Sáng kiến kinh nghiệm Kỹ năng dạy và hướng dẫn học sinh vận dụng bảy hằng đẳng thức vào giải một số dạng Toán 8 ở Trường THCS Lạc Hòa

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Kỹ năng dạy và hướng dẫn học sinh vận dụng bảy hằng đẳng thức vào giải một số dạng Toán 8 ở Trường THCS Lạc Hòa

1. PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THỊ XÃ VĨNH CHÂU TRƯỜNG THCS LẠC HOÀ Sáng kiến kinh nghiệm KỸ NĂNG DẠY VÀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẬN DỤNG BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN 8 Người thực hiện: TRỊNH KIM NGÂN Tổ: Toán – Lí – Tin Tr­êng häc th©n thiÖn Häc sinh tÝch cùc Năm học: 2014 - 2015
2. 1 Phần một. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lí do chọn đề tài: Như ta đã biết, mục tiêu giáo dục và đào tạo là “nâng cao mặt bằng dân trí, đảm bảo những tri thức cần thiết để mọi người gia nhập cuộc sống xã hội và kinh tế, theo kịp tiến trình đổi mới của đất nước, đào tạo bồi dưỡng và nâng cao chất lượng nguồn nhân lực để đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước”. Môn Toán với vị trí là môn học có tiềm năng phát triển trí tuệ và hình thành các phẩm chất trí tuệ “linh hoạt, độc lập, sáng tạo”. Hoạt động học toán góp phần phát triển đạo đức và nhân cách cho học sinh như: Say mê và có hoài bảo trong học tập, mong muốn góp phần mình cho sự nghiệp chung của đất nước, ý chí vượt khó, bảo vệ chân lí, cảm nhận được cái đẹp, trung thực, tự tin, khiêm tốn, . Ngoài ra môn Toán cũng là môn công cụ để giúp học sinh học tốt các môn học khác. Trong quá trình giảng dạy môn đại số lớp 8, tôi nhận thấy ở học sinh kỹ năng vận dụng “Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ” còn yếu, chưa linh hoạt, thậm chí một số học sinh không biết vận dụng chúng như thế nào? Dẫn đến kỹ năng vận dụng này trong phân tích đa thức thành nhân tử, tính giá trị của biểu thức, rút gọn biểu thức của học sinh còn chưa thành thạo hoặc sai sót . Do vậy kết quả môn toán lớp 8 qua các kỳ thi thường không cao chủ yếu do học sinh yếu về kỹ năng làm bài. Nhằm đáp ứng yêu cầu về đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết những khó khăn, vướng mắc trong học tập, nên bản thân tôi đã luôn trăn trở và tìm hiểu nguyên nhân. Từ đó đã thúc đẩy tôi suy nghĩ chọn đề tài: “Kỹ năng dạy và hướng dẫn học sinh vận dụng bảy hằng đẳng thức vào giải một số dạng toán 8 ở Trường THCS Lạc Hòa”. 2. Mục đích nghiên cứu: - Đưa ra một số ý kiến về những lưu ý trong giảng dạy “Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ”.
3. 2 - Đưa ra biện pháp để giúp học sinh vận dụng bảy hằng đẳng thức vào giải một số dạng toán 8. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: 3.1. Đối tượng nghiên cứu: - Đối với mỗi tiết học “Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ” giáo viên luôn đưa ra những lưu ý trong giảng dạy lý thuyết. - Xây dựng những phương pháp giải các dạng toán có vận dụng “Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ”. - Sửa chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán nhất là dấu . - Củng cố kỹ năng biến đổi hằng đẳng thức theo hai chiều và hoàn thiện dần các kỹ năng rút gọn biểu thức . - Tìm tòi cách giải hay, khai thác bài toán dành cho học sinh khá giỏi. 3.2. Phạm vi nghiên cứu: Đề tài này được áp dụng trong khi dạy chương trình toán 8 THCS và cụ thể là học sinh lớp 8a2 Trường trung học cơ sở Lạc Hòa.
4. 3 Phần hai. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Đặc điểm tình hình: 1.1. Thuận lợi: - Được sự quan tâm chỉ đạo sát sao Ban giám hiệu của nhà trường. - Được Ban giám hiệu nhà trường phân công giảng dạy đúng chuyên môn. - Được sự giúp đỡ nhiệt tình của các đồng chí đồng nghiệp. - Đa số các em học sinh ngoan, lễ phép một số em tỏ ra thích học môn toán, và có năng khiếu về bộ môn toán. 1.2. Khó khăn: - Nhiều học sinh rỗng nhiều kiến thức, không nắm được các kiến thức, kĩ năng cơ bản, và còn lười học. - Nhiều gia đình chưa thực sự quan tâm tạo điều kiện cho các em học tập. 1.3. Thực trạng: 1.3.1. Số liệu thống kê: Năm học 2013 – 2014 được sự phân công của Ban giám hiệu tôi đảm nhận dạy môn Toán 8. Sau khi dạy hết chương I tôi cho học sinh lớp 8a 3 làm bài kiểm tra để khảo sát chất lượng hiểu bài của học sinh là thế nào? Trong đề kiểm tra có nội dung phần tự luận như sau: 1) Thực hiện các phép tính sau: a) (2y – x)( x2 + 2xy + 4y2) b) x2 – 4y2 tại x = 70, y = 15 2) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 – y2 + 6x + 9 3) Tìm x, biết : a) x2 – 2x + 1 = 25 Qua việc chấm bài và chữa bài cho học sinh, tôi thống kê điểm làm bài kiểm tra của học sinh lớp 8a3 ở phần tự luận như sau: Chất lượng làm bài Số lượng (bài) Tỉ lệ (%)
5. 4 Giỏi 4 10% Khá 4 10% Trung bình 12 30% Yếu, kém 20 50% 1.3.2. Nguyên nhân thực trạng: Trước kết quả thu được của lần kiểm tra này, tôi thấy rằng: - Trong quá trình học toán, học sinh hiểu phần lý thuyết có khi chưa chắc chắn hoặc còn mơ hồ về các công thức nên thường không làm được bài tập. - Có những dạng bài tập, học sinh chưa nhận dạng được các tích này có dạng hằng đẳng thức, nên thực hiện phép nhân đa thức với đa thức để tính. (Cụ thể ở câu 1a) - Đối với học sinh yếu, kém toán: Không nắm được kiến thức, kĩ năng cơ bản. Thậm chí không biết làm bài toán bắt đầu từ đâu? Làm như thế nào? . - Có những học sinh đã nhận dạng được hằng đẳng thức rồi tuy nhiên chưa vận dụng linh hoạt hằng đẳng thức đó theo hai chiều hoặc đã biết vận dụng linh hoạt hằng đẳng thức trong thực hiện các phép tính, phép biến đổi biểu thức nhưng còn sai sót về dấu khi thực hiện phép nhân, sử dụng quy tắc bỏ ngoặc đằng trước có dấu trừ, quy tắc chuyển vế trong bài toán tìm x Từ những nguyên nhân trên, trong suốt quá trình giảng dạy tôi luôn hình thành cho học sinh kĩ năng giải toán, tạo điều kiện giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và tránh sai sót. Cụ thể như sau: 2. Các biện pháp thực hiện để nâng cao cải tiến thực trạng: 2.1. Một số lưu ý khi dạy lý thuyết. 2.1.1. Chứng minh sự tồn tại của các hằng đẳng thức để gây sự tin tưởng của học sinh về tính đúng đắn của công thức. Cụ thể: ►Dạy các hằng đẳng thức:
6. 5 1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2. (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3a b2 + b3 3. a2 – b2 = (a + b)(a – b) 4. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) 5. a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) Khi dạy các hằng đẳng thức trên giáo viên nên lưu ý học sinh xuất phát từ phép nhân đa thức với đa thức.Yêu cầu học sinh viết từ lũy thừa về dạng tích rồi tính như sau: 1. (a + b)2 =(a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 (với a, b là các số) Vậy: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2. (a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)( a2 + 2ab + b2 ) = a3 + 3 a2b + 3a b2 + b3 Vậy (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3a b2 + b3 (với a, b là các số) 3. (a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 Vậy a2 – b2 = (a + b)(a – b) (với a, b là các số) 4. (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b2 = a3 + b3 Vậy a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) (với a, b là các số) 5. (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 – a2b – ab2 – b2 = a3 – b3 Vậy a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) (với a, b là các số) ► Dạy các hằng đẳng thức: 1. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 2. (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 - Có 2 cách tìm ra công thức: + Cách 1: Thực hiện nhân đa thức với đa thức để phá ngoặc rồi thu gọn (làm tương tự như đối với các hằng đẳng thức trên). + Cách 2: Vân dụng các hằng đẳng thức đã học. Cụ thể: 1. [a + (– b)]2 = a2 + 2a(– b) +(– b)2 = a2 – 2ab + b2 Vậy (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 2. [a + (– b)]3 = a3 + 3a2 (– b) + 3a(– b) 2 + (– b) 3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
7. 6 Vậy(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 - Sau khi tìm ra hằng đẳng thức giáo viên: khái quát hằng đẳng thức đúng với các biểu thức A, B tuỳ ý. Yêu cầu học sinh phát biểu thành lời theo hai chiều từ tích thành tổng và tổng thành tích. 1. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 2. (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 3. A2 – B2 = (A – B) (A + B) 4. (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5. (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 6. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) 7. A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) 2.1.2. Giáo viên giúp học sinh hoàn thiện tư duy theo chiều ngược lại như sau: 1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 2. A2 – 2AB + B2 =(A – B)2 3. A2 – B2 = (A – B) (A + B) 4. A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 5. A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 6. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) 7. A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) 2.1.3. Sau khi học xong các hằng đẳng thức, giáo viên chỉ ra cách nhớ cho học sinh thông qua việc so sánh các hằng đẳng thức cụ thể như sau: 2.1.3.1. Cách đọc các biểu thức: (A – B)2: Bình phương của một hiệu A2 – B2 : Hiệu hai bình phương (A + B)3 : Lập phương của một tổng A3 + B3 : Tổng hai lập phương (A – B)3 : Lập phương của một hiệu A3 – B3 : Hiệu hai lập phương
8. 7 2.1.3.2. Sự giống nhau, khác nhau của các hằng đẳng thức: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 và (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 * Giống nhau: Vế phải có 3 hạng tử giống nhau. * Khác nhau: Dấu của hạng tử 2AB (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 * Giống nhau: Vế phải có 4 hạng tử giống nhau. * Khác nhau: ở công thức (A + B)3 dấu “+ , + , + , + ” còn ở công thức (A - B)3 thì dấu “ + , – , + , – “ (quy tắc đan dấu) A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) Cùng dấu cộng Bình phương thiếu của một hiệu A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) Cùng dấu trừ Bình phương thiếu của một tổng 2.1.3.3. Mối quan hệ giữa các hằng đẳng thức: (A – B)2 = (B – A)2 (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 = A2 – 2AB + B2 + 4AB = (A – B)2 + 4AB Vậy: (A + B)2 = (A – B)2 + 4AB (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Vậy: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Tương tự ta còn có các mối quan hệ khác như: A2 + B2 = (A + B)2 – 2AB A2 + B2 = (A – B)2 + 2AB A3 – B3 = (A –B)3 + 3AB(A – B) 2.2. Hướng dẫn học sinh vận dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải một số dạng toán 8:
9. 8 - Vận dụng hằng đẳng thức trong làm bài tập là kĩ năng được sử dụng thường xuyên, khi dạy lý thuyết xong giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài tập và cần lưu ý những nhầm lẫn hay sai sót. - Giáo viên nên phân bậc các dạng bài tập từ dễ đến khó, nhằm nâng dần quá trình phát triển tư duy, bài tập trước đã có những tiền đề gợi ý cho các bài tập sau từ đó củng cố kiến thức và kĩ năng làm bài cho học sinh. Dạng 1: Vận dụng trực tiếp hằng đẳng thức: Từ tổng thành tích, từ tích thành tổng. Ví dụ 1: Tính 2 1 a) x 2 b) (2m + 3n)2 c) (2y – x)( x2 + 2xy + 4y2) d) (a + b + c)2 Giải 2 2 1 2 1 1 2 1 a) x x 2.x. x x 2 2 2 4 b) (2m + 3n)2 = (2m)2 + 2.2m.3n + (3n)2 = 4m2 + 12mn + 9n2 c) (2y – x)( x2 + 2xy + 4y2) = (2y – x)[( 2y)2 + 2yx + x2)] = (2y)3 – x3 = 8y3 – x3 d) (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac Sau khi hướng dẫn học sinh làm các bài tập trên, giáo viên đưa ra một số lưu ý: - Một số học sinh chưa nhận dạng được các tích này có dạng hằng đẳng thức nên thực hiện phép nhân đa thức với đa thức để tính. Thực ra ở bài tập này chính là vận dụng hằng đẳng thức theo chiều (tích thành tổng) để phá ngoặc rồi thu gọn đơn thức đồng dạng.
10. 9 - Học sinh thường quên không thực hiện đóng ngoặc ở những biểu thức là phân số hoặc đơn thức có từ 2 thừa số trở lên hoặc đa thức. 2 2 1 1 Chẳng hạn ở câu a học sinh không viết mà viết , ở câu b học sinh 2 2 không viết (2m)2 mà viết 2m2, dẫn đến kết quả của bài toán sai. - Ở câu d để vận dụng hằng đẳng thức phải nhóm các số hạng (Khi gặp bình phương của nhiều số hạng). Bài toán này dành cho học sinh khá, giỏi. Tương tự câu d ta cũng tính được các kết quả sau: (a – b + c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc + 2ac (a – b – c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ac Ví dụ 2: Viết các tổng sau về dạng tích. a) – 6x + 9x2 + 1 b) – 9x2 + 6x – 1 c) 8x3 – 6yx2 + 12x2y – y3 Giải a) – 6x + 9x2 + 1 = 9x2 – 6x + 1 = (3x)2 – 2.3x.1 + 12 = (3x – 1)2 b) – 9x2 + 6x – 1 = – (9x2 – 6x + 1) = – (3x – 1)2 c) 8x3 – 6yx2 + 12x2y – y3 = (2x)3 – 3 (2x)2y + 3.(2x) y2 – y3 = (2x – y)3 Sau khi hướng dẫn học sinh làm các bài tập trên, giáo viên đưa ra một số lưu ý: - Ở câu a, c một số học sinh chưa nhận ra hằng đẳng thức "ẩn" trong biểu thức này, nếu khéo léo biến đổi thêm một bước để xác định được A và B thì sẽ xuất hiện hằng đẳng thức. - Một số trường hợp các biểu thức chưa đúng dạng hằng đẳng thức mà phải đổi vị trí hạng tử như câu a, c. - Để xuất hiện hằng đẳng thức phải đổi dấu hạng tử bằng cách đưa các hạng tử vào trong ngoặc mà trước ngoặc là dấu “–” như câu b. - Tuy nhiên không phải lúc nào đề bài cũng chỉ rõ việc dựa vào hằng đẳng thức mà câu hỏi khác đi chẳng hạn: Viết tổng thành tích, tính nhanh, thêm hạng tử vào
11. 10 biểu thức để có hằng đẳng thức, điền biểu thức thích hợp vào ô vuông, . mấu chốt ở đây nếu cho một biểu thức ở dạng tích thì tìm cách biến đổi về dạng tổng, nếu cho một đa thức thì tìm cách biến đổi về dạng tích. * Phương pháp: - Nhận dạng hằng đẳng thức, xác định biểu thức thứ nhất, biểu thức thứ hai và viết kết quả theo đúng công thức đã học. - Thực hiện phép tính trên các hạng tử cho gọn. Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức. Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức: a) x2 – 4y2 tại x = 70, y = 15 b) 742 + 242 – 48.7 Giải a) x2 – 4y2 = x2 – (2y)2 = (x + 2y)(x – 2y) Thay x = 70, y = 15 ta có giá trị của biểu thức: (70 + 2.15)(70 - 2.15) = 100.40 = 4000 b) 742 + 242 – 48.74 = 742 + 242 – 2.24.74 = (74 – 24) 2 = 502 = 2500 Giáo viên cần lưu ý: Cho học sinh xác định đúng A 2 và B2 ở câu a hay A và B ở câu b rồi khai triển theo hằng đẳng thức, sau đó thế số vào bài toán sẽ hợp lí hơn . Không nên thay trực tiếp hoặc dùng máy tính để tính. * Phương pháp : - Dựa vào hằng đẳng thức biến đổi biểu thức đã cho theo chiều từ tích thành tổng, từ tổng thành tích. - Thay số (đối với đa thức). * Mở rộng : Đối với học sinh khá giỏi giáo viên có thể đưa ra một số bài tập tính giá trị của biểu thức chứa hai biến. Ví dụ 2: Cho x – y = 7. Tính giá trị của biểu thức A = x(x + 2) + y(y – 2) – 2xy + 37
12. 11 Ở bài tập này nếu vận dụng phương pháp tính giá trị của biểu thức như ở trên thì không làm được. Vậy giáo viên gợi ý cho học sinh biến đổi biểu thức A để xuất hiện lũy thừa của x – y. Giải: A = x(x + 2) + y(y – 2) – 2xy + 37 = x2 + 2x + y2 – 2y – 2xy + 37 = (x2 – 2xy + y2) + (2x – 2y) + 37 = (x – y)2 + 2(x – y) + 37 Thay x – y = 7 ta có: A = 72 + 2.7 + 37 = 100. Ví dụ 2: Cho x + y = 3 và x2 + y2 = 5. Tính x3 + y3 Ta có x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2), để tính được x3 + y3 thì phải tính được xy. Giáo viên gợi ý học sinh dựa vào 2 dữ kiện đề bài theo hằng đẳng thức “bình phương của một tổng’’ tìm cách tính được xy. Giải: Từ x + y = 3 suy ra (x + y)2 = 9 x2 + 2xy + y2 = 9 2xy = 9 – 5 xy = 2 Ta có x3 + y3 = (x + y)(x2 – x y + y2) = 3(5 – 2) = 3.3 = 9 Giáo viên cần lưu ý: Trên cơ sở bài tập trên cần cho học sinh làm các bài tập tương tự chẳng hạn cho biết x – y, x2 + y2 tính x3 – y3 . Dạng 3: Rút gọn biểu thức Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 +x3) b) (2x + y)(4x2 – 2xy +y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) c) (2x – 1)2 – (2x + 2)2 d) (a + b)3 – 3ab(a + b)
13. 12 Giải: a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 +x3) = x3 + 33 – 54 – x3 = 27 – 54 = –27 * Lưu ý: Câu a có thể thay câu hỏi là “Chứng minh rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào x” ( vì kết quả câu a sau khi rút gọn là hằng số). b) (2x + y)(4x2 – 2xy +y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) = (2x)3 + y3 – [(2x)3 – y3] = 8x3 + y3 – 8x3 + y3 = 2 y3 * Lưu ý: - Kết quả câu b không phụ thuộc vào biến x, có thể thay câu hỏi: “Chứng minh rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào x”. - Học sinh thường không đóng ngoặc ở kết quả tích hai đa thức khi trước tích là dấu “–” như không viết – [(2x)3 – y3] mà viết – (2x)3 – y3 dẫn đến rút gọn sai. c) (2x – 1)2 – (2x + 2)2 = 4x2 – 4x + 1 – (4x2 + 8x + 4) = 4x2 – 4x + 1 – 4x2 – 8x – 4 = –12x – 3 * Lưu ý: - Biểu thức trên có dạng hằng đẳng thức “Hiệu hai bình phương” nên có cách thứ 2 như sau: (2x – 1)2 – (2x + 2)2 = [(2x – 1) + (2x + 2)][ (2x – 1) – (2x + 2)] = (2x – 1 + 2x + 2)(2x – 1 – 2x – 2) = (4x + 1)(–3) = – 12x – 3 - Giáo viên có thể hỏi thêm: + Tính giá trị của biểu thức trên tại x = 1 đưa về bài toán tính giá trị của biểu thức. + Nếu cho – 12x – 3 = 0 tìm được x = ? đưa về bài toán tìm x. d) (a + b)3 – 3ab(a + b)
14. 13 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2 = a3 + b3 * Lưu ý: - Có thể đưa về bài toán chứng minh đẳng thức: (a + b)3 – 3ab(a + b) = a3 + b3 - Thực chất của chứng minh đẳng thức chính là bài toán rút gọn nhưng đã biết kết quả bởi vậy qua bài tập này giáo viên cung cấp cho học sinh các cách chứng minh một đẳng thức. - Thông thường ta biến đổi vế phức tạp để được kết quả là vế còn lại. * Phương pháp: - Xem xét xem các hạng tử hoặc tích các đa thức có tạo thành hằng đẳng thức hay không? Nếu có thì vận dụng hằng đẳng thức theo chiều tích thành tổng. - Thực hiện các phép tính bỏ dấu ngoặc rồi thu gọn các đơn thức đồng dạng. Dạng 4 : Tìm x Ví dụ: Tìm x, biết: a) x2 – 2x + 1 = 25 b) x3 – 3x2 = – 3x +1 Giải a) x2 – 2x + 1 = 25 (x – 1)2 = 52 (x – 1)2 – 52 = 0 (x – 1 + 5)( x – 1 – 5) = 0 (x + 4)(x – 6) = 0 x + 4 = 0 hoặc x – 6 = 0 Vậy x = – 4 và x = 6 b) x3 – 3x2 = – 3x +1 x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0 (x – 1)3 = 0 x – 1 =0 Vậy x = 1
15. 14 * Lưu ý: Giáo viên cần nhắc học sinh với những bài toán tìm x, sau khi rút gọn hai vế ta có bậc của biến từ bậc hai trở lên thì tìm cách biến đổi để xuất hiện hằng đẳng thức theo chiều từ tổng thành tích. Từ đó vận dụng tích chất lũy thừa để tìm x. * Phương pháp : Tổng quát Dạng: A 2 = k2 (k R) A 2 – k2 = 0 (A – k)(A + k) = 0 A – k =0 hoặc A + k = 0 A = k hoặc A = – k Dạng: (A + B)3 = 0 A + B = 0 Dạng 5 : Chứng minh giá trị biểu thức luôn dương, luôn âm. Ví dụ 1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến. a) A = 4x2 + 4x + 2 b) B = 2x2 – 2x + 1 Giải a) A = 4x2 + 4x + 2 = (2x)2 + 2.2x.1 +1 +1 = (2x + 1)2 + 1. Đến đây có hai cách lập luận như sau: Cách 1: Nhận xét: (2x + 1)2 0 với mọi x và 1 > 0 với mọi x Nên (2x + 1)2 + 1 > 0 với mọi x Cách 2: Nhận xét : (2x + 1)2 0 với mọi x (2x + 1)2 + 1 1 với mọi x (2x + 1)2 + 1> 0 với mọi x Vậy giá trị của biểu thức A luôn dương với mọi giá trị của biến x.
16. 15 b) Gợi ý: tìm cách biến đổi biểu thức B xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một hiệu. B = 2x2 – 2x + 1 = 2(x2 – x + 1 ) 2 = 2(x2 – 2x 1 + 1 – 1 + 1 ) 2 4 4 2 = 2[(x – 1 )2 + 1 ] 2 4 = 2(x – 1 )2 + 1 2 2 Các bước tiếp theo làm tương tự như câu a. * Mở rộng: ở câu a từ cách 2 giáo viên hỏi thêm: + Biểu thức A có giá trị bằng 1 khi nào ? ( x = – 1 ) 2 1 + Với x – thì A có giá trị như thế nào ? ( A > 1) 2 Từ đó giáo viên dẫn dắt giá trị nhỏ nhất của A là 1 khi x= – 1 . Đó chính là 2 bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. * Phương pháp: Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x): - Biến đổi f(x) = a(x + b)2 + m ( a > 0, b và m là hằng số) - Nhận xét về f(x): (x + b)2 > 0 với mọi x a(x + b)2 > 0 với mọi x a(x + b)2 + m > m với mọi x - Dấu "=" xảy ra khi (x + b)2 = 0 x =  b Từ đó kết luận giá trị nhỏ nhất của f(x). * Lưu ý:
17. 16 - Với m > 0 khi thực hiện xong bước nhận xét thì ta đã chứng minh được giá trị biểu thức luôn dương với mọi x. - Đối với các biểu thức chứa hai biến thì cách tìm giá trị nhỏ nhất hoặc chứng minh giá trị biểu thức luôn dương hoàn toàn tương tự. Ví dụ 2: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau luôn âm với mọi giá trị của biến. B = –15 – x2 6x Giải: B = –15 – x2 6x –x2 6x – 9 – 6 – x2 – 6x 9 – 6 – x – 3 2 – 6 = x 3 2 6 Nhận xét : x 3 2 6 0 với mọi x 2 x 3 6 0 với mọi x Vậy giá trị của biểu thức B luôn âm với mọi giá trị của biến. * Mở rộng : Giáo viên có thể hỏi thêm : + Với giá trị nào của x thì B có giá trị bằng – 6? (x = 3) + Với x 3 thì B có giá trị như thế nào? (B 0, b và m là hằng số) - Nhận xét về f(x): (x + b)2 0 với mọi x m – a(x + b)2 m với mọi x - Dấu "=" xảy ra khi (x + b)2 = 0 x=  b
18. 17 Từ đó kết luận giá trị lớn nhất của f(x) * Lưu ý: Nếu m < 0 thì khi thực hiện xong bước nhận xét thì ta đã chứng minh được giá trị biểu thức luôn âm với mọi x. 3. Kết quả đạt được: Năm học 2014 – 2015 lại được sự phân công của Ban giám hiệu tôi đảm nhận dạy môn Toán 8. Từ việc áp dụng một số kĩ năng khi giảng dạy “Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ và vận dụng chúng vào giải một số dạng toán 8” đã góp phần nâng cao chất lượng môn toán 8 như: đa số học sinh biến đổi thành thạo các hằng đẳng thức theo hai chiều, vận dụng được các hằng đẳng thức khi giải các dạng toán đã nêu ở trên, nâng cao được kĩ năng làm bài cẩn thận, chính xác. Điều đó thể hiện rõ nét khi tôi cho học sinh làm bài kiểm tra chương I. Kết quả đạt được như sau: Chất lượng làm bài Số lượng (bài) Tỉ lệ (%) Giỏi 8 20% Khá 11 27,5% Trung bình 19 47,5% Yếu 2 5%
19. 18 Phần ba. KẾT THÚC VẤN ĐỀ Khi áp dụng đề tài này trong giảng dạy, tôi nhận thấy hầu hết học sinh đã vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức theo hai chiều, đa số học sinh đã có kỹ năng làm bài tương đối tốt, không còn nhầm lẫn về dấu, tính toán nhanh nhẹn hơn và đã nắm được phương pháp giải các dạng bài tập, và nhớ được những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài tập này. Qua việc áp dụng đề tài này trong giảng dạy, tôi rút ra được một số bài học kinh nghiệm sau đây: * Thuận lợi: - Giúp học sinh định hướng được kiến thức cần sử dụng, nâng cao được kĩ năng làm bài cẩn thận, chính xác. - Phương pháp chỉ ra cái sai để tìm ra cái đúng rất dễ dạy và dễ học. - Giúp học sinh biết thêm phương pháp tính nhẩm, tính nhanh đây là một phương pháp quan trọng để phân tích đa thức thành nhân tử sau này; làm cơ sở cho các bài toán rút gọn phân thức, quy đồng mẫu các phân thức, và giải phương trình tích ở các chương sau. - Học sinh được củng cố kiến thức, khắc sâu kiến thức hơn. Đồng thời kĩ năng giải toán cũng được nâng cao hơn. - Đề tài này có thể được áp dụng ngay trong tiết dạy, tại một thời điểm phù hợp của bài học, để học sinh nắm nội dung bài học một cách dễ dàng hơn. * Khó khăn: Trình độ học sinh trong lớp không đồng đều, nhiều em nhận thức chậm và còn lười học, thậm chí nhiều em rỗng nhiều kiến thức cơ bản. Tuy nhiên còn một số học sinh thực sự yếu kém thì kỹ năng làm bài chưa chắc chắn, việc vận dụng các hằng đẳng thức chưa linh hoạt. Vấn đề này tôi sẽ tiếp tục có kế hoạch kèm cặp thêm trong quá trình dạy tiếp theo để nâng cao kỹ năng giải toán cho các em.
20. 19 Qua cách làm có hiệu quả trên, tôi sẽ luôn vận dụng tốt cách thực hiện này trong mỗi tiết dạy. Tôi có một số ý kiến sau: - Giáo viên cần tìm hiểu phân loại đối tượng học sinh để có kế hoạch giảng dạy thích hợp. - Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần nhấn mạnh, lưu ý những vấn đề học sinh thường nhầm lẫn nhất. - Đừng làm thay, giải thay cho học sinh mà cần chọn lựa hệ thống câu hỏi tạo ra tình huống có vấn đề để gây sự chú ý buộc học sinh phải tham gia vào bài học. - Tăng cường thời gian cho học sinh làm việc trong giờ học toán, giáo viên chúng ta chỉ hổ trợ giúp đỡ các em khi cần. - Nên kết hợp vừa giảng vừa luyện để học sinh nắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức. Trên đây là một vài biện pháp của tôi nhằm giúp học sinh khắc phục những sai lầm khi thực hiện phép toán ở một số bài học của Toán 8. Tuy nhiên, việc trình bày này chắc chắn không khỏi thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp của quý thầy cô để bản thân tôi được học tập, tích lũy thêm kinh nghiệm nhằm phục vụ tốt hơn cho công tác giảng dạy. Lạc Hòa, ngày 20 tháng 10 năm 2014 Người thực hiện Trịnh Kim Ngân
21. MỤC LỤC Phần một. ĐẶT VẤN ĐỀ 1 1. Lí do chọn đề tài: 1 2. Mục đích nghiên cứu: 1 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: 2 3.1. Đối tượng nghiên cứu: 2 3.2. Phạm vi nghiên cứu: 2 Phần hai. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 3 1. Đặc điểm tình hình: 3 1.1. Thuận lợi: 3 1.2. Khó khăn: 3 1.3. Thực trạng: 3 1.3.1. Số liệu thống kê: 3 1.3.2. Nguyên nhân thực trạng: 4 2. Các biện pháp thực hiện để nâng cao cải tiến thực trạng: 4 2.1. Một số lưu ý khi dạy lý thuyết 4 2.1.1. Chứng minh sự tồn tại của các hằng đẳng thức để gây sự tin tưởng của học sinh về tính đúng đắn của công thức. 4 2.1.3. Sau khi học xong các hằng đẳng thức, giáo viên chỉ ra cách nhớ cho học sinh thông qua việc so sánh các hằng đẳng thức cụ thể như sau: 6 2.1.3.1. Cách đọc các biểu thức: 6 2.1.3.2. Sự giống nhau, khác nhau của các hằng đẳng thức: 7 2.1.3.3. Mối quan hệ giữa các hằng đẳng thức: 7 2.2. Hướng dẫn học sinh vận dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải một số dạng toán 8: 7
22. Dạng 1: Vận dụng trực tiếp hằng đẳng thức: Từ tổng thành tích, từ tích thành tổng. 8 Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức 10 Dạng 3: Rút gọn biểu thức 11 Dạng 4 : Tìm x 13 Dạng 5 : Chứng minh giá trị biểu thức luôn dương, luôn âm 14 3. Kết quả đạt được: 17 Phần ba. KẾT THÚC VẤN ĐỀ 18