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức điển 5 hình 2.3.2. Bài toán tìm cực trị của số 8 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 17 3. Kết luận và kiến nghị 17 4. Tài liệu tham khảo 19 20
21. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN TÌM SỐ PHỨC CÓ MÔ ĐUN LỚN NHẤT-NHỎ NHẤT BẰNG “CON MẮT” HÌNH HỌC Người thực hiện: Nguyễn Huy Quang Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Toán THANH HOÁ, NĂM 2019 21