Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Khối 7

Nội dung text: Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Khối 7

1. Bài 1:(5 điểm) a)Thực hiện phép tính: 212.35 46.92 510.73 255.492 A 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 6 5 9 5 1 4 3 4 .9 6 .120 b. B = 3 1 3 2 d. D = 4 12 11 6 3 15 5 8 .3 6 1 1 1 1 1 c. C = 1 1 1 1 1 3 6 10 15 210 C©u 2 (4 ®iÓm): T×m x biÕt: a. 3 2x 1 1 ( 2)2 3( 2)3 b. x2 (x 2) 4(x 2) 0 c. ( x-2)(x+3) < 0 d. 3x 2 4.3x 1 3x 1 66 Bài 3: (5điểm) 213 a) Ba ph©n sè cã tæng b»ng , c¸c tö cña chóng tØ lÖ víi 3; 4; 5 và c¸c mÉu 70 cña chóng tØ lÖ víi 5; 1; 2. T×m ba ph©n sè ®ã. b) Cho các số a,b,c ,x,y,z thỏa mãn : abc 0 và x y z chứng minh: a 2b c 2a b c 4a 4b c a b c ( với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) x 2y z 2x y z 4x 4y z Bài 4: ( 4điểm) a) Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: ( x-y)2014 +x y =2 b) Cho 5 số nguyên phân biệt a1, a2, a3, a4 ,a5, xét tích : P=(a1-a2)(a1-a3)(a1-a4)(a1-a5) (a2-a3)(a2-a4)(a2-a5)(a3-a4)(a3-a5)(a4-a5) Chứng minh P 288 Câu 5 (4điểm): a) Tìm x, y, z, biết: 2x = 3y; 4y = 5z và x + y + z = 11 b) Tìm x, biết: x 1 x 2 x 3 4x Câu 6(3 điểm). Cho hàm số: y = f(x) = -4x3 + x a) Tính f(0), f(-0,5) b) Chứng minh: f(-a) = -f(a).
2. Câu 7: (1,0 điểm): Tìm cặp số nguyên (x;y) biết: x + y = x.y Câu 8(6 điểm):Cho ABC có góc A nhỏ hơn 900. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là ABM và ACN. a) Chứng minh rằng: AMC = ABN; b) Chứng minh: BN  CM; c) Kẻ AH  BC (H BC). Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN. Câu 9: 1 1 1 1 1 a) Cho A 1 1 1 1 . Hãy so sánh A với 2 3 4 200 199 1 1 1 b) Tính B 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 500) 2 3 500 Câu 10: a) Tìm ba số x, y, z biết 3x 2y;7y 5z và x y z 32 x y z b) Cho ba số x, y, z có tổng khác 0 thỏa mãn điều kiện . y z x x670.y670.z672 Tính giá trị biểu thức M y2012 Bài 11: ( 6 điểm) Cho tam giác ABC có  B =750 đường cao AH bằng nửa cạnh BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C vẽ tia Bx sao cho  ABx = 600 trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD =BA. Kẻ phân giác BF của góc ABD (F AD) a) Tính các góc chưa biết của tam giác ABD b) Chứng minh AB=BD=DA c) Chứng minh AC =CB Bài 12 : (3,5 điểm) : a) Tìm x, biết: (2x – 1)2 = 64 b, Cho 2 số x, y thoả mãn: x 2014 2014 y 2015 0 . Tính: M = x + y Câu 13: (2.0 điểm): a. Tìm x, y biết: 4 x = 4 và x + y = 22 7 y 7 x y y z 2x 3y 4z b. Cho và . Tính M = 3 4 5 6 3x 4y 5z Câu 14: (2.0 điểm): Thực hiện tính: a. S = 22010 22009 22008 2 1
3. b. P = 1 1 1 1 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 16) 2 3 4 16 1 Câu 15: (1.0 điểm) Vẽ đồ thị hàm số y x . 2 Câu 16: (3.0 điểm) Cho tam giác ABC có A = 90 0, B = 500. Đường thẳng AH vuông góc với BC tại H. Gọi d là đường thẳng vuông góc với BC tại B. Trên đường thẳng d thuộc nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A lấy điểm D sao cho BD = HA a. Chứng minh ABH = DHB. b. Tính số đo góc BDH. c. Chứng minh đường thẳng DH vuông góc với đường thẳng AC. Bài 17: (4 điểm) 2 3 1 a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo : : . Biết rằng tổng các bình 5 4 6 phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A. a c a2 c2 a b) Cho . Chứng minh rằng: c b b2 c2 b Bài 18: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH  BC H BC . Biết H· BE = 50o ; M· EB =25o . Tính H·EM và B·ME Bài 19: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC Câu 20(2 điểm): Tính giá trị của các biểu thức: 212.35 46.92 510.73 255.492 a/ A = (22.3)6 (125.7)3 59.143 b/ S = 1 +3 + 32 + 33 + + 32013 Câu 21(2,5 điểm): a b c d a/ Cho các số a, b, c, d thoả mãn b c d c d a d a b a b c Tính giá trị của biểu thức:
4. a b b c c d d a P c d d a b a b c 1 1 1 1 b/ Tìm x biết: x x x x 100x 1.2 2.3 3.4 99.100 Câu 22(1,5 điểm): Ba phân số tối giản có tổng bằng 213 , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5, 70 các mẫu của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2. Tìm ba phân số đó. C©u 23: T×m tØ lÖ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c, biÕt r»ng céng lÇn l­ît ®é dµi hai ®­êng cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ 5: 7 : 8. Bµi 24: ( 2 ®iÓm) x 1 y 2 z 3 1. T×m x,y,z biÕt: vµ x-2y+3z = -10 2 3 4 2. Cho bèn sè a,b,c,d kh¸c 0 vµ tho¶ m·n: b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 + d3 ≠ 0 a3 b3 c3 a Chøng minh r»ng: b3 c3 d 3 d Bµi 25: ( 2 ®iÓm) 1 1 1 1 1. Chøng minh r»ng: 10 1 2 3 100 2. T×m x,y ®Ó C = -18-2x 6 3y 9 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. C©u26: (2 ®iÓm) §é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi 2;3;4. Hái ba chiÒu cao t­¬ng øng ba c¹nh ®ã tØ lÖ víi sè nµo? Bài 27: (4 điểm) 2 3 1 a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo : : . Biết rằng tổng các bình 5 4 6 phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A. a c a2 c2 a b) Cho . Chứng minh rằng: c b b2 c2 b C©u 28: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bµi 29: ( 3 ®iÓm) T×m x,y,z trong c¸c trưêng hîp sau: a, 2x = 3y =5z vµ x 2y =5
5. y z 1 x z 2 x y 3 1 b, 5x = 2y, 2x = 3z vµ xy = 90. c, x y z x y z C©u 30: (3®) Cho M,N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB vµ Ac cña tam gi¸c ABC. C¸c ®­êng ph©n gi¸c vµ ph©n gi¸c ngoµi cña tam gi¸c kÎ tõ B c¾t ®­êng th¼ng MN lÇn l­ît t¹i D vµ E c¸c tia AD vµ AE c¾t ®­êng th¼ng BC theo thø tù t¹i P vµ Q. Chøng minh: a) BD  AP; BE  AQ; b) B lµ trung ®iÓm cña PQ c) AB = DE C©u 31 (2®) Mét ng­êi ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 4km/h vµ dù ®Þnh ®Õn B lóc 11 giê 45 1 phót. Sau khi ®i ®­îc qu·ng ®­êng th× ng­êi ®ã ®i víi vËn tèc 3km/h nªn ®Õn 5 B lóc 12 giê tr­a. TÝnh qu·ng ®­êngAB vµ ng­êi ®ã khëi hµnh lóc mÊy giê? C©u 32 (3®) Cho ABC cã Aˆ > 900. Gäi I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AC. Trªn tia ®èi cña tia IB lÊy ®iÓm D sao cho IB = ID. Nèi c víi D. a. Chøng minh AIB CID b. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC; N lµ trung ®iÓm cña CD. Chøng minh r»ng I lµ trung ®iÓm cña MN c. Chøng minh AIB ·AIB B· IC d. T×m ®iÒu kiÖn cña ABC ®Ó AC  CD 14 x C©u 33 (1®) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = ;x Z . Khi ®ã x 4 x nhËn gi¸ trÞ nguyªn nµo? C©u 34: (4® Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC0. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. C¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E c¾t AB, AC lÇn l­ît ë M, N. Chøng minh r»ng: a) DM = EN b) §­êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iÓm I cña MN. c) §­êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay ®æi trªn c¹nh BC. Bµi 35:(2 ®iÓm) Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2. Bài 36 (3,5điểm):
6. AB 3 Cho tam giác ABC vuông tại A với và BC = 15cm. Tia phân giác AC 4 góc C cắt AB tại D. Kẻ DE  BC (E BC). a) Chứng minh AC = CE. b) Tính độ dài AB; AC. c) Trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC. Kẻ tia Fx  FA cắt tia DE tại M. Tính D·CM . Câu 37 (1 điểm):Cho ba số a, b, c thoả mãn: 0 a b 1 c 2 và a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của c. Bài 38. (3 điểm) a) Tìm hai số dương khác nhau x, y biết rằng: Tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12. b) Cho a, b, c là các số thực khác 0. Tìm các số thực x, y, z khác 0 thoả mãn: xy yz zx x 2 y 2 z 2 ay bx bz cy cx az a 2 b 2 c 2 Bài 39. (2,5 điểm) a) Tìm x, y nguyên thoả mãn 3xy – 5 = x2 + 2y b) Tìm số có bốn chữ số abcd thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) ab, ad là hai số nguyên tố; ii) db + c = b2+ d. Câu 40 (2 điểm). Tìm GTNN của biểu thức A x 2013 x 2014 x 2015
7. HƯỚNG DẪN a 212.35 212.34 510.73 510.7 4 A= 212.36 212.35 59.73 5973.23 3 1 5 35 A 9 3 1 8 A 3,5 C©u1 0.75 4.0® 0.75 5 1 4 3 5 2 5 a) A = 3 1 3 2 = . = 6 3 15 5 2 3 3 46.95 69.120 b) B = 0.75 84.312 611 46.95 69.120 212.310 212.310.5 212.310 (1 5) 2.6 4 0.75 84.312 611 212.312 211.311 211.311(2.3 1) 3.5 5 1 1 1 1 1 c) C = 1 1 1 1 1 3 6 10 15 210 0.5 2 5 9 14 209 4 10 18 28 418 = = 3 6 10 15 210 6 12 20 30 420 0.5 (1.4).(2.5).(3.6).(4.7) (19.22) (1.2.3 19).(4.5.6.7 22) 11 = = = (2.3).(3.4).(4.5).(5.6) (20.21) (2.3.4 20).(3.4.5.6 21) 30 C©u2 a) 3 2x 1 1 ( 2)2 3( 2)3 4.0® 0.5 2x 1 9 2x - 1 = 9 hoÆc 2x - 1 = - 9 x = 5 hoÆc x = - 4 0.5 2 2 b) x (x 2) 4(x 2) 0 (x 2)(x 4) 0 x + 2 = 0 hoÆc x2 + 4 = 0 0.5 * NÕu x + 2 = 0 x = - 2 * NÕu x2 + 4 = 0 x2 = -4 ( V« lý) 0.5 VËy x = -2 c) ( x-2)(x+3) x-2 víi mäi x nªn suy ra: x - 2 0 -3 < x < 2. 0.5 VËy: -3 < x < 2. x 2 x 1 x 1 6 x 1 3 2 6 6 d) 3 4.3 3 6 3 (3 4.3 1) 2 .3 0.5 x 1 6 6 x 1 6 0.5 3 .64 2 .3 3 3 x = 7 a c m 3 A Gọi 3 phân số cần tìm là ; ; với a;b;c;m;n nguyên và b.d.n 0 b d n a c m theo bài ra ta có k 3 4 5
8. Suy ra a=3k; c=4k;m=5k Tương tự ta có b=5q; d=q; n=2q 3k 4k 5k 213 5q q 2q 70 k 3 5 213 ( 4 ) Vậy : q 5 2 70 k 3 q 7 a 9 c 12 m 15 ; ; b 35 d 7 n 14 b) Từ giả thiết ta có : x 2y z x 2y z k a 2b c 4a 2b 2c 4a 4b c 9a 2x y z 4x 4y z Tương tự ta có k 9b 9c 2x y z 2x y z 4x 4y z Vậy: 9a 9b 9c a b z Suy ra x 2y z 2x y z 4x 4y z 4 a) Ta có các số tự nhiên : x 0; y 0;(x y) 2014 0 Vậy (x-y)2014 là số chính phương nhỏ hơn 2 Hoặc (x-y)2014 =0 suy ra x=y mà x y 2 x y 1 ta được (x ;y)=(1 ;1) (-1 ;1) ; (-1 ;-1) ;(1 ;-1) mà x y nên ( x;y) =(1 ;1) ; -1 ;-1) nếu (x-y)2=1 thì hoặc : x-y= 1 Thì tổng hai số tự nhiên x y 1 nên trong hai số x, y có 1 số bằng 0 từ đó ta có (x ; y)=(0 ;1) ;(1 ;0) ; (0 ;-1) ; (-1 ;0) Vậy :(x ;y)=(1 ;1) ; (-1 ;-1) ;(0 ;1) ;(1 ;0) ; (0 ;-1) ; (-1 ;0) B Với 5 số a1; a2; a3; a4 ;a5 có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư không mất tính tổng quát giả sử hai số đó là a1 và a2 khi đó a1-a2 3 Bỏ đi a2 xét 4 số còn lại Trong 4 số này có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư không mất tính tổng quat giả sử 2 số đó là a3 và a5 thì a3 – a53 Suy ra P 9 * Trong 5 số tự nhiên có ít nhất 3 số cùng tính chẵn lẻ -Nếu có cả năm số cùng tính chẵn lẻ hiển nhiên tất cả các thừa số của p đều chia hết cho 2 nên P 210 suy ra P 32 Nếu trong 5 số có 4 số cùng tính chẵn lẻ 4 số này tạo ra 6 thừa số của tích mà mỗi thừa số đều chia hết cho 2 nên P  32 Nếu trong 5 số có 3 số cùng chẵn không mất tính tổng quát giả sử đó là a1; a2; a3 đặt a1=2b1; a2=2b2;a3=2b3 ; a4=2b4+1 ; a5=2b5+1
9. P là tích của 16(b1-b2)(b1-b3)(b2-b3)(b4-b5) và 6 thừa số lẻ . trong 3 số b1; b2; b3 . có ít nhất hai số cùng chẵn hoặc cùng lẻ chúng tạo ra 1 thừa số chia hết cho 2 nên p 32 Tương tự với 3 số cùng lẻ và 2 số cùng chẵn thì P 32 Vậy P 9;32 288 x y y z x y y z a) 2x = 3y; 4y = 5z ; ; 1 3 2 5 4 15 10 10 8 x y z x y z 11 1 15 10 8 15 10 8 33 3 10 8 x = 5; y = ; z = 1 Câu 5 3 3 (4 điểm) b) x 1 x 2 x 3 4x (1) Vì VT 0 4x 0 hay x 0, do đó: 1 x 1 x 1; x 2 x 2; x 3 x 3 1 (1) x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4x x = 6 a) f(0) = 0 1 1 1 1 1 f(-0,5) = -4.(- )3 - = 0 1 2 2 2 2 Câu 6 (3điểm) b) f(-a) = -4(-a)3 - a = 4a3 - a 0,5 3 3 - f(a) = - 4a a = 4a - a f(-a) = -f(a) 0,5 y Câu 7 x + y = x.y xy x y x(y 1) y x (1 điểm) y 1 vì x z yMy 1 y 1 1My 1 1My 1 , 0,5 do đó y - 1 = 1 y 2 hoặc y = 0 Nếu y = 2 thì x = 2 Nếu y = 0 thì x = 0 Vậy các cặp số nguyên (x;y) là: (0,0) và (2;2) 0,5
10. Câu 8 a) Xét AMC và F N (6 điểm) ABN, có: D M AM = AB ( AMB E 1,0 vuông cân) AC = AN ( ACN 1,0 A vuông cân)  MAC =  NAC ( I 0 = 90 +  BAC) K 0,5 Suy ra AMC = ABN (c - g - c) B H C b) Gọi I là giao điểm của BN với AC, K là giao điểm của BN với MC. Xét KIC và AIN, có:  ANI =  KCI ( AMC = ABN) 1  AIN =  KIC (đối đỉnh) 1  IKC =  NAI = 900, do đó: MC  BN 0,5 c) Kẻ ME  AH tại E, NF  AH tại F. Gọi D là giao điểm của MN và AH. - Ta có:  BAH +  MAE = 900(vì  MAB = 900) Lại có  MAE +  AME = 900, nên  AME =  BAH Xét MAE và ABH , vuông tại E và H, có:  AME =  BAH (chứng minh trên) MA = AB Suy ra MAE = ABH (cạnh huyền-góc nhọn) ME = AH 0,25 - Chứng minh tương tự ta có AFN = CHA FN = AH 0,25 Xét MED và NFD, vuông tại E và F, có: ME = NF (= AH)  EMD =  FND(phụ với  MDE và  FDN, mà 0,25  MDE = FDN) MED = NFD BD = ND. 0,25 Vậy AH đi qua trung điểm của MN. 1 1 a) Tính được A 1,25đ Câu 200 199 1 1 501.502 1,25đ 9 b) Tính được B (1 2 501 1) 1 62875 2 2 1 a) áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau tính được x=20; 1,0đ Câu y=30; z=42 10 b) áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau chỉ ra x=y=z từ đó 1,0đ tính được P=1
11. 11 a A F D I B H C E Vẽ phân giác BF của ABD chứng minh: ABF= DBF (c-g-c) Từ đó nhờ định lý tổng ba góc trong tam giác chứng minh:  BAD= BDA =600 b Kẻ phân giác AI dựa vào định lý tổng 3 góc trong tam giác chứng minh  BIA = DIA =900 Từ đó chứng minh AIB= AID (g.c.g) Suy ra AB=AD Mà theo giải thiêt: AB=BD nên AB=BD=DA c Gọi E là trung điểm của BC , chứng minh: AHB= BED (c.g.c) Từ đó chứng minh  DEB=  DEC =900 Chứng minh DEB = DEC (c.g.c) rồi chứng minh  BDC=1500 Chứng minh  ADC =1500 Chứng minh ADC= BDC (c.g.c) CB=CA Câu 13: a) 28 7x =28 4y 0,25 đ x y x y 0,25 đ 4 7 4 7 x y 22 2 x 8; y 14 0,25 đ 4 7 11 x y x y y z y z x y z b) ; (1) 3 4 15 20 5 6 20 24 15 20 24 0,25 đ 2x 3y 4z 2x 3y 4z (1) 30 60 96 30 60 96 0,25 đ 3x 4y 5z 3x 4y 5z (1) 45 80 120 45 80 120 0,25 đ 2x 3y 4z 3x 4y 5z 2x 3x : =: 30 60 96 45 80 120 30 45 0,25 đ 2x 3y 4z 245 2x 3y 4z 186 . 1 M 186 3x 4y 5z 3x 4y 5z 245 0,25 đ
12. 2011 2010 2009 2 Câu 14: a) 2S = 2 2 2 2 2 0,25 đ 2S-S = 22011 22010 22010. 22009 22009 22 22 2 2 1 0,25 đ S = 22011 2.22010 1 0,25 đ S 22011 22011 1 1 0,25 đ 1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 16.17 b) P = 1 . . 2 2 3 2 4 2 16 2 0,25 đ 2 3 4 5 17 . 2 2 2 2 2 0,25 đ 1 1 2 3 17 1 2 0,25 đ 1 17.18 1 76 2 2 0,25 đ Câu 15: (Mỗi bước cho 0,25 điểm) - Vẽ hệ trục toạ độ 1 - Xác định toạ độ một điểm A O thuộc đồ thị hàm số y x 2 - Biểu diễn điểm A. 1 - Vẽ đồ thị hàm số y x ( Đường thẳng OA) 2 A Câu 16: (Mỗi bước cho 0,25 điểm) a. Xét ABH và DHB có: Bµ Hµ (= 900) HB chung B BD = HA H C ABH = DHB (c-g-c) b. Xét ABH có Bµ = 500 và Hµ = 900 B·AH = 180 - ( Bµ Hµ ) = 400. D Từ ABH = DHB có: B·AH B·DH B·DH = 400. c. Từ ABH = DHB có: ·ABH D· HB AB song song với DH. AB  AC DH  AC
13. Bài 17: (4 điểm) a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. 2 3 1 Theo đề bài ta có: a : b : c = : : (1) 5 4 6 và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c 2 3 k Từ (1) = k a k;b k;c 2 3 1 5 4 6 5 4 6 4 9 1 Do đó (2) k 2 ( ) 24309 25 16 36 k = 180 và k = 180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. + Với k = 180 , ta được: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 Khi đó ta có só A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 237 . b) (1,5 điểm) a c Từ suy ra c2 a.b c b a2 c2 a2 a.b khi đó b2 c2 b2 a.b a(a b) a = b(a b) b Bài 18: (4 điểm) A a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) I ·AMC = E·MB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) B M C Nên : AMC = EMB (c.g.c )H 0,5 điểm AC = EB Vì AMC = EMB M· AC = M· EB K (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường E thẳng AE ) Suy ra AC // BE . 0,5 điểm b/ (1 điểm )
14. Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) M· AI = M· EK ( vì AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) Suy ra ·AMI = E·MK Mà ·AMI + I·ME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) E·MK + I·ME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( Hµ = 90o ) có H· BE = 50o H· BE = 90o - H· BE = 90o - 50o =40o H·EM = H· EB - M· EB = 40o - 25o = 15o B·ME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM A Nên B·ME = H·EM + M· HE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài của tam giác ) 200 Bài 19: (4 điểm) M a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) suy ra D· AB D· AC D Do đó D· AB 200 : 2 100 b) ABC cân tại A, mà µA 200 (gt) nên ·ABC (1800 200 ) : 2 800 · 0 ABC đều nên DBC 60 B C Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ·ABD 800 600 200 . Tia BM là phân giác của góc ABD nên ·ABM 100 Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; B·AM ·ABD 200 ; ·ABM D· AB 100 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC a) 20 0,25
15. 212.35 212.34 510.73 510.74 A 212.36 212.35 59.73 59.73.23 212.34.(3 1) 510.73 (1 7) 0,25 212.35.(3 1) 59.73 (1 23 ) 0,25 2 5.( 6) 3.4 9 0,25 1 10 1 3 6 3 2 Ta có: S = 1 3 32 33 32013 (1) 3S = 3 32 33 32014 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được: 0,25 3S – S = 32014 1 0,5 32014 1 Hay S = 2 0,25 21 a) a b c d * Từ suy ra b c d c d a d a b a b c a b c d 1 1 1 1 0,5 b c d c d a d a b a b c a b c d a b c d a b c d a b c d Hay b c d c d a d a b a b c * Nếu a+b+c+d = 0 thì a b c d a+b = -(c+d) 1; 1 c d a b b c d a b+c = -(d+a) 1; 1 0,5 d a b c nên P=-1 * Nếu a+b+c+d 0 thì b+c+d = c+d+a = d+a+b = a+b+c a = b = c = d P=1 Vậy P= -1 nếu a+b+c+d = 0 0,5 P = 1 nếu a+b+c+d 0 b) Vì Vế trái 0 nên để đẳng thức xảy ra thì vế phải 0 . Hay 100x 0 x 0 0,25 1 1 1 Khi đó ta có: x x x 100x 1.2 2.3 99.100 0,25 1 99x 1 100x 100 0,25 99 x (thoả mãn) 100 0,25 22 a c e 0,25 Gọi các phân số cần tìm là ; ; b d f a c e Vì tử của chúng tỉ lệ với 3;4;5 nên k 3 4 5 0,25 a 3k;c 4k;e 5k 0,25
16. b d f Vì mẫu của chúng tỉ lệ với 5;1;2 nên p 5 1 2 0,25 b 5p;d p;e 2 p a c e 213 3k 4k 5k 213 0,25 Mặt khác: b d f 70 5p p 2 p 70 6k 40k 25k 71k 213 k 3 Hay: 0,25 10 p 10 p 70 p 7 a 3 3 9 c 4 3 12 e 5 3 15 . ; . ; . b 5 7 35 d 1 7 7 f 2 7 14 213 Ba phân số trên đều tối giản và có tổng bằng 70 9 12 15 Vậy 3 phân số cần tìm là: ; ; 35 7 14 C©u 23 (2 ®iÓm ) Gäi ha , hb ,hc lÇn l­ît lµ ®é dµi c¸c ®­êng cao cña tam gi¸c. Theo ®Ò bµi ta cã: h h h h h h 2 h h h h h h a b b c c a a b c a b c ( 0,4 ®iÓm ) 5 7 8 20 10 hc hb ha => => ha : hb : hc = 3 : 2: 5 ( 0,4 ®iÓm ) 5 2 3 1 1 1 MÆt kh¸c S = a.h bh ch ( 0,4 ®iÓm ) 2 a 2 b 2 c a b c => (0 , 4 ®iÓm ) 1 1 1 ha hb hc 1 1 1 1 1 1 => a :b : c = : : : : 10 :15 : 6 (0 ,4 ®iÓm ) ha hb hc 3 2 5 VËy a: b: c = 10 : 10 : 6 24.1 x 1 y 2 z 3 0,25 §Æt k 2 3 4 ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau k = -2 0,5 X = -3; y = -4; z = - 5 0,25 24.2 a b c 0,25 Tõ gi¶ thiÕt suy ra b2 = ac; c2 = bd; b c d a3 b3 c3 a3 b3 c3 0,25 Ta cã (1) b3 c3 d 3 b3 c3 d 3 a3 a a a a b c a 0,25 L¹i cã . . . . (2) b3 b b b b c d d a3 b3 c3 a 0,25 Tõ (1) vµ (2) suy ra: b3 c3 d 3 d
17. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 25.1 Ta cã: > ; > ; > > ; = 0,5 1 10 2 10 3 10 9 10 10 10 1 1 1 1 0,5 10 1 2 3 100 25.2 Ta cã C = -18 - (2x 6 3y 9 ) -18 0,5 V× 20;x 60 3y 9 0,25 2x 6 0 0,25 Max C = -18 x = 3 vµ y = -3 3y 9 0 C©u 26: Gäi ®é dµi 3 c¹nh lµ a , b, c, 3 chiÒu cao t­¬ng øng lµ x, y, z, diÖn tÝch S ( 0,5® ) 2S 2S 2S a b c 2S 2S 2S a b c (0,5®) x y z 2 3 4 2x 3y 4z (0,5®) x y z 2x 3y 4z vËy x, y, z tØ lÖ víi 6 ; 4 ; 3 (0,5®) 6 4 3 Bài 27: (4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. 2 3 1 0,5 điểm Theo đề bài ta có: a : b : c = : : (1) 5 4 6 và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) 0,5 điểm a b c 2 3 k Từ (1) = k a k;b k;c 2 3 1 5 4 6 5 4 6 4 9 1 Do đó (2) k 2 ( ) 24309 25 16 36 0,5 điểm k = 180 và k = 180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. 0,5 điểm + Với k = 180 , ta được: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 Khi đó ta có só A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 237 . 0,5 điểm b) (1,5 điểm) a c Từ suy ra c2 a.b c b 0,5 điểm a2 c2 a2 a.b khi đó b2 c2 b2 a.b 0,5 điểm a(a b) a = 0,5 điểm b(a b) b
18. Bài 28: Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s Ta có: 5.x 4.y 3.z và x x y z 59 1đ x y z x x y z 59 hay: 60 0.5đ 1 1 1 1 1 1 1 59 5 4 3 5 5 4 3 60 Do đó: 1 1 1 x 60. 12 ; x 60. 15 ; x 60. 20 0.5đ 5 4 3 Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m) 0.5đ x 2y , 3y = 5z. NÕu x-2y = 5 x= -15, y = -10, z = -6 0,5 29.1 3 4 NÕu x-2y = -5 x= 15, y = 10, z = 6 0,5 x y x2 xy =9 x = ±6 0,5 29.2 2 5 4 10 Ta cã 2x = 3z nªn x1 = 6; y1 = 15; z1 = 4 vµ 0,25 x1 = -6; y1 = -15; z1 = -4 0,25 y z 1 x z 2 x y 3 1 = = = =2 0,5 x y z x y z 0,5 x 1 0,5 y 2 0,5 z 3 29.3 x+y+z = 0,5 = 2 0,5 x y z 1 5 5 x = ; y = ; z = - 0,5 2 6 6 C©u 30: (3®) a) MN//BC MD//BD D trung ®iÓm AP 0,3 ® BP võa lµ ph©n gi¸c võa lµ trung tuyÕn nªn còng lµ ®­êng cao BD  AP 0,2® T­¬ng tù ta chøng minh ®­îc BE  AQ 0,5 ® b) AD = DP DBP BDE (g.c.g) DP = BE BE = AD 0,5 ® MBE MAD(c.g.c) ME MD 0,3® BP = 2MD = 2ME = BQ VËy B lµ trung ®iÓm cña PQ 0,2® c) BDE vu«ng ë B, BM lµ trung tuyÕn nªn BM = ME 0,4® ADB vu«ng ë D cã DM lµ trung tuyÕn nªn DM = MA 0,4® DE = DM + ME = MA + MB 0,2® C©u 31 Thêi gian ®i thùc tÕ nhiÒu h¬n thêi gian dù ®Þnh Gäi vËn tèc ®i dù ®Þnh tõ C ®Õn B lµ v1 == 4km/h
19. VËn tèc thùc tÕ ®i tõ C ®Õn B lµ V2 = 3km/h V 4 t V 3 Ta cã: 1 va 1 1 V2 3 t2 V2 4 (t1 lµ thêi gian ®i AB víi V1; t2 lµ thêi gian ®i CB víi V2) t1 3 t2 t1 t2 t1 15 tõ 15 t2 = 15 . 4 = 60 phót = 1 giê t2 4 4 3 4 3 1 VËy qu·ng ®­êng CB lµ 3km, AB = 15km Ng­êi ®ã xuÊt ph¸t tõ 11 giê 45 phót – (15:4) = 8 giê C©u 32 a. Tam gi¸c AIB = tam gi¸c CID v× cã (IB = ID; gãc I1 = gãc I2; IA = IC) b. Tam gi¸c AID = tam gi¸c CIB (c.g.c) gãc B1 = gãc D1 vµ BC = AD hay MB =ND tam gi¸c BMI = tam gi¸c DNI (c.g.c) Gãc I3 = gãc I4 M, I, N th¼ng hµng vµ IM = IN Do vËy: I lµ trung ®iÓm cña MN c. Tam gi¸c AIB cã gãc BAI > 900 gãc AIB 900 d. NÕu AC vu«ng gãc víi DC th× AB vu«ng gãc víi AC do vËy tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A C©u 33. 4 x 10 10 10 P = 1 P lín nhÊt khi lín nhÊt 4 x 4 x 4 x 10 XÐt x > 4 th× 0 4 x 10 lín nhÊt 4 – x lµ sè nguyªn d­¬ng nhá nhÊt 4 x 4 – x = 1 x = 3 10 khi ®ã = 10 Plín nhÊt = 11. 4 x Bµi 34:®( Häc sinh tù vÏ h×nh) a/∆ MDB=∆ NEC suy ra DN=EN 0,5® b/∆ MDI=∆ NEI suy ra IM=IN suy ra BC c¾t MN t¹i ®iÓm I lµ trung ®iÓm cña MN 0,5® c/ Gäi H lµ ch©n ®­êng cao vu«ng gãc kÎ tõ A xuèng BC ta cã Δ AHB=Δ AHC suy ra HAB=HAC 0,5® gäi O lµ giao AH víi ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi MN kÎ tõ I th× ∆ OAB=∆ OAC (c.g.c) nªn OBA = OCA(1) 0,5®
20. ∆ OIM=∆ OIN suy ra OM=ON 0,5® suy ra ∆ OBN=∆ OCN (c.c.c) OBM=OCM(2) 0,5® Tõ (1) vµ (2) suy ra OCA=OCN=900 suy ra OC ┴ AC 0,5® VËy ®iÓm O cè ®Þnh. Bµi 35:(2 ®iÓm) Trong tam gi¸c tæng ®é dµi hai c¹nh lín h¬n c¹nh thø 3. VËy cã: b + c > a. Nh©n 2 vÕ víi a >0 ta cã: a.b + a.c > a2. (1) T­¬ng tù ta cã : b.c + b.a > b2 (2) a.c + c.b > c2 (3). Céng vÕ víi vÕ cña (1), (2), (3) ta ®­îc: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2. Bµi 36 Vẽ hình, ghi GT, KL đúng : 0,5đ 3,5đ y M X F K B E D A C a) C/m được ACD ECD ( cạnh huyền- góc nhọn) 1 => AC = CE (hai cạnh tương ứng) 0,5
21. AB 3 AB AC b) (gt) 0,25 AC 4 3 4 AB2 AC 2 AB2 AC 2 BC 2 152 0,5 9 9 16 9 16 25 25 AB2 9.9 81 AB 9cm AC 2 9.16 144 AC 12cm 0,25 c) Kẻ Cy  Fx cắt nhau tại K Ta thấy AC = AF = FK= CK = CE 0,25 và ·ACK 900 C/M được CEM CKM ( cạnh huyền- cạnh góc vuông) 0,25 E·CM K·CM (hai góc tương ứng) 1 1 Mà D·CM D· CE E·CM ·ACK 900 450 2 2 Câu 37 Vì: 0 a b 1 c 2 nên (1 điểm) 0 a b 1 c 2 c 2 c 2 c 2 0 4 3c 6 (vì a + b + c = 1) 0,5 2 Hay 3c 2 c . 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của c là: -2 khi đó a + b = 5 0,5 3 3 Bài 38. (3 điểm) Câu Nội dung trình bày Điểm Gọi hai số phải tìm là x và y (x > 0, y > 0 và x y) Theo đề bài ta có: 35.(x + y) = 210.(x - y) = 12x.y 0,25 Chia các tích trên cho BCNN của 35, 210, 12 là 420 ta được: 35.(x y) 210(x y) 12xy 420 420 420 x y x y xy hay (1) 12 2 35 0,25 Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a) x y x y x y x y x y x y (1,5đ) 12 2 12 2 12 2 0,25 x y x y x y 2 12 2 7 5 xy x y xy xy Từ (1) và (2) ta có: 0,25 35 7 5 7y 5x Vì x > 0; y > 0 nên 7y = 35 y = 5; 5x = 35 x = 7 0,25 Vậy hai số phải tìm là 7 và 5 0,25 b) Do x, y, z khác 0 nên (1,5đ)
22. xy yz zx zxy xyz yzx 0,25 ay bx bz cy cx az ayz bxz bzx cyx cxy azy 0,25 Suy ra ayz bxz bzx cyx cxy azy az cx, bx ay x z x y x y z 0,25 Do đó , t x at, y bt, z ct , t ≠ 0 a c a b a b c xy x 2 y 2 z 2 at.bt a 2t 2 b 2t 2 c 2t 2 0,25 Ta có ay bx a 2 b 2 c 2 abt bat a 2 b 2 c 2 t 1 0,25 Suy ra t 2 t (do t ≠ 0) 2 2 a b c 0,25 Vậy x , y , z 2 2 2 Bài 39. (2,5 điểm) Câu Nội dung trình bày Điểm Theo đề ta có 3xy – 2y = x2 + 5 y(3x – 2) = x2 + 5 (1) Do x, y nguyên nên suy ra x2 + 5 chia hết cho 3x – 2 0,25 9.(x2 + 5) chia hết cho 3x – 2 9.x2 + 45 chia hết cho 3x – 2 9.x2 - 6x + 6x – 4 + 49 chia hết cho a) 3x – 2 0,25 (1đ) 3x.(3x - 2) + 2(3x – 2) + 49 chia hết cho 3x – 2 49 chia hết cho 3x – 2 3x – 2  49; 7; 1;1; 7; 49 0,25 3x  47; 5;1; 3; 9; 51 x 1; 3;17 Thay x lần lượt vào (1) ta được y 6; 2; 6 0,25 Vậy các cặp số (x, y) là (1;6), (3;2), (17;6) Do ab;ad là các số nguyên tố nên b và d lẻ khác 5 (1) 0,25 Mặt khác từ điều kiện ii) ta có 9d + c = b(b-1) (2) 0,25 Có 9d + c 9 nên từ (2) suy ra b >3 mà b lẻ b = 7; 9 0,25 + b = 7 9d + c = 42 3 < d 4 trái với (1) 0,25 b) + b = 9 9d + c = 72 6 < d 8 mà d lẻ d = 7 (1,5đ) Thay vào điều kiện (2) được c = 9. 0,25 Do a9;a7 là các số nguyên tố nên a chỉ có thể nhận các giá trị tương ứng 1; 2; 5; 7; 8 hoặc 1; 3; 4; 6; 9. Suy ra a = 1 và abcd 1997 , thử lại thấy đúng. 0,25 Câu 40 A ( x 2013 x 2015 ) x 2014 0,5 đ (2 điểm) A x 2013 x 2015 x 2014 2 x 2014 2 0,5 đ A= 2 khi và chỉ khi ( x 2013)(x 2015) 0 và x 2014 0 2013 x 2015; x 2014 0,5đ x 2014 Vậy Min(A) = 2 khi x=2014 0,5đ