Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp suy luận hình học - Nguyễn Đức Hải

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp suy luận hình học - Nguyễn Đức Hải

1. PHÒNG GIÁO DỤC KIM SƠN TRƯỜNG THCS CỒN THOI TỔ TỰ NHIÊN === SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN HÌNH HỌC Người thực hiện: Nguyễn Đức Hải - Giáo viên trường THCS Cồn Thoi Cồn Thoi, tháng 4 năm 2019
2. Phương phỏp suy luận hỡnh học Lời cảm ơn Để hoàn thành đề tài này, chúng tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ rất nhiều của các thày cô giáo trong tổ KHTN trường THCS Cồn Thoi - Kim Sơn – Ninh Bình cùng bạn bè đồng nghiệp. Trong quá trình thực hiện đề tài, chúng tôi không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thày cô giáo và bạn bè đồng nghiệp để đề tài này được hoàn thiện hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn. Cồn Thoi, tháng 4 năm 2019 NGƯỜI THỰC HIỆN Nguyễn Đức Hải Trường THCS Cồn Thoi2 Người thực hiện: Nguyễn Đức Hải
3. Phương phỏp suy luận hỡnh học MỤC LỤC 1. Phần mở đầu 2. Phần nội dung Chương I. Cơ sở lí luận Chương II. Chứng minh hình học Chương III. Bài tập 3. Phần kết luận Trường THCS Cồn Thoi3 Người thực hiện: Nguyễn Đức Hải
4. Phần mở đầu 1) Lí do chọn đề tài Trong quá trình giảng dạy các môn nói chung và môn hình học nói riêng thì việc tìm ra lời giải một bài toán đối với học sinh là tương đối khó khăn và thường là không có hệ thống và phương pháp cụ thể, nhất là những bài toán chứng minh hình học. Học sinh đọc sách giáo khoa và sách bài tập thì dễ hiểu nhưng để làm được bài thì lại gặp khó khăn. Bởi vì những chứng minh đó được lập luận chặt chẽ hợp lôgic nhẹ nhàng dẫn đến một hệ quả tất yếu. Nhưng làm sao biết được cái trật tự lôgic đó? Làm sao biết được phải bắt đầu từ chỗ nào? Phải làm gì trước, làm gì sau? Một trong những phương pháp để tìm được lời giải là phương pháp suy luận phân tích, là phương pháp đơn giản, dễ thực hiện và liên kết được điều phải chứng minh với những giả thiết và những điều đã biết. 2) Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: phương pháp suy luận phân tích. - Phạm vi nghiên cứu: Dùng phương pháp suy luận phân tích để tìm và giải bài toán chứng minh nói chung và bài tập hình học trong chương trình THCS 3) Ý nghĩa - Về mặt lí luận, đề tài này sẽ góp phần minh hoạ cho phương pháp suy luận phân tích để làm rõ mối liên hệ lôgic giữa điều cần chứng minh với điều cần có để chứng minh. - Về mặt ý nghĩa thực tiễn, kết quả nghiên cứu của đề tài này có thể được sử dụng để tổ chức dạy chuyên đề về phương pháp chứng minh hình học chương trình lớp 8
5. Phương pháp suy luận hình học Phần nội dung Chương I. CƠ SỞ LÍ LUẬN I) SUY LUẬN TOÁN HỌC 1) Suy luận là gì? Suy luận là quá trình suy nghĩ đi từ một hay nhiều mệnh đề cho trước rút ra mệnh đề mới. Mỗi mệnh đề đó cho trước gọi là tiền đề của suy luận. Mệnh đề mới được rút ra gọi là kết luận hay hệ quả. Ký hiệu: X1, X2, , Xn Y Nếu X1, X2, , Xn Y là hằng đúng thì ta gọi kết luận Y là kết luận logic hay hệ quả logic Ký hiệu suy luận logic: X ,X , ,X 1 2 n Y 2) Suy diễn Suy diễn là suy luận hợp logic đi từ cái đúng chung đến kết luận cho cái riêng, từ cái tổng quát đến cái ít tổng quát. Đặc trưng của suy diễn là việc rút ra mệnh đề mới từ cái mệnh đề đó có được thực hiện theo các qui tắc logic. X Y,X - Quy tắc kết luận: Y X Y,Y - Quy tắc kết luận ngược: X X Y,Y Z - Quy tắc bắc cầu: X Z X Y - Quy tắc đảo đề: Y X X Y Z - Quy tắc hoán vị tiền đề: Y X Z X Y Z - Quy tắc ghép tiền đề: X  Y Z 3) Suy luận quy nạp: Suy luận quy nạp là phộp suy luận đi từ cái đúng riêng tới kết luận chung, từ cái ít tổng quát đến cái tổng quát hơn. Đặc trưng của suy luận quy nạp là không có quy tắc chung cho quá trình suy luận, mà chỉ ở trên Trường THCS Cồn Thoi5 Người thực hiện: Nguyễn Đức Hải
6. Phương pháp suy luận hình học cơ sở nhận xét kiểm tra để rút ra kết luận. Do vậy kết luận rút ra trong quá trình suy luận quy nạp có thể đúng có thể sai, có tính ước đoán. Vd: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 10 = 7 + 3 Kết luận: Mọi số tự nhiên chẵn lớn hơn 2 đều là tổng của 2 số nguyên tố. a) Quy nạp không hoàn toàn : Là phép suy luận quy nạp mà kết luận chung chỉ dựa vào một số trường hợp cụ thể đó được xét đến. Kết luận của phép suy luận không hoàn toàn chỉ có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết. Sơ đồ: A1 , A2 , A3 , A4 , A5 An là B A1 , A2 , A3 , A4 , A5 An là 1 số phần tử của A Kết luận: Mọi phần tử của A là B b) Phép tương tự: Là phép suy luận đi từ một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng để rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau khác của hai đối tượng đó. Kết luận của phép tương tự có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết. Sơ đồ : A có thuộc tính a, b, c, d B có thuộc tính a, b, c Kết luận : B có thuộc tính d . c) Phép khái quát hóa: Là phép suy luận đi từ một đối tượng sang một nhóm đối tượng nào đó có chứa đối tượng này. Kết luận của phép khái quát hóa có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết. d) Phép đặc biệt hóa: Là phép suy luận đi từ tập hợp đối tượng sang tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu. Kết luận của phép đặc biệt hóa nói chung là đúng, trừ các trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến thì kết luận của nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết. Trường THCS Cồn Thoi6 Người thực hiện: Nguyễn Đức Hải
7. Phương pháp suy luận hình học Trong toán học phép đặc biệt hóa có thể xảy ra các trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến: Điểm có thể coi là đường tròn có bán kính là 0; Tam giác có thể coi là tứ giác khi một cạnh có độ dài bằng 0; Tiếp tuyến có thể coi là giới hạn của cát tuyến của đường cong khi một giao điểm cố định còn giao điểm kia chuyển động đến nó. II) PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TOÁN HỌC 1) Phương pháp chứng minh tổng hợp: Nội dung: Phương pháp chứng minh tổng hợp là phương pháp chứng minh đi từ điều đã cho trước hoặc điều đã biết nào đó đến điều cần tìm, điều cần chứng minh. Cơ sở: Quy tắc logic kết luận Sơ đồ: A B C Y X Trong đó A là mệnh đề đó biết hoặc đó cho trước; B là hệ quả logic của A; C là hệ quả logic của B; ; X là hệ quả lụgớc của Y. Vai trò và ý nghĩa: + Phương pháp chứng minh tổng hợp dễ gây ra khó khăn là đột ngột, không tự nhiên vì mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát nếu là mệnh đề đúng nào đó thì nó phụ thuộc vào năng lực của từng học sinh. + Phương pháp chứng minh tổng hợp ngắn gọn vì thường từ mệnh đề tiền đề ta dễ suy luận trực tiếp ra một hệ quả logic của nó. + Phương pháp chứng minh tổng hợp được sử dụng rộng rãi trong trình bày chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán ở trường phổ thông. 2) Phương pháp chứng minh phân tích đi lên: Nội dung: Phương pháp chứng minh phân tich đi lên là phương pháp chứng minh suy diễn đi ngược lên đi từ điều cần tìm, điều cần chứng minh đến điều đã cho trước hoặc đã biết nào đó. Cơ sở: Quy tắc logic kết luận. Sơ đồ: X  Y   B  A Trong đó: X là mệnh đề cần chứng minh; Y là tiền đề logic của X ; ; A là tiền đề logic của B; A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho trước; Vai trò và ý nghĩa: Trường THCS Cồn Thoi7 Người thực hiện: Nguyễn Đức Hải
8. Phương pháp suy luận hình học + Phương pháp chứng minh phân tích đi lên tự nhiên, thuận tiện vì mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát là mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng minh, hay mệnh đề kết luận. + Phương pháp chứng minh phân tích đi lên thường rất dài dòng vì thường từ mệnh đề chọn là mệnh đề kết luận ta có thể tìm ra nhiều mệnh đề khác nhau làm tiền đề logic của nó. + Phương pháp chứng minh phân tích đi lên được sử dụng rộng rãi trong phân tích tìm ra đường lối chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán ở trường phổ thông. Ví dụ: Bài toán “ Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước sau 12 giờ thì đầy bể. Biết rằng lượng nước mỗi giờ chảy vào bể của vòi 1 gấp 1,5 lần lượng nước của vòi 2 chảy vào bể. Hỏi sau mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?” 3) Phương pháp chứng minh phân tích đi xuống : Nội dung: Phương pháp chứng minh phân tích đi xuống là phương pháp chứng minh suy diễn đi từ điều cần tìm đến điều đã biết nào đó. Cơ sở: Quy tắc logic kết luận. Sơ đồ: X Y B A Trong đó: X là mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng minh; Y là hệ quả logic của X ; ; A là hệ quả logic của B và A là mệnh đề đó biết nào đó. Nếu A sai thì X sai. Nếu A đúng thì X có thể đúng có thể sai. Lúc này chúng ta phải dùng phương pháp tổng hợp đi từ A tới X. guyễn Đức Hải Trường THCS Cồn Thoi8 Người thực hiện: Nguyễn Đức Hải
9. Phương pháp suy luận hình học Chương II. CHỨNG MINH HÌNH HỌC 1) Ví dụ mở đầu Cho tam giác ABC (AC<AB). Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D, cắt BE tại H. Chứng minh: a) BD = DE A b) BE  AD 1 2 AC < AB AE = AB D GT µ µ C A1 A2 B 1 BD = BE 2 KL H BE  AD E Giải: Phân tích Chứng minh a) cm BD = DE  a) BDA và EDA có: AB AE (gt) cm BDA = EDA µ µ A1 A2 (gt) AD chung  AB AE (gt) µ µ Có: A1 A2 (gt) BDA = EDA (c.g.c) AD chung BD = DE Đủ điều kiện (c.g.c) b) cm BE  AD (Hµ = 900)  b) ABH và AEH có: µ µ cm H 1 = H 2 AB AE (gt) µ µ  A1 A2 (gt) AH chung cm ABH = AEH Trường THCS Cồn Thoi9 Người thực hiện: Nguyễn Đức Hải
10. Phương pháp suy luận hình học  AB AE (gt) ABH = AEH µ µ Có: A1 A2 (gt) µ µ H 1 = H 2 AH chung µ µ 0 mà H 1 + H 2 = 180 Đủ điều kiện (c.g.c) µ µ 0 0 nên H 1 = H 2 = 180 : 2 = 90 Vậy BE  AD Ta có thể chứng minh BE  AD bằng cách chứng minh AD là đường trung trực của BE. 2) Bài tập 1 Cho tam giác ABC và trung tuyến BD. Chứng minh rằng nếu M là trung điểm của BD thì AN cắt BC tại điểm N và CN = 2BN. C AD = CD GT BM = DM P KL CN = 2BN D N M A B Giải: Phân tích Chứng minh Cách 1 Cách 1 cm CN = 2BN Gọi P là trung điểm của CN Nếu lấy P là trung điểm của CN thì DP là đường tung bình  của tam giác ACN cm CP = PN = BN AN // DP  Tam giác BDP có MN đi Trường THCS Cồn Thoi 10 Người thực hiện: Nguyễn Đức Hải
11. Phương pháp suy luận hình học qua trung điểm cạnh BD và cm AN // DP song song với cạnh DP nên Đúng vì DP là đường trung bình của tam đi qua trung điểm của BP. giác ACN BN = PN = CP Vậy CN = 2BN Cách 2 Hướng dẫn: C - Vẽ BE = AB - Chứng minh N là trọng D P N M tâm của tam giác ACE A B E 3) Bài tập 2 Cho tam giác ABC. Trên đường phân giác AD của góc A, lấy một điểm D bất kì. BD cắt AC tại M, CD cắt AB tại N. Chứng minh rằng nếu A BM = CN thì tam giác ABC cân. 1 2 E 1 2 M N µ µ K A1 A2 D 3 2 2 GT D phân giác của Aµ 1 1 B C BM = CN KL ABC cân Trường THCS Cồn Thoi 11 Người thực hiện: Nguyễn Đức Hải
12. Phương pháp suy luận hình học Giải: Đây là một bài tương đối khó. Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng: Giả sử ABC không cân (cụ thể là AB NE Giả sử AB BM Lấy điểm K trên AB sao cho  AK=AB · µ µ · µ µ CEN E1 E2 ECN C2 C3 K nằm giữa A và C và A·KD > µ µ µ µ µ CM E1 C2 và E2 C3 C2 µ µ a) cm E1 C2 µ µ · Xét ABD và AKD có mà E1 B2 (cùng bù với BNE )  AD chung µ µ µ µ cm B2 C2 A1 A2 AK AB Lấy điểm K trên AB sao cho AK=AB ABD = AKD (c.g.c) ABD = AKD (c.g.c) µ · µ B2 AKD C2 (1) (1) và BD = KD (2) µ · B2 AKD · µ cm AKD C2 Trong CKD, góc CKD kề bù · Đúng vì AKD là góc ngoài của với góc nhọn AKD nên nó là góc tù: CKD · µ CKD C2 KD < CD (3) µ µ b) Chứng minh E2 C3 Từ (2) và (3) suy ra: Trường THCS Cồn Thoi 12 Người thực hiện: Nguyễn Đức Hải
13. Phương pháp suy luận hình học µ µ  cm: CM > ME BD BN Hai tam giác BCM và CBN có  BC chung AK AB nên CM > BN (4) µ µ BCM và CBN có BC B1 C1 chung, BM=CN (gt) Kẻ NE//BM và ME//AB cắt nhau  tại E thì ta có: BN = ME (5) µ µ µ µ cm B1 C1  CD > BD BM = NE (6) và E1 B2 (7) mà BD = KD (từ (1)) Từ (4) và (5) suy ra CM > ME  µ µ cm CD > KD vậy trong CME có E2 C3 đúng vì C·KD kề bù với góc nhọn µ µ Từ (1) và (7) suy ra E1 C2 A·KD nên là góc tù: · µ CKD > C2 · µ µ · µ µ CEN E1 E2 ECN C2 C3 CN > EN (8) Từ (6) và (8) suy ra CN > BM (trái giả thiết) Điều này chứng tỏ điều giả sử là sai. Vậy AB = AC tức là tam giác ABC cân tại A Trường THCS Cồn Thoi 13 Người thực hiện: Nguyễn Đức Hải
14. Phương pháp suy luận hình học Chương III. Bài tập Bài 1 (Lớp 7) Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song m và n lần lượt tại A và B. Chứng minh rằng hai tia phân giác của cặp góc so le trong tương ứng song song với nhau. Bài 2 (Lớp 7) Cho tam giác ABC với các trung điểm M và N của AB và AC. Kéo dài N và CM những đoạn NB’ = BN và MC’ = CM. Chứng minh A là trung điểm của B’C’. Bài 3 (Lớp 7) Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Chứng minh rằng: a) AB = CD, AD = BC b) AB // CD, AD // BC Bài 4 Cho tam giác ABC rtong đó Bµ Cµ = 90 0. Kẻ tia phân giác AD của góc A D BC). Chứng minh A·DB = 450 Bài 5 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có hai đường phân giác BM và CN bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác cân. Trường THCS Cồn Thoi 14 Người thực hiện: Nguyễn Đức Hải
15. Phương pháp suy luận hình học Phần kết luận 1) Cùng một vấn đề có thể phân tích theo các cách khác nhau từ đó dẫn đến nhiều cách giải khác nhau. Vì vậy, khi đã phân tích và tìm ra lời giải rồi, chúng ta cần xem xét lại xem có phân tích theo cách khác được không, từ đó sẽ có lời giải mới mà có khi chúng ta lại phát hiện ra cái mới. 2) Suy luận phân tích cần phải luyện tập nhiều, dần dần có kinh nghiệm và hình thành cái quan trọng nhất là trực giác mà trong đó, sự suy luận phân tích chỉ diễn ra rất nhanh, rất gọn trong não. Đó là phản xạ tự nhiên, sự nhạy bén trong phân tích mà người học toán cần phải đạt được. 3) Phép suy luận nói chung và phép suy luận phân tích nói riêng rất cần trong thực tiễn chứ không chỉ riêng trong học toán. Trong thực tế, khi gặp một vấn đề phức tạp khó giải quyết, phải làm rất nhiều công việc khác để giải quyết vấn đề đó thì chúng ta cần phải ngẫm nghĩ xem cần làm cái gì trước, cái gì sau, sử dụng những cái đã có như thế nào, những cái còn thiếu thì giải quyết như thế nào và khi đó thì phép suy luận phân tích đi lên là một cách tối ưu. 4) Hạn chế của đề tài này, tôi chỉ dừng ở phép suy luận phân tích đi lên. Chúng ta có thể sử dụng kết hợp cả phương pháp phân tích đi xuống và sau đó, ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh tổng hợp để hệ thống tư duy được phát triển đầy đủ. Rất mong được sự đóng góp ý kiến, nhận xét của các thày cô, bạn bè đồng nghiệp để tiếp tục nghiên cứu sâu hơn, cụ thể hơn và có dịp được trình bày đầy đủ hơn, góp phần nâng cao khả năng học hình học của học sinh. Tôi xin chân thành cảm ơn! Cồn Thoi, tháng 04 năm 2019 NGƯỜI THỰC HIỆN Nguyễn Đức Hải Trường THCS Cồn Thoi 15 Người thực hiện: Nguyễn Đức Hải